Agar ma'lum bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish mumkin. Arifmetik progressiya

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(sakkiz\); \(o'n bir\); \(14\)… arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchta qoʻshish orqali olinishi mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. misol uchun, arifmetik progressiyada \(16\); \(o'n\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan belgilanadi.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va hokazo.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiyaga oid masalalar yechish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan beriladi. \(b_5\) toping.
Qaror:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Qaror:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlang: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Qaror:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani muammosiz topamiz: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Qaror:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, qiymatlarni hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Soʻralgan miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Qaror:

Javob: \(d=7\).

Muhim arifmetik progressiya formulalari

Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya muammolarini asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).

Biroq, ba'zida "peshonada" hal qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblash chalkash...

Shuning uchun, bunday hollarda, ular "peshonada" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Eng asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig‘indisi \(n\) formulasidir.

\(n\)-chi a'zo uchun formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi a'zosi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) - \(n\) sonli progressiya a'zosi.

Bu formula bizga faqat birinchi va progressiya farqini bilgan holda kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Qaror:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'ilgan atama;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan berilgan. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Qaror:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi muddatning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \(n\) ni bitta bilan almashtirib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz hech qanday muammosiz kerakli miqdorni hisoblaymiz.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - birinchi elementlarning kerakli summasi \(n\);
\(a_1\) - yig'iladigan birinchi atama;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - yig'indidagi elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(o'n to'rt\)…
Qaror:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqaylik (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-o'n to'qqiz\); \(-18,7\)…
Qaror:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham xuddi shunday yechishni boshlaymiz: avval \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi biz yig'indi formulasiga \(d\) ni qo'yamiz ... va bu erda kichik nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) ni bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanday? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Bizga \(a_n\) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \(n\) nima bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Hisoblash...
\(n>65 333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \(n=65\) ga ega. Har holda, keling, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) gacha boʻlgan miqdorni toping.
Qaror:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bizda buning formulasi yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Oson - \(26\)-dan \(42\)-gacha bo'lgan yig'indini olish uchun avval \(1\)-dan \(42\)gacha bo'lgan yig'indini topib, so'ngra undan yig'indini ayirish kerak. birinchidan \ (25 \) th (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) uchun (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rtta qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-uh elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\)-chi elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun amaliy jihatdan foydaliligi pastligi sababli biz ushbu maqolada ko'rib chiqmagan yana bir qancha formulalar mavjud. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Arifmetik progressiya - bu har bir raqam oldingisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan raqamlar qatoridir.

Bu mavzu ko'pincha qiyin va tushunarsiz. Harf ko'rsatkichlari, progressiyaning n-a'zosi, progressiyaning farqi - bularning barchasi qandaydir chalkash, ha ... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hamma narsa darhol amalga oshadi.)

Arifmetik progressiya haqida tushuncha.

Arifmetik progressiya juda oddiy va tushunarli tushunchadir. Shubha? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.

Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu qatorni uzaytira olasizmi? Qaysi raqamlar beshdan keyin keladi? Hamma ... uh ..., qisqasi, har bir kishi 6, 7, 8, 9 va hokazo raqamlarning oldinga borishini aniqlaydi.

Keling, vazifani murakkablashtiraylik. Men tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz naqshni ushlashingiz, seriyani kengaytirishingiz va nomlashingiz mumkin yettinchi qator raqami?

Agar siz bu raqam 20 ekanligini bilsangiz - sizni tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; balki ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar tushunmasangiz, o'qing.

Endi sezgilardan asosiy fikrlarni matematikaga aylantiramiz.)

Birinchi asosiy nuqta.

Arifmetik progressiya sonlar qatori bilan bog'liq. Bu birinchi navbatda chalkash. Biz tenglamalarni echishga, grafiklar tuzishga va shunga o'rganib qolganmiz ... Va keyin qatorni kengaytiring, qatorlar sonini toping ...

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Shunchaki progressiyalar matematikaning yangi bo‘limi bilan birinchi tanishuvdir. Bo'lim "Seriya" deb nomlanadi va raqamlar va ifodalar qatori bilan ishlaydi. Ko'nik.)

Ikkinchi asosiy nuqta.

Arifmetik progressiyada har qanday son oldingisidan farq qiladi bir xil miqdorda.

Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olsangiz, oldingisidan bittaga ko'p. Ikkinchisida - uchta. Har qanday raqam avvalgisidan uch baravar katta. Aslida, aynan shu daqiqa bizga naqshni ushlash va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.

Uchinchi asosiy nuqta.

Bu daqiqa hayratlanarli emas, ha ... Lekin juda, juda muhim. Mana u: Har bir progressiya soni o'z o'rnida. Birinchi raqam bor, yettinchi bor, qirq beshinchi bor va hokazo. Agar siz ularni tasodifan aralashtirib yuborsangiz, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya ham yo'qoladi. Bu shunchaki raqamlar qatori.

Hamma gap shunda.

Albatta, yangi mavzuda yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Ular bilishlari kerak. Aks holda, siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz shunday qaror qabul qilishingiz kerak:

a 2 = 5, d = -2,5 bo'lsa, arifmetik progressiyaning (a n) birinchi oltita hadini yozing.

Bu ilhomlantiradimi?) Harflar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytmoqchi, osonroq bo'lishi mumkin emas. Siz faqat atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu masalani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.

Shartlar va belgilar.

Arifmetik progressiya har bir raqam oldingisidan farq qiladigan raqamlar qatoridir bir xil miqdorda.

Bu qiymat deyiladi . Keling, ushbu kontseptsiyani batafsilroq ko'rib chiqaylik.

Arifmetik progressiya farqi.

Arifmetik progressiya farqi har qanday progressiya sonining miqdori Ko'proq oldingi.

Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan bu har bir progressiya soni olinganligini bildiradi qo'shish arifmetik progressiyaning oldingi songa ayirmasi.

Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi qator raqamlari, buni qilish kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchi- farq kerak qo'shish uchun to'rtinchi yaxshi va boshqalar.

Arifmetik progressiya farqi balkim ijobiy keyin seriyaning har bir raqami haqiqiy bo'lib chiqadi oldingisidan ko'proq. Bu progressiya deyiladi ortib boradi. Misol uchun:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Bu erda har bir raqam qo'shish ijobiy raqam, oldingisiga +5.

Farqi bo'lishi mumkin salbiy keyin seriyadagi har bir raqam bo'ladi oldingisidan kamroq. Ushbu rivojlanish deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.

Misol uchun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shish oldingi, lekin allaqachon salbiy raqamga -5.

Aytgancha, progressiya bilan ishlashda uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali - u ortib bormoqda yoki kamaymoqda. Bu qaror qabul qilishda o'z nuqtai nazaringizni topishga, xatolaringizni aniqlashga va kech bo'lmasdan ularni tuzatishga yordam beradi.

Arifmetik progressiya farqi odatda harf bilan belgilanadi d.

Qanday topish mumkin d? Juda onson. Seriyaning istalgan sonidan ayirish kerak oldingi raqam. Ayirmoq. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb ataladi.)

Keling, masalan, aniqlaymiz d ortib borayotgan arifmetik progressiya uchun:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Biz qatorning istalgan raqamini olamiz, masalan, 11. Undan ayirish oldingi raqam bular. sakkiz:

Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiya uchun farq uchga teng.

Siz shunchaki olishingiz mumkin har qanday miqdordagi progressiya, chunki Muayyan rivojlanish uchun d-har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni ololmaysiz. Faqat birinchi raqam, chunki oldingisi yo'q.)

Aytgancha, buni bilish d=3, bu progressiyaning ettinchi raqamini topish juda oddiy. Biz beshinchi raqamga 3 qo'shamiz - biz oltinchini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shamiz, ettinchi raqamni olamiz - yigirma.

Keling, aniqlaymiz d kamayuvchi arifmetik progressiya uchun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Shuni eslatib o'tamanki, belgilardan qat'i nazar, aniqlash uchun d istalgan raqamdan kerak oldingisini olib tashlang. Biz progressiyaning istalgan sonini tanlaymiz, masalan -7. Uning oldingi raqami -2. Keyin:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik progressiyaning farqi har qanday son bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har qanday.

Boshqa atamalar va belgilar.

Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.

Progressiyaning har bir a'zosi uning raqami bor. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday hiyla-nayranglarsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyadagi 2, 5, 8, 11, 14, ... ikkita birinchi a'zo, beshta ikkinchi, o'n bir to'rtinchi, yaxshi, tushunasiz ...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday, butun, kasr, inkor, nima bo'lishidan qat'iy nazar, lekin bo'lishi mumkin raqamlash- qat'iy tartibda!

Progressiyani umumiy shaklda qanday yozish kerak? Hammasi joyida! Seriyadagi har bir raqam harf sifatida yozilgan. Arifmetik progressiyani belgilash uchun, qoida tariqasida, harf ishlatiladi a. A'zo raqami pastki o'ngdagi indeks bilan ko'rsatilgan. A'zolar vergul (yoki nuqta vergul) bilan quyidagicha yoziladi:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 birinchi raqam hisoblanadi a 3- uchinchi va boshqalar. Hech qanday qiyin narsa yo'q. Siz ushbu seriyani quyidagicha qisqacha yozishingiz mumkin: (a n).

Rivojlanishlar mavjud chekli va cheksiz.

yakuniy progressiya a'zolarining cheklangan soniga ega. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Lekin bu chekli raqam.

Cheksiz progressiya - siz taxmin qilganingizdek, cheksiz sonli a'zolarga ega.)

Siz yakuniy progressni shunday qator orqali yozishingiz mumkin, barcha a'zolar va oxirida nuqta:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Yoki shunday, agar a'zolar ko'p bo'lsa:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Qisqa yozuvda siz a'zolar sonini qo'shimcha ravishda ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Misol uchun (yigirma a'zo uchun) quyidagicha:

(a n), n = 20

Cheksiz progressiyani ushbu darsdagi misollardagi kabi qator oxiridagi ellips bilan tanib olish mumkin.

Endi siz allaqachon vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.

Arifmetik progressiya uchun topshiriqlarga misollar.

Keling, yuqoridagi vazifani batafsil ko'rib chiqaylik:

1. Arifmetik progressiyaning (a n) birinchi olti a'zosini yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.

Vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Ushbu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Ma'lum progressiv farq: d = -2,5. Ushbu progressiyaning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topishimiz kerak.

Aniqlik uchun men muammoning holatiga qarab ketma-ket yozaman. Birinchi olti a'zo, ikkinchi a'zo besh bo'lsa:

a 1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + d

Biz ifodada almashtiramiz a 2 = 5 va d=-2,5. Minusni unutmang!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Uchinchi muddat ikkinchidan kamroq. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgisidan katta bo'lsa salbiy qiymat, shuning uchun raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Rivojlanish pasaymoqda. Xo'sh, buni hisobga olamiz.) Biz seriyamizning to'rtinchi a'zosini ko'rib chiqamiz:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Shunday qilib, uchinchidan oltinchigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada bir qator paydo bo'ldi:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Birinchi atamani topish qoladi a 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Bu boshqa yo'nalishdagi qadam, chapga.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d ga qo'shilmasligi kerak a 2, a olib ketish:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hammasi shu. Vazifaga javob:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

O'tayotganda shuni ta'kidlaymanki, biz bu vazifani hal qildik takrorlanuvchi yo'l. Bu dahshatli so'z faqat progressiyaning a'zosini qidirishni anglatadi oldingi (qo'shni) raqam bo'yicha. Progressiya bilan ishlashning boshqa usullari keyinroq muhokama qilinadi.

Ushbu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.

Eslab qoling:

Agar arifmetik progressiyaning kamida bitta a’zosi va ayirmasini bilsak, bu progressiyaning istalgan a’zosini topishimiz mumkin.

Esingizdami? Ushbu oddiy xulosa ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining aksariyat muammolarini hal qilish imkonini beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanadi: arifmetik progressiya a’zosi, progressiyaning ayirmasi, progressiya a’zosining soni. Hamma narsa.

Albatta, oldingi barcha algebra bekor qilinmaydi.) Progressiyaga tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar biriktirilgan. Lekin taraqqiyotga ko'ra- hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.

Misol uchun, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqing.

2. Yakuniy arifmetik progressiyani ketma-ket yozing, agar n=5, d=0,4 va a 1=3,6 bo‘lsa.

Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiyaning a'zolari qanday hisoblanganini, hisoblashini va yozishni eslab qolishingiz kerak. Vazifa shartidagi so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n=5". To'liq ko'karib qolmaguningizcha hisoblamaslik uchun.) Bu progressiyada faqat 5 (besh) a'zo bor:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Javobni yozish qoladi:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Boshqa vazifa:

3. 7 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi bo‘ladimi yoki yo‘qligini aniqlang, agar a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Hm... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?

How-how... Ha, progressiyani ketma-ketlik shaklida yozing va ettita bo'ladimi yoki yo'qmi! Ishonamizki:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Endi biz yetti yoshda ekanligimiz aniq ko'rinib turibdi sirg'alib o'tdi 6,5 dan 7,7 gacha! Yettilik bizning raqamlar qatorimizga kirmadi va shuning uchun ettitasi berilgan progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.

Javob: yo'q.

Va bu erda GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:

4. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:

...; o'n besh; X; to'qqiz; 6; ...

Mana oxiri va boshi bo'lmagan seriya. A'zolar raqamlari yo'q, farq yo'q d. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Keling, nima qila olishimizni ko'rib chiqaylik kashf qilish bu qatordan? Uchta asosiy parametrlar qanday?

A'zolar raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.

Ammo uchta raqam bor va - diqqat! - so'z "ketma-ket" holatda. Bu raqamlar qat'iy tartibda, bo'shliqlarsiz ekanligini anglatadi. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bular 9 va 6. Shunday qilib, biz arifmetik progressiyaning farqini hisoblay olamiz! Biz oltitadan ayiramiz oldingi raqam, ya'ni. to'qqiz:

Bo'sh joylar qoldi. X uchun oldingi qaysi raqam bo'ladi? O'n besh. Shunday qilib, x ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. 15 ga arifmetik progressiyaning farqini qo'shing:

Hammasi shu. Javob: x=12

Quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu boshqotirmalar formulalar uchun emas. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz shunchaki bir qator raqamlar-harflarni yozamiz, qaraymiz va o'ylaymiz.

5. a 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat hadini toping; d = 1,1.

6. Ma'lumki, 5,5 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 1,6; d = 1,3. Ushbu a'zoning n sonini aniqlang.

7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 ni toping.

8. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:

...; 15,6; X; 3.4; ...

X harfi bilan belgilangan progressiyaning hadini toping.

9. Poyezd stansiyadan harakatlana boshladi, asta-sekin tezligini daqiqasiga 30 metrga oshirdi. Besh daqiqada poezdning tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km/soatda bering.

10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; a 6 = -5. 1 ni toping.

Javoblar (tartibsiz): 7,7; 7,5; 9,5; to'qqiz; 0,3; 4.

Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Quyidagi darslarda arifmetik progressiyani yuqori darajada o‘zlashtirishingiz mumkin.

Hammasi amalga oshmadimi? Hammasi joyida. 555-sonli maxsus bo'limda bu muammolarning barchasi bo'laklarga bo'linadi.) Va, albatta, bunday vazifalarni hal qilishni darhol kaftingizda bo'lgani kabi aniq, aniq ta'kidlaydigan oddiy amaliy texnika tasvirlangan!

Aytgancha, poezd haqidagi jumboqda odamlar tez-tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Biri - faqat progressiya bilan, ikkinchisi - matematika va fizikadagi har qanday vazifalar uchun umumiydir. Bu o'lchamlarning biridan ikkinchisiga tarjimasi. Bu muammolarni qanday hal qilish kerakligini ko'rsatadi.

Ushbu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, ketma-ket yozing, hamma narsa hal qilinadi.

Barmoq eritmasi ushbu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, seriyaning juda qisqa qismlari uchun yaxshi ishlaydi. Agar seriya uzunroq bo'lsa, hisob-kitoblar qiyinlashadi. Misol uchun, agar savolda 9-muammoda bo'lsa, o'zgartiring "besh daqiqa" ustida "o'ttiz besh daqiqa" muammo yanada yomonlashadi.)

Bundan tashqari, mohiyatiga ko'ra oddiy, ammo hisob-kitoblar nuqtai nazaridan mutlaqo absurd bo'lgan vazifalar mavjud, masalan:

Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.

Va nima, biz 1/6 ni ko'p marta qo'shamiz?! O'z joniga qasd qilish mumkinmi!?

Mumkin.) Agar siz bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formulani bilmasangiz. Bu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo o'sha erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki qopqoq dalillari menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali ham bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishuvlar bilan qiynamayman va darhol ish bilan shug'ullanaman.

Boshlash uchun bir nechta misol. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam faqat ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri avvalgisidan ko'proq. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman olganda, ildizlar mavjud. Biroq, $2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. bu holda har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Shunday qilib: barcha bunday ketma-ketliklar faqat arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilanish: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi tartibli raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy ravishda o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki almashtira olmaysiz.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz (1; 2; 3; 4; ...) kabi biror narsa yozsangiz - bu allaqachon cheksiz progressiyadir. To'rtdan keyin ellips, go'yo, juda ko'p raqamlar oldinga borishini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyalar ortib bormoqda va kamaymoqda. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Bu erda progressiyaning pasayishiga misollar:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Xo'sh, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;
2. kamaytirish, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani pasayishdan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

1. Agar $d \gt 0$ bo'lsa, u holda progressiya ortib bormoqda;
2. Agar $d \lt 0$ bo'lsa, unda progressiya aniq pasaymoqda;
3. Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqoridagi uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan, chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya a'zolari va takroriy formula

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng\)\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular son yordamida shunday ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va hokazo.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bo'yicha bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Bunday formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni topishingiz mumkin, faqat oldingisini (va aslida barcha oldingilarni) bilib olasiz. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisobni birinchi atama va farqga qisqartiradigan yanada murakkab formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz bu formulaga avvalroq duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Va matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa raqami 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Qaror. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiya farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & (a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; -2)

Hammasi shu! E'tibor bering, bizning taraqqiyotimiz pasayib bormoqda.

Albatta, $n=1$ oʻrnini bosish mumkin emas edi – biz birinchi atamani allaqachon bilamiz. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa raqami 2. Arifmetik progressiyaning yettinchi hadi −40 va o‘n yettinchi hadi −50 bo‘lsa, uning dastlabki uchta hadini yozing.

Qaror. Muammoning shartini odatdagidek yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Men tizimning belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayirsak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Xuddi shunday, biz progressiv farqni topdik! Tizimning istalgan tenglamalarida topilgan raqamni almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (-34; -35; -36)

Biz kashf etgan progressiyaning qiziq bir xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirish bilan, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan oddiy, ammo juda foydali xususiyat - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana buning asosiy misoli:

Vazifa raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Qaror. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ boʻlgani uchun va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak boʻlgani uchun biz quyidagilarni qayd qilamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ sharti boʻyicha $5d=6$, bizda:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Hammasi shu! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini tuzish va birinchi had va farqni hisoblash kerak emas edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini izlash. Hech kimga sir emaski, agar progressiya oshib borsa, uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket saralab, ushbu daqiqani "peshonada" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha, muammolar formulalarni bilmasdan turib, hisob-kitoblar bir nechta varaqlarni oladi - javob topgunimizcha uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.

Vazifa raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy had -38,5; -35,8; …?

Qaror. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, shundan biz darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiydir, shuning uchun rivojlanish ortib bormoqda. Birinchi atama manfiy, shuning uchun haqiqatan ham bir nuqtada biz ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, aniqlashga harakat qilaylik: atamalarning manfiyligi qancha vaqt (ya'ni, $n$ qaysi natural songacha) saqlanib qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi qatorga tushuntirish kerak. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, bizga raqamning faqat butun qiymatlari mos keladi (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas.

Vazifa raqami 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiya farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq jihatidan ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi muammoga o'xshash tarzda davom etamiz. Ijobiy raqamlar ketma-ketligimizning qaysi nuqtasida paydo bo'lishini bilib olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

E'tibor bering, oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini bilib olaylik, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chegaralar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket shartlarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Son qatoridagi arifmetik progressiya a'zolari

Men har qanday $((a)_(1)) emas, balki $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy a'zolarini alohida qayd etdim. \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib o'tadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, rekursiv formulani eslaylik va uni barcha belgilangan a'zolar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Lekin $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi fakti. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Siz cheksiz davom etishingiz mumkin, ammo rasm ma'noni yaxshi ko'rsatib beradi

Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topishingiz mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Biz ajoyib xulosa chiqardik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari, biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlari bilan og'ishimiz mumkin - va baribir formula to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ ni bilsak, biz osongina $((a)_(150))$ topa olamiz, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab vazifalar arifmetik o'rtachadan foydalanish uchun maxsus "o'tkirlashadi". Qarab qo'ymoq:

Vazifa raqami 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket aʼzolari boʻlishi uchun $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (belgilangan tartibda).

Qaror. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Natijada klassik kvadrat tenglama olinadi. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: -3; 2.

Vazifa raqami 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan (shu tartibda) $$ qiymatlarini toping.

Qaror. Yana oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymatida ifodalaymiz:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana bir kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni olsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib hiyla bor: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz -3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ mavjud bo'lib, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ oʻrniga:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz raqamlarni oldik -54; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin 27 farq bilan. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilinadi. Xohlaganlar ikkinchi vazifani mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir qiziqarli faktga qoqilib qoldik, uni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgining o'rtachasi bo'lsa, bu raqamlar arifmetik progressiya hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning holatiga qarab kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Guruhlash va elementlar yig'indisi

Keling, yana raqamlar qatoriga qaytaylik. Biz progressiyaning bir nechta a'zolarini qayd etamiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida belgilangan 6 ta element

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $((a)_(k))$ va $ shaklida ifodalashga harakat qilaylik. d$. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi summalar teng:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin biz ushbu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) qadam tashlashni boshlasak, keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni eng yaxshi grafik tarzda ifodalash mumkin:

Xuddi shu chekinishlar teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra ancha yuqori darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishga imkon beradi. Masalan, bular:

Vazifa raqami 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Qaror. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Demak, biz $d$ progressiyasining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan umumiy koeffitsient 11 ni oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko‘rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko‘tarilgan parabola bo‘ladi, chunki Qavslarni ochsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham shoxlari yuqori bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

kvadratik funktsiyaning grafigi - parabola

Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini $((d)_(0))$ abscissa bilan o'zining cho'qqisida oladi. Albatta, biz ushbu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), lekin buni qilish ancha oqilona bo'lar edi. E'tibor bering, kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda ildizlarni topish juda va juda oson edi. Shuning uchun abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Bizga topilgan raqamni nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz $((y)_(\min ))$ hisoblamadik - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam dastlabki progressiyaning farqidir, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: -36

Vazifa raqami 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqamni kiritingki, ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Qaror. Aslida, birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Yetishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilang:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan, $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)( 6)$. Va agar biz hozirda $x$ va $z$ raqamlaridan $y$ ni ololmasak, progressiyaning oxirlarida vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikni eslang:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ va $y=-\frac(1)(3)$ orasida joylashgan. Shunday qilib

Xuddi shunday bahslashib, qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga qo'yish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa raqami 10. 2 va 42 raqamlari orasiga, agar kiritilgan sonlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yigʻindisi 56 ga teng ekanligi maʼlum boʻlsa, berilgan sonlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiluvchi bir nechta raqamlarni qoʻying.

Qaror. Bundan ham qiyinroq vazifa, ammo avvalgilari kabi hal qilinadi - o'rtacha arifmetik orqali. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritishni aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun biz kiritgandan so'ng aniq $n$ raqamlari bo'ladi deb faraz qilamiz va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda kerakli arifmetik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari bir-biriga qarab bir qadam chetida turgan 2 va 42 raqamlaridan olinganligini unutmang. , ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqoridagi iborani shunday qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ bilgan holda biz progressiya farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga kelamiz - 42 raqami. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Jarayonlar bilan matnli topshiriqlar

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Xo'sh, oddiy bo'lganlar: maktabda matematikani o'rganayotgan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik o'quvchilar uchun bu vazifalar imo-ishora kabi ko'rinishi mumkin. Shunga qaramay, matematikada OGE va USEda aynan shunday vazifalar uchraydi, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa raqami 11. Jamoa yanvar oyida 62 ta detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingisiga nisbatan 14 ta ko‘p detal ishlab chiqargan. Noyabr oyida brigada nechta detal ishlab chiqardi?

Qaror. Shubhasiz, oylar bo'yicha bo'yalgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiya bo'ladi. Va:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(tuzalash)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa raqami 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamladi va har oyda oldingi oyga qaraganda 4 taga koʻproq kitob muqova qilindi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Qaror. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & (a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: siz arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Biz keyingi darsga ishonch bilan o'tishimiz mumkin, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Ko'pchilik arifmetik progressiya haqida eshitgan, ammo hamma ham uning nima ekanligini yaxshi bilmaydi. Ushbu maqolada biz tegishli ta'rifni beramiz, shuningdek, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz va bir qator misollar keltiramiz.

Matematik ta'rif

Shunday qilib, agar biz arifmetik yoki algebraik progressiya haqida gapiradigan bo'lsak (bu tushunchalar bir xil narsani aniqlaydi), demak, bu quyidagi qonunni qondiradigan qandaydir sonlar qatori mavjudligini bildiradi: qatordagi har ikki qo'shni son bir xil qiymat bilan farqlanadi. Matematik jihatdan bu shunday yozilgan:

Bu yerda n ketma-ketlikdagi a n elementining sonini, d soni esa progressiyaning farqini bildiradi (uning nomi taqdim etilgan formuladan kelib chiqadi).

d farqini bilish nimani anglatadi? Qo'shni raqamlar bir-biridan qanchalik uzoqda ekanligi haqida. Biroq, d ni bilish butun progressiyani aniqlash (tiklash) uchun zarur, ammo etarli shart emas. Siz ko'rib chiqilayotgan seriyaning mutlaqo istalgan elementi bo'lishi mumkin bo'lgan yana bitta raqamni bilishingiz kerak, masalan, 4, a10, lekin, qoida tariqasida, birinchi raqam, ya'ni 1 ishlatiladi.

Progressiya elementlarini aniqlash formulalari

Umuman olganda, yuqoridagi ma'lumotlar muayyan muammolarni hal qilishga o'tish uchun etarli. Shunga qaramay, arifmetik progressiya berilgunga qadar va uning farqini topish kerak bo'ladi, biz bir nechta foydali formulalarni keltiramiz va shu bilan muammolarni hal qilishning keyingi jarayonini osonlashtiramiz.

n sonli ketma-ketlikning istalgan elementini quyidagicha topish mumkinligini ko'rsatish oson:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Darhaqiqat, har bir kishi ushbu formulani oddiy sanab o'tish orqali tekshirishi mumkin: agar siz n = 1 ni almashtirsangiz, birinchi elementni olasiz, n = 2 ni almashtirsangiz, u holda ifoda birinchi raqam va farqning yig'indisini beradi va hokazo. .

Ko'pgina masalalarning shartlari shunday tuzilganki, raqamlari ham ketma-ketlikda berilgan ma'lum juft sonlar uchun butun sonlar qatorini tiklash kerak bo'ladi (farq va birinchi elementni toping). Endi biz bu muammoni umumiy tarzda hal qilamiz.

Deylik, bizga n va m sonli ikkita element berildi. Yuqorida olingan formuladan foydalanib, biz ikkita tenglama tizimini tuzishimiz mumkin:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Noma'lum miqdorlarni topish uchun biz bunday tizimni yechishning taniqli oddiy usulidan foydalanamiz: chap va o'ng qismlarni juft-juft qilib ayiramiz, shu bilan birga tenglik o'z kuchida qoladi. Bizda ... bor:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Shunday qilib, biz bitta noma'lum (a 1) ni yo'q qildik. Endi d ni aniqlash uchun yakuniy ifodani yozishimiz mumkin:

d = (a n - a m) / (n - m), bu erda n > m

Biz juda oddiy formulani oldik: muammoning shartlariga muvofiq d farqini hisoblash uchun faqat elementlarning o'zlari va ularning seriya raqamlari o'rtasidagi farqlar nisbatini olish kerak. Bitta muhim jihatga e'tibor qaratish lozim: farqlar "katta" va "kenja" a'zolar o'rtasida olinadi, ya'ni n> m ("katta" - ketma-ketlikning boshidan uzoqroq turishni anglatadi, uning mutlaq qiymati bo'lishi mumkin. yoki ko'proq yoki kamroq "yoshroq" element).

Progressiyaning d ayirmasi ifodasi birinchi hadning qiymatini olish uchun masalani yechish boshida istalgan tenglamaga almashtirilishi kerak.

Kompyuter texnologiyalari rivojlangan asrimizda ko'plab maktab o'quvchilari Internetda o'z vazifalarini hal qilishga harakat qilishadi, shuning uchun ko'pincha bunday turdagi savollar tug'iladi: arifmetik progressiyaning farqini onlayn tarzda toping. Bunday so'rov bo'yicha qidiruv tizimi bir nechta veb-sahifalarni ko'rsatadi, ularga o'tish orqali siz shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni kiritishingiz kerak bo'ladi (bu progressiyaning ikkita a'zosi yoki ularning ba'zilarining yig'indisi bo'lishi mumkin). va darhol javob oling. Shunga qaramay, muammoni hal qilishda bunday yondashuv talabaning rivojlanishi va unga yuklangan vazifaning mohiyatini tushunish nuqtai nazaridan samarasizdir.

Formulalardan foydalanmasdan yechim

Keling, birinchi masalani hal qilaylik, shu bilan birga biz yuqoridagi formulalardan hech birini ishlatmaymiz. Qatorning elementlari berilgan bo'lsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Ma'lum elementlar ketma-ket bir-biriga yaqin joylashgan. Eng kattasini olish uchun d farqini eng kichigiga necha marta qo'shish kerak? Uch marta (birinchi marta d ni qo'shsak, biz 7-elementni olamiz, ikkinchi marta - sakkizinchi, nihoyat, uchinchi marta - to'qqizinchi). 18 ni olish uchun qaysi sonni uch marta uch marta qo'shish kerak? Bu beshinchi raqam. Haqiqatan ham:

Shunday qilib, noma'lum farq d = ​​5 ga teng.

Albatta, yechim tegishli formula yordamida amalga oshirilishi mumkin, ammo bu ataylab qilinmagan. Muammoning yechimini batafsil tushuntirish arifmetik progressiya nima ekanligini aniq va yorqin misolga aylantirishi kerak.

Oldingi vazifaga o'xshash vazifa

Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik, lekin kirish ma'lumotlarini o'zgartiring. Shunday qilib, a3 = 2, a9 = 19 ekanligini topishingiz kerak.

Albatta, siz yana "peshonada" hal qilish usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Ammo bir-biridan nisbatan uzoqroq bo'lgan ketma-ketlik elementlari berilganligi sababli, bunday usul juda qulay bo'lmaydi. Ammo natijada olingan formuladan foydalanish bizni tezda javobga olib keladi:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Bu erda biz yakuniy raqamni yaxlitladik. Ushbu yaxlitlash qanchalik xatoga olib kelganligini natijani tekshirish orqali aniqlash mumkin:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Bu natija shartda berilgan qiymatdan atigi 0,1% farq qiladi. Shuning uchun, ishlatiladigan yuzdan birgacha yaxlitlash yaxshi tanlov deb hisoblanishi mumkin.

A'zo uchun formulani qo'llash bo'yicha vazifalar

Noma'lum d ni aniqlash masalasiga klassik misolni ko'rib chiqamiz: a1 = 12, a5 = 40 bo'lsa, arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Noma'lum algebraik ketma-ketlikning ikkita raqami berilganda va ulardan biri element a 1 bo'lsa, unda siz uzoq o'ylashingiz shart emas, lekin darhol a n a'zosi uchun formulani qo'llashingiz kerak. Bu holatda bizda:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bo'lish paytida biz aniq raqamni oldik, shuning uchun oldingi xatboshida bo'lgani kabi, hisoblangan natijaning to'g'riligini tekshirish mantiqiy emas.

Keling, yana bir shunga o'xshash masalani hal qilaylik: a1 = 16, a8 = 37 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini topishimiz kerak.

Biz avvalgisiga o'xshash yondashuvdan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik progressiya haqida yana nimani bilishingiz kerak

Noma'lum ayirma yoki alohida elementlarni topish masalalaridan tashqari, ko'pincha ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisiga doir masalalarni yechish kerak bo'ladi. Ushbu muammolarni ko'rib chiqish maqola mavzusi doirasidan tashqarida, ammo ma'lumotlarning to'liqligi uchun biz seriyaning n soni yig'indisi uchun umumiy formulani taqdim etamiz:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

“Arifmetik progressiya” mavzusi maktablarda 9-sinfda algebra fanining umumiy kursida o‘rganiladi. Bu mavzu raqamlar qatorlari matematikasini yanada chuqurroq o‘rganish uchun muhim ahamiyatga ega. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya, uning farqi, shuningdek, maktab o'quvchilari duch kelishi mumkin bo'lgan odatiy vazifalar bilan tanishamiz.

Algebraik progressiya haqida tushuncha

Raqamli progressiya - bu qandaydir matematik qonun qo'llanilsa, har bir keyingi elementni oldingisidan olish mumkin bo'lgan raqamlar ketma-ketligi. Progressiyaning ikkita oddiy turi mavjud: geometrik va arifmetik, uni algebraik deb ham ataladi. Keling, bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz.

Ba'zi bir ratsional sonni tasavvur qiling, uni a 1 belgisi bilan belgilang, bu erda indeks ko'rib chiqilayotgan qatordagi tartib raqamini ko'rsatadi. Keling, 1 ga boshqa son qo'shamiz, uni d bilan belgilaymiz. Keyin qatorning ikkinchi elementini quyidagicha aks ettirish mumkin: a 2 = a 1 + d. Endi yana d ni qo'shing, biz olamiz: a 3 = a 2 + d. Ushbu matematik operatsiyani davom ettirib, siz arifmetik progressiya deb ataladigan butun bir qator raqamlarni olishingiz mumkin.

Yuqoridagilardan tushunilishicha, ushbu ketma-ketlikning n-elementini topish uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak: a n \u003d a 1 + (n-1) * d. Haqiqatan ham, ifodaga n=1 ni qo'yib, biz 1 = a 1 ni olamiz, agar n = 2 bo'lsa, formula shuni anglatadiki: a 2 = a 1 + 1*d va hokazo.

Misol uchun, agar arifmetik progressiyaning farqi 5 va 1 \u003d 1 bo'lsa, bu ko'rib chiqilayotgan turdagi raqamlar qatori quyidagicha ko'rinishini anglatadi: 1, 6, 11, 16, 21, ... Siz kabi ko'rish mumkin, uning har bir a'zosi oldingisidan 5 taga ko'p.

Arifmetik progressiya farqi formulalari

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining yuqoridagi ta'rifidan kelib chiqadiki, uni aniqlash uchun siz ikkita raqamni bilishingiz kerak: a 1 va d. Ikkinchisi bu progressiyaning farqi deb ataladi. Bu butun seriyaning xatti-harakatlarini aniq belgilaydi. Haqiqatan ham, agar d musbat bo'lsa, u holda raqamlar qatori doimiy ravishda o'sib boradi, aksincha, manfiy d holatida seriyadagi raqamlar faqat modul bo'yicha ortadi, ularning mutlaq qiymati esa n sonining ortishi bilan kamayadi.

Arifmetik progressiyaning farqi nimada? Ushbu qiymatni hisoblash uchun ishlatiladigan ikkita asosiy formulani ko'rib chiqing:

1. d = a n+1 -a n, bu formula to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifidan kelib chiqadi.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), bu ifoda maqolaning oldingi bandida keltirilgan formuladan d ni ifodalash orqali olinadi. E'tibor bering, agar n=1 bo'lsa, bu ifoda noaniq bo'ladi (0/0). Buning sababi shundaki, uning farqini aniqlash uchun seriyaning kamida 2 elementini bilish kerak.

Ushbu ikkita asosiy formulalar progressiya farqini topishning har qanday muammosini hal qilish uchun ishlatiladi. Biroq, siz bilishingiz kerak bo'lgan yana bir formula mavjud.

Birinchi elementlar yig'indisi

Tarixiy dalillarga ko'ra, algebraik progressiyaning istalgan soni a'zolarining yig'indisini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani birinchi marta XVIII asr matematikasining "shahzodasi" Karl Gauss qo'lga kiritgan. Nemis olimi, hali qishloq maktabining boshlang'ich sinflarida o'qiyotganida, 1 dan 100 gacha bo'lgan qatordagi natural sonlarni qo'shish uchun birinchi element va oxirgi elementni yig'ish kerakligini payqagan (natijadagi qiymat teng bo'ladi). oxirgi va ikkinchi, oxirgi va uchinchi elementlarning yig'indisiga va hokazo), keyin bu raqamni ushbu summalar soniga, ya'ni 50 ga ko'paytirish kerak.

Muayyan misolda aytilgan natijani aks ettiruvchi formulani ixtiyoriy holatga umumlashtirish mumkin. U quyidagicha ko'rinadi: S n = n/2*(a n + a 1). E'tibor bering, belgilangan qiymatni topish uchun progressiyaning ikkita a'zosi (a n va a 1) ma'lum bo'lsa, d farqini bilish shart emas.

№1 misol. a1 va an qatorlarining ikkita hadini bilib, farqni aniqlang

Biz maqolada yuqorida ko'rsatilgan formulalarni qanday qo'llashni ko'rsatamiz. Oddiy misol keltiraylik: arifmetik progressiyaning farqi noma'lum, agar 13 \u003d -5,6 va 1 \u003d -12,1 bo'lsa, u nimaga teng bo'lishini aniqlash kerak.

Raqamli ketma-ketlikning ikkita elementining qiymatlarini bilganimiz va ulardan biri birinchi raqam bo'lganligi sababli, farqni aniqlash uchun №2 formuladan foydalanishimiz mumkin. Bizda: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167. Ifodada biz n=13 qiymatidan foydalandik, chunki bu tartib sonli a'zo ma'lum.

Olingan farq, masalaning shartida berilgan elementlarning manfiy qiymatga ega bo'lishiga qaramay, progressiyaning ortib borayotganligini ko'rsatadi. Ko'rinib turibdiki, a 13 >a 1, garchi |a 13 |<|a 1 |.

№2 misol. 1-misoldagi ijobiy progressiya shartlari

Oldingi misolda olingan natijadan yangi masalani yechish uchun foydalanamiz. U quyidagicha tuzilgan: 1-misoldagi progressiyaning elementlari qaysi tartib sondan musbat qiymatlarni qabul qila boshlaydi?

Ko'rsatilgandek, a 1 = -12,1 va d = 0,54167 bo'lgan progressiya ortib bormoqda, shuning uchun ma'lum bir raqamdan raqamlar faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Bu n sonni aniqlash uchun oddiy tengsizlikni yechish kerak, u matematik tarzda quyidagicha yoziladi: a n>0 yoki tegishli formuladan foydalanib, tengsizlikni qayta yozamiz: a 1 + (n-1)*d>0. Noma'lum n ni topish kerak, uni ifodalaymiz: n>-1*a 1 /d + 1. Endi farqning ma'lum qiymatlarini va ketma-ketlikning birinchi a'zosini almashtirish qoladi. Biz olamiz: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 yoki n>23,338. n faqat butun son qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, olingan tengsizlikdan 23 dan katta raqamga ega bo'lgan qatorning har qanday hadlari ijobiy bo'ladi.

Ushbu arifmetik progressiyaning 23 va 24-elementlarini hisoblash uchun yuqoridagi formuladan foydalanib javobimizni tekshiramiz. Bizda: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (salbiy raqam); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (ijobiy qiymat). Shunday qilib, olingan natija to'g'ri: n=24 dan boshlab, sonlar qatorining barcha a'zolari noldan katta bo'ladi.

№3 misol. Qancha loglar mos keladi?

Mana bir qiziq muammo: kesish paytida quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, kesilgan loglarni bir-birining ustiga qo'yishga qaror qilindi. Hammasi bo'lib 10 ta qator sig'ishini bilib, qancha jurnalni shu tarzda yig'ish mumkin?

Jurnallarni yig'ishning bu usulida bitta qiziqarli narsani ko'rish mumkin: har bir keyingi qatorda oldingisiga qaraganda bitta kamroq log bo'ladi, ya'ni algebraik progressiya mavjud bo'lib, ularning farqi d=1. Har bir qatordagi jurnallar soni ushbu progressiyaning a'zosi deb faraz qilsak, shuningdek, 1 = 1 ekanligini hisobga olsak (faqat bitta jurnal eng yuqori qismida joylashgan), biz a 10 raqamini topamiz. Bizda: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Ya'ni, erga yotadigan 10-qatorda 10 ta log bo'ladi.

Ushbu "piramidal" konstruktsiyaning umumiy miqdori Gauss formulasi yordamida olinishi mumkin. Biz olamiz: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 ta jurnal.