Решаване на типични задачи. Обхват на функциите в изпитните задачи Как да търсите набор от стойности на функциите

Функцията е моделът. Нека дефинираме X като набор от стойности на независима променлива // независим означава всяка.

Функцията е правило, чрез което за всяка стойност на независимата променлива от множеството X може да се намери единствената стойност на зависимата променлива. // т.е. за всяко х има едно у.

От дефиницията следва, че има две понятия - независима променлива (която означаваме с x и може да приема всяка стойност) и зависима променлива (която означаваме с y или f (x) и се изчислява от функцията, когато заместваме x).

НАПРИМЕР y=5+x

1. Независимо е x, така че вземаме произволна стойност, нека x = 3

2. и сега изчисляваме y, така че y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y зависи от x, защото каквото x заместваме, получаваме такова y)

Казваме, че променливата y е функционално зависима от променливата x и това се обозначава по следния начин: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.y=1/x. (наречена хипербола)

2. y=x^2. (наречена парабола)

3.y=3x+7. (наречена права линия)

4. y \u003d √ x. (наречен клон на параболата)

Независимата променлива (която означаваме с x) се нарича аргумент на функцията.

Обхват на функцията

Множеството от всички стойности, които аргументът на функцията приема, се нарича домейн на функцията и се обозначава с D(f) или D(y).

Да разгледаме D(y) за 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) и (0;+∞) // целият набор от реални числа с изключение на нула.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / всички много реални числа

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / всички много реални числа

4. D (y) \u003d. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в този сегмент.

Производната е положителна за всички хот интервал (-1; 1) , тоест функцията арксинус се увеличава в целия домейн на дефиниция. Следователно той приема най-малката стойност при х=-1, а най-големият при x=1.

Получихме обхвата на функцията арксинус .

Намерете набора от стойности на функциите на сегмента .

Решение.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на дадения сегмент.

Нека определим точките на екстремум, принадлежащи на сегмента :

Много задачи ни карат да търсим набор от стойности на функциите в определен сегмент или в целия домейн на дефиниция. Такива задачи включват различни оценки на изрази, решаване на неравенства.

В тази статия ще дефинираме обхвата на функция, ще разгледаме методите за намирането й и ще анализираме подробно решението на примери от прости до по-сложни. Всички материали ще бъдат снабдени с графични илюстрации за по-голяма яснота. Така че тази статия е подробен отговор на въпроса как да намерите обхвата на функция.

Определение.

Наборът от стойности на функцията y = f(x) на интервала Xнаречен набор от всички стойности на функцията, която приема при повторение на всички .

Определение.

Обхватът на функцията y = f(x)се нарича набор от всички стойности на функцията, която приема при повторение на всички x от областта на дефиницията.

Обхватът на функцията се обозначава като E(f) .

Обхватът на функция и наборът от стойности на функция не са едно и също нещо. Тези понятия ще се считат за еквивалентни, ако интервалът X при намиране на набора от стойности на функцията y = f(x) съвпада с областта на функцията.

Също така, не бъркайте диапазона на функцията с променливата x за израза от дясната страна на уравнението y=f(x) . Площта на разрешените стойности на променливата x за израза f(x) е областта на дефиницията на функцията y=f(x) .

Фигурата показва няколко примера.

Графиките на функциите са показани с получерни сини линии, тънките червени линии са асимптоти, червените точки и линиите по оста Oy показват обхвата на съответната функция.

Както можете да видите, обхватът на функцията се получава чрез проектиране на графиката на функцията върху оста y. Може да бъде едно число (първи случай), набор от числа (втори случай), сегмент (трети случай), интервал (четвърти случай), отворен лъч (пети случай), съюз (шести случай) и т.н. .

И така, какво трябва да направите, за да намерите обхвата на функцията.

Нека започнем с най-простия случай: ще покажем как да определим набора от стойности на непрекъсната функция y = f(x) на интервала.

Известно е, че функция, непрекъсната върху сегмент, достига своите максимални и минимални стойности върху него. По този начин наборът от стойности на оригиналната функция на сегмента ще бъде сегментът . Следователно нашата задача се свежда до намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на интервала.

Например, нека намерим обхвата на функцията арксинус.

Пример.

Посочете обхвата на функцията y = arcsinx.

Решение.

Областта на дефиниране на арксинуса е сегментът [-1; един] . Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в този сегмент.

Производната е положителна за всички x от интервала (-1; 1), т.е. функцията арксинус се увеличава в цялата област на дефиниция. Следователно той приема най-малката стойност при x = -1 и най-голямата при x = 1.

Получихме обхвата на функцията арксинус .

Пример.

Намерете набора от стойности на функциите на сегмента.

Решение.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на дадения сегмент.

Нека дефинираме екстремалните точки, принадлежащи на сегмента:

Изчисляваме стойностите на оригиналната функция в краищата на сегмента и в точки :

Следователно наборът от стойности на функцията на сегмента е сегментът .

Сега ще покажем как да намерим набора от стойности на непрекъсната функция y = f(x) в интервалите (a; b), .

Първо, ние определяме точките на екстремум, екстремумите на функцията, интервалите на нарастване и намаляване на функцията на даден интервал. След това изчисляваме в краищата на интервала и (или) границите в безкрайността (тоест изучаваме поведението на функцията на границите на интервала или в безкрайността). Тази информация е достатъчна за намиране на набора от стойности на функциите на такива интервали.

Пример.

Определете набора от стойности на функцията на интервала (-2; 2).

Решение.

Нека намерим точките на екстремум на функцията, попадащи в интервала (-2; 2):

точка x = 0 е максималната точка, тъй като производната сменя знака от плюс на минус при преминаване през нея, а графиката на функцията преминава от нарастваща към намаляваща.

е съответният максимум на функцията.

Нека разберем поведението на функцията, когато x клони към -2 вдясно и когато x клони към 2 отляво, тоест намираме едностранни граници:

Какво получихме: когато аргументът се промени от -2 на нула, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до минус една четвърт (максимумът на функцията при x = 0), когато аргументът се промени от нула на 2, функцията стойностите намаляват до минус безкрайност. По този начин наборът от стойности на функцията на интервала (-2; 2) е .

Пример.

Посочете набора от стойности на допирателната функция y = tgx на интервала.

Решение.

Производната на допирателната функция на интервала е положителна , което показва увеличаване на функцията. Изучаваме поведението на функцията на границите на интервала:

По този начин, когато аргументът се промени от до, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до плюс безкрайност, тоест наборът от допирателни стойности в този интервал е множеството от всички реални числа.

Пример.

Намерете обхвата на функцията на естествения логаритъм y = lnx.

Решение.

Функцията на естествен логаритъм е дефинирана за положителни стойности на аргумента . На този интервал производната е положителна , това показва увеличаване на функцията върху него. Нека намерим едностранната граница на функцията, тъй като аргументът клони към нула отдясно, а границата като x клони към плюс безкрайност:

Виждаме, че когато x се промени от нула на плюс безкрайност, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до плюс безкрайност. Следователно обхватът на функцията на естествения логаритъм е целият набор от реални числа.

Пример.

Решение.

Тази функция е дефинирана за всички реални x стойности. Нека определим точките на екстремум, както и интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Следователно, функцията намалява при , нараства при , x = 0 е максималната точка, съответния максимум на функцията.

Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност:

Така в безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до нула.

Открихме, че когато аргументът се промени от минус безкрайност на нула (максимална точка), стойностите на функцията се увеличават от нула до девет (до максимума на функцията), а когато x се промени от нула на плюс безкрайност, стойностите на функцията намалява от девет до нула.

Вижте схематичния чертеж.

Сега ясно се вижда, че обхватът на функцията е .

Намирането на набора от стойности на функцията y = f(x) на интервали изисква подобни изследвания. Сега няма да се спираме подробно на тези случаи. Ще ги видим в примерите по-долу.

Нека областта на функцията y = f(x) е обединението на няколко интервала. При намиране на диапазона на такава функция се определят наборите от стойности на всеки интервал и се взема тяхното обединение.

Пример.

Намерете обхвата на функцията.

Решение.

Знаменателят на нашата функция не трябва да отива на нула, т.е.

Първо, нека намерим набора от стойности на функцията на отворения лъч.

Производна на функцията е отрицателен на този интервал, тоест функцията намалява върху него.

Открихме, че тъй като аргументът клони към минус безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до единство. Когато x се промени от минус безкрайност на две, стойностите на функцията намаляват от едно до минус безкрайност, тоест на разглеждания интервал функцията приема набор от стойности. Не включваме единица, тъй като стойностите на функцията не я достигат, а само асимптотично се стремят към нея при минус безкрайност.

По същия начин действаме и за отворена греда.

Функцията също намалява на този интервал.

Наборът от стойности на функциите на този интервал е множеството.

По този начин, желаният диапазон от стойности на функцията е обединението на множествата и .

Графична илюстрация.

Отделно трябва да се спрем на периодичните функции. Обхватът на периодичните функции съвпада с набора от стойности на интервала, съответстващ на периода на тази функция.

Пример.

Намерете обхвата на функцията синус y = sinx.

Решение.

Тази функция е периодична с период от две пи. Нека вземем сегмент и да дефинираме набора от стойности върху него.

Сегментът съдържа две точки на екстремум и .

Изчисляваме стойностите на функцията в тези точки и на границите на сегмента, избираме най-малките и най-големите стойности:

следователно, .

Пример.

Намерете обхвата на функция .

Решение.

Знаем, че обхватът на арккосинуса е отсечката от нула до пи, т.е. или в друг пост. Функция може да се получи от arccosx чрез изместване и разтягане по оста x. Такива трансформации не засягат обхвата, следователно, . Функция идва от разтягане три пъти по оста Oy, т.е. . И последният етап от трансформациите е изместване с четири единици надолу по оста y. Това ни води до двойно неравенство

По този начин желаният диапазон от стойности е .

Нека дадем решение на друг пример, но без обяснения (те не са задължителни, тъй като са напълно сходни).

Пример.

Определете обхвата на функциите .

Решение.

Записваме оригиналната функция във формата . Обхватът на експоненциалната функция е интервалът. т.е., . Тогава

следователно, .

За да завършим картината, трябва да говорим за намиране на обхвата на функция, която не е непрекъсната в областта на дефиницията. В този случай областта на дефиниция е разделена от точки на прекъсване на интервали и ние намираме наборите от стойности на всеки от тях. Комбинирайки получените набори от стойности, получаваме диапазона от стойности на оригиналната функция. Препоръчваме да запомните 3 отляво, стойностите на функцията клонят към минус едно, а когато x клони към 3 вдясно, стойностите на функцията клонят към плюс безкрайност.

По този начин областта на дефиниране на функцията е разделена на три интервала.

На интервала имаме функцията . От тогава

По този начин наборът от стойности на оригиналната функция на интервала е [-6;2] .

На полуинтервала имаме постоянна функция y = -1 . Тоест наборът от стойности на оригиналната функция на интервала се състои от един елемент.

Функцията е дефинирана за всички валидни стойности на аргумента. Намерете интервалите на увеличаване и намаляване на функцията.

Производната изчезва при x=-1 и x=3. Отбелязваме тези точки върху реалната ос и определяме знаците на производната на получените интервали.

Функцията намалява с , се увеличава с [-1; 3] , x=-1 минимална точка, x=3 максимална точка.

Изчисляваме съответните минимални и максимални функции:

Нека проверим поведението на функцията в безкрайност:

Втората граница е изчислена от .

Нека направим схематичен чертеж.

Когато аргументът се промени от минус безкрайност на -1, стойностите на функцията намаляват от плюс безкрайност до -2e, когато аргументът се промени от -1 на 3, стойностите на функцията се увеличават от -2e на, когато аргументът се промени от 3 до плюс безкрайност, стойностите на функцията намаляват от до нула, но не достигат нула.

Често, в рамките на решаването на проблеми, трябва да търсим набор от стойности на функция в областта на дефиницията или на сегмент. Например, това трябва да се прави при решаване на различни видове неравенства, оценка на изрази и т.н.

Като част от този материал ще ви кажем какъв е обхватът на дадена функция, ще дадем основните методи, чрез които тя може да бъде изчислена, и ще анализираме проблеми с различна степен на сложност. За по-голяма яснота отделните позиции са илюстрирани с графики. След като прочетете тази статия, ще имате изчерпателно разбиране за обхвата на дадена функция.

Нека започнем с основните определения.

Определение 1

Наборът от стойности на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е наборът от всички стойности, които тази функция приема при повторение на всички стойности x ∈ X.

Определение 2

Обхватът на функция y = f (x) е наборът от всички нейни стойности, които тя може да приеме при повторение на стойности x от областта x ∈ (f).

Обхватът на някои функции обикновено се обозначава с E (f) .

Моля, имайте предвид, че концепцията за набора от стойности на функция не винаги е идентична с областта на нейните стойности. Тези понятия ще бъдат еквивалентни само ако диапазонът от стойности x при намиране на набора от стойности съвпада с областта на функцията.

Също така е важно да се прави разлика между обхвата и обхвата на променливата x за израза от дясната страна y = f (x) . Областта на приемливите стойности x за израза f (x) ще бъде зоната на дефиниране на тази функция.

По-долу е дадена илюстрация, показваща някои примери. Сините линии са графики на функции, червените са асимптоти, червените точки и линиите по оста y са диапазоните на функцията.

Очевидно обхватът на функцията може да бъде получен чрез проектиране на графиката на функцията върху оста O y . Освен това може да бъде или едно число, или набор от числа, сегмент, интервал, отворен лъч, обединение от числови интервали и т.н.

Помислете за основните начини за намиране на обхвата на функция.

Нека започнем с дефиниране на набора от стойности на непрекъсната функция y = f (x) на определен сегмент, обозначен с [ a ; б] . Знаем, че функция, която е непрекъсната на определен интервал, достига своя минимум и максимум на него, тоест максимума m a x x ∈ a ; b f (x) и най-малката стойност m i n x ∈ a ; b f (x) . И така, получаваме отсечка m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , който ще съдържа наборите от стойности на оригиналната функция. Тогава всичко, което трябва да направим, е да намерим посочените минимални и максимални точки на този сегмент.

Да вземем задача, в която е необходимо да се определи диапазонът от стойности на арксинуса.

Пример 1

състояние:намерете обхвата y = a r c sin x .

Решение

В общия случай областта на дефиниция на арксинуса е разположена на интервала [ - 1 ; един ] . Трябва да определим най-голямата и най-малката стойност на посочената функция върху него.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Знаем, че производната на функцията ще бъде положителна за всички x стойности, разположени в интервала [-1; 1 ] , тоест в цялата област на дефиниция, функцията арксинус ще се увеличава. Това означава, че ще вземе най-малката стойност, когато x е равно на - 1, и най-голямата - когато x е равно на 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Така обхватът на функцията арксинус ще бъде равен на E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Отговор: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Пример 2

състояние:изчислете диапазона y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на дадения интервал [ 1 ; 4 ] .

Решение

Всичко, което трябва да направим, е да изчислим най-голямата и най-малката стойност на функцията в дадения интервал.

За определяне на екстремалните точки е необходимо да се извършат следните изчисления:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 и l и 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Сега нека намерим стойностите на дадената функция в краищата на отсечката и точките x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Това означава, че наборът от стойности на функциите ще бъде определен от сегмента 117 - 165 33 512; 32 .

Отговор: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Да преминем към намирането на набора от стойности на непрекъснатата функция y = f (x) в интервалите (a ; b) и a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Нека започнем с определяне на най-голямата и най-малката точки, както и интервалите на увеличение и намаляване в даден интервал. След това ще трябва да изчислим едностранните граници в краищата на интервала и/или границите в безкрайността. С други думи, трябва да определим поведението на функцията при дадени условия. За това разполагаме с всички необходими данни.

Пример 3

състояние:изчислете обхвата на функцията y = 1 x 2 - 4 на интервала (- 2 ; 2) .

Решение

Определете най-голямата и най-малката стойност на функцията на даден интервал

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Получихме максималната стойност, равна на 0, тъй като в този момент знакът на функцията се променя и графиката започва да намалява. Вижте илюстрацията:

Тоест y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ще бъде максималната стойност на функцията.

Сега нека дефинираме поведението на функцията за x, която клони към - 2 от дясната страна и + 2 от лявата страна. С други думи, намираме едностранни граници:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Разбрахме, че стойностите на функцията ще се увеличат от минус безкрайност до -14, когато аргументът се промени от -2 на 0. И когато аргументът се промени от 0 на 2, стойностите на функцията намаляват до минус безкрайност. Следователно наборът от стойности на дадената функция на интервала, от който се нуждаем, ще бъде (- ∞ ; - 1 4 ] .

Отговор: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Пример 4

състояние: посочете набора от стойности y = t g x на дадения интервал - π 2 ; π 2 .

Решение

Знаем, че най-общо производната на допирателната в - π 2; π 2 ще бъде положително, тоест функцията ще се увеличи. Сега нека дефинираме как се държи функцията в дадените граници:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Получихме увеличение на стойностите на функцията от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато аргументът се промени от - π 2 на π 2, и можем да кажем, че наборът от решения на тази функция ще бъде множеството от всички реални числа.

Отговор: - ∞ ; + ∞ .

Пример 5

състояние:определете какъв е обхватът на функцията на естествен логаритъм y = ln x .

Решение

Знаем, че тази функция е дефинирана за положителни стойности на аргумента D (y) = 0 ; +∞ . Производната на дадения интервал ще бъде положителна: y " = ln x " = 1 x . Това означава, че функцията на него се увеличава. След това трябва да дефинираме едностранно ограничение за случая, когато аргументът отива до 0 (от дясната страна) и когато x отива до безкрайност:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Открихме, че стойностите на функцията ще се увеличат от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато стойностите на x се променят от нула до плюс безкрайност. Това означава, че множеството от всички реални числа е обхватът на функцията на естествения логаритъм.

Отговор:множеството от всички реални числа е обхватът на функцията на естествения логаритъм.

Пример 6

състояние:определете какъв е обхватът на функцията y = 9 x 2 + 1 .

Решение

Тази функция е дефинирана при условие, че x е реално число. Нека изчислим най-големите и най-малките стойности на функцията, както и интервалите на нейното увеличение и намаляване:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

В резултат на това установихме, че тази функция ще намалее, ако x ≥ 0; увеличаване, ако x ≤ 0 ; той има максимална точка y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, когато променливата е 0 .

Нека видим как се държи функцията в безкрайност:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

От записа може да се види, че стойностите на функцията в този случай асимптотично ще се доближат до 0.

За да обобщим: когато аргументът се промени от минус безкрайност на нула, тогава стойностите на функцията се увеличават от 0 до 9. Тъй като стойностите на аргумента преминават от 0 до плюс безкрайност, съответните стойности на функцията ще намалеят от 9 до 0. Ние сме изобразили това на фигурата:

Показва, че обхватът на функцията ще бъде интервалът E (y) = (0 ; 9 ]

Отговор: E (y) = (0 ; 9 ]

Ако трябва да определим набора от стойности на функцията y = f (x) на интервалите [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , тогава ще трябва да извършим точно същите изследвания. Все още няма да анализираме тези случаи: ще ги срещнем по-късно в задачи .

Но какво ще стане, ако областта на определена функция е обединението на няколко интервала? След това трябва да изчислим наборите от стойности на всеки от тези интервали и да ги комбинираме.

Пример 7

състояние:определете какъв ще бъде диапазонът на y = x x - 2 .

Решение

Тъй като знаменателят на функцията не трябва да се превръща в 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Нека започнем с дефиниране на набора от стойности на функциите на първия сегмент - ∞ ; 2, която е отворена греда. Знаем, че функцията върху него ще намалее, тоест производната на тази функция ще бъде отрицателна.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Тогава, в случаите, когато аргументът се променя към минус безкрайност, стойностите на функцията ще се приближат асимптотично до 1. Ако стойностите на x се променят от минус безкрайност на 2, тогава стойностите ще намалеят от 1 до минус безкрайност, т.е. функцията на този сегмент ще приема стойности от интервала - ∞; един . Ние изключваме единството от нашите разсъждения, тъй като стойностите на функцията не го достигат, а само асимптотично се доближават до него.

За отворена греда 2 ; + ∞ изпълняваме абсолютно същите действия. Функцията върху него също намалява:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Стойностите на функцията на този сегмент се определят от множеството 1; +∞ . Това означава, че диапазонът от стойности на функцията, посочен в условието, от което се нуждаем, ще бъде обединението от множества - ∞; 1 и 1; +∞ .

Отговор: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Това може да се види на графиката:

Специален случай са периодичните функции. Тяхната площ на стойност съвпада с набора от стойности на интервала, който съответства на периода на тази функция.

Пример 8

състояние:определете обхвата на синуса y = sin x .

Решение

Синусът се отнася до периодична функция и нейният период е 2 pi. Взимаме отсечка 0; 2 π и вижте какъв ще бъде наборът от стойности върху него.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

В рамките на 0 ; 2 π функцията ще има крайни точки π 2 и x = 3 π 2 . Нека изчислим на какво ще бъдат равни стойностите на функцията в тях, както и на границите на сегмента, след което избираме най-голямата и най-малката стойност.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 = 1

Отговор: E (sinx) = - 1; един .

Ако трябва да знаете диапазоните на функциите като експоненциална, експоненциална, логаритмична, тригонометрична, обратна тригонометрична, тогава ви съветваме да прочетете отново статията за основните елементарни функции. Теорията, която представяме тук, ни позволява да тестваме стойностите, посочени там. Желателно е да ги научите, тъй като те често са необходими при решаването на проблеми. Ако знаете диапазоните на основните функции, тогава можете лесно да намерите диапазоните на функциите, които се получават от елементарни с помощта на геометрична трансформация.

Пример 9

състояние:определете обхвата y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Решение

Знаем, че отсечката от 0 до pi е обхватът на обратния косинус. С други думи, E (a r c cos x) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Можем да получим функцията a r c cos x 3 + 5 π 7 от дъгата косинус, като я изместим и разтегнем по оста O x, но подобни трансформации няма да ни дадат нищо. Следователно 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функцията 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може да се получи от обратния косинус a r c cos x 3 + 5 π 7 чрез разтягане по оста y, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Крайната трансформация е изместване по оста O y с 4 стойности. В резултат на това получаваме двойно неравенство:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Разбрахме, че диапазонът, от който се нуждаем, ще бъде равен на E (y) = - 4 ; 3 пи-4.

Отговор: E (y) = -4; 3 пи-4.

Нека напишем още един пример без обяснения, т.к той е напълно подобен на предишния.

Пример 10

състояние:изчислете какъв ще бъде обхватът на функцията y = 2 2 x - 1 + 3 .

Решение

Нека пренапишем функцията, дадена в условието като y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . За степенна функция y = x - 1 2 диапазонът ще бъде определен на интервала 0 ; + ∞ , т.е. x - 1 2 > 0 . В такъв случай:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Така че E (y) = 3 ; +∞ .

Отговор: E (y) = 3; +∞ .

Сега нека разгледаме как да намерим обхвата на функция, която не е непрекъсната. За да направим това, трябва да разделим цялата област на интервали и да намерим наборите от стойности на всеки от тях и след това да комбинираме полученото. За да разберете по-добре това, ви съветваме да прегледате основните типове точки на прекъсване на функциите.

Пример 11

състояние:дадена функция y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Изчислете неговия обхват.

Решение

Тази функция е дефинирана за всички x стойности. Нека го анализираме за приемственост със стойностите на аргумента, равни на - 3 и 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Имаме невъзстановим прекъсване от първи вид със стойността на аргумента - 3 . Когато го приближите, стойностите на функцията клонят към - 2 sin 3 2 - 4, а когато x клони към - 3 от дясната страна, стойностите ще клонят към - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Имаме неотстраним прекъсване от втори вид в точка 3. Когато функцията се стреми към нея, нейните стойности се приближават - 1, докато се стремят към същата точка вдясно - до минус безкрайност.

Това означава, че цялата област на дефиниране на тази функция е разделена на 3 интервала (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

На първия от тях получихме функцията y \u003d 2 sin x 2 - 4. Тъй като - 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаваме:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Това означава, че на този интервал (- ∞ ; - 3 ] наборът от стойности на функцията е [- 6 ; 2 ] .

На полуинтервала (- 3 ; 3 ] получаваме постоянна функция y = - 1. Следователно целият набор от нейните стойности в този случай ще бъде намален до едно число - 1 .

На втория интервал 3 ; + ∞ имаме функция y = 1 x - 3 . Намалява, защото y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Следователно наборът от стойности на оригиналната функция за x > 3 е множеството 0 ; +∞ . Сега нека комбинираме резултатите: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Отговор: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Решението е показано на графиката:

Пример 12

Условие: има функция y = x 2 - 3 e x . Определете набора от неговите стойности.

Решение

Дефиниран е за всички стойности на аргументи, които са реални числа. Нека определим в какви интервали ще се увеличава тази функция и в кои ще намалява:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Знаем, че производната ще стане 0, ако x = - 1 и x = 3. Поставяме тези две точки върху оста и установяваме какви знаци ще има производната на получените интервали.

Функцията ще намалее с (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) и ще се увеличи с [- 1 ; 3]. Минималната точка ще бъде - 1 , максималната - 3 .

Сега нека намерим съответните стойности на функциите:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

За изчисляване на втората граница е използвано правилото на L'Hopital. Нека начертаем нашето решение на графика.

Показва, че стойностите на функцията ще намалеят от плюс безкрайност до -2 e, когато аргументът се промени от минус безкрайност на -1. Ако се промени от 3 до плюс безкрайност, тогава стойностите ще намалеят от 6 e - 3 до 0, но 0 няма да бъдат достигнати.

Така E(y) = [-2e; +∞) .

Отговор: E (y) = [-2e; +∞)

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Концепцията за функция и всичко свързано с нея традиционно е сложно, не напълно разбрано. Специална пречка при изучаването на функцията и подготовката за изпита е областта на дефиницията и диапазона от стойности (промени) на функцията.
Често учениците не виждат разликата между областта на дадена функция и областта на нейните стойности.
И ако учениците успеят да овладеят задачите за намиране на областта на дефиниране на функция, тогава задачите за намиране на набор от стойности на функция им създават значителни трудности.
Целта на тази статия: запознаване с методите за намиране на стойностите на функция.
В резултат на разглеждането на тази тема беше проучен теоретичен материал, разгледани са методи за решаване на задачи за намиране на набори от стойности на функциите, избран дидактически материал за самостоятелна работа на учениците.
Тази статия може да се използва от учител при подготовка на студенти за финални и приемни изпити, при изучаване на темата „Обхват на функцията“ в факултативни часове в избираеми дисциплини по математика.

I. Определяне на обхвата на функцията.

Площта (наборът) от стойности E(y) на функцията y = f(x) е множеството от такива числа y 0 , за всяко от които има такова число x 0, че: f(x 0) = y 0 .

Нека си припомним диапазоните на основните елементарни функции.

Помислете за таблица.

Функция	Много ценности
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = арктан x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Забележете също, че обхватът на всеки полином с четна степен е интервалът , където n е най-голямата стойност на този полином.

II. Свойства на функцията, използвани при намиране на обхвата на функция

За да се намери успешно наборът от стойности на функция, човек трябва да има добри познания за свойствата на основните елементарни функции, особено техните области на дефиниция, диапазони от стойности и естеството на монотонността. Нека представим свойствата на непрекъснатите, монотонни диференцируеми функции, които най-често се използват при намиране на множество стойности на функции.

Свойства 2 и 3 обикновено се използват заедно със свойството на елементарна функция да бъде непрекъсната в своята област. В този случай най-простото и най-краткото решение на проблема за намиране на набора от стойности на функция се постига въз основа на свойство 1, ако е възможно да се определи монотонността на функцията с помощта на прости методи. Решението на задачата се опростява допълнително, ако функцията освен това е четна или нечетна, периодична и т.н. По този начин, при решаване на задачи за намиране на набори от стойности на функцията, следните свойства на функцията трябва да бъдат проверени и използвани при необходимост:

• приемственост;
• монотонен;
• диференцируемост;
• четни, нечетни, периодични и др.

Простите задачи за намиране на набор от стойности на функциите са предимно ориентирани:

а) използването на най-простите оценки и ограничения: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 и т.н.);

б) за да изберете пълен квадрат: x 2 - 4x + 7 = (x - 2) 2 + 3;

в) за преобразуване на тригонометрични изрази: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

г) с помощта на монотонността на функцията x 1/3 + 2 x-1 се увеличава с R.

III. Помислете за начини за намиране на диапазоните от функции.

а) последователно намиране на стойности на сложни функционални аргументи;
б) метод на оценка;
в) използване на свойствата на непрекъснатост и монотонност на функция;
г) използване на производно;
д) използването на най-големите и най-малките стойности на функцията;
е) графичен метод;
ж) метод за въвеждане на параметри;
з) метод на обратната функция.

Ще разкрием същността на тези методи на конкретни примери.

Пример 1: Намерете диапазона E(y)функции y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Нека решим този пример чрез последователно намиране на стойностите на аргументите на сложната функция. След като сме избрали пълния квадрат под логаритъма, преобразуваме функцията

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

И последователно намерете наборите от стойности на неговите сложни аргументи:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Означете т= 5 – (3 x +1) 2 , където -∞≤ t≤4. По този начин проблемът се свежда до намиране на набора от стойности на функцията y = log 0,5 t на лъча (-∞;4) . Тъй като функцията y = log 0,5 t е дефинирана само при, тогава нейният набор от стойности на лъча (-∞;4) съвпада с набора от стойности на функцията на интервала (0;4), който е пресичане на лъча (-∞;4) с област на дефиниция (0;+∞) на логаритмичната функция. На интервала (0;4) тази функция е непрекъсната и намаляваща. В т> 0, клони към +∞ и когато t = 4 приема стойността -2, така че E(y) =(-2, +∞).

Пример 2: Намерете обхвата на функция

y = cos7x + 5cosx

Ще решим този пример чрез метода на оценките, чиято същност е да оценим непрекъснатата функция отдолу и отгоре и да докажем, че функцията достига долната и горната граница на оценките. В този случай съвпадението на набора от стойности на функцията с интервала от долната граница на оценката до горната се определя от непрекъснатостта на функцията и отсъствието на други стойности за нея.

От неравенствата -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 получаваме оценката -6≤y?6. За x = p и x = 0 функцията приема стойностите -6 и 6, т.е. достига долната и горната граница. Като линейна комбинация от непрекъснати функции cos7x и cosx, функцията y е непрекъсната по цялата числова ос, следователно, поради свойството на непрекъсната функция, тя приема всички стойности от -6 до 6 включително и само тях, тъй като , поради неравенствата -6≤y?6, други стойности тя е невъзможна. следователно, E(y)= [-6;6].

Пример 3: Намерете диапазона E(f)функции f(x)= cos2x + 2cosx.

Използвайки формулата за двоен ъгъл косинус, ние трансформираме функцията f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 и означаваме т= cosx. Тогава f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Тъй като E(cosx) =

[-1;1], след това обхватът на функцията f(x)съвпада с набора от стойности на функцията g (т)\u003d 2t 2 + 2t - 1 на сегмента [-1; 1], който ще намерим чрез графичен метод. След като начертахме функцията y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 на интервала [-1; 1], намираме E(f) = [-1,5; 3].

Забележка – много проблеми с параметър се свеждат до намиране на набор от стойности на функция, свързани главно с разрешимостта и броя на решенията на уравнението и неравенствата. Например, уравнението f(x)= a е разрешимо тогава и само ако

aE(f)По същия начин, уравнението f(x)= a има поне един корен, разположен в някакъв интервал X, или няма корен в този интервал, само ако a принадлежи или не принадлежи на набора от стойности на функцията f(x)на интервала X. Ние също изучаваме, използвайки набора от стойности на функцията и неравенствата f(x)≠а, f(x)>а и т.н. По-специално, f(x)≠и за всички допустими стойности на x, ако a E(f)

Пример 4. За какви стойности на параметъра a, уравнението (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) има единичен корен на отсечката [-4;-1].

Нека запишем уравнението във вида (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Последното уравнение има поне един корен на отсечката [-4;-1], ако и само ако a принадлежи на набора от стойности на функцията f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) на отсечката [-4;-1]. Нека намерим това множество, използвайки свойството на непрекъснатост и монотонност на функцията.

На отсечката [-4;-1] функцията y = xІ + 4 е непрекъсната, намаляваща и положителна, следователно функцията g(x) = 1/(x 2 + 4) е непрекъснато и нараства на този сегмент, тъй като при деление на положителна функция естеството на монотонността на функцията се променя на обратното. Функция h(x) =(x + 5) 1/2 е непрекъснато и нарастващо в своята област D(h) =[-5;+∞) и по-специално на интервала [-4;-1], където също е положителен. След това функцията f(x)=g(x) h(x), като продукт на две непрекъснати, нарастващи и положителни функции, също е непрекъснат и се увеличава на отсечката [-4;-1], следователно неговият набор от стойности на [-4;-1] е отсечката [ f(-4); f(-1)] = . Следователно уравнението има решение на отсечката [-4;-1] и единственото (по свойството на непрекъсната монотонна функция) за 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Коментирайте. Разрешимост на уравнението f(x) = aна някакъв интервал X е еквивалентно на принадлежност на стойностите на параметъра анабор от стойности на функциите f(x)на X. Следователно, наборът от стойности на функцията f(x)на интервала X съвпада с набора от стойности на параметрите а, за което уравнението f(x) = aима поне един корен в интервала X. По-специално, диапазонът от стойности E(f)функции f(x)съвпада с набора от стойности на параметрите а, за което уравнението f(x) = aима поне един корен.

Пример 5: Намерете диапазона E(f)функции

Нека решим примера, като въведем параметър, според който E(f)съвпада с набора от стойности на параметрите а, за което уравнението

има поне един корен.

Когато a=2, уравнението е линейно - 4x - 5 = 0 с ненулев коефициент за неизвестно x, следователно има решение. За a≠2 уравнението е квадратно, така че е разрешимо, ако и само ако неговият дискриминант

Тъй като точката a = 2 принадлежи на отсечката

след това желания набор от стойности на параметрите а,оттук и диапазонът от стойности E(f)ще бъде целият сегмент.

Като пряко развитие на метода за въвеждане на параметър при намиране на набор от стойности на функция, можем да разгледаме метода на обратната функция, за да намерим която е необходимо да се реши уравнението за x f(x)=y, като се има предвид y като параметър. Ако това уравнение има уникално решение x=g(y), след това диапазонът E(f)оригинална функция f(x)съвпада с областта на дефиниция D(g)обратна функция g(y). Ако уравнението f(x)=yима множество решения x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y)и т.н., тогава E(f)е равно на обединението на обхватите на дефинициите на функциите g 1 (y), g 2 (y)и т.н.

Пример 6: Намерете диапазона E(y)функции y = 5 2/(1-3x).

От уравнението

намерете обратната функция x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) и нейната област D(x):

Тъй като уравнението за x има уникално решение, тогава

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Ако домейнът на функция се състои от няколко интервала или функцията на различни интервали е дадена с различни формули, тогава за да намерите домейна на функцията, трябва да намерите наборите от стойности на функцията на всеки интервал и да вземете техните съюз.

Пример 7: Намерете диапазони f(x)и f(f(x)), където

f(x)върху лъча (-∞;1], където съвпада с израза 4 x + 9 4 -x + 3. Означете t = 4 х. Тогава f(x) = t + 9/t + 3, където 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на лъча (-∞;1] съвпада с набора от стойности на функцията g(t) = t + 9/t + 3, на интервала (0;4], който намираме с помощта на производната g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. На интервала (0;4] производната g'(t)е дефиниран и изчезва там при t=3. На 0<т<3 она отрицательна, а при 3<т<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)намалява, а в интервала (3;4) се увеличава, оставайки непрекъснат през целия интервал (0;4), така че g (3)= 9 - най-малката стойност на тази функция в интервала (0; 4], докато нейната най-голяма стойност не съществува, така че когато t→0правилна функция g(t)→+∞.След това, чрез свойството на непрекъсната функция, наборът от стойности на функцията g(t)на интервала (0;4], а оттам и набора от стойности f(x)на (-∞;-1], ще има лъч .

Сега, чрез комбиниране на интервалите - наборите от стойности на функциите f(f(x)), обозначават t = f(x). Тогава f(f(x)) = f(t), където тфункция f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 и отново приема всички стойности от 5 до 9 включително, т.е. обхват E(fІ) = E(f(f(x))) =.

По същия начин, обозначавайки z = f(f(x)), можете да намерите диапазона E(f3)функции f(f(f(x))) = f(z), където 5 ≤ z ≤ 9 и т.н. Уверете се, че E(f 3) = .

Най-универсалният метод за намиране на набора от стойности на функцията е да се използват най-големите и най-малките стойности на функцията в даден интервал.

Пример 8. За какви стойности на параметъра Рнеравенство 8 x - p ≠ 2x+1 – 2xважи за всички -1 ≤ x< 2.

Обозначавайки t = 2 x, записваме неравенството като p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Като t = 2 xе непрекъснато нарастваща функция R,тогава за -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда Рразлични от стойностите на функциите f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.

Нека първо намерим набора от стойности на функцията f(t)на интервала, където има производна навсякъде f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. следователно, f(t)е диференцируема и следователно непрекъсната на сегмента . От уравнението f'(t) = 0намерете критичните точки на функцията t=1/3, t=1,първият от които не принадлежи на сегмента, а вторият принадлежи към него. Като f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,тогава, по свойството на диференцируема функция, 0 е най-малката, а 36 е най-голямата стойност на функцията f(t)на сегмента. Тогава f(t),като непрекъсната функция, приема в сегмента всички стойности от 0 до 36 включително, а стойността 36 приема само когато t=4, така че за 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }