Кой знае пълното число пи. Изчисляване на стойността на pi

Съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър е еднакво за всички кръгове. Това съотношение обикновено се обозначава с гръцката буква ("пи" - началната буква на гръцката дума , което означаваше „кръг“).

Архимед в работата си „Измерване на окръжност“ изчислява съотношението на обиколката към диаметъра (число) и установява, че то е между 3 10/71 и 3 1/7.

Дълго време като приблизителна стойност се използва числото 22/7, въпреки че още през 5 век в Китай е намерено приближението 355/113 = 3,1415929..., което е преоткрито в Европа едва през 16 век.

В Древна Индия се е смятало за равно на = 3,1622….

Френският математик Ф. Виете пресмята през 1579 г. с 9 цифри.

Холандският математик Лудолф Ван Зейлен през 1596 г. публикува резултата от десетгодишната си работа - числото, изчислено с 32 цифри.

Но всички тези изяснения на значението на числото бяха извършени с помощта на методи, посочени от Архимед: кръгът беше заменен с многоъгълник с нарастващ брой страни. Периметърът на вписания многоъгълник е по-малък от обиколката на окръжността, а периметърът на описания многоъгълник е по-голям. Но в същото време остава неясно дали числото е рационално, тоест съотношението на две цели числа, или ирационално.

Едва през 1767 г. немският математик И.Г. Ламбърт доказа, че числото е ирационално.

И повече от сто години по-късно, през 1882 г., друг немски математик, Ф. Линдеман, доказва неговата трансцендентност, което означава невъзможност да се построи квадрат, равен по размер на даден кръг, с помощта на пергел и линийка.

Най-простото измерване

Начертайте кръг с диаметър върху дебел картон д(=15 см), изрежете получения кръг и го увийте с тънък конец. Измерване на дължината л(=46,5 cm)един пълен оборот на конеца, разделете л на дължина на диаметъра д кръгове. Полученото частно ще бъде приблизителна стойност на числото, т.е. = л/ д= 46,5 см / 15 см = 3,1. Този доста груб метод дава при нормални условия приблизителна стойност на числото с точност до 1.

Измерване чрез претегляне

Начертайте квадрат върху парче картон. Нека напишем кръг в него. Нека изрежем квадрат. Нека определим масата на картонен квадрат с училищни везни. Нека изрежем кръг от квадрата. Да претеглим и него. Познаване на масите на квадрата м кв. (=10 g)и вписаната в него окръжност м кр (=7,8 g)нека използваме формулите

където p и ч– съответно плътност и дебелина на картона, С– площ на фигурата. Нека разгледаме равенствата:

Естествено, в този случай приблизителната стойност зависи от точността на претеглянето. Ако картонените фигури, които се претеглят, са доста големи, тогава дори на обикновени везни е възможно да се получат такива стойности на масата, които ще осигурят сближаване на числото с точност до 0,1.

Сумиране на площите на правоъгълници, вписани в полукръг

Снимка 1

Нека A (a; 0), B (b; 0). Нека опишем полуокръжността върху AB като диаметър. Разделете отсечката AB на n равни части с точки x 1, x 2, ..., x n-1 и възстановете перпендикуляри от тях до пресечната точка с полуокръжността. Дължината на всеки такъв перпендикуляр е стойността на функцията f(x)=. От фигура 1 става ясно, че площта S на полукръг може да се изчисли с помощта на формулата

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

В нашия случай b=1, a=-1. Тогава = 2 S.

Колкото повече точки на разделяне има на сегмент AB, толкова по-точни ще бъдат стойностите. За да се улесни монотонната компютърна работа, компютърът ще помогне, за който програмата 1, компилирана в BASIC, е дадена по-долу.

Програма 1

REM „Изчисляване на Пи“
REM „Правоъгълен метод“
INPUT "Въведете броя на правоъгълниците", n
dx = 1/n
ЗА i = 0 ДО n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
НАПРЕД i
p = 4 * dx * a
PRINT "Стойността на pi е ", p
КРАЙ

Програмата беше въведена и стартирана с различни стойности на параметрите н. Получените стойности на числата са записани в таблицата:

Метод Монте Карло

Това всъщност е статистически метод за тестване. Екзотичното си име получава от град Монте Карло в Княжество Монако, известен със своите игрални зали. Факт е, че методът изисква използването на произволни числа, а едно от най-простите устройства, които генерират произволни числа, е рулетката. Можете обаче да получите произволни числа, като използвате... дъжд.

За експеримента нека подготвим парче картон, начертаем квадрат върху него и впишем четвърт кръг в квадрата. Ако такава рисунка се държи известно време под дъжда, тогава на повърхността й ще останат следи от капки. Нека преброим броя на пистите вътре в квадрата и вътре в четвъртия кръг. Очевидно съотношението им ще бъде приблизително равно на съотношението на площите на тези фигури, тъй като капките ще попаднат на различни места в чертежа с еднаква вероятност. Позволявам N кр– брой капки в кръг, N кв.тогава е броят капки на квадрат

4 N cr / N кв.

Фигура 2

Дъждът може да бъде заменен с таблица със случайни числа, която се съставя с помощта на компютър с помощта на специална програма. Нека присвоим две произволни числа на всяка следа от капка, характеризираща нейната позиция по осите оИ OU. Случайни числа могат да бъдат избрани от таблицата в произволен ред, например в ред. Нека първото четирицифрено число в таблицата 3265 . От него можете да подготвите двойка числа, всяко от които е по-голямо от нула и по-малко от едно: х=0,32, у=0,65. Ще считаме тези числа за координати на падането, т.е. падането изглежда е достигнало точката (0,32; 0,65). Правим същото с всички избрани произволни числа. Ако се окаже, че за точката (x;y)Ако неравенството е в сила, тогава то е извън кръга. Ако x + y = 1, тогава точката лежи вътре в окръжността.

За да изчислим стойността, отново използваме формула (1). Грешката при изчисление при използване на този метод обикновено е пропорционална на , където D е константа, а N е броят на тестовете. В нашия случай N = N кв. От тази формула става ясно: за да намалите грешката 10 пъти (с други думи, за да получите друг правилен десетичен знак в отговора), трябва да увеличите N, т.е. количеството работа, 100 пъти. Ясно е, че използването на метода Монте Карло е станало възможно само благодарение на компютрите. Програма 2 реализира описания метод на компютър.

Програма 2

REM „Изчисляване на Пи“
REM "Метод Монте Карло"
INPUT "Въведете броя капки", n
m = 0
ЗА i = 1 ДО n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
АКО x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
НАПРЕД i
p=4*m/n

КРАЙ

Програмата беше въведена и стартирана с различни стойности на параметъра n. Получените стойности на числата са записани в таблицата:

н
н

Метод с падаща игла

Да вземем обикновена шевна игла и лист хартия. Ще начертаем няколко успоредни линии на листа, така че разстоянията между тях да са равни и да надвишават дължината на иглата. Чертежът трябва да е достатъчно голям, така че случайно хвърлена игла да не попадне извън границите му. Нека въведем следната нотация: А- разстояние между линиите, л– дължина на иглата.

Фигура 3

Позицията на произволно хвърлена върху чертежа игла (виж фиг. 3) се определя от разстоянието X от нейната среда до най-близката права линия и ъгъла j, който иглата сключва с перпендикуляра, спуснат от средата на иглата към най-близката права линия (виж Фиг. 4). Това е ясно

Фигура 4

На фиг. 5 нека представим графично функцията y=0.5cos. Всички възможни местоположения на иглата се характеризират с точки с координати (; y), разположен на секция ABCD. Защрихованата зона на AED е точките, които съответстват на случая, когато иглата пресича права линия. Вероятност за събитие а– „иглата е пресекла права линия“ – изчислява се по формулата:

Фигура 5

Вероятност п(а)може да се определи приблизително чрез многократно хвърляне на иглата. Оставете иглата да бъде хвърлена върху чертежа ° Сведнъж и стртъй като падна при пресичане на една от правите линии, а след това с достатъчно голям ° Сние имаме p(a) = p/c. Оттук = 2 l s / a k.

Коментирайте. Представеният метод е разновидност на статистическия тестов метод. Интересен е от дидактическа гледна точка, тъй като помага да се комбинира простият опит със създаването на доста сложен математически модел.

Изчисление с помощта на серия на Тейлър

Нека се обърнем към разглеждането на произволна функция f(x).Нека приемем, че за нея в момента х 0има производни на всички поръчки до нти включително. След това за функцията f(x)можем да напишем серията на Тейлър:

Изчисленията, използващи тази серия, ще бъдат по-точни, колкото повече членове на серията са включени. Разбира се, най-добре е да приложите този метод на компютър, за който можете да използвате програма 3.

Програма 3

REM „Изчисляване на Пи“
REM „Разширение на серията Тейлър“
ВХОД n
а = 1
ЗА i = 1 ДО n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
НАПРЕД i
p = 4 * a
PRINT "стойността на pi е равна"; стр
КРАЙ

Програмата беше въведена и стартирана за различни стойности на параметъра n. Получените стойности на числата са записани в таблицата:

Има много прости мнемонични правила за запомняне на значението на число:

Математичните ентусиасти по света ядат парче пай всяка година на четиринадесети март - все пак това е денят на Пи, най-известното ирационално число. Тази дата е пряко свързана с числото, чиито първи цифри са 3.14. Pi е съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. Тъй като е ирационален, е невъзможно да го напишем като дроб. Това е безкрайно дълго число. Открит е преди хиляди години и оттогава непрекъснато се изучава, но дали Пи все още има някакви тайни? От древния произход до несигурното бъдеще, ето някои от най-интересните факти за Пи.

Запаметяване на Пи

Рекордът за запомняне на десетични числа принадлежи на Rajvir Meena от Индия, който успя да запомни 70 000 цифри - той постави рекорда на 21 март 2015 г. Преди това рекордьорът беше Чао Лу от Китай, който успя да запомни 67 890 цифри - този рекорд беше поставен през 2005 г. Неофициален рекордьор е Акира Харагучи, който през 2005 г. се записва на видео, повтаряйки 100 000 цифри, а наскоро публикува видео, в което успява да запомни 117 000 цифри. Рекордът би станал официален само ако това видео е записано в присъствието на представител на Книгата на рекордите на Гинес и без потвърждение остава само впечатляващ факт, но не се счита за постижение. Математичните ентусиасти обичат да запомнят числото Пи. Много хора използват различни мнемонични техники, например поезия, където броят на буквите във всяка дума съвпада с цифрите на Пи. Всеки език има свои собствени версии на подобни фрази, които ви помагат да запомните както първите няколко числа, така и целите сто.

Има език Пи

Математиците, запалени по литературата, изобретиха диалект, в който броят на буквите във всички думи съответства на цифрите на Пи в точен ред. Писателят Майк Кийт дори написа книга Not a Wake, която е изцяло написана на Пи. Ентусиастите на такова творчество пишат произведенията си в пълно съответствие с броя на буквите и значението на числата. Това няма практическо приложение, но е доста често срещано и добре познато явление в средите на ентусиазираните учени.

Експоненциален растеж

Пи е безкрайно число, така че по дефиниция хората никога няма да могат да установят точните цифри на това число. Въпреки това, броят на десетичните знаци се е увеличил значително, откакто Pi е използвано за първи път. Вавилонците също са го използвали, но част от три цели и една осма им е достатъчна. Китайците и създателите на Стария завет са били напълно ограничени до три. До 1665 г. сър Исак Нютон е изчислил 16-те цифри на Пи. До 1719 г. френският математик Том Фанте дьо Лани е изчислил 127 цифри. Появата на компютрите радикално подобри човешките познания за Пи. От 1949 г. до 1967 г. броят на цифрите, познати на човека, скочи от 2037 до 500 000. Неотдавна Петер Труеб, учен от Швейцария, успя да изчисли 2,24 трилиона цифри на Пи! Отне 105 дни. Разбира се, това не е границата. Вероятно с развитието на технологиите ще бъде възможно да се установи още по-точна цифра - тъй като Pi е безкрайно, просто няма ограничение за точност и само техническите характеристики на компютърната технология могат да я ограничат.

Изчисляване на Pi на ръка

Ако искате сами да намерите числото, можете да използвате старомодната техника - ще ви трябва линийка, буркан и малко връв, или можете да използвате транспортир и молив. Недостатъкът на използването на кутия е, че тя трябва да е кръгла и точността ще се определя от това колко добре човек може да увие въжето около нея. Можете да начертаете кръг с транспортир, но това също изисква умения и прецизност, тъй като неравен кръг може сериозно да изкриви вашите измервания. По-точен метод включва използването на геометрия. Разделете кръга на много сегменти, като пица на парчета, и след това изчислете дължината на права линия, която ще превърне всеки сегмент в равнобедрен триъгълник. Сумата от страните ще даде приблизителното число Пи. Колкото повече сегменти използвате, толкова по-точно ще бъде числото. Разбира се, в изчисленията си няма да можете да се доближите до резултатите от компютър, но тези прости експерименти ви позволяват да разберете по-подробно какво е числото Пи и как се използва в математиката.

Откриването на Пи

Древните вавилонци са знаели за съществуването на числото Пи още преди четири хиляди години. Вавилонските таблички изчисляват Пи като 3,125, а египетски математически папирус показва числото 3,1605. В Библията Пи е дадено в остарялата дължина на лакти, а гръцкият математик Архимед използва Питагоровата теорема, геометрична връзка между дължината на страните на триъгълник и площта на фигурите вътре и извън кръговете, за описание на Пи. По този начин можем да кажем с увереност, че Пи е една от най-древните математически концепции, въпреки че точното име на това число се появи сравнително наскоро.

Нов поглед върху Пи

Дори преди числото Пи да започне да се свързва с кръгове, математиците вече са имали много начини дори да назоват това число. Например в древните учебници по математика може да се намери фраза на латински, която може да се преведе грубо като „количеството, което показва дължината, когато диаметърът се умножи по нея“. Ирационалното число стана известно, когато швейцарският учен Леонхард Ойлер го използва в работата си по тригонометрия през 1737 г. Гръцкият символ за Пи обаче все още не се използва - това се случи само в книга на по-малко известен математик Уилям Джоунс. Той го използва още през 1706 г., но остава незабелязано дълго време. С течение на времето учените възприеха това име и сега това е най-известната версия на името, въпреки че преди това се наричаше и числото на Лудолф.

Пи нормално число ли е?

Пи определено е странно число, но доколко то следва нормалните математически закони? Учените вече са разрешили много въпроси, свързани с това ирационално число, но някои мистерии остават. Например, не е известно колко често се използват всички числа - числата от 0 до 9 трябва да се използват в еднакво съотношение. Статистиката обаче може да се проследи от първите трилиони цифри, но поради факта, че числото е безкрайно, е невъзможно да се докаже нещо със сигурност. Има и други проблеми, които все още убягват на учените. Възможно е по-нататъшното развитие на науката да помогне да се хвърли светлина върху тях, но в момента това остава извън обхвата на човешкия интелект.

Пи звучи божествено

Учените не могат да отговорят на някои въпроси относно числото Пи, но всяка година разбират същността му все по-добре. Още през осемнадесети век е доказана ирационалността на това число. Освен това е доказано, че числото е трансцендентално. Това означава, че няма конкретна формула, която ви позволява да изчислите Pi с помощта на рационални числа.

Недоволство от числото Пи

Много математици просто са влюбени в Пи, но има и такива, които смятат, че тези числа не са особено значими. Освен това те твърдят, че Тау, което е два пъти по-голямо от Пи, е по-удобно да се използва като ирационално число. Tau показва връзката между обиколка и радиус, което някои смятат, че представлява по-логичен метод на изчисление. Невъзможно е обаче недвусмислено да се определи нещо по този въпрос и едното и другото число винаги ще имат поддръжници, и двата метода имат право на живот, така че това е просто интересен факт, а не причина да мислите, че не трябва използвайте числото Пи.

В продължение на много векове и дори, колкото и да е странно, хилядолетия, хората са разбирали важността и стойността за науката на математическа константа, равна на съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър. числото Пи все още е неизвестно, но най-добрите математици в нашата история са се занимавали с него. Повечето от тях искаха да го изразят като рационално число.

1. Изследователи и истински фенове на числото Пи са организирали клуб, за да се присъедините към който трябва да знаете наизуст доста голям брой от неговите знаци.

2. От 1988 г. се чества „Денят на Пи“, който се пада на 14 март. Приготвят салати, торти, бисквитки и сладкиши с неговия образ.

3. Числото Пи вече е поставено на музика и звучи доста добре. Дори му е издигнат паметник в Сиатъл, Америка, пред градския музей на изкуството.

В това далечно време те се опитаха да изчислят числото Пи с помощта на геометрията. Фактът, че това число е постоянно за голямо разнообразие от кръгове, е бил известен от геометрите в Древен Египет, Вавилон, Индия и Древна Гърция, които заявяват в своите трудове, че е само малко повече от три.

В една от свещените книги на джайнизма (древна индийска религия, възникнала през 6 век пр. н. е.) се споменава, че тогава числото Пи се е смятало за равно на корен квадратен от десет, което в крайна сметка дава 3,162... .

Древногръцките математици са измервали окръжност, като са конструирали сегмент, но за да измерят окръжност, е трябвало да построят равен квадрат, тоест фигура, равна по площ на него.

Когато десетичните дроби все още не са били известни, великият Архимед намира стойността на Пи с точност от 99,9%. Той откри метод, който стана основа за много последващи изчисления, вписвайки правилни многоъгълници в кръг и го описвайки около него. В резултат на това Архимед изчислява стойността на Pi като отношение 22 / 7 ≈ 3.142857142857143.

В Китай, математик и придворен астроном, Zu Chongzhi през 5 век пр.н.е. д. определи по-точна стойност за Pi, като я изчисли до седем знака след десетичната запетая и определи стойността й между числата 3, 1415926 и 3,1415927. Отне на учените повече от 900 години, за да продължат тази цифрова серия.

Средна възраст

Известният индийски учен Мадхава, живял в началото на 14-15 век и станал основател на училището по астрономия и математика в Керала, за първи път в историята започва да работи върху разширяването на тригонометричните функции в серии. Вярно, само две негови творби са оцелели, а за други са известни само препратки и цитати от негови ученици. Научният трактат "Махаджянаяна", който се приписва на Мадхава, гласи, че числото Пи е 3,14159265359. А в трактата „Садратнамала” е дадено число с още по-точни десетични знаци: 3.14159265358979324. В дадените числа последните цифри не отговарят на правилната стойност.

През 15 век самаркандският математик и астроном Ал-Каши изчислява числото Пи с шестнадесет знака след десетичната запетая. Неговият резултат се счита за най-точният за следващите 250 години.

У. Джонсън, математик от Англия, е един от първите, които обозначават съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър с буквата π. Пи е първата буква от гръцката дума "περιφέρεια" - кръг. Но това обозначение успя да стане общоприето едва след като беше използвано през 1736 г. от по-известния учен Л. Ойлер.

Заключение

Съвременните учени продължават да работят върху по-нататъшни изчисления на стойностите на Pi. За това вече се използват суперкомпютри. През 2011 г. учен от Shigeru Kondo, който си сътрудничи с американския студент Alexander Yi, изчисли правилно последователност от 10 трилиона цифри. Но все още не е ясно кой е открил числото Пи, кой пръв се е замислил върху този проблем и е направил първите изчисления на това наистина мистично число.

Наскоро в Хабре в една статия те споменаха въпроса „Какво би станало със света, ако числото Пи беше равно на 4?“ Реших да помисля малко по тази тема, използвайки някои (макар и не най-обширните) познания в съответните области на математиката. Ако някой се интересува, моля вижте кат.

За да си представите такъв свят, трябва математически да реализирате пространство с различно съотношение на обиколката на кръг към неговия диаметър. Това се опитах да направя.

Опит No1.

Нека кажем веднага, че ще разглеждам само двумерни пространства. Защо? Тъй като окръжността всъщност е дефинирана в двумерно пространство (ако вземем предвид размерността n>2, тогава отношението на мярката на (n-1)-мерната окръжност към нейния радиус дори няма да бъде константа) .
И така, като начало се опитах да измисля поне някакво пространство, където Pi не е равно на 3,1415... За да направя това, взех метрично пространство с метрика, в която разстоянието между две точки е равно на максимума между модулите на координатната разлика (т.е. разстоянието Чебишев).

Каква форма ще има единичната окръжност в това пространство? Нека вземем точката с координати (0,0) за център на тази окръжност. Тогава множеството от точки, разстоянието (в смисъла на дадена метрика) от които до центъра е 1, е 4 сегмента, успоредни на координатните оси, образуващи квадрат със страна 2 и център в нула.

Да, в някаква метрика това е кръг!

Нека изчислим Пи тук. Радиусът е равен на 1, тогава диаметърът, съответно, е равен на 2. Можете също така да разгледате дефиницията на диаметъра като най-голямото разстояние между две точки, но въпреки това е равно на 2. Остава да се намери дължината на нашия „кръг“ в този показател. Това е сумата от дължините на всичките четири сегмента, които в този показател имат дължина max(0,2)=2. Това означава, че обиколката е 4*2=8. Е, тогава Пи тук е равно на 8/2=4. Се случи! Но трябва ли да сме много щастливи? Този резултат е практически безполезен, тъй като въпросното пространство е абсолютно абстрактно, в него дори не са дефинирани ъгли и завои. Можете ли да си представите свят, в който ротацията всъщност не е дефинирана и където кръгът е квадрат? Опитах, честно казано, но не ми стигна въображението.

Радиусът е 1, но има някои трудности при намирането на дължината на тази „окръжност“. След известно търсене в Интернет стигнах до извода, че в псевдоевклидовото пространство такова понятие като „Пи“ изобщо не може да бъде дефинирано, което със сигурност е лошо.

Ако някой в ​​коментарите ми каже как формално да изчисля дължината на крива в псевдоевклидово пространство, ще се радвам много, защото познанията ми по диференциална геометрия, топология (както и усърдното търсене в Гугъл) не бяха достатъчни за това.

Изводи:

Не знам дали е възможно да пиша за заключенията след такива краткосрочни проучвания, но може да се каже нещо. Първо, когато се опитах да си представя пространство с различно число пи, разбрах, че би било твърде абстрактно, за да бъде модел на реалния свят. Второ, когато се опитате да излезете с по-успешен модел (подобен на нашия реален свят), се оказва, че числото Пи ще остане непроменено. Ако приемем за даденост възможността за отрицателен квадрат на разстоянието (което за обикновен човек е просто абсурдно), тогава Пи изобщо няма да бъде дефинирано! Всичко това предполага, че може би свят с различно число Пи изобщо не би могъл да съществува? Не напразно Вселената е точно такава, каквато е. Или може би това е реално, но обикновената математика, физика и човешкото въображение не са достатъчни за това. Какво мислиш?

АктуализацияРазбрах със сигурност. Дължината на крива в псевдоевклидово пространство може да бъде определена само върху някои от нейните евклидови подпространства. Тоест, по-специално, за „обиколката“, получена при опит N3, такова понятие като „дължина“ изобщо не е дефинирано. Съответно Пи не може да се изчисли и там.

На какво е равно Пи?знаем и помним от училище. Равно е на 3,1415926 и така нататък... За обикновения човек е достатъчно да знае, че това число се получава, като обиколката на кръга се раздели на диаметъра му. Но много хора знаят, че числото Пи се появява в неочаквани области не само на математиката и геометрията, но и във физиката. Е, ако се задълбочите в детайлите на природата на това число, ще забележите много изненадващи неща сред безкрайната поредица от числа. Възможно ли е Пи да крие най-дълбоките тайни на Вселената?

Безкраен брой

Самото число Пи се появява в нашия свят като дължина на окръжност, чийто диаметър е равен на единица. Но въпреки факта, че сегментът, равен на Pi, е доста краен, числото Pi започва като 3,1415926 и отива до безкрайност в редици от числа, които никога не се повтарят. Първият изненадващ факт е, че това число, използвано в геометрията, не може да бъде изразено като част от цели числа. С други думи, не можете да го напишете като съотношение на две числа a/b. Освен това числото Пи е трансцендентално. Това означава, че няма уравнение (полином) с цели коефициенти, чието решение би било числото Pi.

Фактът, че числото Пи е трансцендентално, е доказан през 1882 г. от немския математик фон Линдеман. Именно това доказателство стана отговорът на въпроса дали е възможно с помощта на компас и линийка да се начертае квадрат, чиято площ е равна на площта на даден кръг. Този проблем е известен като търсенето на квадратура на окръжност, който тревожи човечеството от древни времена. Изглежда, че този проблем има просто решение и е на път да бъде решен. Но именно непонятното свойство на числото Пи показва, че няма решение на проблема с квадратурата на окръжността.

В продължение на поне четири и половина хилядолетия човечеството се опитва да получи все по-точна стойност за Пи. Например в Библията в Трета книга на царете (7:23) числото Пи се приема за 3.

Стойността Pi със забележителна точност може да бъде намерена в пирамидите в Гиза: съотношението между периметъра и височината на пирамидите е 22/7. Тази фракция дава приблизителна стойност на Пи, равна на 3,142... Освен ако, разбира се, египтяните не са задали това съотношение случайно. Същата стойност вече е получена във връзка с изчисляването на числото Пи през 3 век пр.н.е. от великия Архимед.

В Папирус на Ахмес, древен египетски учебник по математика, който датира от 1650 г. пр.н.е., Пи се изчислява като 3,160493827.

В древни индийски текстове около 9 век пр. н. е. най-точната стойност е изразена с числото 339/108, което е равно на 3,1388...

Почти две хиляди години след Архимед хората се опитват да намерят начини да изчислят Пи. Сред тях имаше както известни, така и неизвестни математици. Например римският архитект Марк Витрувий Полион, египетският астроном Клавдий Птолемей, китайският математик Лиу Хуей, индийският мъдрец Ариабхата, средновековният математик Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи, арабският учен Ал-Хорезми, от чието име идва думата се появи „алгоритъм“. Всички те и много други хора са търсили най-точните методи за изчисляване на Пи, но до 15 век никога не са получавали повече от 10 знака след десетичната запетая поради сложността на изчисленията.

Накрая, през 1400 г. индийският математик Мадхава от Сангамаграм изчислява Пи с точност до 13 цифри (въпреки че все още греши в последните две).

Брой знаци

През 17 век Лайбниц и Нютон откриват анализа на безкрайно малките величини, което прави възможно по-прогресивното изчисляване на Пи - чрез степенни редове и интеграли. Самият Нютон изчислява 16 знака след десетичната запетая, но не го споменава в книгите си - това става известно след смъртта му. Нютон твърди, че е изчислил Пи чисто от скука.

Приблизително по същото време други по-малко известни математици също излязоха напред и предложиха нови формули за изчисляване на числото Пи чрез тригонометрични функции.

Например, това е формулата, използвана за изчисляване на Pi от учителя по астрономия Джон Мачин през 1706 г.: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Използвайки аналитични методи, Мачин извежда числото Пи с точност до сто знака след десетичната запетая от тази формула.

Между другото, през същата 1706 г. числото Пи получи официално обозначение под формата на гръцка буква: Уилям Джоунс го използва в работата си по математика, като взе първата буква от гръцката дума „периферия“, което означава „кръг“. .” Великият Леонхард Ойлер, роден през 1707 г., популяризира това наименование, което сега е известно на всеки ученик.

Преди ерата на компютрите математиците се фокусираха върху изчисляването на възможно най-много знаци. В това отношение понякога възникваха смешни неща. Математик-любител У. Шанкс изчислява 707 цифри от Пи през 1875 г. Тези седемстотин знака са увековечени на стената на Palais des Discovery в Париж през 1937 г. Девет години по-късно обаче наблюдателни математици откриват, че само първите 527 знака са правилно изчислени. Музеят трябваше да направи значителни разходи, за да коригира грешката - сега всички цифри са верни.

Когато се появиха компютрите, броят на цифрите на Пи започна да се изчислява в напълно невъобразими редове.

Един от първите електронни компютри, ENIAC, създаден през 1946 г., беше с огромни размери и генерираше толкова много топлина, че стаята се затопли до 50 градуса по Целзий, изчислени първите 2037 цифри на Пи. Това изчисление отне на машината 70 часа.

С усъвършенстването на компютрите познанията ни за Пи се придвижваха все повече и повече в безкрайността. През 1958 г. са изчислени 10 хиляди цифри от числото. През 1987 г. японците изчисляват 10 013 395 знака. През 2011 г. японският изследовател Шигеру Хондо надхвърли границата от 10 трилиона знака.

Къде другаде можете да срещнете Пи?

Така че често познанията ни за числото Пи остават на училищно ниво и със сигурност знаем, че това число е незаменимо преди всичко в геометрията.

В допълнение към формулите за дължина и площ на кръг, числото Pi се използва във формули за елипси, сфери, конуси, цилиндри, елипсоиди и т.н.: на някои места формулите са прости и лесни за запомняне, но в други съдържат много сложни интеграли.

Тогава можем да срещнем числото Пи в математически формули, където на пръв поглед геометрията не се вижда. Например неопределеният интеграл от 1/(1-x^2) е равен на Pi.

Пи често се използва в серийния анализ. Например, ето една проста серия, която се сближава с Пи:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Сред сериите Пи се появява най-неочаквано в известната дзета функция на Риман. Невъзможно е да се говори за това накратко, нека просто кажем, че някой ден числото Pi ще помогне да се намери формула за изчисляване на прости числа.

И абсолютно изненадващо: Пи се появява в две от най-красивите „кралски“ формули на математиката – формулата на Стърлинг (която помага да се намери приблизителната стойност на факториела и гама функцията) и формулата на Ойлер (която свързва до пет математически константи).

Но най-неочакваното откритие очакваше математиците в теорията на вероятностите. Числото Пи също го има.

Например вероятността две числа да бъдат относително прости е 6/PI^2.

Пи се появява в проблема за хвърляне на игла на Бюфон, формулиран през 18 век: каква е вероятността игла, хвърлена върху разчертан лист хартия, да пресече една от линиите. Ако дължината на иглата е L, а разстоянието между линиите е L и r > L, тогава можем приблизително да изчислим стойността на Pi, като използваме вероятностната формула 2L/rPI. Само си представете - можем да получим Пи от случайни събития. И между другото, Пи присъства в нормалното разпределение на вероятностите, появява се в уравнението на известната крива на Гаус. Означава ли това, че Пи е дори по-фундаментално от съотношението на обиколката към диаметъра?

Пи можем да срещнем и във физиката. Пи се появява в закона на Кулон, който описва силата на взаимодействие между два заряда, в третия закон на Кеплер, който показва периода на въртене на планетата около Слънцето, и дори се появява в подреждането на електронните орбитали на водородния атом. И отново най-невероятното е, че числото Пи се крие във формулата на принципа на несигурността на Хайзенберг – основният закон на квантовата физика.

Тайните на Пи

В романа на Карл Сейгън Контакт, по който е базиран едноименният филм, извънземни казват на героинята, че сред знаците на Пи има тайно послание от Бог. От определена позиция числата в числото престават да бъдат произволни и представляват код, в който са записани всички тайни на Вселената.

Този роман всъщност отразява мистерия, която е занимавала умовете на математиците по целия свят: дали Пи е нормално число, в което цифрите са разпръснати с еднаква честота, или има нещо нередно с това число? И въпреки че учените са склонни към първия вариант (но не могат да го докажат), числото Пи изглежда много мистериозно. Един японец веднъж изчисли колко пъти числата от 0 до 9 се срещат в първите трилиона цифри на Пи. И видях, че числата 2, 4 и 8 са по-често срещани от останалите. Това може да е един от намеците, че Пи не е съвсем нормално и числата в него наистина не са случайни.

Нека си припомним всичко, което прочетохме по-горе и се запитаме кое друго ирационално и трансцендентално число се среща толкова често в реалния свят?

И има още странности в магазина. Например сумата от първите двадесет цифри на Пи е 20, а сумата от първите 144 цифри е равна на „числото на звяра“ 666.

Главният герой на американския телевизионен сериал „Заподозрян“, професор Финч, каза на студентите, че поради безкрайността на числото Пи, в него може да се намери всяка комбинация от числа, варираща от числата на вашата дата на раждане до по-сложни числа . Например на позиция 762 има последователност от шест деветки. Тази позиция се нарича точка на Файнман на името на известния физик, който забеляза тази интересна комбинация.

Знаем също, че числото Пи съдържа последователността 0123456789, но се намира на 17 387 594 880-та цифра.

Всичко това означава, че в безкрайността на числото Пи могат да се намерят не само интересни комбинации от числа, но и кодираният текст на „Война и мир“, Библията и дори Главната тайна на Вселената, ако такава съществува.

Между другото, за Библията. Известният популяризатор на математиката Мартин Гарднър заявява през 1966 г., че милионната цифра на Пи (по това време все още неизвестна) ще бъде числото 5. Той обяснява изчисленията си с факта, че в английската версия на Библията, в 3-то книга, 14-та глава, 16 стих (3-14-16) седмата дума съдържа пет букви. Милионната цифра е достигната осем години по-късно. Беше номер пет.

Струва ли си след това да се твърди, че числото Пи е произволно?