Ինչպես նկարագրել պարաբոլային ֆունկցիայի գրաֆիկի հատկությունները: Քառակուսի ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

Դպրոցում մաթեմատիկայի դասերին դուք արդեն ծանոթացել եք ամենապարզ հատկություններին և ֆունկցիայի գրաֆիկին. y=x2. Եկեք ընդլայնենք մեր գիտելիքները քառակուսի ֆունկցիա.

Վարժություն 1.

Կազմեք ֆունկցիա y=x2. Սանդղակ՝ 1 = 2 սմ Oy առանցքի վրա կետ նշեք Ֆ(0; 1/4): Օգտագործելով կողմնացույց կամ թղթի շերտ, չափեք հեռավորությունը կետից Ֆինչ-որ պահի Մպարաբոլաներ. Այնուհետև ժապավենը ամրացրեք M կետում և պտտեք այն այս կետի շուրջ, որպեսզի այն դառնա ուղղահայաց: Շերտի ծայրը մի փոքր կիջնի x առանցքից (նկ. 1). Շերտի վրա նշեք, թե որքան հեռու է այն անցնում x առանցքից: Վերցրեք ևս մեկ կետ պարաբոլայի վրա և նորից կրկնեք չափումը: Որքա՞ն է այժմ շերտի եզրն իջել x առանցքից այն կողմ:

Արդյունք:Անկախ նրանից, թե պարաբոլի y \u003d x 2 կետի որ կետն եք վերցնում, այս կետից F կետի հեռավորությունը (0; 1/4) ավելի մեծ կլինի, քան նույն կետից մինչև x առանցքի հեռավորությունը միշտ նույնն է: թիվը՝ 1/4-ով։

Կարելի է այլ կերպ ասել՝ պարաբոլայի ցանկացած կետից մինչև (0; 1/4) կետի հեռավորությունը հավասար է պարաբոլայի նույն կետից մինչև y = -1/4 ուղիղը։ Այս հրաշալի F(0; 1/4) կետը կոչվում է կենտրոնանալպարաբոլներ y \u003d x 2, իսկ ուղիղ գիծը y \u003d -1/4 - տնօրենայս պարաբոլան. Յուրաքանչյուր պարաբոլա ունի ուղղորդիչ և կիզակետ:

Պարաբոլայի հետաքրքիր հատկությունները.

1. Պարաբոլայի ցանկացած կետ ինչ-որ կետից հավասար հեռավորության վրա է, որը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետ, և որոշ ուղիղ, որը կոչվում է իր ուղղորդիչ:

2. Եթե պարաբոլան պտտեք համաչափության առանցքի շուրջը (օրինակ՝ y պարաբոլան y \u003d x 2 Oy առանցքի շուրջ), դուք կստանաք շատ հետաքրքիր մակերես, որը կոչվում է հեղափոխության պարաբոլոիդ։

Հեղուկի մակերեսը պտտվող նավի մեջ ունի պտտվող պարաբոլոիդի ձև։ Դուք կարող եք տեսնել այս մակերեսը, եթե թեյի թերի բաժակի մեջ գդալով ուժեղ խառնեք, ապա հանեք գդալը։

3. Եթե դատարկության մեջ քար եք նետում հորիզոնի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ, ապա այն կթռչի պարաբոլայի երկայնքով։ (նկ. 2):

4. Եթե կոնի մակերեսը հատում եք դրա գեներատորներից որևէ մեկին զուգահեռ հարթությամբ, ապա հատվածում ստանում եք պարաբոլա. (նկ. 3).

5. Ժամանցային պուրակներում նրանք երբեմն կազմակերպում են զվարճալի ատրակցիոն, որը կոչվում է Հրաշքների պարաբոլոիդ: Պտտվող պարաբոլոիդի ներսում կանգնածներից յուրաքանչյուրին թվում է, թե նա կանգնած է հատակին, իսկ մնացած մարդիկ, ինչ-որ հրաշքով, մնում են պատերին։

6. Հայելային աստղադիտակներում օգտագործվում են նաև պարաբոլիկ հայելիներ՝ հեռավոր աստղի լույսը, որը շարժվում է զուգահեռ ճառագայթով, ընկնում է աստղադիտակի հայելու վրա, հավաքվում է ուշադրության կենտրոնում։

7. Լուսարձակների համար հայելին սովորաբար պատրաստվում է պարաբոլոիդի տեսքով։ Եթե ​​պարաբոլոիդի կիզակետում տեղադրեք լույսի աղբյուր, ապա պարաբոլիկ հայելից արտացոլված ճառագայթները կազմում են զուգահեռ ճառագայթ:

Քառակուսի ֆունկցիայի գծագրում

Մաթեմատիկայի դասերին դուք ուսումնասիրել եք, թե ինչպես ստանալ y \u003d x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից ձևի ֆունկցիաների գծապատկերներ.

1) y=ax2– y = x 2 գրաֆիկի ընդլայնումը Oy առանցքի երկայնքով |a|-ում անգամ (համար |ա|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, բրինձ. 4).

2) y=x2+n– գրաֆիկի տեղաշարժը n միավորով Oy առանցքի երկայնքով, և եթե n > 0, ապա տեղաշարժը վեր է, և եթե n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– գրաֆիկի տեղաշարժը m միավորներով Ox առանցքի երկայնքով. եթե m< 0, то вправо, а если m >0, ապա դեպի ձախ, (նկ. 5).

4) y=-x2- սիմետրիկ ցուցադրում y = x 2 գրաֆիկի Ox առանցքի վերաբերյալ:

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրմանը: y = a(x - m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ձևի քառակուսի ֆունկցիան միշտ կարող է կրճատվել մինչև ձևի

y \u003d a (x - m) 2 + n, որտեղ m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a):

Եկեք ապացուցենք դա։

Իսկապես,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a):

Ներկայացնենք նոր նշում.

Թող լինի m = -b/(2a), ա n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

ապա մենք ստանում ենք y = a(x - m) 2 + n կամ y - n = a(x - m) 2:

Կատարենք ևս մի քանի փոխարինում՝ թող y - n = Y, x - m = X (*):

Այնուհետև ստանում ենք Y = aX 2 ֆունկցիան, որի գրաֆիկը պարաբոլա է։

Պարաբոլայի գագաթը սկզբում է: x=0; Y = 0:

Փոխարինելով գագաթի կոորդինատները (*)՝ ստանում ենք y = a(x - m) 2 + n գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները՝ x = m, y = n։

Այսպիսով, քառակուսի ֆունկցիան գծելու համար, որը ներկայացված է որպես

y = a(x - m) 2 + n

փոխակերպմամբ կարող եք գործել հետևյալ կերպ.

ա)կառուցել y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը;

բ) Ox առանցքի երկայնքով զուգահեռ թարգմանությամբ m միավորներով և Oy առանցքի երկայնքով n միավորով - փոխանցել պարաբոլայի վերին մասը սկզբնակետից դեպի կետ կոորդինատներով (m; n) (նկ. 6).

Գրել փոխակերպումները.

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Օրինակ.

Օգտագործելով փոխակերպումները, կառուցեք y = 2(x - 3) 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ – 2.

Որոշում.

Փոխակերպումների շղթա.

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Գրաֆիկի կառուցվածքը ներկայացված է բրինձ. 7.

Դուք կարող եք ինքնուրույն կիրառել քառակուսի ֆունկցիայի գծագրում: Օրինակ՝ y = 2(x + 3) 2 + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցեք մեկ կոորդինատային համակարգում՝ օգտագործելով փոխակերպումները։ Եթե ունեք հարցեր կամ ցանկանում եք խորհուրդներ ստանալ ուսուցչից, ապա դուք հնարավորություն ունեք անցկացնելու անվճար 25 րոպեանոց դաս առցանց դաստիարակի հետհետո . Ուսուցչի հետ հետագա աշխատանքի համար կարող եք ընտրել ձեզ հարմարը

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես գծապատկերել քառակուսի ֆունկցիան:
Ուսուցիչից օգնություն ստանալու համար -.
Առաջին դասն անվճար է։

blog.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է: