Skillnad och summa av en aritmetisk progression. Aritmetisk progression: vad är det

Många har hört talas om en aritmetisk progression, men inte alla är väl medvetna om vad det är. I den här artikeln kommer vi att ge motsvarande definition och även överväga frågan om hur man hittar skillnaden mellan en aritmetisk progression och ge ett antal exempel.

Matematisk definition

Så, om vi talar om en aritmetisk eller algebraisk progression (dessa begrepp definierar samma sak), så betyder det att det finns någon talserie som uppfyller följande lag: vartannat angränsande tal i serien skiljer sig med samma värde. Matematiskt skrivs detta så här:

Här betyder n numret på elementet a n i sekvensen, och talet d är skillnaden i progressionen (dess namn följer av den presenterade formeln).

Vad betyder det att veta skillnaden d? Om hur långt ifrån varandra intilliggande nummer är. Kunskap om d är dock en nödvändig men inte tillräcklig förutsättning för att bestämma (återställa) hela progressionen. Du måste känna till ytterligare ett nummer, vilket kan vara absolut vilket element som helst i den aktuella serien, till exempel en 4, a10, men som regel används det första talet, det vill säga en 1.

Formler för att bestämma elementen i progressionen

I allmänhet är informationen ovan redan tillräcklig för att gå vidare till att lösa specifika problem. Ändå, innan en aritmetisk progression ges, och det kommer att vara nödvändigt att hitta dess skillnad, presenterar vi ett par användbara formler, vilket underlättar den efterföljande processen att lösa problem.

Det är lätt att visa att alla element i sekvensen med nummer n kan hittas enligt följande:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Alla kan faktiskt kontrollera denna formel med en enkel uppräkning: om du ersätter n = 1 får du det första elementet, om du ersätter n = 2, då ger uttrycket summan av det första talet och skillnaden, och så vidare .

Villkoren för många problem är sammanställda på ett sådant sätt att för ett känt par av nummer, vars nummer också anges i sekvensen, är det nödvändigt att återställa hela nummerserien (hitta skillnaden och det första elementet). Nu kommer vi att lösa detta problem på ett allmänt sätt.

Så låt oss säga att vi får två element med talen n och m. Med hjälp av ovanstående formel kan vi komponera ett system av två ekvationer:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

För att hitta okända storheter använder vi en välkänd enkel metod för att lösa ett sådant system: vi subtraherar vänster och höger del i par, medan likheten förblir giltig. Vi har:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Således har vi eliminerat en okänd (en 1). Nu kan vi skriva det slutliga uttrycket för att bestämma d:

d = (a n - a m) / (n - m), där n > m

Vi har fått en mycket enkel formel: för att beräkna skillnaden d i enlighet med villkoren för problemet är det bara nödvändigt att ta förhållandet mellan skillnaderna mellan själva elementen och deras serienummer. Uppmärksamhet bör fästas vid en viktig punkt: skillnaderna tas mellan "senior" och "junior" medlemmarna, det vill säga n> m ("senior" - vilket betyder att man står längre från början av sekvensen, dess absoluta värde kan vara antingen mer eller mindre mer "yngre" element).

Uttrycket för skillnaden d av progressionen bör ersättas i någon av ekvationerna i början av lösningen av problemet för att erhålla värdet av den första termen.

I vår tid av datateknisk utveckling försöker många skolelever hitta lösningar för sina uppgifter på Internet, så frågor av den här typen uppstår ofta: hitta skillnaden på en aritmetisk progression online. På en sådan begäran kommer sökmotorn att visa ett antal webbsidor, genom att gå till vilka du måste ange data som är känd från villkoret (det kan vara antingen två medlemmar av progressionen eller summan av några av dem) och få ett svar direkt. Ändå är ett sådant tillvägagångssätt för att lösa problemet improduktivt när det gäller utvecklingen av studenten och förståelsen av kärnan i uppgiften som tilldelats honom.

Lösning utan att använda formler

Låt oss lösa det första problemet, medan vi inte kommer att använda någon av formlerna ovan. Låt elementen i serien ges: a6 = 3, a9 = 18. Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen.

Kända element ligger nära varandra på rad. Hur många gånger måste skillnaden d läggas till den minsta för att få den största? Tre gånger (första gången vi lägger till d får vi det 7:e elementet, andra gången - den åttonde, slutligen tredje gången - den nionde). Vilket tal måste läggas till tre tre gånger för att få 18? Det här är nummer fem. Verkligen:

Den okända skillnaden är alltså d = 5.

Naturligtvis kunde lösningen göras med hjälp av lämplig formel, men detta gjordes inte avsiktligt. En detaljerad förklaring av lösningen på problemet bör bli ett tydligt och levande exempel på vad en aritmetisk progression är.

En uppgift som liknar den föregående

Låt oss nu lösa ett liknande problem, men ändra indata. Så du bör hitta om a3 = 2, a9 = 19.

Naturligtvis kan du återigen ta till metoden att lösa "på pannan". Men eftersom elementen i serien är givna, som är relativt långt ifrån varandra, blir en sådan metod inte särskilt bekväm. Men att använda den resulterande formeln leder oss snabbt till svaret:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Här har vi avrundat slutsiffran. Hur mycket denna avrundning ledde till ett fel kan bedömas genom att kontrollera resultatet:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Detta resultat skiljer sig endast med 0,1 % från det värde som anges i villkoret. Därför kan avrundning till hundradelar anses vara ett bra val.

Uppgifter för att tillämpa formeln för en medlem

Låt oss överväga ett klassiskt exempel på problemet med att bestämma det okända d: hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen om a1 = 12, a5 = 40.

När två tal av en okänd algebraisk sekvens ges, och ett av dem är elementet a 1 , behöver du inte tänka länge, utan du bör omedelbart tillämpa formeln för a n-medlemmen. I det här fallet har vi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Vi fick det exakta numret när vi dividerade, så det är ingen mening att kontrollera noggrannheten hos det beräknade resultatet, som gjordes i föregående stycke.

Låt oss lösa ett annat liknande problem: vi bör hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen om a1 = 16, a8 = 37.

Vi använder ett liknande tillvägagångssätt som det tidigare och får:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Vad mer du bör veta om aritmetisk progression

Förutom problem med att hitta en okänd skillnad eller enskilda element är det ofta nödvändigt att lösa problem med summan av de första termerna i en sekvens. Övervägandet av dessa problem ligger utanför räckvidden för artikelns ämne, men för fullständig information presenterar vi en allmän formel för summan av n nummer i serien:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Första nivån

Aritmetisk progression. Detaljerad teori med exempel (2019)

Numerisk sekvens

Så låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan vara hur många som helst (i vårt fall, dem). Oavsett hur många siffror vi skriver kan vi alltid säga vilket av dem som är det första, vilket är det andra och så vidare till det sista, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens:

Numerisk sekvens
Till exempel för vår sekvens:

Det tilldelade numret är specifikt för endast ett sekvensnummer. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Det andra numret (som det -th talet) är alltid detsamma.
Numret med numret kallas den -:e medlemmen av sekvensen.

Vi brukar kalla hela sekvensen för någon bokstav (till exempel), och varje medlem av denna sekvens - samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .

I vårat fall:

Låt oss säga att vi har en numerisk sekvens där skillnaden mellan intilliggande tal är densamma och lika.
Till exempel:

etc.
En sådan numerisk sekvens kallas en aritmetisk progression.
Begreppet "progression" introducerades av den romerske författaren Boethius redan på 600-talet och förstods i vidare mening som en oändlig numerisk sekvens. Namnet "aritmetik" överfördes från teorin om kontinuerliga proportioner, som de gamla grekerna var engagerade i.

Detta är en numerisk sekvens där varje medlem är lika med den föregående, läggs till med samma nummer. Detta tal kallas skillnaden för en aritmetisk progression och betecknas.

Försök att avgöra vilka talsekvenser som är en aritmetisk progression och vilka som inte är det:

a)
b)
c)
d)

Jag förstår? Jämför våra svar:
Är aritmetisk progression - b, c.
Är inte aritmetisk progression - a, d.

Låt oss återgå till den givna progressionen () och försöka hitta värdet på dess e medlem. Existerar två sätt att hitta det.

1. Metod

Vi kan lägga till det tidigare värdet på progressionsnumret tills vi når progressionens tredje term. Det är bra att vi inte har så mycket att sammanfatta - bara tre värden:

Så den -e medlemmen av den beskrivna aritmetiska progressionen är lika med.

2. Sätt

Tänk om vi behövde hitta värdet av progressionens tredje term? Summeringen skulle ha tagit oss mer än en timme, och det är inte ett faktum att vi inte skulle ha gjort misstag när vi adderade siffrorna.
Naturligtvis har matematiker kommit på ett sätt där man inte behöver lägga till skillnaden mellan en aritmetisk progression till det tidigare värdet. Titta noga på den ritade bilden ... Du har säkert redan lagt märke till ett visst mönster, nämligen:

Låt oss till exempel se vad som utgör värdet av den -e medlemmen i denna aritmetiska progression:

Med andra ord:

Försök att självständigt hitta på detta sätt värdet av en medlem av denna aritmetiska progression.

Beräknad? Jämför dina inlägg med svaret:

Var uppmärksam på att du fick exakt samma nummer som i den föregående metoden, när vi successivt adderade medlemmarna i en aritmetisk progression till det föregående värdet.
Låt oss försöka "avpersonifiera" denna formel - vi tar den till en allmän form och får:

Aritmetisk progressionsekvation.

Aritmetiska progressioner antingen ökar eller minskar.

Ökande- progressioner där varje efterföljande värde av termerna är större än det föregående.
Till exempel:

Nedåtgående- förlopp där varje efterföljande värde av termerna är mindre än det föregående.
Till exempel:

Den härledda formeln används vid beräkning av termer i både ökande och minskande termer av en aritmetisk progression.
Låt oss kolla upp det i praktiken.
Vi får en aritmetisk progression som består av följande tal:

Sedan dess:

Således var vi övertygade om att formeln fungerar både för att minska och öka aritmetisk progression.
Försök att hitta -th och -th medlemmarna av denna aritmetiska progression på egen hand.

Låt oss jämföra resultaten:

Aritmetisk progressionsegenskap

Låt oss komplicera uppgiften - vi härleder egenskapen för en aritmetisk progression.
Anta att vi får följande villkor:
- aritmetisk progression, hitta värdet.
Det är enkelt, säger du, och börjar räkna enligt formeln du redan känner till:

Låt, a, då:

Fullständigt rätt. Det visar sig att vi först hittar, sedan lägger vi till det första numret och får det vi letar efter. Om progressionen representeras av små värden, så är det inget komplicerat med det, men vad händer om vi får siffror i tillståndet? Håller med, det finns en möjlighet att göra fel i beräkningarna.
Tänk nu, är det möjligt att lösa detta problem i ett steg med någon formel? Naturligtvis, ja, och vi ska försöka få fram det nu.

Låt oss beteckna den önskade termen för den aritmetiska progressionen eftersom vi känner till formeln för att hitta den - det här är samma formel som vi härledde i början:
, sedan:

den tidigare medlemmen i progressionen är:
nästa termin av progressionen är:

Låt oss summera föregående och nästa medlemmar av progressionen:

Det visar sig att summan av föregående och efterföljande medlemmar av progressionen är två gånger värdet av medlemmen av progressionen som ligger mellan dem. Med andra ord, för att hitta värdet av en progressionsmedlem med kända tidigare och successiva värden, är det nödvändigt att lägga till dem och dividera med.

Det stämmer, vi fick samma nummer. Låt oss fixa materialet. Beräkna värdet för progressionen själv, för det är inte alls svårt.

Bra gjort! Du vet nästan allt om progression! Det återstår att ta reda på bara en formel, som, enligt legenden, en av de största matematikerna genom tiderna, "matematikernas kung" - Karl Gauss, lätt härledde för sig själv ...

När Carl Gauss var 9 år gammal frågade läraren, upptagen med att kontrollera elevernas arbete från andra klasser, följande uppgift på lektionen: "Beräkna summan av alla naturliga tal från upp till (enligt andra källor upp till) inklusive. " Vad var lärarens överraskning när en av hans elever (det var Karl Gauss) efter en minut gav rätt svar på uppgiften, medan de flesta av våghalsens klasskamrater efter långa beräkningar fick fel resultat ...

Unge Carl Gauss lade märke till ett mönster som man lätt kan lägga märke till.
Låt oss säga att vi har en aritmetisk progression som består av -ti-led: Vi måste hitta summan av de givna medlemmarna av den aritmetiska progressionen. Naturligtvis kan vi manuellt summera alla värden, men vad händer om vi behöver hitta summan av dess termer i uppgiften, som Gauss letade efter?

Låt oss skildra utvecklingen som vi fått. Titta noga på de markerade siffrorna och försök utföra olika matematiska operationer med dem.

Försökte? Vad märkte du? Korrekt! Deras summor är lika

Svara nu, hur många sådana par kommer det att finnas i utvecklingen som ges till oss? Naturligtvis exakt hälften av alla siffror, alltså.
Baserat på det faktum att summan av två termer av en aritmetisk progression är lika, och liknande lika par, får vi att den totala summan är lika med:
.
Således kommer formeln för summan av de första termerna i varje aritmetisk progression att vara:

I vissa problem känner vi inte till den e termen, men vi känner till progressionsskillnaden. Försök att ersätta den e medlemmens formel i summaformeln.
Vad fick du?

Bra gjort! Låt oss nu återgå till problemet som gavs till Carl Gauss: beräkna själv vad summan av siffror som börjar från -th är, och summan av siffror som börjar från -th.

Hur mycket fick du?
Gauss visade sig att summan av termerna är lika, och summan av termerna. Var det så du bestämde dig?

Faktum är att formeln för summan av medlemmarna i en aritmetisk progression bevisades av den antika grekiska vetenskapsmannen Diophantus redan på 300-talet, och under hela denna tid använde kvicka människor egenskaperna hos en aritmetisk progression med kraft och huvud.
Föreställ dig till exempel det antika Egypten och den tidens största byggarbetsplats - konstruktionen av en pyramid ... Figuren visar en sida av den.

Var är utvecklingen här säger du? Titta noga och hitta ett mönster i antalet sandblock i varje rad av pyramidväggen.

Varför inte en aritmetisk progression? Räkna hur många block som behövs för att bygga en vägg om blockstenar placeras i basen. Jag hoppas att du inte kommer att räkna genom att flytta fingret över monitorn, kommer du ihåg den senaste formeln och allt vi sa om aritmetisk progression?

I det här fallet ser utvecklingen ut så här:
Aritmetisk progressionsskillnad.
Antalet medlemmar i en aritmetisk progression.
Låt oss ersätta våra data med de sista formlerna (vi räknar antalet block på två sätt).

Metod 1.

Metod 2.

Och nu kan du också beräkna på monitorn: jämför de erhållna värdena med antalet block som finns i vår pyramid. Stämde det? Bra gjort, du har bemästrat summan av de e termerna i en aritmetisk progression.
Naturligtvis kan du inte bygga en pyramid från blocken vid basen, men från? Försök att beräkna hur många sandstenar som behövs för att bygga en vägg med detta tillstånd.
Klarade du dig?
Rätt svar är block:

Träna

Uppgifter:

Masha kommer i form inför sommaren. Varje dag ökar hon antalet knäböj med. Hur många gånger kommer Masha att sitta på huk på veckor om hon körde knäböj vid första träningspasset.
Vad är summan av alla udda tal som finns i.
Vid lagring av stockar staplar skogshuggare dem på ett sådant sätt att varje översta lager innehåller en stock mindre än det föregående. Hur många stockar är det i ett murverk, om basen av murverket är stockar.

Svar:

Låt oss definiera parametrarna för den aritmetiska progressionen. I detta fall
(veckor = dagar).
Svar: Om två veckor ska Masha sitta på huk en gång om dagen.
Första udda nummer, sista nummer.
Aritmetisk progressionsskillnad.
Antalet udda tal på - hälften, kontrollera dock detta faktum med hjälp av formeln för att hitta den -:e medlemmen av en aritmetisk progression:
Siffrorna innehåller udda tal.
Vi ersätter tillgängliga data med formeln:
Svar: Summan av alla udda tal som finns i är lika med.
Kom ihåg problemet med pyramiderna. För vårt fall, a, eftersom varje översta lager reduceras med en stock så finns det bara ett gäng lager, det vill säga.
Ersätt data i formeln:
Svar: Det finns stockar i murverket.

Summering

- en numerisk sekvens där skillnaden mellan angränsande tal är densamma och lika. Det ökar och minskar.
Hitta formel medlemmen i en aritmetisk progression skrivs med formeln - , där är antalet tal i progressionen.
Egenskapen för medlemmar i en aritmetisk progression- - där - antalet siffror i förloppet.
Summan av medlemmarna i en aritmetisk progression kan hittas på två sätt:

, var är antalet värden.

ARITMETISK PROGRESSION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Numerisk sekvens

Låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:

Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan vara hur många som helst. Men du kan alltid se vilken av dem som är den första, vilken som är den andra och så vidare, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens.

Numerisk sekvensär en uppsättning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.

Med andra ord kan varje nummer associeras med ett visst naturligt tal, och endast ett. Och vi kommer inte att tilldela detta nummer till något annat nummer från denna uppsättning.

Numret med numret kallas den -:e medlemmen av sekvensen.

Vi brukar kalla hela sekvensen för någon bokstav (till exempel), och varje medlem av denna sekvens - samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .

Det är mycket bekvämt om den -e medlemmen i sekvensen kan ges av någon formel. Till exempel formeln

ställer in sekvensen:

Och formeln är följande sekvens:

Till exempel är en aritmetisk progression en sekvens (den första termen här är lika, och skillnaden). Eller (, skillnad).

formel för n:te termen

Vi kallar en återkommande formel en sådan formel där du, för att ta reda på den -th termen, behöver känna till de föregående eller flera tidigare:

För att till exempel hitta den tredje termen av progressionen med en sådan formel måste vi beräkna de föregående nio. Till exempel, låt. Sedan:

Nåväl, nu är det klart vad formeln är?

På varje rad lägger vi till, multiplicerat med något tal. För vad? Mycket enkelt: detta är numret på den nuvarande medlemmen minus:

Mycket bekvämare nu, eller hur? Vi kontrollerar:

Bestäm själv:

I en aritmetisk progression, hitta formeln för den n:e termen och hitta den hundrade termen.

Lösning:

Den första medlemmen är lika. Och vad är skillnaden? Och här är vad:

(det kallas trots allt skillnaden eftersom den är lika med skillnaden mellan successiva medlemmar av progressionen).

Så formeln är:

Då är den hundrade termen:

Vad är summan av alla naturliga tal från till?

Enligt legenden beräknade den store matematikern Carl Gauss, som var en 9-årig pojke, denna mängd på några minuter. Han märkte att summan av det första och det sista talet är lika, summan av det andra och det näst sista är detsamma, summan av det tredje och det tredje från slutet är detsamma, och så vidare. Hur många sådana par finns det? Det stämmer, exakt hälften av alla siffror, alltså. Så,

Den allmänna formeln för summan av de första termerna i varje aritmetisk progression kommer att vara:

Exempel:
Hitta summan av alla tvåsiffriga multiplar.

Lösning:

Det första sådana numret är detta. Varje nästa erhålls genom att lägga till ett nummer till det föregående. Således bildar siffrorna av intresse för oss en aritmetisk progression med den första termen och skillnaden.

Formeln för den e termen för denna progression är:

Hur många termer finns i fortsättningen om de alla måste vara tvåsiffriga?

Väldigt lätt: .

Den sista terminen av progressionen kommer att vara lika. Sedan summan:

Svar: .

Bestäm nu själv:

Varje dag springer idrottaren 1 m mer än föregående dag. Hur många kilometer kommer han att springa på veckor om han sprang km m första dagen?
En cyklist cyklar fler mil varje dag än den föregående. Första dagen reste han km. Hur många dagar måste han köra för att klara en kilometer? Hur många kilometer kommer han att resa på resans sista dag?
Priset på ett kylskåp i butiken sänks med lika mycket varje år. Bestäm hur mycket priset på ett kylskåp minskade varje år om det säljs för rubel sex år senare såldes det för rubel.

Svar:

Det viktigaste här är att känna igen den aritmetiska progressionen och bestämma dess parametrar. I det här fallet (veckor = dagar). Du måste bestämma summan av de första termerna i denna progression:
.
Svar:
Här ges det:, det är nödvändigt att hitta.
Självklart måste du använda samma summaformel som i föregående problem:
.
Byt ut värdena:
Roten passar uppenbarligen inte, så svaret.
Låt oss beräkna avståndet tillryggalagt under den senaste dagen med formeln för den -:e medlemmen:
(km).
Svar:
Givet: . Hitta: .
Det blir inte lättare:
(gnugga).
Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM HUVUDSAKTEN

Detta är en numerisk sekvens där skillnaden mellan intilliggande tal är densamma och lika.

Aritmetisk progression ökar () och minskar ().

Till exempel:

Formeln för att hitta den n:te medlemmen av en aritmetisk progression

skrivs som en formel, där är antalet siffror i förloppet.

Egenskapen för medlemmar i en aritmetisk progression

Det gör det enkelt att hitta en medlem av progressionen om dess närliggande medlemmar är kända - var är antalet nummer i progressionen.

Summan av medlemmarna i en aritmetisk progression

Det finns två sätt att hitta summan:

Var är antalet värden.

Ämnet "arithmetisk progression" studeras i den allmänna algebrakursen i skolor i 9:an. Detta ämne är viktigt för ytterligare djupgående studier av matematiken i talserier. I den här artikeln kommer vi att bekanta oss med den aritmetiska progressionen, dess skillnad, såväl som med typiska uppgifter som skolbarn kan möta.

Begreppet algebraisk progression

En numerisk progression är en sekvens av tal där varje efterföljande element kan erhållas från det föregående om någon matematisk lag tillämpas. Det finns två enkla typer av progression: geometrisk och aritmetisk, som också kallas algebraisk. Låt oss uppehålla oss mer i detalj.

Föreställ dig något rationellt tal, beteckna det med symbolen a 1 , där indexet anger dess ordningsnummer i den aktuella serien. Låt oss lägga till ett annat tal till en 1, låt oss beteckna det d. Sedan kan det andra elementet i serien reflekteras enligt följande: a 2 = a 1 + d. Lägg nu till d igen, vi får: a 3 = a 2 + d. Om du fortsätter med den här matematiska operationen kan du få en hel serie tal, som kommer att kallas en aritmetisk progression.

Som kan förstås av ovanstående, för att hitta det n:te elementet i denna sekvens, måste du använda formeln: a n = a 1 + (n-1) * d. Om n=1 ersätts med uttrycket, får vi faktiskt a 1 = a 1, om n = 2, så innebär formeln: a 2 = a 1 + 1*d, och så vidare.

Till exempel, om skillnaden mellan den aritmetiska progressionen är 5, och en 1 \u003d 1, betyder det att nummerserien av typen i fråga ser ut som: 1, 6, 11, 16, 21, ... Som du kan se, var och en av dess medlemmar är 5 fler än den föregående .

Formler för aritmetisk progressionsskillnad

Av ovanstående definition av sifferserien som övervägs, följer det att för att bestämma den måste du känna till två siffror: a 1 och d. Det senare kallas skillnaden i denna progression. Det bestämmer unikt beteendet för hela serien. Faktum är att om d är positivt, kommer talserien ständigt att öka, tvärtom, i fallet med negativ d, kommer talen i serien att öka endast modulo, medan deras absoluta värde kommer att minska med ökande antal n.

Vad är skillnaden mellan en aritmetisk progression? Tänk på de två huvudformlerna som används för att beräkna detta värde:

d = a n+1 -a n , denna formel följer direkt av definitionen av den betraktade talserien.
d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), detta uttryck erhålls genom att uttrycka d från formeln som ges i föregående stycke i artikeln. Observera att detta uttryck blir obestämt (0/0) om n=1. Detta beror på det faktum att det är nödvändigt att känna till minst 2 element i serien för att bestämma dess skillnad.

Dessa två grundläggande formler används för att lösa alla problem med att hitta progressionsskillnaden. Det finns dock en annan formel som du också behöver känna till.

Summan av de första elementen

Formeln, som kan användas för att bestämma summan av ett valfritt antal medlemmar av en algebraisk progression, enligt historiska bevis, erhölls först av "prinsen" av matematik på XVIII-talet, Carl Gauss. En tysk vetenskapsman, medan han fortfarande var en pojke i lågstadiet i en byskola, märkte att för att lägga till naturliga tal i serien från 1 till 100, måste du först summera det första elementet och det sista (det resulterande värdet blir lika med till summan av de näst sista och andra, näst sista och tredje elementen, och så vidare), och sedan ska detta tal multipliceras med antalet av dessa summor, det vill säga med 50.

Formeln som återspeglar det angivna resultatet på ett visst exempel kan generaliseras till ett godtyckligt fall. Det kommer att se ut så här: S n = n/2*(a n + a 1). Observera att för att hitta det angivna värdet krävs inte kunskap om skillnaden d om två medlemmar av progressionen (a n och a 1) är kända.

Exempel #1. Bestäm skillnaden genom att känna till de två termerna i serien a1 och an

Vi kommer att visa hur man tillämpar formlerna som anges ovan i artikeln. Låt oss ge ett enkelt exempel: skillnaden mellan den aritmetiska progressionen är okänd, det är nödvändigt att bestämma vad det kommer att vara lika med om en 13 \u003d -5,6 och en 1 \u003d -12,1.

Eftersom vi känner till värdena för två element i den numeriska sekvensen, och en av dem är det första numret, kan vi använda formel nr 2 för att bestämma skillnaden d. Vi har: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. I uttrycket använde vi värdet n=13, eftersom medlemmen med detta ordningsnummer är känd.

Den resulterande skillnaden indikerar att progressionen ökar, trots att de element som ges i problemets tillstånd har ett negativt värde. Det kan ses att a 13 >a 1 , även om |a 13 |<|a 1 |.

Exempel #2. Positiva progressionstermer i exempel #1

Låt oss använda resultatet från föregående exempel för att lösa ett nytt problem. Det är formulerat enligt följande: från vilket ordningstal börjar elementen i progressionen i exempel nr 1 ta positiva värden?

Som visades ökar progressionen där a 1 = -12,1 och d = 0,54167, så från ett visst antal kommer siffrorna bara att ta positiva värden. För att bestämma detta tal n är det nödvändigt att lösa en enkel olikhet, som matematiskt skrivs enligt följande: a n>0 eller, med hjälp av lämplig formel, skriver vi om olikheten: a 1 + (n-1)*d>0. Det är nödvändigt att hitta det okända n, låt oss uttrycka det: n>-1*a 1 /d + 1. Nu återstår det att ersätta de kända värdena för skillnaden och den första medlemmen av sekvensen. Vi får: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 eller n>23,338. Eftersom n bara kan ta heltalsvärden, följer det av den erhållna olikheten att alla termer i serien som har ett tal större än 23 kommer att vara positiva.

Låt oss kontrollera vårt svar genom att använda formeln ovan för att beräkna de 23:e och 24:e elementen i denna aritmetiska progression. Vi har: en 23 \u003d -12,1 + 22 * 0,54167 \u003d -0,18326 (negativt tal); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (positivt värde). Det erhållna resultatet är alltså korrekt: från n=24 kommer alla medlemmar i talserien att vara större än noll.

Exempel #3. Hur många stockar får plats?

Här är ett intressant problem: under avverkningen beslutades det att stapla de sågade stockarna ovanpå varandra som visas i figuren nedan. Hur många stockar kan staplas på detta sätt, med vetskap om att 10 rader får plats totalt?

På det här sättet att vika stockar kan en intressant sak märkas: varje efterföljande rad kommer att innehålla en stock mindre än den föregående, det vill säga det finns en algebraisk progression, vars skillnad är d=1. Om vi antar att antalet stockar i varje rad är en del av denna progression, och även tar hänsyn till att en 1 = 1 (endast en stock får plats längst upp), hittar vi siffran a 10 . Vi har: en 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Det vill säga i den 10:e raden, som ligger på marken, kommer det att finnas 10 stockar.

Den totala mängden av denna "pyramidformade" konstruktion kan erhållas med hjälp av Gauss formel. Vi får: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 loggar.