Տարբերակում, կանոններ, օրինակներ: Աստիճանը և դրա հատկությունները

Կարևոր նշումներ.
1. Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք abracadabra, մաքրեք քեշը: Ինչպես դա անել ձեր բրաուզերում, գրված է այստեղ.
2. Նախքան հոդվածը կարդալը, ուշադրություն դարձրեք մեր նավիգատորին ամենաօգտակար ռեսուրսի համար

Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտե՞ղ են դրանք ձեզ անհրաժեշտ: Ինչու՞ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելուն:

Գիտելիքների մասին ամեն ինչ իմանալու համար, թե ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքում, կարդացեք այս հոդվածը:

Եվ, իհարկե, գիտական ​​աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի OGE կամ միասնական պետական ​​քննությունը հաջողությամբ հանձնելուն և ձեր երազանքների համալսարան ընդունվելուն:

Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք):

ԱՌԱՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Բարձրացումը նույն մաթեմատիկական գործողությունն է, ինչ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը:

Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով՝ օգտագործելով շատ պարզ օրինակներ։ Ուշադրություն դարձնել. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաները։

Սկսենք ավելացումից։

Այստեղ բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուրն ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա: Ճիշտ է` 16 շիշ:

Հիմա բազմապատկում.

Կոլայի հետ նույն օրինակը կարելի է այլ կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ օրինաչափություններ, իսկ հետո դրանք ավելի արագ «հաշվելու» միջոց են գտնում: Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ուներ նույն թվով շիշ կոլա և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:

Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես պետք է հիշել բազմապատկման աղյուսակ. Իհարկե, դուք կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, դժվար և սխալներով: Բայց…

Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.

Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.

Իսկ հաշվելու ուրիշ ի՞նչ խորամանկ հնարքներ են հորինել ծույլ մաթեմատիկոսները: Ճիշտ - թիվը հասցնելով ուժի.

Թիվը հզորության հասցնելը

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի: Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ ուժը հավասար է: Եվ նրանք իրենց մտքում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։

Դա անելու համար ձեզ միայն անհրաժեշտ է հիշեք, թե ինչն է գույնով ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում. Հավատացեք ինձ, դա ձեր կյանքը շատ կհեշտացնի։

Ի դեպ, ինչու է կոչվում երկրորդ աստիճան քառակուսիթվեր, և երրորդը խորանարդ? Ինչ է դա նշանակում? Շատ լավ հարց. Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 1

Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։

Պատկերացրեք քառակուսի լողավազան, որը չափում է մետր մետր: Լողավազանը ձեր բակում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց ... լողավազան առանց հատակի: Անհրաժեշտ է լողավազանի հատակը ծածկել սալիկներով։ Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի հատակի տարածքը:

Դուք պարզապես կարող եք մատը սեղմելով հաշվել, որ լողավազանի հատակը մետր առ մետր խորանարդներից է բաղկացած: Եթե ​​ձեր սալիկները մետր առ մետր են, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինեն կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի կղմինդր։ Սալիկն ավելի շուտ կլինի սմ-սմ, իսկ հետո ձեզ տանջելու է «մատով հաշվելը»։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկելով՝ ստանում եք սալիկներ ():

Նկատեցի՞ք, որ մենք նույն թիվն ինքնին բազմապատկեցինք՝ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար: Ինչ է դա նշանակում? Քանի որ նույն թիվը բազմապատկվում է, մենք կարող ենք օգտագործել աստիճանավորման տեխնիկան: (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ պետք է բազմապատկեք դրանք կամ հասցնեք դրանք հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա հզորության բարձրացումը շատ ավելի հեշտ է, և նաև ավելի քիչ սխալներ կան հաշվարկներում: Քննության համար սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երեսունից երկրորդ աստիճանը կլինի (): Կամ կարող եք ասել, որ երեսուն քառակուսի կլինի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ ուժը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե տեսնում եք քառակուսի, ապա այն ՄԻՇՏ ինչ-որ թվի երկրորդ աստիճանն է։ Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի պատկերն է։

Իրական կյանքի օրինակ #2

Ահա ձեզ համար առաջադրանք, հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից: Նրանց թիվը հաշվելու համար անհրաժեշտ է ութը բազմապատկել ութով, կամ ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը: Ստացեք բջիջներ: () Ուրեմն?

Իրական կյանքի օրինակ #3

Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետրերով: Անսպասելի է, չէ՞) Նկարեք լողավազան՝ հատակը մեկ մետր չափի և մեկ մետր խորություն և փորձեք հաշվել, թե քանի մետր խորանարդներ կմտնեն ձեր լողավազան:

Պարզապես ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս… քսաներկու, քսաներեք… Որքա՞ն է ստացվել: Չե՞ք կորել։ Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Այնպես, որ! Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից։ Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը միմյանցով բազմապատկել։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ է, չէ՞:

Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե դա չափազանց հեշտացնում են: Ամեն ինչ կրճատեց մեկ գործողության: Նրանք նկատել են, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Իսկ ի՞նչ է սա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտագործել աստիճանը: Այսպիսով, այն, ինչ մի անգամ մատով հաշվում էիր, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ խորանարդի մեջ երեքը հավասար են։ Գրված է այսպես.

Մնում է միայն անգիր անել աստիճանների աղյուսակը. Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե ​​սիրում եք շատ աշխատել և սխալներ թույլ տալ, կարող եք շարունակել հաշվել ձեր մատով։

Դե, որպեսզի վերջապես համոզեմ ձեզ, որ աստիճանները հորինել են լոֆերներն ու խորամանկները՝ իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։

Իրական կյանքի օրինակ #4

Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք վաստակում եք ևս մեկ միլիոն: Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը յուրաքանչյուր տարվա սկզբին կրկնապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե ​​հիմա նստած ու «մատով հաշվում ես», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ ես և… հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Այսպիսով, առաջին տարում - երկու անգամ երկու ... երկրորդ տարում - ինչ եղավ, ևս երկուսով, երրորդ տարում ... Կանգ առեք: Դուք նկատել եք, որ թիվը բազմապատկվում է մեկ անգամ: Այսպիսով, երկուսից հինգերորդ ուժը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք ունեք մրցույթ, և նա, ով ավելի արագ է հաշվարկում, կստանա այս միլիոնները... Արժե՞ արդյոք հիշել թվերի աստիճանները, ի՞նչ եք կարծում։

Իրական կյանքի օրինակ #5

Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնի դիմաց դուք վաստակում եք ևս երկուսը: Հիանալի է, չէ՞: Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք մեկ տարվա ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին` բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկ այլով... Դա արդեն ձանձրալի է, քանի որ դուք արդեն հասկացաք ամեն ինչ. երեքը բազմապատկվում է ինքն իրենով: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությունը միլիոն է: Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:

Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով, դուք շատ կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք ավելի մանրամասն նայենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:

Տերմիններ և հասկացություններ ... որպեսզի չշփոթվեն

Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Ինչ ես կարծում, ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ սա այն թիվն է, որը թվի հզորության «վերևում» է։ Ոչ գիտական, բայց պարզ և հեշտ հիշվող…

Դե, միեւնույն ժամանակ, ինչ աստիճանի նման բազա? Նույնիսկ ավելի պարզ է այն թիվը, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:

Ահա մի նկար, որպեսզի համոզվեք:

Դե, ընդհանուր առմամբ, ընդհանրացնելու և ավելի լավ հիշելու համար ... «» հիմքով և «» ցուցիչով աստիճանը կարդացվում է որպես «աստիճանի մեջ» և գրվում է հետևյալ կերպ.

Բնական ցուցիչով թվի հզորությունը

Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչը բնական թիվ է: Այո, բայց ինչ կա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելու ժամանակ իրերը թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք… Երբ մենք հաշվում ենք առարկաները, մենք չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: «Մեկ երրորդ» կամ «զրո միավոր հինգ տասներորդ» էլ չենք ասում։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ եք կարծում, որո՞նք են այս թվերը:

Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակադիր թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, սա այն դեպքում, երբ ոչինչ չկա: Իսկ ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը։ Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե հեռախոսի մնացորդ ունեք ռուբլով, դա նշանակում է, որ դուք օպերատորին պարտք եք ռուբլով:

Բոլոր կոտորակները ռացիոնալ թվեր են: Ինչպե՞ս են դրանք առաջացել, ի՞նչ եք կարծում։ Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերեցին, որ չունեն բավականաչափ բնական թվեր երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր… Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞:

Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անսահման տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանես տրամագծի վրա, ապա կստանաս իռացիոնալ թիվ։

Ամփոփում:

Սահմանենք աստիճան հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ և դրական)։

1. Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
2. Թիվը քառակուսի դնելը նշանակում է այն ինքն իրենով բազմապատկել.
3. Թիվը խորանարդի մեջ դնելը նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.

Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելու համար նշանակում է թիվը ինքն իրենով բազմապատկել.
.

Դիպլոմային հատկություններ

Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:

Տեսնենք, թե ինչ է և ?

A-priory:

Քանի՞ բազմապատկիչ կա ընդհանուր առմամբ:

Դա շատ պարզ է՝ մենք գործոններին ավելացրել ենք գործոններ, և արդյունքը՝ գործոններ։

Բայց ըստ սահմանման սա ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է, այսինքն՝ , որը պահանջվում էր ապացուցել։

ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:

Որոշում:

Օրինակ:Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Որոշում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում անպայմանպետք է լինի նույն պատճառը!
Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.

միայն հզորությունների արտադրանքի համար:

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեք։

2. այսինքն - թվի-րդ հզորությունը

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.

Ստացվում է, որ արտահայտությունն ինքն իրենով մեկ անգամ է բազմապատկվում, այսինքն՝ ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։

Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:

Բացասական հիմքով աստիճան

Մինչ այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։

Բայց ի՞նչը պետք է հիմք լինի։

ից աստիճաններով բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ. Իսկապես, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ՝ լինի դրանք դրական, բացասական, թե զույգ։

Եկեք մտածենք, թե ինչ նշաններ («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ:

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ ԲԱՅՑ ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանի մի պարզ կանոն. «մինուսը, մինուսը գումար է տալիս»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, կստացվի։

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:

Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ:

6 պրակտիկայի օրինակներ

Լուծման վերլուծություն 6 օրինակ

ամբողջանվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվը։

դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, ապա ամեն ինչ ճիշտ այնպես, ինչպես նախորդ բաժնում:

Հիմա նայենք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Հաշվի առեք բազայի հետ որոշ հզորություն: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո ես ստանում, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, ո՞րն է սրա ճշմարտությունը: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության: Այսինքն՝ այժմ մենք կարող ենք ոչ միայն բաժանել զրոյի, այլև այն հասցնել զրոյական հզորության։

Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են բացասական թվեր: Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ.

Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել ցանկալիը.

Այժմ մենք ընդլայնում ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոնը.

Բացասական հզորության թիվը նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը: Բայց միևնույն ժամանակ բազան չի կարող զրոյական լինել.(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Ամփոփենք.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.

Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննությանը պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի։ Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել այն, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ վարվել դրանց հետ քննության ժամանակ:

Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։

Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:

Հասկանալու համար, թե ինչ է «կոտորակային աստիճան»Դիտարկենք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բարձրացնենք հզորության.

Հիմա հիշեք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի հզորության հասնելու համար:

Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասար է։

Այսինքն, րդ աստիճանի արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս հատուկ դեպքը կարող է երկարաձգվել.

Հիմա ավելացրեք համարիչը՝ ի՞նչ է դա։ Պատասխանը հեշտ է ստանալ իշխանությունից իշխանություն կանոնով.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:

Ոչ ոք!

Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից անհնար է զույգ աստիճանի արմատներ հանել։

Իսկ դա նշանակում է, որ նման թվերը չի կարելի հասցնել կոտորակային հզորության՝ զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:

Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.

Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, կրճատված կոտորակներ, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, և դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց հենց որ ցուցիչն այլ կերպ ենք գրում, նորից անախորժություն ենք ունենում. (այսինքն՝ բոլորովին այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մտածեք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 պրակտիկայի օրինակ

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

Դե, հիմա - ամենադժվարը: Այժմ մենք կվերլուծենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանների համար, բացառությամբ.

Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում:

Օրինակ՝ բնական ցուցիչը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...զրոյական հզորություն- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն, այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «պատրաստում է»: մի թիվ», մասնավորապես՝ թիվ;

...բացասական ամբողջ թվի ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցիչով աստիճան, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորում ես ինչպես լուծել նման օրինակներ :))

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք աստիճանի աստիճանի բարձրացման արդեն սովորական կանոնից.

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի սահմանում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.

• — աստիճանի հիմք;
• - ցուցիչ:

Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3,...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.

Հզորությունը ամբողջ թվային ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)

Եթե ​​ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվթիվ:

էրեկցիա զրոյական հզորության:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։

Եթե ​​ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:

(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Եվս մեկ անգամ nulls-ի մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Դիպլոմային հատկություններ

Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք։

Տեսնենք՝ ինչ է և.

A-priory:

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում ստացվում է հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Որոշում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Որոշում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնակարգում անպայմանպետք է լինի նույն հիմքի վրա: Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն հզորությունների արտադրանքի համար!

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք վերադասավորենք այն այսպես.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրեն մեկ անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի --րդ ուժն է.

Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ:

Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:

Բացասական հիմքով հզորություն.

Մինչ այս պահը մենք քննարկել ենք միայն այն, ինչ պետք է լինի ցուցիչաստիճան. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք լինի։ ից աստիճաններով բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իսկապես, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ՝ լինի դրանք դրական, բացասական, թե զույգ։ Եկեք մտածենք, թե ինչ նշաններ («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ:

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ ԲԱՅՑ ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանի մի պարզ կանոն. «մինուսը, մինուսը գումար է տալիս»: Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -:

Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Դուք կարող եք ձևակերպել այս պարզ կանոնները.

1. նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
2. Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
3. Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
4. Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե ​​հիշում եք դա, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում միմյանց, բաժանում զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնը վերլուծելը, լուծենք մի քանի օրինակ։

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները.

Լուծումներ :

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.

Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԸնդամենը պարզվեց, որ բազմապատկիչներ կան: Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, թվի հզորություն է ցուցիչով.

Օրինակ:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցանիշով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում: Օրինակ՝ բնական ցուցիչը իրենով մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, իբրև թե, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «թվի պատրաստում», այն է՝ թիվ. աստիճան բացասական ամբողջ թվով - կարծես որոշակի «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։

Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն ինչ անում ենք, որ ձերբազատվենք դրանից :)

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

1)

2)

3)

Պատասխանները:

ԲԱԺԻՆ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ.

Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ցուցանիշ, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:

Դիպլոմային հատկություններ

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

• Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
• Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
• Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
• Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է։

ՀԻՄԱ ԽՈՍՔ ՈՒՆԵՍ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Տեղեկացրեք ինձ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ:

Պատմեք մեզ էներգիայի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Դե, թեման ավարտված է։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ապա դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդացել եք մինչև վերջ, ուրեմն դուք 5%-ի մեջ եք։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք պարզել եք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկնում եմ, դա ... պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Քննությունը հաջող հանձնելու, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու և, ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Լավ կրթություն ստացած մարդիկ շատ ավելին են վաստակում, քան չստացածները։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննությանը մյուսներից լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ԼՑՐԵՔ՝ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակին լուծել խնդիրները.

Եվ եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), դուք հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործեք կամ պարզապես ժամանակին չեք անի:

Դա նման է սպորտի. պետք է բազմիցս կրկնել՝ հաստատ հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածու ցանկացած վայրում, որտեղ ցանկանում եք անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծությամբև որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (անհրաժեշտ չէ), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեռք բերելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնել դասագիրք - 499 ռուբլի

Այո, մենք դասագրքում ունենք 99 նման հոդված, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացել եմ» և «Ես գիտեմ, թե ինչպես լուծել» բոլորովին այլ հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Երբթիվն ինքն իրեն բազմապատկվում է ինքս ինձ, աշխատանքկանչեց աստիճան.

Այսպիսով, 2,2 = 4, քառակուսի կամ 2-ի երկրորդ հզորություն
2.2.2 = 8, խորանարդ կամ երրորդ հզորություն:
2.2.2.2 = 16, չորրորդ աստիճան:

Նաև 10.10 = 100, երկրորդ հզորությունը 10 է:
10.10.10 = 1000, երրորդ աստիճան.
10.10.10.10 = 10000 չորրորդ աստիճան:

Իսկ a.a = aa, a-ի երկրորդ ուժը
ա.ա.ա = աաա, ա-ի երրորդ ուժը
ա.ա.ա.ա = աաաա, ա-ի չորրորդ ուժ

Բնօրինակ համարը կոչվում է արմատայդ թվի աստիճանները, քանի որ դա այն թիվն է, որից ստեղծվել են աստիճանները։

Սակայն շատ հարմար չէ, հատկապես բարձր լիազորությունների դեպքում, գրի առնել բոլոր այն գործոնները, որոնք կազմում են լիազորությունները։ Հետեւաբար, օգտագործվում է կրճատ նշումների մեթոդ: Աստիճանի արմատը գրվում է միայն մեկ անգամ, իսկ կողքին աջ ու մի փոքր ավելի բարձր, բայց մի փոքր փոքր տառատեսակով գրված է քանի անգամ. արմատը գործում է որպես գործոն. Այս թիվը կամ տառը կոչվում է ցուցիչկամ աստիճանթվեր։ Այսպիսով, a 2-ը հավասար է a.a-ի կամ aa-ի, քանի որ a-ի արմատը պետք է երկու անգամ բազմապատկվի ինքն իրենով, որպեսզի ստացվի aa-ի հզորություն: Նաև 3-ը նշանակում է aaa, այսինքն՝ այստեղ a-ն կրկնվում է երեք անգամորպես բազմապատկիչ։

Առաջին հզորության աստիճանը 1 է, բայց սովորաբար այն չի գրվում։ Այսպիսով, 1-ը գրվում է որպես a.

Դուք չպետք է շփոթեք աստիճանների հետ գործակիցները. Գործակիցը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է արժեքը վերցվում մասամբողջ. Ցուցանիշը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է արժեքը ընդունվում գործոնաշխատանքի մեջ։
Այսպիսով, 4a = a + a + a + a: Բայց ա 4 = ա.ա.ա.ա

Էքսպոնենցիալ նշումն ունի յուրահատուկ առավելություն, որը թույլ է տալիս մեզ արտահայտվել անհայտաստիճան. Այդ նպատակով թվի փոխարեն գրվում է ցուցիչը նամակ. Խնդրի լուծման գործընթացում մենք կարող ենք ստանալ այնպիսի արժեք, որը, ինչպես գիտենք, կա մի քանիմեկ այլ մեծության աստիճան: Բայց մինչ այժմ մենք չգիտենք՝ դա քառակուսի է, խորանարդ, թե մեկ այլ՝ ավելի բարձր աստիճան։ Այսպիսով, a x արտահայտության մեջ ցուցիչը նշանակում է, որ այս արտահայտությունն ունի մի քանիաստիճան, թեև սահմանված չէ ինչ աստիճան. Այսպիսով, b m և d n-ը բարձրացվում են մինչև m և n հզորություններ: Երբ ցուցիչը գտնվի, թիվփոխարինվել է նամակով. Այսպիսով, եթե m=3, ապա b m = b 3; բայց եթե m = 5, ապա b m =b 5:

Օգտագործելիս մեծ առավելություն է նաև ցուցիչներով արժեքներ գրելու մեթոդը արտահայտությունները. Այսպիսով, (a + b + d) 3-ը (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), այսինքն՝ եռանդամի (a + b + d) խորանարդը: . Բայց եթե այս արտահայտությունը գրենք խորանարդից հետո, այն նման կլինի
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3:

Եթե ​​վերցնենք մի շարք հզորություններ, որոնց ցուցիչները մեծանում կամ նվազում են 1-ով, ապա մենք գտնում ենք, որ արտադրյալը մեծանում է. ընդհանուր գործոնկամ կրճատվել է ընդհանուր բաժանարար, և այս գործակիցը կամ բաժանարարը սկզբնական թիվն է, որը բարձրացվում է մինչև հզորություն:

Ուրեմն, սերիայում աաաաա, աաաա, աաա, աա, ա;
կամ a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
ցուցանիշները, եթե հաշվվում են աջից ձախ, 1, 2, 3, 4, 5; իսկ դրանց արժեքների տարբերությունը 1 է։ Եթե սկսենք աջ կողմում բազմապատկել a-ի վրա մենք հաջողությամբ կստանանք բազմաթիվ արժեքներ:

Այսպիսով, a.a = a 2, երկրորդ անդամը: Եվ a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, երրորդ անդամը: a 4 .a = a 5:

Եթե ​​սկսենք ձախ կիսվելվրա,
մենք ստանում ենք 5:a = a 4 և 3:a = a 2:
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Բայց նման բաժանման գործընթացը կարող է շարունակվել հետագա, և մենք ստանում ենք արժեքների նոր շարք:

Այսպիսով, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Ամբողջ շարքը կլինի՝ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa:

Կամ 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3:

Այստեղ արժեքներ աջ կողմումմիավորից է հակադարձարժեքները մեկի ձախ կողմում: Հետեւաբար, այս աստիճանները կարելի է անվանել հակադարձ հզորություններա. Կարելի է նաև ասել, որ ձախ կողմում գտնվող ուժերը հակադարձ են աջ կողմում գտնվող ուժերին:

Այսպիսով, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Եվ 1:(1/a 3) = a 3:

Նույն ձայնագրման պլանը կարող է կիրառվել բազմանդամներ. Այսպիսով, a + b-ի համար մենք ստանում ենք մի շարք,
(ա + բ) 3, (ա + բ) 2, (ա + բ), 1, 1/(ա + բ), 1/(ա + բ) 2, 1/(ա + բ) 3:

Հարմարության համար օգտագործվում է հակադարձ հզորություններ գրելու մեկ այլ ձև:

Ըստ այս ձևի՝ 1/a կամ 1/a 1 = a -1: Եվ 1/aaa կամ 1/a 3 = a -3:
1/aa կամ 1/a 2 = a -2: 1/aaaa կամ 1/a 4 = a -4:

Իսկ ցուցիչները 1-ով որպես ընդհանուր տարբերությամբ ամբողջական շարք դարձնելու համար a/a կամ 1-ը համարվում է այնպիսին, որը չունի աստիճան և գրվում է որպես 0:

Այնուհետև, հաշվի առնելով ուղիղ և հակադարձ հզորությունները
փոխարեն աաաա, աաա, աա, ա, ա/ա, 1/ա, 1/աա, 1/աաա, 1/աաաա
կարող եք գրել 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
Կամ a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:

Եվ միայն առանձին վերցրած աստիճանների շարքը կունենա հետևյալ ձևը.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Աստիճանի արմատը կարող է արտահայտվել մեկից ավելի տառերով։

Այսպիսով, aa.aa կամ (aa) 2-ը aa-ի երկրորդ ուժն է:
Իսկ aa.aa.aa կամ (aa) 3-ը aa-ի երրորդ ուժն է:

Թիվ 1-ի բոլոր աստիճանները նույնն են՝ 1.1 կամ 1.1.1: հավասար կլինի 1-ի։

Ցուցադրումը ցանկացած թվի արժեքը գտնելն է՝ այդ թիվը ինքն իրենով բազմապատկելով: Բարձրացման կանոն.

Արժեքն ինքնին բազմապատկեք այնքան անգամ, որքան նշված է թվի հզորության մեջ:

Այս կանոնը ընդհանուր է բոլոր օրինակների համար, որոնք կարող են առաջանալ աստիճանավորման գործընթացում: Բայց ճիշտ կլինի բացատրել, թե ինչպես է դա վերաբերում կոնկրետ դեպքերին:

Եթե ​​միայն մեկ անդամ է բարձրացվում մինչև հզորություն, ապա այն ինքն իրենով բազմապատկվում է այնքան անգամ, որքան ցույց է տալիս ցուցանիշը:

Չորրորդ ա հզորությունը 4-ն է կամ աաաա: (Հոդված 195.)
y-ի վեցերորդ ուժը y 6 կամ yyyyyy է:
x-ի n-րդ հզորությունը x n է կամ xxx..... n անգամ կրկնվում է:

Եթե ​​անհրաժեշտ է մի քանի տերմինների արտահայտություն բարձրացնել իշխանության վրա, սկզբունքը, որ մի քանի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործակիցների արտադրյալին, որը հասցված է հզորության:

Այսպիսով (այ) 2 =a 2 y 2; (այ) 2 = այ.այ.
Բայց այ.այ = այայ = աայյ = ա 2 յ 2:
Այսպիսով, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3:

Հետևաբար, արտադրանքի աստիճանը գտնելիս մենք կարող ենք կամ միանգամից գործարկել ամբողջ արտադրանքի վրա, կամ կարող ենք գործել յուրաքանչյուր գործոնի վրա առանձին, այնուհետև դրանց արժեքները բազմապատկել աստիճաններով:

Օրինակ 1. dhy-ի չորրորդ ուժը (dhy) 4 է, կամ d 4 h 4 y 4:

Օրինակ 2. 4b-ի երրորդ հզորությունը (4b) 3, կամ 4 3 b 3, կամ 64b 3 է:

Օրինակ 3. 6ad-ի n-րդ հզորությունը (6ad) n է կամ 6 n a n d n:

Օրինակ 4. 3m.2y-ի երրորդ հզորությունը (3m.2y) 3 է, կամ 27m 3 .8y 3:

Երկանդամի աստիճանը, որը բաղկացած է + և --ով միացված տերմիններից, հաշվարկվում է նրա անդամները բազմապատկելով: Այո,

(a + b) 1 = a + b, առաջին հզորությունը:
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, երկրորդ հզորություն (a + b):
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, երրորդ աստիճան:
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, չորրորդ աստիճան:

Քառակուսի a - b, կա 2 - 2ab + b 2:

a + b + h քառակուսին a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2 է

Վարժություն 1. Գտե՛ք a + 2d + 3 խորանարդը

Վարժություն 2. Գտե՛ք չորրորդ ուժը b + 2։

Վարժություն 3. Գտե՛ք x + 1-ի հինգերորդ աստիճանը:

Վարժություն 4. Գտե՛ք վեցերորդ աստիճանը 1 - բ.

Գումարի քառակուսիներ գումարներև տարբերությունըԵրկանդամներն այնքան տարածված են հանրահաշվում, որ անհրաժեշտ է դրանք շատ լավ իմանալ:

Եթե ​​բազմապատկենք a + h ինքն իրեն, կամ a - h ինքն իրենով,
ստանում ենք՝ (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 նույնպես, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2:

Սա ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր դեպքում առաջին և վերջին անդամները a-ի և h-ի քառակուսիներն են, իսկ միջին անդամը կրկնակի է a-ի և h-ի արտադրյալից: Այսպիսով, երկանդամների գումարի և տարբերության քառակուսին կարելի է գտնել հետևյալ կանոնով.

Երկանդամի քառակուսին, երկուսն էլ դրական են, հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն + երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը, + վերջին անդամի քառակուսին։

Քառակուսի տարբերությունըերկանդամը հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն՝ հանած երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը գումարած երկրորդ անդամի քառակուսին:

Օրինակ 1. Քառակուսի 2a + b, կան 4a 2 + 4ab + b 2:

Օրինակ 2. Ab + cd քառակուսին a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 է:

Օրինակ 3. 3d - h քառակուսին 9d 2 + 6dh + h 2 է:

Օրինակ 4. a - 1 քառակուսին 2 - 2a + 1 է:

Երկանդամների ավելի բարձր հզորություններ գտնելու մեթոդի համար տե՛ս հետևյալ բաժինները:

Շատ դեպքերում արդյունավետ է գրել աստիճանոչ մի բազմապատկում:

Այսպիսով, a + b քառակուսին (a + b) 2 է:
Bc + 8 + x n-րդ հզորությունը (bc + 8 + x) n է

Նման դեպքերում փակագծերը ծածկում են բոլորըաստիճանի տակ գտնվող անդամներ:

Բայց եթե աստիճանի արմատը բաղկացած է մի քանիսից բազմապատկիչներ, փակագծերը կարող են ընդգրկել ամբողջ արտահայտությունը կամ կարող են կիրառվել առանձին գործոնների վրա՝ կախված հարմարությունից:

Այսպիսով, քառակուսին (a + b)(c + d) կամ [(a + b).(c + d)] 2 կամ (a + b) 2 .(c + d) 2 է:

Այս արտահայտություններից առաջինի համար արդյունքը երկու գործոնի արտադրյալի քառակուսին է, իսկ երկրորդի համար՝ դրանց քառակուսիների արտադրյալը։ Բայց նրանք հավասար են միմյանց։

A.(b + d) խորանարդը 3 է կամ a 3 .(b + d) 3:

Անհրաժեշտ է նաև հաշվի առնել ներգրավված անդամների առջև դրված նշանը. Շատ կարևոր է հիշել, որ երբ ուժի արմատը դրական է, նրա բոլոր դրական ուժերը նույնպես դրական են: Բայց երբ արմատը բացասական է, արժեքները՝ սկսած տարօրինակուժերը բացասական են, մինչդեռ արժեքները նույնիսկաստիճանները դրական են:

Երկրորդ հզորությունը (- ա) +a 2 է
Երրորդ աստիճանը (-a) -a 3 է
Չորրորդ աստիճանը (-a) +a 4 է
Հինգերորդ աստիճանը (-a) -a 5 է

Հետևաբար ցանկացած տարօրինակՑուցանիշն ունի նույն նշանը, ինչ թիվը: Բայց նույնիսկաստիճանը դրական է՝ անկախ նրանից՝ թիվը բացասական, թե դրական նշան ունի։
Այսպիսով, +a.+a = +a 2
AND -a.-a = +a 2

Արժեքը, որն արդեն հասցվել է հզորության, կրկին բարձրացվում է հզորության՝ ցուցիչները բազմապատկելով:

2-ի երրորդ հզորությունը 2,3 = a 6 է:

2 = aa-ի համար; խորանարդը aa է aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; որը a-ի վեցերորդ աստիճանն է, բայց a-ի երրորդ աստիճանը 2:

a 3 b 2 չորրորդ հզորությունը a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8 է

4a 2 x-ի երրորդ հզորությունը 64a 6 x 3 է:

(a + b) 2-ի հինգերորդ հզորությունը (a + b) 10 է:

3-ի n-րդ հզորությունը 3n է

(x - y) m-ի n-րդ հզորությունը (x - y) mn է

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Կանոնը հավասարապես կիրառվում է բացասականաստիճաններ։

Օրինակ 1. a -2-ի երրորդ ուժը a -3.3 =a -6 է:

-2 = 1/aa-ի համար, և սրա երրորդ ուժը
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Չորրորդ հզորությունը a 2 b -3 է 8 b -12 կամ a 8 / b 12:

b 3 x -1 քառակուսին b 6 x -2 է:

n-րդ հզորության ax -m-ը x -mn է կամ 1/x:

Այնուամենայնիվ, այստեղ պետք է հիշել, որ եթե նշան նախորդաստիճանը «-» է, այնուհետև այն պետք է փոխվի «+»-ի, երբ աստիճանը զույգ թիվ է:

Օրինակ 1. -a 3 քառակուսին +a 6 է: -a 3-ի քառակուսին -a 3 .-a 3 է, որը, ըստ բազմապատկման նշանների կանոնների, +a 6 է։

2. Բայց խորանարդը -a 3-ը -a 9 է: -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ի համար:

3. -a 3-ի N-րդ աստիճանը 3n է:

Այստեղ արդյունքը կարող է լինել դրական կամ բացասական՝ կախված նրանից՝ n-ն զույգ է, թե կենտ:

Եթե մասբարձրացվում է աստիճանի, համարիչն ու հայտարարը բարձրացվում են հզորության:

a/b քառակուսին a 2 /b 2 է: Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն.
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ի երկրորդ, երրորդ և n-րդ ուժերն են 1/a 2, 1/a 3 և 1/a n:

Օրինակներ երկանդամներորտեղ տերմիններից մեկը կոտորակ է:

1. Գտե՛ք x + 1/2 և x - 1/2 քառակուսին:
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3 քառակուսին 2 + 4a/3 + 4/9 է:

3. Քառակուսի x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4:

4 x - b/m քառակուսին x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 է:

Նախկինում ցույց էին տալիս, որ կոտորակային գործակիցկարող է տեղափոխվել համարիչից հայտարար կամ հայտարարից համարիչ: Օգտագործելով հակադարձ հզորություններ գրելու սխեման՝ կարելի է տեսնել, որ ցանկացած բազմապատկիչկարող է նաև տեղափոխվել եթե աստիճանի նշանը փոխված է.

Այսպիսով, ax -2 /y կոտորակում մենք կարող ենք x-ը համարիչից տեղափոխել հայտարար։
Այնուհետեւ ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2:

a/by 3 կոտորակում մենք կարող ենք y-ը հայտարարից տեղափոխել համարիչ։
Այնուհետեւ a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Նույն կերպ մենք կարող ենք դրական ցուցիչ ունեցող գործակիցը տեղափոխել համարիչին, կամ բացասական ցուցիչով գործակիցը հայտարարին։

Այսպիսով, կացին 3 / b = a / bx -3: x 3-ի համար հակադարձը x -3 է, որը x 3 = 1/x -3 է:

Հետեւաբար, ցանկացած կոտորակի հայտարարը կարող է ամբողջությամբ հանվել, կամ համարիչը կարող է կրճատվել մեկի՝ առանց արտահայտության իմաստը փոխելու։

Այսպիսով, a/b = 1/ba -1, կամ ab -1:

Ցուցադրումը բազմապատկման հետ սերտորեն կապված գործողություն է, այս գործողությունն ինքնին թվի բազմապատկման արդյունք է։ Ներկայացնենք բանաձևը՝ a1 * a2 * ... * an = an:

Օրինակ՝ a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8:

Ընդհանուր առմամբ, աստիճանականացումը հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի տարբեր բանաձևերում: Այս ֆունկցիան ավելի գիտական ​​նպատակ ունի, քան չորս հիմնականները՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում։

Թիվը հզորության հասցնելը

Թիվը հզորության հասցնելը դժվար գործ չէ։ Այն կապված է բազմապատկման հետ, ինչպես բազմապատկման և գումարման հարաբերությունները: Արձանագրել an - «a» թվերի n-րդ թվի կարճ գրառում՝ իրարով բազմապատկված։

Դիտարկենք աստիճանը ամենապարզ օրինակների վրա՝ անցնելով բարդ օրինակներին:

Օրինակ, 42. 42 = 4 * 4 = 16: Չորս քառակուսի (երկրորդ հզորության նկատմամբ) հավասար է տասնվեցի: Եթե ​​դուք չեք հասկանում 4 * 4 բազմապատկումը, ապա կարդացեք մեր հոդվածը բազմապատկման մասին:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ. 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Հինգ խորանարդ (մինչև երրորդ ուժ) հավասար է հարյուր քսանհինգի:

Մեկ այլ օրինակ՝ 9^3։ 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ինը խորանարդը հավասար է յոթ հարյուր քսանինը:

Ցուցադրման բանաձևեր

Հզորությունը ճիշտ բարձրացնելու համար հարկավոր է հիշել և իմանալ ստորև բերված բանաձևերը: Սրա մեջ բնականից այն կողմ ոչինչ չկա, գլխավորը հասկանալն է էությունը, և այդ ժամանակ դրանք ոչ միայն կհիշվեն, այլև հեշտ կթվան։

Միավորի բարձրացում դեպի իշխանություն

Ի՞նչ է մոնոմինը: Սա ցանկացած քանակի թվերի և փոփոխականների արտադրյալն է: Օրինակ, երկուսը միածին է: Եվ այս հոդվածը նման մենատիրություններն իշխանության հասցնելու մասին է։

Օգտագործելով աստիճանականության բանաձևեր, դժվար չի լինի հաշվարկել մոնոմի աստիճանը դեպի հզորություն։

Օրինակ, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Եթե ​​դուք մոնոմինը բարձրացնում եք հզորության, ապա մոնոմի յուրաքանչյուր բաղադրիչ բարձրացվում է հզորության:

Երբ մեծացնում ենք փոփոխականը, որն արդեն ունի աստիճան մինչև հզորություն, աստիճանները բազմապատկվում են: Օրինակ, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Բացասական ուժի բարձրացում

Բացասական ցուցանիշը թվի փոխադարձ ցուցանիշն է: Ի՞նչ է փոխադարձությունը: Ցանկացած X թվի համար փոխադարձը 1/X է: Այսինքն X-1=1/X։ Սա է բացասական աստիճանի էությունը։

Դիտարկենք օրինակը (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3):

Ինչո՞ւ է այդպես։ Քանի որ աստիճանի մեջ մինուս կա, մենք ուղղակի այս արտահայտությունը փոխանցում ենք հայտարարին, այնուհետև այն բարձրացնում ենք երրորդ աստիճանի։ Ճիշտ է?

Բարձրացում դեպի կոտորակային ուժ

Սկսենք կոնկրետ օրինակից։ 43/2. Ի՞նչ է նշանակում հզորություն 3/2: 3 - համարիչ, նշանակում է թիվը (այս դեպքում՝ 4) հասցնել խորանարդի։ 2 թիվը հայտարարն է, սա թվի երկրորդ արմատի (այս դեպքում՝ 4) արդյունահանումն է։

Այնուհետև մենք ստանում ենք 43 = 2^3 = 8 քառակուսի արմատը: Պատասխան՝ 8.

Այսպիսով, կոտորակային աստիճանի հայտարարը կարող է լինել կամ 3 կամ 4, իսկ մինչև անսահման ցանկացած թիվ, և այս թիվը որոշում է տրված թվից հանված քառակուսի արմատի աստիճանը: Իհարկե, հայտարարը չի կարող զրո լինել։

Արմատ բարձրացնել դեպի իշխանություն

Եթե ​​արմատը բարձրացվում է բուն արմատի հզորությանը հավասար ուժի, ապա պատասխանը արմատական ​​արտահայտությունն է։ Օրինակ, (√x)2 = x: Եվ այսպես՝ արմատի աստիճանի և արմատի բարձրացման աստիճանի հավասարության դեպքում։

Եթե ​​(√x)^4. Այնուհետև (√x)^4=x^2: Լուծումը ստուգելու համար արտահայտությունը թարգմանում ենք կոտորակային աստիճանով արտահայտության։ Քանի որ արմատը քառակուսի է, հայտարարը 2 է։ Իսկ եթե արմատը բարձրացվում է չորրորդ աստիճանի, ապա համարիչը 4 է։ Ստանում ենք 4/2=2։ Պատասխան՝ x = 2:

Ամեն դեպքում, լավագույն տարբերակը արտահայտությունը պարզապես կոտորակային ցուցիչի վերածելն է։ Եթե ​​կոտորակը չպակասեցվի, ապա այդպիսի պատասխան կլինի՝ պայմանով, որ տրված թվի արմատը չհատկացվի։

Կոմպլեքս թվի աստիճանականացում

Ի՞նչ է կոմպլեքս թիվը: Կոմպլեքս թիվը արտահայտություն է, որն ունի a + b * i բանաձևը; a, b-ն իրական թվեր են: i-ն այն թիվն է, որը քառակուսի դնելով տալիս է -1 թիվը:

Դիտարկենք մի օրինակ։ (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Գրանցվեք «Արագացնել մտավոր հաշվարկը, ոչ թե մտավոր թվաբանությունը» դասընթացին, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես արագ և ճիշտ գումարել, հանել, բազմապատկել, բաժանել, քառակուսի թվեր և նույնիսկ արմատավորել: 30 օրվա ընթացքում դուք կսովորեք, թե ինչպես օգտագործել հեշտ հնարքներ՝ թվաբանական գործողությունները պարզեցնելու համար։ Յուրաքանչյուր դաս պարունակում է նոր տեխնիկա, հստակ օրինակներ և օգտակար առաջադրանքներ:

Ցուցադրում առցանց

Մեր հաշվիչի օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել թվի աստիճանականությունը դեպի հզորություն.

7-րդ աստիճանի աստիճան

Իշխանության բարձրացումը սկսում է դպրոցականներին անցնել միայն յոթերորդ դասարանում:

Ցուցադրումը բազմապատկման հետ սերտորեն կապված գործողություն է, այս գործողությունն ինքնին թվի բազմապատկման արդյունք է։ Ներկայացնենք բանաձևը՝ a1 * a2 * … * an=an .

Օրինակ, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Լուծման օրինակներ.

Ցուցադրական ներկայացում

Ցուցադրություն՝ նվիրված յոթերորդ դասարանցիներին: Ներկայացումը կարող է պարզաբանել որոշ անհասկանալի կետեր, բայց մեր հոդվածի շնորհիվ նման կետեր հավանաբար չեն լինի։

Արդյունք

Մաթեմատիկան ավելի լավ հասկանալու համար մենք դիտարկել ենք միայն այսբերգի ծայրը. գրանցվեք մեր դասընթացին. Արագացրեք մտավոր հաշվարկը, ՈՉ մտավոր թվաբանությունը:

Դասընթացից դուք ոչ միայն կսովորեք պարզեցված և արագ բազմապատկման, գումարման, բազմապատկման, բաժանման, տոկոսների հաշվարկի տասնյակ հնարքներ, այլև կմշակեք դրանք հատուկ առաջադրանքներում և ուսումնական խաղերում: Մտավոր հաշվումը նույնպես մեծ ուշադրություն և կենտրոնացում է պահանջում, որոնք ակտիվորեն մարզվում են հետաքրքիր խնդիրների լուծման գործում։

Թվի աստիճանի մասին զրույցի շարունակության մեջ տրամաբանական է զբաղվել աստիճանի արժեքը գտնելով։ Այս գործընթացը անվանվել է հզորացում. Այս հոդվածում մենք պարզապես կուսումնասիրենք, թե ինչպես է կատարվում աստիճանավորումը՝ միաժամանակ անդրադառնալով բոլոր հնարավոր ցուցանիշներին՝ բնական, ամբողջ թվով, ռացիոնալ և իռացիոնալ: Եվ ըստ ավանդույթի, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք թվերը տարբեր աստիճանի բարձրացնելու օրինակների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է նշանակում «արտահայտում»:

Սկսենք բացատրելով այն, ինչ կոչվում է աստիճանականացում։ Ահա համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Էքսպոենտացիաթվի հզորության արժեքը գտնելն է:

Այսպիսով, a-ի հզորության արժեքը գտնելը r ցուցանիշով և a թիվը հասցնելով r-ի մեծության նույն բանն է։ Օրինակ, եթե առաջադրանքը «հաշվիր հզորության արժեքը (0.5) 5», ապա այն կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. «0.5 թիվը բարձրացրեք 5-ի»:

Այժմ դուք կարող եք ուղղակիորեն անցնել այն կանոններին, որոնցով իրականացվում է աստիճանավորումը:

Թիվը բնական ուժի հասցնելը

Գործնականում, վրա հիմնված հավասարությունը սովորաբար կիրառվում է ձևով: Այսինքն՝ a թիվը կոտորակային մ/ն աստիճանի բարձրացնելիս a թվից սկզբում հանվում է n-րդ աստիճանի արմատը, որից հետո արդյունքը հասցվում է ամբողջ թվային հզորության m։

Դիտարկենք կոտորակային հզորության բարձրացման օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Հաշվիր աստիճանի արժեքը։

Որոշում.

Մենք ցույց ենք տալիս երկու լուծում.

Առաջին ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ։ Մենք հաշվարկում ենք աստիճանի արժեքը արմատի նշանի տակ, որից հետո հանում ենք խորանարդի արմատը. .

Երկրորդ ճանապարհը. Կոտորակի ցուցիչով աստիճանի սահմանմամբ և արմատների հատկությունների հիման վրա հավասարությունները ճշմարիտ են . Այժմ հանեք արմատը Ի վերջո, մենք բարձրացնում ենք ամբողջ թվի հզորությունը .

Ակնհայտ է, որ կոտորակային հզորության բարձրացման ստացված արդյունքները համընկնում են։

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային ցուցիչը կարող է գրվել որպես տասնորդական կոտորակ կամ խառը թիվ, այս դեպքերում այն ​​պետք է փոխարինել համապատասխան սովորական կոտորակով, այնուհետև կատարել աստիճանավորում։

Օրինակ.

Հաշվիր (44,89) 2,5 .

Որոշում.

Ցուցանիշը գրում ենք սովորական կոտորակի տեսքով (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը). . Այժմ մենք կատարում ենք բարձրացում մինչև կոտորակային հզորություն.

Պատասխան.

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Պետք է նաև ասել, որ թվերը ռացիոնալ հզորությունների հասցնելը բավականին աշխատատար գործընթաց է (հատկապես երբ կոտորակային ցուցանիշի համարիչն ու հայտարարը բավականին մեծ թվեր են), որը սովորաբար իրականացվում է համակարգչային տեխնիկայի միջոցով։

Այս պարբերության վերջում մենք կանդրադառնանք զրոյական թվի կոտորակային հզորության կառուցմանը: Ձևի զրոյի կոտորակային աստիճանին տվել ենք հետևյալ նշանակությունը՝ քանի որ ունենք , մինչդեռ զրոյական մ/ն հզորությունը սահմանված չէ։ Այսպիսով, զրոյից դեպի դրական կոտորակային ուժը զրո է, օրինակ. . Իսկ կոտորակային բացասական հզորության մեջ զրոն իմաստ չունի, օրինակ արտահայտություններն ու 0 -4,3-ը իմաստ չունեն։

Իռացիոնալ ուժի բարձրացում

Երբեմն անհրաժեշտ է դառնում պարզել իռացիոնալ ցուցիչով թվի աստիճանի արժեքը։ Այս դեպքում, գործնական նպատակներով, սովորաբար բավական է ստանալ աստիճանի արժեքը մինչև որոշակի նշան։ Մենք անմիջապես նշում ենք, որ գործնականում այս արժեքը հաշվարկվում է էլեկտրոնային հաշվողական տեխնոլոգիայի միջոցով, քանի որ ձեռքով իռացիոնալ հզորության բարձրացումը պահանջում է մեծ թվով ծանր հաշվարկներ: Բայց, այնուամենայնիվ, մենք ընդհանուր գծերով կնկարագրենք գործողությունների էությունը։

Իռացիոնալ ցուցիչով a-ի հզորության մոտավոր արժեքը ստանալու համար վերցվում է աստիճանի որոշ տասնորդական մոտարկում և հաշվարկվում է աստիճանի արժեքը։ Այս արժեքը իռացիոնալ ցուցիչով a թվի աստիճանի մոտավոր արժեքն է։ Որքան ավելի ճշգրիտ լինի թվի տասնորդական մոտարկումը սկզբում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի աստիճանի արժեքը վերջում:

Որպես օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք 2 1.174367-ի հզորության մոտավոր արժեքը... . Վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի հետևյալ տասնորդական մոտարկումը. Այժմ մենք 2-ը բարձրացնում ենք մինչև 1.17 ռացիոնալ ուժ (մենք նկարագրեցինք այս գործընթացի էությունը նախորդ պարբերությունում), ստանում ենք 2 1.17 ≈ 2.250116: Այսպիսով, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Եթե ​​վերցնենք իռացիոնալ ցուցիչի ավելի ճշգրիտ տասնորդական մոտարկում, օրինակ՝ , ապա մենք ստանում ենք սկզբնական աստիճանի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա Ժ դասագիրք 5 բջիջի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 7 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 8 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ՝ 9 բջիջների դասագիրք. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար).