दो भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के कोण की गणना। एक त्रिभुज की भुजाएँ

परिवहन और रसद उद्योग लातवियाई अर्थव्यवस्था के लिए विशेष महत्व रखते हैं क्योंकि उनकी जीडीपी वृद्धि स्थिर है और वे राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के लगभग सभी अन्य क्षेत्रों को सेवाएं प्रदान करते हैं। हर साल इस बात पर जोर दिया जाता है कि इस क्षेत्र को प्राथमिकता के रूप में मान्यता दी जानी चाहिए और इसके प्रचार-प्रसार को बढ़ाया जाना चाहिए, हालांकि, परिवहन और रसद क्षेत्र के प्रतिनिधि अधिक ठोस और दीर्घकालिक समाधान की आशा कर रहे हैं।

लातविया के सकल घरेलू उत्पाद में जोड़ा गया मूल्य का 9.1%

पिछले दशक के राजनीतिक और आर्थिक परिवर्तनों के बावजूद, हमारे देश की अर्थव्यवस्था पर परिवहन और रसद उद्योग का प्रभाव उच्च बना हुआ है: 2016 में इस क्षेत्र ने सकल घरेलू उत्पाद में मूल्यवर्धित मूल्य में 9.1% की वृद्धि की। इसके अलावा, औसत मासिक सकल वेतन अभी भी अन्य क्षेत्रों की तुलना में अधिक है - 2016 में अर्थव्यवस्था के अन्य क्षेत्रों में यह 859 यूरो था, जबकि भंडारण और परिवहन क्षेत्र में औसत सकल वेतन लगभग 870 यूरो (1,562 यूरो - जल परिवहन, 2,061) है यूरो - हवाई परिवहन, भंडारण और सहायक परिवहन गतिविधियों में 1059 यूरो, आदि)।

अतिरिक्त सहायता के रूप में विशेष आर्थिक क्षेत्र रोलैंड्स पीटरसन प्राइवेटबैंक

लॉजिस्टिक्स उद्योग के सकारात्मक उदाहरण वे बंदरगाह हैं जिन्होंने एक अच्छी संरचना विकसित की है। रीगा और वेंट्सपिल्स बंदरगाह मुक्त बंदरगाहों के रूप में कार्य करते हैं, और लीपाजा बंदरगाह लीपाजा विशेष आर्थिक क्षेत्र (एसईजेड) में शामिल है। मुक्त बंदरगाहों और एसईजेड में काम करने वाली कंपनियां न केवल सीमा शुल्क, उत्पाद शुल्क और मूल्य वर्धित कर के लिए 0 कर की दर प्राप्त कर सकती हैं, बल्कि कंपनी की आय पर 80% तक और रियल एस्टेट कर पर 100% तक की छूट भी प्राप्त कर सकती हैं। रोलैंड्स पीटरसन्स प्राइवेटबैंक बंदरगाह सक्रिय रूप से औद्योगिक और वितरण पार्कों के निर्माण और विकास से संबंधित विभिन्न निवेश परियोजनाओं को कार्यान्वित कर रहा है। निवेश का आकर्षण उच्च वर्धित मूल्य के निर्माण, उत्पादन के विकास, दी गई सेवाओं के स्पेक्ट्रम के विस्तार और नए कार्यस्थलों के निर्माण को बढ़ावा देता है। छोटे बंदरगाहों - स्कल्टे, मेर्सराग्स, सालैकग्रीवा, पाविलोस्टा, रोजा, जुर्मला और एंगुरे को ध्यान में लाना आवश्यक है, जो वर्तमान में लातवियाई अर्थव्यवस्था में एक स्थिर स्थिति पर कब्जा कर रहे हैं और पहले से ही क्षेत्रीय आर्थिक गतिविधि केंद्र बन गए हैं।

लीपाजा का बंदरगाह, अगला रॉटरडैम होगा।
रोलैंड्स पीटरसन प्राइवेटबैंक
विकास के अवसरों की एक विस्तृत श्रृंखला भी है, और अनुमानित लक्ष्यों को पूरा करने के लिए कई कार्रवाइयां की जा सकती हैं। उच्च वर्धित मूल्य वाली सेवाओं, नए माल प्रवाह को आकर्षित करके कार्गो की संसाधित मात्रा में वृद्धि, उच्च गुणवत्ता वाली यात्री सेवा और पारगमन और रसद के क्षेत्र में आधुनिक प्रौद्योगिकियों और सूचना प्रणालियों की शुरूआत की सख्त आवश्यकता है। . लीपाजा बंदरगाह के निकट भविष्य में दूसरा रॉटरडैम बनने की पूरी संभावना है। रोलैंड्स पीटरसन प्राइवेटबैंक

लातविया एशिया और सुदूर पूर्व से कार्गो के वितरण केंद्र के रूप में। रोलैंड्स पीटरसन प्राइवेटबैंक

बंदरगाह और विशेष आर्थिक क्षेत्र के आगे विकास के लिए सबसे महत्वपूर्ण मुद्दों में से एक रसद और वितरण केंद्रों का विकास है, जो मुख्य रूप से एशिया और सुदूर पूर्व से माल के आकर्षण पर ध्यान केंद्रित करता है। लातविया एशिया और सुदूर पूर्व (जैसे चीन, कोरिया) के लिए बाल्टिक और स्कैंडिनेवियाई देशों में कार्गो के वितरण केंद्र के रूप में काम कर सकता है। 31 दिसंबर, 2035 को "मुक्त बंदरगाहों और विशेष आर्थिक क्षेत्रों में कराधान पर" कानून के अनुसार लीपाजा विशेष आर्थिक क्षेत्र की कर व्यवस्था। यह व्यापारियों को 31 दिसंबर, 2035 तक निवेश और कर रियायत पर एक समझौते को समाप्त करने की अनुमति देता है। वे किए गए निवेश से सहायता के एक संविदात्मक स्तर तक पहुंचते हैं। इस स्थिति द्वारा प्रदान किए गए लाभों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, अवधि के संभावित विस्तार पर विचार करना आवश्यक है।

बुनियादी ढांचे का विकास और गोदाम स्थान का विस्तार रोलैंड्स पीटरसन प्राइवेटबैंक

हमारा लाभ इस तथ्य में निहित है कि न केवल एक रणनीतिक भौगोलिक स्थिति है बल्कि एक विकसित बुनियादी ढांचा भी है जिसमें गहरे पानी के बर्थ, कार्गो टर्मिनल, पाइपलाइन और कार्गो टर्मिनल से मुक्त क्षेत्र शामिल हैं। इसके अलावा, हम पूर्व-औद्योगिक क्षेत्र, वितरण पार्क, बहुउद्देश्यीय तकनीकी उपकरणों की एक अच्छी संरचना के साथ-साथ न केवल डिलीवरी के मामले में बल्कि माल के भंडारण और हैंडलिंग के मामले में भी उच्च स्तर की सुरक्षा जोड़ सकते हैं। . भविष्य में, पहुंच सड़कों (रेलवे और राजमार्ग) पर अधिक ध्यान देने, भंडारण सुविधाओं की मात्रा बढ़ाने और बंदरगाहों द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं की संख्या में वृद्धि करने की सलाह दी जाएगी। अंतर्राष्ट्रीय उद्योग प्रदर्शनियों और सम्मेलनों में भागीदारी से अतिरिक्त विदेशी निवेश आकर्षित करना संभव होगा और अंतर्राष्ट्रीय छवि में सुधार में योगदान मिलेगा।

त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं (ऐसी समस्याओं को यही कहा जाता है) को ज्यामिति की एक विशेष शाखा - त्रिकोणमिति द्वारा निपटाया जाता है।

त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई के अनुदिश

प्रसिद्ध प्राचीन गणितज्ञ पाइथागोरस ने एक समकोण त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करने का सुझाव दिया था। आधार एक समकोण त्रिभुज है, अर्थात जिसका एक कोण 90 डिग्री के बराबर है। किसी दिए गए कोण की आसन्न भुजाओं को हमेशा पैरों के रूप में नामित किया जाता है; तदनुसार, तीसरी, सबसे बड़ी भुजा को "कर्ण" कहा जाता है। पाइथागोरस प्रमेय इस प्रकार है: "कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है।"

इस समस्या को हल करने के लिए, हम एक पैर की लंबाई को X (x) के रूप में और दूसरे को Y (y) के रूप में दर्शाते हैं, कर्ण की लंबाई को Z (z) के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए अब कर्ण की लंबाई की गणना के लिए सूत्र लिखें: Z वर्ग = X वर्ग + Y वर्ग। इस सूत्र के आधार पर, हम अंततः कर्ण की लंबाई के वर्ग का मान प्राप्त करते हैं। इसका मतलब यह है कि कर्ण की लंबाई प्राप्त करने के लिए, आपको पैरों की लंबाई के परिणामी योग का वर्गमूल भी निकालना होगा।

पहले, जब आपको कर्ण की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता होती है तो हमने आदर्श विकल्प पर विचार किया था। यदि समस्या में किसी एक पैर की लंबाई अज्ञात है, तो, संकेतित प्रमेय के आधार पर, एक व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। एक पैर की लंबाई का वर्ग कर्ण की लंबाई के वर्ग से दूसरे पैर की लंबाई के वर्ग को घटाने पर प्राप्त मान के बराबर होता है: X वर्ग = Z वर्ग - Y वर्ग। खैर, अंतिम चरण प्राप्त मूल्य का वर्गमूल निकालना है।

उदाहरण के लिए, आइए पैरों की लंबाई के लिए सरल मान लें: 2 और 3 सेंटीमीटर। सरल गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके, हम Z वर्ग = 4 + 9 = 13 प्राप्त करते हैं। इसका मतलब है कि Z लगभग 3.6 सेंटीमीटर के बराबर है। यदि हम मानों के वर्ग को हटा दें, तो यह पता चलता है कि Z = 2 + 3 = 5 सेंटीमीटर, जो सत्य नहीं है।

दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण से

आप कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके किसी त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। यह ज्यामितीय प्रमेय इस प्रकार है: किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग ज्ञात भुजाओं की लंबाई और उनके बीच स्थित कोण की कोज्या के गुणनफल को योग से दोगुना घटाने पर प्राप्त मान के बराबर होता है। ज्ञात भुजाओं की लंबाई का वर्ग।

गणितीय रूप में, यह सूत्र इस तरह दिखता है: Z वर्ग=X²+Y²-2*X*Y*cosC. यहां X, Y, Z त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं, और C ज्ञात भुजाओं के बीच स्थित कोण की डिग्री में मान है।

उदाहरण के लिए, हम एक त्रिभुज का उपयोग करते हैं जिसकी ज्ञात भुजाएँ 2 और 4 सेंटीमीटर के बराबर हैं और उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। हम पहले बताए गए सूत्र का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं: Z वर्ग =4+16-2*2*4*cos60=20-8=12। अज्ञात भुजा की लंबाई 3.46 सेंटीमीटर है।

गणित में त्रिभुज पर विचार करते समय उसकी भुजाओं पर बहुत अधिक ध्यान दिया जाता है। क्योंकि ये तत्व इस ज्यामितीय आकृति का निर्माण करते हैं। त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग ज्यामिति की कई समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

अवधारणा की परिभाषा

तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड जो एक ही रेखा पर नहीं होते, त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। विचाराधीन तत्व समतल के एक भाग को सीमित करते हैं, जिसे किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति का आंतरिक भाग कहा जाता है।

गणितज्ञ अपनी गणना में ज्यामितीय आकृतियों की भुजाओं के संबंध में सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। इस प्रकार, एक विकृत त्रिभुज में, इसके तीन खंड एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

अवधारणा की विशेषताएँ

त्रिभुज की भुजाओं की गणना में आकृति के अन्य सभी मापदंडों को निर्धारित करना शामिल है। इनमें से प्रत्येक खंड की लंबाई जानकर, आप आसानी से त्रिभुज की परिधि, क्षेत्रफल और यहां तक ​​कि कोणों की गणना भी कर सकते हैं।

चावल। 1. मनमाना त्रिकोण.

किसी दी गई आकृति की भुजाओं का योग करके, आप परिमाप निर्धारित कर सकते हैं।

P=a+b+c, जहां a, b, c त्रिभुज की भुजाएं हैं

और किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तो आपको हीरोन सूत्र का प्रयोग करना चाहिए।

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

जहाँ p अर्ध-परिधि है।

किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के कोणों की गणना कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके की जाती है।

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

अर्थ

इस ज्यामितीय आकृति के कुछ गुण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं:

• किसी त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा के विपरीत उसका सबसे छोटा कोण होता है।
• प्रश्नगत ज्यामितीय आकृति का बाह्य कोण किसी एक भुजा को फैलाकर प्राप्त किया जाता है।
• किसी त्रिभुज के सम्मुख समान कोण समान भुजाएँ होती हैं।
• किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा हमेशा अन्य दो खंडों के अंतर से अधिक होती है। और इस आकृति के किन्हीं दो पक्षों का योग तीसरे से अधिक है।

दो त्रिभुजों के बराबर होने का एक संकेत ज्यामितीय आकृति की सभी भुजाओं के योग का अनुपात है। यदि ये मान समान हैं, तो त्रिभुज बराबर होंगे।

त्रिभुज के कुछ गुण उसके प्रकार पर निर्भर करते हैं। इसलिए, आपको पहले इस आकृति की भुजाओं या कोणों के आकार को ध्यान में रखना चाहिए।

त्रिकोण बनाना

यदि प्रश्नगत ज्यामितीय आकृति की दोनों भुजाएँ समान हैं, तो इस त्रिभुज को समद्विबाहु कहा जाता है।

चावल। 2. समद्विबाहु त्रिभुज.

जब किसी त्रिभुज के सभी खंड बराबर होते हैं, तो आपको एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।

चावल। 3. समबाहु त्रिभुज.

ऐसे मामलों में कोई भी गणना करना अधिक सुविधाजनक होता है जहां एक मनमाना त्रिभुज को एक विशिष्ट प्रकार के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। क्योंकि तब इस ज्यामितीय आकृति के आवश्यक पैरामीटर को खोजना काफी सरल हो जाएगा।

यद्यपि एक सही ढंग से चुना गया त्रिकोणमितीय समीकरण आपको कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है जिसमें एक मनमाना त्रिकोण माना जाता है।

हमने क्या सीखा?

तीन खंड जो बिंदुओं से जुड़े हुए हैं और एक ही सीधी रेखा से संबंधित नहीं हैं, एक त्रिभुज बनाते हैं। ये भुजाएँ एक ज्यामितीय तल बनाती हैं, जिसका उपयोग क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन खंडों का उपयोग करके, आप किसी आकृति की कई महत्वपूर्ण विशेषताएं पा सकते हैं, जैसे कि परिधि और कोण। किसी त्रिभुज का पक्षानुपात उसके प्रकार का पता लगाने में मदद करता है। किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के कुछ गुणों का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब इसके प्रत्येक पक्ष के आयाम ज्ञात हों।

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त्रिभुज एक ज्यामितीय संख्या है जिसमें तीन खंड होते हैं जो तीन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज बनाने वाले बिंदु इसके बिंदु कहलाते हैं, और खंड अगल-बगल होते हैं।

त्रिभुज के प्रकार (आयताकार, मोनोक्रोम, आदि) के आधार पर, आप इनपुट डेटा और समस्या की स्थितियों के आधार पर, विभिन्न तरीकों से त्रिभुज की भुजा की गणना कर सकते हैं।

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एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जो बताता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

यदि हम पैरों को "ए" और "बी" और कर्ण को "सी" के रूप में लेबल करते हैं, तो पृष्ठ निम्नलिखित सूत्रों के साथ पाए जा सकते हैं:

यदि किसी समकोण त्रिभुज (ए और बी) के न्यून कोण ज्ञात हों, तो इसकी भुजाएँ निम्नलिखित सूत्रों से ज्ञात की जा सकती हैं:

कटा हुआ त्रिकोण

समबाहु त्रिभुज उस त्रिभुज को कहते हैं जिसकी दोनों भुजाएँ समान होती हैं।

दो पैरों में कर्ण कैसे ज्ञात करें?

यदि अक्षर "ए" एक ही पृष्ठ के समान है, "बी" आधार है, "बी" आधार के विपरीत कोण है, "ए" पृष्ठों की गणना करने के लिए आसन्न कोण है, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

दो कोने और एक भुजा

यदि किसी त्रिभुज का एक पृष्ठ (सी) और दो कोण (ए और बी) ज्ञात हैं, तो शेष पृष्ठों की गणना के लिए साइन सूत्र का उपयोग किया जाता है:

आपको तीसरा मान y = 180 - (a + b) खोजना होगा क्योंकि

एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है;

दो भुजाएँ और एक कोण

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ (a और b) और उनके बीच का कोण (y) ज्ञात हो, तो तीसरी भुजा की गणना के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

समकोण त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें

त्रिभुजाकार त्रिभुज एक त्रिभुज होता है, जिसमें से एक 90 डिग्री का होता है और अन्य दो न्यूनकोण होते हैं। गणना परिमापऐसा त्रिकोणइसके बारे में ज्ञात जानकारी की मात्रा पर निर्भर करता है।

आपको इसकी आवश्यकता होगी

• मामले के आधार पर, त्रिभुज की तीन भुजाओं के साथ-साथ इसके न्यून कोणों में से एक को कौशल करें।

निर्देश

पहलाविधि 1. यदि तीनों पृष्ठ ज्ञात हों त्रिकोणफिर, चाहे लंबवत हो या गैर-त्रिकोणीय, परिधि की गणना इस प्रकार की जाती है: पी = ए + बी + सी, जहां संभव हो, सी कर्ण है; ए और बी पैर हैं।

दूसराविधि 2.

यदि एक आयत में केवल दो भुजाएँ हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, त्रिकोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: P = v (a2 + b2) + a + b या P = v (c2 - b2) + b + c।

तीसराविधि 3. माना कर्ण c और एक न्यूनकोण है? एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, तो परिधि इस प्रकार ज्ञात करना संभव होगा: पी = (1 + पाप?

चौथीविधि 4. वे कहते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक पैर की लंबाई a के बराबर होती है और, इसके विपरीत, एक न्यून कोण होता है। फिर गणना करें परिमापयह त्रिकोणसूत्र के अनुसार किया जाएगा: P = a * (1 / tg?

1/बेटा? + 1)

जागीरोंविधि 5.

ऑनलाइन त्रिकोण गणना

हमारे पैर को आगे बढ़ने दें और उसमें शामिल हो जाएं, फिर सीमा की गणना इस प्रकार की जाएगी: पी = ए * (1 / सीटीजी + 1 / + 1 कॉस?)

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पाइथागोरस प्रमेय समस्त गणित का आधार है। एक सच्चे त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध निर्धारित करता है। इस प्रमेय के अब 367 प्रमाण हैं।

निर्देश

पहलापाइथागोरस प्रमेय का क्लासिक स्कूल सूत्रीकरण इस तरह लगता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।

दो कैटेट्स के समकोण त्रिभुज में कर्ण खोजने के लिए, आपको पैरों की लंबाई का वर्ग करने का सहारा लेना होगा, उन्हें इकट्ठा करना होगा और योग का वर्गमूल निकालना होगा। उनके कथन के मूल सूत्रीकरण में, बाजार कर्ण पर आधारित है, जो केटेटे द्वारा निर्मित 2 वर्गों के योग के बराबर है। हालाँकि, आधुनिक बीजगणितीय सूत्रीकरण के लिए डोमेन प्रतिनिधित्व की शुरूआत की आवश्यकता नहीं होती है।

दूसराउदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज जिसके पैर 7 सेमी और 8 सेमी हैं।

फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, वर्ग कर्ण R + S = 49 + 64 = 113 सेमी के बराबर है। कर्ण संख्या 113 के वर्गमूल के बराबर है।

समकोण त्रिभुज के कोण

परिणाम एक निराधार संख्या थी.

तीसरायदि त्रिभुज के पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण = 25 = 5। जब आप वर्गमूल लेते हैं, तो आपको एक प्राकृतिक संख्या मिलती है। संख्याएँ 3, 4, 5 एक पायगागोरियन त्रिक बनाती हैं, क्योंकि वे संबंध x को संतुष्ट करती हैं? +य? = Z, जो प्राकृतिक है.

पाइथागोरस त्रिक के अन्य उदाहरण हैं: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

चौथीइस मामले में, यदि पैर एक-दूसरे के समान हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय अधिक आदिम समीकरण में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ऐसा हाथ संख्या ए के बराबर है और कर्ण सी के लिए परिभाषित है, और फिर सी? = एपी + एपी, सी = 2ए2, सी = ए? 2. इस मामले में आपको A की आवश्यकता नहीं है.

जागीरोंपाइथागोरस प्रमेय एक विशेष मामला है, जो सामान्य कोसाइन प्रमेय से बड़ा है, जो त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच किसी भी कोण के बीच संबंध स्थापित करता है।

टिप 2: पैरों और कोणों के लिए कर्ण का निर्धारण कैसे करें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है।

निर्देश

पहलाज्ञात कैथेटर के मामले में, साथ ही एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के मामले में, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि कोण विपरीत था / ई में शामिल हैं: एच = सी1 (या सी2) / पाप, एच = सी1 (या सी2?) / कॉस? उदाहरण: मान लीजिए ABC को कर्ण AB और समकोण C वाला एक अनियमित त्रिभुज दिया गया है।

माना B 60 डिग्री और A 30 डिग्री है। तने BC की लंबाई 8 सेमी है। कर्ण AB की लंबाई ज्ञात करनी चाहिए। ऐसा करने के लिए आप उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी। AB = BC / syn30 = 8 सेमी।

कर्ण एक आयत की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह समकोण पर स्थित है। आयत का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणस्रोत डेटा के आधार पर।

निर्देश

पहलायदि आपके पैर लंबवत हैं त्रिकोण, फिर आयत के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन एनालॉग द्वारा खोजा जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b दाहिनी ओर के पैरों की लंबाई हैं त्रिकोण .

दूसरायदि पैरों में से एक ज्ञात है और तीव्र कोण पर है, तो कर्ण खोजने का सूत्र ज्ञात पैर के संबंध में एक निश्चित कोण पर उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर करेगा - आसन्न (पैर करीब स्थित है), या इसके विपरीत ( विपरीत स्थिति स्थित है, निर्दिष्ट कोण का nego.V, कोज्या कोण में पैर के भिन्न कर्ण के बराबर है: a = a/cos;E, दूसरी ओर, कर्ण, ज्या कोणों के अनुपात के समान है: दा = ए/पाप.

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उपयोगी सलाह
एक कोणीय त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3:4:5 से संबंधित हैं, को मिस्र का डेल्टा कहा जाता है क्योंकि इन आकृतियों का प्राचीन मिस्र के वास्तुकारों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था।

यह जीरो के त्रिकोण का सबसे सरल उदाहरण भी है, जिसमें पृष्ठ और क्षेत्रफल को पूर्णांकों द्वारा दर्शाया जाता है।

त्रिभुज उस आयत को कहते हैं जिसका कोण 90° होता है। दाहिने कोने के विपरीत वाले हिस्से को कर्ण कहा जाता है, दूसरे को पैर कहा जाता है।

यदि आप यह जानना चाहते हैं कि नियमित त्रिभुजों के कुछ गुणों से एक समकोण त्रिभुज कैसे बनता है, अर्थात् यह तथ्य कि न्यून कोणों का योग 90° है, जिसका उपयोग किया जाता है, और यह तथ्य कि विपरीत पैर की लंबाई कर्ण की आधी है 30° है.

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कटा हुआ त्रिकोण

समबाहु त्रिभुज का एक गुण यह है कि इसके दोनों कोण बराबर होते हैं।

समकोण त्रिभुज के कोण की गणना करने के लिए, आपको यह जानना होगा:

• यह 90° से अधिक बुरा नहीं है।
• न्यून कोणों का मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, अर्थात।

  कोण α और β 45° के बराबर हैं।

यदि न्यून कोणों में से एक का ज्ञात मान ज्ञात है, तो दूसरे को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: β = 180º-90º-α या α = 180º-90º-β।

यदि कोणों में से एक 60° या 30° है तो इस अनुपात का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

महत्वपूर्ण अवधारणाएं

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

क्योंकि यह एक स्तर है, दो तीव्र रहते हैं।

त्रिकोण की गणना ऑनलाइन करें

यदि आप उन्हें ढूंढना चाहते हैं, तो आपको यह जानना होगा:

अन्य तरीके

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के मान की गणना औसत से की जा सकती है - त्रिभुज के विपरीत दिशा में एक बिंदु से एक रेखा के साथ, और ऊँचाई - रेखा एक समकोण पर कर्ण से खींची गई एक लंब है .

माध्यिका को दाएँ कोने से कर्ण के मध्य तक विस्तारित होने दें और h ऊँचाई होने दें। इस मामले में यह पता चलता है कि:

• पाप α = बी / (2 * एस); पाप β = ए / (2 * एस)।
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s)।
• पाप α = एच/बी; पाप β = एच/ए.

दो पन्ने

यदि समकोण त्रिभुज में या दोनों तरफ कर्ण और एक पैर की लंबाई ज्ञात हो, तो न्यून कोणों के मान निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया जाता है:

• α = आर्क्सिन (ए/सी), β = आर्क्सिन (बी/सी)।
• α = आर्कोस (बी/सी), β = आर्कोस (ए/सी)।
• α = आर्कटन (ए/बी), β = आर्कटन (बी/ए)।

एक समकोण त्रिभुज की लंबाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल और क्षेत्रफल

परिमाप

किसी भी त्रिभुज की परिधि उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होती है। त्रिभुजाकार त्रिभुज ज्ञात करने का सामान्य सूत्र है:

जहाँ P त्रिभुज की परिधि है, a, b और c इसकी भुजाएँ हैं।

एक समान त्रिभुज का परिमापइसकी भुजाओं की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर या भुजाओं की लंबाई को 2 से गुणा करके और आधार लंबाई को उत्पाद में जोड़कर पाया जा सकता है।

एक संतुलन त्रिभुज खोजने का सामान्य सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

जहाँ P एक समान त्रिभुज का परिमाप है, लेकिन b, b आधार है।

एक समबाहु त्रिभुज का परिमापइसकी भुजाओं की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर या किसी पृष्ठ की लंबाई को 3 से गुणा करके पाया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुजों का किनारा ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:

जहाँ P एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप है, a उसकी कोई भुजा है।

क्षेत्र

यदि आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल मापना चाहते हैं, तो आप इसकी तुलना समांतर चतुर्भुज से कर सकते हैं। त्रिभुज ABC पर विचार करें:

यदि हम वही त्रिभुज लेते हैं और उसे इस प्रकार स्थिर करते हैं कि हमें एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है, तो हमें इस त्रिभुज के समान ऊंचाई और आधार वाला एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है:

इस मामले में, त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा को ढाले गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ एक साथ मोड़ा जाता है।

समांतर चतुर्भुज के गुणों से. यह ज्ञात है कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हमेशा दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित होते हैं, फिर प्रत्येक त्रिभुज की सतह समांतर चतुर्भुज की आधी सीमा के बराबर होती है।

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी आधार ऊँचाई के गुणनफल के समान होता है, त्रिभुज का क्षेत्रफल इस गुणनफल के आधे के बराबर होगा। इस प्रकार, ΔABC के लिए क्षेत्रफल समान होगा

अब एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें:

दो समान समकोण त्रिभुजों को एक आयत में मोड़ा जा सकता है यदि यह उनके विरुद्ध झुकता है, जो एक दूसरे का कर्ण है।

चूँकि आयत की सतह आसन्न भुजाओं की सतह से मेल खाती है, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी समकोण त्रिभुज की सतह 2 से विभाजित पैरों के गुणनफल के बराबर होती है।

इन उदाहरणों से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक त्रिभुज की सतह लंबाई के उत्पाद के समान है, और ऊंचाई 2 से विभाजित सब्सट्रेट तक कम हो जाती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:

जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, लेकिन इसका आधार है, लेकिन ऊंचाई नीचे a तक गिरती है।

ज्यामिति में, कोण एक आकृति है जो एक बिंदु (कोण का शीर्ष कहा जाता है) से निकलने वाली दो किरणों से बनती है। अधिकांश मामलों में, कोण के माप की इकाई डिग्री (°) होती है - याद रखें कि एक पूर्ण कोण, या एक चक्कर, 360° होता है। आप किसी बहुभुज के कोण का मान उसके प्रकार और अन्य कोणों के मान से ज्ञात कर सकते हैं, और यदि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, तो कोण की गणना दो पक्षों से की जा सकती है। इसके अलावा, कोण को एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके मापा जा सकता है या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

कदम

बहुभुज के आंतरिक कोण कैसे ज्ञात करें

बहुभुज की भुजाओं की संख्या गिनें।बहुभुज के आंतरिक कोणों की गणना करने के लिए, आपको सबसे पहले यह निर्धारित करना होगा कि बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं। ध्यान दें कि बहुभुज की भुजाओं की संख्या उसके कोणों की संख्या के बराबर होती है।

• उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में 3 भुजाएँ और 3 आंतरिक कोण होते हैं, और एक वर्ग में 4 भुजाएँ और 4 आंतरिक कोण होते हैं।

1. बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों के योग की गणना करें।ऐसा करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें: (n - 2) x 180। इस सूत्र में, n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है। आमतौर पर पाए जाने वाले बहुभुजों के कोणों का योग निम्नलिखित है:

   • एक त्रिभुज (3 भुजाओं वाला बहुभुज) के कोणों का योग 180° होता है।
   • एक चतुर्भुज (4 भुजाओं वाला बहुभुज) के कोणों का योग 360° होता है।
   • एक पंचभुज (5 भुजाओं वाला बहुभुज) के कोणों का योग 540° होता है।
   • एक षट्भुज (6 भुजाओं वाला बहुभुज) के कोणों का योग 720° होता है।
   • एक अष्टभुज (8 भुजाओं वाला बहुभुज) के कोणों का योग 1080° होता है।

2. एक नियमित बहुभुज के सभी कोणों के योग को कोणों की संख्या से विभाजित करें।नियमित बहुभुज समान भुजाओं और समान कोणों वाला बहुभुज होता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: 180 ÷ 3 = 60°, और एक वर्ग के प्रत्येक कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: 360 ÷ 4 = 90°.

   • एक समबाहु त्रिभुज और एक वर्ग नियमित बहुभुज हैं। और पेंटागन बिल्डिंग (वाशिंगटन, यूएसए) और स्टॉप रोड साइन का आकार नियमित अष्टकोण का है।

3. अनियमित बहुभुज के कोणों के कुल योग से सभी ज्ञात कोणों का योग घटाएँ।यदि किसी बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं हैं और उसके कोण भी एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो पहले बहुभुज के ज्ञात कोणों को जोड़ें। अब परिणामी मान को बहुभुज के सभी कोणों के योग से घटाएं - इस तरह आपको अज्ञात कोण मिल जाएगा।

   • उदाहरण के लिए, यदि दिया गया है कि एक पंचभुज के चार कोण 80°, 100°, 120° और 140° हैं, तो इन संख्याओं को जोड़ें: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. अब इस मान को सभी के योग से घटाएं पंचभुज के कोण; यह योग 540° के बराबर है: 540 - 440 = 100°। इस प्रकार, अज्ञात कोण 100° है।

   सलाह:यदि आप आकृति के गुणों को जानते हैं तो कुछ बहुभुजों के अज्ञात कोण की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो भुजाएँ बराबर होती हैं और दो कोण बराबर होते हैं; एक समांतर चतुर्भुज (जो एक चतुर्भुज है) में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

   त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई मापें।समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा को कर्ण कहा जाता है। आसन्न भुजा वह भुजा है जो अज्ञात कोण के निकट है। विपरीत पक्ष वह पक्ष है जो अज्ञात कोण के विपरीत है। त्रिभुज के अज्ञात कोणों की गणना करने के लिए दोनों भुजाओं को मापें।

   सलाह:समीकरणों को हल करने के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करें, या साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के मानों के साथ एक ऑनलाइन तालिका ढूंढें।

   यदि आप विपरीत भुजा और कर्ण जानते हैं तो कोण की ज्या की गणना करें।ऐसा करने के लिए, मानों को समीकरण में प्लग करें: पाप(x) = विपरीत भुजा ÷ कर्ण। उदाहरण के लिए, विपरीत भुजा 5 सेमी है और कर्ण 10 सेमी है। 5/10 = 0.5 से विभाजित करें। इस प्रकार, पाप(x) = 0.5, अर्थात, x = पाप -1 (0.5)।