Stabilnost stlačenih šipki Eulerova formula kritičnog naprezanja. Eulerova formula za kritičnu silu

Predavanje 7

STABILNOST KOMPRESOVANIH ŠTIPOVA

Koncept stabilnosti komprimirane šipke. Eulerova formula. Ovisnost kritične sile o načinu pričvršćivanja šipke. Granice primjenjivosti Eulerove formule. Yasinsky formula. Proračun održivosti.

Koncept stabilnosti komprimirane šipke

Razmotrimo štap s ravnom osi opterećen uzdužnom tlačnom silom F. Ovisno o veličini sile i parametrima štapa (materijal, duljina, oblik i dimenzije poprečnog presjeka), njegov pravocrtni ravnotežni oblik može biti stabilan ili nestabilan.

Da bismo odredili vrstu ravnoteže štapa, djelujemo na njega malim poprečnim opterećenjem Q. Kao rezultat toga, štap će se pomaknuti u novi ravnotežni položaj sa zakrivljenom osi. Ako se nakon prestanka poprečnog opterećenja štap vrati u prvobitni (pravolinijski) položaj, tada je pravocrtni oblik ravnoteže stabilan (slika 7.1a). U slučaju kada se nakon prestanka djelovanja poprečne sile Q štap ne vrati u prvobitni položaj, pravocrtni oblik ravnoteže je nestabilan (slika 7.1b).

Dakle, stabilnost je sposobnost štapa da se, nakon nekog odstupanja od svog prvotnog položaja kao posljedica djelovanja nekog uznemirujućeg opterećenja, spontano vrati u prvobitni položaj kada se ovo opterećenje prekine. Najmanja uzdužna tlačna sila pri kojoj pravolinijski ravnotežni oblik štapa postaje nestabilan naziva se kritična sila.

Razmatrana shema rada središnje komprimirane šipke je teoretska. U praksi, tlačna sila može djelovati s nekim ekscentricitetom, a štap može imati neku (iako malu) početnu zakrivljenost. Stoga se od samog početka uzdužnog opterećenja šipke opaža njegovo savijanje. Istraživanja pokazuju da sve dok je tlačna sila manja od kritične sile, otklon šipke će biti mali. Kada se sila približi kritičnoj vrijednosti, otkloni se počinju neograničeno povećavati. Ovaj kriterij (neograničeno povećanje progiba uz ograničeno povećanje tlačne sile) uzima se kao kriterij za izvijanje.

Gubitak stabilnosti elastične ravnoteže događa se ne samo tijekom kompresije štapa, već i tijekom njegove torzije, savijanja i složenijih vrsta deformacija.

Eulerova formula

Razmotrimo šipku s ravnom osi, pričvršćenu pomoću dva zglobna nosača (slika 7.2). Pretpostavimo da je uzdužna tlačna sila koja djeluje na štap dosegla kritičnu vrijednost, a štap je savijen u ravnini najmanje krutosti. Ravnina najmanje krutosti smještena je okomito na onu glavnu središnju os presjeka, u odnosu na koju aksijalni moment tromosti presjeka ima minimalnu vrijednost.

(7.1)

gdje je M moment savijanja; I min je minimalni moment tromosti presjeka.

Od sl. 7.2 pronaći moment savijanja

(7.2)

Na sl. 7.2 moment savijanja uslijed djelovanja kritične sile je pozitivan, a otklon negativan. Kako bi se dogovorili prihvaćeni predznaci, u ovisnost se stavlja znak minus (7.2).

Zamjenom (7.2) u (7.1) za određivanje funkcije otklona dobivamo diferencijalnu jednadžbu

(7.3)

(7.4)

Iz kolegija više matematike poznato je da rješenje jednadžbe (7.3) ima oblik

gdje su A, B integracijske konstante.

Za određivanje konstanti integracije u (7.5) koristimo se graničnim uvjetima

Za savijenu šipku koeficijenti A i B ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme (inače štap neće biti savijen). Zato

Izjednačavajući (7.6) i (7.4), nalazimo

(7.7)

Od praktične važnosti je najmanja vrijednost kritične sile različita od nule. Stoga, zamjenom n=1 u (7.7), konačno imamo

(7.8)

Ovisnost (7.8) naziva se Eulerova formula.

Ovisnost o kritičnoj sili

od načina fiksiranja šipke

Formula (7.8) je dobivena za slučaj da je šipka pričvršćena pomoću dva zglobna oslonca smještena na njegovim rubovima. Za druge metode pričvršćivanja štapa, za određivanje kritične sile koristi se generalizirana Eulerova formula

(7.9)

gdje je μ faktor smanjenja duljine, uzimajući u obzir način pričvršćivanja šipke.

Najčešći načini pričvršćivanja šipke i odgovarajući koeficijenti smanjenja duljine prikazani su na sl. 7.3.

Granice primjenjivosti Eulerove formule. Formula Yasinskog

P Prilikom izvođenja Eulerove formule korišten je uvjet da je Hookeov zakon zadovoljen u trenutku gubitka stabilnosti. Napon u šipki u trenutku izvijanja jednak je

gdje
- fleksibilnost štapa; A je površina poprečnog presjeka štapa.

U trenutku gubitka stabilnosti Hookeov zakon će biti zadovoljen pod uvjetom

gdje je σpc granica proporcionalnosti materijala šipke;
- prva ultimativna fleksibilnost štapa. Za čelik St3 λ pr1 = 100.

Dakle, Eulerova formula vrijedi kada je uvjet (7.10) zadovoljen.

Ako je savitljivost štapa u intervalu
tada će štap izgubiti stabilnost u području elastično-plastičnih deformacija i Eulerova formula se ne može koristiti. U ovom slučaju, kritična sila određena je eksperimentalnom formulom Yasinskog

gdje su a, b eksperimentalni koeficijenti. Za čelik St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

Druga konačna fleksibilnost štapa određena je formulom

gdje je σ t granica popuštanja materijala šipke. Za čelik St3 λ pr2 = 60.

Kada je uvjet λ ≤ λ pr2 ispunjen, kritično naprezanje (prema Yasinskyju) će premašiti granicu tečenja materijala šipke. Stoga se u ovom slučaju za određivanje kritične sile koristi relacija

(7.12)

U kao primjer na sl. 7.4 prikazuje ovisnost kritičnog naprezanja o savitljivosti šipke za čelik St3.

Proračun održivosti

Analiza stabilnosti se provodi korištenjem uvjeta stabilnosti

(7.13)

Dopušteno naprezanje pri izračunu stabilnosti;

- faktor stabilnosti.

Dopušteno naprezanje u proračunu stabilnosti temelji se na dopuštenom naprezanju u proračunu kompresije

(7.14)

gdje je φ koeficijent izvijanja (ili smanjenja glavnog dopuštenog naprezanja). Ovaj koeficijent varira unutar 0 ≤ φ ≤ 1.

S obzirom na to za plastične materijale

formule (7.13) i (7.14) impliciraju

(7.15)

Vrijednosti koeficijenta izvijanja ovisno o materijalu i fleksibilnosti šipke date su u referentnoj literaturi.

Najzanimljiviji je proračunski proračun iz uvjeta stabilnosti. Kod ove vrste proračuna poznati su: projektna shema (koeficijent μ), vanjska tlačna sila F, materijal (dopušteno naprezanje [σ]) i duljina l štapa, oblik njegovog presjeka. Potrebno je odrediti dimenzije presjeka.

Poteškoća je u tome što se ne zna po kojoj formuli odrediti kritično naprezanje, jer bez dimenzija poprečnog presjeka nemoguće je odrediti fleksibilnost šipke. Stoga se proračun provodi metodom uzastopnih aproksimacija:

1) Prihvaćamo početnu vrijednost = 0,5. Odredite površinu presjeka

2) Po površini nalazimo dimenzije presjeka.

3) Koristeći dobivene dimenzije poprečnog presjeka, izračunavamo savitljivost šipke, a po fleksibilnosti - konačnu vrijednost koeficijenta izvijanja .

4) Ako se vrijednosti ne podudaraju I izvršiti drugu aproksimaciju. Početna vrijednost φ u drugoj aproksimaciji uzima se jednakom
. itd.

Ponavljamo izračune sve dok se početna i konačna vrijednost koeficijenta φ ne razlikuju za više od 5%. Kao odgovor prihvaćamo vrijednosti dimenzija dobivene u posljednjoj aproksimaciji.

Za pronalaženje kritičnih naprezanja potrebno je izračunati kritičnu silu, tj. najmanju aksijalnu tlačnu silu koja može držati blago zakrivljenu komprimiranu šipku u ravnoteži.

Taj je problem prvi razriješio akademik Petrogradske akademije znanosti L. Euler 1744. godine.

Imajte na umu da je sama formulacija problema drugačija nego u svim prethodno razmatranim dijelovima kolegija. Ako smo ranije odredili deformaciju štapa pod zadanim vanjskim opterećenjima, onda ovdje postavljamo inverzni problem: s obzirom na zakrivljenost osi komprimirane šipke, potrebno je odrediti pri kojoj vrijednosti aksijalne tlačne sile R takvo izobličenje je moguće.

Razmotrimo ravnu šipku stalnog presjeka, spojenu na krajevima; jedan od oslonaca dopušta mogućnost uzdužnog pomicanja odgovarajućeg kraja šipke (slika 3.). Zanemarujemo vlastitu težinu štapa.

sl.3. Shema proračuna u "Eulerovom problemu"

Opterećujemo šipku centralno primijenjenim uzdužnim tlačnim silama i dajemo joj vrlo malu zakrivljenost u ravnini najmanje krutosti; štap se drži u savijenom stanju, što je moguće jer .

Pretpostavlja se da je deformacija savijanja šipke vrlo mala, stoga za rješavanje problema možemo koristiti približnu diferencijalnu jednadžbu za savijenu os štapa. Odabir ishodišta koordinata u točki ALI i smjer koordinatnih osi, kao što je prikazano na slici 3, imamo:

(1)

Uzmi dio na daljinu x od podrijetla; ordinata zakrivljene osi u ovom presjeku bit će na, a moment savijanja je

Prema izvornoj shemi, moment savijanja ispada negativan, dok ordinate za odabrani smjer osi na pokazati se pozitivnim. (Kada bi štap bio zakrivljen ispupčenjem prema dolje, tada bi trenutak bio pozitivan, i na- negativan i .)

Upravo data diferencijalna jednadžba ima oblik:

dijeleći obje strane jednadžbe sa EJ i označavajući razlomak kroz dovodimo ga do oblika:

Opći integral ove jednadžbe ima oblik:

Ovo rješenje sadrži tri nepoznanice: konstante integracije ali I b i vrijednost , budući da nam je veličina kritične sile nepoznata.

Granični uvjeti na krajevima štapa daju dvije jednadžbe:

u točki A na x = 0 otklona na = 0,

U x= 1 na = 0.

To proizlazi iz prvog uvjeta (budući da cos kx =1)

Dakle, savijena os je sinusoida s jednadžbom

(2)

Primjenjujući drugi uvjet, zamjenjujemo ovu jednadžbu

na= 0 i x = l

dobivamo:

Iz ovoga proizlazi da bilo ali ili kl jednaki su nuli.

Ako ali je jednak nuli, onda iz jednadžbe (2) slijedi da je otklon u bilo kojem dijelu štapa jednak nuli, tj. štap je ostao ravan. To je u suprotnosti s početnim pretpostavkama našeg zaključka. Stoga grijeh kl= 0, a vrijednost može imati sljedeći beskonačan niz vrijednosti:

gdje je bilo koji cijeli broj.

Stoga, i od tada

Drugim riječima, opterećenje koje može držati blago zakrivljenu šipku u ravnoteži teoretski može imati brojne vrijednosti. No budući da se traži, a to je s praktične točke gledišta zanimljivo, najmanja vrijednost aksijalne tlačne sile pri kojoj postaje moguće izvijanje, treba je uzeti.

Prvi korijen =0 zahtijeva da bude jednak nuli, što ne odgovara početnim podacima problema; pa se taj korijen mora odbaciti i vrijednost uzeti kao najmanji korijen. Tada dobivamo izraz za kritičnu silu:

Dakle, što više pregibnih točaka ima sinusno zakrivljena os štapa, to bi kritična sila trebala biti veća. Potpunije studije pokazuju da su oblici ravnoteže definirani formulama (1) nestabilni; prelaze u stabilne oblike samo uz prisutnost srednjih oslonaca na točkama U I IZ(Sl. 1).

Sl. 1

Dakle, zadatak je riješen; za naš štap, najmanja kritična sila određena je formulom

a zakrivljena os predstavlja sinusoidu

Vrijednost konstante integracije ali ostao nedefiniran; njegovo fizičko značenje doznat ćemo ako ubacimo jednadžbu sinusoida; tada (tj. u sredini duljine štapa) će dobiti vrijednost:

Sredstva, ali- ovo je otklon štapa u presjeku u sredini njegove duljine. Budući da pri kritičnoj vrijednosti sile R ravnoteža zakrivljene šipke moguća je uz različita odstupanja od pravocrtnog oblika, ako su samo ta odstupanja mala, onda je prirodno da otklon f ostala nedefinirana.

Istovremeno, mora biti toliko mala da imamo pravo koristiti približnu diferencijalnu jednadžbu zakrivljene osi, tj. tako da je još uvijek mala u usporedbi s jedinicom.

Nakon što smo dobili vrijednost kritične sile, možemo odmah pronaći vrijednost kritičnog naprezanja dijeljenjem sile s površinom poprečnog presjeka štapa F; budući da je vrijednost kritične sile određena iz razmatranja deformacija šipke, na koju lokalno slabljenje površine poprečnog presjeka ima izrazito slab učinak, tada formula za uključuje moment tromosti, stoga je uobičajeno pri proračunu kritičnih naprezanja, kao i pri sastavljanju uvjeta stabilnosti, u proračun unijeti punu, a ne oslabljenu površinu poprečnog presjeka šipke. Tada će biti jednako

Dakle, ako je područje komprimirane šipke s takvom fleksibilnošću odabrano samo prema stanju čvrstoće, tada bi se šipka srušila zbog gubitka stabilnosti pravocrtnog oblika.

Po prvi put je postavljen problem stabilnosti komprimiranih šipki. Euler je izveo proračunsku formulu za kritičnu silu i pokazao da njezina vrijednost značajno ovisi o načinu fiksiranja štapa. Ideja Eulerove metode je uspostaviti uvjete pod kojima je, osim pravocrtnog, moguć i susjedni (tj. proizvoljno blizak izvornom) krivolinijski ravnotežni oblik štapa pod stalnim opterećenjem.

Pretpostavimo da je ravna šipka spojena na krajevima, stisnuta silom P= Pk, neka horizontalna sila je izvela iz pravocrtne ravnoteže i ostala je savijena nakon uklanjanja horizontalne sile (slika 13.4). Ako su otkloni štapa mali, tada će približna diferencijalna jednadžba njegove osi imati isti oblik kao u slučaju poprečnog savijanja grede:

Kombinirajući ishodište koordinata sa središtem donjeg dijela, usmjeravamo os na prema otklonima štapa, i osi x- duž osi štapa.

U teoriji izvijanja uobičajeno je da se tlačna sila smatra pozitivnom. Stoga, određujući moment savijanja u trenutnom presjeku razmatrane šipke, dobivamo

Ali, kako slijedi iz Sl. 13.4, s odabranim smjerom osi na // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси na na suprotno, tada će se znakovi istovremeno mijenjati na I na// i ostat će znak minus na desnoj strani jednadžbe (13.2).

Stoga jednadžba elastične linije štapa ima oblik

.

Uz pretpostavku α 2 =Rk/EI, dobivamo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu

,

čiji opći integral

Ovdje A I B- konstante integracije, određene iz uvjeta fiksiranja štapa, tzv. rubnih ili rubnih uvjeta.

Horizontalni pomak donjeg kraja šipke, kao što se vidi sa Sl. 13.4, jednako je nuli, tj. kada x=0 otklon na=0. Ovaj uvjet će biti ispunjen ako B=0. Stoga je savijena os štapa sinusoida

.

Horizontalni pomak gornjeg kraja šipke je također nula, dakle

.

Konstantno A, što je najveći otklon štapa, ne može biti jednak nuli, od kada A=0, moguć je samo pravolinijski oblik ravnoteže, a tražimo uvjet pod kojim je moguć i krivolinijski oblik ravnoteže. Stoga mora biti grijehα l=0. Slijedi da krivolinijski ravnotežni oblici štapa mogu postojati ako α l poprima vrijednosti π ,2π ,.nπ . Vrijednost α l ne može biti jednako nuli, jer ovo rješenje odgovara slučaju

Izjednačavanje α l= nπ i zamjena

dobivamo

.

Izraz (13.5) naziva se Eulerova formula. Može se koristiti za izračunavanje kritične sile Rk kada se štap kopča u jednoj od svoje dvije glavne ravnine, jer samo pod tim uvjetom vrijedi jednadžba (13.2), a time i formula (13.5).

Izvijanje šipke događa se u smjeru najmanje krutosti, ako nema posebnih uređaja koji sprječavaju savijanje šipke u tom smjeru. Stoga je u Eulerovoj formuli potrebno zamijeniti jamin- najmanji od glavnih središnjih momenata tromosti poprečnog presjeka šipke.

Vrijednost najvećeg otklona štapa A u danom rješenju ostaje nedefinirano, uzima se proizvoljno, ali se pretpostavlja da je malo.

Vrijednost kritične sile, određena formulom (13.5), ovisi o koeficijentu n. Otkrijmo geometrijsko značenje ovog koeficijenta.

Iznad smo utvrdili da je savijena os štapa sinusoida, čija je jednadžba, nakon zamjene α =π n/l u izraz (13.4) poprima oblik

.

Sinusoidi za n=1, n=2 prikazani su na sl. 13.5. Lako je vidjeti da je vrijednost n predstavlja broj poluvalova sinusoida duž kojih će se štap savijati. Očito će se štap uvijek savijati prema najmanjem broju poluvalova koji dopuštaju njegovi potporni uređaji, budući da prema (13.5) najmanji n odgovara najmanjoj kritičnoj sili. Samo ova prva kritična sila ima stvarno fizičko značenje.

Na primjer, štap sa zglobnim krajevima će se saviti čim se postigne najmanja vrijednost kritične sile, koja odgovara n=1, budući da potporni uređaji ove šipke omogućuju savijanje duž jednog poluvala sinusoida. Odgovarajuće kritične sile n=2, n\u003d 3 i više, može se postići samo ako postoje srednji oslonci (slika 13.6). Za šipku sa zglobnim krajnjim nosačima bez međupričvršćivanja, prva kritična sila ima pravo značenje

.

Formula (13.5), kako slijedi iz njezina izvođenja, vrijedi ne samo za štap sa zglobnim krajevima, već i za svaki štap koji se savija tijekom izvijanja duž cijelog broja poluvalova. Primijenimo ovu formulu, na primjer, pri određivanju kritične sile za šipku, čiji potporni uređaji dopuštaju samo uzdužne pomake njegovih krajeva (stalka s ugrađenim krajevima). Kao što se može vidjeti na slici 13.7, broj poluvalova zakrivljene osi u ovom slučaju n=2 i, posljedično, kritična sila za šipku s danim potpornim uređajima

.

Pretpostavimo da je stalak s jednim stisnutim, a drugim slobodnim krajem (slika 13.8) komprimiran silom R.

Ako snaga P= Pk, tada osim pravolinijskog može postojati i krivolinijski oblik ravnoteže stalka (isprekidana linija na sl. 13.8).

Diferencijalna jednadžba savijene osi stalka u onoj prikazanoj na sl. 13.8 sustav koordinatnih osi ima isti oblik.

Općenito rješenje ove jednadžbe je:

Podređivanje ovog rješenja očitim graničnim uvjetima: y=0 at x=0 i y/ =0 at x= l, dobivamo B=0, Aα cosα l= 0.

Pretpostavili smo da je stup zakrivljen, pa vrijednost A ne može biti jednaka nuli. posljedično, cosα l= 0. Najmanji nenulti korijen ove jednadžbe α l= π /2 definira prvu kritičnu silu

,

što odgovara savijanju štapa po sinusoidi

.

vrijednosti α l=3π /2, α l=5π /2, itd., kao što je gore prikazano, odgovaraju velikim vrijednostima Pk i složeniji oblici zakrivljene osi stalka, koji praktički mogu postojati samo uz prisutnost međunosaca.

Kao drugi primjer, razmotrite stalak s jednim stegnutim i drugim zglobnim krajem (slika 13.9). Zbog zakrivljenosti osi štapa pri P= Pk sa strane zglobnog oslonca nastaje horizontalna reaktivna sila R. Stoga je moment savijanja u trenutnom dijelu šipke

.α :

Najmanji korijen ove jednadžbe određuje prvu kritičnu silu. Ova se jednadžba rješava metodom selekcije. Lako je vjerovati da je najmanji nenulti korijen ove jednadžbe α l= 4.493=1.43 π .

Uzimanje α l= 1.43 π , dobivamo sljedeći izraz za kritičnu silu:

Ovdje μ =1/n- recipročna vrijednost broja poluvalova n sinusoida duž koje će se štap saviti. Konstantno μ naziva se faktor redukcije duljine, a proizvod μ l- smanjena duljina štapa. Smanjena duljina je poluvalna duljina sinusoida duž koje je ovaj štap savijen.

Slučaj zglobnog pričvršćivanja krajeva šipke naziva se glavnim slučajem. Iz navedenog slijedi da se kritična sila za bilo koji slučaj pričvršćivanja šipke može izračunati formulom za glavni slučaj kada se stvarna duljina šipke u njoj zamijeni njegovom smanjenom duljinom μ l.

Redukcioni koeficijenti μ za neke police dane su na sl. 17.10.

Koncept stabilnosti i kritičke moći. Projektiranje i verifikacijski proračuni.

U strukturama i konstrukcijama od velike su koristi dijelovi koji su relativno dugi i tanki štapovi, kod kojih su jedna ili dvije dimenzije poprečnog presjeka male u odnosu na duljinu šipke. Pokazalo se da je ponašanje takvih šipki pod djelovanjem aksijalnog tlačnog opterećenja bitno drugačije nego kada su kratke šipke komprimirane: kada tlačna sila F dosegne određenu kritičnu vrijednost jednaku Fcr, pravolinijski oblik ravnoteže dugačke šipke ispada da je nestabilan, a kada je Fcr prekoračen, štap se počinje intenzivno savijati (ispupčiti). U tom slučaju, novo (trenutno) stanje ravnoteže elastičnog longa postaje neki novi već krivocrtni oblik. Taj se fenomen naziva gubitkom stabilnosti.

Riža. 37. Gubitak stabilnosti

Stabilnost - sposobnost tijela da održi položaj ili oblik ravnoteže pod vanjskim utjecajima.

Kritična sila (Fcr) - opterećenje, čiji višak uzrokuje gubitak stabilnosti izvornog oblika (položaja) tijela. Stanje stabilnosti:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Stabilnost komprimirane šipke. Eulerov problem.

Prilikom određivanja kritične sile koja uzrokuje izvijanje komprimirane šipke, pretpostavlja se da je štap savršeno ravna i da se sila F primjenjuje strogo centralno. Problem kritičnog opterećenja komprimirane šipke, uzimajući u obzir mogućnost postojanja dvaju oblika ravnoteže pri istoj vrijednosti sile, riješio je L. Euler 1744. godine.

Riža. 38. Komprimirana šipka

Razmislite o šipki koja je zakretno oslonjena na krajevima, komprimirana uzdužnom silom F. Pretpostavimo da je iz nekog razloga šipka dobila malu zakrivljenost osi, zbog čega se u njoj pojavio moment savijanja M:

gdje je y otklon štapa u proizvoljnom presjeku s koordinatom x.

Da biste odredili kritičnu silu, možete koristiti približnu diferencijalnu jednadžbu elastične linije:

(26)

Nakon provedenih transformacija, može se vidjeti da će kritična sila poprimiti minimalnu vrijednost pri n = 1 (jedan poluval sinusoida stane duž duljine štapa) i J = Jmin (štap je savijen oko os s najmanjim momentom inercije)

(27)

Ovaj izraz je Eulerova formula.

Ovisnost kritične sile o uvjetima učvršćenja šipke.

Dobivena je Eulerova formula za tzv. osnovni slučaj – uz pretpostavku zglobnog oslonca štapa na krajevima. U praksi postoje i drugi slučajevi pričvršćivanja šipke. U tom slučaju se može dobiti formula za određivanje kritične sile za svaki od ovih slučajeva rješavanjem, kao u prethodnom stavku, diferencijalne jednadžbe savijene osi grede s odgovarajućim rubnim uvjetima. Ali možete koristiti jednostavniju tehniku, ako se sjećate da bi, u slučaju gubitka stabilnosti, jedan poluval sinusoida trebao stati duž duljine štapa.

Razmotrimo neke karakteristične slučajeve pričvršćivanja šipke na krajevima i dobijemo opću formulu za različite vrste pričvršćivanja.

Riža. 39. Razni slučajevi pričvršćivanja šipke

Eulerova opća formula:

(28)

gdje je μ·l = l pr - smanjena duljina štapa; l je stvarna duljina štapa; μ je koeficijent smanjene duljine, koji pokazuje koliko je puta potrebno promijeniti duljinu šipke da kritična sila za ovu šipku postane jednaka kritičnoj sili za zglobnu gredu. (Drugo tumačenje koeficijenta smanjene duljine: μ pokazuje na koji dio duljine šipke za danu vrstu pričvršćivanja stane jedan poluval sinusoida u slučaju izvijanja.)

Dakle, konačni uvjet stabilnosti poprima oblik

(29)

Razmotrimo dvije vrste proračuna za stabilnost komprimiranih šipki - provjeru i dizajn.

Provjerite izračun

Postupak provjere stabilnosti izgleda ovako:

Na temelju poznatih dimenzija i oblika poprečnog presjeka i uvjeta za pričvršćivanje šipke izračunavamo savitljivost;

Prema referentnoj tablici nalazimo faktor redukcije za dopušteno naprezanje, zatim određujemo dopušteno naprezanje za stabilnost;

Usporedite maksimalno naprezanje s dopuštenim naprezanjem stabilnosti.

Proračun dizajna

U proračunskom proračunu (za odabir presjeka za dano opterećenje) u formuli proračuna postoje dvije nepoznate veličine - željena površina poprečnog presjeka A i nepoznati koeficijent φ (budući da φ ovisi o fleksibilnosti šipke, pa stoga na nepoznatom području A). Stoga je pri odabiru dijela obično potrebno koristiti metodu uzastopnih aproksimacija:

Obično se u prvom pokušaju uzima φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 i površina poprečnog presjeka se određuje u prvoj aproksimaciji

Prema pronađenoj površini A1 odabire se presjek i izračunava fleksibilnost štapa u prvoj aproksimaciji λ1. Znajući λ, pronaći novu vrijednost φ′1;

Izbor materijala i racionalan oblik presjeka.

Odabir materijala. Budući da je samo Youngov modul uključen u Eulerovu formulu svih mehaničkih karakteristika, nije preporučljivo koristiti materijale visoke čvrstoće za povećanje stabilnosti visoko fleksibilnih šipki, budući da je Youngov modul približno isti za sve vrste čelika.

Za šipke niske fleksibilnosti opravdana je upotreba čelika visoke kvalitete, jer s povećanjem čvrstoće tečenja takvih čelika povećavaju se kritična naprezanja, a time i granica stabilnosti.

Irkutsk State Transport University

Laboratorij br. 16

po disciplini "Čvrstoća materijala"

EKSPERIMENTALNO ODREĐIVANJE KRITIČNIH SILA

ZA UZDUŽNO SAVIJANJE

Odjel PM

Laboratorij br. 16

Eksperimentalno određivanje kritičnih sila pri izvijanju

Cilj: proučavanje fenomena izvijanja komprimirane čelične šipke u elastici

etape. Eksperimentalno određivanje vrijednosti kritičnih opterećenja kompresije

šipke s raznim metodama pričvršćivanja i uspoređujući ih s teorijskim

vrijednosti.

Opće odredbe

Komprimirane šipke nisu dovoljne za ispitivanje čvrstoće prema dobro poznatom stanju:

,

gdje je [σ] dopušteni napon za materijal šipke, P - tlačna sila F - poprečni presjek područja.

U praksi se inženjeri bave fleksibilnim šipkama podvrgnutim kompresiji, tankim komprimiranim pločama, konstrukcijama tankih stijenki, čiji kvar nije uzrokovan gubitkom nosivosti, već gubitkom stabilnosti.

Gubitak stabilnosti shvaća se kao gubitak izvornog oblika ravnoteže.

Otpornost materijala uzima u obzir stabilnost strukturnih elemenata koji rade na kompresiju.

Zamislimo dugu tanku šipku (slika 1) opterećenu aksijalnom tlačnom silom P .

P< P kr P > P kr

Riža. jedan.Šipka opterećena aksijalnom tlačnom silom P .

Za male vrijednosti sile Fštap je komprimiran dok ostaje ravna. Štoviše, ako se šipka odmakne od ovog položaja malim poprečnim opterećenjem, tada će se saviti, ali kada se ukloni, šipka se vraća u pravocrtno stanje. To znači da za danu silu P pravolinijski oblik ravnoteže štapa je stabilan.

Ako nastavimo povećavati tlačnu silu P , tada pri nekoj svojoj vrijednosti, pravolinijski oblik ravnoteže postaje nestabilan i nastaje novi oblik ravnoteže štapa - krivolinijski (slika 1, b) . Zbog savijanja šipke na njezinim će se dijelovima pojaviti moment savijanja, što će uzrokovati dodatna naprezanja, a šipka se može naglo srušiti.

Zakrivljenost dugog štapa komprimiranog uzdužnom silom naziva se izvijanje .

Najveća vrijednost tlačne sile pri kojoj je stabilan pravocrtni oblik ravnoteže štapa naziva se kritično - P kr.

Kada se postigne kritično opterećenje, dolazi do oštre kvalitativne promjene u izvornom obliku ravnoteže, što dovodi do kvara strukture. Stoga se kritična sila smatra prekidnim opterećenjem.

Formule Euler i Yasinsky

Problem određivanja kritične sile komprimiranog štapa prvi je riješio član Petrogradske akademije znanosti L. Euler 1744. Eulerova formula ima oblik

(1)

gdje E – modul elastičnosti materijala šipke; J min- najmanji moment tromosti poprečnog presjeka štapa (budući da se savijanje štapa tijekom izvijanja događa u ravnini najmanje krutosti, tj. poprečni presjeci štapa rotiraju oko osi, u odnosu na koju je moment inercije je minimalan, tj. bilo oko osi x , ili oko osi y );

(μ· l ) je smanjena duljina štapa, to je umnožak duljine štapa l koeficijentom μ, koji ovisi o metodama učvršćivanja krajeva šipke.

Koeficijent μ pozvao faktor smanjenja duljine ; njegova vrijednost za najčešće slučajeve pričvršćivanja krajeva šipke prikazana je na sl. 2:

ali- oba kraja šipke su zglobna i mogu se približiti jedan drugome;

b- jedan kraj je čvrsto stegnut, drugi je slobodan;

u- jedan kraj je šarkiran, drugi ima "poprečno plutajuću brtvu";

G - jedan kraj je čvrsto stegnut, drugi ima "poprečno plutajuću brtvu";

d- jedan kraj je čvrsto fiksiran, na drugom je zglobno pomični nosač;

e- oba kraja su čvrsto stegnuta, ali se mogu približiti jedan drugome.

Iz ovih primjera se vidi da je koeficijent μ je recipročna vrijednost broja poluvalova elastične linije štapa tijekom izvijanja.

Riža. 2. Koeficijent μ za najčešće

javljaju se slučajevi fiksiranja krajeva šipke.

Normalno naprezanje u presjeku komprimirane šipke, koje odgovara kritičnoj vrijednosti tlačne sile, također se naziva kritično.

Definiramo ga na temelju Eulerove formule:

(2)

Geometrijska karakteristika presjeka i min, određena formulom

pozvao polumjer rotacije presjeka (u odnosu na c-os J min). Za pravokutni presjek

Uzimajući u obzir (3), formula (2) će imati oblik:

(4)

Omjer reducirane duljine štapa i minimalnog polumjera rotacije njegovog presjeka, na prijedlog profesora Sanktpeterburškog instituta željezničkih inženjera F.S. Yasinsky (1856-1899) zove se fleksibilnost štapa a označava se slovom λ :

Ova bezdimenzionalna veličina istovremeno odražava sljedeće parametre: duljinu šipke, način na koji je pričvršćena i karakteristiku poprečnog presjeka.

Konačno, zamjenom (5) u formulu (4), dobivamo

Prilikom izvođenja Eulerove formule, pretpostavljalo se da je materijal štapa elastičan i da slijedi Hookeov zakon. Stoga se Eulerova formula može primijeniti samo pri naponima manjim od granice proporcionalnosti σ hc, tj. kada

Ovaj uvjet određuje granicu primjenjivosti Eulerove formule:

Količina na desnoj strani ove nejednakosti naziva se krajnja fleksibilnost :

njegova vrijednost ovisi o fizikalnim i mehaničkim svojstvima materijala štapa.

Za blagi čelik St. 3, za koje je σ hc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa:

Slično, možete izračunati vrijednost krajnje fleksibilnosti za druge materijale: za lijevano željezo λ prije= 80, za bor λ prije = 110.

Dakle, Eulerova formula je primjenjiva za šipke čija je fleksibilnost veća ili jednaka krajnjoj fleksibilnosti, t.j.

λ ≥ λ prije

To treba shvatiti na sljedeći način: ako je fleksibilnost štapa veća od krajnje fleksibilnosti, tada se kritična sila mora odrediti Eulerovom formulom.

Na λ < λ prije Eulerova formula za šipke nije primjenjiva. U tim slučajevima, kada je fleksibilnost šipki manja od granične, empirijska Formula Yasinskog :

σ kr = a – b λ , (7)

gdje ali I b - eksperimentalno utvrđeni koeficijenti koji su konstantni za dati materijal; imaju dimenziju stresa.

Za neku vrijednost fleksibilnosti λ oko naprezanje σ kr, izračunato formulom (7), postaje jednako krajnjem tlačnom naprezanju, tj. granici tečenja σ T za duktilne materijale ili tlačnu čvrstoću σ Sunce- za krhke materijale. Šipke niske fleksibilnosti ( λ < λ oko) ne računajte na stabilnost, već na čvrstoću pod jednostavnim kompresijom.

Dakle, ovisno o fleksibilnosti, proračun komprimiranih šipki za stabilnost se provodi drugačije.