Սեղմված ձողերի կայունությունը կրիտիկական սթրեսի Էյլերի բանաձևը. Էյլերի բանաձևը կրիտիկական ուժի համար

Դասախոսություն 7

Սեղմված ձողերի կայունությունը

Սեղմված ձողի կայունության հայեցակարգը. Էյլերի բանաձեւ. Կրիտիկական ուժի կախվածությունը գավազանի ամրացման մեթոդից. Էյլերի բանաձևի կիրառելիության սահմանները. Յասինսկու բանաձևը. Կայունության հաշվարկ.

Սեղմված ձողի կայունության հայեցակարգը

Դիտարկենք ուղիղ առանցքով ձողը, որը բեռնված է երկայնական սեղմման ուժով F: Կախված ուժի մեծությունից և ձողի պարամետրերից (նյութը, երկարությունը, ձևը և խաչմերուկի չափերը), նրա ուղղագիծ հավասարակշռության ձևը կարող է լինել. կայուն կամ անկայուն:

Ձողի հավասարակշռության տեսակը որոշելու համար եկեք գործենք դրա վրա փոքր լայնակի ծանրաբեռնվածությամբ Q: Արդյունքում ձողը կտեղափոխվի կոր առանցքով նոր հավասարակշռության դիրք: Եթե ​​լայնակի բեռի ավարտից հետո ձողը վերադառնում է իր սկզբնական (ուղղագիծ) դիրքին, ապա հավասարակշռության ուղղագիծ ձևը կայուն է (նկ. 7.1ա): Այն դեպքում, երբ Q լայնակի ուժի գործողության դադարեցումից հետո ձողը չի վերադառնում իր սկզբնական դիրքին, հավասարակշռության ուղղագիծ ձևն անկայուն է (նկ. 7.1բ):

Այսպիսով, կայունությունը ձողի կարողությունն է, ինչ-որ անհանգստացնող բեռի գործողության հետևանքով իր սկզբնական դիրքից որոշակի շեղվելուց հետո, այս բեռը դադարեցնելիս ինքնաբերաբար վերադառնալ իր սկզբնական դիրքին: Ամենափոքր երկայնական սեղմման ուժը, որի դեպքում գավազանի ուղղագիծ հավասարակշռության ձևը դառնում է անկայուն, կոչվում է կրիտիկական ուժ:

Կենտրոնական սեղմված ձողի շահագործման դիտարկված սխեման տեսական է: Գործնականում սեղմող ուժը կարող է գործել որոշակի էքսցենտրիկությամբ, իսկ ձողը կարող է ունենալ որոշակի (թեև փոքր) սկզբնական կորություն։ Ուստի ձողի երկայնական բեռնման հենց սկզբից նկատվում է նրա թեքումը։ Հետազոտությունները ցույց են տալիս, որ քանի դեռ սեղմման ուժը կրիտիկական ուժից փոքր է, բարերի շեղումները փոքր կլինեն: Երբ ուժը մոտենում է կրիտիկական արժեքին, շեղումները սկսում են անորոշ ժամանակով աճել: Այս չափանիշը (ճեղումների անսահմանափակ աճը սեղմման ուժի սահմանափակ աճով) ընդունված է որպես ճկման չափանիշ:

Առաձգական հավասարակշռության կայունության կորուստը տեղի է ունենում ոչ միայն ձողի սեղմման, այլև նրա ոլորման, ճկման և դեֆորմացիայի ավելի բարդ տեսակների ժամանակ։

Էյլերի բանաձեւ

Դիտարկենք ուղիղ առանցքով մի ձող՝ ամրացված երկու կախովի հենարանների միջոցով (նկ. 7.2): Ենթադրենք, որ ձողի վրա ազդող երկայնական սեղմման ուժը հասել է կրիտիկական արժեքի, և ձողը թեքված է նվազագույն կոշտության հարթությունում։ Նվազագույն կոշտության հարթությունը գտնվում է հատվածի այն հիմնական կենտրոնական առանցքին ուղղահայաց, որի նկատմամբ հատվածի իներցիայի առանցքային մոմենտը նվազագույն արժեք ունի:

(7.1)

որտեղ M-ը ճկման պահն է. I min-ը հատվածի իներցիայի նվազագույն պահն է:

Սկսած թզ. 7.2 Գտեք ճկման պահը

(7.2)

Նկ. 7.2 կրիտիկական ուժի ազդեցությամբ ճկման պահը դրական է, իսկ շեղումը բացասական է: Ընդունված նշանները համաձայնեցնելու համար կախվածության մեջ դրվում է մինուս նշան (7.2):

Փոխարինելով (7.2) (7.1)՝ շեղման ֆունկցիան որոշելու համար մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարումը.

(7.3)

(7.4)

Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացից հայտնի է, որ (7.3) հավասարման լուծումն ունի ձև

որտեղ A, B-ն ինտեգրման հաստատուններ են:

(7.5-ում) ինտեգրման հաստատունները որոշելու համար մենք օգտագործում ենք սահմանային պայմանները

Կռացած ձողի համար A և B գործակիցները չեն կարող միաժամանակ հավասար լինել զրոյի (հակառակ դեպքում ձողը չի թեքվի): Այսպիսով

Հավասարեցնելով (7.6) և (7.4)՝ մենք գտնում ենք

(7.7)

Գործնական նշանակություն ունի կրիտիկական ուժի ամենափոքր ոչ զրոյական արժեքը: Հետևաբար, n=1-ը փոխարինելով (7.7)-ով, մենք վերջապես ունենք

(7.8)

Կախվածությունը (7.8) կոչվում է Էյլերի բանաձև։

Կրիտիկական ուժի կախվածություն

ձողի ամրացման մեթոդից

Բանաձևը (7.8) ստացվել է այն դեպքում, երբ ձողը ամրացվում է դրա ծայրերում գտնվող երկու կախովի հենարանների միջոցով: Ձողն ամրացնելու այլ մեթոդների համար օգտագործվում է Էյլերի ընդհանրացված բանաձևը՝ կրիտիկական ուժը որոշելու համար

(7.9)

որտեղ μ երկարության կրճատման գործակիցն է՝ հաշվի առնելով ձողի ամրացման եղանակը։

Ձողն ամրացնելու ամենատարածված եղանակները և համապատասխան երկարության կրճատման գործակիցները ներկայացված են նկ. 7.3.

Էյլերի բանաձևի կիրառելիության սահմանները. Յասինսկու բանաձեւը

Պ Էյլերի բանաձևը հանելիս օգտագործվել է այն պայմանը, որ Հուկի օրենքը բավարարվում է կայունության կորստի պահին։ Ձողի լարվածությունը ճկման պահին հավասար է

որտեղ
- ձողի ճկունություն; A-ն ձողի խաչմերուկի տարածքն է:

Կայունության կորստի պահին Հուկի օրենքը կբավարարվի պայմանով

որտեղ σpc-ը ձողի նյութի համաչափության սահմանն է.
- ձողի առաջին վերջնական ճկունությունը: Պողպատի համար St3 λ pr1 = 100:

Այսպիսով, Էյլերի բանաձևը վավեր է, երբ (7.10) պայմանը բավարարված է:

Եթե ​​ձողի ճկունությունը գտնվում է միջակայքում
ապա ձողը կկորցնի կայունությունը առաձգական-պլաստիկ դեֆորմացիաների տարածքում, և Էյլերի բանաձևը չի կարող օգտագործվել: Այս դեպքում կրիտիկական ուժը որոշվում է Յասինսկու փորձարարական բանաձեւով

որտեղ a, b-ը փորձարարական գործակիցներն են: Պողպատի համար St3 a = 310 ՄՊա, b = 1.14 ՄՊա:

Ձողի երկրորդ վերջնական ճկունությունը որոշվում է բանաձևով

որտեղ σ t-ը ձողի նյութի զիջման ուժն է: Պողպատի համար St3 λ pr2 = 60:

Երբ λ ≤ λ pr2 պայմանը բավարարվում է, կրիտիկական սթրեսը (ըստ Յասինսկու) կգերազանցի ձողի նյութի զիջման ուժը։ Ուստի այս դեպքում կրիտիկական ուժը որոշելու համար օգտագործվում է կապը

(7.12)

AT որպես օրինակ Նկ. 7.4 ցույց է տալիս կրիտիկական սթրեսի կախվածությունը պողպատե St3-ի համար ձողի ճկունությունից:

Կայունության հաշվարկ

Կայունության վերլուծությունը կատարվում է օգտագործելով կայունության պայմանը

(7.13)

Կայունությունը հաշվարկելիս թույլատրելի սթրես;

- կայունության գործոն.

Կայունության հաշվարկում թույլատրելի լարվածությունը հիմնված է սեղմման հաշվարկի թույլատրելի լարման վրա

(7.14)

որտեղ φ-ը ճկման գործակիցն է (կամ հիմնական թույլատրելի լարվածության նվազեցումը): Այս գործակիցը տատանվում է 0 ≤ φ ≤ 1-ի սահմաններում:

Հաշվի առնելով, որ պլաստիկ նյութերի համար

բանաձևերը (7.13) և (7.14) ենթադրում են

(7.15)

Ճկման գործակիցի արժեքները՝ կախված ձողի նյութից և ճկունությունից, տրված են տեղեկատու գրականության մեջ:

Ամենահետաքրքիրը նախագծային հաշվարկն է կայունության վիճակից։ Այս տեսակի հաշվարկով հայտնի են հետևյալը` հաշվարկման սխեման (μ գործակից), արտաքին սեղմման ուժ F, նյութը (թույլատրելի լարում [σ]) և ձողի l երկարությունը, դրա խաչմերուկի ձևը։ Անհրաժեշտ է որոշել խաչմերուկի չափերը:

Դժվարությունը կայանում է նրանում, որ հայտնի չէ, թե որ բանաձեւով կարելի է որոշել կրիտիկական սթրեսը, քանի որ առանց խաչմերուկի չափերի, անհնար է որոշել բարի ճկունությունը: Հետևաբար, հաշվարկը կատարվում է հաջորդական մոտարկումների մեթոդով.

1) Մենք ընդունում ենք սկզբնական արժեքը = 0,5. Որոշեք խաչմերուկի տարածքը

2) Ըստ տարածքի մենք գտնում ենք խաչմերուկի չափերը.

3) Օգտագործելով ձեռք բերված խաչմերուկի չափերը, մենք հաշվարկում ենք ձողի ճկունությունը, իսկ ճկունությամբ՝ ճկման գործակիցի վերջնական արժեքը. .

4) Եթե արժեքները չեն համընկնում և կատարել երկրորդ մոտարկումը. Երկրորդ մոտարկումում φ-ի սկզբնական արժեքը վերցված է հավասար
. և այլն:

Մենք կրկնում ենք հաշվարկները այնքան ժամանակ, մինչև φ գործակցի սկզբնական և վերջնական արժեքները տարբերվեն ոչ ավելի, քան 5%: Որպես պատասխան՝ մենք ընդունում ենք վերջին մոտավորությամբ ստացված չափերի արժեքները։

Կրիտիկական լարումները գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել կրիտիկական ուժը, այսինքն՝ առանցքային սեղմման ամենափոքր ուժը, որը կարող է հավասարակշռության մեջ պահել մի փոքր կոր սեղմված ձողը:

Այս խնդիրը առաջին անգամ լուծեց Սանկտ Պետերբուրգի Գիտությունների ակադեմիայի ակադեմիկոս Լ.Էյլերը 1744 թվականին։

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի ձևակերպումը տարբերվում է դասընթացի նախկինում դիտարկված բոլոր բաժիններից: Եթե ​​ավելի վաղ մենք որոշել էինք գավազանի դեֆորմացիան տվյալ արտաքին բեռների տակ, ապա այստեղ մենք դնում ենք հակադարձ խնդիր. հաշվի առնելով սեղմված ձողի առանցքի կորությունը, անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչ արժեքով է առանցքային սեղմման ուժը: Ռնման աղավաղում հնարավոր է.

Դիտարկենք մշտական ​​խաչմերուկի ուղիղ գավազան, որը կախված է ծայրերում. հենարաններից մեկը թույլ է տալիս ձողի համապատասխան ծայրի երկայնական շարժման հնարավորությունը (նկ. 3): Մենք անտեսում ենք ձողի ինքնուրույն քաշը:

Նկ.3.Հաշվարկի սխեման «Էյլերի խնդրի» մեջ

Մենք ձողը բեռնում ենք կենտրոնականորեն կիրառվող երկայնական սեղմման ուժերով և նրան տալիս ենք շատ թեթև թեքություն նվազագույն կոշտության հարթությունում. ձողը պահվում է թեքված վիճակում, ինչը հնարավոր է, քանի որ .

Ենթադրվում է, որ ձողի ճկման դեֆորմացիան շատ փոքր է, հետևաբար, խնդիրը լուծելու համար մենք կարող ենք օգտագործել գավազանի թեքված առանցքի մոտավոր դիֆերենցիալ հավասարումը: Ընտրելով կոորդինատների սկզբնակետը մի կետում ԲԱՅՑիսկ կոորդինատային առանցքների ուղղությունը, ինչպես ցույց է տրված Նկար 3-ում, ունենք.

(1)

Վերցրեք մի հատված հեռավորության վրա Xծագումից; Այս հատվածում կոր առանցքի օրդինատը կլինի ժամը, իսկ ճկման պահն է

Ըստ նախնական սխեմայի, ճկման պահը պարզվում է բացասական, մինչդեռ օրդինատները առանցքի ընտրված ուղղության համար. ժամըդրական է ստացվում. (Եթե ձողը կորացած լիներ ուռուցիկությամբ դեպի ներքև, ապա պահը դրական կլիներ, և ժամը- բացասական և .)

Պարզապես տրված դիֆերենցիալ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

հավասարման երկու կողմերը բաժանելով ԷՋև նշելով կոտորակը միջոցով, այն բերում ենք ձևի.

Այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն ունի ձև.

Այս լուծումը պարունակում է երեք անհայտ՝ ինտեգրման հաստատուններ աև բև արժեքը, քանի որ կրիտիկական ուժի մեծությունը մեզ անհայտ է:

Ձողի ծայրերում սահմանային պայմանները տալիս են երկու հավասարումներ.

Ա կետում ժամը x = 0 շեղում ժամը = 0,

AT X= 1 ժամը = 0.

Դա բխում է առաջին պայմանից (քանի որ կոս kx =1)

Այսպիսով, թեքված առանցքը հավասարման հետ սինուսոիդ է

(2)

Կիրառելով երկրորդ պայմանը, մենք փոխարինում ենք այս հավասարմանը

ժամը= 0 և X = լ

մենք ստանում ենք.

Սրանից բխում է, որ կամ ակամ klհավասար են զրոյի։

Եթե ահավասար է զրոյի, ապա (2) հավասարումից հետևում է, որ ձողի ցանկացած հատվածում շեղումը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ ձողը մնացել է ուղիղ։ Սա հակասում է մեր եզրակացության սկզբնական դրույթներին։ Ուստի մեղք kl= 0, և արժեքը կարող է ունենալ հետևյալ անսահման արժեքների շարքը.

որտեղ է ցանկացած ամբողջ թիվ:

Ուստի և այդ ժամանակից ի վեր

Այլ կերպ ասած, բեռը, որը կարող է հավասարակշռության մեջ պահել մի փոքր կոր ձողը, տեսականորեն կարող է ունենալ մի շարք արժեքներ: Բայց քանի որ որոնված և գործնական տեսանկյունից հետաքրքիր է առանցքային սեղմման ուժի ամենափոքր արժեքը, որի դեպքում հնարավոր է ճկվել, ապա այն պետք է ընդունվի:

Առաջին արմատը =0 պահանջում է, որ այն հավասար լինի զրոյի, որը չի համապատասխանում խնդրի սկզբնական տվյալներին; ուստի այս արմատը պետք է դեն նետվի և արժեքը ընդունվի որպես ամենափոքր արմատ: Այնուհետև մենք ստանում ենք կրիտիկական ուժի արտահայտությունը.

Այսպիսով, որքան շատ թեքման կետեր ունենա ձողի սինուսոիդային կոր առանցքը, այնքան մեծ պետք է լինի կրիտիկական ուժը: Ավելի ամբողջական ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ (1) բանաձևերով սահմանված հավասարակշռության ձևերն անկայուն են. դրանք անցնում են կայուն ձևերի միայն կետերում միջանկյալ հենարանների առկայության դեպքում ATև Հետ(նկ. 1):

Նկ.1

Այսպիսով, խնդիրը լուծված է. մեր ձողի համար ամենափոքր կրիտիկական ուժը որոշվում է բանաձևով

իսկ կոր առանցքը ներկայացնում է սինուսոիդ

Ինտեգրման հաստատունի արժեքը ամնաց չսահմանված; դրա ֆիզիկական նշանակությունը կպարզվի, եթե դնենք սինուսոիդ հավասարումը. ապա (այսինքն, ձողի երկարության մեջտեղում) կստանա արժեքը.

Նշանակում է, ա- սա ձողի շեղումն է իր երկարության միջին հատվածում: Քանի որ ուժի կրիտիկական արժեքով Ռկոր ձողի հավասարակշռությունը հնարավոր է նրա ուղղագիծ ձևից տարբեր շեղումներով, եթե միայն այդ շեղումները փոքր լինեին, ապա բնական է, որ շեղումը. զմնաց չսահմանված։

Միևնույն ժամանակ, այն պետք է այնքան փոքր լինի, որ մենք իրավունք ունենանք կիրառել կոր առանցքի մոտավոր դիֆերենցիալ հավասարումը, այսինքն, այնպես, որ այն դեռ փոքր լինի միասնության համեմատ:

Ստանալով կրիտիկական ուժի արժեքը՝ մենք կարող ենք անմիջապես գտնել կրիտիկական լարվածության արժեքը՝ ուժը բաժանելով գավազանի խաչմերուկի տարածքի վրա։ Ֆ; քանի որ կրիտիկական ուժի արժեքը որոշվել է ձողի դեֆորմացիաների հաշվից, որոնց վրա խաչմերուկի տարածքի տեղական թուլացումը չափազանց թույլ ազդեցություն ունի, ապա բանաձևը ներառում է իներցիայի պահը, հետևաբար, ընդունված է. կրիտիկական սթրեսները հաշվարկելիս, ինչպես նաև կայունության պայմանը կազմելիս, հաշվարկի մեջ մուտքագրել ձողի ամբողջական և ոչ թուլացած խաչմերուկի տարածքը: Հետո այն հավասար կլինի

Այսպիսով, եթե նման ճկունությամբ սեղմված ձողի տարածքը ընտրվի միայն ամրության պայմանի համաձայն, ապա գավազանը կփլուզվի ուղղագիծ ձևի կայունության կորստից:

Առաջին անգամ դրվեց սեղմված ձողերի կայունության խնդիրը։ Էյլերը ստացավ կրիտիկական ուժի հաշվարկման բանաձևը և ցույց տվեց, որ դրա արժեքը զգալիորեն կախված է ձողը ամրացնելու եղանակից: Էյլերի մեթոդի գաղափարը կայանում է նրանում, որ սահմանել այն պայմանները, որոնց դեպքում, բացի ուղղագիծից, հնարավոր է նաև հարակից (այսինքն՝ սկզբնականին կամայականորեն մոտ) գավազանի կորագիծ հավասարակշռության ձևը մշտական ​​բեռի տակ:

Ենթադրենք, որ ծայրերից կախված ուղիղ ձող՝ սեղմված ուժով Պ= Պկ, որոշ հորիզոնական ուժով դուրս է բերվել ուղղագիծ հավասարակշռությունից և հորիզոնական ուժը հեռացնելուց հետո մնացել է կռացած (նկ. 13.4)։ Եթե ​​ձողի շեղումները փոքր են, ապա դրա առանցքի մոտավոր դիֆերենցիալ հավասարումը կունենա նույն ձևը, ինչ ճառագայթի լայնակի ճկման դեպքում.

Համատեղելով կոորդինատների ծագումը ստորին հատվածի կենտրոնի հետ՝ մենք ուղղում ենք առանցքը ժամըձողի և առանցքի շեղումների նկատմամբ X- գավազանի առանցքի երկայնքով:

Ճկման տեսության մեջ ընդունված է սեղմման ուժը դրական համարել։ Հետևաբար, դիտարկված գավազանի ընթացիկ հատվածում ճկման պահը որոշելով, մենք ստանում ենք

Բայց, ինչպես հետևում է Նկ. 13.4, առանցքների ընտրված ուղղությամբ ժամը // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси ժամըհակառակը, ապա նշանները կփոխվեն միաժամանակ ժամըև ժամը// և (13.2) հավասարման աջ կողմի մինուս նշանը կմնա:

Հետևաբար, ձողի առաձգական գծի հավասարումն ունի ձև

.

Ենթադրելով α 2 =Ռկ/EI, ստանում ենք գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում

,

որի ընդհանուր ինտեգրալը

Այստեղ Աև Բ- ինտեգրման հաստատուններ, որոնք որոշվում են ձողի ամրացման պայմաններից, այսպես կոչված, սահմանային կամ սահմանային պայմաններից:

Ձողի ստորին ծայրի հորիզոնական տեղաշարժը, ինչպես երևում է Նկ. 13.4-ը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ երբ X=0 շեղում ժամը=0. Այս պայմանը կկատարվի, եթե Բ=0. Հետեւաբար, գավազանի կոր առանցքը սինուսոիդ է

.

Գողի վերին ծայրի հորիզոնական տեղաշարժը նույնպես զրո է, ուստի

.

Մշտական Ա, որը ձողի առավելագույն շեղումն է, երբվանից չի կարող հավասար լինել զրոյի Ա=0, հնարավոր է միայն հավասարակշռության ուղղագիծ, և մենք փնտրում ենք մի պայման, որի դեպքում հնարավոր է նաև հավասարակշռության կորագիծ ձև: Ուստի դա պետք է լինի մեղքα լ=0. Այստեղից հետևում է, որ ձողի կորագիծ հավասարակշռության ձևերը կարող են գոյություն ունենալ, եթե α լարժեքներ է ընդունում π ,2π ,.nπ . Արժեք α լչի կարող հավասար լինել զրոյի, քանի որ այս լուծումը համապատասխանում է դեպքին

Հավասարեցում α լ= nπ և փոխարինող

մենք ստանում ենք

.

Արտահայտությունը (13.5) կոչվում է Էյլերի բանաձև։ Այն կարող է օգտագործվել կրիտիկական ուժը հաշվարկելու համար Ռկերբ ձողը ճկվում է իր երկու հիմնական հարթություններից մեկում, քանի որ միայն այս պայմանի դեպքում է (13.2) հավասարումը, հետևաբար (13.5) բանաձևը վավեր է:

Ձողի ծռումը տեղի է ունենում նվազագույն կոշտության ուղղությամբ, եթե չկան հատուկ սարքեր, որոնք թույլ չեն տալիս գավազանն այս ուղղությամբ թեքվել: Հետեւաբար, Էյլերի բանաձեւում անհրաժեշտ է փոխարինել Իր- գավազանի խաչմերուկի իներցիայի հիմնական կենտրոնական պահերից ամենափոքրը:

Ձողի ամենամեծ շեղման արժեքը Ատրված լուծումում մնում է չսահմանված, ընդունվում է կամայական, բայց ենթադրվում է, որ փոքր է։

(13.5) բանաձևով որոշված ​​կրիտիկական ուժի արժեքը կախված է գործակիցից n. Եկեք պարզենք այս գործակցի երկրաչափական նշանակությունը։

Վերևում մենք պարզեցինք, որ ձողի կռացած առանցքը սինուսոիդ է, որի հավասարումը փոխարինումից հետո α =π n/լարտահայտության մեջ (13.4) ընդունում է ձևը

.

Սինուսոիդների համար n=1, n=2 ցույց է տրված նկ. 13.5. Հեշտ է տեսնել, որ արժեքը nներկայացնում է սինուսոիդի կիսաալիքների թիվը, որոնց երկայնքով կծկվի ձողը: Ակնհայտ է, որ ձողը միշտ կծկվի իր կրող սարքերի կողմից թույլատրված ամենափոքր թվով կիսաալիքների համաձայն, քանի որ ըստ (13.5) ամենափոքրը. nհամապատասխանում է ամենափոքր կրիտիկական ուժին: Միայն այս առաջին քննադատական ​​ուժն ունի իրական ֆիզիկական նշանակություն։

Օրինակ, կախովի ծայրերով ձողը կծկվի, հենց որ հասնի կրիտիկական ուժի ամենափոքր արժեքը, որը համապատասխանում է. n=1, քանի որ այս ձողի աջակցող սարքերը թույլ են տալիս այն թեքվել սինուսոիդի մեկ կիսաալիքի երկայնքով: Համապատասխան կրիտիկական ուժեր n=2, n\u003d 3 և ավելին կարելի է ձեռք բերել միայն միջանկյալ հենարանների առկայության դեպքում (նկ. 13.6): Կախովի ծայրի հենարաններով առանց միջանկյալ ամրացումների ձողի համար առաջին կրիտիկական ուժը իրական նշանակություն ունի.

.

Բանաձևը (13.5), ինչպես հետևում է դրա ածանցումից, վավեր է ոչ միայն կախովի ծայրերով ձողի համար, այլև ցանկացած ձողի համար, որը թեքվում է ամբողջ թվով կիսաալիքների երկայնքով ճկվելիս: Եկեք կիրառենք այս բանաձևը, օրինակ, գավազանի համար կրիտիկական ուժը որոշելիս, որի կրող սարքերը թույլ են տալիս միայն նրա ծայրերի երկայնական տեղաշարժերը (կանգնել ներկառուցված ծայրերով): Ինչպես երևում է նկար 13.7-ից, այս դեպքում կոր առանցքի կիսաալիքների թիվը. n=2 և, հետևաբար, կրիտիկական ուժը ձողի համար տրված օժանդակ սարքերով

.

Ենթադրենք, որ դարակը մի սեղմված, մյուսը՝ ազատ ծայրով (նկ. 13.8) սեղմվում է ուժով։ Ռ.

Եթե ​​ուժ Պ= Պկ, ապա ուղղագիծից բացի կարող է գոյություն ունենալ նաև դարակի մնացորդի կորագիծ ձև (կետագիծ Նկար 13.8-ում):

Դարակի թեքված առանցքի դիֆերենցիալ հավասարումը նկ. 13.8 կոորդինատային առանցքների համակարգն ունի նույն ձևը.

Այս հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Այս լուծումը ստորադասելով ակնհայտ սահմանային պայմաններին. y=0 ժամը x=0 և y/ =0 ժամը x= լ, ստանում ենք Բ=0, Աα cosα լ= 0.

Մենք ենթադրում էինք, որ գրառումը կոր է, ուստի արժեքը Աչի կարող հավասար լինել զրոյի: Հետևաբար, cosα լ= 0. Այս հավասարման ամենափոքր ոչ զրոյական արմատը α լ= π /2-ը սահմանում է առաջին կրիտիկական ուժը

,

որը համապատասխանում է սինուսոիդի երկայնքով ձողի ճկմանը

.

Արժեքներ α լ=3π /2, α լ=5π /2 և այլն, ինչպես ցույց է տրված վերևում, համապատասխանում են մեծ արժեքներին Պկև դարակի կոր առանցքի ավելի բարդ ձևեր, որոնք գործնականում կարող են գոյություն ունենալ միայն միջանկյալ հենարանների առկայության դեպքում:

Որպես երկրորդ օրինակ, դիտարկեք դարակը՝ մեկ կծկված և երկրորդ ծայրով (նկ. 13.9): Ձողի առանցքի կորության պատճառով ժ Պ= Պկկախովի հենարանի կողքից առաջանում է հորիզոնական ռեակտիվ ուժ Ռ. Հետեւաբար, ճկման պահը գավազանի ընթացիկ հատվածում

.α :

Այս հավասարման ամենափոքր արմատը որոշում է առաջին կրիտիկական ուժը: Այս հավասարումը լուծվում է ընտրության մեթոդով։ Հեշտ է հավատալ, որ այս հավասարման ամենափոքր ոչ զրոյական արմատը α լ= 4.493=1.43 π .

Ընդունելով α լ= 1.43 π , կրիտիկական ուժի համար ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Այստեղ μ =1/n- կիսաալիքների քանակի փոխադարձությունը nսինուսոիդ, որի երկայնքով ձողը կծկվի: Մշտական μ կոչվում է երկարության կրճատման գործակից, իսկ արտադրյալը μ լ- գավազանի երկարությունը կրճատվել է. Կրճատված երկարությունը սինուսոիդի կես ալիքի երկարությունն է, որի երկայնքով այս ձողը թեքված է:

Ձողի ծայրերի կախովի ամրացման դեպքը կոչվում է հիմնական պատյան։ Վերոնշյալից հետևում է, որ ձողի ամրացման ցանկացած դեպքի համար կրիտիկական ուժը կարող է հաշվարկվել հիմնական դեպքի բանաձևով, երբ ձողի իրական երկարությունը փոխարինվում է դրանում իր կրճատված երկարությամբ: μ լ.

Կրճատման գործակիցներ μ որոշ դարակների համար տրված են նկ. 17.10.

Կայունության և կրիտիկական ուժի հայեցակարգը: Դիզայն և ստուգման հաշվարկներ.

Կառուցվածքներում և կառույցներում մեծ կիրառություն ունեն այն մասերը, որոնք համեմատաբար երկար և բարակ ձողեր են, որոնցում մեկ կամ երկու խաչմերուկի չափերը փոքր են ձողի երկարության համեմատ: Նման ձողերի վարքագիծը առանցքային սեղմման բեռի ազդեցության տակ սկզբունքորեն տարբերվում է, քան կարճ ձողերի սեղմման ժամանակ. երբ սեղմման ուժը F հասնում է որոշակի կրիտիկական արժեքի, որը հավասար է Fcr-ին, երկար ձողի հավասարակշռության ուղղագիծ ձևը: պարզվում է, որ անկայուն է, և երբ Fcr-ն գերազանցում է, ձողը սկսում է ինտենսիվ թեքվել (ուռչել): Այս դեպքում առաձգական երկարության նոր (մոտավոր) հավասարակշռության վիճակը դառնում է ինչ-որ նոր արդեն կորագիծ ձև: Այս երեւույթը կոչվում է կայունության կորուստ։

Բրինձ. 37. Կայունության կորուստ

Կայունություն - արտաքին ազդեցության տակ մարմնի դիրքը կամ հավասարակշռությունը պահպանելու ունակությունը:

Կրիտիկական ուժ (Fcr) - բեռ, որի ավելցուկը հանգեցնում է մարմնի սկզբնական ձևի (դիրքի) կայունության կորստի: Կայունության պայման.

Fmax ≤ Fcr, (25)

Սեղմված ձողի կայունությունը: Էյլերի խնդիր.

Սեղմված ձողի ծռվելն առաջացնող կրիտիկական ուժը որոշելիս ենթադրվում է, որ ձողը կատարյալ ուղիղ է, և F ուժը կիրառվում է խիստ կենտրոնական ուղղությամբ: Սեղմված ձողի կրիտիկական ծանրաբեռնվածության խնդիրը, հաշվի առնելով ուժի նույն արժեքով հավասարակշռության երկու ձևերի գոյության հնարավորությունը, լուծել է Լ.Էյլերը 1744 թ.

Բրինձ. 38. Սեղմված ձող

Դիտարկենք ծայրերում առանցքային հենված մի ձող, որը սեղմված է երկայնական F ուժով: Ենթադրենք, որ ինչ-ինչ պատճառներով ձողը ստացել է առանցքի մի փոքր կորություն, որի արդյունքում դրա մեջ հայտնվել է ճկման մոմենտ M.

որտեղ y-ը գավազանի շեղումն է կամայական հատվածում x կոորդինատով:

Կրիտիկական ուժը որոշելու համար կարող եք օգտագործել առաձգական գծի մոտավոր դիֆերենցիալ հավասարումը.

(26)

Փոխակերպումները կատարելուց հետո կարելի է տեսնել, որ կրիտիկական ուժը կվերցնի նվազագույն արժեք n = 1 (սինուսոիդի մեկ կիսաալիքը տեղավորվում է ձողի երկարությամբ) և J = Jmin (ձողը թեքված է շուրջը: իներցիայի ամենափոքր մոմենտ ունեցող առանցքը)

(27)

Այս արտահայտությունը Էյլերի բանաձեւն է։

Կրիտիկական ուժի կախվածությունը ձողի ամրացման պայմաններից.

Էյլերի բանաձևը ստացվել է, այսպես կոչված, հիմնական գործի համար՝ ենթադրելով գավազանի կախովի աջակցությունը ծայրերում: Գործնականում կան գավազանի ամրացման այլ դեպքեր. Այս դեպքում կարելի է ստանալ այս դեպքերից յուրաքանչյուրի համար կրիտիկական ուժի որոշման բանաձև՝ լուծելով, ինչպես նախորդ պարբերությունում, ճառագայթի թեքված առանցքի դիֆերենցիալ հավասարումը համապատասխան սահմանային պայմաններով: Բայց դուք կարող եք օգտագործել ավելի պարզ տեխնիկա, եթե հիշում եք, որ կայունության կորստի դեպքում սինուսոիդի մեկ կիսաալիքը պետք է տեղավորվի ձողի երկարությամբ:

Դիտարկենք ձողը ծայրերում ամրացնելու որոշ բնորոշ դեպքեր և ձեռք բերենք տարբեր տեսակի ամրացման ընդհանուր բանաձև:

Բրինձ. 39. Ձողի ամրացման տարբեր դեպքեր

Էյլերի ընդհանուր բանաձևը.

(28)

որտեղ μ·l = l pr - գավազանի կրճատված երկարությունը; l-ը գավազանի իրական երկարությունն է. μ-ը կրճատված երկարության գործակիցն է, որը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է անհրաժեշտ փոխել ձողի երկարությունը, որպեսզի այս ձողի համար կրիտիկական ուժը հավասարվի կախովի փնջի կրիտիկական ուժին: (Նվազեցված երկարության գործակիցի մեկ այլ մեկնաբանություն. μ ցույց է տալիս, թե կոնկրետ տեսակի ամրացման համար ձողի երկարության որ մասում է տեղավորվում սինուսոիդի մեկ կիսաալիքը ճկվելու դեպքում):

Այսպիսով, կայունության վերջնական պայմանը ձև է ստանում

(29)

Եկեք դիտարկենք սեղմված ձողերի կայունության հաշվարկի երկու տեսակ՝ ստուգում և ձևավորում:

Ստուգեք հաշվարկը

Կայունության ստուգման կարգն ունի հետևյալ տեսքը.

Ելնելով խաչմերուկի հայտնի չափերից և ձևից և ձողը ամրացնելու պայմաններից՝ մենք հաշվարկում ենք ճկունությունը.

Համաձայն տեղեկատու աղյուսակի, մենք գտնում ենք թույլատրելի լարվածության նվազեցման գործակիցը, այնուհետև որոշում ենք կայունության համար թույլատրելի լարվածությունը.

Համեմատեք առավելագույն լարվածությունը կայունության թույլատրելի լարվածության հետ:

Դիզայնի հաշվարկ

Դիզայնի հաշվարկում (տվյալ բեռի համար հատված ընտրելու համար) հաշվարկման բանաձևում կան երկու անհայտ մեծություններ՝ ցանկալի լայնական հատվածի տարածքը և φ անհայտ գործակիցը (քանի որ φ կախված է ձողի ճկունությունից և հետևաբար. անհայտ տարածքում A): Հետևաբար, բաժին ընտրելիս սովորաբար անհրաժեշտ է օգտագործել հաջորդական մոտարկումների մեթոդը.

Սովորաբար, առաջին փորձի ժամանակ, φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 վերցվում է, և խաչմերուկի տարածքը որոշվում է առաջին մոտավորմամբ:

Ըստ հայտնաբերված A1 տարածքի, հատվածը ընտրվում է և ձողի ճկունությունը հաշվարկվում է առաջին մոտարկումով λ1: Իմանալով λ, գտեք նոր արժեք φ′1;

Նյութի ընտրությունը և հատվածի ռացիոնալ ձևը:

Նյութի ընտրություն. Քանի որ միայն Յանգի մոդուլն է ներառված բոլոր մեխանիկական բնութագրերի Էյլերի բանաձևում, խորհուրդ չի տրվում օգտագործել բարձր ամրության նյութեր՝ բարձր ճկուն ձողերի կայունությունը բարձրացնելու համար, քանի որ Յանգի մոդուլը մոտավորապես նույնն է պողպատի բոլոր դասերի համար:

Ցածր ճկունությամբ ձողերի համար բարձրորակ պողպատների օգտագործումը արդարացված է, քանի որ նման պողպատների զիջման ուժի աճով մեծանում են կրիտիկական լարումները և, հետևաբար, կայունության սահմանը:

Իրկուտսկի պետական ​​տրանսպորտի համալսարան

Լաբորատորիա թիվ 16

կարգապահությամբ «Նյութերի ամրություն»

ԿՐԻՏԻՏԻԿ ՈՒԺԵՐԻ ՓՈՐՁԱՐԿՄԱՆ ՈՐՈՇՈՒՄ

ԵՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿՈՌՄԱՆ ՀԱՄԱՐ

Վարչապետի վարչություն

Լաբորատորիա թիվ 16

Ճկման ժամանակ կրիտիկական ուժերի փորձարարական որոշում

Նպատակը:սեղմված պողպատե ձողի ճկման երևույթի ուսումնասիրությունը առաձգականի մեջ

փուլերը. Սեղմված կրիտիկական բեռների արժեքների փորձարարական որոշում

ձողեր՝ ամրացման տարբեր եղանակներով և դրանք համեմատելով տեսական

արժեքներ։

Ընդհանուր դրույթներ

Սեղմված ձողերը բավարար չեն ամրությունը ստուգելու համար՝ ըստ հայտնի պայմանի.

,

որտեղ [σ]-ը ձողի նյութի թույլատրելի լարվածությունն է, Պ - սեղմման ուժ Ֆ - խաչմերուկի տարածքը.

Գործնականում ինժեներները գործ ունեն սեղմման ենթարկված ճկուն ձողերի, բարակ սեղմված թիթեղների, բարակ պատերով կառույցների հետ, որոնց խափանումը պայմանավորված է ոչ թե կրող հզորության կորստով, այլ կայունության կորստով։

Կայունության կորուստը հասկացվում է որպես հավասարակշռության սկզբնական ձևի կորուստ:

Նյութերի դիմադրությունը հաշվի է առնում սեղմման մեջ աշխատող կառուցվածքային տարրերի կայունությունը:

Դիտարկենք երկար բարակ ձող (նկ. 1), որը բեռնված է առանցքային սեղմման ուժով Պ .

Պ< Պ կր Պ > Պկր

Բրինձ. մեկ.Ձող, որը բեռնված է առանցքային սեղմման ուժով Պ .

Ուժի փոքր արժեքների համար Ֆձողը սեղմվում է, մինչդեռ մնում է ուղիղ: Ավելին, եթե ձողը այս դիրքից շեղվի փոքր լայնակի ծանրաբեռնվածությամբ, ապա այն կճռվի, բայց երբ այն հանվում է, ձողը վերադառնում է ուղղագիծ վիճակի։ Սա նշանակում է, որ տվյալ ուժի համար Պ գավազանի հավասարակշռության ուղղագիծ ձևը կայուն է:

Եթե ​​շարունակենք ավելացնել սեղմման ուժը Պ , այնուհետև որոշակի արժեքի դեպքում հավասարակշռության ուղղագիծ ձևը դառնում է անկայուն և առաջանում է ձողի հավասարակշռության նոր ձև՝ կորագիծ (նկ. 1, բ) . Ձողի ծռվելու պատճառով նրա հատվածներում կառաջանա ճկման պահ, որը լրացուցիչ լարումներ կառաջացնի, և ձողը կարող է հանկարծակի փլուզվել։

Երկայնական ուժով սեղմված երկար ձողի կորությունը կոչվում է ծռվելը .

Սեղմման ուժի ամենամեծ արժեքը, որի դեպքում ձողի հավասարակշռության ուղղագիծ ձևը կայուն է, կոչվում է. քննադատական - Պ կր.

Կրիտիկական բեռի հասնելու դեպքում հավասարակշռության սկզբնական ձևի կտրուկ որակական փոփոխություն է տեղի ունենում, ինչը հանգեցնում է կառուցվածքի ձախողման: Հետևաբար, կրիտիկական ուժը համարվում է խզման բեռ:

Էյլերի և Յասինսկու բանաձևերը

Սեղմված ձողի կրիտիկական ուժի որոշման խնդիրն առաջին անգամ լուծվել է Սանկտ Պետերբուրգի Գիտությունների ակադեմիայի անդամ Լ. Էյլերի կողմից 1744 թվականին: Էյլերի բանաձևն ունի ձև.

(1)

որտեղ Ե – ձողի նյութի առաձգականության մոդուլ; Ջր- գավազանի խաչմերուկի իներցիայի ամենափոքր պահը (քանի որ ճկման ժամանակ ձողի ծռումը տեղի է ունենում նվազագույն կոշտության հարթությունում, այսինքն, ձողի խաչմերուկները պտտվում են առանցքի շուրջը, որի նկատմամբ իներցիայի պահը նվազագույն է, այսինքն՝ առանցքի շուրջ x , կամ առանցքի շուրջ y );

(μ· լ ) ձողի կրճատված երկարությունն է, սա ձողի երկարության արտադրյալն է լ μ գործակցով, որը կախված է ձողի ծայրերը ամրացնելու եղանակներից։

Գործակից μ կանչեց երկարության կրճատման գործակից ; դրա արժեքը ձողի ծայրերը ամրացնելու ամենատարածված դեպքերի համար ներկայացված է նկ. 2:

ա- ձողի երկու ծայրերը կախված են և կարող են մոտենալ միմյանց.

բ- մի ծայրը կոշտ սեղմված է, մյուսը ազատ է.

մեջ- մի ծայրը կախված է, մյուսը ունի «խաչ լողացող կնիք»;

Գ - մի ծայրը կոշտ սեղմված է, մյուսը ունի «խաչ լողացող կնիք».

դ- մի ծայրը կոշտ ամրացված է, մյուսում կախված շարժական հենարան է.

ե- երկու ծայրերը կոշտ սեղմված են, բայց կարող են մոտենալ միմյանց:

Այս օրինակներից երեւում է, որ գործակիցը μ ճկման ժամանակ ձողի առաձգական գծի կիսաալիքների թվի փոխադարձությունն է։

Բրինձ. 2.Գործակից μ ամենահաճախակի համար

գավազանի ծայրերը ամրացնելու տեղի ունեցող դեպքերը.

Նորմալ լարվածությունը սեղմված ձողի խաչմերուկում, որը համապատասխանում է սեղմման ուժի կրիտիկական արժեքին, կոչվում է նաև կրիտիկական:

Մենք այն սահմանում ենք Էյլերի բանաձևի հիման վրա.

(2)

Հատվածի երկրաչափական բնութագիրը եսր, որոշվում է բանաձևով

կանչեց հատվածի պտտման շառավիղը (c-առանցքի նկատմամբ Ջր): Ուղղանկյուն հատվածի համար

Հաշվի առնելով (3) բանաձևը (2) կստանա հետևյալ ձևը.

(4)

Ձողի կրճատված երկարության հարաբերակցությունը նրա խաչմերուկի պտտման նվազագույն շառավիղին, Սանկտ Պետերբուրգի երկաթուղային ինժեներների ինստիտուտի պրոֆեսոր Ֆ.Ս. Յասինսկին (1856-1899) կոչվում է ձողի ճկունություն և նշվում է տառով λ :

Այս անչափ արժեքը միաժամանակ արտացոլում է հետևյալ պարամետրերը՝ ձողի երկարությունը, դրա ամրացման եղանակը և խաչմերուկի բնութագիրը:

Ի վերջո, (5) փոխարինելով (4) բանաձևով, մենք ստանում ենք

Էյլերի բանաձևը հանելիս ենթադրվում էր, որ ձողի նյութը առաձգական է և հետևում է Հուկի օրենքին։ Հետևաբար, Էյլերի բանաձևը կարող է կիրառվել միայն σ-ի համաչափության սահմանից փոքր լարումների դեպքում hc, այսինքն երբ

Այս պայմանը որոշում է Էյլերի բանաձևի կիրառելիության սահմանը.

Այս անհավասարության աջ կողմի մեծությունը կոչվում է վերջնական ճկունություն :

դրա արժեքը կախված է ձողի նյութի ֆիզիկական և մեխանիկական հատկություններից:

Մեղմ պողպատի համար Սբ. 3, որի համար ս hc= 200 ՄՊա, Ե = 2· 10 5 ՄՊա:

Նմանապես, դուք կարող եք հաշվարկել վերջնական ճկունության արժեքը այլ նյութերի համար՝ չուգունի համար λ նախքան= 80, սոճու համար λ նախքան = 110.

Այսպիսով, Էյլերի բանաձևը կիրառելի է ձողերի համար, որոնց ճկունությունը մեծ է կամ հավասար է վերջնական ճկունությանը, այսինքն.

λ ≥ λ նախքան

Սա պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. եթե ձողի ճկունությունն ավելի մեծ է, քան սահմանափակող ճկունությունը, ապա կրիտիկական ուժը պետք է որոշվի Էյլերի բանաձևով։

ժամը λ < λ նախքան Euler-ի բանաձևը ձողերի համար կիրառելի չէ: Այս դեպքերում, երբ ձողերի ճկունությունը փոքր է, քան սահմանափակողը՝ էմպիրիկ Յասինսկու բանաձեւը :

σ կր = ա – բ λ , (7)

որտեղ ա և բ - փորձնականորեն որոշված ​​գործակիցներ, որոնք հաստատուն են տվյալ նյութի համար. նրանք ունեն սթրեսի չափ:

Ճկունության որոշակի արժեքի համար λ մասինսթրես ս կր, որը հաշվարկվում է (7) բանաձևով, հավասարվում է վերջնական սեղմման լարվածությանը, այսինքն. տճկուն նյութերի կամ սեղմման ուժի համար σ արև- փխրուն նյութերի համար. Ցածր ճկունության ձողեր ( λ < λ մասին) հույս մի դրեք կայունության վրա, այլ պարզ սեղմման տակ ամրության վրա:

Այսպիսով, կախված ճկունությունից, կայունության համար սեղմված ձողերի հաշվարկը տարբեր կերպ է իրականացվում: