Задача. Изградете диаграми Q и M за статично неопределен лъч.Изчисляваме гредите по формулата:

н= Σ Р- У— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Лъч веднъже статично неопределен, което означава единна реакциите е "екстра" неизвестно. За "екстра" неизвестното ще вземем реакцията на поддръжката AT — Р Б.

Статично определен лъч, който се получава от дадения чрез премахване на "допълнителната" връзка, се нарича основна система (б).

Сега тази система трябва да бъде представена еквивалентендадено. За да направите това, заредете основната система даденонатоварване и в точката AT Приложи "екстра" реакция Р Б(ориз. в).

Въпреки това, за еквивалентносттова не достатъчно, тъй като в такъв лъч точката AT може би движете се вертикално, и в даден лъч (фиг. а ) това не може да се случи. Следователно, ние добавяме състояние, Какво отклонение t. ATв основната система трябва да е равно на 0. Отклонение t. AT състои се от отклонение от действащия товар Δ Ф и от отклонение от "екстра" реакция Δ Р.

След това композираме условие за съвместимост с изместване:

Δ Ф + Δ Р=0 (1)

Сега остава да ги изчислим движения (отклонения).

Зареждане основенсистема дадено натоварване(ориз .G) и изградете карго диаграмаМ Ф (ориз. д ).

AT т. AT прилагай и изграждай еп. (ориз. таралеж ).

Чрез формулата на Симпсън, ние дефинираме отклонение на натоварването.

Сега нека дефинираме отклонение от действието на "екстра" реакция Р Б , за това зареждаме основната система Р Б (ориз. з ) и начертайте моментите от действието му Г-Н (ориз. и ).

Съставете и решете уравнение (1):

Да построим еп. В и М (ориз. до, л ).

Изграждане на диаграма В.

Да построим парцел М метод характерни точки. Подреждаме точки върху гредата - това са точките на началото и края на гредата ( Д, А ), концентриран момент ( Б ), а също така отбележете като характерна точка средата на равномерно разпределен товар ( К ) е допълнителна точка за изграждане на параболична крива.

Определете моментите на огъване в точките. Правило на знацитесм. - .

Моментът в AT ще бъдат дефинирани както следва. Първо нека дефинираме:

Точка Да се нека приемем среденплощ с равномерно разпределен товар.

Изграждане на диаграма М . парцел АБ – параболична крива(правило на "чадър"), сюжет BD – права наклонена линия.

За греда, определете опорните реакции и начертайте диаграмите на моментите на огъване ( М) и срязващи сили ( В).

1. Ние определяме поддържаписма НО и AT и насочвайте реакциите на подкрепа Р А и Р Б .

Компилиране равновесни уравнения.

Преглед

Запишете стойностите Р А и Р Б на изчислителна схема.

2. Начертаване напречни силиметод секции. Поставяме секциите върху характерни зони(между промените). Според размерната нишка - 4 секции, 4 секции.

сек. 1-1 ход наляво.

Секцията минава през участъка с равномерно разпределен товар, обърнете внимание на размера z 1 вляво от секцията преди началото на раздела. Дължина на парцела 2м. Правило на знацитеза В - см.

Градим върху намерената стойност диаграмаВ.

сек. 2-2 се движат надясно.

Секцията отново преминава през зоната с равномерно разпределен товар, обърнете внимание на размера z 2 вдясно от раздела до началото на секцията. Дължина на парцела 6м.

Изграждане на диаграма В.

сек. 3-3 движение надясно.

сек. 4-4 движение надясно.

Ние строим диаграмаВ.

3. Строителство диаграми Мметод характерни точки.

характерна точка- точка, всяка забележима на лъча. Това са точките НО, AT, С, д , както и точката Да се , при което В=0 и огъващият момент има екстремум. също в среденконзолата постави допълнителна точка Е, тъй като в тази област при равномерно разпределено натоварване диаграмата Мописано кривлиния, и тя е построена, поне, според 3 точки.

И така, точките са поставени, пристъпваме към определяне на стойностите в тях огъващи моменти. Правило на знаците - вж..

Парцели НА, АД – параболична крива(правилото „чадър“ за механичните специалности или „правилото на платната“ за строителството), раздели DC, SW – прави наклонени линии.

Момент в даден момент д трябва да се определи както отляво, така и отдясноот точката д . Самият момент в тези изрази Изключено. В точката д получаваме двестойности от разликапо сумата м – скокдо неговия размер.

Сега трябва да определим момента в точката Да се (В=0). Но първо дефинираме позиция на точката Да се , обозначавайки разстоянието от него до началото на участъка с неизвестно х .

Т. Да се принадлежи второхарактерна зона, уравнение на силата на срязване(виж по-горе)

Но напречната сила в t. Да се е равно на 0 , а z 2 равно неизвестно х .

Получаваме уравнението:

Сега знаейки х, определи момента в дадена точка Да се от дясната страна.

Изграждане на диаграма М . Строителството е осъществимо за механиченспециалности, отлагайки положителните ценности нагореот нулевата линия и с помощта на правилото "чадър".

За дадена схема на конзолна греда е необходимо да се начертаят диаграмите на напречната сила Q и момента на огъване M, да се извърши проектно изчисление чрез избор на кръгъл участък.

Материал - дърво, проектна устойчивост на материала R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Има два начина за изграждане на диаграми в конзолна греда с твърдо завършване - обичайният, като предварително са определени опорните реакции и без да се определят опорните реакции, ако разгледаме секциите, минаващи от свободния край на гредата и изхвърляйки лявата част с прекратяването. Нека да изградим диаграми обикновениначин.

1. Определете поддържащи реакции.

Равномерно разпределен товар qзамени условната сила Q= q 0,84=6,72 kN

При твърдо вграждане има три опорни реакции - вертикална, хоризонтална и моментна, в нашия случай хоризонталната реакция е 0.

Да намерим вертикалнаподдържаща реакция Р Аи референтен момент М Аот уравненията на равновесието.

В първите две секции вдясно няма напречна сила. В началото на участък с равномерно разпределен товар (вдясно) Q=0, отзад - величината на реакцията R.A.
3. За изграждане ще съставим изрази за тяхното дефиниране върху секции. Начертаваме диаграмата на моментите върху влакната, т.е. надолу.

(сюжетът на единичните моменти вече е изграден по-рано)

Решаваме уравнение (1), намаляваме с EI

Разкрита статична неопределеност, се намира стойността на "екстра" реакцията. Можете да започнете да начертавате Q и M диаграми за статично неопределен лъч... Ние скицираме дадената схема на лъча и показваме стойността на реакцията Rb. В този лъч реакциите при прекратяването не могат да бъдат определени, ако отидете вдясно.

Сграда парцели Qза статично неопределен лъч

Парцел Q.

Начертаване на М

Определяме M в точката на екстремума - в точката Да се. Първо, нека дефинираме неговата позиция. Означаваме разстоянието до него като неизвестно " х". Тогава

Ние рисуваме М.

Определяне на напреженията на срязване в I-сечение. Помислете за раздела I-лъч. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

За определяне на напрежението на срязване се използва формула, където Q е напречната сила в сечението, S x 0 е статичният момент на частта от напречното сечение, разположена от едната страна на слоя, в който се определят напреженията на срязване, I x е инерционният момент на цялото напречно сечение сечение, b е ширината на сечението в мястото, където се определя напрежението на срязване

Изчислете максимумнапрежение на срязване:

Нека изчислим статичния момент за горен рафт:

Сега нека изчислим напрежения на срязване:

Ние строим диаграма на напрежението при срязване:

Изчисления за проектиране и проверка. За греда с изградени диаграми на вътрешни сили изберете сечение под формата на два канала от условието за якост по отношение на нормалните напрежения. Проверете силата на гредата, като използвате условието за якост на срязване и критерия за енергийна якост. дадено:

Нека покажем лъч с конструирани графики Q и M

Според диаграмата на моментите на огъване опасното е раздел C,при което M C = M max = 48,3 kNm.

Състояние на сила за нормални натоварваниятъй като този лъч има формата σ max \u003d M C / W X ≤σ adm.Необходимо е да изберете секция от два канала.

Определете необходимата изчислена стойност модул на аксиално сечение:

За секция под формата на два канала, според приема два канала №20а, инерционният момент на всеки канал I x = 1670 см 4, тогава аксиален момент на съпротивление на цялата секция:

Свръхнапрежение (под напрежение)в опасни точки изчисляваме по формулата: Тогава получаваме под напрежение:

Сега нека проверим силата на лъча въз основа на якостни условия за напрежения на срязване.Според диаграма на срязващите сили опасниса секции в раздел BC и раздел D.Както може да се види от диаграмата, Q max \u003d 48,9 kN.

Условие на якост за напрежения на срязванеизглежда като:

За канал № 20 a: статичен момент на площ S x 1 = 95,9 cm 3, момент на инерция на сечение I x 1 = 1670 cm 4, дебелина на стената d 1 = 5,2 mm, средна дебелина на рафта t 1 = 9,7 мм , височина на канала h 1 = 20 см, ширина на рафта b 1 = 8 см.

За напречно секции от два канала:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 см 3,

I x \u003d 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b = 2d 1 = 2 0,52 = 1,04 cm.

Определяне на стойността максимално напрежение на срязване:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

както се вижда, τ макс<τ adm (27MPa<75МПа).

следователно, условието за здравина е изпълнено.

Проверяваме силата на лъча според енергийния критерий.

Извън внимание диаграми Q и Mследва това раздел C е опасен,в който M C =M max =48,3 kNm и Q C =Q max =48,9 kN.

Да похарчим анализ на напрегнатото състояние в точките от раздел C

Да дефинираме нормални и срязващи напреженияна няколко нива (маркирани на диаграмата на секцията)

Ниво 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Нормално и допирателна волтаж:

Основен волтаж:

Ниво 2-2: y 2-2 = h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 см.

Основни напрежения:

Ниво 3-3: y 3-3 = h 1 / 2-t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 см.

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремни напрежения на срязване:

Ниво 4-4: y 4-4 =0.

(в средата нормалните напрежения са равни на нула, тангенциалните напрежения са максимални, те са открити при изпитването за якост за тангенциални напрежения)

Основни напрежения:

Екстремни напрежения на срязване:

Ниво 5-5:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремни напрежения на срязване:

Ниво 6-6:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремни напрежения на срязване:

Ниво 7-7:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремни напрежения на срязване:

Според направените изчисления диаграми на напрежението σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max и τ minса представени на фиг.

Анализтези диаграмата показва, което е в напречното сечение на гредата опасните точки са на ниво 3-3 (или 5-5), в който:

Използвайки енергиен критерий за сила,получаваме

От сравнението на еквивалентните и допустимите напрежения следва, че условието за якост също е изпълнено

(135,3 МРа<150 МПа).

Непрекъснатият лъч се натоварва във всички участъци. Изградете диаграми Q и M за непрекъснат лъч.

1. Определете степен на статична неопределеностгреди по формулата:

n= Sop -3= 5-3 =2,където Sop - броят на неизвестните реакции, 3 - броят на уравненията на статиката. За да разрешите този лъч, той е необходим две допълнителни уравнения.

2. Означете числа поддържа с нулапо ред ( 0,1,2,3 )

3. Означете обхватни числа от първияпо ред ( т. 1, т. 2, т. 3)

4. Всеки участък се счита за обикновен лъчи изградете диаграми за всяка проста греда Q и M.Какво се отнася до обикновен лъч, ще означим с индекс „0“, което се отнася до непрекъснатолъч, ще означим без този индекс.По този начин е напречната сила и огъващият момент за обикновена греда.

При изграждане диаграми на момента на огъванеМ в строителиприети: ординати, изразяващи се в определен мащаб положителенстойности на моментите на огъване, оставете настрана разтегнатвлакна, т.е. - надолу, а отрицателен - нагореот оста на лъча. Затова те казват, че строителите изграждат диаграми върху опънати влакна. механикаНачертани са положителни стойности както на силата на срязване, така и на огъващия момент нагоре.Механиците изграждат диаграми върху компресиранвлакна.

Основни напрежения при огъване. Еквивалентни напрежения.

В общия случай на директно огъване в напречните сечения на гредата, нормалнои допирателниволтаж. Тези напрежения варират както по дължина, така и по височина на гредата.

По този начин, в случай на огъване, плоскостно напрегнато състояние.

Да разгледаме схема, при която гредата е натоварена със сила P

Най-голямото нормалновъзникват напрежения в екстремни,точки, най-отдалечени от неутралната линия, и в тях липсват срязващи напрежения.Така че за екстремнивлакна ненулеви главни напрежения са нормални напреженияв напречно сечение.

На нивото на неутралната линияв напречното сечение на гредата възникват най-големите напрежения на срязване,а нормалните напрежения са нула. означава във влакната неутраленслой главните напрежения се определят от стойностите на напреженията на срязване.

В този дизайнерски модел горните влакна на гредата ще бъдат разтегнати, а долните ще бъдат компресирани. За да определим главните напрежения, използваме добре познатия израз:

Пълен анализ на стресово състояниеприсъства на фигурата.

Анализ на напрегнатото състояние при огъване

Най-голямото главно напрежение σ 1се намира на Горна частекстремни влакна и е равно на нула на долните крайни влакна. Главно напрежение σ 3То има най-голямата абсолютна стойност на долните влакна.

Основна траектория на напрежениетозависи от вид натоварванеи начин за фиксиране на гредата.

При решаване на проблеми е достатъчно отделнопроверете нормалнои отделни напрежения на срязване.Въпреки това, понякога най-стресиращияоказва се междиненвлакна, които имат нормално и срязващо напрежение. Това се случва в участъци, където едновременно и огъващият момент, и напречната сила достигат големи стойности- това може да бъде в завършване на конзолна греда, върху опора на греда с конзола, в секции под концентрирана сила или в секции с рязко променяща се ширина. Например, в I-секция, най-опасната кръстовище на стената към рафта- има значителни и нормални и срязващи напрежения.

Материалът е в състояние на плоско напрежение и изисква тест за еквивалентно напрежение.

Условия за якост на греди, изработени от пластични материалиНа трети(теории за най-големите тангенциални напрежения) и четвърти(теория за енергията на промените във формата) теории за силата.

По правило при валцуваните греди еквивалентните напрежения не надвишават нормалните напрежения в най-външните влакна и не се изисква специална проверка. Още нещо - композитни метални греди,който по-тънка стенаотколкото при валцувани профили на същата височина. По-често се използват заварени композитни греди, изработени от стоманени листове. Изчисляване на такива греди за якост: а) избор на сечение - височина, дебелина, ширина и дебелина на хордите на гредата; б) изпитване на якост за нормални и срязващи напрежения; в) проверка на якостта чрез еквивалентни напрежения.

Определяне на напреженията на срязване в I-сечение. Помислете за раздела I-лъч. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

За определяне на напрежението на срязване се използва формула, където Q е напречната сила в сечението, S x 0 е статичният момент на частта от напречното сечение, разположена от едната страна на слоя, в който се определят напреженията на срязване, I x е инерционният момент на цялото напречно сечение сечение, b е ширината на сечението в мястото, където се определя напрежението на срязване

Изчислете максимумнапрежение на срязване:

Нека изчислим статичния момент за горен рафт:

Сега нека изчислим напрежения на срязване:

Ние строим диаграма на напрежението при срязване:

Помислете за част от стандартен профил във формуляра I-лъчи дефинирай напрежения на срязванедейства успоредно на напречната сила:

Изчисли статични моментипрости фигури:

Тази стойност също може да бъде изчислена в противен случай, като се използва фактът, че за I-лъч и сечение на корито, статичният момент на половината сечение се дава едновременно. За да направите това, е необходимо да извадите от известната стойност на статичния момент стойността на статичния момент към правата A 1 B 1:

Напреженията на срязване в кръстовището на фланеца със стената се променят спазматично, като остърдебелината на стената се променя от t stпреди б.

Графиките на тангенциалните напрежения в стените на корито, кухи правоъгълни и други сечения имат същата форма като в случая на I-секция. Формулата включва статичния момент на защрихованата част от сечението спрямо оста X, а знаменателят е ширината на сечението (нето) в слоя, където се определя напрежението на срязване.

Нека определим напреженията на срязване за кръгов участък.

Тъй като напреженията на срязване трябва да са насочени към контура на сечението допирателна към контура,след това в точките НОи ATв краищата на всяка хорда, успоредна на диаметъра AB,напреженията на срязване са насочени перпендикулярно на радиусите OAи ОВ.следователно, посокисрязващи напрежения в точки НО, VKсе сближават в някакъв момент Хпо оста Y.

Статичен момент на отрязващата част:

Тоест напреженията на срязване се променят според параболичензакон и ще бъде максимален на нивото на неутралната линия, когато y 0 =0

Формула за определяне на напреженията на срязване (формула)

Помислете за правоъгълна секция

На разстояние на 0изчертайте от централната ос раздел 1-1и определят напреженията на срязване. Статичен момент ■ площотрязана част:

Трябва да се има предвид, че фундаментално безразличен, вземете статичния момент на площта на сянка или почивканапречно сечение. И двата статични момента равни и противоположни по знак, така че те сума,което представлява статичен момент на площта на целия участъкспрямо неутралната линия, а именно централната ос x, ще бъде равна на нула.

Инерционен момент на правоъгълно сечение:

Тогава напрежения на срязванеспоред формулата

Променливата y 0 е включена във формулата по време второградуса, т.е. напреженията на срязване в правоъгълно сечение варират с законът на квадратната парабола.

Достигнато напрежение на срязване максимумна нивото на неутралната линия, т.е. кога y 0 =0:

, където A е площта на цялата секция.

Условие на якост за напрежения на срязванеизглежда като:

, където S x 0е статичният момент на частта от напречното сечение, разположена от едната страна на слоя, в която се определят напреженията на срязване, I xе инерционният момент на цялото напречно сечение, б- ширина на сечението на мястото, където се определя напрежението на срязване, В- напречна сила, τ - напрежение на срязване, [τ] — допустимо напрежение на срязване.

Това състояние на здравина прави възможно производството тритип изчисление (три вида проблеми при анализа на силата):

1. Изчисление за проверка или изпитване на якост за напрежения на срязване:

2. Избор на ширина на секцията (за правоъгълна секция):

3. Определяне на допустимата напречна сила (за правоъгълно сечение):

За определяне допирателнинапрежения, разгледайте греда, натоварена със сили.

Задачата за определяне на напреженията е винаги статично неопределении изисква участие геометричнаи физическиуравнения. Въпреки това, човек може да вземе хипотези за естеството на разпределението на стресаче задачата ще стане статично детерминиран.

Избират се две безкрайно близки напречни сечения 1-1 и 2-2 dz елемент,начертайте го в голям мащаб, след това начертайте надлъжен разрез 3-3.

В раздели 1–1 и 2–2, нормални σ 1 , σ 2 напрежения, които се определят по добре познатите формули:

където M - огъващ моментв напречно сечение dM - приращениеогъващ момент по дължина dz

Сила на срязванев секции 1–1 и 2–2 е насочена по главната централна ос Y и очевидно представлява сумата от вертикалните компоненти на вътрешните напрежения на срязване, разпределени по сечението. В силата на материалите, обикновено се взема допускането за равномерното им разпределение по ширината на секцията.

За да се определи величината на напреженията на срязване във всяка точка на напречното сечение, разположено на разстояние на 0от неутралната ос X начертайте равнина, успоредна на неутралния слой (3-3) през тази точка, и извадете отрязващия елемент. Ще определим напрежението, действащо върху сайта на ABSD.

Нека проектираме всички сили върху оста Z

Резултатът от вътрешните надлъжни сили по дясната страна ще бъде равен на:

където A 0 е площта на лицевата страна на фасадата, S x 0 е статичният момент на отрязаната част спрямо оста X. По същия начин от лявата страна:

И двата резултата насочени един към другзащото елементът е вътре компресиранзона на лъча. Тяхната разлика се балансира от тангенциални сили върху долната повърхност 3-3.

Нека се преструваме напрежения на срязване τразпределени по ширината на напречното сечение на гредата b равномерно. Това предположение е толкова по-вероятно, колкото по-малка е ширината в сравнение с височината на секцията. Тогава резултат на тангенциалните сили dTе равна на стойността на напрежението, умножена по лицевата площ:

Съставете сега уравнение на равновесие Σz=0:

или откъде

Да си припомним диференциални зависимости, според което След това получаваме формулата:

Тази формула се нарича формули. Тази формула е получена през 1855 г. Ето S x 0 - статичен момент на част от напречното сечение,разположени от едната страна на слоя, в който се определят напреженията на срязване, I x - инерционен моментцялото напречно сечение b - ширина на секциятакъдето се определя напрежението на срязване, Q - напречна силав раздел.

е условието за якост на огъване,където

- максимален момент (модуло) от диаграмата на моментите на огъване; - модул на аксиално сечение, геометричен Характеристика; - допустимо напрежение (σadm)

- максимално нормален стрес.

Ако изчислението се основава на метод на гранично състояние, то в изчислението вместо допустимото напрежение се въвежда проектна устойчивост на материала R.

Видове изчисления на якостта на огъване

1. Проверкаизчисляване или проверка на нормалната якост на напрежение

2. Проектизчисление или избор на раздел

3. Определение разрешенонатоварвания (определение товароподемности или оперативен носителвъзможности)

Когато извеждате формула за изчисляване на нормални напрежения, помислете за такъв случай на огъване, когато вътрешните сили в секциите на гредата се намаляват само до огъващ момент, а напречната сила е нула. Този случай на огъване се нарича чисто огъване. Помислете за средната част на греда, подложена на чисто огъване.

При натоварване гредата се огъва така, че тя долните влакна се удължават, а горните се скъсяват.

Тъй като част от влакната на гредата се разтягат, а част се компресират, и настъпва преходът от напрежение към компресия плавно, без скокове, в среденчаст от лъча е слой, чиито влакна се огъват само, но не изпитват нито напрежение, нито компресия.Такъв слой се нарича неутраленслой. Линията, по която неутралният слой се пресича с напречното сечение на гредата, се нарича неутрална линияили неутрална оссекции. По оста на гредата са нанизани неутрални линии. неутрална линияе линията, в която нормалните напрежения са нула.

Линиите, начертани върху страничната повърхност на гредата, перпендикулярни на оста, остават апартаментпри огъване. Тези експериментални данни позволяват да се основават извежданията на формулите хипотеза за плоски сечения (хипотеза). Според тази хипотеза секциите на гредата са плоски и перпендикулярни на оста й преди огъване, остават плоски и стават перпендикулярни на огъната ос на гредата, когато тя е огъната.

Предположения за извличане на формули за нормално напрежение: 1) Хипотезата за плоски сечения е изпълнена. 2) Надлъжните влакна не се притискат едно върху друго (хипотеза без налягане) и следователно всяко от влакната е в състояние на едноосово напрежение или компресия. 3) Деформациите на влакната не зависят от положението им по ширината на секцията. Следователно нормалните напрежения, променящи се по височината на секцията, остават същите по цялата ширина. 4) Гредата има поне една равнина на симетрия и всички външни сили лежат в тази равнина. 5) Материалът на гредата се подчинява на закона на Хук, а модулът на еластичност при опън и натиск е еднакъв. 6) Съотношенията между размерите на гредата са такива, че тя работи в условия на плоско огъване без изкривяване или усукване.

Да разгледаме лъч с произволно сечение, но с ос на симетрия. Огъващ моментпредставлява резултатен момент на вътрешни нормални силивъзникващи върху безкрайно малки площи и могат да бъдат изразени чрез интегралнаформа: (1), където y е рамото на елементарната сила спрямо оста x

Формула (1) изразява статиченстрана на проблема за огъване на прав прът, но по него според известен огъващ момент не е възможно да се определят нормалните напрежения, докато не се установи законът за тяхното разпределение.

Изберете гредите в средната секция и помислете участък с дължина dz,подложени на огъване. Нека го увеличим.

Секции, ограничаващи сечение dz, успоредни един на друг преди деформация, и след прилагане на натоварването завъртете неутралните си линии под ъгъл . Дължината на сегмента от влакната на неутралния слой няма да се промени.и ще бъде равно на: , къде е радиус на кривинаизвита ос на гредата. Но всяко друго влакно лъже отдолу или отгоренеутрален слой, ще промени дължината си. Изчислете относително удължение на влакната, разположени на разстояние y от неутралния слой.Относителното удължение е съотношението на абсолютната деформация към първоначалната дължина, тогава:

Намаляваме с и намаляваме подобни термини, тогава получаваме: (2) Тази формула изразява геометричнастрана на проблема с чистото огъване: деформациите на влакната са право пропорционални на разстоянията им от неутралния слой.

Сега да преминем към стресове, т.е. ще разгледаме физическистрана на задачата. в съответствие със предположение без наляганевлакната се използват при аксиално напрежение-компресия: тогава, като се вземе предвид формулата (2) ние имаме (3), тези. нормални напреженияпри огъване по височината на секцията се разпределят по линеен закон. Върху крайните влакна нормалните напрежения достигат максимална стойност, а в центъра на тежестта напречните сечения са равни на нула. Заместител (3) в уравнението (1) и вземем частта от знака на интеграла като постоянна стойност, тогава имаме . Но изразът е аксиален момент на инерция на сечението около оста x - I x. Неговото измерение см 4, м 4

Тогава ,където (4) , където е кривина на огъната ос на гредата, a е твърдостта на сечението на гредата по време на огъване.

Заменете получения израз кривина (4)в израз (3) и вземете формула за изчисляване на нормални напрежения във всяка точка на напречното сечение: (5)

Че. максимумвъзникват напрежения в точки, най-отдалечени от неутралната линия.Поведение (6) Наречен модул на аксиално сечение. Неговото измерение см 3, м 3. Моментът на съпротивление характеризира влиянието на формата и размерите на напречното сечение върху големината на напреженията.

Тогава максимални напрежения: (7)

Условие на якост на огъване: (8)

При напречно огъване не само нормални, но и срязващи напрежения, защото на разположение сила на срязване. Напрежения на срязване усложняват картината на деформацията, те водят до кривинанапречни сечения на гредата, в резултат на което нарушена е хипотезата за плоски сечения. Въпреки това, проучванията показват, че изкривяванията, внесени от срязващи напрежения лековлияят на нормалните напрежения, изчислени по формулата (5) . По този начин, при определяне на нормални напрежения в случай на напречно огъване теорията за чистото огъване е доста приложима.

Неутрална линия. Въпрос за позицията на неутралната линия.

При огъване няма надлъжна сила, така че можем да пишем Заменете тук формулата за нормални напрежения (3) и вземете Тъй като модулът на еластичност на материала на гредата е различен от нула и огъната ос на гредата има краен радиус на кривина, остава да приемем, че този интеграл е статичен момент на площтанапречно сечение на лъча спрямо неутралната линия-ос x , и тъй като тя е равна на нула, тогава неутралната линия минава през центъра на тежестта на участъка.

Условието (отсъствие на момента на вътрешни сили спрямо линията на полето) ще даде или като се вземе предвид (3) . По същите причини (вижте по-горе) . В интегралното число - центробежният момент на инерция на сечението около осите x и y е нула, така че тези оси са главни и централнии гримирайте правинжекция. следователно, силовите и неутралните линии в прав завой са взаимно перпендикулярни.

Чрез настройка неутрална позиция на линията, лесен за изграждане диаграма на нормалното напрежениепо височина на секцията. Тя линеенхарактерът се определя уравнение от първа степен.

Характерът на диаграмата σ за симетрични сечения по отношение на неутралната линия, M<0

Хипотезата за плоски сечения при огъванеможе да се обясни с пример: нека приложим решетка върху страничната повърхност на недеформирана греда, състояща се от надлъжни и напречни (перпендикулярни на оста) прави линии. В резултат на огъването на гредата надлъжните линии ще придобият криволинейна форма, докато напречните линии практически ще останат прави и перпендикулярни на огъната ос на гредата.

Формулиране на хипотезата за равнинно сечение: напречните сечения, които са плоски и перпендикулярни на оста на гредата преди , остават равни и перпендикулярни на извитата ос, след като тя е деформирана.

Това обстоятелство показва, че кога хипотеза за плосък разрез, както с и

В допълнение към хипотезата за плоски сечения се прави предположение: надлъжните влакна на гредата не се притискат един към друг, когато е огънат.

Наричат ​​се хипотезата на плоските сечения и предположението Предположението на Бернули.

Помислете за греда с правоъгълно напречно сечение, изпитваща чисто огъване (). Нека изберем елемент на греда с дължина (фиг. 7.8. а). В резултат на огъване напречните сечения на гредата ще се въртят, образувайки ъгъл. Горните влакна са в компресия, а долните влакна са в опън. Радиусът на кривината на неутралното влакно се обозначава с .

Условно считаме, че влакната променят дължината си, като остават прави (фиг. 7.8. б). Тогава абсолютното и относителното удължение на влакното, разположено на разстояние y от неутралното влакно:

Нека покажем, че надлъжните влакна, които не изпитват нито напрежение, нито компресия по време на огъване на гредата, преминават през основната централна ос x.

Тъй като дължината на гредата не се променя по време на огъване, надлъжната сила (N), възникваща в напречното сечение, трябва да бъде нула. Елементарна надлъжна сила.

Предвид израза :

Множителят може да бъде изваден от интегралния знак (не зависи от интегриращата променлива).

Изразът представлява напречното сечение на лъча по отношение на неутралната ос x. Тя е нула, когато неутралната ос минава през центъра на тежестта на напречното сечение. Следователно, неутралната ос (нулева линия), когато гредата е огъната, преминава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Очевидно: моментът на огъване е свързан с нормални напрежения, които възникват в точките на напречното сечение на пръта. Елементарен момент на огъване, създаден от елементарна сила:

,

където е аксиалният момент на инерция на напречното сечение около неутралната ос x, а съотношението е кривината на оста на гредата.

твърдост греди при огъване(колкото по-голям, толкова по-малък е радиусът на кривината).

Получената формула представлява Законът на Хук при огъване за пръчка: огъващият момент, възникващ в напречното сечение, е пропорционален на кривината на оста на гредата.

Изразяване от формулата на закона на Хук за прът при огъване на радиуса на кривината () и заместване на неговата стойност във формулата , получаваме формулата за нормални напрежения () в произволна точка от напречното сечение на гредата, разположена на разстояние y от неутралната ос x: .

Във формулата за нормални напрежения () в произволна точка от напречното сечение на гредата, абсолютните стойности на огъващия момент () и разстоянието от точката до неутралната ос (координати y) трябва да се заменят . Дали напрежението в дадена точка ще бъде опън или натиск е лесно да се установи от естеството на деформацията на гредата или от диаграмата на моментите на огъване, чиито ординати са нанесени от страната на компресираните влакна на гредата.

Може да се види от формулата: нормалните напрежения () се променят по височината на напречното сечение на гредата по линеен закон. На фиг. 7.8 е показан сюжетът. Най-големите напрежения по време на огъване на гредата възникват в точки, най-отдалечени от неутралната ос. Ако се начертае линия в напречното сечение на гредата, успоредна на неутралната ос x, тогава във всичките й точки възникват едни и същи нормални напрежения.

Прост анализ нормални диаграми на напрежениетопоказва, че когато лъчът е огънат, материалът, разположен близо до неутралната ос, практически не работи. Ето защо, за да се намали теглото на гредата, се препоръчва да се избират форми на напречно сечение, при които по-голямата част от материала се отстранява от неутралната ос, като например I-профил.

извивам нарича се видът на натоварване на пръта, при който към него се прилага момент, лежащ в равнина, минаваща през надлъжната ос. В напречните сечения на гредата възникват огъващи моменти. При огъване възниква деформация, при която оста на правата греда се огъва или кривината на извитата греда се променя.

Греда, която работи при огъване, се нарича лъч . Нарича се конструкция, състояща се от няколко огъващи пръта, свързани помежду си най-често под ъгъл от 90 ° кадър .

Завоят се нарича плоска или права , ако равнината на действие на товара минава през главната централна ос на инерция на сечението (фиг. 6.1).

Фиг.6.1

При плоско напречно огъване в гредата възникват два вида вътрешни сили: напречната сила Ви огъващ момент М. В рамката с плоско напречно огъване възникват три сили: надлъжни н, напречно Всили и огъващ момент М.

Ако моментът на огъване е единственият вътрешен фактор на силата, тогава такова огъване се нарича чисти (фиг.6.2). При наличие на напречна сила се нарича огъване напречен . Строго погледнато, само чистото огъване принадлежи към простите видове съпротивление; напречното огъване условно се отнася до прости видове съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) действието на напречна сила може да се пренебрегне при изчисленията на якост.

22.Плосък напречен завой. Диференциални зависимости между вътрешни сили и външно натоварване.Между огъващия момент, напречната сила и интензитета на разпределеното натоварване има диференциални зависимости, базирани на теоремата на Журавски, кръстена на руския мостов инженер Д. И. Журавски (1821-1891).

Тази теорема е формулирана по следния начин:

Напречната сила е равна на първата производна на огъващия момент по абсцисата на сечението на гредата.

23. Плосък напречен завой. Построяване на диаграми на напречни сили и огъващи моменти. Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 1

Изхвърляме дясната страна на гредата и заместваме нейното действие от лявата страна с напречна сила и огъващ момент. За удобство на изчисленията затваряме изхвърлената дясна страна на гредата с лист хартия, като подравняваме левия ръб на листа с разглеждания участък 1.

Напречната сила в участък 1 на гредата е равна на алгебричната сума от всички външни сили, които са видими след затваряне

Виждаме само низходящата реакция на подкрепата. Така напречната сила е:

kN

Взехме знака минус, защото силата завърта видимата част на лъча спрямо първия участък обратно на часовниковата стрелка (или защото е еднакво насочена с посоката на напречната сила според правилото на знаците)

Моментът на огъване в участък 1 на гредата е равен на алгебричния сбор от моментите на всички усилия, които виждаме след затваряне на изхвърлената част от гредата, спрямо разглеждания участък 1.

Виждаме две усилия: реакцията на опората и момента М. Рамото на силата обаче е почти нула. Значи моментът на огъване е:

kN m

Тук знакът плюс е взет от нас, защото външният момент M огъва видимата част на гредата с изпъкналост надолу. (или защото е противоположна на посоката на огъващия момент според правилото на знаците)

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 2

За разлика от първия участък, силата на реакцията има рамо, равно на a.

напречна сила:

kN;

огъващ момент:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 3

напречна сила:

огъващ момент:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 4

Сега по-удобно покрийте лявата страна на гредата с лист.

напречна сила:

огъващ момент:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 5

напречна сила:

огъващ момент:

Определяне на срязващи сили и огъващи моменти - раздел 1

напречна сила и огъващ момент:

.

Въз основа на намерените стойности изграждаме диаграма на напречните сили (фиг. 7.7, б) и моментите на огъване (фиг. 7.7, в).

КОНТРОЛ НА ПРАВИЛНОТО ИЗГРАЖДАНЕ НА ФИЗИКАТА

Ще проверим правилността на изграждането на диаграми според външни характеристики, като използваме правилата за изграждане на диаграми.

Проверка на графика на силата на срязване

Ние сме убедени: при ненатоварени участъци диаграмата на напречните сили върви успоредно на оста на гредата, а при разпределено натоварване q по права линия, наклонена надолу. На диаграмата на надлъжната сила има три скока: под реакция - надолу с 15 kN, под сила P - надолу с 20 kN и под реакция - нагоре с 75 kN.

Проверка на графика на огъващия момент

На диаграмата на моментите на огъване виждаме счупвания под концентрираната сила P и под опорните реакции. Ъглите на счупване са насочени към тези сили. При разпределен товар q диаграмата на моментите на огъване се променя по квадратна парабола, чиято изпъкналост е насочена към товара. В участък 6 има екстремум на диаграмата на момента на огъване, тъй като диаграмата на напречната сила на това място минава през нула.

10.1. Общи понятия и определения

извивам- това е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, преминаващи през надлъжната ос на пръта.

Пръчка, която работи при огъване, се нарича греда (или греда). В бъдеще ще разгледаме прави греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

При устойчивостта на материалите огъването е плоско, наклонено и сложно.

плосък завой- огъване, при което всички сили, огъващи гредата, лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от главните равнини).

Основните равнини на инерция на гредата са равнините, преминаващи през главните оси на напречните сечения и геометричната ос на гредата (ос x).

наклонен завой- огъване, при което товарите действат в една равнина, която не съвпада с основните равнини на инерция.

Сложен завой- огъване, при което натоварванията действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два характерни случая на огъване: в първия случай конзолната греда се огъва от концентрирания момент Mo; във втория, чрез концентрираната сила F.

Използвайки метода на умствените разрези и съставяйки уравненията на равновесието за отсечените части на гредата, ние определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

Така, в общия случай на плоско огъване в сечението на гредата, от шест вътрешни сили възникват две - огъващ момент Mz и сила на срязване Qy (или при огъване около друга основна ос - огъващият момент My и напречната сила Qz).

В този случай, в съответствие с двата разглеждани случая на натоварване, плоското огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чист завой- плоско огъване, при което в секциите на пръта възниква само една от шест вътрешни сили - огъващ момент (виж първия случай).

напречен завой- огъване, при което освен вътрешния огъващ момент в секциите на пръта възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, само чистото огъване принадлежи към простите видове съпротивление; напречното огъване условно се отнася до прости видове съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) действието на напречна сила може да се пренебрегне при изчисленията на якост.

При определяне на вътрешните сили ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Qy се счита за положителна, ако има тенденция да завърти разглеждания елемент на гредата по посока на часовниковата стрелка;

2) моментът на огъване Mz се счита за положителен, ако при огъване на елемента на гредата горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин решението на задачата за определяне на вътрешните сили по време на огъване ще бъде изградено по следния план: 1) на първия етап, като се имат предвид равновесните условия на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестните реакции на опорите (обърнете внимание, че за конзолна греда, реакциите в вграждането могат да бъдат и не се намират, ако разглеждаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерните участъци на гредата, като за граници на секциите приемаме точките на приложение на силите, точките на промяна на формата или размерите на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в секциите на гредата, като се имат предвид равновесните условия на елементите на гредата във всяка от секциите.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания на огъване, както и характерните особености на Q и M диаграмите, познаването на които ще улесни изграждането на диаграми и ще ви позволи да контролирате тяхната коректност. За улеснение на записването ще означим: M≡Mz, Q≡Qy.

Нека разпределим малък елемент dx в сечение на греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него напречни сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено се различават

ос на гредата, тогава в сеченията на елемента dx ще има напречни сили Q и Q + dQ, както и моменти на огъване M и M + dM. От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

Първото от двете написани уравнения дава условието

От второто уравнение, пренебрегвайки члена q dx (dx/2) като безкрайно малка величина от втори ред, намираме

Разглеждайки изрази (10.1) и (10.2) заедно можем да получим

Отношенията (10.1), (10.2) и (10.3) се наричат ​​диференциални зависимости на Д. И. Журавски при огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости при огъване ни позволява да установим някои особености (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и сили на срязване: а - в области, където няма разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основа, а диаграмите М са наклонени прави линии; b - в участъци, където се прилага разпределено натоварване q към гредата, Q диаграмите са ограничени от наклонени прави линии, а M диаграмите са ограничени от квадратни параболи.

В този случай, ако изградим диаграмата M „върху разтегнато влакно“, тогава изпъкналостта на параболата ще бъде насочена в посоката на действие на q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където диаграмата Q пресича основата линия; c - в участъци, където се прилага концентрирана сила към гредата, на Q диаграмата ще има скокове със стойността и в посоката на тази сила, а на M диаграмата има извивки, върхът е насочен в посока на тази сила сила; d - в участъци, където към гредата се прилага концентриран момент, няма да има промени на Q диаграмата, а на M диаграмата ще има скокове със стойността на този момент; e - в участъци, където Q>0, моментът M нараства, и в участъци, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и да изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай.

Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения при чисто огъване, но ако този проблем се реши чрез методи за устойчивост на материалите, е необходимо да се въведат някои предположения.

Има три такива хипотези за огъване:

а - хипотезата за плоските сечения (хипотезата на Бернули) - сеченията са плоски преди деформация и остават плоски след деформация, но се въртят само около определена линия, която се нарича неутрална ос на сечението на гредата. В този случай влакната на гредата, лежащи от едната страна на неутралната ос, ще бъдат разтегнати, а от другата - компресирани; влакната, лежащи върху неутралната ос, не променят дължината си;

b - хипотезата за постоянство на нормалните напрежения - напреженията, действащи на същото разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

в – хипотеза за липса на странични натиск – съседните надлъжни влакна не се притискат едно върху друго.

Статичната страна на проблема

За да определим напреженията в напречните сечения на гредата, разглеждаме преди всичко статичните страни на проблема. Прилагайки метода на менталните разрези и съставяйки уравненията на равновесието за отсечената част на гредата, намираме вътрешните сили при огъване. Както беше показано по-рано, единствената вътрешна сила, действаща в участъка на пръта с чисто огъване, е вътрешният огъващ момент, което означава, че тук ще възникнат нормални напрежения, свързани с него.

Откриваме връзката между вътрешните сили и нормалните напрежения в сечението на гредата, като разглеждаме напреженията върху елементарната площ dA, избрана в напречното сечение A на гредата в точка с координати y и z (оста y е насочена надолу за по-лесно на анализа):

Както виждаме, проблемът е вътрешно статично неопределен, тъй като естеството на разпределението на нормалните напрежения върху напречното сечение е неизвестно. За да решите проблема, помислете за геометричния модел на деформациите.

Геометричната страна на проблема

Нека разгледаме деформацията на елемент на греда с дължина dx, избран от огънат прът в произволна точка с координата x. Като се вземе предвид по-рано приетата хипотеза за плоски секции, след огъване на секцията на гредата се завъртат спрямо неутралната ос (n.r.) на ъгъл dϕ, докато влакното ab, което е на разстояние y от неутралната ос, ще се превърне в кръгова дъга a1b1 и нейната дължина ще се промени с известен размер. Тук припомняме, че дължината на влакната, лежащи върху неутралната ос, не се променя и следователно дъгата a0b0 (радиусът на кривина, който означаваме с ρ) има същата дължина като отсечката a0b0 преди деформация a0b0=dx.

Нека намерим относителната линейна деформация εx на влакното ab на извитата греда.