Paralelna izravna definicija i primjeri. Paralelne linije

Znakovi paralelnosti dvaju pravaca

Teorem 1. Ako se dva pravca sijeku sa sekantom:

ukršteni kutovi su jednaki, odn

odgovarajući kutovi su jednaki, odn

zbroj jednostraničkih kutova je 180°, tada

linije su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.

Neka su pravci a i b koji se sijeku poprečni i kutovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da pravci a i b nisu paralelni. Tada se oni sijeku u nekoj točki M i stoga će jedan od kutova 4 ili 6 biti vanjski kut trokuta ABM. Radi određenosti neka je ∠ 4 vanjski kut trokuta ABM, a ∠ 6 unutarnji. Iz teorema o vanjskom kutu trokuta proizlazi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti s uvjetom, što znači da se pravci a i 6 ne mogu sijeći, pa su paralelni.

Korolar 1. Dva različita pravca u ravnini okomitoj na isti pravac su paralelna(slika 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teorema 1 nazivamo metodom dokazivanja kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoj prvi naziv jer se na početku argumenta postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. Naziva se dovođenjem u apsurd zbog činjenice da, razmišljajući na temelju postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Dobivanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo početnu pretpostavku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruirajte pravac koji prolazi kroz zadanu točku M i paralelan je sa zadanim pravcem a, a ne prolazi kroz točku M.

Riješenje. Kroz točku M povučemo ravnu liniju p okomitu na ravnu liniju a (slika 3).

Zatim kroz točku M povučemo pravac b okomito na pravac p. Pravac b je paralelan s pravcem a prema korolariji teorema 1.

Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu uvijek je moguće povući pravac paralelan sa zadanim.

Glavno svojstvo paralelnih pravaca je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravaca. Kroz zadanu točku koja ne leži na zadanom pravcu prolazi samo jedan pravac paralelan sa zadanim.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravaca koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako pravac siječe jedan od dva paralelna pravca, onda siječe i drugi (sl. 4).

2) Ako su dva različita pravca paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna (slika 5).

Sljedeći teorem je također istinit.

Teorem 2. Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada je:

poprečni kutovi su jednaki;

odgovarajući kutovi su jednaki;

zbroj jednostraničkih kutova je 180°.

Korolar 2. Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi(vidi sliku 2).

Komentar. Teorem 2 naziva se inverzijom teorema 1. Zaključak teorema 1 je uvjet teorema 2. A uvjet teorema 1 je zaključak teorema 2. Nema svaki teorem inverziju, to jest, ako je dati teorem istinito, tada inverzni teorem može biti netočan.

Objasnimo to na primjeru teorema o vertikalnim kutovima. Ovaj se teorem može formulirati na sljedeći način: ako su dva kuta okomita, onda su jednaka. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva kuta jednaka, onda su okomita. A to, naravno, nije točno. Dva jednaka kuta ne moraju biti okomita.

Primjer 1. Dvije paralelne crte sijeku treća. Poznato je da je razlika između dva unutarnja jednakostrana kuta 30°. Pronađite ove kutove.

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjet.

Ovaj članak govori o paralelnim pravcima i paralelnim pravcima. Prvo se daje definicija paralelnih pravaca u ravnini i prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafički prikazi paralelnih pravaca. Zatim se raspravlja o znakovima i uvjetima paralelnosti pravaca. Zaključno su prikazana rješenja tipičnih zadataka dokazivanja paralelnosti pravaca koja su dana određenim jednadžbama pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.

Navigacija po stranici.

Paralelni pravci – osnovni podaci.

Definicija.

Dva pravca u ravnini nazivaju se paralelno, ako nemaju dodirnih točaka.

Definicija.

Dvije linije u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se paralelno, ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Imajte na umu da je klauzula "ako leže u istoj ravnini" u definiciji paralelnih pravaca u prostoru vrlo važna. Pojasnimo ovo: dvije linije u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničkih točaka i ne leže u istoj ravnini nisu paralelne, već se sijeku.

Evo nekoliko primjera paralelnih pravaca. Suprotni rubovi lista bilježnice leže na paralelnim crtama. Ravne linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke tračnice na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim linijama.

Za označavanje paralelnih pravaca koristite simbol “”. Odnosno, ako su pravci a i b paralelni, tada možemo ukratko napisati a b.

Napomena: ako su pravci a i b paralelni, onda možemo reći da je pravac a paralelan s pravcem b, a također i da je pravac b paralelan s pravcem a.

Izrazimo izjavu koja igra važnu ulogu u proučavanju paralelnih pravaca na ravnini: kroz točku koja ne leži na zadanoj liniji prolazi jedina ravna linija paralelna sa zadanom. Ova se tvrdnja prihvaća kao činjenica (ne može se dokazati na temelju poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravaca.

Za slučaj u prostoru vrijedi teorem: kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi jedna pravac paralelna zadanom. Ovaj se teorem lako dokazuje pomoću gornjeg aksioma paralelnih pravaca (njegov dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. razred koji je naveden na kraju članka u popisu literature).

Za slučaj u prostoru vrijedi teorem: kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi jedna pravac paralelna zadanom. Ovaj se teorem može lako dokazati pomoću gornjeg aksioma paralelne linije.

Paralelnost pravaca - znakovi i uvjeti paralelnosti.

Oznaka paralelnosti pravaca je dovoljan uvjet da pravci budu paralelni, odnosno uvjet čije ispunjenje jamči da su pravci paralelni. Drugim riječima, ispunjenje ovog uvjeta dovoljno je da se utvrdi činjenica da su pravci paralelni.

Također postoje nužni i dovoljni uvjeti za paralelnost pravaca na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.

Objasnimo značenje izraza “nužan i dovoljan uvjet za paralelne pravce”.

Već smo se pozabavili dovoljnim uvjetom za paralelne pravce. Koji je “nužan uvjet za paralelne pravce”? Iz naziva "potrebno" jasno je da je ispunjenje ovog uvjeta neophodno za paralelne pravce. Drugim riječima, ako nužni uvjet za paralelnost pravaca nije ispunjen, tada pravci nisu paralelni. Tako, nužan i dovoljan uvjet za paralelne pravce je uvjet čije je ispunjenje potrebno i dovoljno za paralelne pravce. To jest, s jedne strane, ovo je znak paralelnosti pravaca, a s druge strane, to je svojstvo koje imaju paralelni pravci.

Prije formuliranja potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca, preporučljivo je podsjetiti se na nekoliko pomoćnih definicija.

Sekantica je pravac koji siječe svaki od dva zadana pravca koji se ne podudaraju.

Kada se dvije ravne linije sijeku transverzalom, nastaje osam nerazvijenih. U formulaciji potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca tzv ležeći poprijeko, odgovarajući I jednostrani kutovi. Pokažimo ih na crtežu.

Teorema.

Ako su dva pravca u ravnini presječena transverzalom, tada je za njihovu paralelnost potrebno i dovoljno da su kutovi koji se sijeku jednaki, ili da su odgovarajući kutovi jednaki, ili da je zbroj jednostraničkih kutova jednak 180. stupnjeva.

Pokažimo grafički ilustraciju ovog potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca u ravnini.

Dokaze ovih uvjeta paralelnosti pravaca možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7.-9.

Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti iu trodimenzionalnom prostoru - glavno je da dvije ravne linije i sekanta leže u istoj ravnini.

Evo još nekoliko teorema koji se često koriste za dokazivanje paralelnosti pravaca.

Teorema.

Ako su dva pravca u ravnini paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna. Dokaz ovog kriterija slijedi iz aksioma paralelnih pravaca.

Postoji sličan uvjet za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.

Teorema.

Ako su dva pravca u prostoru paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna. O dokazu ovog kriterija govori se na nastavi geometrije u 10. razredu.

Ilustrirajmo navedene teoreme.

Predstavimo još jedan teorem koji nam omogućuje da dokažemo paralelizam pravaca na ravnini.

Teorema.

Ako su dva pravca u ravnini okomita na treći pravac, tada su paralelna.

Postoji sličan teorem za pravce u prostoru.

Teorema.

Ako su dvije crte u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravninu, tada su paralelne.

Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremima.

Svi gore formulirani teoremi, kriteriji te nužni i dovoljni uvjeti izvrsni su za dokazivanje paralelnosti pravaca metodama geometrije. To jest, da biste dokazali paralelnost dviju zadanih pravaca, morate pokazati da su paralelni s trećim pravcem, ili pokazati jednakost poprečno ležećih kutova, itd. Mnogi slični problemi rješavaju se na nastavi geometrije u srednjoj školi. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima prikladno koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravaca na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru. Formulirajmo potrebne i dovoljne uvjete za paralelnost pravaca koji su navedeni u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu.

U ovom odlomku članka ćemo formulirati potrebni i dovoljni uvjeti za paralelne pravce u pravokutnom koordinatnom sustavu, ovisno o vrsti jednadžbi koje definiraju te pravce, a dat ćemo i detaljna rješenja karakterističnih problema.

Pođimo od uvjeta paralelnosti dviju ravnih linija na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy. Njegov dokaz temelji se na definiciji vektora pravca pravca i definiciji vektora normale pravca na ravnini.

Teorema.

Da bi dva pravca koji se ne podudaraju bila paralelna u ravnini, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera tih pravaca kolinearni, ili da su normalni vektori tih pravaca kolinearni, ili da je vektor smjera jednog pravca okomit na normalu. vektor druge linije.

Očito se uvjet paralelnosti dvaju pravaca u ravnini svodi na (vektori smjera pravaca ili normalni vektori pravaca) ili na (vektor smjera jednog pravca i vektor normale drugog pravca). Dakle, ako su i vektori smjera pravaca a i b, i I normalni vektori pravaca a i b, tada će nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca a i b biti napisan kao , ili , ili , gdje je t neki realni broj. Zauzvrat, koordinate vodilica i (ili) normalnih vektora linija a i b nalaze se pomoću poznatih jednadžbi linija.

Konkretno, ako pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy na ravnini definira opću jednadžbu pravca oblika , i ravna linija b - , tada normalni vektori ovih pravaca imaju koordinate i, respektivno, a uvjet paralelnosti pravaca a i b bit će napisan kao .

Ako pravac a odgovara jednadžbi pravca s kutnim koeficijentom oblika , a pravac b - , tada normalni vektori tih pravaca imaju koordinate i , a uvjet paralelnosti tih pravaca ima oblik . Prema tome, ako su pravci na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu paralelni i mogu se odrediti jednadžbama pravaca s kutnim koeficijentima, tada će kutni koeficijenti pravaca biti jednaki. I obrnuto: ako se pravci koji se ne podudaraju na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu mogu odrediti jednadžbama pravca s jednakim kutnim koeficijentima, onda su takvi pravci paralelni.

Ako su pravac a i pravac b u pravokutnom koordinatnom sustavu određene kanonskim jednadžbama pravca na ravnini oblika I , ili parametarske jednadžbe pravca na ravnini oblika I prema tome, vektori smjera ovih pravaca imaju koordinate i , a uvjet paralelnosti pravaca a i b zapisan je kao .

Pogledajmo rješenja za nekoliko primjera.

Primjer.

Jesu li pravci paralelni? i ?

Riješenje.

Prepišimo jednadžbu pravca u segmentima u obliku opće jednadžbe pravca: . Sada možemo vidjeti da je to vektor normale pravca , a je vektor normale pravca. Ovi vektori nisu kolinearni jer ne postoji realni broj t za koji vrijedi jednakost ( ). Dakle, nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini nije zadovoljen, dakle, dani pravci nisu paralelni.

Odgovor:

Ne, linije nisu paralelne.

Primjer.

Jesu li ravne i paralelne?

Riješenje.

Svedimo kanonsku jednadžbu pravca na jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom: . Očito jednadžbe pravaca i nisu iste (u ovom slučaju zadani pravci bi bili isti), a kutni koeficijenti pravaca su jednaki, dakle, izvorni pravci su paralelni.

U ovom ćemo članku govoriti o paralelnim pravcima, dati definicije, te navesti znakove i uvjete paralelnosti. Kako bi teoretsko gradivo bilo jasnije, poslužit ćemo se ilustracijama i rješenjima tipičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Paralelni pravci na ravnini– dvije ravne crte na ravnini koje nemaju zajedničkih točaka.

Definicija 2

Paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru– dvije ravne crte u trodimenzionalnom prostoru koje leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Potrebno je napomenuti da je za određivanje paralelnih pravaca u prostoru iznimno važno pojašnjenje “leže u istoj ravnini”: dva pravca u trodimenzionalnom prostoru koji nemaju zajedničkih točaka i ne leže u istoj ravnini nisu paralelna. , ali se sijeku.

Za označavanje paralelnih pravaca uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su zadane prave a i b paralelne, ovaj uvjet treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b. Verbalno se paralelnost pravaca označava na sljedeći način: pravci a i b su paralelni, ili je pravac a paralelan s pravcem b, ili je pravac b paralelan s pravcem a.

Formulirajmo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.

Aksiom

Kroz točku koja ne pripada zadanom pravcu prolazi jedini pravac paralelan sa zadanim. Ova se tvrdnja ne može dokazati na temelju poznatih aksioma planimetrije.

U slučaju kada je riječ o prostoru, vrijedi teorem:

Teorem 1

Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne pripada zadanom pravcu, provest će jedna pravac paralelna zadanom.

Ovaj je teorem lako dokazati na temelju gornjeg aksioma (program geometrije za 10. - 11. razred).

Kriterij paralelnosti je dovoljan uvjet čije ispunjenje jamči paralelnost pravaca. Drugim riječima, ispunjenje ovog uvjeta dovoljno je za potvrdu činjenice paralelizma.

Konkretno, postoje potrebni i dovoljni uvjeti za paralelnost pravaca u ravnini i prostoru. Objasnimo: nužan je uvjet čije je ispunjenje potrebno za paralelne pravce; ako nije ispunjen, pravci nisu paralelni.

Ukratko, nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca je uvjet čije je poštivanje potrebno i dovoljno da pravci budu međusobno paralelni. S jedne strane, to je znak paralelizma, s druge strane, to je svojstvo svojstveno paralelnim linijama.

Prije nego što damo točnu formulaciju nužnog i dovoljnog uvjeta, podsjetimo se na nekoliko dodatnih pojmova.

Definicija 3

Sekantica– pravac koji siječe svaki od dva zadana pravca koji se ne podudaraju.

Presijecajući dvije ravne crte, transverzala tvori osam nerazvijenih kutova. Da bismo formulirali potreban i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste kutova kao što su ukriženi, odgovarajući i jednostrani. Pokažimo ih na ilustraciji:

Teorem 2

Ako su dva pravca u ravnini presječena transverzalom, tada je da bi zadani pravci bili paralelni potrebno i dovoljno da su kutovi koji se sijeku jednaki, ili da su odgovarajući kutovi jednaki, ili da je zbroj jednostraničkih kutova jednak 180 stupnjeva.

Ilustrirajmo grafički potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini:

Dokaz ovih uvjeta nalazi se u programu geometrije za 7.-9.

Općenito, ovi uvjeti vrijede i za trodimenzionalni prostor, pod uvjetom da dva pravca i sekanta pripadaju istoj ravnini.

Naznačimo još nekoliko teorema koji se često koriste za dokazivanje činjenice da su pravci paralelni.

Teorem 3

U ravnini su dva pravca paralelna s trećim međusobno paralelna. Ova značajka je dokazana na temelju gore navedenog aksioma paralelizma.

Teorem 4

U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.

Dokaz znaka proučava se u nastavnom planu i programu geometrije za 10. razred.

Dajmo ilustraciju ovih teorema:

Naznačimo još jedan par teorema koji dokazuju paralelnost pravaca.

Teorem 5

U ravnini su dva pravca okomita na treći paralelni jedan s drugim.

Formulirajmo sličnu stvar za trodimenzionalni prostor.

Teorem 6

U trodimenzionalnom prostoru dvije su crte okomite na treću paralelne jedna s drugom.

Ilustrirajmo:

Svi gornji teoremi, znakovi i uvjeti omogućuju prikladno dokazivanje paralelnosti linija koristeći metode geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravaca, može se pokazati da su odgovarajući kutovi jednaki, ili pokazati činjenicu da su dva dana pravca okomita na treći, itd. Ali imajte na umu da je često prikladnije koristiti metodu koordinata za dokazivanje paralelnosti pravaca na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu

U zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu pravac je određen jednadžbom pravca na ravnini jednog od mogućih tipova. Isto tako, ravna crta definirana u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednadžbama za ravnu liniju u prostoru.

Napišimo potrebne i dovoljne uvjete paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu ovisno o vrsti jednadžbe koja opisuje zadane pravce.

Pođimo od uvjeta paralelnosti pravaca u ravnini. Temelji se na definicijama vektora smjera pravca i vektora normale pravca na ravnini.

Teorem 7

Da bi dva pravca koji se ne podudaraju bila paralelna na ravnini, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera zadanih pravaca kolinearni, ili da su normalni vektori zadanih pravaca kolinearni, ili da je vektor smjera jednog pravca okomit na vektor normale drugog pravca.

Postaje očito da se uvjet paralelnosti pravaca na ravnini temelji na uvjetu kolinearnosti vektora ili uvjetu okomitosti dvaju vektora. To jest, ako su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera pravaca a i b ;

i n b → = (n b x , n b y) normalni vektori pravaca a i b, tada gornji nužni i dovoljni uvjet pišemo na sljedeći način: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ili n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate vodilica ili ravnih vektora određene su zadanim jednadžbama ravnih linija. Pogledajmo glavne primjere.

1. Pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu određen je općom jednadžbom pravca: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; pravac b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (A 1, B 1) odnosno (A 2, B 2). Uvjet paralelnosti pišemo na sljedeći način:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Pravac a opisuje se jednadžbom pravca s nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Pravac b - y = k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (k 1, - 1) odnosno (k 2, - 1), a uvjet paralelnosti ćemo napisati na sljedeći način:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Dakle, ako su paralelni pravci na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu zadani jednadžbama s kutnim koeficijentima, tada će kutni koeficijenti zadanih pravaca biti jednaki. A vrijedi i suprotna tvrdnja: ako su pravci koji se ne podudaraju na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni jednadžbama pravca s jednakim kutnim koeficijentima, tada su ti zadani pravci paralelni.

1. Pravci a i b u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni su kanonskim jednadžbama pravca na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednadžbama pravac na ravnini: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tada će vektori smjera zadanih pravaca biti: a x, a y odnosno b ​​x, b y, a uvjet paralelnosti ćemo napisati na sljedeći način:

a x = t b x a y = t b y

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Zadana su dva pravca: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Potrebno je utvrditi jesu li paralelni.

Riješenje

Napišimo jednadžbu pravca u segmentima u obliku opće jednadžbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo da je n a → = (2, - 3) vektor normale pravca 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 vektor normale pravca x 1 2 + y 5 = 1.

Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost tata da bi jednakost bila istinita:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dakle, nije zadovoljen nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini, što znači da zadani pravci nisu paralelni.

Odgovor: zadane prave nisu paralelne.

Primjer 2

Zadani su pravci y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Jesu li paralelni?

Riješenje

Pretvorimo kanonsku jednadžbu pravca x 1 = y - 4 2 u jednadžbu pravca s nagibom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo da jednadžbe pravaca y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, pravci bi bili podudarni), a kutni koeficijenti pravaca su jednaki, što znači da zadani pravci su paralelni.

Pokušajmo problem riješiti drugačije. Prvo provjerimo podudaraju li se zadani pravci. Koristimo bilo koju točku na liniji y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1), koordinate te točke ne odgovaraju jednadžbi crte x 1 = y - 4 2, što znači da linije odgovaraju ne poklapaju.

Sljedeći korak je utvrditi je li ispunjen uvjet paralelnosti zadanih pravaca.

Vektor normale pravca y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor smjera drugog zadanog pravca je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora jednak je nuli:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dakle, vektori su okomiti: to nam pokazuje ispunjenje potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost izvornih pravaca. Oni. zadani pravci su paralelni.

Odgovor: ove su linije paralelne.

Za dokaz paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora koristi se sljedeći nužan i dovoljan uvjet.

Teorem 8

Da bi dvije pravce koje se ne podudaraju u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjerova tih pravaca budu kolinearni.

Oni. s obzirom na jednadžbe pravaca u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: jesu li paralelni ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora smjera zadanih pravaca, kao i provjerom uvjeta njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori smjera pravaca a odnosno b, tada da bi bili paralelni, postojanje takvog realnog broja t potreban je tako da vrijedi jednakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primjer 3

Zadani su pravci x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravaca.

Riješenje

Uvjeti problema dani su kanonskim jednadžbama jednog pravca u prostoru i parametarskim jednadžbama drugog pravca u prostoru. Vodeći vektori a → i b → dani pravci imaju koordinate: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 · b → .

Dakle, zadovoljen je potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u prostoru.

Odgovor: dokazana je paralelnost zadanih pravaca.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupiti i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Stranica 3 od 3

Pitanje 21. Koliki je kut trokuta pri zadanom vrhu?
Odgovor. Kut trokuta ABC pri vrhu A je kut koji čine polupravci AB i AC. Određeni su i kutovi trokuta u vrhovima B i C.

Pitanje 22. Koji se segmenti nazivaju jednakima?
Odgovor. Segmenti se nazivaju jednakima ako su im duljine jednake.
Pitanje 23. Koji se kutovi nazivaju jednakima?
Odgovor. Kutovi se nazivaju jednakima ako su im stupnjeve mjere jednake.
Pitanje 24. Koji se trokuti nazivaju jednakima?
Odgovor. Trokuti se nazivaju sukladnim ako su im pripadne stranice jednake i pripadni kutovi jednaki. U tom slučaju, odgovarajući kutovi moraju ležati nasuprot odgovarajućih stranica.
Pitanje 25. Kako su na slici označene odgovarajuće stranice i kutovi jednakih trokuta?
Odgovor. Na crtežu se jednaki segmenti obično označavaju jednom, dvije ili tri crte, a jednaki kutovi jednim, dva ili tri luka.

Pitanje 26. Pomoću slike 23 objasnite postojanje trokuta jednakog ovome.
Odgovor.

Neka imamo trokut ABC i zraku a (slika 23, a). Pomaknimo trokut ABC tako da njegov vrh A bude poravnat s početkom poluprave a, vrh B bude na poluravnini a, a vrh C u zadanoj poluravnini u odnosu na polupravu a i njezin produžetak. Označit ćemo vrhove našeg trokuta u ovom novom položaju kao A 1, B 1, C 1 (slika 23, b).
Trokut A 1 B 1 C 1 jednak je trokutu ABC.
Pitanje 27. Koje se pravce nazivamo paralelnim? Kojim se znakom označavaju paralelni pravci?
Odgovor. Dva se pravca nazivaju paralelnima ako se ne sijeku. Za označavanje paralelnosti linija koristi se znak

Pitanje 28. Navedite glavno svojstvo paralelnih pravaca.
Odgovor. Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu, moguće je na ravnini povući najviše jednu ravnu liniju paralelnu sa zadanom.
Pitanje 29. Navedite primjer teorema.
Odgovor. Ako pravac koji ne prolazi niti jednim od vrhova trokuta siječe jednu od njegovih stranica, tada siječe samo jednu od druge dvije stranice.