Proračun okrugle šipke za savijanje s torzijom. Prostorni (složeni) zavoj

U slučaju proračuna okrugle šipke pod djelovanjem savijanja i torzije (slika 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se maksimalne vrijednosti naprezanja u oba slučaja javljaju na površini. Proračun treba provesti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno stanje naprezanja jednako opasnim jednostavnim.

Maksimalno torzijsko naprezanje u presjeku

Maksimalno naprezanje savijanja u presjeku

Prema jednoj od teorija čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentno naprezanje opasnog presjeka i ispituje se čvrstoća grede korištenjem dopuštenog naprezanja savijanja za materijal grede.

Za okruglu gredu momenti modula presjeka su sljedeći:

Pri proračunu prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli

Teorija je primjenjiva na plastične materijale.

Prilikom proračuna prema teoriji energije formiranja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli

Teorija je primjenjiva na duktilne i krhke materijale.

teorija maksimalnih posmičnih naprezanja:

Ekvivalentni napon kada se izračuna prema teorije energije promjene oblika:

gdje je ekvivalentni trenutak.

Stanje snage

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Za dano stanje naprezanja (slika 34.4), koristeći hipotezu maksimalnih posmičnih naprezanja, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Što karakterizira i kako je prikazano naponsko stanje u točki?

2. Koja se mjesta i koji naponi nazivaju glavnima?

3. Navedite vrste stresnih stanja.

4. Što karakterizira deformirano stanje u točki?

5. U kojim slučajevima dolazi do graničnih stanja naprezanja u duktilnim i krhkim materijalima?

6. Koliki je ekvivalentni napon?

7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.

8. Napišite formule za izračunavanje ekvivalentnih naprezanja u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.

PREDAVANJE 35

Tema 2.7. Proračun šipke kružnog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija

Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama o najvećim tangencijalnim naprezanjima i energiji deformacije.

Kako bi mogao izračunati čvrstoću grede kružnog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija.

Formule za izračun ekvivalentnih naprezanja

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi energije deformacije

Stanje čvrstoće pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije

gdje M EQ je ekvivalentni trenutak.

Ekvivalentni moment prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja

Ekvivalentni moment prema hipotezi energije promjene oblika

Značajka proračuna osovina

Većina osovina doživljava kombinaciju savijanja i torzijskih deformacija. Osovine su obično ravne šipke okruglog ili prstenastog presjeka. Pri proračunu osovina ne uzimaju se u obzir posmična naprezanja od djelovanja poprečnih sila zbog njihove neznatnosti.

Proračuni se provode za opasne presjeke. Pri prostornom opterećenju osovine koristi se hipoteza neovisnosti djelovanja sila i razmatraju se momenti savijanja u dvije međusobno okomite ravnine, a ukupni moment savijanja određuje se geometrijskim zbrajanjem.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 U opasnom presjeku okrugle grede nastaju faktori unutarnjih sila (slika 35.1) M x; M y; M z .

M x I M g- momenti savijanja u ravninama uoh I zOx odnosno; Mz- zakretni moment. Provjerite čvrstoću prema hipotezi najvećeg posmičnog naprezanja, ako je [ σ ] = 120 MPa. Početni podaci: M x= 0,9 kN m; M y = 0,8 kN m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Riješenje

Dijagrame normalnih naprezanja gradimo od djelovanja momenata savijanja u odnosu na osi Oh I OU te dijagram posmičnih naprezanja od torzije (slika 35.2).

Maksimalno posmično naprezanje javlja se na površini. Maksimalna normalna naprezanja od trenutka M x nastaju u točki ALI, maksimalna normalna naprezanja od trenutka M g u točki U. Normalna naprezanja se zbrajaju jer se momenti savijanja u međusobno okomitim ravninama geometrijski zbrajaju.

Ukupni moment savijanja:

Ekvivalentni moment izračunavamo prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja:

Stanje snage:

Modul presjeka: W oce in oe = 0,1 60 3 = 21600 mm 3.

Provjera snage:

Trajnost je zajamčena.

Primjer 2 Izračunajte potrebni promjer osovine iz stanja čvrstoće. Na osovinu su postavljena dva kotača. Na kotače djeluju dvije obodne sile F t 1 = 1,2 kN; F t 2= 2kN i dvije radijalne sile u okomitoj ravnini F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (slika 35.3). Promjeri kotača su jednaki d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Prihvati za materijal osovine [ σ ] = 50 MPa.

Proračun se provodi prema hipotezi maksimalnih posmičnih naprezanja. Zanemarite težinu osovine i kotača.

Riješenje

Uputa. Koristimo princip neovisnosti djelovanja sila, izrađujemo sheme dizajna osovine u okomitoj i horizontalnoj ravnini. Zasebno određujemo reakcije u nosačima u horizontalnoj i okomitoj ravnini. Gradimo dijagrame momenata savijanja (slika 35.4). Pod djelovanjem obodnih sila osovina se uvija. Odrediti moment koji djeluje na osovinu.

Napravimo proračunsku shemu osovine (slika 35.4).

1. Zakretni moment osovine:

2. Razmatramo zavoj u dvije ravnine: horizontalna (pl. H) i okomita (pl. V).

U horizontalnoj ravnini određujemo reakcije u nosaču:

IZ I U:

U okomitoj ravnini određujemo reakcije u nosaču:

Odredite momente savijanja u točkama C i B:

Ukupni momenti savijanja u točkama C i B:

U točki U maksimalni moment savijanja, ovdje djeluje i zakretni moment.

Proračun promjera osovine provodi se prema najopterećenijem presjeku.

3. Ekvivalentni trenutak u točki U prema trećoj teoriji snage

4. Iz uvjeta čvrstoće odredite promjer osovine kružnog presjeka

Dobivenu vrijednost zaokružujemo: d= 36 mm.

Bilješka. Prilikom odabira promjera osovine koristite standardni raspon promjera (Dodatak 2).

5. Određujemo potrebne dimenzije osovine s prstenastim presjekom na c \u003d 0,8, gdje je d vanjski promjer osovine.

Promjer prstenaste osovine može se odrediti formulom

Prihvatiti d= 42 mm.

Opterećenje je neznatno. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Zaokružite na vrijednost dBH= 33 mm.

6. Usporedimo troškove metala po površini poprečnog presjeka osovine u oba slučaja.

Površina poprečnog presjeka pune osovine

Površina poprečnog presjeka šuplje osovine

Površina poprečnog presjeka čvrste osovine gotovo je dvostruko veća od prstenastog vratila:

Primjer 3. Odredite dimenzije poprečnog presjeka osovine (sl. 2.70, ali) upravljački pogon. Sila povlačenja pedale P3, sile koje prenosi mehanizam P 1, R 2, R 4. Materijal osovine - StZ čelik s granom tečenja σ t = 240 N/mm 2 , potrebnim sigurnosnim faktorom [ n] = 2,5. Proračun se vrši prema hipotezi o energiji promjene oblika.

Riješenje

Razmotrite ravnotežu osovine, nakon dovođenja sila R 1, R 2, R 3, R 4 na točke na svojoj osi.

Prijenos snaga R 1 paralelno sa sobom u točke DO I E, potrebno je zbrojiti parove sila s momentima jednakim momentima sila R 1 u odnosu na bodove DO I E, tj.

Ovi parovi sila (momenti) su konvencionalno prikazani na Sl. 2.70 , b u obliku lučnih linija sa strelicama. Slično, pri prijenosu snaga R 2, R 3, R 4 do bodova K, E, L, N trebate dodati parove sila s trenucima

Ležajevi osovine prikazani na sl. 2.70, a, treba smatrati prostornim zglobnim osloncima koji sprječavaju kretanje u smjeru osi x I na(odabrani koordinatni sustav prikazan je na slici 2.70, b).

Koristeći shemu proračuna prikazanu na Sl. 2.70 u, sastavljamo jednadžbe ravnoteže:

dakle reakcije podrške NA I H B točno definiran.

Zakretni momenti Mz i momenti savijanja M g prikazani su na sl. 2.70 G. Dio s lijeve strane točke L je opasan.

Uvjet snage ima oblik:

gdje je ekvivalentni moment prema hipotezi energije promjene oblika

Potreban vanjski promjer osovine

Prihvaćamo d \u003d 45 mm, zatim d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Primjer 4 Provjerite čvrstoću međuosovine (sl. 2.71) čelnog zupčanika, ako osovina prenosi snagu N= 12,2 kW pri brzini P= 355 o/min. Osovina je izrađena od čelika St5 s granom tečenja σ t \u003d 280 N / mm 2. Potreban sigurnosni faktor [ n] = 4. Prilikom proračuna primijeniti hipotezu o najvećim posmičnim naprezanjima.

Uputa. Okružni napori R 1 I R 2 leže u vodoravnoj ravnini i usmjereni su duž tangenta na kružnice zupčanika. Radijalne sile T1 I T 2 leže u okomitoj ravnini i izražavaju se u obliku odgovarajuće obodne sile kako slijedi: T = 0,364R.

Riješenje

Na sl. 2,71, ali prikazan je shematski crtež osovine; na sl. 2.71, b prikazuje dijagram osovine i sile koje nastaju u zupčaniku.

Odredite trenutak koji prenosi osovina:

Očito, m = m 1 = m 2(momenti uvijanja primijenjeni na osovinu, s ravnomjernom rotacijom, jednaki su po veličini i suprotni u smjeru).

Odredite sile koje djeluju na zupčanike.

Okružni napori:

Radijalne sile:

Razmotrite ravnotežu osovine AB, pred-dovođenje snaga R 1 I R 2 na točke koje leže na osi osovine.

Prijenos snage R 1 paralelno sa sobom do točke L, potrebno je dodati par sila s momentom jednakim momentu sile R 1 u odnosu na točku L, tj.

Ovaj par sila (moment) je konvencionalno prikazan na Sl. 2,71, u u obliku lučne linije sa strelicom. Slično, pri prijenosu sile R 2 točno DO potrebno je momentom priložiti (dodati) par sila

Ležajevi osovine prikazani na sl. 2,71, ali, treba smatrati prostornim zglobnim osloncima koji sprječavaju linearne pomake u smjerovima osi x I na(odabrani koordinatni sustav prikazan je na slici 2.71, b).

Koristeći shemu proračuna prikazanu na Sl. 2,71, G, sastavljamo jednadžbe ravnoteže za osovinu u okomitoj ravnini:

Napravimo probnu jednadžbu:

stoga su reakcije potpore u okomitoj ravnini točno određene.

Razmotrite ravnotežu osovine u vodoravnoj ravnini:

Napravimo probnu jednadžbu:

stoga su reakcije potpore u horizontalnoj ravnini točno određene.

Zakretni momenti Mz i momenti savijanja M x I M g prikazani su na sl. 2,71, d.

Opasna je dionica DO(vidi sliku 2.71, G,d). Ekvivalentni moment prema hipotezi najvećih posmičnih naprezanja

Ekvivalentno naprezanje prema hipotezi najvećeg posmičnog naprezanja za opasnu točku osovine

faktor sigurnosti

što je puno više [ n] = 4, dakle, čvrstoća osovine je osigurana.

Pri proračunu osovine za čvrstoću nije se uzimala u obzir promjena naprezanja tijekom vremena, zbog čega je dobiven tako značajan faktor sigurnosti.

Primjer 5 Odredite dimenzije poprečnog presjeka grede (slika 2.72, ali). Materijal grede je čelik 30XGS s uvjetnim granicama popuštanja pri napetosti i pritisku σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Sigurnosni faktor [ n] = 1,6.

Riješenje

Šipka djeluje na kombinirano djelovanje napetosti (kompresije) i torzije. Pod takvim opterećenjem u poprečnim presjecima nastaju dva unutarnja faktora sile: uzdužna sila i zakretni moment.

Dijagrami uzdužnih sila N i zakretni moment Mz prikazano na sl. 2,72, b, c. U tom slučaju odredite položaj opasnog dijela prema dijagramima N I Mz nemoguće, budući da su dimenzije poprečnih presjeka presjeka grede različite. Za određivanje položaja opasnog presjeka potrebno je ucrtati grafikone normalnih i maksimalnih posmičnih naprezanja duž duljine grede.

Prema formuli

izračunavamo normalna naprezanja u poprečnim presjecima grede i gradimo dijagram o (sl. 2.72, G).

Prema formuli

izračunavamo maksimalna posmična naprezanja u poprečnim presjecima grede i crtamo dijagram t maks(riža* 2,72, e).

Vjerojatno su opasne konturne točke presjeka presjeka AB I CD(vidi sliku 2.72, ali).

Na sl. 2,72, e prikazane su parcele σ I τ za presjeke AB.

Podsjetimo da su u ovom slučaju (greda okruglog presjeka radi na kombinirano djelovanje napetosti - kompresije i torzije) sve točke konture presjeka jednako opasne.

Na sl. 2,72, dobro

Na sl. 2,72, h za poprečne presjeke presjeka prikazani su crteži a i t CD.

Na sl. 2,72, I prikazana su naprezanja na početnim jastučićima na opasnoj točki.

Glavni naponi na opasnoj točki mjesta CD:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za opasnu točku presjeka koji se razmatra je

Konturne točke poprečnih presjeka presjeka AB pokazale su se opasnima.

Uvjet snage ima oblik:

Primjer 2.76. Odredite dopuštenu vrijednost sile R iz stanja čvrstoće štapa Sunce(Sl. 2.73) Materijal štapa je lijevano željezo vlačne čvrstoće σ vr = 150 N / mm 2 i tlačne čvrstoće σ sun = 450 N / mm 2. Potreban sigurnosni faktor [ n] = 5.

Uputa. Slomljeno drvo ABC nalazi u vodoravnoj ravnini, a štap AB okomito na Sunce. Snage R, 2R, 8R leže u okomitoj ravnini; snagu 0,5 R, 1,6 R- horizontalno i okomito na štap Sunce; snagu 10R, 16R podudaraju s osi štapa Sunce; par sila s momentom m = 25Pd nalazi se u okomitoj ravnini okomitoj na os štapa Sunce.

Riješenje

Donesimo snagu R i 0,5P na težište presjeka B.

Prenoseći silu P paralelno sa sobom na točku B, moramo dodati par sila s momentom jednakim momentu sile R u odnosu na točku U, tj. par s momentom m 1 = 10 Pd.

Snaga 0,5 R kreće duž svoje linije djelovanja do točke B.

Opterećenja koja djeluju na šipku Sunce, prikazano na sl. 2.74 ali.

Gradimo dijagrame unutarnjih faktora sile za štap Sunce. Pod navedenim opterećenjem štapa u njegovim poprečnim presjecima nastaje ih šest: uzdužna sila N, poprečne sile Qx I qy, zakretni moment mz momenti savijanja Mx I Mu.

Parcele N, Mz, Mx, Mu prikazani su na sl. 2.74 b(ordinate dijagrama su izražene u terminima R I d).

Parcele Qy I Qx ne gradimo, budući da su posmična naprezanja koja odgovaraju poprečnim silama mala.

U primjeru koji se razmatra položaj opasnog dijela nije očit. Vjerojatno su opasne dionice K (kraj sekcije ja) i S.

Glavna naprezanja u točki L:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za točku L

Odredimo veličinu i ravninu djelovanja momenta savijanja Mi u presjeku C, posebno prikazanom na sl. 2.74 d. Ista slika prikazuje dijagrame σ I, σ N , τ za odjeljak C.

Naprezanja na početnim mjestima u točki H(Sl. 2.74, e)

Glavni naglasci u točki H:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za točku H

Naprezanja na početnim mjestima u točki E (slika 2.74, g):

Glavna naprezanja u točki E:

Prema Mohrovoj hipotezi čvrstoće, ekvivalentno naprezanje za točku E

Opasna točka L za koji

Uvjet snage ima oblik:

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Koje se stanje naprezanja javlja u presjeku osovine pod kombiniranim djelovanjem savijanja i torzije?

2. Napišite uvjet čvrstoće za izračun osovine.

3. Napišite formule za izračun ekvivalentnog momenta pri izračunu hipoteze najvećeg posmičnog naprezanja i hipoteze energije deformacije.

4. Kako se odabire opasna dionica pri proračunu okna?

U slučaju proračuna okrugle šipke pod djelovanjem savijanja i torzije (slika 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se maksimalne vrijednosti naprezanja u oba slučaja javljaju na površini. Proračun treba provesti prema teoriji čvrstoće, zamjenjujući složeno stanje naprezanja jednako opasnim jednostavnim.

Maksimalno torzijsko naprezanje u presjeku

Maksimalno naprezanje savijanja u presjeku

Prema jednoj od teorija čvrstoće, ovisno o materijalu grede, izračunava se ekvivalentno naprezanje opasnog presjeka i ispituje se čvrstoća grede korištenjem dopuštenog naprezanja savijanja za materijal grede.

Za okruglu gredu momenti modula presjeka su sljedeći:

Pri proračunu prema trećoj teoriji čvrstoće, teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli

Teorija je primjenjiva na plastične materijale.

Prilikom proračuna prema teoriji energije formiranja, ekvivalentno naprezanje izračunava se po formuli

Teorija je primjenjiva na duktilne i krhke materijale.

teorija maksimalnih posmičnih naprezanja:

Ekvivalentni napon kada se izračuna prema teorije energije promjene oblika:

gdje je ekvivalentni trenutak.

Stanje snage

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Za dano stanje naprezanja (slika 34.4), koristeći hipotezu maksimalnih posmičnih naprezanja, izračunajte faktor sigurnosti ako je σ T \u003d 360 N / mm 2.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Što karakterizira i kako je prikazano naponsko stanje u točki?

2. Koja se mjesta i koji naponi nazivaju glavnima?

3. Navedite vrste stresnih stanja.

4. Što karakterizira deformirano stanje u točki?

5. U kojim slučajevima dolazi do graničnih stanja naprezanja u duktilnim i krhkim materijalima?

6. Koliki je ekvivalentni napon?

7. Objasnite svrhu teorija čvrstoće.

8. Napišite formule za izračunavanje ekvivalentnih naprezanja u proračunima prema teoriji maksimalnih posmičnih naprezanja i teoriji energije deformacije. Objasnite kako ih koristiti.

PREDAVANJE 35

Tema 2.7. Proračun šipke kružnog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija

Poznavati formule za ekvivalentna naprezanja prema hipotezama o najvećim tangencijalnim naprezanjima i energiji deformacije.

Kako bi mogao izračunati čvrstoću grede kružnog presjeka s kombinacijom osnovnih deformacija.

Kratke informacije iz teorije

Greda je u uvjetima složenog otpora, ako više unutarnjih faktora sila nije jednako nuli u isto vrijeme u poprečnim presjecima.

Sljedeći slučajevi složenog opterećenja su od najvećeg praktičnog interesa:

1. Kosi zavoj.

2. Savijanje s napetosti ili kompresijom kada je u poprečnom
presjeku, nastaju uzdužna sila i momenti savijanja,
na primjer, s ekscentričnim kompresijom grede.

3. Savijanje s torzijom, karakterizirano prisutnošću u papi
riječne dionice savijanja (ili dva savijanja) i uvijanja
trenucima.

Kosi zavoj.

Koso savijanje je takav slučaj savijanja grede, u kojem se ravnina djelovanja ukupnog momenta savijanja u presjeku ne podudara ni s jednom od glavnih osi inercije. Kosi zavoj se najprikladnije smatra istovremenim savijanjem grede u dvije glavne ravnine zoy i zox, pri čemu je os z os grede, a osi x i y glavne su središnje osi poprečnog presjeka.

Razmotrimo konzolnu gredu pravokutnog presjeka, opterećenu silom P (slika 1).

Proširujući silu P duž glavne središnje osi poprečnog presjeka, dobivamo:

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

U trenutnom presjeku grede javljaju se momenti savijanja

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Predznak momenta savijanja M x određuje se na isti način kao i kod izravnog savijanja. Trenutak M y smatrat će se pozitivnim ako u točkama s pozitivnom vrijednošću x koordinate ovaj moment uzrokuje vlačna naprezanja. Usput, znak momenta M y lako je ustanoviti analogijom s definicijom predznaka momenta savijanja M x, ako mentalno zakrenete presjek tako da se os x poklapa s izvornim smjerom osi y .

Naprezanje u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede može se odrediti pomoću formula za određivanje naprezanja za slučaj ravnog zavoja. Na temelju načela neovisnosti djelovanja sila, sumiramo naprezanja uzrokovana svakim od momenata savijanja

(1)

Vrijednosti momenata savijanja (s njihovim predznacima) i koordinate točke u kojoj se izračunava napon zamjenjuju se u ovaj izraz.

Za određivanje opasnih točaka presjeka potrebno je odrediti položaj nulte ili neutralne linije (lokusa točaka presjeka, u kojem su naprezanja σ = 0). Maksimalna naprezanja se javljaju u točkama koje su najudaljenije od nulte linije.

Jednadžba nulte linije dobiva se iz jednadžbe (1) na =0:

odakle slijedi da nulta linija prolazi kroz težište presjeka.

Posmična naprezanja koja nastaju u presjecima grede (pri Q x ≠ 0 i Q y ≠ 0), u pravilu se mogu zanemariti. Ako ih je potrebno odrediti, tada se komponente ukupnog posmičnog naprezanja τ x i τ y prvo izračunavaju prema formuli D. Ya. Zhuravsky, a zatim se potonje geometrijski sumiraju:

Za procjenu čvrstoće grede potrebno je odrediti maksimalna normalna naprezanja u opasnom presjeku. Budući da je stanje naprezanja jednoosno u najopterećenijim točkama, uvjet čvrstoće u proračunu metodom dopuštenih naprezanja ima oblik

Za plastične materijale

Za krhke materijale

n je faktor sigurnosti.

Ako se proračun provodi prema metodi graničnih stanja, tada uvjet čvrstoće ima oblik:

gdje je R projektirani otpor,

m je koeficijent radnih uvjeta.

U slučajevima kada materijal grede različito odolijeva napetosti i pritisku, potrebno je odrediti i maksimalno vlačno i maksimalno tlačno naprezanje, te iz omjera donijeti zaključak o čvrstoći grede:

gdje su R p i R c projektirani otpori materijala na napetost, odnosno na pritisak.

Za određivanje otklona snopa prikladno je najprije pronaći pomake presjeka u glavnim ravninama u smjeru osi x i y.

Proračun ovih pomaka ƒ x i ƒ y može se provesti sastavljanjem univerzalne jednadžbe za savijenu os grede ili energetskim metodama.

Ukupni otklon se može naći kao geometrijski zbroj:

stanje krutosti grede ima oblik:

gdje je - dopušteni otklon grede.

Ekscentrična kompresija

U ovom slučaju, sila P koja komprimira gredu usmjerena je paralelno s osi grede i primjenjuje se u točki koja se ne podudara s težištem presjeka. Neka su X p i Y p koordinate točke primjene sile P, mjerene u odnosu na glavne središnje osi (slika 2).

Djelujuće opterećenje uzrokuje pojavu sljedećih unutarnjih faktora sile u poprečnim presjecima: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Znakovi momenata savijanja su negativni, jer potonji uzrokuju kompresiju u točkama koje pripadaju prvoj četvrtini. Naprezanje u proizvoljnoj točki presjeka određeno je izrazom

(9)

Zamjenom vrijednosti N, Mx i My dobivamo

(10)

Budući da je Yx= F, Yy= F (gdje su i x i i y glavni polumjeri inercije), posljednji izraz se može svesti na oblik

(11)

Jednadžba nulte linije dobiva se postavljanjem =0

1+ (12)

Odsječeni nultom linijom na koordinatnoj osi segmenta i , izražavaju se na sljedeći način:

Pomoću ovisnosti (13) lako se može pronaći položaj nulte linije u presjeku (slika 3), nakon čega se određuju točke najudaljenije od ove linije, koje su opasne jer u njima nastaju maksimalna naprezanja.

Stanje naprezanja u točkama presjeka je jednoosno, stoga je stanje čvrstoće grede slično prethodno razmatranom slučaju kosog savijanja grede - formule (5), (6).

Ekscentričnom kompresijom šipki, čiji se materijal slabo odupire istezanju, poželjno je spriječiti pojavu vlačnih naprezanja u presjeku. U presjeku će nastati naprezanja istog predznaka ako nul linija prolazi izvan presjeka ili ga, u ekstremnim slučajevima, dodiruje.

Ovaj uvjet je zadovoljen kada se tlačna sila primjenjuje unutar područja koje se naziva jezgrom presjeka. Jezgra presjeka je područje koje pokriva težište presjeka i karakterizira ga činjenica da svaka uzdužna sila primijenjena unutar ove zone uzrokuje naprezanja istog predznaka u svim točkama šipke.

Za konstruiranje jezgre presjeka potrebno je postaviti položaj nulte linije tako da dodiruje presjek, a da ga nigdje ne siječe, te pronaći odgovarajuću točku primjene sile P. Nakon što smo nacrtali obitelj tangenta na sekcije, dobivamo skup polova koji im odgovaraju, čiji će lokus dati obris (konturu) jezgrenih presjeka.

Neka, na primjer, presjek prikazan na Sl. 4 s glavnim središnjim osovinama x i y.

Za konstruiranje jezgre presjeka dajemo pet tangenta, od kojih se četiri poklapaju sa stranicama AB, DE, EF i FA, a peta povezuje točke B i D. Mjerenjem ili izračunavanjem iz reza, odsječenih označenim tangente II, . . . ., 5-5 na osi x, y i zamjenom ovih vrijednosti u ovisnosti (13), odredimo koordinate xp, yp za pet polova 1, 2 .... 5, koje odgovaraju pet položaja nulta linija. Tangenta II se može prenijeti u položaj 2-2 rotacijom oko točke A, dok se pol I mora kretati pravocrtno i kao rezultat rotacije tangente ići u točku 2. Dakle, svi polovi koji odgovaraju međupoložajima tangenta između II i 2-2 nalazit će se na izravnoj 1-2. Slično se može dokazati da će i druge strane jezgre presjeka biti pravokutne, t.j. jezgra presjeka je poligon, za čiju je konstrukciju dovoljno spojiti polove 1, 2, ... 5 ravnim linijama.

Savijanje s torzijom okrugle šipke.

Kod savijanja s torzijom u poprečnom presjeku grede, u općem slučaju, pet unutarnjih faktora sile nije jednako nuli: M x, M y, M k, Q x i Q y. Međutim, u većini slučajeva utjecaj posmičnih sila Q x i Q y može se zanemariti ako presjek nije tankih stijenki.

Normalna naprezanja u poprečnom presjeku mogu se odrediti iz veličine rezultirajućeg momenta savijanja

jer neutralna os je okomita na šupljinu djelovanja momenta M u .

Na sl. Na slici 5 prikazani su momenti savijanja M x i M y kao vektori (smjerovi M x i M y su odabrani pozitivni, tj. takvi da su u točkama prvog kvadranta presjeka naponi vlačni).

Smjer vektora M x i M y bira se tako da ih promatrač, gledajući s kraja vektora, vidi usmjerene suprotno od kazaljke na satu. U ovom slučaju, neutralna linija poklapa se sa smjerom vektora rezultirajućeg momenta M u, a najopterećenije točke presjeka A i B leže u ravnini djelovanja ovog trenutka.

Savijanje se shvaća kao vrsta opterećenja pri kojoj se u poprečnim presjecima grede javljaju momenti savijanja. Ako je moment savijanja u presjeku jedini faktor sile, tada se savijanje naziva čistim. Ako uz moment savijanja u poprečnim presjecima grede nastaju i poprečne sile, tada se zavoj naziva poprečnim.

Pretpostavlja se da moment savijanja i poprečna sila leže u jednoj od glavnih ravnina grede (pretpostavljamo da je ta ravnina ZOY). Takav se zavoj naziva ravan.

U svim dolje razmatranim slučajevima dolazi do ravnog poprečnog savijanja greda.

Za izračunavanje čvrstoće ili krutosti grede potrebno je poznavati faktore unutarnje sile koji nastaju u njegovim presjecima. U tu svrhu grade se dijagrami poprečnih sila (epure Q) i momenata savijanja (M).

Prilikom savijanja, pravolinijska os grede je savijena, neutralna os prolazi kroz težište presjeka. Radi određenosti, pri konstruiranju dijagrama poprečnih sila momenata savijanja za njih utvrđujemo predznačna pravila. Pretpostavimo da će se moment savijanja smatrati pozitivnim ako je element grede savijen s konveksnošću prema dolje, t.j. na način da su mu stisnuta vlakna pri vrhu.

Ako trenutak savija gredu s izbočenjem prema gore, tada će se ovaj trenutak smatrati negativnim.

Pozitivne vrijednosti momenata savijanja pri crtanju iscrtavaju se, kao i obično, u smjeru Y osi, što odgovara crtanju na komprimiranom vlaknu.

Stoga se pravilo predznaka za dijagram momenata savijanja može formulirati na sljedeći način: ordinate momenata se crtaju sa strane slojeva grede.

Moment savijanja u presjeku jednak je zbroju momenata u odnosu na ovaj presjek svih sila koje se nalaze s jedne strane (bilo koje) presjeka.

Za određivanje poprečnih sila (Q) uspostavljamo pravilo predznaka: poprečna sila se smatra pozitivnom ako vanjska sila teži rotirati odsječeni dio grede u smjeru kazaljke na satu. strelica u odnosu na točku osi koja odgovara nacrtanom presjeku.

Poprečna sila (Q) u proizvoljnom presjeku grede brojčano je jednaka zbroju projekcija na os y vanjskih sila primijenjenih na njezin krnji dio.

Razmotrimo nekoliko primjera crtanja poprečnih sila momenata savijanja. Sve sile su okomite na os greda, pa je horizontalna komponenta reakcije nula. Deformirana os grede i sile leže u glavnoj ravnini ZOY.

Duljina grede je stegnuta lijevim krajem i opterećena koncentriranom silom F i momentom m=2F.

Izrađujemo dijagrame poprečnih sila Q i momenata savijanja M.

U našem slučaju nema ograničenja na gredu s desne strane. Stoga, kako se ne bi odredile reakcije potpore, preporučljivo je razmotriti ravnotežu desnog odsječenog dijela grede. Zadana greda ima dva područja opterećenja. Granice presjeka-presjeka u kojima se primjenjuju vanjske sile. 1 odjeljak - NE, 2 - VA.

Izvodimo proizvoljan presjek u odjeljku 1 i razmatramo ravnotežu desnog odsječenog dijela duljine Z 1.

Iz uvjeta ravnoteže slijedi:

Q=F; M izlaz = -fz 1 ()

Posmična sila je pozitivna, jer vanjska sila F teži rotiranju odsječenog dijela u smjeru kazaljke na satu. Moment savijanja smatra se negativnim, jer savija razmatrani dio grede konveksnošću prema gore.

Prilikom sastavljanja jednadžbi ravnoteže, mentalno fiksiramo mjesto presjeka; iz jednadžbi () proizlazi da poprečna sila u presjeku I ne ovisi o Z 1 i da je konstantna vrijednost. Pozitivna sila Q=F povećava se od središnje linije grede, okomito na nju.

Moment savijanja ovisi o Z 1 .

Kada je Z 1 = O M od \u003d O na Z 1 = M od \u003d

Rezultirajuća vrijednost () stavlja se po strani, tj. dijagram M iz je izgrađen na komprimiranom vlaknu.

Prijeđimo na drugi dio

Presiječemo dio II na proizvoljnoj udaljenosti Z 2 od slobodnog desnog kraja grede i razmatramo ravnotežu odsječenog dijela duljine Z 2. Promjena posmične sile i momenta savijanja na temelju uvjeta ravnoteže može se izraziti sljedećim jednadžbama:

Q=FM od = - FZ 2 +2F

Veličina i predznak poprečne sile nisu se mijenjali.

Veličina momenta savijanja ovisi o Z 2 .

Kod Z 2 = M od =, kod Z 2 =

Moment savijanja pokazao se pozitivnim, kako na početku dijela II tako i na njegovom kraju. U dijelu II greda se savija ispupčenjem prema dolje.

Odvojite na ljestvici veličinu momenata prema središnjoj crti grede (tj. dijagram je izgrađen na komprimiranom vlaknu). Najveći moment savijanja javlja se u presjeku gdje se primjenjuje vanjski moment m i po apsolutnoj je vrijednosti jednak

Imajte na umu da se po duljini grede, gdje Q ostaje konstantan, moment savijanja M mijenja linearno i na dijagramu je predstavljen kosim ravnim linijama. Iz dijagrama Q i M iz vidi se da u presjeku na kojem se primjenjuje vanjska poprečna sila, dijagram Q ima skok za vrijednost te sile, a dijagram M od ima pregib. U dijelu gdje se primjenjuje vanjski moment savijanja, Miz dijagram ima skok za vrijednost ovog momenta. To se ne odražava na Q dijagramu. Iz dijagrama M od vidimo da

maks M van =

stoga je opasna dionica izrazito blizu s lijeve strane tzv.

Za gredu prikazanu na slici 13, a, konstruirajte dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja. Duljina grede je opterećena jednoliko raspoređenim opterećenjem intenziteta q(KN/cm).

Na osloncu A (fiksni zglob) doći će do vertikalne reakcije R a (horizontalna reakcija je nula), a na osloncu B (pokretna šarka) do vertikalne reakcije R v.

Odredimo vertikalne reakcije oslonaca sastavljanjem jednadžbe momenata u odnosu na oslonce A i B.

Provjerimo točnost definicije reakcije:

oni. reakcije podrške su točno definirane.

Zadana greda ima dva odjeljka opterećenja: Sekcija I - AC.

Odsjek II - NE.

Na prvom odsječku a, u trenutnom dijelu Z 1, iz uvjeta ravnoteže presječnog dijela, imamo

Jednadžba momenata savijanja na 1 presjeku grede:

Moment iz reakcije R a savija gredu u presjeku 1, konveksno prema dolje, pa se moment savijanja iz reakcije Ra uvodi u jednadžbu sa predznakom plus. Opterećenje qZ 1 savija gredu konveksnošću prema gore, pa se trenutak iz nje uvodi u jednadžbu sa predznakom minus. Moment savijanja mijenja se prema zakonu kvadratne parabole.

Stoga je potrebno otkriti postoji li ekstrem. Između poprečne sile Q i momenta savijanja postoji diferencijalna ovisnost, koju ćemo dalje analizirati

Kao što znate, funkcija ima ekstrem gdje je derivacija jednaka nuli. Stoga, da bismo odredili pri kojoj će vrijednosti Z 1, moment savijanja biti ekstreman, potrebno je jednadžbu poprečne sile izjednačiti s nulom.

Budući da poprečna sila mijenja predznak s plusa na minus u ovom presjeku, moment savijanja u ovom presjeku bit će maksimalan. Ako Q promijeni predznak s minusa na plus, tada će moment savijanja u ovom dijelu biti minimalan.

Dakle, moment savijanja na

je maksimum.

Stoga gradimo parabolu na tri točke

Kada je Z 1 = 0 M od \u003d 0

Drugi dio presijecamo na udaljenosti Z 2 od oslonca B. Iz uvjeta ravnoteže desnog presječnog dijela grede imamo:

Kada je Q=const,

moment savijanja će biti:

kod, kod, t.j. M IZ

mijenja se linearno.

Greda na dva nosača, s rasponom jednakim 2 i lijevom konzolom s duljinom, opterećena je kao što je prikazano na slici 14, a., gdje je q (Kn / cm) linearno opterećenje. Nosač A je okretno fiksiran, oslonac B je pomični valjak. Izgradite parcele Q i M.

Rješenje problema treba započeti određivanjem reakcija nosača. Iz uvjeta da je zbroj projekcija svih sila na os Z jednak nuli, proizlazi da je horizontalna komponenta reakcije na oslonac A 0.

Za provjeru koristimo jednadžbu

Jednadžba ravnoteže je zadovoljena, stoga su reakcije ispravno izračunate. Prelazimo na definiciju faktora unutarnjih sila. Dana greda ima tri područja opterećenja:

• 1 odjeljak - SA,
• 2. dio - AD,
• 3 odjeljak - DV.

Izrezali smo 1 dio na udaljenosti Z 1 od lijevog kraja grede.

na Z 1 = 0 Q = 0 M OD = 0

na Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Tako se na dijagramu poprečnih sila dobiva nagnuta ravna crta, a na dijagramu momenata savijanja dobiva se parabola čiji se vrh nalazi na lijevom kraju grede.

U dijelu II (a Z 2 2a), za određivanje faktora unutarnjih sila, razmotrite ravnotežu lijevog odsječenog dijela grede duljine Z 2 . Iz uvjeta ravnoteže imamo:

Poprečna sila u ovom presjeku je konstantna.

U odjeljku III()

Iz dijagrama vidimo da se najveći moment savijanja javlja u presjeku pod djelovanjem sile F i jednak je. Ovaj će odjeljak biti najopasniji.

Na dijagramu M od je skok na oslonac B, jednak vanjskom momentu primijenjenom u ovom dijelu.

S obzirom na gore konstruirane dijagrame, nije teško uočiti određenu pravilnu povezanost između dijagrama momenata savijanja i dijagrama poprečnih sila. Dokažimo to.

Derivat poprečne sile po dužini grede jednak je modulu intenziteta opterećenja.

Odbacivanjem vrijednosti višeg reda malenosti dobivamo:

oni. poprečna sila je derivacija momenta savijanja po dužini grede.

Uzimajući u obzir dobivene diferencijalne ovisnosti, mogu se donijeti opći zaključci. Ako je greda opterećena jednoliko raspoređenim opterećenjem intenziteta q=const, očito je da će funkcija Q biti linearna, a M iz - kvadratna.

Ako je greda opterećena koncentriranim silama ili momentima, tada je u intervalima između točaka njihove primjene intenzitet q=0. Dakle, Q=const, a M iz je linearna funkcija od Z. U točkama primjene koncentriranih sila, dijagram Q doživljava skok za vrijednost vanjske sile, a u dijagramu M iz dolazi do odgovarajućeg prekida (praznina u izvedenici).

Na mjestu primjene vanjskog momenta savijanja nalazi se praznina u dijagramu momenta, po veličini jednaka primijenjenom momentu.

Ako je Q>0, tada M iz raste, a ako Q<0, то М из убывает.

Diferencijalne ovisnosti koriste se za provjeru jednadžbi sastavljenih za crtanje Q i M iz, kao i za pojašnjenje oblika ovih dijagrama.

Moment savijanja mijenja se prema zakonu parabole, čija je konveksnost uvijek usmjerena prema vanjskom opterećenju.

Uvod.

Savijanje je vrsta deformacije koju karakterizira zakrivljenost (promjena zakrivljenosti) osi ili srednje površine deformabilnog objekta (šipke, grede, ploče, školjke i sl.) pod utjecajem vanjskih sila ili temperature. Savijanje je povezano s pojavom momenata savijanja u poprečnim presjecima grede. Ako je samo jedan od šest unutarnjih faktora sile u presjeku grede različit od nule, zavoj se naziva čistim:

Ako u poprečnim presjecima grede osim momenta savijanja djeluje i poprečna sila, zavoj se naziva poprečnim:

U inženjerskoj praksi razmatra se i poseban slučaj savijanja - uzdužni I. ( riža. jedan, c), karakterizirano izvijanjem šipke pod djelovanjem uzdužnih tlačnih sila. Istodobno djelovanje sila usmjerenih duž osi štapa i okomito na nju uzrokuje uzdužno-poprečno savijanje ( riža. jedan, G).

Riža. 1. Savijanje grede: a - čisto: b - poprečno; in - uzdužni; g - uzdužno-poprečno.

Šipka koja se savija naziva se greda. Zavoj se naziva ravnim ako os grede nakon deformacije ostane ravna linija. Ravnina zakrivljene osi grede naziva se ravnina savijanja. Ravnina djelovanja sila opterećenja naziva se ravnina sile. Ako se ravnina sile podudara s jednom od glavnih ravnina tromosti poprečnog presjeka, zavoj se naziva ravno. (Inače postoji kosi zavoj). Glavna ravnina tromosti poprečnog presjeka je ravnina koju čini jedna od glavnih osi poprečnog presjeka s uzdužnom osi grede. Kod ravnog ravnog savijanja ravnina savijanja i ravnina sile se poklapaju.

Problem torzije i savijanja grede (problem Saint-Venant) od velikog je praktičnog interesa. Primjena teorije savijanja koju je uspostavio Navier čini opsežnu granu mehanike konstrukcija i od velike je praktične važnosti, jer služi kao osnova za izračunavanje dimenzija i provjeru čvrstoće različitih dijelova konstrukcija: greda, mostova, strojnih elemenata. , itd.

OSNOVNE JEDNADŽBE I PROBLEMI TEORIJE ELASTIČNOSTI

§ 1. osnovne jednadžbe

Najprije dajemo opći sažetak osnovnih jednadžbi za probleme ravnoteže elastičnog tijela, koje čine sadržaj dijela teorije elastičnosti, koji se obično naziva statikom elastičnog tijela.

Deformirano stanje tijela u potpunosti je određeno tenzorom polja deformacije ili poljem pomaka Komponente tenzora deformacije povezani su s pomacima diferencijalnim Cauchyjevim ovisnostima:

(1)

Komponente tenzora deformacije moraju zadovoljiti Saint-Venantove diferencijalne ovisnosti:

koji su nužni i dovoljni uvjeti integrabilnosti jednadžbi (1).

Naponsko stanje tijela određeno je tenzorom polja naprezanja Šest nezavisnih komponenti simetričnog tenzora () mora zadovoljiti tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže:

Komponente tenzora naprezanja I pomak povezani su sa šest jednadžbi Hookeovog zakona:

U nekim slučajevima, jednadžbe Hookeovog zakona moraju se koristiti u obliku formule

, (5)

Jednadžbe (1)-(5) su osnovne jednadžbe statičkih problema u teoriji elastičnosti. Ponekad se jednadžbe (1) i (2) nazivaju geometrijskim jednadžbama, jednadžbama ( 3) - statičke jednadžbe, te jednadžbe (4) ili (5) - fizičke jednadžbe. Osnovnim jednadžbama koje određuju stanje linearno elastičnog tijela u njegovim unutarnjim točkama volumena potrebno je dodati uvjete na njegovoj površini koji se nazivaju rubni uvjeti. One su određene ili zadanim vanjskim površinskim silama ili zadanih pokreta točke na površini tijela. U prvom slučaju, rubni uvjeti izraženi su jednakošću:

gdje su komponente vektora t površinska čvrstoća, su komponente jediničnog vektora P, usmjerena duž vanjske normale na površinu u točki koja se razmatra.

U drugom slučaju, rubni uvjeti izraženi su jednakošću

gdje su funkcije definirane na površini.

Granični uvjeti također se mogu miješati, kada su na jednom dijelu vanjske površinske sile dane su na površini tijela a s druge strane dani su pomaci površine tijela:

Moguće su i druge vrste graničnih uvjeta. Na primjer, na određenom dijelu površine tijela navedene su samo neke komponente vektora pomaka, a osim toga nisu navedene ni sve komponente vektora površinske sile.

§ 2. Glavni problemi statike elastičnog tijela

Ovisno o vrsti rubnih uvjeta, razlikuju se tri tipa osnovnih statičkih problema teorije elastičnosti.

Glavni problem prvog tipa je odrediti komponente tenzora polja naprezanja unutar regije , koje zauzima tijelo, i komponenta vektora pomaka točaka unutar područja i površinske točke tijela prema zadanim silama mase i površinske sile

Željenih devet funkcija mora zadovoljiti osnovne jednadžbe (3) i (4), kao i rubne uvjete (6).

Glavni zadatak druge vrste je određivanje pomaka točke unutar područja i komponenta tenzora polja naprezanja prema zadanim silama mase a prema zadanim pomacima na površini tijela.

U potrazi za značajkama I mora zadovoljiti osnovne jednadžbe (3) i (4) i rubne uvjete (7).

Imajte na umu da rubni uvjeti (7) odražavaju zahtjev za kontinuitetom definiranih funkcija na granici tijela, tj. kada je unutarnja točka teži nekoj točki na površini, funkciji treba težiti zadanoj vrijednosti u danoj točki površine.

Glavni problem trećeg tipa ili mješoviti problem je taj, s obzirom na površinske sile na jednom dijelu površine tijela i prema zadanim pomacima na drugom dijelu površine tijela i također, općenito govoreći, prema zadanim tjelesnim silama potrebno je odrediti komponente tenzora naprezanja i pomaka , zadovoljavajući osnovne jednadžbe (3) i (4) pod mješovitim rubnim uvjetima (8).

Dobivši rješenje ovog problema, moguće je odrediti, posebno, sile veza na , koji se mora primijeniti u točkama plohe da bi se na ovoj površini realizirali zadani pomaci, a moguće je izračunati i pomake točaka površine . Predmet >> Industrija, proizvodnja

Po dužini drva, onda greda deformiran. Deformacija drva uz istovremeno ... drvo, polimer itd. Kada savijati se drva naslonjen na dva oslonca... savijati se bit će obilježena strelicom za otklon. U ovom slučaju tlačna naprezanja u konkavnom dijelu drva ...

Prednosti lijepljenog drva u niskogradnji

Sažetak >> Izgradnja

Riješeno pri korištenju lijepljenih profiliranih drva. Lamelirano drvo u nosivom... , ne uvija se ili zavojima. To je zbog nedostatka... prijevoza goriva. 5. Površinski zalijepljen drva izrađeno u skladu sa svim tehnološkim ...