Naloga. Zgradite diagrama Q in M ​​za statično nedoločen žarek. Noge izračunamo po formuli:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

žarek enkrat je statično nedoločen, kar pomeni eno reakcij je "ekstra" neznano. Za "ekstra" neznano bomo vzeli reakcijo podpore AT — R B.

Statično določen žarek, ki ga dobimo iz danega z odstranitvijo "dodatne" povezave, se imenuje glavni sistem (b).

Zdaj je treba ta sistem predstaviti enakovredno dano. Če želite to narediti, naložite glavni sistem dano obremenitvi in ​​na točki AT uporabite "ekstra" reakcija R B(riž. v).

Vendar pa za enakovrednost to ne dovolj, saj je v takem žarku točka AT mogoče premikati navpično in v danem žarku (sl. a ) to se ne more zgoditi. Zato dodajamo stanje, kaj odklon t. AT v glavnem sistemu mora biti enak 0. Odklon t. AT sestoji iz odklon od delujoče obremenitve Δ F in od odklon od "ekstra" reakcije Δ R.

Nato sestavljamo pogoj združljivosti premikov:

Δ F + Δ R=0 (1)

Zdaj je ostalo še izračunati te gibi (upogibi).

nalaganje osnovni sistem dano obremenitev(riž .G) in zgraditi diagram tovoraM F (riž. d ).

AT t. AT uporabi in zgradi ep. (riž. ježek ).

S Simpsonovo formulo definiramo odklon obremenitve.

Zdaj pa definirajmo odklon od delovanja "ekstra" reakcije R B , za to naložimo glavni sistem R B (riž. h ) in narišite trenutke iz njegovega delovanja GOSPOD (riž. in ).

Sestavite in se odločite enačba (1):

Gradimo ep. Q in M (riž. do, l ).

Sestavljanje diagrama Q

Sestavimo diagram M metoda značilne točke. Na žarku razporedimo točke - to so točke začetka in konca žarka ( D,A ), koncentriran trenutek ( B ), in kot značilno točko označite sredino enakomerno porazdeljene obremenitve ( K ) je dodatna točka za konstruiranje parabolične krivulje.

Določite upogibne momente na točkah. Pravilo znakov cm - .

Trenutek v AT bo opredeljeno kot sledi. Najprej definirajmo:

točka Za vzemimo sredina območje z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo.

Sestavljanje diagrama M . Zaplet AB – parabolična krivulja(pravilo »dežnika«), zaplet BD – ravna poševna črta.

Za žarek določite podporne reakcije in narišite diagrame upogibnih momentov ( M) in strižne sile ( Q).

1. Mi določimo podpiračrke AMPAK in AT in usmerjajo podporne reakcije R A in R B .

Sestavljanje ravnotežne enačbe.

Pregled

Zapišite vrednosti R A in R B na shema izračuna.

2. Izris prečne sile metoda odsekov. Namestimo odseke značilna področja(med spremembami). Glede na dimenzijsko nit - 4 oddelki, 4 oddelki.

sek. 1-1 premakniti levo.

Odsek poteka skozi odsek z enakomerno porazdeljena obremenitev, upoštevajte velikost z 1 levo od odseka pred začetkom odseka. Dolžina parcele 2 m. Pravilo znakov za Q - cm.

Gradimo na ugotovljeni vrednosti diagramQ.

sek. 2-2 premakni desno.

Odsek spet poteka skozi območje z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo, upoštevajte velikost z 2 desno od odseka do začetka odseka. Dolžina parcele 6 m.

Sestavljanje diagrama Q.

sek. 3-3 premakni desno.

sek. 4-4 premik v desno.

Gradimo diagramQ.

3. Gradnja diagrami M metoda značilne točke.

značilna točka- točka, katera koli opazna na žarku. To so pike AMPAK, AT, Z, D , pa tudi bistvo Za , pri čemer Q=0 in upogibni moment ima ekstrem. tudi v sredina konzola je postavila dodatno točko E, saj je na tem področju pod enakomerno porazdeljeno obremenitev diagram M opisano krivo linijo in je zgrajena vsaj po 3 točke.

Torej, točke so postavljene, nadaljujemo z določanjem vrednosti ​​v njih upogibni momenti. Pravilo znakov - glej..

Parcele NA, AD – parabolična krivulja("krovno" pravilo za strojne specialitete ali "pravilo jadra" za konstrukcijo), odseki DC, JZ – ravne poševne črte.

Trenutek na točki D je treba določiti tako levo kot desno od točke D . Prav trenutek v teh izrazih Izključeno. Na točki D dobimo dve vrednosti iz Razlika po znesku m – skok na svojo velikost.

Zdaj moramo določiti trenutek na točki Za (Q=0). Vendar pa najprej opredelimo položaj točke Za , ki označuje razdaljo od nje do začetka odseka z neznano X .

T. Za pripada drugič značilno območje, enačba strižne sile(glej zgoraj)

Toda prečna sila v t. Za je enako 0 , a z 2 enako neznano X .

Dobimo enačbo:

Zdaj vem X, določiti trenutek v točki Za na desni strani.

Sestavljanje diagrama M . Gradnja je izvedljiva za mehansko posebnosti, odlaganje pozitivnih vrednot gor od ničelne črte in z uporabo "dežnikovega" pravila.

Za dano shemo konzolnega nosilca je potrebno narisati diagrame prečne sile Q in upogibnega momenta M, izvesti konstrukcijski izračun z izbiro krožnega prereza.

Material - les, konstrukcijska odpornost materiala R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Obstajata dva načina za sestavljanje diagramov v konzolnem nosilcu s togim zaključkom - običajen, po predhodno določitvi podpornih reakcij in brez določanja podpornih reakcij, če upoštevamo odseke, ki gredo od prostega konca nosilca in zavržemo levi del s prenehanjem. Zgradimo diagrame vsakdanji način.

1. Določite podporne reakcije.

Enakomerno porazdeljena obremenitev q zamenjaj pogojno silo Q= q 0,84=6,72 kN

V togi vgradnji obstajajo tri podporne reakcije - navpična, vodoravna in momentna, v našem primeru je vodoravna reakcija 0.

Najdimo navpično podporna reakcija R A in referenčni trenutek M A iz ravnotežnih enačb.

V prvih dveh delih na desni ni prečne sile. Na začetku odseka z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo (desno) Q=0, zadaj - velikost reakcije R.A.
3. Za gradnjo bomo sestavili izraze za njihovo definicijo na odsekih. Diagram momenta narišemo na vlakna, t.j. dol.

(zaplet posameznih trenutkov je bil zgrajen že prej)

Rešimo enačbo (1), zmanjšamo z EI

Razkrita statična nedoločenost, se najde vrednost "ekstra" reakcije. Lahko začnete risati Q in M ​​diagrame za statično nedoločen žarek... Skiciramo dano shemo žarka in navedemo reakcijsko vrednost Rb. V tem žarku reakcij v zaključku ni mogoče določiti, če greste v desno.

Stavba parcele Q za statično nedoločen žarek

Zaplet Q.

Zasnova M

M definiramo na točki ekstrema - na točki Za. Najprej določimo njegov položaj. Razdaljo do njega označimo kot neznano " X". Potem

Narišemo M.

Določanje strižnih napetosti v I-prerezu. Razmislite o razdelku I-žarek. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za določitev strižne napetosti se uporablja formula, kjer je Q prečna sila v prerezu, S x 0 je statični moment dela preseka, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, I x je vztrajnostni moment celotnega križa prerez, b je širina preseka na mestu, kjer je določena strižna napetost

Izračunaj največ strižna napetost:

Izračunajmo statični moment za najvišja polica:

Zdaj pa izračunajmo strižne napetosti:

Gradimo diagram strižne napetosti:

Izračuni za načrtovanje in preverjanje. Za žarek s konstruiranimi diagrami notranjih sil izberite odsek v obliki dveh kanalov iz pogoja trdnosti za normalne napetosti. Preverite trdnost žarka z uporabo pogoja strižne trdnosti in merila energijske trdnosti. dano:

Pokažimo žarek s konstruiranim ploskva Q in M

Glede na diagram upogibnih momentov je nevarno oddelek C, pri čemer M C = M max \u003d 48,3 kNm.

Stanje moči za normalne obremenitve saj ima ta žarek obliko σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Treba je izbrati odsek iz dveh kanalov.

Določite zahtevano izračunano vrednost aksialni prerez modul:

Za odsek v obliki dveh kanalov, v skladu s sprejetimi dva kanala №20а, vztrajnostni moment vsakega kanala I x = 1670 cm 4, potem aksialni uporni moment celotnega odseka:

Prenapetost (prenizka napetost) na nevarnih točkah računamo po formuli: Potem dobimo podnapetost:

Zdaj pa preverimo moč žarka na podlagi trdnostni pogoji za strižne napetosti. Po navedbah diagram strižnih sil nevarno so odseki v oddelku BC in oddelku D. Kot je razvidno iz diagrama, Q max \u003d 48,9 kN.

Pogoj trdnosti za strižne napetosti izgleda kot:

Za kanal št. 20 a: statični moment območja S x 1 = 95,9 cm 3, vztrajnostni moment odseka I x 1 = 1670 cm 4, debelina stene d 1 = 5,2 mm, povprečna debelina police t 1 \u003d 9,7 mm , višina kanala h 1 = 20 cm, širina police b 1 \u003d 8 cm.

Za prečno odseki dveh kanalov:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 = 1,04 cm.

Določanje vrednosti največja strižna napetost:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 = 27 MPa.

Kot je razvidno, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

zato pogoj trdnosti je izpolnjen.

Trdnost žarka preverimo glede na energijski kriterij.

Brez upoštevanja diagrama Q in M sledi temu oddelek C je nevaren, v kateri M C =M max =48,3 kNm in Q C =Q max =48,9 kN.

Preživimo analiza napetostnega stanja na točkah odseka С

Definirajmo normalne in strižne napetosti na več ravneh (označeno na diagramu preseka)

Raven 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10 cm.

Normalno in tangentno Napetost:

Glavni Napetost:

Raven 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Glavni stresi:

Raven 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Normalne in strižne napetosti:

Glavni stresi:

Ekstremne strižne napetosti:

Raven 4-4: y 4-4 =0.

(na sredini so normalne napetosti enake nič, tangencialne napetosti so največje, ugotovljene so bile pri preskusu trdnosti za tangencialne napetosti)

Glavni stresi:

Ekstremne strižne napetosti:

Raven 5-5:

Normalne in strižne napetosti:

Glavni stresi:

Ekstremne strižne napetosti:

Raven 6-6:

Normalne in strižne napetosti:

Glavni stresi:

Ekstremne strižne napetosti:

Raven 7-7:

Normalne in strižne napetosti:

Glavni stresi:

Ekstremne strižne napetosti:

Glede na opravljene izračune diagrami napetosti σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max in τ min so predstavljeni na sl.

Analiza te diagram prikazuje, ki je v prerezu žarka nevarne točke so na ravni 3-3 (ali 5-5), v kateri:

Uporaba energijski kriterij moči, dobimo

Iz primerjave enakovrednih in dovoljenih napetosti sledi, da je izpolnjen tudi pogoj trdnosti

(135,3 MPa<150 МПа).

Neprekinjeni žarek je obremenjen v vseh razponih. Zgradite diagrama Q in M ​​za neprekinjen žarek.

1. Določite stopnja statične negotovostižarki po formuli:

n= Sop -3= 5-3 =2, kje Sop - število neznanih reakcij, 3 - število enačb statike. Za rešitev tega žarka je potrebno dve dodatni enačbi.

2. Označi številke podpira z ničlo po vrsti ( 0,1,2,3 )

3. Označi razpon številke od prvega po vrsti ( v 1, v 2, v 3)

4. Vsak razpon se šteje kot preprost žarek in sestavite diagrame za vsak preprost žarek Q in M. Kaj se nanaša na preprost žarek, bomo označili z indeksom "0«, ki se nanaša na neprekinjenožarek, bomo označili brez tega indeksa. Tako je prečna sila in upogibni moment za preprost žarek.

Pri gradnji diagrami upogibnega momentaM pri gradbeniki sprejeto: ordinate, izražene v določenem merilu pozitivno vrednosti upogibnih momentov, odložite raztegnjena vlakna, t.j. - dol, a negativno - gor od osi žarka. Zato pravijo, da graditelji gradijo diagrame na raztegnjenih vlaknih. Mehanika Izrisane so pozitivne vrednosti strižne sile in upogibnega momenta gor. Mehaniki gradijo diagrame stisnjeno vlaken.

Glavni poudarki pri upogibanju. Ekvivalentne napetosti.

V splošnem primeru neposrednega upogibanja v prerezih žarka, normalno in tangenteNapetost. Te napetosti se razlikujejo po dolžini in višini žarka.

Tako je v primeru upogibanja ravninsko napetostno stanje.

Razmislite o shemi, kjer je žarek obremenjen s silo P

Največja normalna nastanejo stresi v ekstremno, točke, ki so najbolj oddaljene od nevtralne črte, in strižne napetosti v njih ni. Torej za ekstremno vlaken glavne napetosti, ki niso nič, so normalne napetosti v prerezu.

Na ravni nevtralne črte v prerezu žarka nastanejo največje strižne napetosti, a normalne napetosti so nič. pomeni v vlaknih nevtralen plast glavne napetosti so določene z vrednostmi strižnih napetosti.

V tem modelu oblikovanja bodo zgornja vlakna žarka raztegnjena, spodnja pa stisnjena. Za določitev glavnih napetosti uporabljamo dobro znani izraz:

Poln analiza stresnega stanja prisoten na sliki.

Analiza napetostnega stanja pri upogibanju

Največja glavna napetost σ 1 se nahaja na vrh ekstremna vlakna in je enak nič na spodnjih skrajnih vlaknih. Glavna napetost σ 3 Ima največja absolutna vrednost na spodnjih vlaknih.

Glavna pot stresa odvisno od vrsta obremenitve in način pritrditve žarka.

Pri reševanju težav je dovolj ločeno preveri normalno in ločene strižne napetosti. Vendar pa včasih najbolj stresno izpade vmesno vlakna, ki imajo tako normalno kot strižno napetost. To se zgodi v odsekih, kjer hkrati tako upogibni moment kot prečna sila dosegata velike vrednosti- to je lahko v zaključku konzolnega nosilca, na nosilcu nosilca s konzolo, v odsekih pod koncentrirano silo ali v odsekih z močno spreminjajočo se širino. Na primer, v I-odseku je najbolj nevarno stik stene s polico- obstajajo pomembne in normalne ter strižne napetosti.

Material je v ravninskem napetostnem stanju in zahteva test enakovredne napetosti.

Trdnostni pogoji za nosilce iz nodularnih materialov na tretjič(teorije največjih tangencialnih napetosti) in četrti(teorija energije sprememb oblike) teorije moči.

Praviloma pri valjanih nosilcih enakovredne napetosti ne presegajo normalnih napetosti v najbolj oddaljenih vlaknih in ni potrebno posebno preverjanje. Druga stvar - kompozitni kovinski nosilci, ki tanjša stena kot pri valjanih profilih na isti višini. Pogosteje se uporabljajo varjeni kompozitni nosilci iz jeklene pločevine. Izračun takih nosilcev za trdnost: a) izbira preseka - višina, debelina, širina in debelina tetiv nosilcev; b) preskus trdnosti za normalne in strižne napetosti; c) preverjanje trdnosti z enakovrednimi napetostmi.

Določanje strižnih napetosti v I-prerezu. Razmislite o razdelku I-žarek. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za določitev strižne napetosti se uporablja formula, kjer je Q prečna sila v prerezu, S x 0 je statični moment dela preseka, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, I x je vztrajnostni moment celotnega križa prerez, b je širina preseka na mestu, kjer je določena strižna napetost

Izračunaj največ strižna napetost:

Izračunajmo statični moment za najvišja polica:

Zdaj pa izračunajmo strižne napetosti:

Gradimo diagram strižne napetosti:

Razmislite o delu standardnega profila v obrazcu I-žarek in definiraj strižne napetosti deluje vzporedno s prečno silo:

Izračunaj statične trenutke preproste figure:

To vrednost je mogoče tudi izračunati drugače, z uporabo dejstva, da je za I-žar in odsek korita statični moment polovice preseka podan hkrati. Da bi to naredili, je treba od znane vrednosti statičnega momenta odšteti vrednost statičnega momenta na črto A 1 B 1:

Strižne napetosti na stičišču prirobnice s steno se spreminjajo krčevito, kot ostro debelina stene se spreminja od t st prej b.

Plošče strižnih napetosti v stenah korita, votlih pravokotnih in drugih prerezov imajo enako obliko kot v primeru I-prereza. Formula vključuje statični moment osenčenega dela preseka glede na os X, imenovalec pa je širina preseka (neto) v sloju, kjer je določena strižna napetost.

Določimo strižne napetosti za krožni prerez.

Ker morajo biti tangencialne napetosti na konturi odseka usmerjene tangenta na konturo, nato na točkah AMPAK in AT na koncih katere koli tetive, vzporedne s premerom AB, strižne napetosti so usmerjene pravokotno na polmere OA in OV. zato smeri strižne napetosti v točkah AMPAK, VK na neki točki zbližati H na osi Y.

Statični moment odsečnega dela:

To pomeni, da se strižne napetosti spreminjajo glede na parabolični zakona in bo največja na ravni nevtralne črte, ko y 0 =0

Formula za določanje strižnih napetosti (formula)

Razmislite o pravokotnem odseku

Na daljavo ob 0 rišite iz osrednje osi razdelek 1-1 in določi strižne napetosti. Statični trenutek območje odrezan del:

To se je treba v osnovi zavedati enak, vzemite statični moment območja v senci ali počitku prečni prerez. Oba statična momenta enako in nasprotno po predznaku, torej oni vsota, ki predstavlja statični moment površine celotnega odseka glede na nevtralno črto, in sicer osrednjo os x, bo enaka nič.

Vztrajnostni moment pravokotnega prereza:

Potem strižne napetosti po formuli

Spremenljivka y 0 je vključena v formulo med drugič stopinje, tj. strižne napetosti v pravokotnem prerezu se spreminjajo s zakon kvadratne parabole.

Dosežena strižna napetost največ na nivoju nevtralne črte, t.j. kdaj y 0 =0:

, kje A je površina celotnega odseka.

Pogoj trdnosti za strižne napetosti izgleda kot:

, kje S x 0 je statični moment dela preseka, ki se nahaja na eni strani plasti, v katerem so določene strižne napetosti, I x je vztrajnostni moment celotnega preseka, b- širina preseka na mestu, kjer je določena strižna napetost, Q- prečna sila, τ - strižna napetost, [τ] — dovoljena strižna napetost.

Ta pogoj trdnosti omogoča proizvodnjo trije vrsta izračuna (tri vrste težav pri analizi trdnosti):

1. Izračun preverjanja ali preskus trdnosti za strižne napetosti:

2. Izbira širine preseka (za pravokotni prerez):

3. Določitev dovoljene prečne sile (za pravokoten prerez):

Za določitev tangente napetosti, upoštevajte žarek, obremenjen s silami.

Naloga določanja napetosti je vedno statično nedoločen in zahteva sodelovanje geometrijski in fizično enačb. Vendar pa se lahko vzame hipoteze o naravi porazdelitve stresa da bo naloga postala statično določeno.

Izbira dveh neskončno blizu prereza 1-1 in 2-2 dz element, narišite ga v velikem merilu, nato narišite vzdolžni prerez 3-3.

V oddelkih 1–1 in 2–2, normalne σ 1 , σ 2 napetosti, ki jih določajo dobro znane formule:

kje M - upogibni moment v prerezu dM - prirast upogibni moment na dolžini dz

Strižna sila v odsekih 1–1 in 2–2 je usmerjen vzdolž glavne osrednje osi Y in očitno predstavlja vsota navpičnih komponent notranjih strižnih napetosti, porazdeljenih po prerezu. Pri trdnosti materialov se običajno vzame predpostavka njihove enakomerne porazdelitve po širini odseka.

Za določitev velikosti strižnih napetosti na kateri koli točki prečnega prereza, ki se nahaja na razdalji ob 0 z nevtralne osi X skozi to točko potegnemo ravnino, vzporedno z nevtralno plastjo (3-3), in odstranimo odrezni element. Določili bomo napetost, ki deluje na mestu ABSD.

Projicirajmo vse sile na os Z

Rezultanta notranjih vzdolžnih sil na desni strani bo enaka:

kje A 0 je površina fasadne ploskve, S x 0 je statični moment odrezanega dela glede na os X. Podobno na levi strani:

Oba rezultata usmerjeni drug proti drugemu ker je element notri stisnjenožarkovno območje. Njihova razlika je uravnotežena s tangencialnimi silami na spodnji strani 3-3.

Pretvarjajmo se strižne napetosti τ porazdeljeno po širini prečnega prereza žarka b enakomerno. Ta predpostavka je bolj verjetna, manjša je širina v primerjavi z višino odseka. Potem rezultanta tangencialnih sil dT je enak vrednosti napetosti, pomnoženi s površino obraza:

Sestavite zdaj ravnotežna enačba Σz=0:

ali od kod

Spomnimo se diferencialne odvisnosti, po katerem Nato dobimo formulo:

Ta formula se imenuje formule. Ta formula je bila pridobljena leta 1855. Tukaj S x 0 - statični moment dela prečnega prereza, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, I x - vztrajnostni moment celoten prerez b - širina odseka kjer je določena strižna napetost, Q - prečna sila v razdelku.

je pogoj upogibne trdnosti, kje

- največji moment (modulo) iz diagrama upogibnih momentov; - modul osnega prereza, geometrijski značilnost; - dovoljena napetost (σadm)

- največji normalni stres.

Če izračun temelji na metoda mejnega stanja, potem se v izračun namesto dovoljene napetosti uvede konstrukcijska odpornost materiala R.

Vrste izračunov upogibne trdnosti

1. Preverjanje izračun ali preverjanje normalne napetostne trdnosti

2. Projekt izračun oz izbor odseka

3. Opredelitev dovoljeno obremenitve (definicija dvižna zmogljivost in ali operativni nosilec zmogljivosti)

Ko izpeljete formulo za izračun normalnih napetosti, upoštevajte tak primer upogibanja, ko se notranje sile v odsekih nosilca zmanjšajo le na upogibni moment, a prečna sila je nič. Ta primer upogibanja se imenuje čisto upogibanje. Razmislite o srednjem delu žarka, ki se čisto upogiba.

Pri obremenitvi se žarek upogne tako, da se spodnja vlakna se podaljšajo, zgornja pa skrajšajo.

Ker se del vlaken žarka raztegne in del stisne, pride do prehoda iz napetosti v stiskanje gladko, brez skokov, v sredina del žarka je plast, katere vlakna se le upognejo, vendar ne doživijo niti napetosti niti stiskanja. Takšen sloj se imenuje nevtralen plast. Črta, po kateri se nevtralna plast seka s prečnim prerezom žarka, se imenuje nevtralna linija oz nevtralna os odsekov. Nevtralne črte so nanizane na os žarka. nevtralna linija je vrstica, v kateri normalne napetosti so nič.

Črte, narisane na stranski površini žarka, pravokotno na os, ostanejo stanovanje pri upogibanju. Ti eksperimentalni podatki omogočajo osnovo za izpeljavo formul hipoteza ravnih prerezov (hipoteza). Po tej hipotezi so odseki žarka pred upogibanjem ravni in pravokotni na njegovo os, ostanejo ravni in postanejo pravokotni na upognjeno os nosilca, ko je ukrivljen.

Predpostavke za izpeljavo normalnih formul napetosti: 1) Hipoteza ravnih prerezov je izpolnjena. 2) Vzdolžna vlakna ne pritiskajo drug na drugega (hipoteza brez pritiska) in je zato vsako od vlaken v stanju enoosne napetosti ali stiskanja. 3) Deformacije vlaken niso odvisne od njihovega položaja vzdolž širine odseka. Posledično normalne napetosti, ki se spreminjajo vzdolž višine odseka, ostanejo enake po širini. 4) Žarek ima vsaj eno simetrično ravnino in vse zunanje sile ležijo v tej ravnini. 5) Material žarka upošteva Hookeov zakon, modul elastičnosti pri napetosti in stiskanju pa je enak. 6) Razmerja med dimenzijami žarka so taka, da deluje v ravnih upogibnih pogojih brez upogibanja ali zvijanja.

Upoštevajte žarek poljubnega preseka, vendar ima simetrično os. Upogibni moment predstavlja rezultantni moment notranjih normalnih sil ki nastanejo na neskončno majhnih območjih in se lahko izrazijo v obliki integralni oblika: (1), kjer je y krak elementarne sile glede na os x

Formula (1) izraža statična strani problema upogibanja ravne palice, vendar vzdolž nje glede na znani upogibni moment normalnih napetosti je nemogoče določiti, dokler ni vzpostavljen zakon njihove porazdelitve.

Izberite tramove v srednjem delu in razmislite odsek dolžine dz, podvržen upogibanju. Povečajmo ga.

Odseki, ki omejujejo odsek dz, vzporedno drug z drugim pred deformacijo, in po uporabi obremenitve obrnejo svoje nevtralne črte pod kotom . Dolžina segmenta vlaken nevtralne plasti se ne bo spremenila. in bo enako: , kje je polmer ukrivljenosti ukrivljena os žarka. Toda katero koli drugo vlakno laže spodaj ali zgoraj nevtralna plast, bo spremenila svojo dolžino. Izračunaj relativni raztezek vlaken, ki se nahajajo na razdalji y od nevtralne plasti. Relativni raztezek je razmerje med absolutno deformacijo in prvotno dolžino, potem:

Podobne izraze zmanjšamo za in zmanjšamo, potem dobimo: (2) Ta formula izraža geometrijski stran čistega problema upogibanja: deformacije vlaken so neposredno sorazmerne z njihovo razdaljo od nevtralne plasti.

Zdaj pa pojdimo naprej stresa, tj. bomo upoštevali fizično stran naloge. v skladu z predpostavka brez tlaka vlakna se uporabljajo pri aksialni napetosti-stiskanju: potem ob upoštevanju formule (2) imamo (3), tiste. normalni stresi pri upogibanju vzdolž višine odseka se porazdelijo po linearnem zakonu. Na skrajnih vlaknih normalne napetosti dosežejo največjo vrednost, v težišče pa so prečni prerezi enaki nič. Nadomestek (3) v enačbo (1) in vzamemo ulomek iz predznaka integrala kot konstantno vrednost, potem imamo . Toda izraz je aksialni vztrajnostni moment preseka okoli osi x - I x. Njegova dimenzija cm 4, m 4

Potem ,kje (4) , kjer je ukrivljenost upognjene osi nosilca, a je togost odseka nosilca med upogibanjem.

Zamenjajte dobljeni izraz ukrivljenost (4) v izraz (3) in dobiš formula za izračun normalnih napetosti na kateri koli točki preseka: (5)

To največ nastanejo stresi na točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne črte. Odnos (6) poklical aksialni prerez modul. Njegova dimenzija cm 3, m 3. Uporni moment označuje vpliv oblike in dimenzij preseka na velikost napetosti.

Potem maksimalne napetosti: (7)

Stanje upogibne trdnosti: (8)

Med prečnim upogibanjem ne le normalne, ampak tudi strižne napetosti, Ker na voljo strižna sila. Strižne napetosti zapletejo sliko deformacije, vodijo do ukrivljenost prečni prerezi žarka, zaradi česar hipoteza ravnih odsekov je kršena. Vendar pa študije kažejo, da so popačenja, ki jih povzročajo strižne napetosti malce vplivajo na normalne napetosti, izračunane po formuli (5) . Tako pri določanju normalnih napetosti v primeru prečnega upogibanja teorija čistega upogibanja je precej uporabna.

Nevtralna črta. Vprašanje o položaju nevtralne črte.

Pri upogibanju ni vzdolžne sile, zato lahko pišemo Tukaj nadomestite formulo za normalne napetosti (3) in dobiš Ker je modul elastičnosti materiala nosilca enak nič in ima upognjena os nosilca končni polmer ukrivljenosti, je še vedno treba domnevati, da je ta integral enak statični moment območja prečni prerez žarka glede na os nevtralne črte x , in od takrat je enaka nič, potem nevtralna črta poteka skozi težišče odseka.

Pogoj (odsotnost momenta notranjih sil glede na polje polja) bo dal ali ob upoštevanju (3) . Iz istih razlogov (glej zgoraj) . V integrandu - centrifugalni vztrajnostni moment preseka okoli osi x in y je nič, torej so te osi glavni in osrednji in make up naravnost injekcija. zato močna in nevtralna proga v ravnem ovinku sta medsebojno pravokotni.

Z nastavitvijo položaj nevtralne črte, enostaven za gradnjo diagram normalnega stresa po višini odseka. njo linearna značaj je določen enačba prve stopnje.

Narava diagrama σ za simetrične odseke glede na nevtralno črto, M<0

Hipoteza ravnih prerezov pri upogibanju je mogoče razložiti s primerom: na stransko površino nedeformiranega žarka nanesemo mrežo, sestavljeno iz vzdolžnih in prečnih (pravokotno na os) ravnih črt. Zaradi upogibanja nosilca bodo vzdolžne črte dobile krivolinijsko obliko, medtem ko bodo prečne črte praktično ostale ravne in pravokotne na upognjeno os nosilca.

Oblikovanje hipoteze o ravninskem preseku: prečni prerezi, ki so ravni in pravokotni na os nosilca pred , ostanejo ravni in pravokotni na ukrivljeno os, potem ko je bila deformirana.

Ta okoliščina kaže, da kdaj hipoteza ravnega preseka, tako kot pri in

Poleg hipoteze o ravnih odsekih je podana predpostavka: vzdolžna vlakna žarka se med upogibanjem ne pritiskajo.

Hipoteza ravnih prerezov in predpostavka se imenujeta Bernoullijeva domneva.

Razmislite o žarku pravokotnega prečnega prereza, ki se popolnoma upogiba (). Izberimo element žarka z dolžino (slika 7.8. a). Zaradi upogibanja se bodo prečni prerezi žarka vrteli in tvorili kot. Zgornja vlakna so v stiskanju, spodnja pa v napetosti. Polmer ukrivljenosti nevtralnega vlakna je označen z .

Pogojno menimo, da vlakna spremenijo svojo dolžino, pri tem pa ostanejo ravna (slika 7.8. b). Nato absolutni in relativni raztezek vlakna, razmaknjenega na razdalji y od nevtralnega vlakna:

Pokažimo, da vzdolžna vlakna, ki med upogibanjem žarka ne doživijo niti napetosti niti stiskanja, potekajo skozi glavno osrednjo os x.

Ker se dolžina žarka med upogibanjem ne spreminja, mora biti vzdolžna sila (N), ki nastane v prečnem prerezu, enaka nič. Elementarna vzdolžna sila.

Glede na izraz :

Množitelj je mogoče vzeti iz predznaka integrala (ni odvisno od integracijske spremenljivke).

Izraz predstavlja presek žarka glede na nevtralno os x. Ko nevtralna os poteka skozi težišče preseka, je nič. Posledično nevtralna os (ničelna črta), ko je žarek upognjen, poteka skozi težišče prečnega prereza.

Očitno: upogibni moment je povezan z normalnimi napetostmi, ki se pojavijo na točkah prečnega prereza palice. Elementarni upogibni moment, ki ga ustvari elementarna sila:

,

kjer je aksialni vztrajnostni moment prečnega prereza okoli nevtralne osi x, razmerje pa je ukrivljenost osi žarka.

Togost tramovi pri upogibanju(večji, manjši je polmer ukrivljenosti).

Nastala formula predstavlja Hookeov zakon pri upogibanju za palico: upogibni moment, ki se pojavi v prečnem prerezu, je sorazmeren z ukrivljenostjo osi žarka.

Izražanje iz formule Hookeovega zakona za palico pri upogibanju polmera ukrivljenosti () in zamenjavo njegove vrednosti v formuli , dobimo formulo za normalne napetosti () na poljubni točki prečnega prereza nosilca, odmaknjeni na razdalji y od nevtralne osi x: .

V formuli za normalne napetosti () na poljubni točki prečnega prereza nosilca je treba nadomestiti absolutne vrednosti upogibnega momenta () in razdaljo od točke do nevtralne osi (y koordinate) . Ali bo napetost na določeni točki natezna ali tlačna, je enostavno ugotoviti z naravo deformacije nosilca ali z diagramom upogibnih momentov, katerih ordinate so izrisane s strani stisnjenih vlaken nosilca.

To je razvidno iz formule: normalne napetosti () se spreminjajo vzdolž višine prečnega prereza žarka po linearnem zakonu. Na sl. 7.8, je prikazan zaplet. Največje napetosti med upogibanjem žarka se pojavijo na točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne osi. Če je v prerezu žarka vzporedno z nevtralno osjo x potegnjena črta, potem na vseh njenih točkah nastanejo enake normalne napetosti.

Preprosta analiza normalni stresni diagrami kaže, da ko je žarek upognjen, material, ki se nahaja v bližini nevtralne osi, praktično ne deluje. Zato je za zmanjšanje teže nosilca priporočljivo izbrati oblike prečnega prereza, pri katerih je večina materiala odstranjena z nevtralne osi, kot je na primer I-profil.

upogib se imenuje vrsta obremenitve palice, pri kateri se nanjo uporabi moment, ki leži v ravnini, ki poteka skozi vzdolžno os. Upogibni momenti se pojavijo v prerezih žarka. Pri upogibanju pride do deformacije, pri kateri se os ravnega nosilca upogne ali spremeni ukrivljenost ukrivljenega nosilca.

Imenuje se žarek, ki deluje pri upogibanju žarek . Imenuje se konstrukcija, sestavljena iz več upogibnih palic, ki so med seboj najpogosteje povezane pod kotom 90 ° okvir .

Zavoj se imenuje ravna ali ravna , če ravnina delovanja bremena poteka skozi glavno osrednjo vztrajnostno os odseka (slika 6.1).

Slika 6.1

Pri ravnem prečnem upogibu v žarku nastaneta dve vrsti notranjih sil: prečna sila Q in upogibni moment M. V okvirju z ravnim prečnim upogibom nastanejo tri sile: vzdolžna N, prečno Q sile in upogibni moment M.

Če je upogibni moment edini notranji faktor sile, se takšen upogib imenuje čist (slika 6.2). V prisotnosti prečne sile se imenuje ovinek prečno . Strogo gledano, samo čisto upogibanje spada med enostavne vrste upora; prečno upogibanje se pogojno nanaša na enostavne vrste upora, saj je v večini primerov (za dovolj dolge nosilce) delovanje prečne sile pri izračunih trdnosti mogoče zanemariti.

22.Ravni prečni ovinek. Diferencialne odvisnosti med notranjimi silami in zunanjo obremenitvijo. Med upogibnim momentom, prečno silo in intenzivnostjo porazdeljene obremenitve obstajajo diferencialne odvisnosti, ki temeljijo na izreku Žuravskega, poimenovanem po ruskem inženirju mostov D. I. Žuravskem (1821-1891).

Ta izrek je formuliran na naslednji način:

Prečna sila je enaka prvi izvod upogibnega momenta vzdolž abscise odseka žarka.

23. Ravni prečni ovinek. Konstrukcija diagramov prečnih sil in upogibnih momentov. Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 1

Desno stran žarka zavržemo in njegovo delovanje na levi strani nadomestimo s prečno silo in upogibnim momentom. Za udobje izračuna zavrženi desni del žarka zapremo s listom papirja, tako da levi rob lista poravnamo z obravnavanim odsekom 1.

Prečna sila v odseku 1 žarka je enaka algebraični vsoti vseh zunanjih sil, ki so vidne po zapiranju

Vidimo le reakcijo podpore navzdol. Torej je prečna sila:

kN.

Predznak minus smo vzeli, ker sila vrti vidni del žarka glede na prvi odsek v nasprotni smeri urinega kazalca (ali ker je po pravilu predznakov enako usmerjena s smerjo prečne sile)

Upogibni moment v odseku 1 žarka je enak algebraični vsoti momentov vseh naporov, ki jih vidimo po zapiranju zavrženega dela nosilca glede na obravnavani odsek 1.

Vidimo dva napora: reakcijo podpore in trenutek M. Vendar je krak sile skoraj nič. Torej je upogibni moment:

kN m

Tu vzamemo znak plus, ker zunanji moment M upogne vidni del žarka s konveksnostjo navzdol. (ali ker je nasprotna smeri upogibnega momenta po pravilu znakov)

Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 2

V nasprotju s prvim delom ima reakcijska sila ramo enako a.

prečna sila:

kN;

upogibni moment:

Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 3

prečna sila:

upogibni moment:

Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 4

Zdaj bolj udobno pokrij levo stran žarka z listom.

prečna sila:

upogibni moment:

Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 5

prečna sila:

upogibni moment:

Določanje strižnih sil in upogibnih momentov - oddelek 1

prečna sila in upogibni moment:

.

Na podlagi najdenih vrednosti sestavimo diagram prečnih sil (slika 7.7, b) in upogibnih momentov (slika 7.7, c).

KONTROLA PRAVILNE KONSTRUKCIJE FIZIKA

Pravilnost gradnje diagramov glede na zunanje značilnosti bomo preverili s pomočjo pravil za sestavljanje diagramov.

Preverjanje grafa strižne sile

Prepričani smo: pri neobremenjenih odsekih diagram prečnih sil poteka vzporedno z osjo nosilca, pri porazdeljeni obremenitvi q pa vzdolž premice, nagnjene navzdol. Na diagramu vzdolžne sile so trije skoki: pod reakcijo - navzdol za 15 kN, pod silo P - navzdol za 20 kN in pod reakcijo - navzgor za 75 kN.

Preverjanje grafa upogibnega momenta

Na diagramu upogibnih momentov vidimo prelome pod zgoščeno silo P in pod opornimi reakcijami. Zlomni koti so usmerjeni proti tem silam. Pri porazdeljeni obremenitvi q se diagram upogibnih momentov spreminja vzdolž kvadratne parabole, katere konveksnost je usmerjena proti obremenitvi. V odseku 6 je na diagramu upogibnega momenta ekstrem, saj diagram prečne sile na tem mestu prehaja skozi nič.

10.1. Splošni pojmi in definicije

upogib- to je vrsta obremenitve, pri kateri je palica obremenjena z momenti v ravninah, ki potekajo skozi vzdolžno os palice.

Palica, ki deluje pri upogibanju, se imenuje žarek (ali žarek). V prihodnosti bomo upoštevali ravne tramove, katerih prečni prerez ima vsaj eno simetrično os.

Pri odpornosti materialov je upogibanje ravno, poševno in zapleteno.

ravni ovinek- upogibanje, pri katerem vse sile, ki upogibajo žarek, ležijo v eni od simetričnih ravnin žarka (v eni od glavnih ravnin).

Glavne vztrajnostne ravnine nosilca so ravnine, ki potekajo skozi glavne osi prečnih prerezov in geometrijsko os nosilca (os x).

poševni ovinek- upogibanje, pri katerem obremenitve delujejo v eni ravnini, ki ne sovpada z glavnimi vztrajnostnimi ravninami.

Kompleksni ovinek- upogibanje, pri katerem obremenitve delujejo v različnih (poljubnih) ravninah.

10.2. Določanje notranjih upogibnih sil

Poglejmo si dva značilna primera upogibanja: v prvem primeru se konzolni nosilec upogne za koncentrirani moment Mo; v drugem pa s koncentrirano silo F.

Z metodo miselnih odsekov in sestavitvijo ravnotežnih enačb za odrezane dele žarka določimo notranje sile v obeh primerih:

Preostale ravnotežne enačbe so očitno identično enake nič.

Tako v splošnem primeru ravnega upogibanja v prerezu žarka od šestih notranjih sil nastaneta dve - upogibni moment Mz in strižna sila Qy (ali pri upogibanju okoli druge glavne osi - upogibni moment My in prečna sila Qz).

V tem primeru lahko v skladu z dvema obravnavanima primeroma obremenitve ravno upogibanje razdelimo na čisto in prečno.

Čisti ovinek- ravno upogibanje, pri katerem v odsekih palice nastane le ena od šestih notranjih sil - upogibni moment (glej prvi primer).

prečni ovinek- upogibanje, pri katerem se poleg notranjega upogibnega momenta v odsekih palice pojavi tudi prečna sila (glej drugi primer).

Strogo gledano, samo čisto upogibanje spada med enostavne vrste upora; prečno upogibanje se pogojno nanaša na enostavne vrste upora, saj je v večini primerov (za dovolj dolge nosilce) delovanje prečne sile pri izračunih trdnosti mogoče zanemariti.

Pri določanju notranjih sil se bomo držali naslednjega pravila znakov:

1) prečna sila Qy velja za pozitivno, če se nagiba k vrtenju obravnavanega elementa žarka v smeri urinega kazalca;

2) upogibni moment Mz se šteje za pozitiven, če se pri upognjenem elementu žarka zgornja vlakna elementa stisnejo, spodnja pa raztegnejo (krvno pravilo).

Tako bo rešitev problema določanja notranjih sil pri upogibanju zgrajena po naslednjem načrtu: 1) na prvi stopnji ob upoštevanju ravnotežnih pogojev konstrukcije kot celote določimo, če je potrebno, neznane reakcije nosilci (upoštevajte, da je pri konzolnem nosilcu reakcije v vgradnji lahko in jih ne najdemo, če upoštevamo nosilec s prostega konca); 2) na drugi stopnji izberemo značilne odseke žarka, pri čemer kot meje odsekov vzamemo točke uporabe sil, točke spremembe oblike ali dimenzij žarka, točke pritrditve žarka; 3) na tretji stopnji določimo notranje sile v odsekih nosilca, pri čemer upoštevamo ravnotežne pogoje za elemente nosilca v vsakem od odsekov.

10.3. Diferencialne odvisnosti pri upogibanju

Ugotovimo nekaj razmerij med notranjimi silami in zunanjimi upogibnimi obremenitvami ter značilnostmi Q in M ​​diagramov, katerih poznavanje bo olajšalo konstrukcijo diagramov in vam omogočilo nadzor nad njihovo pravilnostjo. Zaradi lažjega zapisovanja bomo označili: M≡Mz, Q≡Qy.

Dodelimo majhen element dx v prerezu žarka s poljubno obremenitvijo na mestu, kjer ni koncentriranih sil in momentov. Ker je celoten žarek v ravnotežju, bo element dx v ravnotežju tudi pod delovanjem prečnih sil, ki delujejo nanj, upogibnih momentov in zunanje obremenitve. Ker se Q in M ​​na splošno razlikujeta

osi žarka, potem bodo v odsekih elementa dx prečne sile Q in Q + dQ, pa tudi upogibni momenti M in M ​​+ dM. Iz ravnotežnega pogoja izbranega elementa dobimo

Prva od dveh zapisanih enačb poda pogoj

Iz druge enačbe, če zanemarimo izraz q dx (dx/2) kot neskončno majhno količino drugega reda, ugotovimo

Če upoštevamo izraza (10.1) in (10.2) skupaj lahko dobimo

Relacije (10.1), (10.2) in (10.3) imenujemo diferencialne odvisnosti D. I. Žuravskega pri upogibanju.

Analiza zgornjih diferencialnih odvisnosti pri upogibanju nam omogoča, da vzpostavimo nekatere značilnosti (pravila) za konstruiranje diagramov upogibnih momentov in strižnih sil: a - na območjih, kjer ni porazdeljene obremenitve q, so diagrami Q omejeni na ravne črte, vzporedne z osnova, diagrami M pa so nagnjene ravne črte; b - v odsekih, kjer se na nosilec uporablja porazdeljena obremenitev q, so Q diagrami omejeni z nagnjenimi ravnimi črtami, M diagrami pa s kvadratnimi parabolami.

V tem primeru, če zgradimo diagram M "na raztegnjenem vlaknu", bo konveksnost parabole usmerjena v smer delovanja q, ekstrem pa se nahaja v odseku, kjer diagram Q seka osnovo črta; c - v odsekih, kjer se na žarek uporablja koncentrirana sila, bodo na Q diagramu skoki za vrednost in v smeri te sile, na diagramu M pa pregibi, konica je usmerjena v smeri te sile. sila; d - v odsekih, kjer se na žarek uporablja koncentrirani moment, na diagramu Q ne bo sprememb, na diagramu M pa bodo skoki za vrednost tega trenutka; e - v odsekih, kjer Q>0, se trenutek M poveča, in v odsekih, kjer Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalne napetosti pri čistem upogibu ravnega nosilca

Oglejmo si primer čistega ravninskega upogibanja nosilca in izpeljimo formulo za določanje normalnih napetosti za ta primer.

Upoštevajte, da je v teoriji elastičnosti mogoče dobiti natančno odvisnost za normalne napetosti pri čistem upogibu, vendar je treba ta problem rešiti z metodami odpornosti materialov, je treba uvesti nekaj predpostavk.

Obstajajo tri takšne hipoteze za upogibanje:

a - hipoteza ravnih prerezov (Bernoullijeva hipoteza) - prerezi so pred deformacijo ravni in po deformaciji ostanejo ravni, vendar se vrtijo le okoli določene črte, ki ji pravimo nevtralna os prereza. V tem primeru se vlakna žarka, ki ležijo na eni strani nevtralne osi, raztegnejo, na drugi pa stisnejo; vlakna, ki ležijo na nevtralni osi, ne spremenijo svoje dolžine;

b - hipoteza konstantnosti normalnih napetosti - napetosti, ki delujejo na enaki razdalji y od nevtralne osi, so konstantne po širini nosilca;

c – hipoteza o odsotnosti stranskih pritiskov – sosednja vzdolžna vlakna ne pritiskajo drug na drugega.

Statična stran problema

Za določitev napetosti v prečnih prerezih žarka upoštevamo najprej statične strani problema. Z uporabo metode miselnih prerezov in sestavitvijo ravnotežnih enačb za odrezani del nosilca najdemo notranje sile pri upogibanju. Kot je bilo že prikazano, je edina notranja sila, ki deluje v prerezu palice s čistim upogibom, notranji upogibni moment, kar pomeni, da bodo tukaj nastale normalne napetosti, povezane z njim.

Razmerje med notranjimi silami in normalnimi napetostmi v prerezu nosilca najdemo tako, da upoštevamo napetosti na osnovnem območju dA, izbranem v prerezu A nosilca v točki s koordinatama y in z (os y je zaradi lažjega usmerjena navzdol analize):

Kot vidimo, je problem notranje statično nedoločen, saj narava porazdelitve normalnih napetosti po prerezu ni znana. Če želite rešiti problem, upoštevajte geometrijski vzorec deformacij.

Geometrijska stran problema

Razmislite o deformaciji elementa žarka dolžine dx, izbranega iz upogibne palice na poljubni točki s koordinato x. Ob upoštevanju predhodno sprejete hipoteze o ravnih odsekih se po upogibanju odseka žarka glede na nevtralno os (n.r.) zavrti za kot dϕ, medtem ko se vlakno ab, ki je od nevtralne osi na razdalji y, spremeni v krožni lok a1b1, njegova dolžina pa se bo spremenila za določeno velikost. Tu se spomnimo, da se dolžina vlaken, ki ležijo na nevtralni osi, ne spreminja, zato ima lok a0b0 (polmer ukrivljenosti, ki ga označujemo z ρ) enako dolžino kot segment a0b0 pred deformacijo a0b0=dx.

Poiščimo relativno linearno deformacijo εx vlakna ab ukrivljenega žarka.