Сравнить дробные числа с разными знаменателями. Сравнение дробей: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .

Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.

Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.

Пример 1

Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .

Решение

Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .

Ответ: 87 126 > 65 126 .

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.

Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:

• найти общий знаменатель;
• сравнить дроби.

Рассмотрим данные действия на примере.

Пример 2

Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .

Решение

В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

После сравнения дробей получаем, что 20 48 < 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Ответ: 5 12 < 9 16 .

Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d < b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Пример 3

Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .

Решение

Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .

Ответ: 5 18 > 23 86 .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.

Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 4

Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .

Решение

Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.

Ответ: 54 19 > 54 31 .

Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.

Пример 4

Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .

Решение

Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63 < 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Ответ: 63 8 < 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями

Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями

В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:

Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8

И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Применяем третье правило:

Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.

Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:

• Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?

Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:

Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Содержание урока

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.

Для начала напомню определение равенства дробей:

Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .

1. 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:

1. Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
2. Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .

Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.

Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.

Обозначение:

Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
2. Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.

Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.

Задача. Сравнить числа:

Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:

В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.

Сравнение десятичных дробей

В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.

Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:

1. Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
2. Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.

1. 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.

Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.

Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.

Задача. Сравните дроби:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

По определению имеем:

1. 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.

К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:

1. Положительная дробь всегда больше отрицательной;
2. Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
3. Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.

Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.

Задача. Сравните дроби:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
4. 19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.