คำจำกัดความและตัวอย่างโดยตรงแบบขนาน เส้นขนาน

สัญญาณของความขนานกันของสองบรรทัด

ทฤษฎีบท 1 ถ้า เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดฉาก:

มุมตัดกันมีค่าเท่ากัน หรือ

มุมที่ตรงกันจะเท่ากันหรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180° ดังนั้น

เส้นขนานกัน(รูปที่ 1)

การพิสูจน์. เราจำกัดตัวเองให้พิสูจน์กรณีที่ 1

ให้เส้นตัด a และ b เป็นเส้นขวาง และมุม AB เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า || ข.

สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นพวกมันจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง M และมุมใดมุมหนึ่งที่ 4 หรือ 6 จะเป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความแน่นอน ให้ ∠ 4 เป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 เป็นมุมภายใน จากทฤษฎีบทเรื่องมุมภายนอกของสามเหลี่ยม จะได้ว่า ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกันได้ ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 1. เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันในระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นเดียวกันนั้นขนานกัน(รูปที่ 2)

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบทที่ 1 เรียกว่าวิธีการพิสูจน์โดยขัดแย้งหรือลดความไร้สาระ วิธีการนี้มีชื่อเรียกเพราะว่าในตอนเริ่มต้นของการโต้แย้ง มีการสันนิษฐานที่ขัดต่อ (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ มันถูกเรียกว่านำไปสู่ความไร้สาระเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อให้เหตุผลบนพื้นฐานของสมมติฐานที่เกิดขึ้นเราจึงได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (ไปสู่เรื่องไร้สาระ) การได้รับข้อสรุปดังกล่าวบังคับให้เราปฏิเสธสมมติฐานที่ทำไว้ตั้งแต่ต้น และยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ภารกิจที่ 1สร้างเส้นตรงที่ผ่านจุด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a โดยไม่ผ่านจุด M

สารละลาย. เราวาดเส้นตรง p ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราลากเส้น b ผ่านจุด M ซึ่งตั้งฉากกับเส้น p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1

ข้อสรุปที่สำคัญตามมาจากปัญหาที่พิจารณา:
ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด ก็สามารถลากเส้นขนานกับจุดที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นขนานเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนด

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของเส้นคู่ขนานที่ตามมาจากสัจพจน์นี้

1) หากเส้นหนึ่งตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกันอีกเส้นหนึ่งด้วย (รูปที่ 4)

2) หากเส้นสองเส้นที่แตกต่างกันขนานกับเส้นที่สาม เส้นนั้นจะขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท 2 ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง แล้ว:

มุมขวางเท่ากัน

มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

ข้อพิสูจน์ 2. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย(ดูรูปที่ 2)

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่ 2 เรียกว่าอินเวอร์สของทฤษฎีบทที่ 1 บทสรุปของทฤษฎีบทที่ 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 คือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน นั่นคือ ถ้าทฤษฎีบทที่กำหนดเป็น จริง ดังนั้นทฤษฎีบทผกผันอาจเป็นเท็จ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างทฤษฎีบทเรื่องมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน ทฤษฎีบทตรงกันข้ามคือ ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมทั้งสองก็จะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มุมสองมุมที่เท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้ง

ตัวอย่างที่ 1เส้นคู่ขนานสองเส้นถูกข้ามโดยหนึ่งในสาม เป็นที่ทราบกันว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30° หามุมเหล่านี้

สารละลาย. ให้รูปที่ 6 ตรงตามเงื่อนไข

บทความนี้เกี่ยวกับเส้นขนานและเส้นขนาน ขั้นแรก ให้คำจำกัดความของเส้นขนานบนระนาบและในอวกาศ มีการแนะนำสัญลักษณ์ ตัวอย่างและภาพประกอบกราฟิกของเส้นขนาน ต่อไปจะกล่าวถึงสัญญาณและเงื่อนไขของความขนานของเส้น โดยสรุป มีการแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของการพิสูจน์ความขนานของเส้น ซึ่งกำหนดโดยสมการบางอย่างของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบและในพื้นที่สามมิติ

การนำทางหน้า

เส้นขนาน -- ข้อมูลพื้นฐาน

คำนิยาม.

เรียกว่าสองบรรทัดในเครื่องบิน ขนานหากไม่มีจุดร่วม

คำนิยาม.

เส้นสองเส้นในอวกาศสามมิติเรียกว่า ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

โปรดทราบว่าประโยค “ถ้าพวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน” ในคำจำกัดความของเส้นคู่ขนานในอวกาศมีความสำคัญมาก ให้เราชี้แจงประเด็นนี้: เส้นสองเส้นในพื้นที่สามมิติที่ไม่มีจุดร่วมและไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันจะไม่ขนานกัน แต่ตัดกัน

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเส้นคู่ขนาน ขอบตรงข้ามของแผ่นสมุดบันทึกอยู่บนเส้นคู่ขนาน เส้นตรงที่ระนาบของผนังบ้านตัดกับระนาบของเพดานและพื้นขนานกัน รางรถไฟบนพื้นราบยังถือเป็นเส้นคู่ขนานอีกด้วย

หากต้องการแสดงเส้นขนานให้ใช้สัญลักษณ์ “” นั่นคือ ถ้าเส้น a และ b ขนานกัน เราก็เขียน a b สั้นๆ ได้

โปรดทราบ: ถ้าเส้น a และ b ขนานกัน เราก็บอกได้ว่าเส้น a ขนานกับเส้น b และเส้น b ก็ขนานกับเส้น a เช่นกัน

ให้เราแสดงข้อความที่มีบทบาทสำคัญในการศึกษาเส้นคู่ขนานบนระนาบ: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับจุดที่กำหนด ข้อความนี้ได้รับการยอมรับว่าเป็นข้อเท็จจริง (ไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่ทราบของ planimetry) และเรียกว่าสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน

สำหรับกรณีในอวกาศ ทฤษฎีบทนั้นใช้ได้ นั่นคือ ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นตรงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด ทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้สัจพจน์ข้างต้นของเส้นคู่ขนาน (คุณสามารถหาข้อพิสูจน์ได้ในหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 10-11 ซึ่งแสดงอยู่ท้ายบทความในรายการข้อมูลอ้างอิง)

สำหรับกรณีในอวกาศ ทฤษฎีบทนั้นใช้ได้ นั่นคือ ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นตรงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สัจพจน์เส้นขนานข้างต้น

ความขนานของเส้น - สัญญาณและเงื่อนไขของความเท่าเทียม

สัญลักษณ์ของเส้นขนานเป็นเงื่อนไขเพียงพอให้เส้นขนาน นั่นคือ เงื่อนไขที่การปฏิบัติตามซึ่งรับประกันว่าเส้นจะขนานกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่าเส้นขนานกัน

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบและในปริภูมิสามมิติ

ให้เราอธิบายความหมายของวลี “เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นคู่ขนาน”

เราได้จัดการกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับเส้นขนานแล้ว “เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเส้นคู่ขนาน” คืออะไร? จากชื่อ "จำเป็น" เป็นที่ชัดเจนว่าการปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้จำเป็นสำหรับเส้นคู่ขนาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าไม่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเส้นขนาน เส้นนั้นก็จะไม่ขนานกัน ดังนั้น, สภาพที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นคู่ขนานเป็นเงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตามซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นคู่ขนาน นั่นคือสัญลักษณ์ของความขนานของเส้นตรง และอีกด้านหนึ่ง นี่คือคุณสมบัติที่เส้นคู่ขนานมี

ก่อนที่จะกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้น ขอแนะนำให้จำคำจำกัดความเสริมหลายประการ

เส้นตัดคือเส้นตรงที่ตัดกันเส้นตรงที่ไม่ตรงกันสองเส้นที่กำหนด

เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวาง จะเกิดเส้นที่ยังไม่พัฒนาแปดเส้นเกิดขึ้น ในการกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นที่เรียกว่า นอนขวางซึ่งสอดคล้องกันและ มุมด้านเดียว- มาแสดงในรูปวาดกันดีกว่า

ทฤษฎีบท.

หากเส้นตรงสองเส้นในระนาบตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง ดังนั้นเพื่อให้เส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกัน จำเป็นและเพียงพอที่มุมที่ตัดกันจะเท่ากัน หรือมุมที่ตรงกันเท่ากัน หรือผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180 องศา

ขอให้เราแสดงภาพกราฟิกของเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบ

คุณสามารถดูข้อพิสูจน์เกี่ยวกับเงื่อนไขเหล่านี้สำหรับความขนานของเส้นได้ในหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

โปรดทราบว่าเงื่อนไขเหล่านี้สามารถใช้ในพื้นที่สามมิติได้ - สิ่งสำคัญคือเส้นตรงสองเส้นและเส้นตัดฉากอยู่ในระนาบเดียวกัน

ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทบางส่วนที่มักใช้เพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้น

ทฤษฎีบท.

หากเส้นตรงสองเส้นในระนาบขนานกับเส้นที่สาม เส้นนั้นจะขนานกัน การพิสูจน์เกณฑ์นี้ตามมาจากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน

มีเงื่อนไขคล้ายกันสำหรับเส้นคู่ขนานในพื้นที่สามมิติ

ทฤษฎีบท.

ถ้าเส้นตรงสองเส้นในอวกาศขนานกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองจะขนานกัน การพิสูจน์เกณฑ์นี้จะกล่าวถึงในบทเรียนเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ให้เราอธิบายทฤษฎีบทที่ระบุไว้

ให้เรานำเสนออีกทฤษฎีบทที่ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ความขนานของเส้นบนระนาบได้

ทฤษฎีบท.

หากเส้นตรงสองเส้นในระนาบตั้งฉากกับเส้นที่สาม เส้นนั้นจะขนานกัน

มีทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับเส้นในอวกาศ

ทฤษฎีบท.

หากเส้นตรงสองเส้นในพื้นที่สามมิติตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน เส้นทั้งสองนั้นจะขนานกัน

ให้เราวาดภาพที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทเหล่านี้

ทฤษฎีบท เกณฑ์ และเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอทั้งหมดที่จัดทำขึ้นข้างต้น เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการพิสูจน์ความขนานของเส้นโดยใช้วิธีเรขาคณิต นั่นคือ เพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนด คุณต้องแสดงว่าเส้นทั้งสองขนานกับเส้นที่สาม หรือแสดงความเท่าเทียมกันของมุมนอนตามขวาง เป็นต้น ปัญหาที่คล้ายกันหลายอย่างได้รับการแก้ไขในบทเรียนเรขาคณิตในโรงเรียนมัธยมปลาย อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าในหลายกรณี การใช้วิธีพิกัดเพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้นบนระนาบหรือในพื้นที่สามมิตินั้นสะดวก ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นที่ระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ในย่อหน้านี้เราจะกำหนด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นขนานในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการที่กำหนดเส้นเหล่านี้ และเราจะให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับปัญหาลักษณะเฉพาะด้วย

เริ่มจากเงื่อนไขความขนานของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy การพิสูจน์ของเขาขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและคำจำกัดความของเวกเตอร์ปกติของเส้นบนระนาบ

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตรงกันขนานกันในระนาบ จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้เป็นเส้นตรง หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นเหล่านี้เป็นเส้นตรง หรือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นปกติ เวกเตอร์ของบรรทัดที่สอง

แน่นอนว่า สภาพความขนานของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบจะลดลงเหลือ (เวกเตอร์ทิศทางของเส้นหรือเวกเตอร์ปกติของเส้น) หรือเป็น (เวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งเส้นและเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง) ดังนั้น ถ้า และ เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b และ และ เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a และ b ตามลำดับ จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของเส้น a และ b จะถูกเขียนเป็น , หรือ หรือ โดยที่ t คือจำนวนจริง ในทางกลับกัน พิกัดของเส้นบอกแนวและ (หรือ) เวกเตอร์ปกติของเส้น a และ b จะถูกพบโดยใช้สมการของเส้นที่ทราบ

โดยเฉพาะถ้าเส้นตรง a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบกำหนดสมการเส้นตรงทั่วไปของแบบฟอร์ม และเส้นตรง b - จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นเหล่านี้มีพิกัดและตามลำดับ และเงื่อนไขของความขนานของเส้น a และ b จะถูกเขียนเป็น

หากเส้น a สอดคล้องกับสมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบ และเส้น b - ดังนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นเหล่านี้จะมีพิกัด และ และเงื่อนไขสำหรับการขนานของเส้นเหล่านี้จะอยู่ในรูปแบบ - ดังนั้น ถ้าเส้นบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมขนานกันและสามารถระบุได้ด้วยสมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นจะเท่ากัน และในทางกลับกัน: ถ้าเส้นที่ไม่ตรงกันบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถระบุได้ด้วยสมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน เส้นดังกล่าวจะขนานกัน

ถ้าเส้น a และเส้น b ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบของรูปแบบ และ หรือสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบของแบบฟอร์ม และ ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้จึงมีพิกัด และ และเงื่อนไขของความขนานของเส้น a และ b เขียนเป็น

ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

เส้นขนานกันหรือเปล่า? และ ?

สารละลาย.

ให้เราเขียนสมการของเส้นใหม่ในส่วนต่างๆ ในรูปแบบของสมการทั่วไปของเส้น: - ทีนี้เราเห็นแล้วว่านั่นคือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง , a คือเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง เวกเตอร์เหล่านี้ไม่เป็นเส้นตรง เนื่องจากไม่มีจำนวนจริง t ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน ( - ด้วยเหตุนี้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบจึงไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้น เส้นที่กำหนดจึงไม่ขนานกัน

คำตอบ:

ไม่ เส้นไม่ขนานกัน

ตัวอย่าง.

เป็นเส้นตรงและขนานกัน?

สารละลาย.

ให้เราลดสมการทางบัญญัติของเส้นตรงให้เป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม: . เห็นได้ชัดว่าสมการของเส้นและไม่เหมือนกัน (ในกรณีนี้ เส้นที่กำหนดจะเหมือนกัน) และค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นจะเท่ากัน ดังนั้น เส้นเดิมจึงขนานกัน

ในบทความนี้เราจะพูดถึงเส้นขนาน ให้คำจำกัดความ และสรุปสัญญาณและเงื่อนไขของความขนาน เพื่อให้เนื้อหาทางทฤษฎีชัดเจนขึ้น เราจะใช้ภาพประกอบและวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไป

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

เส้นขนานบนเครื่องบิน- เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบินที่ไม่มีจุดร่วม

คำจำกัดความ 2

เส้นขนานในพื้นที่สามมิติ- เส้นตรงสองเส้นในปริภูมิสามมิติ อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

โปรดทราบว่าในการกำหนดเส้นคู่ขนานในอวกาศ การชี้แจงว่า "นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน" มีความสำคัญอย่างยิ่ง: เส้นสองเส้นในพื้นที่สามมิติที่ไม่มีจุดร่วมและไม่ได้นอนอยู่ในระนาบเดียวกันจะไม่ขนานกัน แต่ตัดกัน.

เพื่อระบุเส้นขนาน เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ ∥ นั่นคือ ถ้าเส้นตรง a และ b ขนานกัน เงื่อนไขนี้ควรเขียนสั้นๆ ดังนี้: a ‖ b ในทางวาจา ความขนานของเส้นแสดงได้ดังนี้ เส้น a และ b ขนานกัน หรือเส้น a ขนานกับเส้น b หรือเส้น b ขนานกับเส้น a

ให้เรากำหนดข้อความที่มีบทบาทสำคัญในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่

สัจพจน์

เมื่อผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด เส้นตรงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนดจะผ่าน ข้อความนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่ทราบของแผนผังระนาบ

ในกรณีที่เรากำลังพูดถึงอวกาศ ทฤษฎีบทจะเป็นจริง:

ทฤษฎีบท 1

ผ่านจุดใดๆ ในอวกาศที่ไม่อยู่ในเส้นที่กำหนด จะมีเส้นตรงเส้นเดียวขนานกับเส้นที่กำหนด

ทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ได้ง่ายบนพื้นฐานของสัจพจน์ข้างต้น (โปรแกรมเรขาคณิตสำหรับเกรด 10 - 11)

เกณฑ์ความเท่าเทียมเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ ซึ่งการปฏิบัติตามนั้นรับประกันความขนานของเส้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้เพียงพอที่จะยืนยันความจริงของความเท่าเทียม

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบและในอวกาศ ให้เราอธิบาย: จำเป็นหมายถึงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเส้นคู่ขนาน ถ้าไม่สมหวัง เส้นก็ไม่ขนานกัน

โดยสรุป เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันของเส้นคือเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นขนานกัน ในอีกด้านหนึ่งนี่คือสัญญาณของความเท่าเทียม ในทางกลับกัน มันเป็นคุณสมบัติที่มีอยู่ในเส้นคู่ขนาน

ก่อนที่จะให้การกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอให้เรานึกถึงแนวคิดเพิ่มเติมบางประการก่อน

คำจำกัดความ 3

เส้นตัด– เส้นตรงที่ตัดกันโดยให้เส้นตรงไม่ตรงกัน

เส้นตัดขวางสองเส้นตัดกันทำให้เกิดมุมที่ยังไม่พัฒนาแปดมุม เพื่อกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ เราจะใช้มุมประเภทต่างๆ เช่น กากบาท ที่สอดคล้องกัน และด้านเดียว มาสาธิตกันในภาพประกอบ:

ทฤษฎีบท 2

หากเส้นตรงสองเส้นในระนาบตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง ดังนั้นเพื่อให้เส้นที่กำหนดขนานกัน จำเป็นและเพียงพอที่มุมที่ตัดกันจะเท่ากัน หรือมุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน หรือผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180 องศา

ให้เราแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบ:

การพิสูจน์เงื่อนไขเหล่านี้มีอยู่ในโปรแกรมเรขาคณิตสำหรับเกรด 7 - 9

โดยทั่วไป เงื่อนไขเหล่านี้ใช้กับปริภูมิสามมิติด้วย โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นตรงสองเส้นและเส้นตัดมุมต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน

ให้เราระบุทฤษฎีบทอีกสองสามข้อที่มักใช้เพื่อพิสูจน์ความจริงที่ว่าเส้นขนานกัน

ทฤษฎีบท 3

บนเครื่องบิน เส้นสองเส้นที่ขนานกับหนึ่งในสามจะขนานกัน คุณลักษณะนี้ได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของสัจพจน์ความเท่าเทียมที่ระบุไว้ข้างต้น

ทฤษฎีบท 4

ในปริภูมิสามมิติ เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับหนึ่งในสามจะขนานกัน

การพิสูจน์เครื่องหมายได้รับการศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ให้เรายกตัวอย่างทฤษฎีบทเหล่านี้:

ให้เราระบุทฤษฎีบทอีกคู่หนึ่งที่พิสูจน์ความขนานของเส้น

ทฤษฎีบท 5

บนเครื่องบิน เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับหนึ่งในสามจะขนานกัน

ให้เราสร้างสิ่งที่คล้ายกันสำหรับปริภูมิสามมิติ

ทฤษฎีบท 6

ในปริภูมิสามมิติ เส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับหนึ่งในสามจะขนานกัน

มาอธิบายกัน:

ทฤษฎีบท สัญญาณ และเงื่อนไขข้างต้นทั้งหมดทำให้สามารถพิสูจน์ความขนานของเส้นได้โดยสะดวกโดยใช้วิธีเรขาคณิต นั่นคือ เพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้น เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่ามุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน หรือแสดงให้เห็นว่าเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สาม เป็นต้น แต่โปรดทราบว่าการใช้วิธีพิกัดเพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้นบนระนาบหรือในพื้นที่สามมิติมักจะสะดวกกว่า

ความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการของเส้นตรงบนระนาบประเภทใดประเภทหนึ่งที่เป็นไปได้ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่สามมิติจะสอดคล้องกับสมการบางประการของเส้นตรงในอวกาศ

ให้เราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการที่อธิบายเส้นที่กำหนด

เริ่มจากเงื่อนไขความขนานของเส้นบนระนาบกันก่อน ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและเวกเตอร์ปกติของเส้นบนระนาบ

ทฤษฎีบท 7

เพื่อให้เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกันบนระนาบ มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนดให้เป็นเส้นตรง หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดให้เป็นเส้นตรง หรือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งตั้งฉากกับ เวกเตอร์ปกติของอีกเส้นหนึ่ง

เห็นได้ชัดว่าสภาพความขนานของเส้นบนระนาบนั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์หรือเงื่อนไขของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว นั่นคือ ถ้า a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b ;

และ n b → = (n b x , n b y) เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น a และ b จากนั้นเราเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอข้างต้นดังนี้: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y หรือ n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y หรือ a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 โดยที่ t คือจำนวนจริงบางจำนวน พิกัดของเส้นบอกแนวหรือเวกเตอร์เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการที่กำหนดของเส้นตรง ลองดูตัวอย่างหลัก ๆ

1. เส้น a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้นตรง: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; เส้นตรง b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะมีพิกัด (A 1, B 1) และ (A 2, B 2) ตามลำดับ เราเขียนเงื่อนไขความเท่าเทียมดังนี้:

ก 1 = เสื้อ ก 2 B 1 = เสื้อ B 2

1. เส้น a อธิบายได้ด้วยสมการของเส้นตรงที่มีความชันในรูปแบบ y = k 1 x + b 1 เส้นตรง b - y = k 2 x + b 2 จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดจะมีพิกัด (k 1, - 1) และ (k 2, - 1) ตามลำดับ และเราจะเขียนเงื่อนไขความขนานดังนี้:

k 1 = เสื้อ k 2 - 1 = เสื้อ (- 1) ⇔ k 1 = เสื้อ k 2 เสื้อ = 1 ⇔ k 1 = k 2

ดังนั้น หากเส้นขนานบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นที่กำหนดจะเท่ากัน และข้อความที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริง: หากเส้นที่ไม่ตรงกันบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน เส้นที่กำหนดเหล่านี้จะขนานกัน

1. เส้น a และ b ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นตรงบนระนาบ: x - x 1 a x = y - y 1 a y และ x - x 2 b x = y - y 2 by หรือโดยสมการพาราเมตริกของ เส้นตรงบนระนาบ: x = x 1 + แลม · a x y = y 1 + แลม · a y และ x = x 2 + แลม · b x y = y 2 + แล · b y

จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนดจะเป็น: a x, a y และ b x, b y ตามลำดับ และเราจะเขียนเงื่อนไขความขนานดังนี้:

a x = t b x a y = t b y

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้มีสองบรรทัด: 2 x - 3 y + 1 = 0 และ x 1 2 + y 5 = 1 มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าขนานกันหรือไม่

สารละลาย

ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงเป็นส่วนๆ ในรูปแบบของสมการทั่วไป:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 ปี - 1 = 0

เราจะเห็นว่า n a → = (2, - 3) เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง 2 x - 3 y + 1 = 0 และ n b → = 2, 1 5 เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง x 1 2 + y 5 = 1.

เวกเตอร์ที่ได้นั้นไม่เป็นเส้นตรง เพราะว่า ไม่มีค่าททท.ใดที่ความเสมอภาคจะเป็นจริง:

2 = เสื้อ 2 - 3 = เสื้อ 1 5 ⇔ เสื้อ = 1 - 3 = เสื้อ 1 5 ⇔ เสื้อ = 1 - 3 = 1 5

ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นบนระนาบไม่เป็นที่พอใจ ซึ่งหมายความว่าเส้นที่กำหนดไม่ขนานกัน

คำตอบ:เส้นที่กำหนดไม่ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 2

จะได้เส้น y = 2 x + 1 และ x 1 = y - 4 2 พวกมันขนานกันหรือเปล่า?

สารละลาย

ลองแปลงสมการทางบัญญัติของเส้นตรง x 1 = y - 4 2 เป็นสมการของเส้นตรงที่มีความชัน:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

เราจะเห็นว่าสมการของเส้นตรง y = 2 x + 1 และ y = 2 x + 4 ไม่เหมือนกัน (หากไม่เป็นเช่นนั้น เส้นตรงจะบังเอิญ) และค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า เส้นที่กำหนดขนานกัน

ลองแก้ปัญหาที่แตกต่างออกไป ขั้นแรก ให้ตรวจสอบว่าบรรทัดที่กำหนดตรงกันหรือไม่ เราใช้จุดใดๆ บนเส้นตรง y = 2 x + 1 เช่น (0, 1) พิกัดของจุดนี้ไม่ตรงกับสมการของเส้น x 1 = y - 4 2 ซึ่งหมายถึงเส้นทำ ไม่ตรงกัน

ขั้นตอนต่อไปคือการพิจารณาว่าตรงตามเงื่อนไขความขนานของเส้นที่กำหนดหรือไม่

เวกเตอร์ปกติของเส้นตรง y = 2 x + 1 คือเวกเตอร์ n a → = (2 , - 1) และเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่สองที่กำหนดคือ b → = (1 , 2) ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:

ไม่มี → , ข → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ดังนั้นเวกเตอร์จึงตั้งฉาก: สิ่งนี้แสดงให้เราเห็นว่าการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของเส้นดั้งเดิม เหล่านั้น. เส้นที่กำหนดขนานกัน

คำตอบ:เส้นเหล่านี้ขนานกัน

เพื่อพิสูจน์ความขนานของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ให้ใช้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 8

เพื่อให้เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตรงกันในปริภูมิสามมิติขนานกัน เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเหล่านี้จำเป็นและเพียงพอ

เหล่านั้น. เมื่อพิจารณาสมการของเส้นในพื้นที่สามมิติ คำตอบของคำถาม: พวกมันขนานกันหรือไม่ โดยการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนดตลอดจนการตรวจสอบสภาพของความเป็นเส้นตรง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า a → = (a x, a y, a z) และ b → = (b x, b y, b z) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ b ตามลำดับ ดังนั้นเพื่อให้พวกมันขนานกัน การมีอยู่ของเวกเตอร์ จำเป็นต้องมีจำนวนจริง t เพื่อให้ความเท่าเทียมกันคงอยู่:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ตัวอย่างที่ 3

จะได้เส้น x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 และ x = 2 + 2 แลมบ์ y = 1 z = - 3 - 6 แลมบ์ จำเป็นต้องพิสูจน์ความขนานของเส้นเหล่านี้

สารละลาย

เงื่อนไขของปัญหากำหนดโดยสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิและสมการพาราเมตริกของอีกเส้นหนึ่งในปริภูมิ เวกเตอร์นำทาง ก → และ b → เส้นที่กำหนดมีพิกัด: (1, 0, - 3) และ (2, 0, - 6)

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 แล้ว a → = 1 2 · b →

ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของเส้นในอวกาศ

คำตอบ:ความขนานของเส้นที่กำหนดได้รับการพิสูจน์แล้ว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

หน้าที่ 3 จาก 3

คำถามที่ 21.มุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอดที่กำหนดเป็นเท่าใด?
คำตอบ.มุมของสามเหลี่ยม ABC ที่จุดยอด A คือมุมที่เกิดจากครึ่งเส้น AB และ AC มุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C ก็ถูกกำหนดเช่นกัน

คำถามที่ 22.ส่วนใดที่เรียกว่าเท่ากัน?
คำตอบ.เซ็กเมนต์จะถูกเรียกว่าเท่ากันหากความยาวเท่ากัน
คำถาม 23. มุมใดเรียกว่าเท่ากัน?
คำตอบ.มุมจะเรียกว่าเท่ากันถ้าการวัดระดับเท่ากัน
คำถามที่ 24.สามเหลี่ยมใดเรียกว่าเท่ากัน?
คำตอบ.สามเหลี่ยมจะเรียกว่าเท่ากันทุกประการหากด้านที่ตรงกันเท่ากันและมุมที่ตรงกันเท่ากัน ในกรณีนี้ มุมที่ตรงกันจะต้องอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ตรงกัน
คำถามที่ 25.ด้านและมุมที่สอดคล้องกันถูกทำเครื่องหมายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันอย่างไร
คำตอบ.ในภาพวาด ส่วนที่เท่ากันมักถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นหนึ่ง สอง หรือสามเส้น และมุมที่เท่ากันจะมีส่วนโค้งหนึ่ง สอง หรือสามส่วน

คำถามที่ 26.จากรูปที่ 23 อธิบายการมีอยู่ของสามเหลี่ยมเท่ากับอันนี้
คำตอบ.

ขอให้เรามีสามเหลี่ยม ABC และรังสี a (รูปที่ 23, a) ลองย้ายสามเหลี่ยม ABC เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดเริ่มต้นของรังสี a จุดยอด B อยู่บนรังสี a และจุดยอด C อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดสัมพันธ์กับรังสี a และส่วนขยาย เราจะแสดงจุดยอดของสามเหลี่ยมของเราในตำแหน่งใหม่นี้เป็น A 1, B 1, C 1 (รูปที่ 23, b)
สามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เท่ากับสามเหลี่ยม ABC
คำถามที่ 27.เส้นใดเรียกว่าเส้นขนาน? เครื่องหมายใดใช้ระบุเส้นคู่ขนาน
คำตอบ.เส้นตรงสองเส้นจะเรียกว่าขนานกันหากไม่ตัดกัน เพื่อระบุความขนานของเส้น ให้ใช้เครื่องหมาย

คำถามที่ 28.ระบุคุณสมบัติหลักของเส้นขนาน
คำตอบ.ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะวาดบนเครื่องบินด้วยเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดมากที่สุดหนึ่งเส้น
คำถามที่ 29.ขอยกตัวอย่างทฤษฎีบท
คำตอบ.หากเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมตัดกับด้านใดด้านหนึ่ง ก็จะตัดกับด้านใดด้านหนึ่งจากอีกสองด้านเท่านั้น