Raqamli ketma-ketlikni o'rnatish usullari. Raqamlar ketma-ketligi ta'rifi

Vida y= f(x), x HAQIDA N, qayerda N natural sonlar toʻplami (yoki natural argumentning funksiyasi), belgilangan y=f(n) yoki y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Qiymatlar y 1 ,y 2 ,y 3 ,… navbati bilan qatorning birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... a'zolari deyiladi.

Masalan, funksiya uchun y= n 2 yozilishi mumkin:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Ketma-ketlikni o'rnatish usullari. Ketma-ketlikni turli yo'llar bilan belgilash mumkin, ulardan uchtasi ayniqsa muhim: analitik, tavsiflovchi va takroriy.

1. Agar ketma-ketlik formulasi berilgan bo‘lsa, analitik tarzda berilgan n- a'zo:

y n=f(n).

Misol. y n= 2n- 1 – toq sonlar ketma-ketligi: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Tasviriy sonli ketma-ketlikni belgilash usuli - bu ketma-ketlik qaysi elementlardan qurilganligini tushuntiradi.

1-misol. "Tartibning barcha a'zolari 1 ga teng." Bu degani, gaplashamiz 1, 1, 1, …, 1, … statsionar ketma-ketlik haqida.

2-misol. “Tartib o‘sish tartibidagi barcha tub sonlardan iborat”. Shunday qilib, 2, 3, 5, 7, 11, ... ketma-ketligi berilgan. Ushbu misoldagi ketma-ketlikni ko'rsatishning bu usuli bilan, aytaylik, ketma-ketlikning 1000-elementi nimaga teng ekanligiga javob berish qiyin.

3. Ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli - hisoblash imkonini beruvchi qoida ko'rsatilgan. n-ketma-ketlikning oldingi a'zolari ma'lum bo'lsa. Takroriy usul nomi lotincha so'zdan olingan takrorlanadi- qaytib kelmoq. Ko'pincha, bunday hollarda ifodalashga imkon beruvchi formula ko'rsatiladi n ketma-ketlikning th a'zosini oldingilari orqali o'tkazing va ketma-ketlikning 1-2 ta boshlang'ich a'zosini belgilang.

1-misol y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 agar n = 2, 3, 4,….

Bu yerda y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Ko'rinib turibdiki, ushbu misolda olingan ketma-ketlikni analitik tarzda ham aniqlash mumkin: y n= 4n- 1.

2-misol y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 agar n = 3, 4,….

Bu yerda: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Ushbu misolda tuzilgan ketma-ketlik matematikada maxsus o'rganilgan, chunki u bir qator qiziqarli xususiyatlar va ilovalarga ega. U Fibonachchi ketma-ketligi deb ataladi - 13-asr italyan matematigi nomidan. Fibonachchi ketma-ketligini rekursiv tarzda aniqlash juda oson, ammo analitik jihatdan bu juda qiyin. n Fibonachchi soni uning tartib raqami bilan quyidagi formula bilan ifodalanadi.

Bir qarashda, formula n th Fibonachchi soni aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, chunki faqat natural sonlar ketma-ketligini ko'rsatadigan formulada kvadrat ildizlar mavjud, ammo siz ushbu formulaning dastlabki bir nechasi uchun haqiqiyligini "qo'lda" tekshirishingiz mumkin. n.

Sonli ketma-ketliklarning xossalari.

Sonli ketma-ketlik sonli funksiyaning alohida holidir, shuning uchun ketma-ketliklar uchun funksiyalarning bir qator xossalari ham ko‘rib chiqiladi.

Ta'rif . Keyingi ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa, ortish deyiladi:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Ta'rif.Sequence ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan kichik bo'lsa, kamayuvchi deyiladi:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

O'sish va kamayish ketma-ketliklarini umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar birlashtiradi.

1-misol y 1 = 1; y n= n 2 - ortib borayotgan ketma-ketlik.

Demak, quyidagi teorema rost (arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi). Raqamli ketma-ketlik arifmetik hisoblanadi, agar uning birinchi a'zosidan tashqari har bir a'zosi (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Misol. Qanday qiymatda x raqamlar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 chekli arifmetik progressiya hosil qiladi?

Xarakterli xususiyatga ko'ra, berilgan ifodalar munosabatni qondirishi kerak

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Bu tenglamani yechish beradi x= –5,5. Ushbu qiymat bilan x berilgan ifodalar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 mos ravishda -14,5 qiymatlarni oladi, –31,5, –48,5. Bu arifmetik progressiya, uning farqi -17 ga teng.

Geometrik progressiya.

Barcha a'zolari nolga teng bo'lgan va har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi a'zodan bir xil songa ko'paytirib olinadigan raqamli ketma-ketlik. q, geometrik progressiya va son deyiladi q- geometrik progressiyaning maxraji.

Demak, geometrik progressiya sonli ketma-ketlikdir ( b n) munosabatlar orqali rekursiv beriladi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Va q- berilgan raqamlar, b ≠ 0, q ≠ 0).

1-misol. 2, 6, 18, 54, ... - ortib borayotgan geometrik progressiya b = 2, q = 3.

2-misol. 2, -2, 2, -2, ... – geometrik progressiya b= 2,q= –1.

3-misol. 8, 8, 8, 8, … – geometrik progressiya b= 8, q= 1.

Geometrik progressiya ortib boruvchi ketma-ketlikdir, agar b 1 > 0, q> 1 va agar kamayadi b 1 > 0, 0q

Geometrik progressiyaning aniq xususiyatlaridan biri shundaki, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… birinchi hadi ga teng boʻlgan geometrik progressiya b 1 2 va maxraj bo'ladi q 2 .

Formula n- geometrik progressiyaning uchinchi hadi shaklga ega

b n= b 1 q n – 1 .

Cheklangan geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasini olishingiz mumkin.

Cheklangan geometrik progressiya bo'lsin

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

bo'lsin S n - uning a'zolari yig'indisi, ya'ni.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Bu qabul qilinadi q№ 1. Aniqlash S n sun'iy hiyla qo'llaniladi: ifodaning ba'zi geometrik o'zgarishlari amalga oshiriladi S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Shunday qilib, S n q= S n +b n q – b 1 va shuning uchun

Bu bilan formula umma n geometrik progressiyaning a'zolari qachon uchun q≠ 1.

Da q= 1 formulani alohida ajratib bo'lmaydi, bu holda aniq S n= a 1 n.

U geometrik progressiya deb ataladi, chunki unda birinchidan tashqari har bir had oldingi va keyingi hadlarning geometrik o'rtacha qiymatiga teng. Haqiqatan ham, beri

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

Binobarin, b n 2= b n– 1 bn+ 1 va quyidagi teorema to'g'ri (geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati):

sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb hisoblanadi, agar uning har bir hadining kvadrati, birinchisidan tashqari (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi hadlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lsa.

Ketma-ketlik chegarasi.

Ketma-ketlik bo'lsin ( c n} = {1/n}. Bu ketma-ketlik garmonik deb ataladi, chunki uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab oldingi va keyingi a'zolar orasidagi garmonik o'rtacha hisoblanadi. Raqamlarning geometrik o'rtachasi a Va b raqam bor

Aks holda, ketma-ketlik divergent deb ataladi.

Ushbu ta'rifga asoslanib, masalan, chegara mavjudligini isbotlash mumkin A=0 garmonik ketma-ketlik uchun ( c n} = {1/n). e ixtiyoriy kichik musbat son bo'lsin. Biz farqni hisobga olamiz

Shunday bormi N bu hamma uchun n≥ N tengsizlik 1 /N? sifatida qabul qilingan bo'lsa N dan katta har qanday natural son 1/ε , keyin hamma uchun n ≥ N tengsizlik 1 /n ≤ 1/N e, Q.E.D.

Muayyan ketma-ketlik uchun chegara mavjudligini isbotlash ba'zan juda qiyin. Eng keng tarqalgan ketma-ketliklar yaxshi o'rganilgan va ma'lumotnomalarda keltirilgan. Muhim teoremalar mavjud bo'lib, ular allaqachon o'rganilgan ketma-ketliklar asosida berilgan ketma-ketlikning chegarasi (va hatto uni hisoblash) haqida xulosa chiqarishga imkon beradi.

Teorema 1. Agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, u chegaralangan bo'ladi.

Teorema 2. Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo'lsa, unda uning chegarasi bor.

Teorema 3. Agar ketma-ketlik ( a n} chegarasi bor A, keyin ketma-ketliklar ( ca n}, {a n+ c) va (| a n|} chegaralari bor cA, A +c, |A| mos ravishda (bu erda c ixtiyoriy raqam).

Teorema 4. Agar ketma-ketliklar ( a n} va ( b n) ga teng chegaralarga ega A Va B pa n + qb n) chegarasi bor pA+ qB.

Teorema 5. Agar ketma-ketliklar ( a n) va ( b n) ga teng chegaralarga ega A Va B mos ravishda, keyin ketma-ketlik ( a n b n) chegarasi bor AB.

Teorema 6. Agar ketma-ketliklar ( a n} va ( b n) ga teng chegaralarga ega A Va B mos ravishda va qo'shimcha ravishda b n ≠ 0 va B≠ 0, keyin ketma-ketlik ( a n / b n) chegarasi bor A/B.

Anna Chugainova

Amaliy ish No 13

Raqamli ketma-ketliklarni turli usullar bilan o'rnatish, ketma-ketlik a'zolarini hisoblash. Ketma-ketlik chegaralarini topish va funktsiyalari

Maqsad: sonli ketma-ketlikni turli usullarda yozishni o‘rganish, ularning xossalarini tavsiflash; ketma-ketliklar va funksiyalar chegaralarini toping.

Qisqacha nazariya

n (n=1; 2; 3; 4;...) natural argumentning y=f (n) funksiyasi sonli ketma-ketlik deyiladi.

Raqamli ketma-ketlikni belgilashning quyidagi usullari mavjud:

og'zaki yo'l. Bu so'zlar bilan tasvirlangan ketma-ketlik a'zolarining joylashishi uchun naqsh yoki qoidadir.

analitik usul. Ketma-ketlik n-a'zoning formulasi bilan berilgan: y n = f(n). Ushbu formuladan foydalanib, ketma-ketlikning istalgan a'zosini topishingiz mumkin.

rekursiv usul. Har bir keyingi atama oldingi shartlar orqali topiladigan formula berilgan. Funktsiyani aniqlashning takroriy usuli bo'lsa, ketma-ketlikning bir yoki bir nechta birinchi a'zolari har doim qo'shimcha ravishda belgilanadi.

Raqamlar ketma-ketligi chaqiriladi ortib boradi, agar uning a'zolari ortib borayotgan bo'lsa (n + 1 da n) va agar a'zolari kamaysa pasayish(n+1 n uchun).

O'suvchi yoki kamayuvchi sonli ketma-ketliklar deyiladi monoton.

Chiziqning nuqtasi va musbat son bo'lsin. Interval nuqtaning qo'shnisi deb ataladi va raqam qo'shni radiusi deb ataladi.

Tartib son ortishi bilan umumiy atamasi ma'lum b soniga yaqinlashadigan sonlar qatorini ko'rib chiqaylik. n. Bunda sonlar ketma-ketligi chegaraga ega deyiladi. Ushbu kontseptsiya yanada qat'iy ta'rifga ega.

Agar b nuqtaning oldindan tanlangan qo'shnisida qandaydir sondan boshlab ketma-ketlikning barcha a'zolari bo'lsa, b soni ketma-ketlikning chegarasi (y n) deb ataladi.

Teorema 1 Agar bo'lsa, unda:

Ikki ketma-ketlikning yig'indisi/farq chegarasi, agar ikkinchisi mavjud bo'lsa, ularning har biri chegaralarining yig'indisi/farqiga teng:

Ikki ketma-ketlik ko'paytmasining chegarasi, agar omillar chegaralari mavjud bo'lsa, ularning har birining chegaralari ko'paytmasiga teng:

Ikki ketma-ketlikning nisbati chegarasi, agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa, ularning har biridan chegaralar nisbati tengdir:

Har qanday tabiiy ko'rsatkich m va har qanday koeffitsient k uchun munosabat to'g'ri bo'ladi:

Teorema 1 Agar bo'lsa, unda:

Ikki funktsiyaning yig'indisi/farqining chegarasi, agar ikkinchisi mavjud bo'lsa, ularning har birining chegaralari yig'indisi/farqiga teng:

;

Ikki funktsiya ko'paytmasining chegarasi, agar omillarning chegaralari mavjud bo'lsa, ularning har birining chegaralari ko'paytmasiga teng:

Ikki funktsiya nisbati chegarasi ularning har birining chegaralari nisbatiga teng, agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa:

Doimiy omil chegara belgisidan chiqarilishi mumkin:

Agar y=f(x) funksiyaning x ning a ga intiluvchi chegarasi funksiyaning x=a nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lsa, y=f(x) funksiya x=a nuqtada uzluksiz deyiladi.

Birinchi ajoyib chegara: .

Sinfda ishlash uchun amaliy topshiriqlar

Analitik tarzda ketma-ketlikni aniqlang va ushbu ketma-ketlikning birinchi beshta shartini toping:

a) har bir natural songa qarama-qarshi son beriladi;

b) har bir natural songa bu sonning kvadrat ildizi beriladi;

v) har bir natural songa -5 raqami beriladi;

d) har bir natural songa uning kvadratining yarmi beriladi.

2. n-chi had uchun berilgan formuladan foydalanib, ketma-ketlikning birinchi beshta hadini (y n) hisoblang:

3. Ketma-ketlik cheklanganmi?

4. Ketma-ketlik kamayib boryaptimi yoki ortib bormoqdami?

5. Radiusi r=0,5 bo‘lgan a=-3 nuqtaning qo‘shniligini interval sifatida yozing.

6. Qaysi nuqtaning qo‘shnisi va qaysi radius oraliq (2,1; 2,3).

7. Ketma-ketlik chegarasini hisoblang:

8. Hisoblang:

Mustaqil ish

Variant 1

A qism

B qismi

C qismi

7. Hisoblang:

Variant 2

A qism

B qismi

6. Ketma-ketlik chegarasini hisoblang:

C qismi

7. Hisoblang:

Variant 3

A qism

B qismi

6. Ketma-ketlik chegarasini hisoblang:

C qismi

7. Hisoblang:

Variant 4

A qism

B qismi

6. Ketma-ketlik chegarasini hisoblang:

C qismi

7. Hisoblang:

test savollari

Raqamlar ketma-ketligi nima?

Raqamlar ketma-ketligini belgilashning qanday usullari mavjud?

Qanday ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deb aytiladi?

Qaysi ketma-ketlik pastdan chegaralangan deb aytiladi?

Ko'tariluvchi ketma-ketlik nima?

Kamayuvchi ketma-ketlik nima?

Raqamlar ketma-ketligining chegarasi nima?

Ketma-ketlik chegaralarini hisoblash qoidalarini sanab o'ting.

Funktsiyalar chegaralarini hisoblash qoidalarini sanab o'ting.

Algebra. 9-sinf
№32 dars
Sana:_____________
O'qituvchi: Gorbenko Alena Sergeevna
Mavzu: Sonlar ketma-ketligi, uni o`rnatish usullari va xossalari
Dars turi: birlashtirilgan
Darsning maqsadi: sonli ketma-ketlik tushunchasi va ta'rifini berish, yo'llarini ko'rib chiqish
sonli ketma-ketliklarning topshiriqlari
Vazifalar:
Ta’limiy: o‘quvchilarni sonlar qatori va a’zo tushunchalari bilan tanishtirish
raqamli ketma-ketlik; analitik, og'zaki, takroriy va bilan tanishib chiqing
sonli ketma-ketlikni o'rnatishning grafik usullari; raqamlarning turlarini ko'rib chiqing
ketma-ketliklar; EAEAga tayyorgarlik;
Rivojlantiruvchi: matematik savodxonlik, fikrlash, hisoblash texnikasi, ko'nikmalarini rivojlantirish
formulani tanlashda taqqoslash; matematikaga qiziqish uyg'otish;
Tarbiyaviy: mustaqil faoliyat ko`nikmalarini tarbiyalash; aniqlik va
ishda tashkilotchilik; har bir talabaga muvaffaqiyatga erishishga imkon berish;
Uskunalar: O‘quv qurollari, doska, bo‘r, darslik, tarqatma materiallar.
Darslar davomida
I. Tashkiliy moment
 o'zaro salomlashish;
 Kelmaganlarni tuzatish;
 Dars mavzusini e'lon qilish;
 Talabalar tomonidan darsning maqsad va vazifalarini belgilash.
Ketma-ketlik matematikaning eng asosiy tushunchalaridan biridir. Ketma-ket mumkin
raqamlar, nuqtalar, funktsiyalar, vektorlar va boshqalardan iborat bo'lishi kerak.
Bugun darsda biz "raqamli ketma-ketlik" tushunchasi bilan tanishamiz, nima ekanligini bilib olamiz.
ketma-ketliklar bo'lishi mumkin, keling, mashhur ketma-ketliklar bilan tanishamiz.

II. Asosiy bilimlarni yangilash.
Butun son qatorida yoki uning uzluksiz qismida aniqlangan funksiyalarni bilasizmi?
III.
intervallar:
chiziqli funktsiya y \u003d kx + v,
kvadratik funktsiya y \u003d ax2 + inx + c,


 funktsiya y =



 y = |x| funksiyasi.
Yangi bilimlarni idrok etishga tayyorgarlik
to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik y \u003d kx,
teskari proportsionallik y \u003d k / x,
kub funksiyasi y = x3,
,
Ammo boshqa to'plamlarda aniqlangan funktsiyalar mavjud.
Misol. Ko'pgina oilalarda odat, marosimning bir turi bor: bolaning tug'ilgan kunida
ota-onalar uni eshik ramkasiga olib kelishadi va tug'ilgan kungi bolaning o'sishini tantanali ravishda nishonlashadi.
Bola o'sadi va yillar davomida jambda butun bir zinapoya paydo bo'ladi. Uch, besh, ikki: Bu
yildan yilga o'sish ketma-ketligi. Ammo yana bir ketma-ketlik bor, ya'ni
uning a'zolari seriflar yonida diqqat bilan yozilgan. Bu o'sish qiymatlarining ketma-ketligi.
Ikki ketma-ketlik bir-biri bilan bog'liq.
Ikkinchisi qo'shish orqali birinchisidan olinadi.
O'sish - barcha oldingi yillardagi yutuqlar yig'indisi.
Yana bir nechta masalalarni ko'rib chiqing.
Vazifa 1. Omborda 500 t ko'mir bor, har kuni 30 t. ko'mir qancha bo'ladi
1 kunda stokda? 2 kun? 3-kun? 4-kun? 5-kun?
(Talabalarning javoblari doskaga yoziladi: 500, 530, 560, 590, 620).
Vazifa 2. Intensiv o'sish davrida odam yiliga o'rtacha 5 sm ga o'sadi. Endi o'sish
talaba S.ning boʻyi 180 sm.2026-yilda uning boʻyi qancha boʻladi? (2m 30 sm). Lekin bu bo'lishi kerak emas
balki. Nega?
Vazifa 3. Har kuni gripp bilan og'rigan har bir odam boshqa 4 kishini yuqtirishi mumkin.
Bizning maktabning barcha o'quvchilari (300 kishi) necha kundan keyin kasal bo'lishadi? (4 kundan keyin).
Bu natural sonlar to'plamida aniqlangan funktsiyalarga misollar - raqamli
ketma-ketliklar.
Darsning maqsadi: Ketma-ketlikning istalgan a'zosini topish yo'llarini topish.
Darsning maqsadi: Raqamli ketma-ketlik nima ekanligini va qandayligini bilib oling
ketma-ketliklar.
IV. Yangi materialni o'rganish
Ta'rif: Sonli ketma-ketlik to'plamda aniqlangan funktsiyadir
natural sonlar (ketliklar tabiatning shunday elementlarini tashkil qiladiki
raqamlanishi mumkin).
Raqamli ketma-ketlik tushunchasi doktrina yaratilishidan ancha oldin paydo bo'lgan va rivojlangan
funktsiyalari. Bu erda ma'lum bo'lgan cheksiz sonli ketma-ketliklarga misollar keltirilgan
qadimiy buyumlar:
1, 2, 3, 4, 5, : natural sonlar ketma-ketligi;
2, 4, 6, 8, 10, : juft sonlar ketma-ketligi;
1, 3, 5, 7, 9, : toq sonlar ketma-ketligi;
1, 4, 9, 16, 25, : natural sonlar kvadratlari ketma-ketligi;
2, 3, 5, 7, 11, : tub sonlar ketma-ketligi;
,
1,
Bu qatorlarning har birining a'zolari soni cheksizdir; birinchi besh ketma-ketlik
, : natural sonlarning o‘zaro ketma-ketligi.
,
monoton ravishda ortib boradi, ikkinchisi monoton ravishda kamayadi.

Belgilanishi: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:tartib a'zosining tartib raqami.
(yn) qator, ketma-ketlikning yn a'zosi.
(an) qator, qatorning n-a’zosi.
an1 - ketma-ketlikning oldingi a'zosi,
ketma-ketlikning keyingi a'zosi +1.
Ketma-ketliklar chekli va cheksiz, ortib boruvchi va kamayuvchi.
Talabalar uchun vazifalar: Ketma-ketlikning dastlabki 5 a'zosini yozing:
Birinchi natural sondan boshlab 3 ga ortadi.
10 dan 2 marta ko'paytiriladi va 1 ga kamayadi.
6 raqamidan 2 ga o'sish va 2 marta ortish bilan almashtiring.
Bu raqamlar qatorlari sonlar ketma-ketligi deb ham ataladi.
Tartibga solish usullari:
og'zaki yo'l.
Ketma-ketlik qoidalari so'zlar bilan, formulalarsiz yoki
ketma-ketlik elementlari o'rtasida qonuniyatlar mavjud bo'lmaganda.
1-misol. tub sonlar ketma-ketligi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2-misol. Ixtiyoriy sonlar to‘plami: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Misol 3. Juft sonlar ketma-ketligi 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analitik usul.
Ketma-ketlikning istalgan n-elementini formula yordamida aniqlash mumkin.
Misol 1. Juft sonlar ketma-ketligi: y = 2n.
2-misol. Natural sonlar kvadratining ketma-ketligi: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Misol 3. Statsionar ketma-ketlik: y = C; C, C, C, ...,C, ...
Maxsus holat: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4-misol. Ketma-ketlik y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ....
rekursiv usul.
Agar ketma-ketlikning n-elementini hisoblash imkonini beruvchi qoida belgilangan
uning oldingi elementlari ma'lum.
Misol 1. Arifmetik progressiya: a1=a, an+1=an+d, bu yerda a va d sonlar berilgan, d
arifmetik progressiyaning farqi. a1=5, d=0,7, keyin arifmetik progressiya bo‘lsin
quyidagicha ko'rinadi: 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
2-misol. Geometrik progressiya: b1= b, bn+1= bnq, bunda b va q sonlar berilgan, b
0,
0; q - geometrik progressiyaning maxraji. b1=23, q=½, keyin geometrik bo'lsin
q
Progressiya quyidagicha ko'rinadi: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafik usul. Raqamli ketma-ketlik
bo'lgan grafik orqali berilgan
izolyatsiya qilingan nuqtalar. Bu nuqtalarning abstsissalari tabiiydir
raqamlar: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinatlar - a'zo qiymatlari
ketma-ketliklar: a1; a2; a3; a4;…
Misol: raqamlar qatorining barcha besh a'zosini yozing,
grafik tarzda berilgan.
Yechim.
Ushbu koordinata tekisligidagi har bir nuqta bor
koordinatalar (n; an). Belgilangan nuqtalarning koordinatalarini yozing
ko‘tariluvchi abscissa n.
Biz quyidagilarni olamiz: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Shuning uchun a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Javob: 3; bitta; 4; 6; 7.
V. O‘rganilayotgan materialni birlamchi mustahkamlash
1-misol. Ketma-ketlikning (yn) n-elementi uchun mumkin bo‘lgan formulani yozing:
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Yechim.
a) Bu toq sonlar ketma-ketligi. Analitik jihatdan, bu ketma-ketlik bo'lishi mumkin
y = 2n+1 formulasi bilan o'rnatiladi.
b) Bu keyingi element oldingisidan katta bo'lgan sonli ketma-ketlikdir
tomonidan 4. Analitik ravishda bu ketma-ketlikni y = 4n formula bilan berish mumkin.
2-misol. Takroriy berilgan ketma-ketlikning dastlabki o‘n elementini yozing: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, agar n = 3, 4, 5, 6, ... boʻlsa.
Yechim.
Ushbu ketma-ketlikning har bir keyingi elementi oldingi ikkitasining yig'indisiga teng
elementlar.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Darsni yakunlash. Reflektsiya
1. Topshiriqni bajarishda nimaga erishdingiz?
2. Ish muvofiqlashtirilganmi?
3. Sizningcha, nima ish bermadi?

2. Ikki ekstremal sondan o'rtacha olinadigan arifmetik amalni aniqlang va * belgisi o'rniga etishmayotgan raqamni qo'ying: 8

3. Talabalar etishmayotgan sonlarni topish talab qilinadigan vazifani yechdilar. Ular turlicha javob oldilar. Yigitlar katakchalarni to'ldirish qoidalarini toping. Vazifa Javob 1 Javob

Raqamli ketma-ketlikning ta'rifi Agar biron bir qonunga ko'ra ma'lum bir son (ketma-ketlik a'zosi) har qanday natural songa (o'rin raqami) yagona tarzda berilgan bo'lsa, sonli ketma-ketlik beriladi, deyiladi. Umuman olganda, bu moslikni quyidagicha ifodalash mumkin: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., yn, ... ... n ... n soni n- ketma-ketlikning a'zosi. Butun ketma-ketlik odatda (y n) bilan belgilanadi.

Raqamli ketma-ketlikni ko'rsatishning analitik usuli Agar n-a'zoning formulasi ko'rsatilgan bo'lsa, ketma-ketlik analitik tarzda aniqlanadi. Masalan, 1) yn= n 2 - ketma-ketlikning analitik spetsifikatsiyasi 1, 4, 9, 16, ... 2) yn= S - doimiy (statsionar) ketma-ketlik 2) yn= 2 n - 2-ketmaning analitik belgilanishi. , 4, 8, 16, … 585 ni yeching

Raqamli ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli shundan iboratki, ular oldingi hadlari ma'lum bo'lsa, n-chi hadni hisoblash imkonini beruvchi qoidani ko'rsatadi 1) arifmetik progressiya takroriy munosabatlar bilan beriladi ) geometrik progressiya - b 1 \ u003d b, bn + 1 \u003d bn * q

Ankraj 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Yuqori chegaralangan Ketma-ket (y n) yuqoridan chegaralangan deyiladi, agar uning barcha a'zolari ko'pi bilan bir necha son bo'lsa. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ketma-ketlik (yn) yuqoridan chegaralangan bo'lib, agar M soni mavjud bo'lsa, shundayki har qanday n uchun yn M tengsizlik bajariladi.M - ketma-ketlikning yuqori chegarasi Masalan, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Pastdan chegaralangan Ketma-ket (y n) pastdan chegaralangan deb ataladi, agar uning barcha a'zolari kamida bir necha son bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, (y n) ketma-ketlik yuqoridan chegaralanadi, agar har qanday n uchun y n m tengsizlik bajariladigan m soni mavjud bo'lsa. m - ketma-ketlikning pastki chegarasi Masalan, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ketma-ketlikning chegaralanganligi Agar ketma-ketlikning barcha a'zolari o'rtasida joylashgan ikkita A va B sonni belgilash mumkin bo'lsa, ketma-ketlik (y n) chegaralangan deb ataladi. Tengsizlik Ay n B A - pastki chegara, B - yuqori chegara Masalan, 1 - yuqori chegara, 0 - pastki chegara.

Kamayuvchi ketma-ketlik, agar uning har bir a'zosi oldingisidan kichik bo'lsa, ketma-ketlik kamayuvchi deyiladi: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Masalan, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Masalan, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Masalan,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > yn > … Masalan," title="(!LANG:Kamuvchi ketma-ketlik Har bir a'zo oldingisidan kichik bo'lsa, ketma-ketlik kamayib boruvchi deyiladi: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > yn > … Masalan,"> title="Kamayuvchi ketma-ketlik, agar uning har bir a'zosi oldingisidan kichik bo'lsa, ketma-ketlik kamayuvchi deyiladi: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Masalan,"> !} 23

Tekshirish ishi 1-variant 2-variant 1. Sonli ketma-ketlik formula bilan berilgan a) Bu ketma-ketlikning dastlabki to‘rtta hadini hisoblang b) Son qator a’zosimi? b) 12.25 soni ketma-ketlik a'zosimi? 2. 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,… qatorining uchinchi hadini tuzing.

Sonli ketma-ketlik sonli funksiyaning alohida holidir, shuning uchun ketma-ketliklar uchun funksiyalarning bir qator xossalari ham ko‘rib chiqiladi.

1. Ta'rif . Keyingi ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa, ortish deyiladi:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Ta’rif.ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan kichik bo'lsa, kamayuvchi deyiladi:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. O'suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar bilan birlashtirilgan.

Misol uchun: y 1 = 1; y n= n 2… ortib boruvchi ketma-ketlik. y 1 = 1; tushuvchi ketma-ketlikdir. y 1 = 1; - bu ketma-ketlik o'smaydigan kamayuvchi emas.

4. Ta'rif. Agar n dan boshlab yn = yn+T tengligi bajariladigan natural T soni mavjud bo'lsa, ketma-ketlik davriy deyiladi. T soni davr uzunligi deb ataladi.

5. Ketma-ketlik pastdan chegaralangan deb ataladi, agar uning barcha a'zolari hech bo'lmaganda qandaydir son bo'lsa.

6. Ketma-ket yuqoridan chegaralangan deyiladi, agar uning barcha a'zolari ko'pi bilan qandaydir son bo'lsa.

7. Agar ketma-ketlik yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan bo'lsa, chegaralangan deb ataladi, ya'ni. berilgan ketma-ketlikning barcha shartlari mutlaq qiymatda bu raqamdan oshmaydigan ijobiy son mavjud. (Lekin har ikki tomonda ham cheklangan bo'lish uning cheklanganligini anglatmaydi.)

8. Ketma-ket faqat bitta chegaraga ega bo'lishi mumkin.

9. Yuqorida chegaralangan har qanday kamaymaydigan ketma-ketlik chegaraga (lim) ega.

10. Quyida chegaralangan har qanday ortib bormaydigan ketma-ketlik chegarasiga ega.

Ketma-ketlik chegarasi qator a'zolarining ko'pchiligi yaqin joyda joylashgan nuqta (son) bo'lib, ular bu chegaraga yaqindan yaqinlashadi, lekin unga etib bormaydi.

Geometrik va arifmetik progressiyalar ketma-ketlikning maxsus hollaridir.

Tartibga solish usullari:

Ketma-ketlikni turli yo'llar bilan belgilash mumkin, ulardan uchtasi ayniqsa muhim: analitik, tavsiflovchi va takroriy.

1. Ketma-ketlik analitik tarzda beriladi, agar uning n-a’zosining formulasi berilgan bo‘lsa:

Misol. yn \u003d 2n - 1 - toq raqamlar ketma-ketligi: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Raqamli ketma-ketlikni o'rnatishning tavsiflovchi usuli - bu ketma-ketlik qaysi elementlardan qurilganligini tushuntiradi.

1-misol. "Tartibning barcha a'zolari 1 ga teng." Bu shuni anglatadiki, biz 1, 1, 1, …, 1, … statsionar ketma-ketlik haqida gapiramiz.

2-misol. “Tartib o‘sish tartibidagi barcha tub sonlardan iborat”. Shunday qilib, 2, 3, 5, 7, 11, ... ketma-ketligi berilgan. Ushbu misoldagi ketma-ketlikni ko'rsatishning bu usuli bilan, aytaylik, ketma-ketlikning 1000-elementi nimaga teng ekanligiga javob berish qiyin.

3. Ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli shundan iboratki, agar ketma-ketlikning oldingi a'zolari ma'lum bo'lsa, uning n-a'zosini hisoblash imkonini beradigan qoida ko'rsatilgan. Recurrent usul nomi lotincha recurrere - qaytish so'zidan kelib chiqqan. Ko'pincha, bunday hollarda ketma-ketlikning n-a'zosini oldingilari bilan ifodalashga imkon beradigan formula ko'rsatiladi va ketma-ketlikning 1-2 ta boshlang'ich a'zosi ko'rsatiladi.

1-misol. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, agar n = 2, 3, 4,… bo'lsa.

Bu erda y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Ko'rinib turibdiki, ushbu misolda olingan ketma-ketlikni analitik tarzda ham ko'rsatish mumkin: yn = 4n - 1.

2-misol y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 agar n = 3, 4,….

Bu yerda: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Ushbu misolda tuzilgan ketma-ketlik matematikada maxsus o'rganilgan, chunki u bir qator qiziqarli xususiyatlar va ilovalarga ega. U Fibonachchi ketma-ketligi deb ataladi - 13-asr italyan matematigi nomidan. Fibonachchi ketma-ketligini rekursiv tarzda aniqlash juda oson, ammo analitik jihatdan bu juda qiyin. n Fibonachchi soni uning tartib raqami bilan quyidagi formula bilan ifodalanadi.

Bir qarashda, formula n th Fibonachchi soni aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, chunki faqat natural sonlar ketma-ketligini ko'rsatadigan formulada kvadrat ildizlar mavjud, ammo siz ushbu formulaning dastlabki bir nechasi uchun haqiqiyligini "qo'lda" tekshirishingiz mumkin. n.

Fibonachchi tarixi:

Fibonachchi (Pizalik Leonardo), c. 1175–1250 yillar

Italiyalik matematik. Piza shahrida tug'ilgan, o'rta asrlarning oxirlarida Evropaning birinchi buyuk matematiki bo'ldi. Ishbilarmonlik aloqalarini o'rnatishning amaliy ehtiyoji uni matematikaga olib keldi. U arifmetika, algebra va boshqa matematika fanlariga oid kitoblarini nashr etgan. Musulmon matematiklaridan u Hindistonda ixtiro qilingan va arab dunyosida allaqachon qabul qilingan raqamlar tizimi haqida bilib oldi va uning ustunligiga ishonch hosil qildi (bu raqamlar zamonaviy arab raqamlarining peshqadamlari edi).

Fibonachchi nomi bilan tanilgan Pizalik Leonardo o'rta asrlarning oxirlarida Evropaning buyuk matematiklaridan birinchisi edi. Piza shahrida badavlat savdogar oilasida tug‘ilgan, u biznes aloqalarini o‘rnatish uchun faqat amaliy ehtiyoj tufayli matematikaga kirgan. Yoshligida Leonardo ko'p sayohat qilgan, otasiga xizmat safarlarida hamroh bo'lgan. Misol uchun, biz uning Vizantiya va Sitsiliyada uzoq vaqt qolishi haqida bilamiz. Bunday sayohatlarda u mahalliy olimlar bilan ko'p muloqot qildi.

Bugungi kunda uning nomi bilan atalgan raqamlar ketma-ketligi Fibonachchi 1202 yilda yozilgan Liber abacci asarida tasvirlangan quyonlar bilan bog'liq muammodan kelib chiqqan:

Bir kishi har tomondan devor bilan o'ralgan bir juft quyonni qalamga qo'ydi. Har oy ikkinchisidan boshlab, har bir juft quyondan bir juft hosil bo'lishi ma'lum bo'lsa, bu juftlik bir yilda nechta juft quyon tug'ishi mumkin?

Keyingi o'n ikki oyning har birida juftliklar soni mos ravishda 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... bo'lishiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, quyon juftlarining soni ketma-ketlikni hosil qiladi, har bir atama oldingi ikkitasining yig'indisi hisoblanadi. U Fibonachchi seriyasi sifatida tanilgan va raqamlarning o'zi Fibonachchi raqamlari. Ma'lum bo'lishicha, bu ketma-ketlik juda ko'p matematik qiziqarli xususiyatlarga ega. Mana bir misol: siz chiziqni ikkita segmentga bo'lishingiz mumkin, shunda katta va kichik segment o'rtasidagi nisbat butun chiziq va katta segment o'rtasidagi nisbatga mutanosib bo'ladi. Taxminan 1,618 ga teng bo'lgan bu mutanosiblik omili oltin nisbat sifatida tanilgan. Uyg'onish davrida me'moriy tuzilmalarda kuzatilgan bu nisbat ko'zni quvontiradi, deb ishonilgan. Agar siz Fibonachchi juftlarini ketma-ket olsangiz va har bir juftlikning katta sonini kichikroqqa bo'lsangiz, natijangiz asta-sekin oltin nisbatga yaqinlashadi.

Fibonachchi o'z ketma-ketligini kashf qilganidan beri, hatto bu ketma-ketlik muhim rol o'ynaydigan tabiiy hodisalar ham topildi. Ulardan biri fillotaksis (barglarning joylashishi) - qoidaga ko'ra, masalan, urug'lar kungaboqar gulzorida joylashgan. Ayçiçek urug'lari ikkita spiral shaklida joylashgan. Har bir spiraldagi urug'lar sonini ko'rsatadigan raqamlar ajoyib matematik ketma-ketlikning a'zolaridir. Urug'lar ikki qator spiral shaklida joylashtirilgan, ulardan biri soat yo'nalishi bo'yicha, ikkinchisi esa qarshi. Va har bir holatda urug'lar soni qancha? 34 va 55.

№1 vazifa:

Ketma-ketlikning dastlabki beshta shartini yozing.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

va n \u003d 2 n + 1/2 n

Vazifa raqami 2:

3 ga karrali natural sonlar ketma-ketligining umumiy hadi formulasini yozing.

Javob: 0,3,6,9,12,15,.... 3n va n = 3n

Vazifa raqami 3:

4 ga bo‘linganda 1 qoldig‘iga ega bo‘lgan natural sonlar ketma-ketligining umumiy hadi formulasini yozing.

Javob: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 va n = 4n+1

№ 19. Funktsiya.

Funksiya (displey, operator, transformatsiya) to‘plamlar elementlari orasidagi munosabatni aks ettiruvchi matematik tushunchadir. Aytishimiz mumkinki, funktsiya bu "qonun" bo'lib, unga ko'ra bir to'plamning har bir elementiga (ta'rif sohasi deb ataladi) boshqa to'plamning biron bir elementi (qiymatlar sohasi deb ataladi) tayinlanadi.

Funktsiya - bu bir o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligi. Boshqacha aytganda, miqdorlar o'rtasidagi munosabat.

Funktsiyaning matematik kontseptsiyasi bir miqdor boshqa miqdorning qiymatini qanday to'liq aniqlashi haqidagi intuitiv fikrni ifodalaydi. Shunday qilib, x o'zgaruvchisining qiymati ifoda qiymatini yagona tarzda aniqlaydi va oyning qiymati undan keyingi oyning qiymatini yagona tarzda belgilaydi va har qanday odamni boshqa odam - uning otasi bilan solishtirish mumkin. Xuddi shunday, ba'zi bir oldindan o'ylab topilgan algoritm, turli xil kirish ma'lumotlarini hisobga olgan holda, ma'lum bir chiqish ma'lumotlarini ishlab chiqaradi.

Ko'pincha "funktsiya" atamasi sonli funktsiyani anglatadi; ya'ni ba'zi raqamlarni boshqalar bilan yozishmalarga qo'yadigan funktsiya. Bu funksiyalar grafiklar ko'rinishidagi raqamlarda qulay tarzda ifodalanadi.

Yana bir ta'rif berish mumkin. Funktsiya o'ziga xos xususiyatdir harakat o'zgaruvchi ustidan.

Bu shuni anglatadiki, biz qiymatni olamiz, u bilan ba'zi harakatlar qilamiz (masalan, biz uning kvadratini olamiz yoki uning logarifmini hisoblaymiz) - va biz qiymatni olamiz.

Keling, funktsiyaning yana bir ta'rifini beraylik - bu darsliklarda eng ko'p uchraydi.

Funktsiya ikki to'plam o'rtasidagi muvofiqlik bo'lib, birinchi to'plamning har bir elementi ikkinchi to'plamning bitta va faqat bitta elementiga to'g'ri keladi.

Masalan, funktsiya har bir haqiqiy songa dan ikki baravar katta sonni belgilaydi.

Ayrim F.ning x oʻrniga qoʻyilgan elementlar toʻplami uning aniqlanish sohasi, ayrim F.ning y elementlari toʻplami esa qiymatlar diapazoni deb ataladi.

Muddat tarixi:

"Funksiya" atamasi (biroz tor ma'noda) birinchi marta Leybnits tomonidan qo'llanilgan (1692). O'z navbatida, Iogan Bernulli o'sha Leybnitsga yozgan maktubida bu atamani zamonaviyga yaqinroq ma'noda ishlatgan. Dastlab, funksiya tushunchasi analitik tasvir tushunchasidan ajralib turmas edi. Keyinchalik, Eyler (1751) tomonidan berilgan funktsiyaning ta'rifi paydo bo'ldi, keyin - Lacroix (1806) tomonidan - deyarli zamonaviy ko'rinishda. Va nihoyat, funktsiyaning umumiy ta'rifi (zamonaviy shaklda, lekin sonli funktsiyalar uchun) Lobachevskiy (1834) va Dirixlet (1837) tomonidan berilgan. 19-asrning oxiriga kelib, funktsiya tushunchasi raqamli tizimlar doirasini kengaytirdi. Vektor funktsiyalari buni birinchi bo'lib amalga oshirdi, Frege tez orada mantiqiy funktsiyalarni kiritdi (1879), to'plamlar nazariyasi paydo bo'lgandan keyin Dedekind (1887) va Peano (1911) zamonaviy universal ta'rifni ishlab chiqdilar.

№ 20. Funktsiyani o'rnatish usullari.

Funktsiyani aniqlashning 4 ta usuli mavjud:

1. jadvalli Yakka tartibdagi jadvalni o'rnatish juda keng tarqalgan

argument qiymatlari va ularga mos keladigan funktsiya qiymatlari. Funktsiyani aniqlashning bu usuli funksiya sohasi diskret chekli to'plam bo'lganda qo'llaniladi.

Bu f chekli to'plam bo'lganda qulay, lekin f cheksiz bo'lsa, faqat tanlangan juftliklar (x, y) ko'rsatiladi.

Funktsiyani aniqlashning jadval usuli yordamida argumentning oraliq qiymatlariga mos keladigan jadvalda mavjud bo'lmagan funktsiya qiymatlarini taxminan hisoblash mumkin. Buning uchun interpolyatsiya usulidan foydalaning.

Afzalliklar: aniqlik, tezlik, qiymatlar jadvalidan funksiyaning kerakli qiymatini topish oson. Funktsiyani belgilashning jadval usulining afzalliklari shundaki, u qo'shimcha o'lchovlar va hisob-kitoblarsiz bir vaqtning o'zida ma'lum o'ziga xos qiymatlarni aniqlash imkonini beradi.

kamchiliklari: to'liqlik, ko'rinmaslik. Ba'zi hollarda jadval funktsiyani to'liq aniqlamaydi, faqat argumentning ba'zi qiymatlari uchun va argumentning o'zgarishiga qarab funktsiyaning o'zgarishi tabiatining vizual tasvirini bermaydi.

2. analitik(formulalar). Ko'pincha, o'rtasidagi aloqani o'rnatadigan qonun

argument va funktsiya formulalar yordamida aniqlanadi. Funktsiyani aniqlashning bunday usuli analitik deb ataladi. Bu MA (matematik. tahlil) uchun eng muhim hisoblanadi, chunki MA (differensial, integral hisob) usullari bunday belgilash usulini taklif qiladi. Xuddi shu funktsiya turli formulalar bilan berilishi mumkin: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Ba'zan, ularning sohalarining turli qismlarida, aniqlanayotgan funksiya turli formulalar bilan berilishi mumkin f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Ko'pincha, funktsiyani aniqlashning ushbu usuli bilan ta'rif sohasi ko'rsatilmaydi, keyin ta'rif sohasi ta'rifning tabiiy sohasi sifatida tushuniladi, ya'ni. funktsiya haqiqiy qiymatni oladigan barcha x qiymatlar to'plami.

Bu usul x argumentining har bir son qiymatiga y funksiyaning mos keladigan son qiymatini aniq yoki ma'lum bir aniqlik bilan topish imkonini beradi.

Funksiyani aniqlashning analitik usulining alohida holi funksiyani F(x,y)=0 (1) ko‘rinishdagi tenglama bilan aniqlashdir, agar bu tenglama ∀ x∈D faqat mos keladi y, shu kabi F(x,y)=0 bo‘lsa, D dagi (1) tenglama funktsiyani bilvosita aniqlaydi, deymiz. Funktsiyani aniqlashning yana bir alohida holati parametrikdir, har bir juftlik ( x,y)∈f funksiyalar juftligi yordamida o‘rnating x=ϕ( t),y=ψ( t) qayerda t∈M.