Паралельні прямі визначення та приклади. Паралельні прямі

Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.

З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива та наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.

приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умова паралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується під час уроків геометрії у неповній середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні розв'язки характерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t, для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

У цій статті ми розповімо про паралельні прямі, дамо визначення, позначимо ознаки та умови паралельності. Для наочності теоретичного матеріалу будемо використовувати ілюстрації та вирішення типових прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Паралельні прямі на площині- Дві прямі на площині, що не мають спільних точок.

Визначення 2

Паралельні прямі у тривимірному просторі- Дві прямі в тривимірному просторі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Необхідно звернути увагу, що для визначення паралельних прямих у просторі вкрай важливе уточнення «що лежать в одній площині»: дві прямі в тривимірному просторі, що не мають спільних точок і не лежать в одній площині, є не паралельними, а схрещуються.

Щоб позначити паралельність прямих, загальноприйнято використовувати символ . Тобто якщо задані прямі a і b паралельні, коротко записати цю умову потрібно так: a ‖ b . Словесно паралельність прямих позначається так: прямі a і b паралельні, або пряма а паралельна прямий b , або пряма b паралельна прямий а.

Сформулюємо твердження, що грає важливу роль у темі, що вивчається.

Аксіома

Через точку, що не належить заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна заданій. Це твердження неможливо довести з урахуванням відомих аксіом планіметрії.

У випадку, коли йдеться про простір, вірна теорема:

Теорема 1

Через будь-яку точку простору, що не належить заданій прямій, проходитиме єдина пряма, паралельна заданій.

Цю теорему легко довести з урахуванням вищевказаної аксіоми (програма геометрії 10 - 11 класів).

Ознака паралельності є достатньою умовою, при виконанні якої гарантовано паралельність прямих. Інакше висловлюючись, виконання цієї умови достатньо, щоб підтвердити факт паралельності.

У тому числі, мають місце необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у просторі. Пояснимо: необхідне – означає умова, виконання якого необхідне паралельності прямих; якщо його не виконано – прямі є паралельними.

Резюмуючи, необхідну та достатню умову паралельності прямих – така умова, дотримання якої необхідно і достатньо, щоб прямі були паралельні між собою. З одного боку, це ознака паралельності, з іншого – властивість, властива паралельним прямим.

Перед тим, як дати точне формулювання необхідної та достатньої умови, нагадаємо ще кілька додаткових понять.

Визначення 3

Поточна пряма- Пряма, що перетинає кожну з двох заданих неспівпадаючих прямих.

Перетинаючи дві прямі, січна утворює вісім нерозгорнутих кутів. Щоб сформулювати необхідну та достатню умову, будемо використовувати такі типи кутів, як навхрест лежачі, відповідні та односторонні. Продемонструємо їх на ілюстрації:

Теорема 2

Якщо дві прямі на площині перетинаються січною, то для паралельності заданих прямих необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівними, або були рівними відповідні кути, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Проілюструємо графічно необхідну та достатню умову паралельності прямих на площині:

Доказ зазначених умов є у програмі геометрії за 7 - 9 класи.

Загалом, ці умови застосовні і для тривимірного простору при тому, що дві прямі та січна належать одній площині.

Вкажемо ще кілька теорем, які часто використовуються при доказі факту паралельності прямих.

Теорема 3

На площині дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Ця ознака доводиться на основі аксіоми паралельності, зазначеної вище.

Теорема 4

У тривимірному просторі дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Доказ ознаки вивчається у програмі геометрії 10 класу.

Дамо ілюстрацію зазначених теорем:

Вкажемо ще одну пару теорем, що є доказом паралельності прямих.

Теорема 5

На площині дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Сформулюємо аналогічне для тривимірного простору.

Теорема 6

У тривимірному просторі дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Проілюструємо:

Усі зазначені вище теореми, ознаки та умови дозволяють зручно довести паралельність прямих методами геометрії. Тобто, щоб навести доказ паралельності прямих, можна показати, що рівні відповідні кути, або продемонструвати факт, що дві задані прямі перпендикулярні до третьої і т.д. Але зазначимо, що найчастіше для доказу паралельності прямих на площині чи тривимірному просторі зручніше використовувати метод координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат

У заданій прямокутній системі координат пряма визначається рівнянням прямої на площині одного з можливих видів. Так і прямий лінії, заданої у прямокутній системі координат у тривимірному просторі, відповідають деякі рівняння прямої у просторі.

Запишемо необхідні та достатні умови паралельності прямих у прямокутній системі координат залежно від типу рівняння, що описує задані прямі.

Почнемо з умови паралельності прямих на площині. Воно базується на визначеннях напрямного вектора прямої та нормального вектора прямої на площині.

Теорема 7

Щоб на площині дві несхожі прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори заданих прямих були колінеарними, або колінеарними нормальні вектори заданих прямих, або напрямний вектор однієї прямий був перпендикулярний нормальному вектору іншої прямої.

Стає очевидно, що умова паралельності прямих на площині базується на умові колінеарності векторів або перпендикулярності умов двох векторів. Тобто, якщо a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) є напрямними векторами прямих a і b;

і n b → = (n b x , n b y) є нормальними векторами прямих a і b , то зазначену вище необхідну та достатню умову запишемо так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y або n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y або a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , де t – деяке дійсне число. Координати напрямних чи прямих векторів визначаються за заданими рівняннями прямих. Розглянемо основні приклади.

Пряма a у прямокутній системі координат визначається загальним рівнянням прямої: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; пряма b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (А1, В1) і (А2, В2) відповідно. Умову паралельності запишемо так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

Пряма a описується рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом виду y = k 1 x + b 1 . Пряма b - y = k 2 x + b 2 . Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (k 1 -1) і (k 2 -1) відповідно, а умову паралельності запишемо так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким чином, якщо паралельні прямі на площині прямокутної системі координат задаються рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти заданих прямих будуть рівні. І вірне зворотне твердження: якщо неспадні прямі на площині прямокутної системі координат визначаються рівняннями прямої з однаковими кутовими коефіцієнтами, ці задані прямі паралельні.

Прямі a і b у прямокутній системі координат задані канонічними рівняннями прямої на площині: x - x 1 a x = y - y 1 a y і x - x 2 b x = y - y 2 b y або параметричними рівняннями прямої на площині: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y та x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тоді напрямні вектори заданих прямих будуть: a x , a y і b x , b y відповідно, а умову паралельності запишемо так:

a x = t · b x a y = t · b y

Розберемо приклади.

Приклад 1

Задано дві прямі: 2 x - 3 y + 1 = 0 та x 1 2 + y 5 = 1 . Необхідно визначити, чи вони паралельні.

Рішення

Запишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Ми бачимо, що n a → = (2 , - 3) - нормальний вектор прямий 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2 , 1 5 - нормальний вектор прямий x 1 2 + y 5 = 1 .

Отримані вектори є колінеарними, т.к. не існує такого значення t, при якому буде вірна рівність:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким чином, не виконується необхідна і достатня умова паралельності прямих на площині, а отже, задані прямі не паралельні.

Відповідь:задані прямі не паралельні.

Приклад 2

Задані прямі y = 2 x + 1 та x 1 = y - 4 2 . Чи паралельні вони?

Рішення

Перетворимо канонічне рівняння прямої x 1 = y - 4 2 до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Ми, що рівняння прямих y = 2 x + 1 і y = 2 x + 4 є однаковими (якщо було інакше, прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже задані прямі є паралельними.

Спробуємо розв'язати задачу інакше. Спочатку перевіримо, чи збігаються задані прямі. Використовуємо будь-яку точку прямої y = 2 x + 1 наприклад, (0 , 1) , координати цієї точки не відповідають рівнянню прямої x 1 = y - 4 2 , а значить прямі не збігаються.

Наступним кроком визначимо виконання умови паралельності заданих прямих.

Нормальний вектор прямий y = 2 x + 1 це вектор n a → = (2 , - 1) , а напрямний вектор другої заданої прямої є b → = (1 , 2) . Скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким чином, вектори перпендикулярні: це демонструє нам виконання необхідної та достатньої умови паралельності вихідних прямих. Тобто. задані прямі паралельні.

Відповідь:дані прямі паралельні.

Для доказу паралельності прямих у прямокутній системі координат тривимірного простору використовується така необхідна та достатня умова.

Теорема 8

Щоб дві несхожі прямі в тривимірному просторі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб вектори напрямних векторів цих прямих були колінеарними.

Тобто. при заданих рівняннях прямих у тривимірному просторі у відповідь питання: паралельні вони чи ні, перебуває з допомогою визначення координат напрямних векторів заданих прямих, і навіть перевірки умови їх коллинеарности. Інакше кажучи, якщо a → = (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) є напрямними векторами прямих a і b відповідно, то для того щоб вони були паралельні, необхідно існування такого дійсного числа t , щоб виконувалася рівність:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Приклад 3

Задані прямі x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 і x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необхідно довести паралельність цих прямих.

Рішення

Умовами завдання задані канонічні рівняння однієї прямої у просторі та параметричні рівняння іншої прямої у просторі. Напрямні вектори a → і b → заданих прямих мають координати: (1 , 0 , - 3) та (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Отже, необхідну та достатню умову паралельності прямих у просторі виконано.

Відповідь:паралельність заданих прямих доведено.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Сторінка 3 з 3

Запитання 21.Що таке кут трикутника при цій вершині?
Відповідь.Кутом трикутника ABC при вершині A називається кут, утворений напівпрямими AB та AC. Також визначаються кути трикутника при вершинах B і C.

Запитання 22.Які відрізки називаються рівними?
Відповідь.Відрізки називаються рівними, якщо їх довжини дорівнюють.
Питання 23. Які кути називаються рівними?
Відповідь.Кути називаються рівними, якщо їх градусні заходи дорівнюють.
Запитання 24.Які трикутники називаються рівними?
Відповідь.Трикутники називаються рівними, якщо у них відповідні сторони рівні та відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.
Запитання 25.Як на малюнку позначаються у рівних трикутників відповідні сторони та кути?
Відповідь.На кресленні рівні відрізки зазвичай відзначають однією, двома або трьома рисочками, а рівні кути - однією, двома або трьома дужками.

Запитання 26.Поясніть на малюнку 23 існування трикутника, що дорівнює даному.
Відповідь.

Нехай маємо трикутник ABC і промінь a (рис. 23, а). Перемістимо трикутник ABC так, щоб його вершина A поєдналася з початком променя a, вершина B потрапила на промінь a, а вершина C опинилася в заданій напівплощині щодо променя a та його продовження. Вершини нашого трикутника в цьому новому положенні позначимо A1, B1, C1 (рис. 23, б).
Трикутник A 1 B 1 C 1 дорівнює трикутнику ABC.
Запитання 27.Які прямі називаються паралельними? Який знак використовується для позначення паралельності прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Для позначення паралельності прямих використовується знак

Запитання 28.Сформулюйте основну властивість паралельних прямих.
Відповідь.Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Запитання 29.Наведіть приклад теореми.
Відповідь.Якщо пряма, що не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.