Pi stav. Počnite u znanosti

Matematičari diljem svijeta svake godine 14. ožujka pojedu komad torte – uostalom, ovo je dan Pi, najpoznatijeg iracionalnog broja. Ovaj je datum izravno povezan s brojem čije su prve znamenke 3,14. Pi je omjer opsega kruga i njegovog promjera. Budući da je iracionalan, nemoguće ga je zapisati kao razlomak. Ovo je beskonačno dugačak broj. Otkriven je prije tisuća godina i od tada se neprestano proučava, no ima li Pi još neke tajne? Od drevnih podrijetla do neizvjesne budućnosti, evo nekih od najzanimljivijih činjenica o pi.

Pamtiti Pi

Rekord u pamćenju brojeva nakon decimalnog zareza pripada Rajveeru Meeni iz Indije, koji je uspio zapamtiti 70.000 znamenki – rekord je postavio 21. ožujka 2015. godine. Prije toga, rekorder je bio Chao Lu iz Kine, koji je uspio zapamtiti 67.890 znamenki - ovaj rekord je postavljen 2005. godine. Neslužbeni rekorder je Akira Haraguchi, koji je na video snimio svoje ponavljanje 100.000 znamenki 2005. godine, a nedavno je objavio i video u kojem uspijeva zapamtiti 117.000 znamenki. Službeni rekord postao bi samo da je ovaj video snimljen u prisutnosti predstavnika Guinnessove knjige rekorda, a bez potvrde ostaje samo impresivna činjenica, ali se ne smatra postignućem. Ljubitelji matematike vole pamtiti broj Pi. Mnogi ljudi koriste razne mnemotehničke tehnike, poput poezije, gdje je broj slova u svakoj riječi isti kao pi. Svaki jezik ima svoje varijante takvih fraza, koje pomažu zapamtiti i prvih nekoliko znamenki i čitavih sto.

Postoji Pi jezik

Očarani literaturom, matematičari su izmislili dijalekt u kojem broj slova u svim riječima odgovara znamenkama broja Pi točnim redoslijedom. Pisac Mike Keith čak je napisao knjigu Not a Wake, koja je u potpunosti napisana na Pi jeziku. Zaljubljenici u takvu kreativnost pišu svoje radove u potpunosti u skladu s brojem slova i značenjem brojeva. To nema praktičnu primjenu, ali je prilično česta i dobro poznata pojava u krugovima znanstvenika entuzijasta.

Eksponencijalni rast

Pi je beskonačan broj, tako da ljudi, po definiciji, nikada neće moći shvatiti točne brojeve tog broja. Međutim, broj znamenki nakon decimalne točke uvelike se povećao od prve upotrebe Pi. Čak su ga i Babilonci koristili, ali im je bio dovoljan djelić tri i jedna osmina. Kinezi i tvorci Starog zavjeta bili su potpuno ograničeni na to troje. Do 1665. Sir Isaac Newton je izračunao 16 znamenki broja pi. Do 1719. godine francuski matematičar Tom Fante de Lagny izračunao je 127 znamenki. Pojava računala radikalno je poboljšala čovjekovo znanje o Pi. Od 1949. do 1967. broj znamenki poznatih čovjeku naglo je porastao s 2037. na 500 000. Ne tako davno, Peter Trueb, znanstvenik iz Švicarske, uspio je izračunati 2,24 trilijuna znamenki Pi! To je trajalo 105 dana. Naravno, to nije granica. Vjerojatno će s razvojem tehnologije biti moguće utvrditi još točniju brojku - budući da je Pi beskonačan, jednostavno ne postoji granica točnosti, a mogu ga ograničiti samo tehničke značajke računalne tehnologije.

Ručno izračunavanje Pi

Želite li sami pronaći broj, možete se poslužiti starinskom tehnikom – trebat će vam ravnalo, staklenka i špagica, možete koristiti i kutomjer i olovku. Nedostatak korištenja staklenke je što ona mora biti okrugla, a točnost će biti određena time koliko dobro osoba može omotati uže oko nje. Moguće je nacrtati krug kutomjerom, ali to također zahtijeva vještinu i preciznost, jer neravni krug može ozbiljno narušiti vaša mjerenja. Točnija metoda uključuje korištenje geometrije. Podijelite krug na mnogo segmenata, poput kriški pizze, a zatim izračunajte duljinu ravne linije koja bi svaki segment pretvorila u jednakokraki trokut. Zbroj stranica će dati približan broj pi. Što više segmenata koristite, to će broj biti točniji. Naravno, u svojim izračunima nećete se moći približiti rezultatima računala, ipak, ovi jednostavni eksperimenti omogućuju vam da detaljnije shvatite što je Pi općenito i kako se koristi u matematici.

Otkriće Pi

Stari Babilonci su znali za postojanje broja Pi već prije četiri tisuće godina. Babilonske ploče izračunavaju Pi kao 3,125, a egipatski matematički papirus sadrži broj 3,1605. U Bibliji je broj Pi dat u zastarjeloj duljini - u laktovima, a grčki matematičar Arhimed koristio je Pitagorin teorem za opis Pi, geometrijskog omjera duljine stranica trokuta i površine \u200b figure unutar i izvan krugova. Stoga se sa sigurnošću može reći da je Pi jedan od najstarijih matematičkih pojmova, iako se točan naziv ovog broja pojavio relativno nedavno.

Novi pogled na Pi

Čak i prije nego što je pi bio povezan s krugovima, matematičari su već imali mnogo načina da čak i imenuju ovaj broj. Na primjer, u drevnim udžbenicima matematike može se pronaći izraz na latinskom, koji se može grubo prevesti kao "količina koja pokazuje duljinu kada se promjer pomnoži s njom". Iracionalni broj postao je poznat kada ga je švicarski znanstvenik Leonhard Euler upotrijebio u svom radu o trigonometriji 1737. godine. Međutim, grčki simbol za pi još uvijek nije korišten - to se dogodilo samo u knjizi manje poznatog matematičara Williama Jonesa. Koristio ga je već 1706. godine, ali je dugo bio zapušten. S vremenom su znanstvenici usvojili ovo ime, a sada je ovo najpoznatija verzija imena, iako se prije zvala i Ludolfov broj.

Je li pi normalan?

Broj pi je definitivno čudan, ali kako se pridržava normalnih matematičkih zakona? Znanstvenici su već razriješili mnoga pitanja vezana uz ovaj iracionalni broj, ali ostaju neke misterije. Na primjer, nije poznato koliko se često koriste sve znamenke - brojevi od 0 do 9 trebaju se koristiti u jednakom omjeru. No, statistika se može pratiti za prvih trilijun znamenki, ali zbog činjenice da je broj beskonačan, nemoguće je bilo što sa sigurnošću dokazati. Postoje i drugi problemi koji još uvijek izmiču znanstvenicima. Moguće je da će daljnji razvoj znanosti pomoći u rasvjetljavanju njih, ali u ovom trenutku to ostaje izvan granica ljudske inteligencije.

Pi zvuči božanstveno

Znanstvenici ne mogu odgovoriti na neka pitanja o broju Pi, ali svake godine sve bolje razumiju njegovu bit. Već u osamnaestom stoljeću dokazana je iracionalnost ovog broja. Osim toga, dokazano je da je broj transcendentalan. To znači da ne postoji definitivna formula koja bi vam omogućila da izračunate pi pomoću racionalnih brojeva.

Nezadovoljstvo s Pi

Mnogi matematičari jednostavno su zaljubljeni u Pi, ali ima i onih koji smatraju da ti brojevi nemaju poseban značaj. Osim toga, tvrde da je broj Tau, koji je dvostruko veći od Pi, prikladnije koristiti kao iracionalan. Tau pokazuje odnos između opsega i polumjera, što, prema nekima, predstavlja logičniju metodu izračuna. Međutim, nemoguće je bilo što jednoznačno utvrditi po ovom pitanju, a jedan i drugi broj uvijek će imati pristaše, obje metode imaju pravo na život, tako da je to samo zanimljiva činjenica, a ne razlog za razmišljanje da ne biste trebali koristite broj Pi.

Koliki je broj pi znamo i pamtimo iz škole. Jednako je 3,1415926 i tako dalje... Običnoj osobi je dovoljno da zna da se taj broj dobiva dijeljenjem opsega kruga s njegovim promjerom. Ali mnogi ljudi znaju da se broj Pi pojavljuje u neočekivanim područjima ne samo u matematici i geometriji, već i u fizici. Pa, ako se zadubite u detalje prirode ovog broja, možete vidjeti mnoga iznenađenja među beskrajnim nizovima brojeva. Je li moguće da Pi krije najdublje tajne svemira?

Beskonačan broj

Sam broj Pi nastaje u našem svijetu kao duljina kruga čiji je promjer jednak jedan. No, unatoč činjenici da je segment jednak Pi prilično konačan, broj Pi počinje kao 3,1415926 i ide u beskonačnost u redovima brojeva koji se nikada ne ponavljaju. Prva iznenađujuća činjenica je da se ovaj broj, koji se koristi u geometriji, ne može izraziti kao razlomak cijelih brojeva. Drugim riječima, ne možete ga napisati kao omjer dva broja a/b. Osim toga, broj Pi je transcendentalan. To znači da ne postoji takva jednadžba (polinom) s cjelobrojnim koeficijentima čije bi rješenje bilo Pi.

Činjenicu da je broj Pi transcendentan dokazao je 1882. njemački matematičar von Lindemann. Upravo je ovaj dokaz dao odgovor na pitanje da li je moguće šestarom i ravnalom nacrtati kvadrat čija je površina jednaka površini dane kružnice. Ovaj problem poznat je kao potraga za kvadraturom kruga, koji muči čovječanstvo od davnina. Činilo se da ovaj problem ima jednostavno rješenje i da će uskoro biti otkriven. Ali to je bilo neshvatljivo svojstvo pi koje je pokazalo da problem kvadrature kruga nema rješenja.

Već najmanje četiri i pol tisućljeća čovječanstvo pokušava dobiti sve točniju vrijednost pi. Na primjer, u Bibliji u 1. Knjizi o kraljevima (7,23), broj pi je uzet jednak 3.

Izvanredna po točnosti, vrijednost Pi može se naći u piramidama u Gizi: omjer opsega i visine piramida je 22/7. Ovaj razlomak daje približnu vrijednost Pi, jednaku 3,142 ... Osim ako, naravno, Egipćani slučajno nisu postavili takav omjer. Istu vrijednost već u odnosu na izračun broja Pi dobio je u III stoljeću prije Krista veliki Arhimed.

U Ahmesovom papirusu, staroegipatskom udžbeniku matematike koji datira iz 1650. godine prije Krista, Pi je izračunat kao 3,160493827.

U drevnim indijskim tekstovima oko 9. stoljeća prije Krista, najtočnija vrijednost bila je izražena brojem 339/108, koji je bio jednak 3,1388 ...

Gotovo dvije tisuće godina nakon Arhimeda, ljudi su pokušavali pronaći načine za izračunavanje pi. Među njima su bili i poznati i nepoznati matematičari. Na primjer, rimski arhitekt Mark Vitruvius Pollio, egipatski astronom Klaudije Ptolemej, kineski matematičar Liu Hui, indijski mudrac Ariabhata, srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznat kao Fibonacci, arapski znanstvenik Al-Khwarizmi, iz čijeg je imena riječ pojavio se "algoritam". Svi oni i mnogi drugi ljudi tražili su najtočnije metode za izračunavanje Pi, ali do 15. stoljeća nikada nisu dobili više od 10 znamenki nakon decimalne točke zbog složenosti izračuna.

Konačno, 1400. godine, indijski matematičar Madhava iz Sangamagrama izračunao je Pi s točnošću do 13 znamenki (iako je ipak pogriješio u posljednje dvije).

Broj znakova

U 17. stoljeću Leibniz i Newton su otkrili analizu beskonačno malih veličina, što je omogućilo progresivnije izračunavanje pi - putem nizova stepena i integrala. Sam je Newton izračunao 16 decimalnih mjesta, ali to nije spomenuo u svojim knjigama - to je postalo poznato nakon njegove smrti. Newton je tvrdio da je Pi izračunao samo iz dosade.

Otprilike u isto vrijeme i drugi manje poznati matematičari su se izvukli, predlažući nove formule za izračunavanje broja Pi kroz trigonometrijske funkcije.

Na primjer, ovdje je formula koju je za izračunavanje broja pi koristio učitelj astronomije John Machin 1706. godine: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Koristeći metode analize, Machin je iz ove formule izveo broj Pi sa stotinu decimalnih mjesta.

Inače, iste 1706. broj Pi dobio je službenu oznaku u obliku grčkog slova: koristio ga je William Jones u svom radu o matematici, uzimajući prvo slovo grčke riječi "periferija", što znači "krug". Rođen 1707. godine, veliki Leonhard Euler popularizirao je ovu oznaku, koja je danas poznata svakom školarcu.

Prije ere računala, matematičari su se bavili izračunavanjem što većeg broja znakova. S tim u vezi, ponekad je bilo zanimljivosti. Matematičar amater W. Shanks izračunao je 707 znamenki broja pi 1875. godine. Ovih sedamsto znakova ovjekovječeno je na zidu Palais des Discoveries u Parizu 1937. godine. Međutim, devet godina kasnije, pažljivi matematičari otkrili su da je samo prvih 527 znakova bilo točno izračunato. Muzej je morao podnijeti pristojne troškove da ispravi pogrešku - sada su sve brojke točne.

Kada su se pojavila računala, broj znamenki Pi počeo se izračunavati potpuno nezamislivim redoslijedom.

Jedno od prvih elektroničkih računala ENIAC, stvoreno 1946. godine, koje je bilo ogromno i stvaralo je toliko topline da se prostorija zagrijalo na 50 stupnjeva Celzija, izračunalo je prvih 2037 znamenki Pi. Ovaj izračun je automobilu trebao 70 sati.

Kako su se računala poboljšavala, naše je znanje o pi išlo sve dalje i dalje u beskonačnost. Godine 1958. izračunato je 10 tisuća znamenki broja. Japanci su 1987. izračunali 10 013 395 znakova. Godine 2011. japanski istraživač Shigeru Hondo prešao je granicu od 10 bilijuna.

Gdje još možete pronaći Pi?

Dakle, često naše znanje o broju Pi ostaje na školskoj razini, a pouzdano znamo da je taj broj prije svega neophodan u geometriji.

Osim formula za duljinu i površinu kruga, broj Pi se koristi u formulama za elipse, kugle, stošce, cilindre, elipsoide i tako dalje: negdje su formule jednostavne i lako pamtljive, a negdje sadrže vrlo složene integrale.

Tada možemo susresti broj Pi u matematičkim formulama, gdje se na prvi pogled geometrija ne vidi. Na primjer, neodređeni integral od 1/(1-x^2) je Pi.

Pi se često koristi u analizi serija. Na primjer, ovdje je jednostavan niz koji konvergira na pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Među nizovima, pi se najneočekivanije pojavljuje u poznatoj Riemannovoj zeta funkciji. Neće biti moguće reći o tome ukratko, samo ćemo reći da će jednog dana broj Pi pomoći pronaći formulu za izračun prostih brojeva.

I to je apsolutno nevjerojatno: Pi se pojavljuje u dvije najljepše "kraljevske" formule matematike - Stirlingovoj formuli (koja pomaže pronaći približnu vrijednost faktorijala i gama funkcije) i Eulerovoj formuli (koja se odnosi na pet matematičkih konstanti).

Međutim, najneočekivanije otkriće čekalo je matematičare u teoriji vjerojatnosti. Pi je također tu.

Na primjer, vjerojatnost da su dva broja relativno prosta je 6/PI^2.

Pi se pojavljuje u Buffonovom problemu bacanja igle iz 18. stoljeća: kolika je vjerojatnost da će igla bačena na list papira s uzorkom prijeći jednu od linija. Ako je duljina igle L, a udaljenost između linija L, i r > L, tada možemo približno izračunati vrijednost Pi koristeći formulu vjerojatnosti 2L/rPI. Zamislite samo - Pi možemo dobiti iz slučajnih događaja. I usput Pi je prisutan u normalnoj raspodjeli vjerojatnosti, pojavljuje se u jednadžbi poznate Gaussove krivulje. Znači li to da je pi još temeljniji od samo omjera opsega kružnice i njenog promjera?

Pi možemo sresti i u fizici. Pi se pojavljuje u Coulombovom zakonu, koji opisuje silu interakcije između dva naboja, u trećem Keplerovom zakonu, koji pokazuje period okretanja planeta oko Sunca, a javlja se čak i u rasporedu elektronskih orbitala atoma vodika. I, opet, najnevjerojatnije je da se broj Pi krije u formuli Heisenbergovog principa nesigurnosti, temeljnog zakona kvantne fizike.

Tajne Pi

U romanu Carla Sagana "Kontakt", koji je snimljen prema istoimenom filmu, vanzemaljci obavještavaju junakinju da se među znakovima Pi nalazi tajna poruka od Boga. S određene pozicije, brojevi u broju prestaju biti slučajni i predstavljaju šifru u kojoj su zapisane sve tajne Svemira.

Ovaj je roman zapravo odražavao zagonetku koja zaokuplja umove matematičara diljem planete: je li broj Pi normalan broj u kojem su znamenke razbacane istom frekvencijom ili nešto nije u redu s tim brojem. I iako su znanstvenici skloni prvoj opciji (ali to ne mogu dokazati), Pi izgleda vrlo tajanstveno. Jedan Japanac je jednom izračunao koliko se puta brojevi od 0 do 9 pojavljuju u prvih bilijun znamenki broja pi. I vidio sam da su brojevi 2, 4 i 8 češći od ostalih. Ovo može biti jedan od nagovještaja da Pi nije sasvim normalan, a brojevi u njemu doista nisu slučajni.

Sjetimo se svega što smo gore pročitali i zapitajmo se, koji je drugi iracionalni i transcendentalni broj tako čest u stvarnom svijetu?

A tu su i druge neobičnosti. Na primjer, zbroj prvih dvadeset znamenki broja Pi je 20, a zbroj prve 144 znamenke jednak je "broju zvijeri" 666.

Protagonist američke TV serije Osumnjičeni, profesor Finch, rekao je studentima da se u njoj, zbog beskonačnosti broja pi, može pojaviti bilo koja kombinacija brojeva, od brojeva vašeg datuma rođenja do složenijih brojeva. Na primjer, na 762. poziciji nalazi se niz od šest devetki. Taj se položaj naziva Feynmanova točka, po slavnom fizičaru koji je uočio ovu zanimljivu kombinaciju.

Također znamo da broj Pi sadrži niz 0123456789, ali se nalazi na 17.387.594.880 znamenki.

Sve to znači da u beskonačnosti Pi možete pronaći ne samo zanimljive kombinacije brojeva, već i kodirani tekst "Rata i mira", Biblije, pa čak i Glavne tajne svemira, ako postoji.

Usput, o Bibliji. Poznati popularizator matematike Martin Gardner 1966. izjavio je da će milijunti znak broja Pi (u to vrijeme još nepoznat) biti broj 5. Svoje je izračune objasnio činjenicom da je u engleskoj verziji Biblije, god. 3. knjiga, 14. poglavlje, 16 -m stih (3-14-16) sedma riječ sadrži pet slova. Milijunski broj primljen je osam godina kasnije. Bio je broj pet.

Isplati li se nakon ovoga tvrditi da je broj pi slučajan?

Nikada nisam razmišljao o priči o nastanku Pi. Čitao sam prilično zanimljive činjenice o Leibnizu i Newtonu. Newton je izračunao 16 decimalnih mjesta, ali to nije rekao u svojoj knjizi. Hvala na dobrom članku.

Odgovor

Jednom sam na forumu o magiji pročitao da broj PI nema samo magično značenje, već i ritualno. Mnogi rituali su povezani s ovim brojem i koristili su ih mađioničari od davnina kada su otkrili ovaj broj.

Odgovor

zbroj prvih dvadeset znamenki broja pi je 20... Je li ovo ozbiljno? U binarnom sustavu, zar ne?

Odgovor

1. Odgovor

   1. 100 nije zbroj prvih 20 znamenki, već 20 decimalnih mjesta.

      Odgovor

1. s promjerom = 1, opsegom = pi, i stoga se krug nikada neće zatvoriti!

   Odgovor

BROJ str - omjer opsega kruga i njegovog promjera, - vrijednost je konstantna i ne ovisi o veličini kruga. Broj koji izražava ovaj odnos obično se označava grčkim slovom 241 (od "perijereia" - krug, periferija). Ova oznaka postala je uobičajena nakon rada Leonharda Eulera, koji se odnosi na 1736., ali ju je prvi upotrijebio William Jones (1675–1749) 1706. Kao i svaki iracionalni broj, predstavljen je beskonačnim neperiodskim decimalnim razlomkom:

str= 3.141592653589793238462643... Potrebe praktičnih proračuna koji se odnose na krugove i okrugla tijela natjerali su nas da tražimo 241 aproksimaciju koristeći racionalne brojeve već u antičko doba. Podatak da je opseg točno tri puta duži od promjera nalazi se u klinastim pločama u drevnoj Mezopotamiji. Ista brojčana vrijednost str postoji i u tekstu Biblije: „I načini more od lijevanog bakra, od kraja do kraja, bilo je deset lakata, potpuno okruglo, pet lakata visoko, i okolo ga je obgrlio niz od trideset lakata“ (1. Kraljevi 7,23). Tako su radili i stari Kinezi. Ali već u 2 tisuće pr. Stari Egipćani koristili su točniju vrijednost za broj 241, koji se dobiva iz formule za područje kruga promjera d:

Ovo pravilo iz 50. problema Rhindovog papirusa odgovara vrijednosti 4(8/9) 2 » 3,1605. Papirus Rhinda, pronađen 1858. godine, nazvan je po svom prvom vlasniku, prepisao ga je pisar Ahmes oko 1650. godine prije Krista, autor originala je nepoznat, tek se utvrđuje da je tekst nastao u drugoj polovici 19. stoljeća. PRIJE KRISTA. Premda kako su Egipćani dobili samu formulu nije jasno iz konteksta. U takozvanom moskovskom papirusu, koji je prepisao izvjesni student između 1800. i 1600. pr. iz starijeg teksta, oko 1900. godine prije Krista, postoji još jedan zanimljiv problem o izračunavanju površine košare "s otvorom od 4½". Nije poznato kakvog je oblika bila košara, ali svi se istraživači slažu da je ovdje za broj str uzima se ista približna vrijednost 4(8/9) 2.

Da bismo razumjeli kako su drevni znanstvenici dobili ovaj ili onaj rezultat, treba pokušati riješiti problem koristeći samo znanje i metode proračuna tog vremena. Upravo to rade istraživači antičkih tekstova, ali rješenja koja uspiju pronaći nisu nužno “ista”. Vrlo često se nudi nekoliko rješenja za jedan zadatak, svatko može izabrati po svom ukusu, ali nitko ne može reći da se koristio u antici. Što se tiče površine kruga, hipoteza A.E. Raika, autora brojnih knjiga o povijesti matematike, čini se vjerodostojnom: područje kruga promjera d uspoređuje se s površinom kvadrata opisanog oko njega, iz kojeg se redom uklanjaju mali kvadrati sa stranicama (slika 1). U našoj notaciji, izračuni će izgledati ovako: u prvoj aproksimaciji, površina kruga S jednaka razlici između površine kvadrata sa stranicom d i ukupne površine četiri mala kvadrata ALI uz zabavu d:

Ovu hipotezu podržavaju slični izračuni u jednom od problema Moskovskog papirusa, gdje se predlaže izračunavanje

Od 6.st. PRIJE KRISTA. matematika se brzo razvijala u staroj Grčkoj. Stari grčki geometri su bili ti koji su strogo dokazali da je opseg kruga proporcionalan njegovom promjeru ( l = 2str R; R je polumjer kružnice, l - njegova duljina), a površina kruga je polovica umnožaka opsega i polumjera:

S = ½ l R = str R 2 .

Taj se dokaz pripisuje Eudoksu iz Knida i Arhimedu.

U 3. stoljeću PRIJE KRISTA. Arhimed u pisanom obliku O mjerenju kruga izračunao perimetre pravilnih mnogokuta upisanih u krug i opisanih oko njega (slika 2) - od 6- do 96-kuta. Tako je ustanovio da je broj str leži između 3 10/71 i 3 1/7, t.j. 3.14084< str < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (str» 3.14166) pronašao je poznati astronom, tvorac trigonometrije, Klaudije Ptolomej (2. st.), ali nije ušao u upotrebu.

U to su vjerovali Indijci i Arapi str= . Ovu vrijednost daje i indijski matematičar Brahmagupta (598. - oko 660.). U Kini su znanstvenici u 3.st. koristio je vrijednost 3 7/50, što je lošije od Arhimedove aproksimacije, ali u drugoj polovici 5. st. Zu Chun Zhi (oko 430. - oko 501.) primio za str aproksimacija 355/113 ( str» 3.1415927). Europljanima je ostao nepoznat i ponovno ga je pronašao nizozemski matematičar Adrian Antonis tek 1585. Ova aproksimacija daje pogrešku tek na sedmom decimalu.

Potraga za točnijom aproksimacijom str nastavio dalje. Na primjer, al-Kashi (prva polovina 15. st.) u Traktat o krugu(1427) izračunao je 17 decimalnih mjesta str. U Europi je isto značenje pronađeno 1597. godine. Da bi to učinio, morao je izračunati stranu običnog 800 335 168-kuta. Nizozemski znanstvenik Ludolf Van Zeilen (1540.–1610.) pronašao je za njega 32 točna decimalna mjesta (objavljeno posthumno 1615.), ta se aproksimacija naziva Ludolfov broj.

Broj str pojavljuje se ne samo u rješavanju geometrijskih problema. Od vremena F. Viete (1540–1603), potraga za granicama nekih aritmetičkih nizova sastavljenih prema jednostavnim zakonima dovela je do istog broja str. Iz tog razloga pri određivanju broja str sudjelovali su gotovo svi poznati matematičari: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. V. Leibniz, L. Euler. Dobili su različite izraze za 241 u obliku beskonačnog proizvoda, zbroja niza, beskonačnog razlomka.

Na primjer, 1593. F. Viet (1540.–1603.) izveo je formulu

Godine 1658. Englez William Brounker (1620-1684) pronašao je prikaz broja str kao beskonačan nastavljeni razlomak

međutim, nije poznato kako je došao do ovog rezultata.

Godine 1665. John Wallis (1616–1703) je to dokazao

Ova formula nosi njegovo ime. Za praktično određivanje broja 241 on je od male koristi, ali je koristan u raznim teorijskim razmišljanjima. Ušao je u povijest znanosti kao jedan od prvih primjera beskonačnih djela.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) uspostavio je sljedeću formulu 1673.:

izražavanje broja str/4 kao zbroj niza. Međutim, ovaj niz konvergira vrlo sporo. Izračunati str točno na deset znamenki, bilo bi potrebno, kako je pokazao Isaac Newton, pronaći zbroj od 5 milijardi brojeva i na tome potrošiti oko tisuću godina neprekidnog rada.

Londonski matematičar John Machin (1680-1751) 1706. primjenjujući formulu

dobio izraz

koji se još uvijek smatra jednim od najboljih za približan izračun str. Potrebno je samo nekoliko sati ručnog brojanja da se pronađe istih deset točnih decimalnih mjesta. Sam John Machin je izračunao str sa 100 točnih znakova.

Koristeći isti red za arctg x i formule

brojčana vrijednost str primljeno na računalu s točnošću od sto tisuća decimalnih mjesta. Takvi izračuni su zanimljivi u vezi s konceptom slučajnih i pseudoslučajnih brojeva. Statistička obrada uređenog skupa određenog broja znakova str pokazuje da ima mnoge značajke slučajnog niza.

Postoji nekoliko zabavnih načina da zapamtite broj str točnije nego samo 3.14. Na primjer, nakon što ste naučili sljedeći katren, lako možete imenovati sedam decimalnih mjesta str:

Samo trebate pokušati

I zapamti sve kako jest:

Tri, četrnaest, petnaest

devedeset dva i šest.

(S.Bobrov Čarobni dvorog)

Brojanje broja slova u svakoj riječi sljedećih fraza također daje vrijednost broja str:

"Što ja znam o krugovima?" ( str» 3.1416). Ovu je poslovicu predložio Ya.I. Perelman.

“Dakle, znam broj koji se zove Pi. - Dobro napravljeno!" ( str» 3.1415927).

"Učite i znajte u broju poznatom iza broja broj, kako primijetiti sreću" ( str» 3.14159265359).

Učitelj jedne od moskovskih škola smislio je stih: "Znam to i savršeno se sjećam", a njegov učenik sastavio je smiješan nastavak: "Mnogi znakovi su mi suvišni, uzalud." Ovaj kuplet vam omogućuje definiranje 12 znamenki.

A ovako izgleda 101 znamenka broja str bez zaokruživanja

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

U današnje vrijeme, uz pomoć računala, vrijednost broja str izračunato s milijunima točnih znamenki, ali takva preciznost nije potrebna ni u kakvim izračunima. Ali mogućnost analitičkog određivanja broja ,

U posljednjoj formuli brojnik sadrži sve proste brojeve, a nazivnici se od njih razlikuju za jedan, a nazivnik je veći od brojnika ako ima oblik 4 n+ 1, a inače manje.

Iako je od kraja 16. stoljeća, t.j. otkako su se formirali sami pojmovi racionalnih i iracionalnih brojeva, mnogi su se znanstvenici uvjerili da str- broj je iracionalan, ali je tek 1766. godine njemački matematičar Johann Heinrich Lambert (1728–1777), na temelju odnosa eksponencijalne i trigonometrijske funkcije koje je otkrio Euler, to strogo dokazao. Broj str ne može se predstaviti kao jednostavan razlomak, bez obzira koliko su brojnik i nazivnik veliki.

Godine 1882., profesor na Sveučilištu u Münchenu, Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852–1939), koristeći rezultate koje je dobio francuski matematičar C. Hermite, dokazao je da str- transcendentalni broj, t.j. nije korijen nijedne algebarske jednadžbe a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 s cjelobrojnim koeficijentima. Ovim je dokazom stavljena točka na povijest najstarijeg matematičkog problema kvadrature kružnice. Tisućama godina ovaj problem nije popuštao naporima matematičara, izraz "kvadratura kruga" postao je sinonim za nerješiv problem. I ispostavilo se da je cijela stvar u transcendentalnoj prirodi broja str.

U spomen na ovo otkriće, u dvorani ispred matematičke dvorane Sveučilišta u Münchenu postavljena je Lindemannova bista. Na postolju ispod njegovog imena je krug prekrižen kvadratom jednake površine, unutar kojeg je upisano slovo str.

Marina Fedosova

Uvod

Članak sadrži matematičke formule, pa za čitanje idite na stranicu za njihov ispravan prikaz. Broj \(\pi \) ima bogatu povijest. Ova konstanta označava omjer opsega kruga i njegovog promjera.

U znanosti se broj \(\pi \) koristi u bilo kojem izračunu gdje postoje krugovi. Počevši od volumena limenke sode, do orbita satelita. I ne samo krugovi. Doista, u proučavanju zakrivljenih linija, broj \(\pi \) pomaže razumjeti periodične i oscilatorne sustave. Na primjer, elektromagnetski valovi, pa čak i glazba.

Godine 1706., u knjizi "Novi uvod u matematiku" britanskog znanstvenika Williama Jonesa (1675-1749), slovo grčke abecede \(\pi\) prvi je put korišteno za označavanje broja 3,141592.. .. Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιϕερεια - krug, periferija i περιµετρoς - perimetar. Općeprihvaćena oznaka postala je nakon rada Leonharda Eulera 1737. godine.

geometrijski period

Konstantnost omjera duljine bilo kojeg kruga i njegovog promjera uočena je dugo vremena. Stanovnici Mezopotamije koristili su prilično grubu aproksimaciju broja \(\pi \). Kao što slijedi iz drevnih problema, oni koriste vrijednost \(\pi ≈ 3 \) u svojim izračunima.

Precizniju vrijednost za \(\pi \) koristili su stari Egipćani. U Londonu i New Yorku čuvaju se dva dijela starog egipatskog papirusa koji se naziva "Rhinda papirus". Papirus je sastavio pisar Armes između oko 2000.-1700. pr. Kr.. Armes je u svom papirusu napisao da je površina kruga polumjera \(r\) jednaka površini kvadrata sa stranicom jednakom \(\frac(8)(9) \) iz promjera kružnice \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), tj. \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Stoga \(\pi = 3,16\).

Starogrčki matematičar Arhimed (287.-212. pr. Kr.) prvi je postavio zadatak mjerenja kružnice na znanstvenoj osnovi. Dobio je rezultat \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoda je prilično jednostavna, ali u nedostatku gotovih tablica trigonometrijskih funkcija bit će potrebno vađenje korijena. Osim toga, aproksimacija \(\pi \) konvergira vrlo sporo: sa svakom iteracijom, pogreška se smanjuje samo za faktor četiri.

Analitičko razdoblje

Unatoč tome, sve do sredine 17. stoljeća svi pokušaji europskih znanstvenika da izračunaju broj \ (\ pi \) sveli su se na povećanje stranica poligona. Na primjer, nizozemski matematičar Ludolf van Zeilen (1540-1610) izračunao je približnu vrijednost broja \(\pi \) s točnošću od 20 decimalnih znamenki.

Trebalo mu je 10 godina da to shvati. Udvostručavajući broj stranica upisanog i opisanog poligona prema Arhimedovoj metodi, došao je do \(60 \cdot 2^(29) \) - kvadrata kako bi izračunao \(\pi \) s 20 decimalna mjesta.

Nakon njegove smrti, još 15 točnih znamenki broja \(\pi \) pronađeno je u njegovim rukopisima. Ludolph je ostavio da su znakovi koje je pronašao uklesani na njegovom nadgrobnom spomeniku. U njegovu čast, broj \(\pi \) ponekad se nazivao "Ludolfov broj" ili "Ludolfova konstanta".

Jedan od prvih koji je uveo metodu drugačiju od Arhimedove bio je François Viet (1540-1603). Došao je do rezultata da krug čiji je promjer jednak jedan ima površinu:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

S druge strane, površina je \(\frac(\pi)(4) \). Zamjenom i pojednostavljenjem izraza možemo dobiti sljedeću formulu beskonačnog proizvoda za izračunavanje približne vrijednosti \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Dobivena formula je prvi točan analitički izraz za broj \(\pi \). Osim ove formule, Viet je, koristeći Arhimedovu metodu, dao uz pomoć upisanih i opisanih poligona, počevši od 6-kuta i završavajući s poligonom sa \(2^(16) \cdot 6 \) stranama, aproksimacija broja \(\pi \) s 9 točnih znakova.

Engleski matematičar William Brounker (1620-1684) koristio je kontinuirani razlomak za izračunavanje \(\frac(\pi)(4)\) na sljedeći način:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Ova metoda izračunavanja aproksimacije broja \(\frac(4)(\pi) \) zahtijeva dosta izračuna da bi se dobila barem mala aproksimacija.

Vrijednosti dobivene kao rezultat zamjene su ili veće ili manje od broja \(\pi \), i svaki put bliže pravoj vrijednosti, ali dobivanje vrijednosti 3,141592 zahtijevat će prilično velik izračun.

Drugi engleski matematičar John Machin (1686-1751) je 1706. godine koristio formulu koju je Leibniz izveo 1673. za izračunavanje broja \(\pi \) sa 100 decimalnih mjesta i primijenio je na sljedeći način:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Niz se brzo konvergira i može se koristiti za izračunavanje broja \(\pi \) s velikom točnošću. Formule ovog tipa korištene su za postavljanje nekoliko rekorda u doba računala.

U 17. stoljeću s početkom razdoblja matematike promjenjive veličine, započela je nova faza u izračunavanju \(\pi \). Njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je 1673. godine pronašao proširenje broja \(\pi \), u općem obliku može se zapisati kao sljedeći beskonačni niz:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Niz se dobiva zamjenom x = 1 u \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Euler razvija ideju Leibniza u svom radu o korištenju nizova za arctg x pri izračunavanju broja \(\pi \). Rasprava "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (O različitim metodama izražavanja kvadrature kruga približnim brojevima), napisana 1738., raspravlja o metodama za poboljšanje izračuna pomoću Leibnizove formule.

Euler piše da će tangentni niz luka konvergirati brže ako argument teži nuli. Za \(x = 1\) konvergencija niza je vrlo spora: za izračunavanje s točnošću do 100 znamenki potrebno je dodati \(10^(50)\) članove niza. Možete ubrzati izračune smanjenjem vrijednosti argumenta. Ako uzmemo \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), onda ćemo dobiti niz

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Prema Euleru, ako uzmemo 210 članova ovog niza, dobivamo 100 točnih znamenki broja. Dobiveni niz je nezgodan, jer je potrebno znati dovoljno preciznu vrijednost iracionalnog broja \(\sqrt(3)\). Također, u svojim proračunima Euler je koristio proširenja arc tangenta u zbroj arc tangenta manjih argumenata:

\[gdje je x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Daleko od toga da su objavljene sve formule za izračunavanje \(\pi \) koje je Euler koristio u svojim bilježnicama. U objavljenim djelima i bilježnicama razmatrao je 3 različite serije za izračunavanje tangente luka, a također je dao mnoge izjave o broju zbrativih pojmova potrebnih za dobivanje približne vrijednosti \(\pi \) sa zadanom točnošću.

Sljedećih godina preciziranje vrijednosti broja \(\pi \) događalo se sve brže i brže. Tako je, na primjer, 1794. George Vega (1754-1802) već identificirao 140 znakova, od kojih se samo 136 pokazalo točnima.

Računalno razdoblje

20. stoljeće obilježila je potpuno nova faza u računanju broja \(\pi\). Indijski matematičar Srinivasa Ramanujan (1887-1920) otkrio je mnoge nove formule za \(\pi\). Godine 1910. dobio je formulu za izračunavanje \(\pi \) kroz proširenje tangente luka u Taylorov niz:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

S k=100 postiže se točnost od 600 točnih znamenki broja \(\pi \).

Pojava računala omogućila je značajno povećanje točnosti dobivenih vrijednosti u kraćem vremenskom razdoblju. Godine 1949., koristeći ENIAC, skupina znanstvenika na čelu s Johnom von Neumannom (1903-1957) dobila je 2037 decimalnih mjesta \(\pi \) u samo 70 sati. David i Gregory Chudnovsky su 1987. dobili formulu s kojom su mogli postaviti nekoliko rekorda u izračunu \(\pi \):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Svaki član niza daje 14 znamenki. Godine 1989. primljeno je 1.011.196.691 decimalno mjesto. Ova formula je vrlo prikladna za izračunavanje \(\pi \) na osobnim računalima. Trenutno su braća profesori na Politehničkom institutu Sveučilišta u New Yorku.

Važan noviji razvoj bio je otkriće formule 1997. od strane Simona Pluffa. Omogućuje vam da izdvojite bilo koju heksadecimalnu znamenku broja \(\pi \) bez izračunavanja prethodnih. Formula je nazvana "Bailey-Borwain-Pluff formula" u čast autora članka u kojem je formula prvi put objavljena. izgleda ovako:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

Godine 2006. Simon je, koristeći PSLQ, smislio neke lijepe formule za računanje \(\pi \). Na primjer,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

gdje je \(q = e^(\pi)\). Japanski znanstvenici su 2009. godine, koristeći superračunalo T2K Tsukuba System, dobili broj \(\pi \) s 2,576,980,377,524 decimalnih mjesta. Izračuni su trajali 73 sata i 36 minuta. Računalo je bilo opremljeno sa 640 četverojezgrenih AMD Opteron procesora, koji su osiguravali performanse od 95 trilijuna operacija u sekundi.

Sljedeće postignuće u izračunavanju \(\pi \) pripada francuskom programeru Fabriceu Bellardu, koji je krajem 2009. godine na svom osobnom računalu s Fedorom 10 postavio rekord izračunavši 2.699.999.990.000 decimalnih mjesta broja \(\pi \). U posljednjih 14 godina ovo je prvi svjetski rekord postavljen bez uporabe superračunala. Za visoke performanse, Fabrice je koristio formulu braće Chudnovsky. Ukupno je izračun trajao 131 dan (103 dana obračuna i 13 dana provjere). Bellarov uspjeh pokazao je da za takve izračune nije potrebno imati superračunalo.

Samo šest mjeseci kasnije, Françoisov rekord srušili su inženjeri Alexander Yi i Singer Kondo. Za postavljanje rekorda od 5 bilijuna decimalnih mjesta \(\pi \), korišteno je i osobno računalo, ali s još impresivnijim karakteristikama: dva Intel Xeon X5680 procesora na 3,33 GHz, 96 GB RAM-a, 38 TB disk memorije i rad sustav Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Za izračune su Alexander i Singer koristili formulu braće Chudnovsky. Proces izračuna je trajao 90 dana i 22 TB prostora na disku. Godine 2011. postavili su još jedan rekord izračunavši 10 trilijuna decimalnih mjesta za broj \(\pi \). Izračuni su se odvijali na istom računalu koje je postavilo njihov prethodni rekord i trajalo je ukupno 371 dan. Krajem 2013. Alexander i Singeru poboljšali su rekord na 12,1 bilijun znamenki broja \(\pi \), za što im je trebalo samo 94 dana da izračunaju. Ovo poboljšanje performansi postiže se optimizacijom performansi softvera, povećanjem broja procesorskih jezgri i značajnim poboljšanjem tolerancije softverskih grešaka.

Trenutni rekord je Alexander Yi i Singeru Kondo, koji iznosi 12,1 trilijuna decimalnih mjesta \(\pi \).

Tako smo ispitali metode za izračunavanje broja \(\pi \) korištene u antičko doba, analitičke metode, a također smo ispitali suvremene metode i zapise za izračunavanje broja \(\pi \) na računalima.

Popis izvora

1. Žukov A.V. Sveprisutni broj Pi - M.: Izdavačka kuća LKI, 2007. - 216 str.
2. F. Rudio. O kvadraturi kruga, s dodatkom povijesti pitanja, sastavio F. Rudio. / Rudio F. - M .: ONTI NKTP SSSR, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270 str.
4. Šuhman, E.V. Približno izračunavanje Pi pomoću serije za arctg x u objavljenim i neobjavljenim djelima Leonharda Eulera / E.V. Šuhman. - Povijest znanosti i tehnike, 2008. - br.4. - str. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuliaturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Vol. 9 - 222-236 str.
6. Šumikhin, S. Broj Pi. Povijest od 4000 godina / S. Shumikhin, A. Shumikhina. — M.: Eksmo, 2011. — 192 str.
7. Borwein, J.M. Ramanujan i Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. U svijetu znanosti. 1988. - br.4. - S. 58-66.
8. Alex Yee. svijet brojeva. Način pristupa: numberworld.org

Svidjelo se?

Reći

13. siječnja 2017

***

Što je zajedničko između kotača iz Lade Priore, vjenčanog prstena i tanjura vaše mačke? Naravno, reći ćete ljepota i stil, ali usuđujem se raspravljati s vama. Pi! Ovo je broj koji ujedinjuje sve krugove, krugove i zaobljenosti, uključujući, posebno, mamin prsten i kotač iz omiljenog automobila mog oca, pa čak i tanjurić moje voljene mačke Murzik. Spreman sam se kladiti da će na ljestvici najpopularnijih fizičkih i matematičkih konstanti broj Pi nesumnjivo zauzeti prvi redak. Ali što je iza toga? Možda neke strašne kletve matematičara? Pokušajmo razumjeti ovo pitanje.

Što je broj "Pi" i odakle je došao?

Moderna notacija brojeva π (Pi) pojavio zahvaljujući engleskom matematičaru Johnsonu 1706. godine. Ovo je prvo slovo grčke riječi περιφέρεια (periferija ili opseg). Za one koji su prošli kroz matematiku dugo, a osim toga, prošli, podsjećamo da je broj Pi omjer opsega kruga i njegovog promjera. Vrijednost je konstanta, odnosno konstantna je za bilo koju kružnicu, bez obzira na njezin polumjer. Ljudi su o tome znali od davnina. Tako je u starom Egiptu broj Pi uzet jednak omjeru 256/81, au vedskim tekstovima data je vrijednost 339/108, dok je Arhimed predložio omjer 22/7. Ali ni ovi ni mnogi drugi načini izražavanja broja pi nisu dali točan rezultat.

Pokazalo se da je broj Pi transcendentalan, odnosno iracionalan. To znači da se ne može predstaviti kao jednostavan razlomak. Ako se izrazi u decimali, tada će se niz znamenki nakon decimalne točke juriti u beskonačnost, štoviše, bez povremenog ponavljanja. Što sve ovo znači? Jako jednostavno. Želite li znati broj telefona djevojke koja vam se sviđa? Svakako se može naći u nizu znamenki iza decimalne točke broja Pi.

Telefon možete pogledati ovdje ↓

Pi broj do 10000 znakova.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Niste ga našli? Onda pogledaj.

Općenito, to može biti ne samo telefonski broj, već bilo koja informacija kodirana pomoću brojeva. Na primjer, ako sva djela Aleksandra Sergejeviča Puškina predstavljamo u digitalnom obliku, onda su ona bila pohranjena u broju Pi i prije nego što ih je napisao, čak i prije nego što se rodio. U principu su još uvijek tamo pohranjeni. Inače, kletve matematičara u π prisutni su i ne samo matematičari. Jednom riječju, Pi ima sve, čak i misli koje će sutra, prekosutra, za godinu ili možda za dvije posjetiti tvoju svijetlu glavu. U to je jako teško povjerovati, ali čak i ako se pretvaramo da vjerujemo, bit će još teže odatle dobiti informacije i dešifrirati ih. Dakle, umjesto da se udubljujete u ove brojke, možda bi bilo lakše prići djevojci koja vam se sviđa i pitati je za broj?.. Ali za one koji ne traže lake načine, dobro, ili ih samo zanima koji je broj Pi, Nudim nekoliko načina izračuna. Računajte na zdravlje.

Kolika je vrijednost Pi? Metode za njegov izračun:

1. Eksperimentalna metoda. Ako je pi omjer opsega kruga i njegovog promjera, onda bi možda prvi i najočitiji način za pronalaženje naše tajanstvene konstante bio ručno uzimanje svih mjerenja i izračunavanje pi pomoću formule π=l/d. Gdje je l opseg kruga, a d njegov promjer. Sve je vrlo jednostavno, samo se trebate naoružati koncem za određivanje opsega, ravnalom za pronalaženje promjera, a zapravo i duljine samog konca i kalkulatorom ako imate problema s podjelom na stupac . Lonac ili staklenka krastavaca mogu djelovati kao izmjereni uzorak, nije važno, glavna stvar? tako da je baza kružnica.

Razmatrana metoda izračuna je najjednostavnija, ali, nažalost, ima dva značajna nedostatka koja utječu na točnost rezultirajućeg broja Pi. Prvo, pogreška mjernih instrumenata (u našem slučaju, ovo je ravnalo s navojem), a drugo, nema jamstva da će krug koji mjerimo imati ispravan oblik. Stoga ne čudi što nam je matematika dala mnoge druge metode za izračunavanje π, gdje nema potrebe za točnim mjerenjima.

2. Leibnizova serija. Postoji nekoliko beskonačnih nizova koji vam omogućuju da točno izračunate broj pi na veliki broj decimalnih mjesta. Jedna od najjednostavnijih serija je Leibnizova serija. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Jednostavno: uzmemo razlomke s 4 u brojniku (ovo je onaj na vrhu) i jedan broj iz niza neparnih brojeva u nazivniku (ovo je onaj na dnu), uzastopno ih zbrajamo i oduzimamo jedan s drugim i dobiti broj Pi. Što više ponavljanja ili ponavljanja naših jednostavnih radnji, to je točniji rezultat. Usput, jednostavno, ali ne i učinkovito, potrebno je 500.000 iteracija da bi se dobila točna vrijednost Pi na deset decimalnih mjesta. Odnosno, morat ćemo nesretnu četvorku podijeliti čak 500.000 puta, a uz to ćemo morati oduzeti i zbrajati dobivene rezultate 500.000 puta. Želim pokušati?

3. Serija Nilakanta. Nemate vremena petljati po Leibnizu? Postoji alternativa. Nilakanta serija, iako je malo kompliciranija, omogućuje nam brže postizanje željenog rezultata. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Mislim da ako pažljivo pogledate zadani početni fragment serije, sve postaje jasno, a komentari suvišni. O ovome idemo dalje.

4. Monte Carlo metoda Prilično zanimljiva metoda za izračunavanje pi je Monte Carlo metoda. Tako ekstravagantno ime dobio je u čast istoimenog grada u kraljevstvu Monako. A razlog za to je nasumičan. Ne, nije slučajno nazvana, samo se metoda temelji na slučajnim brojevima, a što može biti slučajnije od brojeva koji ispadaju na ruletima u Monte Carlo casino? Izračun pi nije jedina primjena ove metode, budući da je pedesetih godina korištena u proračunima vodikove bombe. Ali nemojmo odstupiti.

Uzmimo kvadrat sa stranicom jednakom 2r, i u nju upišite kružnicu s polumjerom r. Sada, ako nasumično stavite točke u kvadrat, onda je vjerojatnost P da točka stane u krug je omjer površina kruga i kvadrata. P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Sada odavde izražavamo broj Pi π=4P. Ostaje samo dobiti eksperimentalne podatke i pronaći vjerojatnost P kao omjer pogodaka u krugu N kr pogoditi kvadrat N kvadratnih. Općenito, formula za izračun će izgledati ovako: π=4N cr / N sq.

Želio bih napomenuti da za implementaciju ove metode nije potrebno ići u kasino, dovoljno je koristiti bilo koji više ili manje pristojan programski jezik. Pa, točnost rezultata ovisit će o broju postavljenih točaka, odnosno što je više, to je točnije. Želim vam puno sreće 😉

Tau broj (umjesto zaključka).

Ljudi koji su daleko od matematike najvjerojatnije ne znaju, ali dogodilo se da broj Pi ima brata koji je duplo veći od njega. Ovaj broj je Tau(τ), a ako je Pi omjer opsega i promjera, tada je Tau omjer te duljine i polumjera. I danas postoje prijedlozi nekih matematičara da se broj Pi napusti i zamijeni s Tau, jer je to na mnogo načina prikladnije. Ali zasad su to samo prijedlozi, a kako je rekao Lev Davidovič Landau: "Nova teorija počinje dominirati kada pristaše stare izumru."