Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni qanday tuziladi Misollar Taqsimot qonuniga ko'ra dispersiyani toping

Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi holatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosining bosh harflari (X, Y, Z) bilan belgilanadi va ularning qiymatlari mos keladigan kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi Bu tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u ma'lum nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin.

1 . Taqsimot qonuni quyidagi jadvalda keltirilishi mumkin:

bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … .

ichida) yordamida taqsimot funksiyasi F(x) , bu har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. F(x) = P(X< x).

F(x) funksiyaning xossalari

3 . Tarqatish qonuni grafik tarzda o'rnatilishi mumkin – taqsimot ko‘pburchagi (ko‘pburchak) (3-masalaga qarang).

E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun taqsimlash qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda taqsimlash qonunining eng muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya. Bu tasodifiy miqdorning "o'rtacha qiymati" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'rtacha hajmini ko'rsatadigan raqam bo'lishi mumkin. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari :

Matematik kutish diskret tasodifiy miqdorning (o'rtacha qiymati). M(X)=S x i p i.
Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
Dispersiya diskret tasodifiy miqdor D(X)=M2 yoki D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farqi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishi deyiladi.
Binomiy taqsimot uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l
Standart og'ish (standart og'ish) s(X)=√D(X).

“Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni” mavzusidagi masalalar yechishga misollar.

Vazifa 1.

1000 ta lotereya chiptasi chiqarildi: ulardan 5 tasi 500 rubl, 10 tasi 100 rubl, 20 tasi 50 rubl, 50 tasi esa 10 rubldan yutib oladi. X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonunini aniqlang - chipta uchun yutuq.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra, X tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari mumkin: 0, 10, 50, 100 va 500.

Yutuqsiz chiptalar soni 1000 - (5+10+20+50) = 915, keyin P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Xuddi shunday, boshqa barcha ehtimollarni topamiz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Olingan qonunni jadval shaklida taqdim etamiz:

X ning matematik kutilmasini toping: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1) + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Vazifa 3.

Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Bitta tajribada har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada bajarilmagan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing, taqsimot poligonini tuzing. F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping.

Yechim. 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X=(bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar soni) quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: x 1 =0 (qurilmaning birorta elementi muvaffaqiyatsiz tugadi), x 2 =1 (bitta element muvaffaqiyatsiz), x 3 =2 ( ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi ) va x 4 \u003d 3 (uchta element muvaffaqiyatsiz).

Elementlarning nosozliklari bir-biridan mustaqil, har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli bir-biriga teng, shuning uchun u amal qiladi. Bernulli formulasi . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 shartlarga ko‘ra, qiymatlarning ehtimolliklarini aniqlaymiz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Tekshiring: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Shunday qilib, istalgan binomial taqsimot qonuni X quyidagi shaklga ega:

Abscissa o'qida biz mumkin bo'lgan qiymatlarni x i, ordinata o'qida esa mos keladigan r i ehtimolliklarini chizamiz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nuqtalarni tuzamiz. Ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot poligonini olamiz.

3. F(x) = P(X) taqsimot funksiyasini toping

x ≤ 0 uchun biz F(x) = P(X) ga egamiz<0) = 0;
0 uchun< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 uchun< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 uchun< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 uchun F(x) = 1 bo'ladi, chunki voqea aniq.

F(x) funksiya grafigi

4. X binomial taqsimot uchun:
- matematik kutish M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart og'ish s(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

“Tasodifiy o’zgaruvchilar” mavzusi bo’yicha masalalar yechishga misollar.

Vazifa 1 . Lotereyada 100 ta chipta chiqarilgan. 50 AQSh dollari miqdoridagi bitta g'alaba o'ynaldi. va har biri 10 dollardan o'nta g'alaba. X qiymatini taqsimlash qonunini toping - mumkin bo'lgan daromadning qiymati.

Yechim. X ning mumkin bo'lgan qiymatlari: x 1 = 0; x 2 = 10 va x 3 = 50. 89 ta "bo'sh" chiptalar mavjud bo'lganligi sababli, p 1 = 0,89, g'alaba qozonish ehtimoli 10 c.u. (10 ta chipta) - p 2 = 0,10 va 50 c.u g'alaba uchun. – p 3 = 0,01. Shunday qilib:


	0,89	0,10	0,01

Boshqarish oson: .

Vazifa 2. Xaridorning mahsulot reklamasi bilan oldindan tanishish ehtimoli 0,6 (p = 0,6). Reklama sifatini tanlab nazorat qilish xaridorlarni reklamani oldindan o'rgangan birinchi xaridor oldidan so'rov o'tkazish orqali amalga oshiriladi. Intervyu qilingan xaridorlar sonini bir qator taqsimlash.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra p = 0,6. Kimdan: q=1 -p = 0,4. Ushbu qiymatlarni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: va tarqatish seriyasini tuzing:


pi		0,24

Vazifa 3. Kompyuter uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat: tizim bloki, monitor va klaviatura. Kuchlanishning bir marta keskin oshishi bilan har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bernoulli taqsimotiga asoslanib, tarmoqdagi quvvat kuchayishi paytida ishlamay qolgan elementlarning soni uchun taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim. O'ylab ko'ring Bernoulli taqsimoti(yoki binomial): ehtimollik n testlar, voqea A aniq paydo bo'ladi k bir marta: , yoki:


	q n					p n

IN keling, vazifaga qaytaylik.

X ning mumkin bo'lgan qiymatlari (nosozliklar soni):

x 0 =0 - elementlarning hech biri muvaffaqiyatsiz tugadi;

x 1 =1 - bitta elementning ishdan chiqishi;

x 2 =2 - ikkita elementning ishdan chiqishi;

x 3 =3 - barcha elementlarning ishlamay qolishi.

Chunki shart bo'yicha p = 0,1, keyin q = 1 - p = 0,9. Bernulli formulasidan foydalanib, biz olamiz

, ,

, .

Boshqaruv: .

Shunday qilib, kerakli taqsimot qonuni:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Vazifa 4. 5000 tur ishlab chiqarilgan. Bitta kartrij nuqsonli bo'lish ehtimoli . Butun partiyada aynan 3 ta nosoz patron bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Qo'llanilishi mumkin Puasson taqsimoti: bu taqsimot juda katta bo'lganligi ehtimolini aniqlash uchun ishlatiladi

sinovlar soni (ommaviy sinovlar), ularning har birida A hodisasi ehtimoli juda kichik, A hodisasi k marta sodir bo'ladi: , qayerda.

Bu erda n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Biz topamiz , keyin kerakli ehtimollik: .

Vazifa 5. P ni urish ehtimoli bilan birinchi zarbadan oldin otish paytida Otish uchun = 0,6, uchinchi zarbada urish ehtimolini topishingiz kerak.

Yechim. Geometrik taqsimotni qo'llaymiz: mustaqil sinovlar o'tkazilsin, ularning har birida A hodisasi p paydo bo'lish ehtimoliga ega (va sodir bo'lmaslik q = 1 - p). Sinovlar A hodisasi sodir bo'lishi bilanoq tugaydi.

Bunday sharoitda k-sinovda A hodisaning sodir bo'lish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi. Bu erda p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Shuning uchun, .

Vazifa 6. X tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni berilgan bo'lsin:

Matematik taxminni toping.

Yechim. .

E'tibor bering, matematik kutishning ehtimollik ma'nosi tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidir.

Vazifa 7. Quyidagi taqsimot qonuni bilan tasodifiy X ning dispersiyasini toping:

Yechim. Bu yerda .

X kvadratining taqsimlanish qonuni 2 :

X 2

Kerakli farq: .

Dispersiya tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanish (tarqalish) darajasini tavsiflaydi.

Vazifa 8. Tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot bilan berilgan bo'lsin:

			10m

Uning sonli xarakteristikalarini toping.

Yechish: m, m 2 ,

M 2 , m.

X tasodifiy o'zgaruvchisi haqida shuni aytish mumkinki, uning matematik kutilishi 6,4 m, dispersiyasi 13,04 m. 2 , yoki - uning matematik taxmini m og'ish bilan 6,4 m. Ikkinchi formula aniqroq aniq.

Vazifa 9. Tasodifiy qiymat X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:
.

Sinov natijasida X qiymati oraliqdagi qiymatni olish ehtimolini toping .

Yechim. X ning berilgan oraliqdan qiymat olishi ehtimolligi bu intervaldagi integral funktsiyaning o'sishiga teng, ya'ni. . Bizning holatda va shuning uchun

Vazifa 10. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash qonuni bilan belgilanadi:

Tarqatish funksiyasini toping F(x ) va uning grafigini tuzing.

Yechim. Tarqatish funktsiyasidan boshlab

uchun , keyin

da ;

Tegishli diagramma:

11-topshiriq. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X differensial taqsimot funksiyasi bilan berilgan: .

Urish ehtimolini toping X dan intervalgacha

Yechim. E'tibor bering, bu eksponensial taqsimot qonunining alohida holati.

Keling, formuladan foydalanamiz: .

Vazifa 12. Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni bilan berilgan sonli xarakteristikalarini toping:

–5

X 2:

. , qayerda Laplas funktsiyasidir.

Ushbu funktsiyaning qiymatlari jadval yordamida topiladi.

Bizning holatda: .

Jadvalga ko'ra biz topamiz:, shuning uchun:

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator X tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash jadvalini yaratish uchun ishlatiladi - bajarilgan tajribalar soni va seriyaning barcha xususiyatlarini hisoblash: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish. Qaror bilan hisobot Word formatida tuziladi. №1 misol. Uchta tanga tashlanadi. Gerbning bir rulonga tushishi ehtimoli 0,5 ga teng. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing - tushgan gerblar soni.
Yechim.
Gerb tushib qolmasligi ehtimoli: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Uchta gerb tushishi ehtimoli: P (3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Tekshiring: P = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

№2 misol. Birinchi otuvchi uchun bitta otishma bilan nishonga tegish ehtimoli 0,8, ikkinchi otish uchun - 0,85. Otishmalar nishonga bittadan o‘q uzishdi. Ayrim otishmalar uchun nishonni mustaqil hodisa sifatida urish deb faraz qilsak, A hodisasi ehtimolini toping - nishonga aynan bitta zarba.
Yechim.
A hodisasini ko'rib chiqing - nishonga bitta zarba. Ushbu hodisaning mumkin bo'lgan hodisalari quyidagilardan iborat:

Birinchi otilgan zarba, ikkinchi otish o‘tkazib yuborilgan: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
Birinchi otuvchi o'tkazib yubordi, ikkinchi otuvchi nishonga tegdi: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
Birinchi va ikkinchi otishmalar mustaqil ravishda nishonga tegdi: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

U holda A hodisasining ehtimoli - nishonga aynan bitta zarba, teng bo'ladi: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Ta'rif.Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi deb ataladi:

Misol. Yuqoridagi misol uchun biz topamiz

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini:

Kvadrat og'ishning mumkin bo'lgan qiymatlari:

; ;

Dispersiya quyidagicha:

Biroq, amalda, dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi. Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.

Farqni hisoblash

Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng.:

Isbot. Matematik kutish va matematik kutish kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, biz yozishimiz mumkin:

Keling, ushbu formulani yuqoridagi misolga qo'llaymiz:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Dispersiya xususiyatlari

1) Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:

2) Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:

3) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng:

4) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar farqining dispersiyasi ushbu oʻzgaruvchilarning dispersiyalari yigʻindisiga teng:

Bu tenglikning haqiqiyligi 2-xususiyatdan kelib chiqadi.

Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli doimiy bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasi ro‘y berish sonining dispersiyasi, sodir bo‘lish ehtimoli va hodisa ehtimoli bo‘yicha sinovlar sonining ko‘paytmasiga teng. har bir sinovda sodir bo'lmaydi:

Misol. Zavodda mahsulotning 96 foizi birinchi nav, 4 foizi ikkinchi nav ishlab chiqariladi. 1000 ta element tasodifiy tanlanadi. Bo'lsin X- ushbu namunadagi birinchi navdagi mahsulotlar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilmasini va dispersiyasini toping.

Shunday qilib, taqsimot qonunini binomial deb hisoblash mumkin.

Misol. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ikkita mustaqil sudda, agar har bir sud jarayonida ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng bo'lsa va ma'lum bo'lsa.

Chunki tasodifiy qiymat X binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi, keyin

Misol. Mustaqil testlar hodisaning bir xil yuzaga kelishi ehtimoli bilan amalga oshiriladi LEKIN har bir sinovda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping LEKIN agar uchta mustaqil sinovda hodisaning sodir bo'lish sonining dispersiyasi 0,63 bo'lsa.

Binom qonunining dispersiya formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

;

Misol. To'rtta mustaqil ishlaydigan qurilmadan iborat qurilma sinovdan o'tkazilmoqda. Qurilmalarning har birining ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda tengdir ; ; . Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonining matematik kutilishi va farqini toping.

Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonini tasodifiy o'zgaruvchi sifatida olib, biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining 0, 1, 2, 3 yoki 4 qiymatlarini olishi mumkinligini ko'ramiz.

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini tuzish uchun mos keladigan ehtimollarni aniqlash kerak. Qabul qilaylik.

1) Birorta ham qurilma ishlamay qoldi:

2) Qurilmalardan biri muvaffaqiyatsiz tugadi.