Ko'pchilik arifmetik progressiya haqida eshitgan, ammo bu nima ekanligini hamma ham yaxshi bilmaydi. Ushbu maqolada biz tegishli ta'rifni beramiz, shuningdek, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz va bir qator misollar keltiramiz.

Matematik ta'rif

Shunday qilib, agar biz arifmetik yoki algebraik progressiya haqida gapiradigan bo'lsak (bu tushunchalar bir xil narsani aniqlaydi), demak, bu quyidagi qonunni qondiradigan qandaydir sonlar qatori mavjudligini bildiradi: qatordagi har ikki qo'shni son bir xil qiymat bilan farqlanadi. Matematik jihatdan bu shunday yozilgan:

Bu yerda n ketma-ketlikdagi a n elementining sonini, d soni esa progressiyaning farqini bildiradi (uning nomi taqdim etilgan formuladan kelib chiqadi).

d farqini bilish nimani anglatadi? Qo'shni raqamlar bir-biridan qanchalik uzoqda ekanligi haqida. Biroq, d ni bilish butun progressiyani aniqlash (tiklash) uchun zarur, ammo etarli shart emas. Siz ko'rib chiqilayotgan seriyaning mutlaqo istalgan elementi bo'lishi mumkin bo'lgan yana bitta raqamni bilishingiz kerak, masalan, 4, a10, lekin, qoida tariqasida, birinchi raqam, ya'ni 1 ishlatiladi.

Progressiya elementlarini aniqlash formulalari

Umuman olganda, yuqoridagi ma'lumotlar muayyan muammolarni hal qilishga o'tish uchun etarli. Shunga qaramay, arifmetik progressiya berilgunga qadar va uning farqini topish kerak bo'ladi, biz bir nechta foydali formulalarni keltiramiz va shu bilan muammolarni hal qilishning keyingi jarayonini osonlashtiramiz.

n sonli ketma-ketlikning istalgan elementini quyidagicha topish mumkinligini ko'rsatish oson:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Darhaqiqat, har bir kishi ushbu formulani oddiy sanab o'tish orqali tekshirishi mumkin: agar siz n = 1 ni almashtirsangiz, birinchi elementni olasiz, n = 2 ni almashtirsangiz, u holda ifoda birinchi raqam va farqning yig'indisini beradi va hokazo. .

Ko'pgina masalalarning shartlari shunday tuzilganki, raqamlari ham ketma-ketlikda berilgan ma'lum juft sonlar uchun butun sonlar qatorini tiklash kerak bo'ladi (farq va birinchi elementni toping). Endi biz bu muammoni umumiy tarzda hal qilamiz.

Deylik, bizga n va m sonli ikkita element berildi. Yuqorida olingan formuladan foydalanib, biz ikkita tenglama tizimini tuzishimiz mumkin:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Noma'lum miqdorlarni topish uchun biz bunday tizimni echishning taniqli oddiy usulidan foydalanamiz: chap va o'ng qismlarni juft-juft qilib ayirib, tenglik o'z kuchida qoladi. Bizda ... bor:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Shunday qilib, biz bitta noma'lum (a 1) ni yo'q qildik. Endi d ni aniqlash uchun yakuniy ifodani yozishimiz mumkin:

d = (a n - a m) / (n - m), bu erda n > m

Biz juda oddiy formulani oldik: muammoning shartlariga muvofiq d farqini hisoblash uchun faqat elementlarning o'zlari va ularning seriya raqamlari o'rtasidagi farqlarning nisbatini olish kerak. Bitta muhim jihatga e'tibor qaratish lozim: farqlar "katta" va "kenja" a'zolar o'rtasida olinadi, ya'ni n> m ("katta" - ketma-ketlikning boshidan uzoqroq turishni anglatadi, uning mutlaq qiymati bo'lishi mumkin. yoki ko'proq yoki kamroq "yoshroq" element).

Progressiyaning d ayirmasi ifodasi birinchi hadning qiymatini olish uchun masalani yechish boshida istalgan tenglamaga almashtirilishi kerak.

Kompyuter texnologiyalari rivojlangan asrimizda ko'plab maktab o'quvchilari Internetda o'z vazifalarini hal qilishga harakat qilishadi, shuning uchun ko'pincha bunday turdagi savollar tug'iladi: arifmetik progressiyaning farqini onlayn tarzda toping. Bunday so'rov bo'yicha qidiruv tizimi bir nechta veb-sahifalarni ko'rsatadi, ularga o'tish orqali siz shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni kiritishingiz kerak bo'ladi (bu progressiyaning ikkita a'zosi yoki ularning ba'zilarining yig'indisi bo'lishi mumkin). va darhol javob oling. Shunga qaramay, muammoni hal qilishda bunday yondashuv talabaning rivojlanishi va unga yuklangan vazifaning mohiyatini tushunish nuqtai nazaridan samarasizdir.

Formulalardan foydalanmasdan yechim

Keling, birinchi masalani hal qilaylik, shu bilan birga biz yuqoridagi formulalardan hech birini ishlatmaymiz. Qatorning elementlari berilgan bo'lsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Ma'lum elementlar ketma-ket bir-biriga yaqin joylashgan. Eng kattasini olish uchun d farqini eng kichigiga necha marta qo'shish kerak? Uch marta (birinchi marta d ni qo'shsak, biz 7-elementni olamiz, ikkinchi marta - sakkizinchi, nihoyat, uchinchi marta - to'qqizinchi). 18 ni olish uchun qaysi sonni uch marta uch marta qo'shish kerak? Bu beshinchi raqam. Haqiqatan ham:

Shunday qilib, noma'lum farq d = ​​5 ga teng.

Albatta, yechim tegishli formula yordamida amalga oshirilishi mumkin, ammo bu ataylab qilinmagan. Muammoning yechimini batafsil tushuntirish arifmetik progressiya nima ekanligini aniq va yorqin misolga aylantirishi kerak.

Oldingi vazifaga o'xshash vazifa

Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik, lekin kirish ma'lumotlarini o'zgartiring. Shunday qilib, a3 = 2, a9 = 19 ekanligini topishingiz kerak.

Albatta, siz yana "peshonada" hal qilish usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Ammo bir-biridan nisbatan uzoqroq bo'lgan ketma-ketlik elementlari berilganligi sababli, bunday usul juda qulay bo'lmaydi. Ammo natijada olingan formuladan foydalanish bizni tezda javobga olib keladi:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Bu erda biz yakuniy raqamni yaxlitladik. Ushbu yaxlitlash qanchalik xatoga olib kelganligini natijani tekshirish orqali aniqlash mumkin:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Bu natija shartda berilgan qiymatdan atigi 0,1% farq qiladi. Shuning uchun, ishlatiladigan yuzdan birgacha yaxlitlash yaxshi tanlov deb hisoblanishi mumkin.

A'zo uchun formulani qo'llash bo'yicha vazifalar

Noma'lum d ni aniqlash masalasiga klassik misolni ko'rib chiqamiz: a1 = 12, a5 = 40 bo'lsa, arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Noma'lum algebraik ketma-ketlikning ikkita raqami berilganda va ulardan biri element a 1 bo'lsa, unda siz uzoq o'ylashingiz shart emas, lekin darhol a n a'zosi uchun formulani qo'llashingiz kerak. Bunday holda bizda:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bo'lish paytida biz aniq raqamni oldik, shuning uchun oldingi xatboshida bo'lgani kabi, hisoblangan natijaning to'g'riligini tekshirish mantiqiy emas.

Keling, yana bir shunga o'xshash masalani hal qilaylik: a1 = 16, a8 = 37 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini topishimiz kerak.

Biz avvalgisiga o'xshash yondashuvdan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik progressiya haqida yana nimani bilishingiz kerak

Noma'lum ayirma yoki alohida elementlarni topish masalalaridan tashqari, ko'pincha ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisiga doir masalalarni yechish kerak bo'ladi. Ushbu muammolarni ko'rib chiqish maqola mavzusi doirasidan tashqarida, ammo ma'lumotlarning to'liqligi uchun biz seriyaning n soni yig'indisi uchun umumiy formulani taqdim etamiz:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Misol uchun:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Biz qancha son yozmaylik, ularning qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligini va shunga o'xshash oxirgisini aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamli ketma-ketlik
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam faqat bitta tartib raqamiga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli son qatorning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik mavjud.
Misol uchun:

va hokazo.
Bunday sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi.
“Progressiya” atamasi 6-asrdayoq Rim muallifi Boethius tomonidan kiritilgan va kengroq maʼnoda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu har bir a'zosi oldingisiga teng bo'lgan, bir xil raqam bilan qo'shilgan sonli ketma-ketlikdir. Bu son arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi va belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Javoblarimizni solishtiring:
Bu an arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning th a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya sonining oldingi qiymatiga progressiyaning uchinchi hadiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning --chi a'zosi ga teng.

2. Yo'l

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Xulosa qilish bizni bir soatdan ko'proq vaqt talab qilgan bo'lardi va raqamlarni qo'shishda xato qilmaganimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishdi. Chizilgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning --chi a'zosining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Ushbu arifmetik progressiya a'zosining qiymatini shu tarzda mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Yozuvlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya a'zolarini ketma-ket qo'shganda oldingi usuldagi kabi raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortib boradi yoki kamayadi.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Misol uchun:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Misol uchun:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'suvchi va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyani kamaytirishda ham, oshirishda ham ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning --chi va --chi a'zolarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, vazifani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Bu oson, deysiz va siz allaqachon bilgan formula bo'yicha hisoblashni boshlaysiz:

Keling, a, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formula yordamida bu masalani bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz hozir uni chiqarishga harakat qilamiz.

Biz arifmetik progressiyaning kerakli atamasini shunday belgilaymiz, biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olingan formuladir:
, keyin:

• progressiyaning oldingi a'zosi:
• progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini jamlaymiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a’zolari yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya a’zosining qiymatidan ikki barobarga teng. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni tuzatamiz. Progressiya qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu umuman qiyin emas.

Barakalla! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gauss o'zi uchun osonlikcha xulosa qilgan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, o'qituvchi boshqa sinf o'quvchilarining ishini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, darsda quyidagi vazifani qo'ydi: "Barcha natural sonlarning yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang. " Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchini ajablantiradigan narsa bo'lsa, jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natija olishdi ...

Yosh Karl Gauss siz osongina sezishingiz mumkin bo'lgan naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda -ti a'zolaridan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin Gauss izlayotganidek, topshiriqda uning shartlari yig'indisini topish kerak bo'lsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi javob bering, bizga berilgan progressiyada shunday juftliklar nechta bo'ladi? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftliklarga asoslanib, biz umumiy yig'indiga teng ekanligini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasida th a'zosining formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Barakalla! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingiz hisoblab ko'ring --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va --dan boshlanadigan sonlar yig'indisi.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan kuchli va asosiy bilan foydalanganlar.
Misol uchun, Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish maydonchasi - piramida qurilishini tasavvur qiling ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda deysiz? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devor qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirib hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, jarayon quyidagicha ko'rinadi:
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda ham hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Bu rozi bo'ldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning uchinchi hadlari yig'indisini o'zlashtirib oldingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin undanmi? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

1. Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta cho'kadi.
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda yog'och ishlab chiqaruvchilar ularni shunday qilib yig'adilarki, har bir yuqori qatlam oldingisiga qaraganda bitta kamroq logni o'z ichiga oladi. Agar toshning asosi loglar bo'lsa, bitta devorda qancha log bor.

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta chayqalishi kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiya farqi.
   Toq sonlar soni - yarmida, ammo bu faktni arifmetik progressiyaning --chi a'zosini topish formulasi yordamida tekshiring:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Biz mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlar yig'indisi ga teng.

3. Piramidalar haqidagi muammoni eslang. Bizning holatlarimiz uchun a , har bir yuqori qatlam bir jurnalga qisqartirilganligi sababli, faqat bir guruh qatlamlar mavjud, ya'ni.
   Formuladagi ma'lumotlarni almashtiring:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Xulosa qilish

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik. U ortib bormoqda va kamaymoqda.
2. Formulani topish arifmetik progressiyaning th a'zosi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda - progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamli ketma-ketlik

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Misol uchun:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim ulardan qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va hokazo, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamli ketma-ketlik raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va faqat bitta. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli son qatorning --chi a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,), va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi - bu a'zoning soniga teng indeksli bir xil harf: .

Ketma-ketlikning --chi a'zosi qandaydir formula bilan berilishi juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng va farq). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda --chi atamani bilish uchun oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, keling. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir satrda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi a'zo teng. Va qanday farq bor? Va mana nima:

(Axir u progressiyaning ketma-ket a'zolari ayirmasiga teng bo'lgani uchun farq deyiladi).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi had:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nimaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonning yig'indisi bir xil ekanligini, oxiridan uchinchi va uchinchi sonning yig'indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisining umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali karralilarning yig‘indisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingisiga raqam qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va farq bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning uchinchi hadi formulasi:

Progressiyada nechta had bor, agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda 1 m ko'proq yuguradi. Agar birinchi kuni km m ga yugursa, u haftada necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq mil yuradi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o‘tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatning oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda kamayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tan olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kunlar). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan:, topish kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni -chi had formulasi yordamida hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan: . Topmoq: .
   Bu osonlashmaydi:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlikdir.

Arifmetik progressiya ortib bormoqda () va kamaymoqda ().

Misol uchun:

Arifmetik progressiyaning n-azosini topish formulasi

formula sifatida yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning a'zosini topishni osonlashtiradi, agar uning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa - progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi

Yig'indini topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

“Arifmetik progressiya” mavzusi maktablarda 9-sinfda algebra fanining umumiy kursida o‘rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan odatiy vazifalar bilan tanishamiz.

Algebraik progressiya haqida tushuncha

Raqamli progressiya - bu qandaydir matematik qonun qo'llanilsa, har bir keyingi element oldingi elementdan olinishi mumkin bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham ataladi. Keling, bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz.

Ba'zi bir ratsional sonni tasavvur qiling, uni a 1 belgisi bilan belgilang, bu erda indeks ko'rib chiqilayotgan qatordagi tartib raqamini ko'rsatadi. Keling, 1 ga boshqa son qo'shamiz, uni d bilan belgilaymiz. Keyin qatorning ikkinchi elementini quyidagicha aks ettirish mumkin: a 2 = a 1 + d. Endi yana d ni qo'shing, biz olamiz: a 3 = a 2 + d. Ushbu matematik operatsiyani davom ettirib, siz arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.

Yuqoridagilardan tushunilganidek, bu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun quyidagi formuladan foydalanish kerak: a n = a 1 + (n-1) * d. Haqiqatan ham, ifodada n=1 ni almashtirsak, biz 1 = a 1 ni olamiz, agar n = 2 bo'lsa, unda formula quyidagilarni bildiradi: a 2 = a 1 + 1*d va hokazo.

Masalan, arifmetik progressiyaning ayirmasi 5 va a 1 = 1 bo'lsa, bu ko'rib chiqilayotgan turdagi raqamlar qatori quyidagi ko'rinishga ega ekanligini anglatadi: 1, 6, 11, 16, 21, ... Siz kabi. ko'rish mumkin, uning har bir a'zosi oldingisidan 5 taga ko'p.

Arifmetik progressiya farqi formulalari

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun siz ikkita raqamni bilishingiz kerak: a 1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda o'sib boradi, aksincha, manfiy d holatida seriyadagi raqamlar faqat modul bo'yicha ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.

Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqing:

1. d = a n+1 -a n, bu formula to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifidan kelib chiqadi.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), bu ifoda maqolaning oldingi bandida keltirilgan formuladan d ni ifodalash orqali olinadi. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda noaniq bo'ladi (0/0). Buning sababi shundaki, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 elementini bilish kerak.

Ushbu ikkita asosiy formulalar progressiya farqini topishning har qanday muammosini hal qilish uchun ishlatiladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula mavjud.

Birinchi elementlar yig'indisi

Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan soni a'zolarining yig'indisini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani birinchi marta 18-asr matematikasining "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganida, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat teng bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga va hokazo), keyin bu raqamni ushbu summalar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirish kerak.

Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. U quyidagicha ko'rinadi: S n = n/2*(a n + a 1). E'tibor bering, belgilangan qiymatni topish uchun progressiyaning ikkita a'zosi (a n va a 1) ma'lum bo'lsa, d farqini bilish shart emas.

№1 misol. a1 va an qatorlarining ikkita hadini bilib, farqni aniqlang

Biz maqolada yuqorida ko'rsatilgan formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Oddiy misol keltiraylik: arifmetik progressiyaning farqi noma'lum, agar 13 \u003d -5,6 va 1 \u003d -12,1 bo'lsa, u nimaga teng bo'lishini aniqlash kerak.

Raqamli ketma-ketlikning ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, farqni aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib sonli a'zo ma'lum.

Olingan farq, masalaning shartida berilgan elementlarning manfiy qiymatga ega bo'lishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini ko'rsatadi. Ko'rinib turibdiki, a 13 >a 1, garchi |a 13 |<|a 1 |.

№2 misol. 1-misoldagi ijobiy progressiya shartlari

Oldingi misolda olingan natijadan yangi masalani yechish uchun foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: 1-misoldagi progressiyaning elementlari qaysi tartib sondan musbat qiymatlarni qabul qila boshlaydi?

Ko'rsatilgandek, a 1 = -12,1 va d = 0,54167 bo'lgan progressiya ortib bormoqda, shuning uchun ma'lum bir raqamdan raqamlar faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, u matematik tarzda quyidagicha yoziladi: a n>0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a 1 + (n-1)*d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1*a 1 /d + 1. Endi farqning ma'lum qiymatlarini va ketma-ketlikning birinchi a'zosini almashtirish qoladi. Biz olamiz: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 yoki n>23,338. n faqat butun son qiymatlarni olishi mumkinligi sababli, olingan tengsizlikdan 23 dan katta raqamga ega bo'lgan qatorning har qanday hadlari ijobiy bo'ladi.

Keling, ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib, javobimizni tekshiramiz. Bizda: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (salbiy raqam); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, sonlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.

№3 misol. Qancha loglar mos keladi?

Mana bir qiziq muammo: kesish paytida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan loglarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, qancha jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?

Jurnallarni yig'ishning bu usulida bitta qiziqarli narsani ko'rish mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisidan bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya mavjud bo'lib, ularning farqi d=1. Har bir satrdagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak, shuningdek, 1 = 1 (faqat bitta jurnal eng yuqori qismiga to'g'ri keladi) ekanligini hisobga olsak, biz a 10 raqamini topamiz. Bizda: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Ya'ni, erga yotadigan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.

Ushbu "piramidal" qurilishning umumiy miqdori Gauss formulasi yordamida olinishi mumkin. Biz olamiz: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 ta jurnal.