Vzporedna direktna definicija in primeri. Vzporedne črte

Znaki vzporednosti dveh premic

Izrek 1. Če se dve premici sekata s sekanto:

prekrižani koti so enaki, oz

ustrezna kota enaka oz

vsota enostranskih kotov je 180°, torej

črte so vzporedne(Slika 1).

Dokaz. Omejili smo se na dokazovanje primera 1.

Naj bosta premici a in b navzkrižni in kota AB enaka. Na primer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo, da je a || b.

Recimo, da premici a in b nista vzporedni. Nato se sekata v neki točki M in zato bo eden od kotov 4 ali 6 zunanji kot trikotnika ABM. Za določnost naj bo ∠ 4 zunanji kot trikotnika ABM, ∠ 6 pa notranji. Iz izreka o zunanjem kotu trikotnika sledi, da je ∠ 4 večji od ∠ 6, to pa je v nasprotju s pogojem, kar pomeni, da se premici a in 6 ne moreta sekat, torej sta vzporedni.

Posledica 1. Dve različni premici v ravnini, pravokotni na isto premico, sta vzporedni(slika 2).

Komentiraj. Način, kako smo pravkar dokazali primer 1 izreka 1, se imenuje metoda dokaza s protislovjem ali redukcija na absurd. Ta metoda je dobila svoje prvo ime, ker je na začetku argumenta postavljena predpostavka, ki je v nasprotju (nasprotna) s tem, kar je treba dokazati. Imenuje se privedba do absurda zaradi dejstva, da z razmišljanjem na podlagi postavljene predpostavke pridemo do absurdnega zaključka (do absurda). Prejem takega sklepa nas prisili, da zavrnemo prvotno predpostavko in sprejmemo tisto, ki jo je bilo treba dokazati.

Naloga 1. Konstruirajte premico, ki poteka skozi dano točko M in je vzporedna z dano premico a, ne pa skozi točko M.

rešitev. Skozi točko M narišemo premico p pravokotno na premico a (slika 3).

Nato skozi točko M narišemo premico b pravokotno na premico p. Premica b je vzporedna s premico a glede na posledico izreka 1.

Iz obravnavanega problema sledi pomemben sklep:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, je vedno mogoče narisati premico, ki je vzporedna z dano.

Glavna lastnost vzporednih črt je naslednja.

Aksiom vzporednih premic. Skozi dano točko, ki ne leži na dani premici, teče le ena premica, vzporedna z dano premico.

Oglejmo si nekaj lastnosti vzporednih premic, ki izhajajo iz tega aksioma.

1) Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo (slika 4).

2) Če sta dve različni premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni (slika 5).

Prav tako velja naslednji izrek.

Izrek 2. Če dve vzporedni premici seka prečnica, velja:

navzkrižni koti so enaki;

ustrezna kota sta enaka;

vsota enostranskih kotov je 180°.

Posledica 2. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo(glej sliko 2).

Komentiraj. Izrek 2 se imenuje inverz izreka 1. Zaključek izreka 1 je pogoj izreka 2. In pogoj izreka 1 je sklep izreka 2. Vsak izrek nima inverza, to je, če je dani izrek res, potem je inverzni izrek lahko napačen.

Razložimo to na primeru izreka o navpičnih kotih. Ta izrek je mogoče formulirati na naslednji način: če sta dva kota navpična, potem sta enaka. Obratni izrek bi bil: če sta dva kota enaka, potem sta navpična. In to seveda ne drži. Ni nujno, da sta dva enaka kota navpična.

Primer 1. Dve vzporedni črti seka tretja. Znano je, da je razlika med dvema notranjima enostranskima kotoma 30°. Poišči te kote.

rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoj.

Ta članek govori o vzporednih premicah in vzporednih premicah. Najprej je podana definicija vzporednih premic na ravnini in v prostoru, uvedeni so zapisi, podani so primeri in grafični prikazi vzporednih premic. Nato se razpravlja o znakih in pogojih za vzporednost črt. V zaključku so prikazane rešitve tipičnih problemov dokazovanja vzporednosti premic, ki jih podajajo nekatere enačbe premice v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru.

Navigacija po strani.

Vzporednice – osnovne informacije.

Opredelitev.

Dve premici v ravnini se imenujeta vzporedno, če nimata skupnih točk.

Opredelitev.

Dve črti v tridimenzionalnem prostoru imenujemo vzporedno, če ležijo v isti ravnini in nimajo skupnih točk.

Upoštevajte, da je klavzula "če ležijo v isti ravnini" v definiciji vzporednih premic v prostoru zelo pomembna. Naj pojasnimo to točko: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni, ampak se sekata.

Tukaj je nekaj primerov vzporednih črt. Nasprotni robovi zvezkovega lista ležijo na vzporednih premicah. Ravne črte, vzdolž katerih ravnina stene hiše seka ravnine stropa in tal, so vzporedne. Železniške tirnice na ravnem terenu se prav tako lahko štejejo za vzporedne črte.

Za označevanje vzporednih črt uporabite simbol “”. To pomeni, da če sta premici a in b vzporedni, potem lahko na kratko zapišemo b.

Upoštevajte: če sta premici a in b vzporedni, lahko rečemo, da je premica a vzporedna s premico b in da je premica b vzporedna s premico a.

Izrazimo trditev, ki igra pomembno vlogo pri preučevanju vzporednih črt na ravnini: skozi točko, ki ne leži na dani premici, poteka edina ravna črta, ki je vzporedna z dano. Ta trditev je sprejeta kot dejstvo (ni je mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije) in se imenuje aksiom vzporednih premic.

Za primer v prostoru velja izrek: skozi vsako točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka ena sama premica, vzporedna z dano. Ta izrek je enostavno dokazati z zgornjim aksiomom o vzporednih premicah (njegov dokaz najdete v učbeniku geometrije za 10.-11. razred, ki je naveden na koncu članka v seznamu literature).

Za primer v prostoru velja izrek: skozi vsako točko v prostoru, ki ne leži na dani premici, poteka ena sama premica, vzporedna z dano. Ta izrek je mogoče enostavno dokazati z uporabo zgornjega aksioma vzporedne črte.

Vzporednost premic - znaki in pogoji vzporednosti.

Znak vzporednosti črt je zadosten pogoj za vzporednost premic, torej pogoj, katerega izpolnitev zagotavlja, da so premice vzporedne. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za ugotovitev dejstva, da sta premici vzporedni.

Obstajajo tudi potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru.

Razložimo pomen besedne zveze "nujen in zadosten pogoj za vzporedne premice."

Zadostni pogoj za vzporednice smo že obravnavali. Kaj je "nujen pogoj za vzporedne črte"? Iz imena "potrebno" je jasno, da je izpolnitev tega pogoja potrebna za vzporedne črte. Z drugimi besedami, če nujni pogoj za vzporedne premice ni izpolnjen, premice niso vzporedne. torej nujen in zadosten pogoj za vzporednice je pogoj, katerega izpolnjevanje je potrebno in zadostno za vzporedne premice. To pomeni, da je to po eni strani znak vzporednosti premic, po drugi strani pa je to lastnost, ki jo imajo vzporedne premice.

Preden oblikujemo potreben in zadosten pogoj za vzporednost črt, je priporočljivo, da se spomnimo več pomožnih definicij.

Sekantna črta je premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Ko se dve ravni črti sekata s prečnico, nastane osem nerazvitih. Pri formulaciji nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost premic se uporablja t.i križno ležeče, ustrezna in enostranski koti. Pokažimo jih na risbi.

Izrek.

Če dve premici v ravnini sekata prečnice, je za njihovo vzporednost nujno in dovolj, da sta seka kota enaka ali da sta ustrezna kota enaka ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180. stopnje.

Pokažimo grafično ponazoritev tega nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost premic na ravnini.

Dokaze teh pogojev za vzporednost premic najdete v učbenikih geometrije za 7.–9. razred.

Upoštevajte, da se ti pogoji lahko uporabljajo tudi v tridimenzionalnem prostoru - glavna stvar je, da premice in sekanta ležijo v isti ravnini.

Tukaj je še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo za dokazovanje vzporednosti premic.

Izrek.

Če sta dve premici v ravnini vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni. Dokaz tega kriterija izhaja iz aksioma vzporednih premic.

Podoben pogoj velja za vzporedne črte v tridimenzionalnem prostoru.

Izrek.

Če sta dve premici v prostoru vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni. Dokaz tega kriterija obravnavamo pri pouku geometrije v 10. razredu.

Ilustrirajmo navedene izreke.

Predstavimo še en izrek, ki nam omogoča dokazovanje vzporednosti premic na ravnini.

Izrek.

Če sta dve premici v ravnini pravokotni na tretjo premico, potem sta vzporedni.

Obstaja podoben izrek za premice v prostoru.

Izrek.

Če sta dve premici v tridimenzionalnem prostoru pravokotni na isto ravnino, potem sta vzporedni.

Narišimo slike, ki ustrezajo tem izrekom.

Vsi zgoraj formulirani izreki, kriteriji ter potrebni in zadostni pogoji so odlični za dokazovanje vzporednosti premic z metodami geometrije. To pomeni, da želite dokazati vzporednost dveh danih premic, morate pokazati, da sta vzporedni s tretjo premico, ali pokazati enakost navzkrižno ležečih kotov itd. Veliko podobnih problemov se rešuje pri pouku geometrije v srednji šoli. Vendar je treba opozoriti, da je v mnogih primerih priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti premic na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru. Oblikujmo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic, ki so določene v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu.

V tem odstavku članka bomo oblikovali potrebni in zadostni pogoji za vzporednice v pravokotnem koordinatnem sistemu, odvisno od vrste enačb, ki definirajo te premice, podali pa bomo tudi podrobne rešitve značilnih problemov.

Začnimo s pogojem vzporednosti dveh premic na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy. Njegov dokaz temelji na definiciji smernega vektorja premice in definiciji normalnega vektorja premice na ravnini.

Izrek.

Da sta dve neskladni premici vzporedni v ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna, normalna vektorja teh premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalo. vektor druge vrstice.

Očitno se pogoj vzporednosti dveh premic na ravnini reducira na (smerni vektorji premic ali normalni vektorji premic) ali na (smerni vektor ene premice in normalni vektor druge premice). Če sta torej in smerna vektorja premic a in b, in in sta normalna vektorja premic a in b, potem bo nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic a in b zapisan kot , oz , ali , kjer je t neko realno število. Po drugi strani se koordinate vodil in (ali) normalnih vektorjev črt a in b najdejo z uporabo znanih enačb črt.

Zlasti, če premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy na ravnini določa splošno enačbo premice oblike in ravna črta b - , potem imajo normalni vektorji teh premic koordinate oz., pogoj za vzporednost premic a in b pa bo zapisan kot .

Če premica a ustreza enačbi premice s kotnim koeficientom oblike , premica b - , potem imajo normalni vektorji teh premic koordinate in , pogoj za vzporednost teh premic pa ima obliko . Posledično, če so črte na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu vzporedne in jih je mogoče določiti z enačbami črt s kotnimi koeficienti, bodo kotni koeficienti črt enaki. In obratno: če lahko nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podamo z enačbami premice z enakimi kotnimi koeficienti, potem so takšne premice vzporedne.

Če sta premica a in premica b v pravokotnem koordinatnem sistemu določeni s kanoničnimi enačbami premice na ravnini oblike in , ali parametrične enačbe premice na ravnini oblike in zato imajo smerni vektorji teh premic koordinate in , pogoj za vzporednost premic a in b pa zapišemo kot .

Oglejmo si rešitve več primerov.

Primer.

Ali sta premici vzporedni? in ?

rešitev.

Prepišimo enačbo premice v segmentih v obliki splošne enačbe premice: . Zdaj lahko vidimo, da je to normalni vektor premice , a je normalni vektor premice. Ti vektorji niso kolinearni, saj ne obstaja realno število t, za katerega velja enakost ( ). Posledično nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini ni izpolnjen, zato dani premici nista vzporedni.

odgovor:

Ne, črti nista vzporedni.

Primer.

Ali so ravne črte in vzporedne?

rešitev.

Zreducirajmo kanonično enačbo premice na enačbo premice s kotnim koeficientom: . Očitno enačbi premic in nista enaki (v tem primeru bi bile dane premice enake) in kotni koeficienti premic so enaki, zato sta prvotni premici vzporedni.

V tem članku bomo govorili o vzporednih premicah, podali definicije ter opisali znake in pogoje vzporednosti. Za večjo preglednost teoretične snovi bomo uporabili ilustracije in rešitve tipičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Vzporedne premice na ravnini– dve premici na ravnini, ki nimata skupnih točk.

Definicija 2

Vzporedne črte v tridimenzionalnem prostoru– dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Upoštevati je treba, da je za določanje vzporednih premic v prostoru izjemno pomembno pojasnilo »leži v isti ravnini«: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni. , vendar se križajo.

Za označevanje vzporednih črt je običajno uporabiti simbol ∥. To pomeni, da če sta dani premici a in b vzporedni, je treba ta pogoj na kratko zapisati takole: a ‖ b. Besedno vzporednost premic označujemo takole: premici a in b sta vzporedni ali premica a je vzporedna s premico b ali premica b vzporedna s premico a.

Oblikujmo izjavo, ki igra pomembno vlogo v obravnavani temi.

Aksiom

Skozi točko, ki ne pripada dani premici, poteka edina premica, ki je vzporedna z dano premico. Te trditve ni mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije.

V primeru, ko govorimo o prostoru, velja izrek:

1. izrek

Skozi vsako točko v prostoru, ki ne pripada dani premici, bo potekala ena sama premica, vzporedna z dano.

Ta izrek je enostavno dokazati na podlagi zgornjega aksioma (program geometrije za 10.–11. razred).

Kriterij vzporednosti je zadosten pogoj, katerega izpolnjevanje zagotavlja vzporednost premic. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za potrditev dejstva vzporednosti.

Predvsem obstajajo potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic na ravnini in v prostoru. Naj pojasnimo: nujno pomeni pogoj, katerega izpolnitev je nujna za vzporedne premice; če ni izpolnjeno, premice niso vzporedne.

Če povzamemo, nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic je pogoj, katerega upoštevanje je potrebno in zadostno, da so premice med seboj vzporedne. Po eni strani je to znak vzporednosti, po drugi strani pa lastnost, ki je lastna vzporednim črtam.

Preden podamo natančno formulacijo nujnega in zadostnega pogoja, si opomnimo še nekaj dodatnih pojmov.

Definicija 3

Sekantna črta– premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Prečnica, ki seka dve ravni črti, tvori osem nerazvitih kotov. Za oblikovanje potrebnega in zadostnega pogoja bomo uporabili takšne vrste kotov, kot so prekrižani, ustrezni in enostranski. Predstavimo jih na sliki:

Izrek 2

Če sta dve premici v ravnini sekani s prečnico, je za vzporednost danih premic nujno in dovolj, da sta seka kota enaka, ali da sta pripadajoča kota enaka, ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180 stopinj.

Grafično ponazorimo nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini:

Dokaz teh pogojev je prisoten v programu geometrije za 7. - 9. razred.

Na splošno veljajo ti pogoji tudi za tridimenzionalni prostor, pod pogojem, da dve premici in sekanta pripadata isti ravnini.

Naj navedemo še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo za dokazovanje dejstva, da so premice vzporedne.

Izrek 3

Na ravnini sta dve premici, vzporedni s tretjo, med seboj vzporedni. Ta lastnost je dokazana na podlagi zgoraj navedenega aksioma vzporednosti.

Izrek 4

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, vzporedni s tretjo, vzporedni druga z drugo.

Dokaz znaka se preučuje v učnem načrtu geometrije za 10. razred.

Naj ponazorimo te izreke:

Naj navedemo še en par izrekov, ki dokazujejo vzporednost premic.

Izrek 5

Na ravnini sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Formulirajmo podobno stvar za tridimenzionalni prostor.

Izrek 6

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Naj ponazorimo:

Vsi zgornji izreki, znaki in pogoji omogočajo priročno dokazovanje vzporednosti črt z metodami geometrije. To pomeni, da lahko za dokaz vzporednosti črt pokažemo, da so ustrezni koti enaki, ali dokažemo dejstvo, da sta dve dani črti pravokotni na tretjo itd. Vendar upoštevajte, da je pogosto bolj priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti črt na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu

V danem pravokotnem koordinatnem sistemu je premica določena z enačbo premice na ravnini ene od možnih vrst. Podobno premica, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru, ustreza nekaterim enačbam za premico v prostoru.

Zapišimo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic v pravokotnem koordinatnem sistemu glede na vrsto enačbe, ki opisuje dane premice.

Začnimo s pogojem vzporednosti premic na ravnini. Temelji na definicijah smernega vektorja premice in normalnega vektorja premice na ravnini.

Izrek 7

Da sta dve neskladni premici vzporedni na ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja danih premic kolinearna, normalna vektorja danih premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalni vektor druge premice.

Očitno postane, da pogoj vzporednosti premic na ravnini temelji na pogoju kolinearnosti vektorjev oziroma na pogoju pravokotnosti dveh vektorjev. To je, če sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja premic a in b ;

in n b → = (n b x , n b y) sta normalna vektorja premic a in b, potem zgornji nujni in zadostni pogoj zapišemo takole: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ali n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ali a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kjer je t neko realno število. Koordinate vodil ali ravnih vektorjev so določene z danimi enačbami ravnih črt. Oglejmo si glavne primere.

1. Premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu je določena s splošno enačbo premice: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; premica b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potem bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (A 1, B 1) oziroma (A 2, B 2). Pogoj vzporednosti zapišemo takole:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Premica a je opisana z enačbo premice z naklonom oblike y = k 1 x + b 1 . Premica b - y = k 2 x + b 2. Takrat bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (k 1, - 1) oziroma (k 2, - 1), pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Torej, če so vzporedne premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podane z enačbami s kotnimi koeficienti, bodo kotni koeficienti danih premic enaki. In nasprotna trditev velja: če so nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu določene z enačbami premice z enakimi kotnimi koeficienti, potem so te dane premice vzporedne.

1. Premici a in b v pravokotnem koordinatnem sistemu sta podani s kanoničnimi enačbami premice na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y in x - x 2 b x = y - y 2 b y ali s parametričnimi enačbami premica na ravnini: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y in x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Potem bodo smerni vektorji danih premic: a x, a y oziroma b x, b y, pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

a x = t b x a y = t b y

Poglejmo si primere.

Primer 1

Podani sta dve premici: 2 x - 3 y + 1 = 0 in x 1 2 + y 5 = 1. Ugotoviti je treba, ali sta vzporedni.

rešitev

Zapišimo enačbo ravne črte v segmentih v obliki splošne enačbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo, da je n a → = (2, - 3) normalni vektor premice 2 x - 3 y + 1 = 0 in n b → = 2, 1 5 normalni vektor premice x 1 2 + y 5 = 1.

Nastali vektorji niso kolinearni, ker ni takšne vrednosti tat, da bi bila enakost resnična:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tako nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini ni izpolnjen, kar pomeni, da dane premice niso vzporedne.

odgovor: dani premici nista vzporedni.

Primer 2

Podani sta premici y = 2 x + 1 in x 1 = y - 4 2. Ali sta vzporedna?

rešitev

Pretvorimo kanonično enačbo premice x 1 = y - 4 2 v enačbo premice z naklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo, da enačbi premic y = 2 x + 1 in y = 2 x + 4 nista enaki (če bi bilo drugače, bi premice sovpadale) in da sta kotna koeficienta premic enaka, kar pomeni, da dane premice so vzporedne.

Poskusimo problem rešiti drugače. Najprej preverimo, ali dane premice sovpadajo. Uporabimo katero koli točko na premici y = 2 x + 1, na primer (0, 1), koordinate te točke ne ustrezajo enačbi premice x 1 = y - 4 2, kar pomeni, da premice ne sovpadajo.

Naslednji korak je ugotoviti, ali je pogoj vzporednosti danih premic izpolnjen.

Normalni vektor premice y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , smerni vektor druge dane premice pa je b → = (1 , 2) . Skalarni produkt teh vektorjev je nič:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektorja sta torej pravokotna: to nam dokazuje izpolnjevanje nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost prvotnih premic. Tisti. dani premici sta vzporedni.

odgovor: te črte so vzporedne.

Za dokaz vzporednosti premic v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora se uporablja naslednji nujni in zadostni pogoj.

Izrek 8

Da sta dve neskladni premici v tridimenzionalnem prostoru vzporedni, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna.

Tisti. glede na enačbe premic v tridimenzionalnem prostoru odgovor na vprašanje, ali so vzporedne ali ne, najdemo z določitvijo koordinat smernih vektorjev danih premic ter preverjanjem pogoja njihove kolinearnosti. Z drugimi besedami, če sta a → = (a x, a y, a z) in b → = (b x, b y, b z) smerni vektorji premic a oziroma b, potem, da bi bili vzporedni, obstoj takega realnega števila t je potrebno, tako da velja enakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primer 3

Podani sta premici x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 in x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Treba je dokazati vzporednost teh premic.

rešitev

Pogoji problema so podani s kanoničnimi enačbami ene premice v prostoru in parametričnimi enačbami druge premice v prostoru. Vodilni vektorji a → in b → dani premici imata koordinate: (1, 0, - 3) in (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , potem je a → = 1 2 · b → .

Posledično je izpolnjen nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic v prostoru.

odgovor: vzporednost danih premic je dokazana.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov v Ruski federaciji - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

Stran 3 od 3

21. vprašanje. Kolikšen je kot trikotnika pri danem oglišču?
Odgovori. Kot trikotnika ABC pri oglišču A je kot, ki ga tvorita polpremici AB in AC. Določena sta tudi kota trikotnika pri ogliščih B in C.

22. vprašanje. Kateri segmenti se imenujejo enaki?
Odgovori. Segmenti se imenujejo enaki, če so njihove dolžine enake.
vprašanje 23. Kateri koti se imenujejo enaki?
Odgovori. Koti se imenujejo enaki, če so njihove stopinjske mere enake.
24. vprašanje. Kateri trikotniki se imenujejo enaki?
Odgovori. Trikotnike imenujemo skladne, če so njihove stranice enake in pripadajoči koti enaki. V tem primeru morata pripadajoča kota ležati nasproti pripadajočih stranic.
25. vprašanje. Kako so na sliki označene ustrezne stranice in koti pri enakih trikotnikih?
Odgovori. Na risbi so enaki odseki običajno označeni z eno, dvema ali tremi črtami, enaki koti pa z enim, dvema ali tremi loki.

26. vprašanje. S sliko 23 razloži obstoj trikotnika, ki je enak temu.
Odgovori.

Naj imamo trikotnik ABC in žarek a (slika 23, a). Premaknimo trikotnik ABC tako, da bo njegovo oglišče A poravnano z začetkom žarka a, oglišče B na žarku a, oglišče C pa v dani polravnini glede na žarek a in njegov podaljšek. Oglišča našega trikotnika v tem novem položaju bomo označili kot A 1, B 1, C 1 (slika 23, b).
Trikotnik A 1 B 1 C 1 je enak trikotniku ABC.
27. vprašanje. Katere premice imenujemo vzporedne? S katerim znakom označujemo vzporedne premice?
Odgovori. Dve premici se imenujeta vzporedni, če se ne sekata. Za označevanje vzporednosti črt se uporablja znak

28. vprašanje. Navedite glavno lastnost vzporednih premic.
Odgovori. Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko na ravnini potegnemo največ eno premico, ki je vzporedna z dano.
29. vprašanje. Navedite primer izreka.
Odgovori.Če premica, ki ne poteka skozi nobeno oglišče trikotnika, seka eno od njegovih stranic, potem seka le eno od drugih dveh stranic.