Rešitev tipičnih nalog. Obseg funkcij v izpitnih nalogah Kako poiskati niz funkcijskih vrednosti

Funkcija je model. Definirajmo X kot niz vrednosti neodvisne spremenljivke // neodvisno pomeni poljubno.

Funkcija je pravilo, po katerem lahko za vsako vrednost neodvisne spremenljivke iz množice X najdemo edino vrednost odvisne spremenljivke. // tj. za vsak x obstaja en y.

Iz definicije izhaja, da obstajata dva pojma - neodvisna spremenljivka (ki jo označujemo z x in ima lahko poljubno vrednost) in odvisna spremenljivka (ki jo označujemo z y ali f (x) in se izračuna iz funkcije, ko nadomestimo x).

NA PRIMER y=5+x

1. Neodvisen je x, zato vzamemo poljubno vrednost, naj bo x = 3

2. in zdaj izračunamo y, torej y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 = 8. (y je odvisen od x, ker s katerim x nadomestimo, dobimo takšen y)

Pravimo, da je spremenljivka y funkcionalno odvisna od spremenljivke x in to označimo takole: y = f (x).

NPR.

1.y=1/x. (imenovana hiperbola)

2. y=x^2. (imenovana parabola)

3.y=3x+7. (imenovana ravna črta)

4. y \u003d √ x. (imenovana veja parabole)

Neodvisna spremenljivka (ki jo označujemo z x) se imenuje argument funkcije.

Obseg funkcije

Nabor vseh vrednosti, ki jih prevzame argument funkcije, se imenuje domena funkcije in je označen z D(f) ali D(y).

Upoštevajte D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) in (0;+∞) //celoten niz realnih števil razen nič.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / vsa številna realna števila

4. D (y) \u003d. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu.

Izpeljanka je pozitivna za vse x iz intervala (-1; 1) , to pomeni, da se arcsinusna funkcija poveča na celotnem področju definicije. Zato ima najmanjšo vrednost pri x=-1, največji pa pri x=1.

Dobili smo obseg funkcije arcsinusa .

Poiščite niz funkcijskih vrednosti na segmentu .

Rešitev.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu :

Številne naloge nas vodijo k iskanju niza funkcijskih vrednosti na določenem segmentu ali na celotni domeni definicije. Takšne naloge vključujejo različne ocene izrazov, reševanje neenakosti.

V tem članku bomo opredelili obseg funkcije, razmislili o metodah za njeno iskanje in podrobno analizirali rešitev primerov od preprostih do bolj zapletenih. Vse gradivo bo zaradi jasnosti opremljeno z grafičnimi ilustracijami. Ta članek je torej podroben odgovor na vprašanje, kako najti obseg funkcije.

Opredelitev.

Množica vrednosti funkcije y = f(x) na intervalu X imenujemo množico vseh vrednosti funkcije, ki jih prevzame pri ponavljanju vseh .

Opredelitev.

Obseg funkcije y = f(x) se imenuje množica vseh vrednosti funkcije, ki jih prevzame pri iteraciji po vseh x iz domene definicije.

Obseg funkcije je označen kot E(f) .

Obseg funkcije in nabor vrednosti funkcije nista ista stvar. Ti koncepti se bodo šteli za enakovredne, če interval X pri iskanju niza vrednosti funkcije y = f(x) sovpada z domeno funkcije.

Prav tako ne zamenjujte obsega funkcije s spremenljivko x za izraz na desni strani enačbe y=f(x) . Območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x za izraz f(x) je območje definicije funkcije y=f(x).

Slika prikazuje nekaj primerov.

Grafi funkcij so prikazani s krepko modrimi črtami, tanke rdeče črte so asimptote, rdeče pike in črte na osi Oy prikazujejo obseg ustrezne funkcije.

Kot lahko vidite, se obseg funkcije dobi s projiciranjem grafa funkcije na os y. Lahko je eno število (prvi primer), niz številk (drugi primer), segment (tretji primer), interval (četrti primer), odprt žarek (peti primer), unija (šesti primer) itd. .

Torej, kaj morate storiti, da najdete obseg funkcije.

Začnimo z najpreprostejšim primerom: pokazali bomo, kako določiti nabor vrednosti neprekinjene funkcije y = f(x) na intervalu.

Znano je, da neprekinjena funkcija na segmentu doseže na njem največjo in najmanjšo vrednost. Tako bo nabor vrednosti prvotne funkcije na segmentu segment . Zato je naša naloga zmanjšana na iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na intervalu.

Na primer, poiščimo obseg funkcije arcsinus.

Primer.

Določite obseg funkcije y = arcsinx.

Rešitev.

Domena definicije arcsinusa je segment [-1; ena] . Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu.

Izpeljanka je pozitivna za vse x iz intervala (-1; 1), to pomeni, da se arksinusna funkcija povečuje na celotni domeni definicije. Zato vzame najmanjšo vrednost pri x = -1 in največjo pri x = 1.

Dobili smo obseg funkcije arcsinusa .

Primer.

Poiščite niz funkcijskih vrednosti na segmentu.

Rešitev.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu:

Izračunamo vrednosti prvotne funkcije na koncih segmenta in v točkah :

Zato je nabor vrednosti funkcije na segmentu segment .

Zdaj bomo pokazali, kako najti množico vrednosti neprekinjene funkcije y = f(x) v intervalih (a; b), .

Najprej določimo točke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije na danem intervalu. Nato izračunamo na koncih intervala in (ali) meje v neskončnosti (to pomeni, da preučimo obnašanje funkcije na mejah intervala ali na neskončnosti). Te informacije so dovolj za iskanje niza funkcijskih vrednosti v takšnih intervalih.

Primer.

Določite nabor funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2).

Rešitev.

Poiščimo ekstremne točke funkcije, ki padejo na interval (-2; 2):

Dot x = 0 je največja točka, saj izpeljanka pri prehodu skozi njo spremeni predznak iz plusa v minus, graf funkcije pa gre od naraščajočega k padajočemu.

je ustrezen maksimum funkcije.

Ugotovimo obnašanje funkcije, ko se x nagiba k -2 na desni in ko x teži k 2 na levi, torej najdemo enostranske omejitve:

Kaj smo dobili: ko se argument spremeni iz -2 v nič, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na minus eno četrtino (največ funkcije pri x = 0), ko se argument spremeni iz nič na 2, se funkcija vrednosti se zmanjšajo na minus neskončnost. Tako je niz funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .

Primer.

Določite nabor vrednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.

Rešitev.

Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitiven , kar kaže na povečanje funkcije. Preučujemo obnašanje funkcije na mejah intervala:

Tako, ko se argument spremeni iz do, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na plus neskončnost, to je nabor tangentnih vrednosti v tem intervalu množica vseh realnih števil.

Primer.

Poiščite obseg funkcije naravnega logaritma y = lnx.

Rešitev.

Funkcija naravnega logaritma je definirana za pozitivne vrednosti argumenta . Na tem intervalu je izvod pozitiven , to kaže na povečanje funkcije na njem. Poiščimo enostransko mejo funkcije, saj se argument nagiba k nič z desne in mejo, ko x teži k plus neskončnosti:

Vidimo, da ko se x spremeni iz nič v plus neskončnost, se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na plus neskončnost. Zato je obseg funkcije naravnega logaritma celoten niz realnih števil.

Primer.

Rešitev.

Ta funkcija je definirana za vse realne vrednosti x. Določimo točke ekstrema, pa tudi intervale naraščanja in padanja funkcije.

Zato se funkcija zmanjša pri , raste pri , x = 0 je največja točka, ustrezni maksimum funkcije.

Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti:

Tako se v neskončnosti vrednosti funkcije asimptotično približujejo nič.

Ugotovili smo, da ko se argument spremeni iz minus neskončnosti v nič (največja točka), se vrednosti funkcije povečajo z nič na devet (do maksimuma funkcije), in ko se x spremeni iz nič v plus neskončnost, se vrednosti funkcije se zmanjšajo z devet na nič.

Oglejte si shematsko risbo.

Zdaj je jasno razvidno, da je obseg funkcije .

Iskanje niza vrednosti funkcije y = f(x) na intervalih zahteva podobne študije. Zdaj se ne bomo podrobneje zadrževali na teh primerih. Videli jih bomo v spodnjih primerih.

Naj bo domena funkcije y = f(x) unija več intervalov. Pri iskanju obsega takšne funkcije se določijo nizi vrednosti na vsakem intervalu in se vzame njihova zveza.

Primer.

Poiščite obseg funkcije.

Rešitev.

Imenovalec naše funkcije ne sme iti na nič, to je.

Najprej poiščimo nabor vrednosti funkcije na odprtem žarku.

Izpeljanka funkcije je na tem intervalu negativna, to pomeni, da se funkcija na njem zmanjša.

Ugotovili smo, da se, ko se argument nagiba k minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približujejo enoti. Ko se x spremeni iz minus neskončnosti v dve, se vrednosti funkcije zmanjšajo z ena na minus neskončnost, torej na obravnavanem intervalu funkcija prevzame niz vrednosti. Enote ne vključujemo, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se le asimptotično nagibajo k njej pri minus neskončnosti.

Podobno ravnamo z odprtim žarkom.

Funkcija se na tem intervalu tudi zmanjša.

Nabor funkcijskih vrednosti na tem intervalu je niz.

Tako je želeni obseg funkcijskih vrednosti unija množic in .

Grafična ilustracija.

Ločeno se moramo osredotočiti na periodične funkcije. Obseg periodičnih funkcij sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.

Primer.

Poiščite obseg sinusne funkcije y = sinx.

Rešitev.

Ta funkcija je periodična s periodo dveh pi. Vzemimo segment in na njem definiramo nabor vrednosti.

Segment vsebuje dve točki ekstrema in .

Izračunamo vrednosti funkcije na teh točkah in na mejah segmenta izberemo najmanjšo in največjo vrednost:

posledično .

Primer.

Poiščite obseg funkcije .

Rešitev.

Vemo, da je obseg arkosinusa segment od nič do pi, tj. ali v drugi objavi. Funkcija je mogoče dobiti iz arccosx s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi x. Takšne transformacije ne vplivajo na obseg, zato . Funkcija prihaja iz trikrat se razteza vzdolž osi Oy, tj. . In zadnja stopnja transformacije je premik za štiri enote navzdol vzdolž osi y. To nas pripelje do dvojne neenakosti

Tako je želeni razpon vrednosti .

Rešimo še en primer, vendar brez pojasnil (niso potrebni, saj so si popolnoma podobni).

Primer.

Določite obseg funkcij .

Rešitev.

Izvirno funkcijo zapišemo v obrazec . Obseg eksponentne funkcije je interval . tj, . Potem

posledično .

Za popolno sliko bi morali govoriti o iskanju obsega funkcije, ki ni neprekinjen na domeni definicije. V tem primeru je področje definicije razdeljeno s prelomnimi točkami na intervale in na vsakem od njih najdemo nize vrednosti. Z združevanjem dobljenih nizov vrednosti dobimo obseg vrednosti prvotne funkcije. Priporočamo, da si zapomnite 3 na levi strani, vrednosti funkcije se nagibajo k minus ena, in ko se x nagiba k 3 na desni, se vrednosti funkcije nagibajo k plus neskončnosti.

Tako je področje definicije funkcije razdeljeno na tri intervale.

Na intervalu imamo funkcijo . Od takrat

Tako je nabor vrednosti prvotne funkcije na intervalu [-6;2] .

Na polovičnem intervalu imamo konstantno funkcijo y = -1 . To pomeni, da je nabor vrednosti prvotne funkcije na intervalu sestavljen iz enega samega elementa.

Funkcija je definirana za vse veljavne vrednosti argumenta. Ugotovite intervale povečanja in zmanjšanja funkcije.

Izvod izgine pri x=-1 in x=3. Te točke označimo na realni osi in na dobljenih intervalih določimo predznake odvoda.

Funkcija se zmanjša za , se poveča za [-1; 3] , x=-1 najmanjša točka, x=3 največja točka.

Izračunamo ustrezne minimalne in maksimalne funkcije:

Preverimo obnašanje funkcije v neskončnosti:

Druga meja je bila izračunana iz .

Naredimo shematsko risbo.

Ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na -1, se vrednosti funkcije zmanjšajo iz plus neskončnost na -2e, ko se argument spremeni iz -1 v 3, se vrednosti funkcije povečajo iz -2e na, ko se argument spremeni iz 3 do plus neskončnost, vrednosti funkcije se zmanjšajo z na nič, vendar ne dosežejo nič.

Pogosto moramo v okviru reševanja problemov iskati niz vrednosti funkcije na domeni definicije ali na segmentu. To je treba na primer narediti pri reševanju različnih vrst neenakosti, ocenjevanju izrazov itd.

Kot del tega gradiva vam bomo povedali, kakšen je obseg funkcije, navedli glavne metode, s katerimi jo je mogoče izračunati, in analizirali probleme različnih stopenj kompleksnosti. Zaradi jasnosti so posamezne pozicije prikazane z grafi. Po branju tega članka boste imeli celovito razumevanje obsega funkcije.

Začnimo z osnovnimi definicijami.

Opredelitev 1

Nabor vrednosti funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je množica vseh vrednosti, ki jih ta funkcija prevzame pri iteraciji po vseh vrednostih x ∈ X.

Opredelitev 2

Obseg funkcije y = f (x) je množica vseh njenih vrednosti, ki jih lahko sprejme pri iteraciji vrednosti x iz območja x ∈ (f).

Obseg neke funkcije je običajno označen z E (f) .

Upoštevajte, da koncept nabora vrednosti funkcije ni vedno enak območju njenih vrednosti. Ti koncepti bodo enakovredni le, če obseg vrednosti x pri iskanju nabora vrednosti sovpada z domeno funkcije.

Prav tako je pomembno razlikovati med obsegom in obsegom spremenljivke x za izraz na desni strani y = f (x) . Območje sprejemljivih vrednosti x za izraz f (x) bo območje definicije te funkcije.

Spodaj je ilustracija, ki prikazuje nekaj primerov. Modre črte so grafi funkcij, rdeče so asimptote, rdeče pike in črte na osi y so obsegi funkcije.

Očitno je razpon funkcije mogoče dobiti s projiciranjem grafa funkcije na os O y . Poleg tega je lahko eno samo število ali niz številk, segment, interval, odprt žarek, unija številskih intervalov itd.

Razmislite o glavnih načinih za iskanje obsega funkcije.

Začnimo z definiranjem niza vrednosti neprekinjene funkcije y = f (x) na določenem segmentu, označenem z [ a ; b] . Vemo, da funkcija, ki je na določenem intervalu neprekinjena, doseže na njem svoj minimum in maksimum, torej maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) in najmanjšo vrednost m i n x ∈ a ; b f (x) . Tako dobimo odsek m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , ki bo vseboval nize vrednosti prvotne funkcije. Nato moramo le najti določene minimalne in največje točke na tem segmentu.

Vzemimo problem, pri katerem je treba določiti razpon vrednosti arcsinusa.

Primer 1

Pogoj: poiščite območje y = a r c sin x .

Rešitev

V splošnem primeru se domena definicije arcsinusa nahaja na intervalu [-1; ena]. Na njem moramo določiti največjo in najmanjšo vrednost podane funkcije.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Vemo, da bo izpeljanka funkcije pozitivna za vse vrednosti x, ki se nahajajo v intervalu [-1; 1 ] , to pomeni, da se bo v celotnem območju definicije arcsinusna funkcija povečala. To pomeni, da bo vzel najmanjšo vrednost, ko je x enak - 1, in največjo - ko je x enak 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Tako bo obseg arcsinusne funkcije enak E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

odgovor: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Primer 2

Pogoj: izračunaj razpon y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danem intervalu [ 1 ; 4] .

Rešitev

Vse, kar moramo storiti, je izračunati največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu.

Za določitev ekstremnih točk je potrebno izvesti naslednje izračune:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 in l in 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Zdaj poiščimo vrednosti dane funkcije na koncih segmenta in točkah x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

To pomeni, da bo nabor funkcijskih vrednosti določen s segmentom 117 - 165 33 512 ; 32 .

odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Pojdimo na iskanje niza vrednosti neprekinjene funkcije y = f (x) v intervalih (a ; b) in a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Začnimo z določitvijo največje in najmanjše točke, pa tudi intervalov povečanja in zmanjšanja v danem intervalu. Po tem bomo morali izračunati enostranske omejitve na koncih intervala in/ali omejitve na neskončnost. Z drugimi besedami, določiti moramo obnašanje funkcije v danih pogojih. Za to imamo vse potrebne podatke.

Primer 3

Pogoj: izračunaj obseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .

Rešitev

Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dobili smo največjo vrednost, enako 0, saj se na tej točki spremeni predznak funkcije in graf se začne zmanjševati. Glej ilustracijo:

To pomeni, da bo y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 največja vrednost funkcije.

Zdaj definirajmo obnašanje funkcije za x, ki se nagiba k - 2 na desni strani in + 2 na levi strani. Z drugimi besedami, najdemo enostranske omejitve:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Dobili smo, da se vrednosti funkcije povečajo iz minus neskončnosti na -14, ko se argument spremeni iz -2 v 0. In ko se argument spremeni iz 0 v 2, se vrednosti funkcije zmanjšajo proti minus neskončnosti. Zato bo nabor vrednosti dane funkcije na intervalu, ki ga potrebujemo, (- ∞ ; - 1 4 ] .

odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Primer 4

Stanje: navedite niz vrednosti y = t g x na danem intervalu - π 2 ; π 2 .

Rešitev

Vemo, da je na splošno izvod tangente v - π 2; π 2 bo pozitiven, to pomeni, da se bo funkcija povečala. Zdaj pa definirajmo, kako se funkcija obnaša znotraj danih meja:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Dobili smo povečanje vrednosti funkcije z minus neskončnosti na plus neskončnost, ko se argument spremeni iz - π 2 v π 2, in lahko rečemo, da bo množica rešitev te funkcije množica vseh realnih številke.

odgovor: - ∞ ; + ∞ .

Primer 5

Pogoj: določi, kolikšen je obseg funkcije naravnega logaritma y = ln x .

Rešitev

Vemo, da je ta funkcija definirana za pozitivne vrednosti argumenta D (y) = 0 ; +∞ . Izvod na danem intervalu bo pozitiven: y " = ln x " = 1 x . To pomeni, da se funkcija na njem povečuje. Nato moramo definirati enostransko mejo za primer, ko gre argument na 0 (na desni strani) in ko gre x v neskončnost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ugotovili smo, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se vrednosti x spremenijo iz nič v plus neskončnost. To pomeni, da je množica vseh realnih števil obseg funkcije naravnega logaritma.

odgovor: množica vseh realnih števil je obseg funkcije naravnega logaritma.

Primer 6

Pogoj: določi, koliko je območje funkcije y = 9 x 2 + 1 .

Rešitev

Ta funkcija je definirana pod pogojem, da je x realno število. Izračunajmo največjo in najmanjšo vrednost funkcije, pa tudi intervale njenega povečanja in zmanjšanja:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Kot rezultat smo ugotovili, da se bo ta funkcija zmanjšala, če je x ≥ 0; povečati, če je x ≤ 0; ima največjo točko y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, ko je spremenljivka 0 .

Poglejmo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Iz zapisa je razvidno, da se bodo vrednosti funkcije v tem primeru asimptotično približale 0.

Če povzamemo: ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na nič, se vrednosti funkcije povečajo z 0 na 9. Ko se vrednosti argumentov gibljejo od 0 do plus neskončnost, se bodo ustrezne vrednosti funkcije zmanjšale z 9 na 0. To smo upodobili na sliki:

Kaže, da bo obseg funkcije interval E (y) = (0 ; 9 ]

odgovor: E (y) = (0; 9)

Če moramo določiti nabor vrednosti funkcije y = f (x) na intervalih [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potem bomo morali izvesti popolnoma enake študije. Teh primerov še ne bomo analizirali: srečali jih bomo kasneje v težavah .

Kaj pa, če je domena določene funkcije združitev več intervalov? Nato moramo izračunati nize vrednosti na vsakem od teh intervalov in jih združiti.

Primer 7

Pogoj: določi, kakšen bo obseg y = x x - 2.

Rešitev

Ker se imenovalec funkcije ne sme spremeniti v 0 , potem je D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Začnimo z definiranjem nabora funkcijskih vrednosti na prvem segmentu - ∞; 2, ki je odprt žarek. Vemo, da se bo funkcija na njej zmanjšala, to pomeni, da bo izpeljanka te funkcije negativna.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Potem se bodo v tistih primerih, ko se argument spremeni proti minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približale 1. Če se vrednosti x spremenijo iz minus neskončnosti na 2, se bodo vrednosti zmanjšale z 1 na minus neskončnost, t.j. funkcija na tem segmentu bo vzela vrednosti iz intervala - ∞; ena . Enost izključujemo iz našega sklepanja, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se ji le asimptotično približujejo.

Za odprt žarek 2 ; + ∞ izvajamo popolnoma enaka dejanja. Funkcija na njem se tudi zmanjšuje:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrednosti funkcije na tem segmentu so določene z nizom 1; +∞ . To pomeni, da bo obseg vrednosti funkcije, določene v pogoju, ki ga potrebujemo, unija množic - ∞; 1 in 1; +∞ .

odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

To je mogoče videti na grafikonu:

Poseben primer so periodične funkcije. Njihovo območje vrednosti sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.

Primer 8

Pogoj: določi razpon sinusa y = sin x .

Rešitev

Sinus se nanaša na periodično funkcijo, njena doba pa je 2 pi. Vzamemo odsek 0; 2 π in poglejte, kakšen bo nabor vrednosti na njem.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

znotraj 0; 2 π bo imela funkcija skrajne točke π 2 in x = 3 π 2 . Izračunajmo, kakšni bodo vrednosti funkcije v njih, pa tudi na mejah segmenta, po katerem izberemo največjo in najmanjšo vrednost.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 = 1

odgovor: E (sinx) = - 1; ena .

Če morate poznati obsege funkcij, kot so eksponentna, eksponentna, logaritemska, trigonometrična, inverzna trigonometrična, potem vam svetujemo, da ponovno preberete članek o osnovnih elementarnih funkcijah. Teorija, ki jo predstavljamo tukaj, nam omogoča, da preizkusimo tam navedene vrednosti. Zaželeno je, da se jih naučite, saj so pogosto potrebni pri reševanju problemov. Če poznate obsege glavnih funkcij, lahko preprosto najdete obsege funkcij, ki jih pridobite iz osnovnih z geometrijsko transformacijo.

Primer 9

Pogoj: določimo območje y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Rešitev

Vemo, da je odsek od 0 do pi obseg inverznega kosinusa. Z drugimi besedami, E (a r c cos x) = 0 ; π ali 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkcijo a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ark kosinusa tako, da jo premaknemo in raztegnemo vzdolž osi O x, vendar nam takšne transformacije ne bodo dale ničesar. Zato je 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkcijo 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz inverznega kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 z raztezanjem vzdolž y-osi, t.j. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Končna transformacija je premik vzdolž osi O y za 4 vrednosti. Kot rezultat dobimo dvojno neenakost:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Dobili smo, da bo obseg, ki ga potrebujemo, enak E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

odgovor: E (y) = -4; 3 pi-4.

Napišimo še en primer brez pojasnil, ker je popolnoma podoben prejšnjemu.

Primer 10

Pogoj: izračunaj, kakšen bo obseg funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 .

Rešitev

Prepišimo funkcijo, dano v pogoju, kot y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Za funkcijo moči y = x - 1 2 bo območje definirano na intervalu 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . V tem primeru:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Torej E (y) = 3; +∞ .

odgovor: E (y) = 3; +∞ .

Zdaj pa poglejmo, kako najti obseg funkcije, ki ni zvezna. Če želite to narediti, moramo celotno območje razdeliti na intervale in na vsakem od njih poiskati nize vrednosti, nato pa združiti, kar imamo. Da bi to bolje razumeli, vam svetujemo, da pregledate glavne vrste prelomnih točk funkcij.

Primer 11

Pogoj: podana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte njegov razpon.

Rešitev

Ta funkcija je definirana za vse vrednosti x. Analizirajmo ga za kontinuiteto z vrednostmi argumenta, enakimi - 3 in 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Imamo nepopravljivo diskontinuiteto prve vrste z vrednostjo argumenta -3. Ko se ji približate, se vrednosti funkcije nagibajo k - 2 sin 3 2 - 4 in ko se x nagiba k - 3 na desni strani, bodo vrednosti težile k - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

V točki 3 imamo neprekinjeno diskontinuiteto druge vrste. Ko se funkcija nagiba k njej, se njene vrednosti približajo - 1, medtem ko se nagibajo k isti točki na desni - na minus neskončnost.

To pomeni, da je celotno področje definicije te funkcije razdeljeno na 3 intervale (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

Na prvem od njih smo dobili funkcijo y \u003d 2 sin x 2 - 4. Ker je - 1 ≤ sin x ≤ 1 , dobimo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

To pomeni, da je na tem intervalu (- ∞ ; - 3 ] nabor vrednosti funkcije [ - 6 ; 2 ] .

Na polovičnem intervalu (- 3 ; 3 ] dobimo konstantno funkcijo y = - 1. Posledično se bo celoten niz njenih vrednosti v tem primeru zmanjšal na eno število - 1.

Na drugem intervalu 3 ; + ∞ imamo funkcijo y = 1 x - 3 . Upada, ker je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Zato je množica vrednosti prvotne funkcije za x > 3 množica 0; +∞ . Zdaj pa združimo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

odgovor: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Rešitev je prikazana na grafu:

Primer 12

Pogoj: obstaja funkcija y = x 2 - 3 e x . Določite nabor njegovih vrednosti.

Rešitev

Definiran je za vse vrednosti argumentov, ki so realna števila. Ugotovimo, v katerih intervalih se bo ta funkcija povečala in v katerih se bo zmanjšala:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Vemo, da bo izpeljanka postala 0, če je x = -1 in x = 3. Ti dve točki postavimo na os in ugotovimo, kakšne predznake bo imela izpeljanka na nastalih intervalih.

Funkcija se bo zmanjšala za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) in povečala za [ - 1 ; 3]. Najmanjša točka bo - 1 , največja - 3 .

Zdaj poiščimo ustrezne vrednosti funkcije:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Za izračun druge meje je bilo uporabljeno L'Hopitalovo pravilo. Našo rešitev narišemo na graf.

Kaže, da se bodo vrednosti funkcije zmanjšale iz plus neskončnosti na -2 e, ko se argument spremeni iz minus neskončnosti na -1. Če se spremeni iz 3 v plus neskončnost, se bodo vrednosti zmanjšale s 6 e - 3 na 0, vendar 0 ne bo dosežena.

Tako je E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

odgovor: E (y) = [-2 e; +∞)

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Koncept funkcije in vsega, kar je z njo povezano, je tradicionalno zapleteno, ni popolnoma razumljeno. Poseben kamen spotike pri študiju funkcije in pripravi na izpit je področje definicije in obseg vrednosti (sprememb) funkcije.
Pogosto učenci ne vidijo razlike med domeno funkcije in domeno njenih vrednosti.
In če študentom uspe obvladati naloge iskanja področja definicije funkcije, potem jim naloge iskanja niza vrednosti funkcije povzročajo precejšnje težave.
Namen tega članka: seznanitev z metodami iskanja vrednosti funkcije.
Kot rezultat obravnave te teme je bilo preučeno teoretično gradivo, obravnavane so bile metode za reševanje problemov za iskanje nizov funkcijskih vrednosti, izbrano didaktično gradivo za samostojno delo študentov.
Ta članek lahko učitelj uporablja pri pripravi študentov na zaključne in sprejemne izpite, pri preučevanju teme »Obseg funkcije« pri izbirnem pouku pri izbirnih predmetih matematike.

I. Določitev obsega funkcije.

Območje (množica) vrednosti E(y) funkcije y = f(x) je množica takšnih številk y 0 , za vsako od katerih obstaja takšno število x 0, da je: f(x 0) = y 0 .

Spomnimo se obsegov glavnih osnovnih funkcij.

Razmislite o tabeli.

Funkcija	Veliko vrednot
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Upoštevajte tudi, da je obseg katerega koli polinoma sode stopnje interval , kjer je n največja vrednost tega polinoma.

II. Lastnosti funkcije, ki se uporabljajo pri iskanju obsega funkcije

Za uspešno iskanje nabora vrednosti funkcije je potrebno dobro poznati lastnosti osnovnih elementarnih funkcij, zlasti njihove definicije, obsege vrednosti in naravo monotonosti. Naj predstavimo lastnosti zveznih, monotonih diferenciabilnih funkcij, ki se najpogosteje uporabljajo pri iskanju množice vrednosti funkcij.

Lastnosti 2 in 3 se običajno uporabljata skupaj z lastnostjo elementarne funkcije, da je neprekinjena v svoji domeni. V tem primeru je najpreprostejša in najkrajša rešitev problema iskanja niza vrednosti funkcije dosežena na podlagi lastnosti 1, če je mogoče s preprostimi metodami določiti monotonost funkcije. Rešitev problema je še bolj poenostavljena, če je funkcija poleg tega soda ali liha, periodična itd. Tako je treba pri reševanju problemov iskanja nizov funkcijskih vrednosti preveriti in po potrebi uporabiti naslednje lastnosti funkcije:

• kontinuiteta;
• monotono;
• diferenciabilnost;
• sodo, liho, periodično itd.

Preproste naloge za iskanje niza funkcijskih vrednosti so večinoma usmerjene:

a) uporaba najpreprostejših ocen in omejitev: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 itd.);

b) za izbiro celotnega kvadrata: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) za transformacijo trigonometričnih izrazov: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) z uporabo monotonosti funkcije x 1/3 + 2 x-1 se poveča za R.

III. Razmislite o načinih za iskanje obsegov funkcij.

a) zaporedno iskanje vrednosti kompleksnih funkcijskih argumentov;
b) metoda ocenjevanja;
c) z uporabo lastnosti kontinuitete in monotonosti funkcije;
d) uporaba izvedenega finančnega instrumenta;
e) uporaba največje in najmanjše vrednosti funkcije;
f) grafična metoda;
g) metoda uvedbe parametra;
h) metoda inverzne funkcije.

Na konkretnih primerih bomo razkrili bistvo teh metod.

Primer 1: Poiščite razpon E(y) funkcije y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Rešimo ta primer z zaporednim iskanjem vrednosti kompleksnih funkcijskih argumentov. Ko izberemo celoten kvadrat pod logaritmom, preoblikujemo funkcijo

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

In zaporedno poiščite nize vrednosti njegovih kompleksnih argumentov:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Označi t= 5 – (3 x +1) 2 , kjer je -∞≤ t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje niza vrednosti funkcije y = log 0,5 t na žarku (-∞;4) . Ker je funkcija y = log 0,5 t definirana samo pri, potem njen niz vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom vrednosti funkcije na intervalu (0;4), ki je presečišče žarka (-∞;4) z domeno definicije (0;+∞) logaritemske funkcije. Na intervalu (0;4) je ta funkcija neprekinjena in padajoča. Pri t> 0, se nagiba k +∞ in kdaj t = 4 ima vrednost -2, torej E(y) =(-2, +∞).

Primer 2: Poiščite obseg funkcije

y = cos7x + 5cosx

Ta primer bomo rešili z metodo ocen, katere bistvo je oceniti zvezno funkcijo od spodaj in od zgoraj ter dokazati, da funkcija doseže spodnjo in zgornjo mejo ocen. V tem primeru je sovpadanje nabora vrednosti funkcije z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določene z neprekinjenostjo funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.

Iz neenakosti -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 dobimo oceno -6≤y?6. Za x = p in x = 0 funkcija prevzame vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo. Kot linearna kombinacija zveznih funkcij cos7x in cosx je funkcija y neprekinjena vzdolž celotne številske osi, zato zaradi lastnosti neprekinjene funkcije vzame vse vrednosti od -6 do vključno 6 in samo njih, saj , zaradi neenakosti -6≤y?6, drugih vrednosti ona je nemogoča. posledično E(y)= [-6;6].

Primer 3: Poiščite razpon E(f) funkcije f(x)= cos2x + 2cosx.

S formulo kosinusa dvojnega kota preoblikujemo funkcijo f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 in označimo t= cosx. Potem f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Ker E (cosx) =

[-1;1], nato obseg funkcije f(x) sovpada z nizom vrednosti funkcije g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 na segmentu [-1; 1], ki ga bomo našli z grafično metodo. Ko narišemo funkcijo y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 na intervalu [-1; 1], najdemo E(f) = [-1,5; 3].

Opomba – številne težave s parametrom se zreducirajo na iskanje niza vrednosti funkcije, v glavnem povezane z rešljivostjo in številom rešitev enačbe in neenakosti. Na primer enačba f(x)= a je rešljivo, če in samo če

aE(f) Podobno enačba f(x)= a ima vsaj en koren, ki se nahaja na nekem intervalu X, ali nima korena na tem intervalu, če in samo če a pripada ali ne pripada množici vrednosti funkcije f(x) na intervalu X. Preučujemo tudi z uporabo nabora vrednosti funkcije in neenakosti f(x)≠ ampak, f(x)> a itd. Še posebej, f(x)≠ in za vse dopustne vrednosti x, če je E(f)

Primer 4. Za katere vrednosti parametra a ima enačba (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) en sam koren na odseku [-4;-1].

Zapišimo enačbo v obliki (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Zadnja enačba ima vsaj en koren na segmentu [-4;-1], če in samo če a pripada množici vrednosti funkcije f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) na odseku [-4;-1]. Poiščimo to množico z uporabo lastnosti kontinuitete in monotonosti funkcije.

Na odseku [-4;-1] je funkcija y = xІ + 4 neprekinjena, padajoča in pozitivna, zato je funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) je neprekinjeno in se na tem intervalu povečuje, saj se pri deljenju s pozitivno funkcijo narava monotonosti funkcije spremeni v nasprotno. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 je neprekinjena in naraščajoča v svoji domeni D(h) =[-5;+∞) in zlasti na intervalu [-4;-1], kjer je tudi pozitiven. Nato funkcija f(x)=g(x) h(x), kot produkt dveh neprekinjenih, naraščajočih in pozitivnih funkcij, je tudi neprekinjen in narašča na odseku [-4;-1], zato je njegov nabor vrednosti na [-4;-1] odsek [ f(-4); f(-1)] = . Zato ima enačba rešitev na intervalu [-4;-1] in edino (z lastnostjo neprekinjene monotone funkcije) za 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Komentar. Rešljivost enačbe f(x) = a na nekem intervalu X je enakovredno pripadnosti vrednosti parametra ampak niz funkcijskih vrednosti f(x) na X. Zato je nabor vrednosti funkcije f(x) na intervalu X sovpada z nizom vrednosti parametrov ampak, za katerega je enačba f(x) = a ima vsaj en koren na intervalu X. Zlasti obseg vrednosti E(f) funkcije f(x) se ujema z nizom vrednosti parametrov ampak, za katerega je enačba f(x) = a ima vsaj en koren.

Primer 5: Poiščite razpon E(f) funkcije

Rešimo primer tako, da vnesemo parameter, po katerem E(f) se ujema z nizom vrednosti parametrov ampak, za katerega je enačba

ima vsaj en koren.

Ko je a=2, je enačba linearna - 4x - 5 = 0 s koeficientom, ki ni nič pri neznanem x, zato ima rešitev. Za a≠2 je enačba kvadratna, zato je rešljiva, če in samo če je njena diskriminanta

Ker točka a = 2 pripada segmentu

nato želeni niz vrednosti parametrov ampak, torej obseg vrednosti E(f) bo celoten segment.

Kot neposreden razvoj metode uvedbe parametra pri iskanju niza vrednosti funkcije lahko upoštevamo metodo inverzne funkcije, za iskanje katere je potrebno rešiti enačbo za x f(x)=y, upoštevajoč y kot parameter. Če ima ta enačba edinstveno rešitev x=g(y), nato obseg E(f) originalna funkcija f(x) sovpada z domeno definicije D (g) inverzna funkcija g(y). Če je enačba f(x)=y ima več rešitev x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) itd., potem E(f) je enaka uniji obsegov definicij funkcij g 1 (y), g 2 (y) itd.

Primer 6: Poiščite razpon E(y) funkcije y = 5 2/(1-3x).

Iz enačbe

poiščite inverzno funkcijo x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) in njeno domeno D(x):

Ker ima enačba za x edinstveno rešitev, potem

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Če je domena funkcije sestavljena iz več intervalov ali je funkcija na različnih intervalih podana z različnimi formulami, potem morate za iskanje domene funkcije najti nize vrednosti funkcije na vsakem intervalu in vzeti njihove sindikat.

Primer 7: Poiščite obsege f(x) in f(f(x)), kje

f(x) na žarku (-∞;1], kjer sovpada z izrazom 4 x + 9 4 -x + 3. Označimo t = 4 x. Potem f(x) = t + 9/t + 3, kjer je 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na žarku (-∞;1] sovpada z nizom vrednosti funkcije g(t) = t + 9/t + 3, na intervalu (0;4], ki ga najdemo z izpeljanko g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na intervalu (0;4] izpeljanka g'(t) je definiran in tam izgine pri t=3. Ob 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) pada, v intervalu (3;4) pa narašča in ostane neprekinjen na celotnem intervalu (0;4), tako da g (3)= 9 - najmanjša vrednost te funkcije na intervalu (0; 4], medtem ko njena največja vrednost ne obstaja, torej ko t→0 prava funkcija g(t)→+∞. Nato z lastnostjo neprekinjene funkcije nabor vrednosti funkcije g(t) na intervalu (0;4] in s tem nabor vrednosti f(x) na (-∞;-1], bo žarek .

Zdaj z združevanjem intervalov - nizov funkcijskih vrednosti f(f(x)), označuje t = f(x). Potem f(f(x)) = f(t), kje t funkcijo f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 in spet prevzame vse vrednosti od 5 do vključno 9, t.j. obseg E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Podobno, označevanje z = f(f(x)), lahko najdete razpon E(f3) funkcije f(f(f(x))) = f(z), kjer je 5 ≤ z ≤ 9 itd. Poskrbi da E(f 3) = .

Najbolj univerzalna metoda za iskanje niza vrednosti funkcije je uporaba največje in najmanjše vrednosti funkcije v določenem intervalu.

Primer 8. Za katere vrednosti parametra R neenakost 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x velja za vse -1 ≤ x< 2.

Označevanje t = 2 x, zapišemo neenakost kot p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Ker t = 2 x je funkcija, ki se nenehno povečuje R, potem za -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R razlikujejo od funkcijskih vrednosti f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Najprej poiščemo nabor vrednosti funkcije f(t) na intervalu, kjer ima povsod izpeljanko f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. posledično f(t) je diferencibilna in zato neprekinjena na segmentu . Iz enačbe f'(t) = 0 poiščite kritične točke funkcije t=1/3, t=1, od katerih prvi ne pripada segmentu, drugi pa mu pripada. Ker f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, potem je zaradi lastnosti diferencibilne funkcije 0 najmanjša in 36 največja vrednost funkcije f(t) na segmentu. Potem f(t), kot neprekinjena funkcija prevzame na segmentu vse vrednosti od 0 do vključno 36, vrednost 36 pa le, ko t=4, torej za 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }