Плосък напречен завой. Чист завой

Започваме с най-простия случай, така нареченото чисто огъване.

Чистото огъване е специален случай на огъване, при който напречната сила в секциите на гредата е нула. Чисто огъване може да се осъществи само когато собственото тегло на гредата е толкова малко, че влиянието му може да се пренебрегне. За греди на две опори, примери за натоварвания, които причиняват мрежа

завой, показан на фиг. 88. На секции от тези греди, където Q = 0 и следователно M = const; има чист завой.

Силите във всеки участък на гредата с чисто огъване се свеждат до двойка сили, чиято равнина на действие минава през оста на гредата, а моментът е постоянен.

Напреженията могат да бъдат определени въз основа на следните съображения.

1. Тангенциалните компоненти на силите върху елементарните зони в напречното сечение на гредата не могат да се сведат до двойка сили, чиято равнина на действие е перпендикулярна на равнината на сечението. От това следва, че силата на огъване в сечението е резултат от действие върху елементарни зони

само нормални сили и следователно при чисто огъване напреженията се редуцират само до нормални.

2. За да се сведат усилията върху елементарните платформи само до няколко сили, между тях трябва да има както положителни, така и отрицателни. Следователно трябва да съществуват както опънати, така и компресирани влакна на лъча.

3. Поради факта, че силите в различните сечения са еднакви, напреженията в съответните точки на сеченията са еднакви.

Разгледайте всеки елемент близо до повърхността (фиг. 89, а). Тъй като по долната му повърхност, която съвпада с повърхността на гредата, не се прилагат сили, върху нея също няма напрежения. Следователно няма напрежения върху горната страна на елемента, тъй като в противен случай елементът не би бил в равновесие.Разглеждайки съседния до него по височина елемент (фиг. 89, б), стигаме до

Същото заключение и т. н. От това следва, че няма напрежения по хоризонталните страни на нито един елемент. Като се имат предвид елементите, които изграждат хоризонталния слой, като се започне от елемента близо до повърхността на гредата (фиг. 90), стигаме до извода, че няма напрежения по страничните вертикални повърхности на нито един елемент. По този начин състоянието на напрежение на всеки елемент (фиг. 91, а) и в границата на влакното трябва да бъде представено, както е показано на фиг. 91b, тоест може да бъде или аксиално напрежение, или аксиално компресиране.

4. Поради симетрията на прилагането на външни сили сечението по средата на дължината на гредата след деформация трябва да остане равно и нормално спрямо оста на гредата (фиг. 92, а). По същата причина участъците в четвъртините от дължината на гредата също остават плоски и нормални към оста на гредата (фиг. 92, б), ако само крайните участъци на гредата по време на деформация остават равни и нормални на оста на гредата. Подобно заключение е валидно и за сечения в осми от дължината на гредата (фиг. 92, в) и т.н. Следователно, ако крайните участъци на гредата останат плоски по време на огъване, тогава за всеки участък той остава

справедливо е да се каже, че след деформация остава плосък и нормален към оста на извитата греда. Но в този случай е очевидно, че промяната в удължението на влакната на гредата по височината му трябва да става не само непрекъснато, но и монотонно. Ако наречем слой набор от влакна с еднакви удължения, тогава от казаното следва, че разтегнатите и компресирани влакна на гредата трябва да бъдат разположени от противоположните страни на слоя, в който удълженията на влакната са равни на нула. Неутрални ще наречем влакна, чиито удължения са равни на нула; слой, състоящ се от неутрални влакна - неутрален слой; линията на пресичане на неутралния слой с равнината на напречното сечение на гредата - неутралната линия на този участък. След това, въз основа на предишните съображения, може да се твърди, че при чисто огъване на гредата във всяка от нейните секции има неутрална линия, която разделя този участък на две части (зони): зоната на опънати влакна (обтегната зона) и зоната на компресираните влакна (компресирана зона). Съответно нормалните опънни напрежения трябва да действат в точките на опънатата зона на сечението, напреженията на натиск в точките на компресираната зона, а в точките на неутралната линия напреженията са равни на нула.

По този начин, с чисто огъване на лъч с постоянно напречно сечение:

1) в сеченията действат само нормални напрежения;

2) цялата секция може да бъде разделена на две части (зони) - опъната и компресирана; границата на зоните е неутралната линия на сечението, в точките на която нормалните напрежения са равни на нула;

3) всеки надлъжен елемент на гредата (в границата, всяко влакно) е подложен на аксиално напрежение или компресия, така че съседните влакна да не взаимодействат едно с друго;

4) ако крайните участъци на гредата по време на деформация остават плоски и нормални към оста, тогава всичките й напречни сечения остават плоски и нормални към оста на извитата греда.

Напрегнато състояние на греда при чисто огъване

Помислете за елемент от лъч, подложен на чисто огъване, в заключение измерени между участъци m-m и n-n, които са отдалечени един от друг на безкрайно малко разстояние dx (фиг. 93). Поради разпоредбата (4) на предходния параграф, сеченията m-m и n-n, които са били успоредни преди деформацията, след огъване, оставайки равни, ще образуват ъгъл dQ и ще се пресичат по права линия, минаваща през точка C, която е център от влакно с неутрална кривина NN. Тогава частта от AB влакното, затворено между тях, разположено на разстояние z от неутралното влакно (положителната посока на оста z се взема към изпъкналостта на гредата по време на огъване), ще се превърне в дъга A "B" след деформация. Сегмент от неутралното влакно O1O2, превръщайки се в O1O2 дъга, няма да промени дължината си, докато AB влакното ще получи удължение:

преди деформация

след деформация

където p е радиусът на кривината на неутралното влакно.

Следователно абсолютното удължение на отсечката AB е

и удължаване

Тъй като според позиция (3) влакното AB е подложено на аксиално напрежение, то с еластична деформация

От това се вижда, че нормалните напрежения по височината на гредата се разпределят по линеен закон (фиг. 94). Тъй като равната сила на всички усилия върху всички елементарни участъци от секцията трябва да бъде равна на нула, тогава

откъдето, замествайки стойността от (5.8), намираме

Но последният интеграл е статичен момент около оста Oy, която е перпендикулярна на равнината на действие на силите на огъване.

Поради нейното равенство на нула тази ос трябва да минава през центъра на тежестта O на сечението. По този начин неутралната линия на сечението на гредата е права линия yy, перпендикулярна на равнината на действие на силите на огъване. Тя се нарича неутрална ос на секцията на лъча. Тогава от (5.8) следва, че напреженията в точките, лежащи на едно и също разстояние от неутралната ос, са еднакви.

Случаят на чисто огъване, при който силите на огъване действат само в една равнина, причинявайки огъване само в тази равнина, е равнинно чисто огъване. Ако посочената равнина минава през оста Oz, тогава моментът на елементарни усилия спрямо тази ос трябва да бъде равен на нула, т.е.

Замествайки тук стойността на σ от (5.8), намираме

Интегралът от лявата страна на това равенство, както е известно, е центробежният момент на инерция на сечението около осите y и z, така че

Осите, по отношение на които центробежният момент на инерция на сечението е равен на нула, се наричат главни оси на инерция на това сечение. Ако освен това те преминават през центъра на тежестта на секцията, тогава те могат да се нарекат главни централни оси на инерция на секцията. По този начин, при плоско чисто огъване, посоката на равнината на действие на силите на огъване и неутралната ос на секцията са основните централни оси на инерция на последната. С други думи, за да се получи плоско чисто огъване на греда, натоварването не може да бъде приложено към нея произволно: то трябва да бъде намалено до сили, действащи в равнина, която минава през една от основните централни оси на инерция на секциите на гредата; в този случай другата основна централна ос на инерция ще бъде неутралната ос на сечението.

Както е известно, в случай на сечение, което е симетрично спрямо която и да е ос, оста на симетрия е една от основните централни оси на инерция. Следователно в този конкретен случай със сигурност ще получим чисто огъване чрез прилагане на съответните аналози в равнина, минаваща през надлъжната ос на гредата и оста на симетрия на нейното сечение. Правата линия, перпендикулярна на оста на симетрия и минаваща през центъра на тежестта на сечението, е неутралната ос на този участък.

След като се установи положението на неутралната ос, не е трудно да се намери големината на напрежението във всяка точка от сечението. Всъщност, тъй като сумата от моментите на елементарните сили спрямо неутралната ос yy трябва да бъде равна на момента на огъване, тогава

откъдето, замествайки стойността на σ от (5.8), намираме

Тъй като интегралът е момент на инерция на сечението около оста y, тогава

и от израз (5.8) получаваме

Продуктът EI Y се нарича коравина на огъване на гредата.

Най-големите напрежения на опън и натиск по абсолютна стойност действат в точките на сечението, за които абсолютната стойност на z е най-голяма, т.е. в точките, най-отдалечени от неутралната ос. С обозначенията, фиг. 95 имат

Стойността на Jy / h1 се нарича момент на съпротивление на секцията на разтягане и се обозначава с Wyr; по подобен начин Jy/h2 се нарича момент на съпротивление на секцията на натиск

и означаваме Wyc, т.н

и следователно

Ако неутралната ос е оста на симетрия на секцията, тогава h1 = h2 = h/2 и следователно Wyp = Wyc, така че няма нужда да се прави разлика между тях и те използват едно и също обозначение:

наричайки W y просто модула на сечението. Следователно, в случай на сечение, симетрично спрямо неутралната ос,

Всички горепосочени изводи са получени въз основа на предположението, че напречните сечения на гредата, когато се огъват, остават равни и нормални спрямо оста му (хипотезата за плоските сечения). Както е показано, това предположение е валидно само ако крайните (крайни) участъци на гредата останат равни по време на огъване. От друга страна, от хипотезата за плоските сечения следва, че елементарните сили в такива сечения трябва да се разпределят по линеен закон. Следователно, за валидността на получената теория за плоското чисто огъване е необходимо огъващите моменти в краищата на гредата да бъдат приложени под формата на елементарни сили, разпределени по височината на сечението по линеен закон (фиг. 96), което съвпада със закона за разпределение на напреженията по височината на секционните греди. Въпреки това, въз основа на принципа на Saint-Venant, може да се твърди, че промяната в метода на прилагане на огъващи моменти в краищата на гредата ще причини само локални деформации, чието влияние ще засегне само на определено разстояние от тези краища (приблизително равни на височината на секцията). Секциите, разположени в останалата част от дължината на гредата, ще останат плоски. Следователно, изложената теория за плоското чисто огъване, с всеки метод за прилагане на огъващи моменти, е валидна само в средната част на дължината на гредата, разположена на разстояния от краищата му, приблизително равни на височината на сечението. От това става ясно, че тази теория очевидно е неприложима, ако височината на секцията надвишава половината от дължината или обхвата на гредата.

Плоско напречно огъване на греди. Вътрешни сили на огъване. Диференциални зависимости на вътрешните сили. Правила за проверка на диаграми на вътрешни сили при огъване. Нормални и срязващи напрежения при огъване. Изчисляване на якост за нормални и срязващи напрежения.

10. ПРОСТИ ВИДОВЕ СЪПРОТИВЛЕНИЕ. ПЛОСОК ОКЪВ

10.1. Общи понятия и определения

Огъването е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, преминаващи през надлъжната ос на пръта.

Пръчка, която работи при огъване, се нарича греда (или греда). В бъдеще ще разгледаме прави греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

При устойчивостта на материалите огъването е плоско, наклонено и сложно.

Плоско огъване е огъване, при което всички сили, огъващи гредата, лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от главните равнини).

Основните равнини на инерция на гредата са равнините, преминаващи през главните оси на напречните сечения и геометричната ос на гредата (ос x).

Наклонен завой е огъване, при което товарите действат в една равнина, която не съвпада с основните равнини на инерция.

Сложното огъване е огъване, при което натоварванията действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два характерни случая на огъване: в първия случай конзолната греда се огъва от концентриран момент M o ; във втория, чрез концентрираната сила F.

Използвайки метода на умствените разрези и съставяйки уравненията на равновесието за отсечените части на гредата, ние определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

Така, в общия случай на плоско огъване в сечението на гредата, от шест вътрешни сили възникват две - огъващ момент M z и сила на срязване Q y (или при огъване около друга основна ос - огъващ момент M y и сила на срязване Q z ).

В този случай, в съответствие с двата разглеждани случая на натоварване, плоското огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чистото огъване е плоско огъване, при което в участъците на пръта възниква само една от шест вътрешни сили - огъващ момент (виж първия случай).

напречен завой- огъване, при което освен вътрешния огъващ момент в секциите на пръта възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, само чистото огъване принадлежи към простите видове съпротива; напречното огъване условно се отнася до прости видове съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) действието на напречна сила може да се пренебрегне при изчисленията на якост.

При определяне на вътрешните сили ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Q y се счита за положителна, ако има тенденция да завърти разглеждания елемент на гредата по посока на часовниковата стрелка;

2) огъващ момент M z се счита за положителен, ако при огъване на елемента на гредата горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин решението на задачата за определяне на вътрешните сили при огъване ще бъде изградено по следния план: 1) на първия етап, като се имат предвид равновесните условия на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестни реакции на опорите (имайте предвид, че за конзолна греда, реакциите в вграждането могат да бъдат и не се намират, ако разгледаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерните участъци на гредата, като за граници на секциите приемаме точките на приложение на силите, точките на промяна на формата или размерите на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в секциите на гредата, като отчитаме условията на равновесие за елементите на гредата във всяка от секциите.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания на огъване, както и характерните особености на Q и M диаграмите, познаването на които ще улесни изграждането на диаграми и ще ви позволи да контролирате тяхната коректност. За улеснение на записването ще означим: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Нека разпределим малък елемент dx в сечение на греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него напречни сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено се променят по оста на гредата, тогава в сеченията на елемента dx ще има напречни сили Q и Q + dQ, както и моменти на огъване M и M + dM. От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

От второто уравнение, пренебрегвайки члена q dx (dx /2) като безкрайно малка величина от втори ред, намираме

Отношения (10.1), (10.2) и (10.3) се наричатдиференциални зависимости на D. I. Zhuravsky при огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости при огъване ни позволява да установим някои характеристики (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и сили на срязване:

а - в области, където няма разпределен товар q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основата, а диаграми M - наклонени прави линии;

b - в участъци, където се прилага разпределено натоварване q към гредата, Q диаграмите са ограничени от наклонени прави линии, а M диаграмите са ограничени от квадратни параболи. В същото време, ако изградим диаграмата M „върху разтегнато влакно“, тогава изпъкналостта на па-

работата ще бъде насочена в посока на действие q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където диаграмата Q пресича основната линия;

c - в участъци, където се прилага концентрирана сила към гредата, на Q диаграмата ще има скокове със стойността и в посоката на тази сила, а на M диаграмата има извивки, върхът е насочен в посока на тази сила сила; d - в участъци, където към гредата върху парцела се прилага концентриран момент

няма да има промени в re Q, а на диаграмата M ще има скокове със стойността на този момент; e - в области, където Q > 0, моментът M нараства, и в области, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и да изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай. Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения при чисто огъване, но ако този проблем се реши чрез методите за устойчивост на материалите, е необходимо да се въведат някои предположения.

Има три такива хипотези за огъване:

а – хипотеза за плосък разрез (хипотезата на Бернули)

- плоските участъци преди деформация остават плоски след деформация, но се въртят само спрямо определена линия, която се нарича неутрална ос на секцията на гредата. В този случай влакната на гредата, лежащи от едната страна на неутралната ос, ще бъдат разтегнати, а от другата - компресирани; влакната, лежащи върху неутралната ос, не променят дължината си;

b - хипотезата за постоянство на нормалните напрежения

ny - напреженията, действащи на същото разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

в – хипотеза за липса на странични натиск –

сивите надлъжни влакна не се притискат един към друг.

Огъването е вид деформация, при която надлъжната ос на гредата е огъната. Правите греди, работещи при огъване, се наричат греди. Правият завой е огъване, при което външните сили, действащи върху гредата, лежат в една и съща равнина (равнина на силата), минаваща през надлъжната ос на гредата и главната централна ос на инерция на напречното сечение.

Завоя се нарича чист, ако се появи само един огъващ момент във всяко напречно сечение на гредата.

Огъване, при което огъващ момент и напречна сила едновременно действат в напречното сечение на гредата, се нарича напречно. Линията на пресичане на равнината на силата и равнината на напречното сечение се нарича силова линия.

Фактори на вътрешна сила при огъване на гредата.

При плоско напречно огъване в секциите на гредата възникват два вътрешни фактора на сила: напречната сила Q и моментът на огъване M. За определянето им се използва методът на сечението (виж лекция 1). Напречната сила Q в сечението на гредата е равна на алгебричния сбор от проекциите върху равнината на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение.

Правило за знак за сили на срязване Q:

Моментът на огъване M в сечението на гредата е равен на алгебричния сбор от моментите около центъра на тежестта на този участък на всички външни сили, действащи от едната страна на разглеждания участък.

Знаково правило за огъващи моменти M:

Диференциални зависимости на Журавски.

Между интензитета q на разпределеното натоварване, изразите за напречната сила Q и момента на огъване M се установяват диференциални зависимости:

Въз основа на тези зависимости могат да се разграничат следните общи модели на диаграми на напречни сили Q и моменти на огъване M:

Особености на диаграмите на вътрешните силови фактори при огъване.

1. На участъка на гредата, където няма разпределен товар, е представен графикът Q права , успоредна на основата на диаграмата, а диаграмата M е наклонена права линия (фиг. а).

2. В участъка, където се прилага концентрираната сила, на Q диаграмата трябва да има скок , равна на стойността на тази сила, а на диаграмата M - до точката на пречупване (фиг. а).

3. В участъка, където се прилага концентриран момент, стойността на Q не се променя, а диаграмата M има скок , равна на стойността на този момент, (фиг. 26, б).

4. В сечението на гредата с разпределено натоварване с интензитет q диаграмата Q се променя по линеен закон, а диаграмата M - по параболичен, и изпъкналостта на параболата е насочена към посоката на разпределения товар (фиг. в, г).

5. Ако в рамките на характерния участък на диаграмата Q пресича основата на диаграмата, то в участъка, където Q = 0, моментът на огъване има екстремна стойност M max или M min (фиг. d).

Нормални напрежения при огъване.

Определя се по формулата:

Моментът на съпротивление на секцията на огъване е стойността:

Опасен участъкпри огъване се нарича напречното сечение на гредата, в което възниква максималното нормално напрежение.

Тангенциални напрежения при директно огъване.

Определя се от Формулата на Журавски за напрежения на срязване при директно огъване на греда:

където S ots - статичен момент на напречната област на отсечения слой от надлъжни влакна спрямо неутралната линия.

Изчисления на якост на огъване.

1. В изчисление за проверка определя се максималното проектно напрежение, което се сравнява с допустимото напрежение:

2. В проектиране изчисление изборът на секцията на гредата се извършва от условието:

3. При определяне на допустимото натоварване допустимият момент на огъване се определя от условието:

Огъващи движения.

Под действието на натоварване на огъване оста на гредата се огъва. В този случай има разтягане на влакната върху изпъкналите и компресия - върху вдлъбнатите части на гредата. Освен това има вертикално движение на центровете на тежестта на напречните сечения и тяхното въртене спрямо неутралната ос. За характеризиране на деформацията по време на огъване се използват следните понятия:

Отклонение на лъча Y- изместване на центъра на тежестта на напречното сечение на гредата в посока, перпендикулярна на нейната ос.

Отклонението се счита за положително, ако центърът на тежестта се движи нагоре. Размерът на отклонението варира по дължината на гредата, т.е. y=y(z)

Ъгъл на завъртане на секцията- ъгълът θ, с който всяка секция се завърта спрямо първоначалното си положение. Ъгълът на въртене се счита за положителен, когато секцията се завърти обратно на часовниковата стрелка. Стойността на ъгъла на въртене варира по дължината на гредата, като е функция на θ = θ (z).

Най-често срещаният начин за определяне на преместванията е методът moraи Правилото на Верещагин.

Метод на Мор.

Процедурата за определяне на премествания по метода на Мор:

1. Изгражда се „спомагателна система“ и се натоварва с единичен товар в точката, където трябва да се определи изместването. Ако се определи линейно преместване, тогава в неговата посока се прилага единична сила; при определяне на ъглови премествания се прилага единичен момент.

2. За всеки участък от системата се записват изразите на огъващи моменти M f от приложеното натоварване и M 1 - от единичен товар.

3. Интегралите на Мор се изчисляват и сумират по всички секции на системата, което води до желаното изместване:

4. Ако изчисленото преместване има положителен знак, това означава, че неговата посока съвпада с посоката на единичната сила. Отрицателният знак показва, че действителното преместване е противоположно на посоката на единичната сила.

Правилото на Верещагин.

За случая, когато диаграмата на моментите на огъване от даден товар има произволен, а от единичен товар - праволинеен контур, е удобно да се използва графично-аналитичният метод или правилото на Верещагин.

където A f е площта на диаграмата на момента на огъване M f от даден товар; y c е ордината на диаграмата от единичен товар под центъра на тежестта на диаграмата M f ; EI x - коравина на сечението на сечението на гредата. Изчисленията по тази формула се правят на секции, на всеки от които праволинейната диаграма трябва да е без счупвания. Стойността (A f *y c) се счита за положителна, ако и двете диаграми са разположени от една и съща страна на лъча, отрицателна, ако са разположени от противоположните страни. Положителен резултат от умножението на диаграмите означава, че посоката на движение съвпада с посоката на единична сила (или момент). Сложна диаграма M f трябва да бъде разделена на прости фигури (използва се така нареченото "чисто наслояване"), за всяка от които е лесно да се определи ординатата на центъра на тежестта. В този случай площта на всяка фигура се умножава по ординатата под нейния център на тежестта.

извивамнаречена деформация на пръта, придружена от промяна в кривината на оста му. Пръчка, която се огъва, се нарича лъч.

В зависимост от методите на прилагане на натоварването и методите за фиксиране на пръта могат да възникнат различни видове огъване.

Ако възникне само огъващ момент под действието на натоварване в напречното сечение на пръта, тогава огъването се нарича чисти.

Ако в напречните сечения, заедно с огъващите моменти, възникват и напречни сили, тогава се нарича огъване напречен.

Ако външните сили лежат в равнина, минаваща през една от главните централни оси на напречното сечение на пръта, огъването се нарича простоили апартамент. В този случай натоварването и деформируемата ос лежат в една и съща равнина (фиг. 1).

Ориз. един

За да може гредата да поеме натоварването в равнината, тя трябва да бъде фиксирана с помощта на опори: шарнирно-подвижни, шарнирно-фиксирани, вграждане.

Гредата трябва да е геометрично неизменна, а най-малкият брой връзки е 3. Пример за геометрично променлива система е показан на фиг. 2а. Пример за геометрично неизменни системи е фиг. 2b, c.

а Б В)

В опорите възникват реакции, които се определят от равновесните условия на статиката. Реакциите в подпорите са външни натоварвания.

Вътрешни сили на огъване

Пръчка, натоварена със сили, перпендикулярни на надлъжната ос на гредата, изпитва плосък огъване (фиг. 3). В напречните сечения има две вътрешни сили: сила на срязване Q уи огъващ момент Мz.

Вътрешните сили се определят по метода на сечението. На разстояние х от точката НО от равнина, перпендикулярна на оста X, пръчката се разрязва на две секции. Една от частите на гредата се изхвърля. Взаимодействието на частите на гредата се заменя от вътрешни сили: огъващ момент Mzи напречна сила Q у(фиг. 4).

Домашни усилия Mzи Q ув напречното сечение се определят от условията на равновесие.

За детайла се съставя равновесно уравнение С:

∑г = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Тогава Q у = Р А – П1.

Заключение. Напречната сила във всеки участък на гредата е равна на алгебричната сума от всички външни сили, лежащи от едната страна на начертаното сечение. Напречната сила се счита за положителна, ако върти пръта по посока на часовниковата стрелка около точката на сечението.

∑М 0 = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х - а) – Mz = 0

Тогава Mz = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х – а)

1. Определение на реакциите Р А , Р Б ;

∑М А = П ∙ а – Р Б ∙ л = 0

Р Б =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Начертаване на първия участък 0 ≤ х 1 ≤ а

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Начертаване на втория участък 0 ≤ х 2 ≤ б

Q у = - Р Б = - ; Mz = Р Б ∙ х 2 ; х 2 = 0 Mz(0) = 0 х 2 = бMz(б) =

При изграждане Mz положителните координати ще бъдат нанесени към опънатите влакна.

Проверка на парцели

1. На диаграмата Q упрекъсвания могат да бъдат само на места, където се прилагат външни сили, като големината на скока трябва да съответства на тяхната величина.

+ = = П

2. На диаграмата Mzв точките на приложение на концентрираните моменти възникват прекъсвания и големината на скока е равна на тяхната величина.

Диференциални зависимости междуМ, Виq

Между момента на огъване, напречната сила и интензивността на разпределеното натоварване се установяват следните зависимости:

q = , Q у =

където q е интензитетът на разпределеното натоварване,

Проверка на здравината на гредите при огъване

За да се оцени якостта на пръта при огъване и да се избере сечението на гредата, се използват якостните условия за нормални напрежения.

Моментът на огъване е резултантният момент на нормалните вътрешни сили, разпределени върху сечението.

s = × г,

където s е нормалното напрежение във всяка точка на напречното сечение,

ге разстоянието от центъра на тежестта на секцията до точката,

Mz- огъващ момент, действащ в секцията,

Джей Зие аксиалният момент на инерция на пръта.

За да се осигури здравина, се изчисляват максималните напрежения, които възникват в точките на секцията, които са най-отдалечени от центъра на тежестта г = ymax

s max = × ymax,

= Wzи s max = .

Тогава условието за якост за нормални напрежения има формата:

s max = ≤ [s],

където [s] е допустимото напрежение на опън.

Задача. Изградете диаграми Q и M за статично неопределен лъч.Изчисляваме гредите по формулата:

н= Σ Р- У— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Лъч веднъже статично неопределен, което означава единна реакциите е "екстра" неизвестно. За "екстра" неизвестното ще вземем реакцията на поддръжката AT — Р Б.

Статично определен лъч, който се получава от дадена чрез премахване на "допълнителната" връзка, се нарича основна система. (б).

Сега тази система трябва да бъде представена еквивалентендадено. За да направите това, заредете основната система даденонатоварване и в точката AT Приложи "екстра" реакция Р Б(ориз. в).

Въпреки това, за еквивалентносттова не достатъчно, тъй като в такъв лъч точката AT може би движете се вертикално, и в даден лъч (фиг. а ) това не може да се случи. Следователно, ние добавяме състояние, Какво отклонение t. ATв основната система трябва да е равно на 0. Отклонение t. AT състои се от отклонение от действащия товар Δ Ф и от отклонение от "екстра" реакция Δ Р.

След това композираме условие за съвместимост с изместване:

Δ Ф + Δ Р=0 (1)

Сега остава да ги изчислим движения (отклонения).

Зареждане основенсистема дадено натоварване(ориз .G) и изградете карго диаграмаМ Ф (ориз. д ).

AT т. AT прилагай и изграждай еп. (ориз. таралеж ).

Чрез формулата на Симпсън, ние дефинираме отклонение на натоварването.

Сега нека дефинираме отклонение от действието на "екстра" реакция Р Б , за това зареждаме основната система Р Б (ориз. з ) и начертайте моментите от действието му Г-Н (ориз. и ).

Съставете и решете уравнение (1):

Да построим еп. В и М (ориз. до, л ).

Изграждане на диаграма В.

Да построим парцел М метод характерни точки. Подреждаме точки върху гредата - това са точките на началото и края на гредата ( Д, А ), концентриран момент ( Б ), а също така отбележете като характерна точка средата на равномерно разпределен товар ( К ) е допълнителна точка за изграждане на параболична крива.

Определете моментите на огъване в точките. Правило на знацитесм. - .

Моментът в AT ще бъдат дефинирани както следва. Първо нека дефинираме:

точка Да се нека приемем среденплощ с равномерно разпределен товар.

Изграждане на диаграма М . парцел АБ – параболична крива(правило на "чадър"), сюжет BD – права наклонена линия.

За греда, определете опорните реакции и начертайте диаграмите на моментите на огъване ( М) и срязващи сили ( В).

Ние определяме поддържаписма НО и AT и насочвайте реакциите на подкрепа Р А и Р Б .

Компилиране равновесни уравнения.

Преглед

Запишете стойностите Р А и Р Б на изчислителна схема.

2. Начертаване напречни силиметод секции. Поставяме секциите върху характерни зони(между промените). Според размерната нишка - 4 секции, 4 секции.

сек. 1-1 ход наляво.

Секцията минава през участъка с равномерно разпределен товар, обърнете внимание на размера z 1 вляво от секцията преди началото на раздела. Дължина на парцела 2м. Правило на знацитеза В - см.

Градим върху намерената стойност диаграмаВ.

сек. 2-2 се движат надясно.

Секцията отново преминава през зоната с равномерно разпределен товар, обърнете внимание на размера z 2 вдясно от раздела до началото на секцията. Дължина на парцела 6м.

Изграждане на диаграма В.

сек. 3-3 движение надясно.

сек. 4-4 движение надясно.

Ние строим диаграмаВ.

3. Строителство диаграми Мметод характерни точки.

характерна точка- точка, всяка забележима на лъча. Това са точките НО, AT, С, д , както и точката Да се , при което В=0 и огъващият момент има екстремум. също в среденконзолата постави допълнителна точка Е, тъй като в тази област при равномерно разпределено натоварване диаграмата Мописано кривлиния, и тя е построена, поне, според 3 точки.

И така, точките са поставени, пристъпваме към определяне на стойностите в тях огъващи моменти. Правило на знаците - вж..

Парцели НА, АД – параболична крива(правилото „чадър“ за механичните специалности или „правилото на платната“ за строителството), раздели DC, SW – прави наклонени линии.

Момент в даден момент д трябва да се определи както отляво, така и отдясноот точката д . Самият момент в тези изрази Изключено. В точката д получаваме двестойности от разликапо сумата м – скокдо неговия размер.

Сега трябва да определим момента в точката Да се (В=0). Първо обаче дефинираме позиция на точката Да се , обозначавайки разстоянието от него до началото на участъка с неизвестно х .

Т. Да се принадлежи второхарактерна зона, уравнение на силата на срязване(виж по-горе)

Но напречната сила в t. Да се е равно на 0 , а z 2 равно неизвестно х .

Получаваме уравнението:

Сега знаейки х, определи момента в дадена точка Да се от дясната страна.

Изграждане на диаграма М . Строителството е осъществимо за механиченспециалности, отлагайки положителните ценности нагореот нулевата линия и с помощта на правилото "чадър".

За дадена схема на конзолна греда е необходимо да се начертаят диаграмите на напречната сила Q и момента на огъване M, да се извърши проектно изчисление чрез избор на кръгъл участък.

Материал - дърво, проектна устойчивост на материала R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Има два начина за изграждане на диаграми в конзолна греда с твърдо завършване - обичайният, като предварително са определени опорните реакции и без да се определят опорните реакции, ако разгледаме секциите, минаващи от свободния край на гредата и изхвърляйки лявата страна с прекратяването. Нека да изградим диаграми обикновениначин.

1. Определете поддържащи реакции.

Равномерно разпределен товар qзамени условната сила Q= q 0,84=6,72 kN

При твърдо вграждане има три опорни реакции - вертикална, хоризонтална и моментна, в нашия случай хоризонталната реакция е 0.

Да намерим вертикалнаподдържаща реакция Р Аи референтен момент М Аот уравненията на равновесието.

В първите две секции вдясно няма напречна сила. В началото на участък с равномерно разпределен товар (вдясно) Q=0, отзад - величината на реакцията R.A.
3. За изграждане ще съставим изрази за тяхното дефиниране върху секции. Начертаваме диаграмата на моментите върху влакната, т.е. надолу.

(сюжетът на единичните моменти вече е изграден по-рано)

Решаваме уравнение (1), намаляваме с EI

Разкрита статична неопределеност, се намира стойността на "екстра" реакцията. Можете да започнете да начертавате Q и M диаграми за статично неопределен лъч... Скицираме дадената схема на лъча и посочваме стойността на реакцията Rb. В този лъч реакциите при прекратяването не могат да бъдат определени, ако отидете вдясно.

Сграда парцели Qза статично неопределен лъч

Парцел Q.

Начертаване на М

Определяме M в точката на екстремума - в точката Да се. Първо, нека дефинираме неговата позиция. Означаваме разстоянието до него като неизвестно " х". Тогава

Ние рисуваме М.

Определяне на напреженията на срязване в I-сечение. Помислете за раздела I-лъч. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

За определяне на напрежението на срязване се използва формула, където Q е напречната сила в сечението, S x 0 е статичният момент на частта от напречното сечение, разположена от едната страна на слоя, в който се определят напреженията на срязване, I x е инерционният момент на цялото напречно сечение сечение, b е ширината на сечението в мястото, където се определя напрежението на срязване

Изчислете максимумнапрежение на срязване:

Нека изчислим статичния момент за горен рафт:

Сега нека изчислим напрежения на срязване:

Ние строим диаграма на напрежението при срязване:

Изчисления за проектиране и проверка. За греда с изградени диаграми на вътрешни сили изберете сечение под формата на два канала от условието за якост по отношение на нормалните напрежения. Проверете здравината на гредата, като използвате условието за якост на срязване и критерия за енергийна якост. дадено:

Нека покажем лъч с конструирани графики Q и M

Според диаграмата на моментите на огъване опасното е раздел C,при което M C = M max = 48,3 kNm.

Състояние на сила за нормални натоварваниятъй като този лъч има формата σ max \u003d M C / W X ≤σ adm.Необходимо е да изберете секция от два канала.

Определете необходимата изчислена стойност модул на аксиално сечение:

За секция под формата на два канала, според приема два канала №20а, инерционният момент на всеки канал I x = 1670 см 4, тогава аксиален момент на съпротивление на цялата секция:

Свръхнапрежение (под напрежение)в опасни точки изчисляваме по формулата: Тогава получаваме под напрежение:

Сега нека проверим силата на лъча въз основа на якостни условия за напрежения на срязване.Според диаграма на срязващите сили опасниса секции в раздел BC и раздел D.Както може да се види от диаграмата, Q max \u003d 48,9 kN.

Условие на якост за напрежения на срязванеизглежда като:

За канал № 20 a: статичен момент на площ S x 1 = 95,9 cm 3, момент на инерция на сечение I x 1 = 1670 cm 4, дебелина на стената d 1 = 5,2 mm, средна дебелина на рафта t 1 = 9,7 мм , височина на канала h 1 = 20 см, ширина на рафта b 1 = 8 см.

За напречно секции от два канала:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 см 3,

I x \u003d 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b = 2d 1 = 2 0,52 = 1,04 cm.

Определяне на стойността максимално напрежение на срязване:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

както се вижда, τ макс<τ adm (27MPa<75МПа).

следователно, условието за здравина е изпълнено.

Проверяваме силата на лъча според енергийния критерий.

Извън внимание диаграми Q и Mследва това раздел C е опасен,в който M C =M max =48,3 kNm и Q C =Q max =48,9 kN.

Да похарчим анализ на напрегнатото състояние в точките от сечение С

Да дефинираме нормални и срязващи напреженияна няколко нива (маркирани на диаграмата на секцията)

Ниво 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Нормално и допирателна волтаж:

Основен волтаж:

Ниво 2-2: y 2-2 = h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 см.

Основни напрежения:

Ниво 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Нормални и срязващи напрежения: