Oblique appelé ce type de flexion, dans lequel toutes les charges externes qui provoquent la flexion agissent dans un plan de force qui ne coïncide avec aucun des plans principaux.

Considérons une barre serrée à une extrémité et chargée à l'extrémité libre avec une force F(Fig. 11.3).

Riz. 11.3. Schéma de conception pour un virage oblique

Force externe F appliqué à un angle par rapport à l'axe y. Décomposons la force F en composantes situées dans les plans principaux de la poutre, alors :

Moments de flexion dans une section arbitraire prise à distance zà partir de l'extrémité libre, sera égal à :

Ainsi, dans chaque section de la poutre, deux moments de flexion agissent simultanément, ce qui crée une courbure dans les plans principaux. Par conséquent, un virage oblique peut être considéré comme un cas particulier de virage spatial.

Les contraintes normales dans la section transversale de la poutre avec flexion oblique sont déterminées par la formule

Pour trouver les contraintes normales de traction et de compression les plus élevées en flexion oblique, il est nécessaire de sélectionner la section dangereuse de la poutre.

Si moments de flexion | M x| et | Mon| atteignent leurs valeurs maximales dans une certaine section, alors c'est la section dangereuse. De cette façon,

Les sections dangereuses comprennent également les sections où les moments de flexion | M x| et | Mon| atteindre des valeurs suffisamment grandes en même temps. Par conséquent, avec une flexion oblique, il peut y avoir plusieurs sections dangereuses.

En général, quand - section asymétrique, c'est-à-dire que l'axe neutre n'est pas perpendiculaire au plan de force. Pour les sections symétriques, la flexion oblique n'est pas possible.

11.3. Position de l'axe neutre et des points dangereux

en coupe transversale. Condition de résistance à la flexion oblique.

Détermination des dimensions de la section transversale.

Mouvements en flexion oblique

La position de l'axe neutre en flexion oblique est déterminée par la formule

où est l'angle d'inclinaison de l'axe neutre par rapport à l'axe X;

L'angle d'inclinaison du plan de force par rapport à l'axe à(Fig. 11.3).

Dans la section dangereuse de la poutre (dans l'encastrement, Fig. 11.3), les contraintes aux points d'angle sont déterminées par les formules :

Avec la flexion oblique, ainsi qu'avec la flexion spatiale, l'axe neutre divise la section transversale de la poutre en deux zones - la zone de tension et la zone de compression. Pour une section rectangulaire, ces zones sont représentées sur la fig. 11.4.

Riz. 11.4. Schéma d'une section d'une poutre pincée à un coude oblique

Pour déterminer les contraintes extrêmes de traction et de compression, il est nécessaire de tracer des tangentes à la section dans les zones de traction et de compression, parallèlement à l'axe neutre (Fig. 11.4).

Points de contact les plus éloignés de l'axe neutre MAIS Et À PARTIR DE sont des points dangereux dans les zones de compression et de tension, respectivement.

Pour les matériaux ductiles, lorsque les résistances de calcul du matériau de la poutre en traction et en compression sont égales, c'est-à-dire [ σ p] = = [s c] = [σ ], dans la section dangereuse est déterminée et la condition de résistance peut être représentée comme

Pour les sections symétriques (rectangle, section en I), la condition de résistance a la forme suivante :

Trois types de calculs découlent de la condition de résistance :

Vérification;

Conception - détermination des dimensions géométriques de la section ;

Détermination de la capacité portante de la poutre (charge admissible).

Si la relation entre les côtés de la section transversale est connue, par exemple, pour un rectangle h = 2b, puis à partir de la condition de résistance de la poutre pincée, il est possible de déterminer les paramètres b Et h de la manière suivante :

ou

définitivement.

Les paramètres de n'importe quelle section sont déterminés de la même manière. Le déplacement complet de la section de poutre lors d'une flexion oblique, compte tenu du principe d'indépendance de l'action des forces, est défini comme la somme géométrique des déplacements dans les plans principaux.

Déterminez le déplacement de l'extrémité libre de la poutre. Utilisons la méthode Vereshchagin. On trouve le déplacement vertical en multipliant les diagrammes (Fig. 11.5) selon la formule

De même, nous définissons le déplacement horizontal :

Ensuite, le déplacement total est déterminé par la formule

Riz. 11.5. Schéma de détermination du déplacement complet

dans un virage oblique

La direction du mouvement complet est déterminée par l'angle β (Fig. 11.6):

La formule résultante est identique à la formule de détermination de la position de l'axe neutre de la section de poutre. Cela nous permet de conclure que , c'est-à-dire que la direction de déviation est perpendiculaire à l'axe neutre. Par conséquent, le plan de déflexion ne coïncide pas avec le plan de chargement.

Riz. 11.6. Schéma de détermination du plan de déviation

dans un virage oblique

Angle de déviation du plan de déviation par rapport à l'axe principal y sera d'autant plus grand que le déplacement sera important. Ainsi, pour une poutre à section élastique, dont le rapport J x/Je une grande flexion oblique est dangereuse, car elle provoque de grandes déviations et des contraintes dans le plan de moindre rigidité. Pour un bar avec J x= Je, la déflexion totale se situe dans le plan de force et la flexion oblique est impossible.

11.4. Tension excentrique et compression de la poutre. Normal

contraintes dans les sections transversales de la poutre

Tension excentrique (compression) est un type de déformation dans lequel la force de traction (compression) est parallèle à l'axe longitudinal de la poutre, mais le point de son application ne coïncide pas avec le centre de gravité de la section transversale.

Ce type de problème est souvent utilisé dans la construction lors du calcul des poteaux de construction. Considérez la compression excentrique d'une poutre. On note les coordonnées du point d'application de la force F de l'autre côté x F Et à F, et les axes principaux de la section transversale - à travers x et y. Axe z diriger de telle manière que les coordonnées x F Et à Fétaient positifs (Fig. 11.7, a)

Si vous transférez le pouvoir F parallèle à lui-même à partir d'un point À PARTIR DE au centre de gravité de la section, alors la compression excentrique peut être représentée comme la somme de trois déformations simples : compression et flexion dans deux plans (Fig. 11.7, b). Ce faisant, nous avons :

Contraintes en un point arbitraire de la section sous compression excentrique, située dans le premier quadrant, de coordonnées x et y peut être trouvé sur la base du principe d'indépendance de l'action des forces:

carrés des rayons d'inertie de la section, alors

où X Et y sont les coordonnées du point de section auquel la contrainte est déterminée.

Lors de la détermination des contraintes, il est nécessaire de prendre en compte les signes des coordonnées à la fois du point d'application de la force externe et du point où la contrainte est déterminée.

Riz. 11.7. Schéma d'une poutre avec compression excentrique

En cas de tension excentrique de la poutre dans la formule résultante, le signe "moins" doit être remplacé par le signe "plus".

Étirement (compression)- c'est le type de chargement de la poutre, dans lequel un seul facteur de force interne apparaît dans ses sections transversales - la force longitudinale N.

En traction et en compression, les efforts extérieurs sont appliqués selon l'axe longitudinal z (Figure 109).

Image 109

En utilisant la méthode des sections, il est possible de déterminer la valeur du VSF - la force longitudinale N sous chargement simple.

Les forces internes (contraintes) apparaissant dans une section transversale arbitraire pendant la traction (compression) sont déterminées à l'aide de conjectures de sections planes de Bernoulli :

La section transversale de la poutre, plane et perpendiculaire à l'axe avant chargement, reste la même sous chargement.

Il s'ensuit que les fibres de la poutre (figure 110) sont allongées d'autant. Cela signifie que les forces internes (c'est-à-dire les contraintes) agissant sur chaque fibre seront les mêmes et réparties uniformément sur la section transversale.

Image 110

Puisque N est la résultante des forces internes, alors N \u003d σ · A, signifie que les contraintes normales σ en traction et en compression sont déterminées par la formule :

[N/mm2 = MPa], (72)

où A est l'aire de la section transversale.

Exemple 24. Deux tiges : une section circulaire de diamètre d = 4 mm et une section carrée de 5 mm de côté sont étirées avec la même force F = 1000 N. Laquelle des tiges est la plus chargée ?

Étant donné: d = 4 mm ; a = 5 mm; F = 1000N.

Définir: σ 1 et σ 2 - dans les tiges 1 et 2.

Solution:

En traction, la force longitudinale dans les tiges est N = F = 1000 N.

Sections transversales des tiges :

; .

Contraintes normales dans les sections transversales des tiges :

, .

Puisque σ 1 > σ 2, la première tige ronde est plus chargée.

Exemple 25. Un câble torsadé à partir de 80 fils d'un diamètre de 2 mm est étiré avec une force de 5 kN. Déterminer la contrainte dans la section transversale.

Étant donné: k = 80 ; d = 2 mm ; F = 5 kN.

Définir: σ.

Solution:

N = F = 5 kN, ,

ensuite .

Ici, A 1 est la section transversale d'un fil.

Noter: section de câble n'est pas un cercle !

2.2.2 Diagrammes des efforts longitudinaux N et des contraintes normales σ sur la longueur de la barre

Pour calculer la résistance et la rigidité d'une poutre chargée de manière complexe en traction et en compression, il est nécessaire de connaître les valeurs de N et σ dans différentes sections.

Pour cela, des schémas sont construits : tracer N et tracer σ.

Diagramme- il s'agit d'un graphique de l'évolution de l'effort longitudinal N et des contraintes normales σ sur la longueur de la poutre.

Force longitudinale N dans une section transversale arbitraire de la poutre est égale à la somme algébrique de toutes les forces externes appliquées à la partie restante, c'est-à-dire un côté de la coupe

Les forces externes F, qui étirent la poutre et s'éloignent de la section, sont considérées comme positives.

L'ordre de tracer N et σ

1 Les sections transversales divisent la poutre en sections dont les limites sont :

a) sections aux extrémités de la poutre ;

b) où les forces F sont appliquées ;

c) où l'aire de la section transversale A change.

2 Nous numérotons les sections, en commençant par

fin libre.

3 Pour chaque parcelle, en utilisant la méthode

sections, nous déterminons la force longitudinale N

et tracer le tracé N sur une échelle.

4 Déterminer la contrainte normale σ

sur chaque site et intégrer

échelle de la parcelle σ.

Exemple 26. Construisez des diagrammes N et σ sur la longueur de la barre étagée (Figure 111).

Étant donné: F 1 \u003d 10 kN; F2 = 35 kN ; A 1 \u003d 1 cm 2; A 2 \u003d 2 cm 2.

Solution:

1) Nous divisons la poutre en sections dont les limites sont les suivantes: sections aux extrémités de la poutre, où des forces externes F sont appliquées, où la surface de la section transversale A change - il y a 4 sections au total.

2) On numérote les sections, en partant de l'extrémité libre :

de I à IV. Figure 111

3) Pour chaque section, en utilisant la méthode des sections, on détermine l'effort longitudinal N.

La force longitudinale N est égale à la somme algébrique de toutes les forces externes appliquées au reste de la poutre. De plus, les forces extérieures F, étirant la poutre sont considérées comme positives.

Tableau 13

4) Nous construisons le diagramme N sur une échelle. L'échelle n'est indiquée que par des valeurs positives de N, sur le diagramme le signe plus ou moins (extension ou compression) est indiqué dans un cercle dans le rectangle du diagramme. Les valeurs positives de N sont tracées au-dessus de l'axe zéro du diagramme, négatives - en dessous de l'axe.

5) Vérification (orale) : Dans les sections où des forces externes F sont appliquées, sur le diagramme N, il y aura des sauts verticaux égaux en amplitude à ces forces.

6) Nous déterminons les contraintes normales dans les sections de chaque section :

; ;

; .

Nous construisons le diagramme σ sur une échelle.

7) Examen: Les signes de N et σ sont les mêmes.

Réfléchir et répondre aux questions

1) c'est impossible; 2) est possible.

53 Les contraintes de traction (compression) des tiges dépendent-elles de la forme de leur section (carré, rectangle, cercle, etc.) ?

1) dépendent ; 2) ne dépendent pas.

54 La quantité de contrainte dans la section transversale dépend-elle du matériau à partir duquel la tige est fabriquée ?

1) dépend ; 2) ne dépend pas.

55 Quels points de la section transversale d'une tige ronde sont le plus chargés en tension ?

1) sur l'axe du faisceau ; 2) sur la surface du cercle ;

3) en tous points de la section transversale, les contraintes sont les mêmes.

56 Les tiges d'acier et de bois de section égale sont étirées par les mêmes forces. Les contraintes apparaissant dans les tiges seront-elles égales ?

1) dans l'acier, la contrainte est plus importante ;

2) dans le bois, la tension est plus grande ;

3) des contraintes égales apparaîtront dans les tiges.

57 Pour une barre (Figure 112), tracer les diagrammes N et σ si F 1 = 2 kN ; F 2 \u003d 5 kN; A 1 \u003d 1,2 cm 2; A 2 \u003d 1,4 cm 2.

Calcul d'une poutre de section ronde pour la résistance et la rigidité en torsion

Calcul d'une poutre de section ronde pour la résistance et la rigidité en torsion

Le but des calculs de résistance et de rigidité en torsion est de déterminer les dimensions de la section transversale de la poutre, auxquelles les contraintes et les déplacements ne dépasseront pas les valeurs spécifiées autorisées par les conditions de fonctionnement. La condition de résistance pour les contraintes de cisaillement admissibles est généralement écrite sous la forme Cette condition signifie que les contraintes de cisaillement les plus élevées qui se produisent dans une poutre torsadée ne doivent pas dépasser les contraintes admissibles correspondantes pour le matériau. La contrainte de torsion admissible dépend de 0 ─ la contrainte correspondant à l'état dangereux du matériau, et du coefficient de sécurité accepté n : ─ la limite d'élasticité, nt est le coefficient de sécurité pour la matière plastique ; ─ résistance à la traction, nв - facteur de sécurité pour les matériaux fragiles. Du fait qu'il est plus difficile d'obtenir des valeurs dans les expériences de torsion qu'en traction (compression), alors, le plus souvent, les contraintes de torsion admissibles sont prises en fonction des contraintes de traction admissibles pour le même matériau. Donc pour l'acier [pour la fonte. Lors du calcul de la résistance des poutres torsadées, trois types de tâches sont possibles, différant par la forme d'utilisation des conditions de résistance : 1) vérification des contraintes (calcul des tests) ; 2) sélection de la section (calcul de conception) ; 3) détermination de la charge admissible. 1. Lors de la vérification des contraintes pour des charges et des dimensions données d'une poutre, les plus grandes contraintes de cisaillement qui en résultent sont déterminées et comparées à celles données par la formule (2.16). Si la condition de résistance n'est pas remplie, il est nécessaire soit d'augmenter les dimensions de la section, soit de réduire la charge agissant sur la poutre, soit d'utiliser un matériau de résistance supérieure. 2. Lors de la sélection d'une section pour une charge donnée et une valeur donnée de contrainte admissible à partir de la condition de résistance (2.16), la valeur du moment polaire de résistance de la section transversale de la poutre est déterminée. section annulaire de la poutre se trouvent par l'amplitude du moment polaire de résistance. 3. Lors de la détermination de la charge admissible pour une tension admissible donnée et un moment polaire de résistance WP, d'abord, sur la base de (3.16), le couple admissible MK est déterminé, puis, à l'aide du diagramme de couple, une connexion est établie entre KM et moments de torsion externes. Le calcul de la poutre pour la résistance n'exclut pas la possibilité de déformations inacceptables lors de son fonctionnement. Les grands angles de torsion de la barre sont très dangereux, car ils peuvent entraîner une violation de la précision des pièces de traitement si cette barre est un élément structurel de la machine de traitement, ou des vibrations de torsion peuvent se produire si la barre transmet des moments de torsion variant dans le temps , la barre doit donc également être calculée pour la rigidité. La condition de rigidité s'écrit sous la forme suivante : où ─ le plus grand angle relatif de torsion de la poutre, déterminé à partir de l'expression (2.10) ou (2.11). Ensuite, la condition de rigidité de l'arbre prendra la forme La valeur de l'angle de torsion relatif admissible est déterminée par les normes et pour divers éléments structurels et différents types de charges varie de 0,15 ° à 2 ° pour 1 m de longueur de poutre. Tant dans la condition de résistance que dans la condition de rigidité, lors de la détermination de max ou max , nous utiliserons les caractéristiques géométriques : WP ─ moment de résistance polaire et IP ─ moment d'inertie polaire. Évidemment, ces caractéristiques seront différentes pour les sections solides rondes et annulaires avec la même surface de ces sections. Par des calculs spécifiques, on peut voir que les moments d'inertie polaires et le moment de résistance pour une section annulaire sont beaucoup plus importants que pour une section circulaire ronde, car la section annulaire n'a pas de zones proches du centre. Par conséquent, une barre de section annulaire en torsion est plus économique qu'une barre de section ronde pleine, c'est-à-dire qu'elle nécessite moins de consommation de matière. Cependant, la fabrication d'une telle barre est plus compliquée, et donc plus coûteuse, et cette circonstance doit également être prise en compte lors de la conception de barres fonctionnant en torsion. Nous illustrerons la méthodologie de calcul de la poutre pour la résistance et la rigidité en torsion, ainsi que le raisonnement sur l'efficacité, avec un exemple. Exemple 2.2 Comparer les masses de deux arbres dont les dimensions transversales sont choisies pour un même couple MK 600 Nm aux mêmes contraintes admissibles dans les fibres (sur une longueur d'au moins 10 cm) [cm] 90 2,5 Rcm 90 3 Fendage le long des fibres lors de la flexion [u] 2 Rck 2,4 Fendage le long des fibres lors de la coupe 1 Rck 1,2 - 2,4 fibres

En étirant (serrant) le bois dans sa des sections transversales ne surgissent que contraintes normales. La résultante des forces élémentaires correspondantes o, dA - force longitudinale N- peut être trouvé en utilisant la méthode de section. Afin de pouvoir déterminer les contraintes normales pour une valeur connue de l'effort longitudinal, il est nécessaire d'établir la loi de répartition sur la section transversale de la poutre.

Ce problème est résolu sur la base prothèses à section plate(hypothèses de J. Bernoulli), qui se lit :

les sections de poutre, qui sont planes et normales à son axe avant déformation, restent planes et normales à l'axe même pendant la déformation.

Lorsqu'une poutre est étirée (faite, par exemple, pour une plus grande visibilité de l'expérience en caoutchouc), sur la surface qui un système de rayures longitudinales et transversales a été appliqué (Fig. 2.7, a), vous pouvez vous assurer que les risques restent droits et mutuellement perpendiculaires, changez seulement

où A est l'aire de la section transversale de la poutre. En omettant l'indice z, on obtient finalement

Pour les contraintes normales, la même règle de signe est adoptée que pour les efforts longitudinaux, c'est-à-dire lorsqu'il est étiré, les contraintes sont considérées comme positives.

En effet, la répartition des contraintes dans les sections de poutre adjacentes au lieu d'application des efforts extérieurs dépend du mode d'application de la charge et peut être inégale. Des études expérimentales et théoriques montrent que cette violation de l'uniformité de la distribution des contraintes est caractère local. Dans les sections de la poutre, espacées du lieu de chargement à une distance approximativement égale à la plus grande des dimensions transversales de la poutre, la répartition des contraintes peut être considérée comme presque uniforme (Fig. 2.9).

La situation considérée est un cas particulier principe de Saint Venant, qui peut être formulé comme suit :

la répartition des contraintes ne dépend essentiellement du mode d'application des forces extérieures qu'à proximité du lieu de chargement.

Dans les parties suffisamment éloignées du lieu d'application des efforts, la répartition des contraintes ne dépend pratiquement que de l'équivalent statique de ces efforts, et non du mode de leur application.

Ainsi, en appliquant Principe Saint Venant et en nous écartant de la question des tensions locales, nous avons l'occasion (tant dans ce chapitre que dans les chapitres suivants du cours) de ne pas nous intéresser à des manières spécifiques d'appliquer des forces externes.

Aux endroits où la forme et les dimensions de la section transversale de la poutre changent brusquement, des contraintes locales apparaissent également. Ce phénomène est appelé la concentration de stress, que nous n'aborderons pas dans ce chapitre.

Dans les cas où les contraintes normales dans différentes sections transversales de la poutre ne sont pas les mêmes, il est conseillé de montrer la loi de leur évolution sur la longueur de la poutre sous la forme d'un graphique - diagrammes de contraintes normales.

EXEMPLE 2.3. Pour une poutre avec une section transversale variable (Fig. 2.10, a), tracez les forces longitudinales Et contraintes normales.

Solution. Nous divisons le faisceau en sections, à partir du messager gratuit. Les limites des sections sont les endroits où les forces externes sont appliquées et les dimensions de la section changent, c'est-à-dire que la poutre a cinq sections. Lors du traçage de diagrammes uniquement N il faudrait diviser la poutre en seulement trois sections.

En utilisant la méthode des sections, nous déterminons les efforts longitudinaux dans les sections transversales de la poutre et construisons le diagramme correspondant (Fig. 2.10.6). La construction du diagramme Et n'est fondamentalement pas différente de celle considérée dans l'exemple 2.1, nous omettons donc les détails de cette construction.

Nous calculons les contraintes normales à l'aide de la formule (2.1), en remplaçant les valeurs des forces en newtons et les aires - en mètres carrés.

Au sein de chaque section, les contraintes sont constantes, c'est-à-dire e. le tracé dans cette zone est une ligne droite, parallèle à l'axe des abscisses (Fig. 2.10, c). Pour les calculs de résistance, tout d'abord, les sections dans lesquelles les plus grandes contraintes se produisent sont intéressantes. Il est significatif que, dans le cas considéré, ils ne coïncident pas avec les sections où les efforts longitudinaux sont maximaux.

Dans les cas où la section transversale de la poutre sur toute la longueur est constante, le diagramme mais semblable à un complot N et n'en diffère que par l'échelle, il est donc logique de ne construire qu'un seul des schémas indiqués.