Definiție directă paralelă și exemple. Linii paralele

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă, când două drepte se intersectează cu o secante:

unghiurile încrucișate sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la a demonstra cazul 1.

Fie dreptele care se intersectează a și b să fie transversale și unghiurile AB egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, prin urmare, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Pentru certitudine, fie ∠ 4 unghiul extern al triunghiului ABM, iar ∠ 6 unghiul intern. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte diferite dintr-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul argumentului se face o presupunere care este contrară (opusă) a ceea ce trebuie dovedit. Se numește duce la absurd datorită faptului că, raționând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (la absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care trebuia dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este întotdeauna posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu cea dată.

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat care nu se află pe o dreaptă dată, trece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează și pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt intersectate de o transversală, atunci:

unghiurile transversale sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă(vezi fig. 2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărat, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru folosind exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi următoarea: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie verticale.

Exemplul 1. Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți aceste unghiuri.

Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.

Acest articol este despre linii paralele și linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele pe un plan și în spațiu, sunt introduse notații, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt discutate semnele și condițiile pentru paralelismul liniilor. În concluzie, sunt prezentate soluții la probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de anumite ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Două linii din spațiul tridimensional sunt numite paralel, dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Vă rugăm să rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte din spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci se intersectează.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Șinele de cale ferată pe teren plan pot fi considerate și linii paralele.

Pentru a indica linii paralele, utilizați simbolul „”. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem scrie pe scurt a b.

Vă rugăm să rețineți: dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să rostim o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele pe un plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se dovedește cu ușurință folosind axioma de mai sus a liniilor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, care este enumerat la sfârșitul articolului în lista de referințe).

Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi dovedită cu ușurință folosind axioma liniilor paralele de mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de paralelism al liniilor este o condiție suficientă pentru ca liniile să fie paralele, adică o condiție a cărei îndeplinire garantează ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a stabili faptul că liniile sunt paralele.

Există și condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Din denumirea „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru liniile paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru linii paralele, atunci liniile nu sunt paralele. Prin urmare, condiție necesară și suficientă pentru liniile paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn de paralelism al liniilor și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a formula o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor, este indicat să amintim mai multe definiții auxiliare.

Linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte necoincidente date.

Când două drepte se intersectează cu o transversală, se formează opt drepte nedezvoltate. În formularea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor, așa-numita culcat în cruce, corespunzătorȘi unghiuri unilaterale. Să le arătăm în desen.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca ele să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru paralelismul liniilor în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul dreptelor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu este discutată la lecțiile de geometrie din clasa a X-a.

Să ilustrăm teoremele enunțate.

Să prezentăm o altă teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor pe un plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele, criteriile și condițiile necesare și suficiente formulate mai sus sunt excelente pentru a demonstra paralelismul dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, trebuie să arăți că acestea sunt paralele cu o a treia dreaptă sau să arăți egalitatea unghiurilor transversale, etc. Multe probleme similare sunt rezolvate la lecțiile de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt specificate într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În acest paragraf al articolului vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care definesc aceste linii, și vom oferi și soluții detaliate la problemele caracteristice.

Să începem cu condiția paralelismului a două drepte pe un plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy. Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al unei linii și definiția vectorului normal al unei drepte pe un plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte pe un plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b, și Și sunt vectori normali ai dreptelor a și respectiv b, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor a și b se va scrie ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele ghidajelor și (sau) vectorilor normali ai liniilor a și b sunt găsite folosind ecuațiile de linii cunoscute.

În special, dacă linia dreaptă a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește o ecuație generală a dreptei de forma , și linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonate și, respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia a corespunde ecuației unei linii cu un coeficient unghiular de forma și linia b-, atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și, iar condiția de paralelism a acestor drepte ia forma . În consecință, dacă liniile dintr-un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi specificate prin ecuații de drepte cu coeficienți unghiulari, atunci coeficienții unghiulari ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile necoincidente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi specificate prin ecuații ale unei linii cu coeficienți unghiulari egali, atunci astfel de linii sunt paralele.

Dacă o dreaptă a și o dreaptă b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan de forma Și , sau ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan al formei Și în consecință, vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se scrie ca .

Să ne uităm la soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? Și ?

Soluţie.

Să rescriem ecuația unei linii în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , a este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Soluţie.

Să reducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu coeficient unghiular: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, liniile date ar fi aceleași) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, prin urmare, liniile originale sunt paralele.

În acest articol vom vorbi despre linii paralele, vom da definiții și vom schița semnele și condițiile paralelismului. Pentru a face materialul teoretic mai clar, vom folosi ilustrații și soluții la exemple tipice.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Linii paralele pe un plan– două drepte pe un plan care nu au puncte comune.

Definiția 2

Linii paralele în spațiul tridimensional– două drepte în spațiu tridimensional, situate în același plan și fără puncte comune.

Este necesar să rețineți că pentru a determina drepte paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două linii în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele. , dar intersectându-se.

Pentru a indica linii paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥. Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b. Verbal, paralelismul dreptelor se notează după cum urmează: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.

Să formulăm o afirmație care joacă un rol important în tema studiată.

Axiomă

Printr-un punct care nu aparține unei drepte date trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.

În cazul în care vorbim de spațiu, teorema este adevărată:

Teorema 1

Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10 - 11).

Criteriul paralelismului este o condiție suficientă, a cărei îndeplinire garantează paralelismul dreptelor. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.

În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor pe plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este îndeplinită, liniile nu sunt paralele.

Pentru a rezuma, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o condiție a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, este o proprietate inerentă liniilor paralele.

Înainte de a da formula exactă a unei condiții necesare și suficiente, să ne amintim câteva concepte suplimentare.

Definiția 3

Linie secanta– o linie dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte date necoincidente.

Intersectând două drepte, o transversală formează opt unghiuri nedezvoltate. Pentru a formula o condiție necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri încrucișate, corespunzătoare și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:

Teorema 2

Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.

Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan:

Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7 - 9.

În general, aceste condiții se aplică și spațiului tridimensional, cu condiția ca două drepte și o secante să aparțină aceluiași plan.

Să mai indicăm câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.

Teorema 3

Pe un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei de paralelism indicată mai sus.

Teorema 4

În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

Dovada unui semn este studiată în programa de geometrie de clasa a X-a.

Să dăm o ilustrare a acestor teoreme:

Să mai indicăm o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.

Teorema 5

Pe un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.

Să formulăm un lucru similar pentru spațiul tridimensional.

Teorema 6

În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o treime sunt paralele între ele.

Să ilustrăm:

Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale, sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia etc. Dar rețineți că este adesea mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. La fel, o linie dreaptă definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional corespunde unor ecuații pentru o dreaptă în spațiu.

Să notăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.

Să începem cu condiția paralelismului dreptelor pe un plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al unei linii și al vectorului normal al unei linii pe un plan.

Teorema 7

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei drepte să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte linii.

Devine evident că condiția de paralelism a dreptelor pe un plan se bazează pe condiția de coliniaritate a vectorilor sau condiția de perpendicularitate a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b ;

și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b, atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y sau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele ghidajelor sau ale vectorilor drepti sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să ne uităm la exemplele principale.

Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linie dreaptă b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1, B 1) și respectiv (A 2, B 2). Scriem condiția de paralelism după cum urmează:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Linia a este descrisă prin ecuația unei drepte cu o pantă de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y = k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1, - 1) și respectiv (k 2, - 1), și vom scrie condiția de paralelism după cum urmează:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți unghiulari, atunci coeficienții unghiulari ai dreptelor date vor fi egali. Și afirmația opusă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei linii cu coeficienți unghiulari identici, atunci aceste drepte date sunt paralele.

Liniile a și b dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt specificate prin ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau prin ecuații parametrice ale o dreaptă pe un plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y și x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x, a y și respectiv b x, b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:

a x = t b x a y = t b y

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Sunt date două linii: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1. Este necesar să se determine dacă sunt paralele.

Soluţie

Să scriem ecuația unei drepte în segmente sub forma unei ecuații generale:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vedem că n a → = (2, - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0, iar n b → = 2, 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1.

Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui tat care să fie adevărată egalitatea:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Astfel, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns: liniile date nu sunt paralele.

Exemplul 2

Sunt date dreptele y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2. Sunt paralele?

Soluţie

Să transformăm ecuația canonică a dreptei x 1 = y - 4 2 în ecuația dreptei cu panta:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi coincidente) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.

Să încercăm să rezolvăm problema altfel. Mai întâi, să verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct de pe dreapta y = 2 x + 1, de exemplu, (0, 1), coordonatele acestui punct nu corespund ecuației dreptei x 1 = y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu nu coincid.

Următorul pas este de a determina dacă este îndeplinită condiția de paralelism a liniilor date.

Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produsul scalar al acestor vectori este egal cu zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor inițiale. Acestea. liniile date sunt paralele.

Răspuns: aceste linii sunt paralele.

Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.

Teorema 8

Pentru ca două linii necoincidente în spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari.

Acestea. date fiind ecuațiile de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x, a y, a z) și b → = (b x, b y, b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența a unui astfel de număr real t este necesar, astfel încât egalitatea să fie valabilă:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplul 3

Sunt date dreptele x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.

Soluţie

Condițiile problemei sunt date de ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de ghidare a → și b → liniile date au coordonatele: (1, 0, - 3) și (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 · b → .

În consecință, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor în spațiu.

Răspuns: este dovedit paralelismul dreptelor date.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Pagina 3 din 3

Întrebarea 21. Care este unghiul unui triunghi la un vârf dat?
Răspuns. Unghiul unui triunghi ABC la vârful A este unghiul format din jumătăți de drepte AB și AC. Se determină și unghiurile triunghiului la vârfurile B și C.

Întrebarea 22. Care segmente se numesc egale?
Răspuns. Segmentele sunt numite egale dacă lungimile lor sunt egale.
Întrebare 23. Ce unghiuri se numesc egale?
Răspuns. Unghiurile sunt numite egale dacă gradele lor sunt egale.
Întrebarea 24. Care triunghiuri se numesc egale?
Răspuns. Triunghiurile se numesc congruente dacă laturile lor corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să fie opuse laturilor corespunzătoare.
Întrebarea 25. Cum sunt marcate laturile și unghiurile corespunzătoare în figură pentru triunghiuri egale?
Răspuns.În desen, segmentele egale sunt de obicei marcate cu una, două sau trei linii, iar unghiurile egale cu unul, două sau trei arce.

Întrebarea 26. Folosind figura 23, explicați existența unui triunghi egal cu acesta.
Răspuns.

Să avem un triunghi ABC și o rază a (Fig. 23, a). Să mutăm triunghiul ABC astfel încât vârful său A să fie aliniat cu începutul razei a, vârful B să fie pe raza a și vârful C să fie într-un semiplan dat în raport cu raza a și extensia sa. Vom desemna vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție A 1, B 1, C 1 (Fig. 23, b).
Triunghiul A 1 B 1 C 1 este egal cu triunghiul ABC.
Întrebarea 27. Ce drepte se numesc paralele? Ce semn este folosit pentru a indica linii paralele?
Răspuns. Două drepte se numesc paralele dacă nu se intersectează. Pentru a indica paralelismul liniilor se folosește semnul

Întrebarea 28. Precizați principala proprietate a dreptelor paralele.
Răspuns. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se deseneze în plan cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată.
Întrebarea 29. Dați un exemplu de teoremă.
Răspuns. Dacă o dreaptă care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci ea intersectează doar una dintre celelalte două laturi.