วิธีหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูถ้ารู้ทุกด้าน สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมและหน้าจั่ว: คุณสมบัติและลักษณะเฉพาะ วิธีค้นหาความสูงในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สำหรับคำถามง่ายๆ “จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร” มีหลายคำตอบ ทั้งหมดเป็นเพราะสามารถให้ค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกันได้ ดังนั้นสูตรก็จะต่างกันออกไป

สูตรเหล่านี้สามารถจดจำได้ แต่ได้มาไม่ยาก คุณเพียงแค่ต้องใช้ทฤษฎีบทที่เรียนรู้มาก่อนหน้านี้

สัญลักษณ์ที่ใช้ในสูตร

ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้านล่าง การอ่านตัวอักษรเหล่านี้ถูกต้อง

ในแหล่งข้อมูล: ทุกด้าน

หากต้องการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีทั่วไป คุณจะต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

n = √(ค 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2)หมายเลข 1

ไม่สั้นที่สุด แต่ก็พบปัญหาค่อนข้างน้อย โดยปกติคุณสามารถใช้ข้อมูลอื่นได้

สูตรที่จะบอกวิธีหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในสถานการณ์เดียวกันนั้นสั้นกว่ามาก:

n = √(ค 2 - (ก - ค) 2 /4)หมายเลข 2.

ปัญหาให้: ด้านด้านข้างและมุมที่ฐานด้านล่าง

สันนิษฐานว่ามุม α อยู่ติดกับด้านข้างโดยมีชื่อเรียกว่า "c" ตามลำดับ มุม β อยู่ติดกับด้าน d จากนั้นสูตรการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจะอยู่ในรูปแบบทั่วไป:

n = c * บาป α = d * บาป βหมายเลข 3

หากตัวเลขเป็นหน้าจั่ว คุณสามารถใช้ตัวเลือกนี้ได้:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan αหมายเลข 4

รู้จัก: เส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกเขา

โดยทั่วไป ข้อมูลเหล่านี้จะมาพร้อมกับปริมาณที่ทราบอื่นๆ เช่น ฐานหรือเส้นกลาง หากให้เหตุผลแล้วเพื่อตอบคำถามว่าจะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไรสูตรต่อไปนี้จะมีประโยชน์:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ b) หรือ n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b)หมายเลข 5.

นี่เป็นลักษณะทั่วไปของรูป หากให้หน้าจั่ว สัญกรณ์จะเปลี่ยนดังนี้:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ b) หรือ n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b)หมายเลข 6

เมื่อปัญหาเกี่ยวข้องกับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรการหาความสูงของมันจะเป็นดังนี้:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m หรือ n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2mหมายเลข 5ก

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m หรือ n = (d 1 2 * sin δ) / 2mหมายเลข 6ก

ในบรรดาปริมาณที่ทราบ: พื้นที่ที่มีฐานหรือเส้นกึ่งกลาง

นี่อาจเป็นสูตรที่สั้นที่สุดและง่ายที่สุดในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับตัวเลขโดยพลการมันจะเป็นดังนี้:

n = 2S / (a ​​+ b)หมายเลข 7

เหมือนกัน แต่มีสายกลางที่รู้จัก:

n = เอส/ม.หมายเลข 7ก

ผิดปกติพอสมควร แต่สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว สูตรจะดูเหมือนเดิม

งาน

ลำดับที่ 1. เพื่อกำหนดมุมที่ฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมู

เงื่อนไข.เมื่อพิจารณาจากสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีด้านยาว 5 ซม. ฐานคือ 6 และ 12 ซม. คุณต้องหาไซน์ของมุมแหลม

สารละลาย.เพื่อความสะดวกคุณควรป้อนชื่อ ปล่อยให้จุดยอดซ้ายล่างเป็น A ส่วนที่เหลือทั้งหมดในทิศทางตามเข็มนาฬิกา: B, C, D ดังนั้นฐานล่างจะถูกกำหนดให้เป็น AD ฐานบน - BC

จำเป็นต้องวาดความสูงจากจุดยอด B และ C จุดที่ระบุจุดสิ้นสุดของความสูงจะถูกกำหนด H 1 และ H 2 ตามลำดับ เนื่องจากมุมทั้งหมดในรูป BCH 1 H 2 เป็นมุมฉาก จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหมายความว่าส่วน H 1 H 2 คือ 6 ซม.

ตอนนี้เราต้องพิจารณาสามเหลี่ยมสองอัน พวกมันเท่ากันเพราะมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากและขาแนวตั้งเท่ากัน จากนี้ไปขาที่เล็กกว่าจะเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถกำหนดเป็นผลหารของผลต่างได้ อย่างหลังได้มาจากการลบอันบนออกจากฐานล่าง จะหารด้วย 2 นั่นคือ 12 - 6 ต้องหารด้วย 2 AN 1 = N 2 D = 3 (ซม.)

ตอนนี้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณต้องหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู จำเป็นต้องหาไซน์ของมุม VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (ซม.)

การใช้ความรู้ว่าไซน์ของมุมแหลมพบได้อย่างไรในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาเราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้: sin α = ВН 1 / AB = 0.8

คำตอบ.ไซน์ที่ต้องการคือ 0.8

หมายเลข 2. การหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ค่าแทนเจนต์ที่ทราบ

เงื่อนไข.สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คุณต้องคำนวณความสูง เป็นที่ทราบกันว่าฐานของมันคือ 15 และ 28 ซม. ให้ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลม: 11/13

สารละลาย.การกำหนดจุดยอดเหมือนกับในปัญหาก่อนหน้า คุณต้องวาดความสูงสองอันจากมุมด้านบนอีกครั้ง โดยการเปรียบเทียบกับวิธีแก้ไขปัญหาแรก คุณต้องหา AN 1 = N 2 D ซึ่งกำหนดเป็นผลต่างของ 28 และ 15 หารด้วยสอง หลังจากการคำนวณปรากฎว่า: 6.5 ซม.

เนื่องจากแทนเจนต์คืออัตราส่วนของสองขา เราจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้: tan α = AH 1 / VN 1 . อีกทั้งอัตราส่วนนี้เท่ากับ 11/13 (ตามเงื่อนไข) เนื่องจากทราบ AN 1 จึงสามารถคำนวณความสูงได้: BH 1 = (11 * 6.5) / 13 การคำนวณอย่างง่ายให้ผลลัพธ์ 5.5 ซม.

คำตอบ.ความสูงที่ต้องการคือ 5.5 ซม.

ลำดับที่ 3. เพื่อคำนวณความสูงโดยใช้เส้นทแยงมุมที่ทราบ

เงื่อนไข.เป็นที่ทราบกันดีเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูว่าเส้นทแยงมุมของมันคือ 13 และ 3 ซม. คุณต้องค้นหาความสูงของมันหากผลรวมของฐานคือ 14 ซม.

สารละลาย.ให้การกำหนดรูปเหมือนเดิม สมมติว่า AC เป็นเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า จากจุดยอด C คุณต้องวาดความสูงที่ต้องการและกำหนดให้เป็น CH

ตอนนี้คุณต้องทำการก่อสร้างเพิ่มเติม จากมุม C คุณต้องวาดเส้นตรงขนานกับเส้นทแยงมุมที่ใหญ่กว่าและค้นหาจุดตัดโดยมีความต่อเนื่องของด้าน AD นี่จะเป็น D 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมคางหมูใหม่ ซึ่งมีการวาดรูปสามเหลี่ยม ASD 1 ภายใน นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเพิ่มเติม

ความสูงที่ต้องการจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้วย ดังนั้นคุณสามารถใช้สูตรที่ศึกษาในหัวข้ออื่นได้ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของเลข 2 และพื้นที่หารด้วยด้านที่รูปนั้นถูกวาด และด้านออกมาเท่ากับผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเดิม มาจากกฎเกณฑ์ในการก่อสร้างเพิ่มเติม

ในรูปสามเหลี่ยมที่กำลังพิจารณาจะทราบทุกด้าน เพื่อความสะดวก เราขอแนะนำสัญลักษณ์ x = 3 ซม., y = 13 ซม., z = 14 ซม.

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้ทฤษฎีบทของนกกระสาได้แล้ว กึ่งปริมณฑลจะเท่ากับ p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (ซม.) จากนั้นสูตรสำหรับพื้นที่หลังจากแทนค่าจะมีลักษณะดังนี้: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (ซม. 2)

คำตอบ.ความสูง 6√10 / 7 ซม.

ลำดับที่ 4. การหาความสูงด้านข้าง

เงื่อนไข.เมื่อพิจารณาจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีสามด้านคือ 10 ซม. และด้านที่สี่คือ 24 ซม. คุณต้องหาความสูงของมัน

สารละลาย.เนื่องจากตัวเลขเป็นหน้าจั่ว คุณจะต้องมีสูตรหมายเลข 2 คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ค่าทั้งหมดลงไปแล้วนับ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (ซม.)

คำตอบ. n = √51 ซม.

ในชีวิตของเรา เรามักพบเจอการใช้เรขาคณิตในทางปฏิบัติ เช่น ในการก่อสร้าง รูปทรงเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุดคือสี่เหลี่ยมคางหมู และเพื่อให้โครงการประสบความสำเร็จและสวยงามจำเป็นต้องคำนวณองค์ประกอบสำหรับตัวเลขดังกล่าวอย่างถูกต้องและแม่นยำ

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคืออะไรซึ่งมีด้านคู่ขนานกันเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่มีอีกสองด้านที่เชื่อมต่อฐานเหล่านี้ พวกเขาเรียกว่าด้านข้าง คำถามหนึ่งเกี่ยวกับตัวเลขนี้คือ “จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร” จำเป็นต้องทราบทันทีว่าความสูงเป็นส่วนที่กำหนดระยะห่างจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง มีหลายวิธีในการกำหนดระยะทางนี้ ขึ้นอยู่กับปริมาณที่ทราบ

1. ทราบค่าของทั้งสองฐานแล้ว ลองแทนค่าเหล่านั้นด้วย b และ k รวมถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ การใช้ค่าที่ทราบ ทำให้การหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีนี้เป็นเรื่องง่ายมาก ดังที่ทราบจากรูปทรงเรขาคณิต คำนวณโดยเป็นผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง จากสูตรนี้คุณสามารถได้ค่าที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแบ่งพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ในรูปของสูตรจะมีลักษณะดังนี้:

S=((b+k)/2)*h ดังนั้น h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. ทราบความยาวของเส้นกลางแล้ว แสดงว่ามันเป็น d และพื้นที่ สำหรับผู้ที่ไม่ทราบเส้นกลางคือระยะห่างระหว่างกึ่งกลางด้านข้าง จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีนี้ได้อย่างไร? ตามคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางสอดคล้องกับผลรวมครึ่งหนึ่งของฐาน นั่นคือ d=(b+k)/2 เราใช้สูตรพื้นที่อีกครั้ง แทนที่ผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานด้วยค่าของเส้นกึ่งกลาง เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

อย่างที่เราเห็น มันง่ายมากที่จะหาความสูงจากสูตรผลลัพธ์ เมื่อหารพื้นที่ด้วยค่าของเส้นกึ่งกลางเราจะพบค่าที่ต้องการ ลองเขียนสิ่งนี้ลงไปด้วยสูตร:

3. ทราบความยาวของด้านหนึ่ง (b) และมุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้านนี้กับฐานที่ใหญ่ที่สุด คำตอบสำหรับคำถามว่าจะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีนี้ได้อย่างไร พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD โดยที่ AB และ CD เป็นด้าน และ AB=b ฐานที่ใหญ่ที่สุดคือ AD ให้เราแสดงว่ามุมที่เกิดจาก AB และ AD เป็น α จากจุด B ลดความสูง h ลงถึงฐาน AD ตอนนี้ให้พิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม ABF ซึ่งเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้าน AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และด้าน BF คือด้าน จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนของค่าของขาและค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากจะสอดคล้องกับไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามขา (BF) ดังนั้น จากข้อมูลข้างต้น ในการคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะคูณค่าของด้านที่ทราบและไซน์ของมุม α ในรูปแบบสูตรมีลักษณะดังนี้:

4. กรณีนี้ถือว่าคล้ายกันหากทราบขนาดของด้านข้างและมุม ให้เราแสดงว่าเป็น β ซึ่งเกิดขึ้นระหว่างด้านนี้กับฐานที่เล็กกว่า เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว มุมระหว่างด้านที่ทราบกับความสูงที่วาดจะเป็น 90° - β จากคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม - อัตราส่วนของความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากสอดคล้องกับโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างพวกเขา จากสูตรนี้ ง่ายต่อการหาค่าความสูง:

ชั่วโมง = ข *คอส(β-90°)

5. จะค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไรหากทราบเพียงรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้? จากนิยามของวงกลม มันจะสัมผัสจุดหนึ่งไปยังแต่ละฐาน นอกจากนี้จุดเหล่านี้ยังอยู่ในแนวเดียวกับจุดศูนย์กลางของวงกลม จากนี้ไประยะห่างระหว่างพวกเขาคือเส้นผ่านศูนย์กลางและในเวลาเดียวกันคือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ดูเหมือนว่า:

6. มักมีปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว จำไว้ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วได้อย่างไร? ด้วยเส้นทแยงมุมตั้งฉาก ความสูงจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นทแยงมุมไม่ตั้งฉาก? พิจารณา ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ตามคุณสมบัติของมันฐานจะขนานกัน จากนี้ไปมุมที่ฐานก็จะเท่ากันด้วย มาวาดความสูงสองอัน BF และ CM กัน จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่าสามเหลี่ยม ABF และ DCM เท่ากัน นั่นคือ AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2 ตอนนี้ ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามาตัดสินใจกัน ค่าที่ทราบแล้วจึงค้นหาความสูงโดยคำนึงถึงคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์อย่างหนึ่งที่ผู้คนต้องเผชิญในทางปฏิบัติเกือบทุกวัน ท่ามกลางรูปทรงเรขาคณิตที่หลากหลาย สี่เหลี่ยมคางหมูสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ เป็นรูปนูน มี 4 ด้าน สองด้านขนานกัน อย่างหลังเรียกว่าฐาน และอีกสองอันที่เหลือเรียกว่าข้าง ส่วนตั้งฉากกับฐานและกำหนดขนาดของช่องว่างระหว่างฐานเหล่านั้นจะเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะคำนวณความยาวของมันได้อย่างไร?

ค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูตามใจชอบ

จากข้อมูลเบื้องต้น การกำหนดความสูงของตัวเลขสามารถทำได้หลายวิธี

พื้นที่ที่รู้จัก

หากทราบความยาวของด้านขนานและระบุพื้นที่ของรูปด้วย ดังนั้นเพื่อกำหนดเส้นตั้งฉากที่ต้องการ คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

S=h*(ก+ข)/2,
h – ค่าที่ต้องการ (ความสูง)
S – พื้นที่ของรูป
a และ b เป็นด้านขนานกัน
จากสูตรข้างต้น จะได้ว่า h=2S/(a+b)

ทราบค่าของเส้นกึ่งกลางแล้ว

หากในบรรดาข้อมูลเริ่มต้นนอกเหนือจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (S) แล้วยังทราบความยาวของเส้นกึ่งกลาง (l) แล้วสูตรอื่นก็มีประโยชน์สำหรับการคำนวณ อันดับแรก ควรชี้แจงให้ชัดเจนว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมประเภทนี้คืออะไร คำนี้กำหนดส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูป

จากสมบัติสี่เหลี่ยมคางหมู l=(a+b)/2
ล. - เส้นกึ่งกลาง
a, b คือด้านฐานของรูปสี่เหลี่ยม
ดังนั้น h=2S/(a+b)=S/l

รู้จักรูปทั้ง 4 ด้าน

ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะช่วยได้ เมื่อลดระดับตั้งฉากลงเหลือด้านฐานที่ใหญ่กว่าแล้ว ให้ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสองอันที่ได้ นิพจน์สุดท้ายจะมีลักษณะดังนี้:

ชั่วโมง=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c และ d – อีก 2 ด้าน

มุมที่ฐาน

หากคุณมีข้อมูลเกี่ยวกับมุมฐาน ให้ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

h = c* sinα = d*sinβ,

α และ β เป็นมุมที่ฐานของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
c และ d เป็นด้านของมัน

เส้นทแยงมุมของรูปและมุมที่ตัดกันก่อตัวขึ้น

ความยาวของเส้นทแยงมุมคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของรูป ให้เราแสดงปริมาณเหล่านี้ด้วยสัญลักษณ์ d1 และ d2 และมุมระหว่างพวกมันด้วย γ และ φ แล้ว:

h = (d1*d2)/(a+b) บาป γ = (d1*d2)/(a+b) บาปφ,

h = (d1*d2)/2l บาป γ = (d1*d2)/2l บาปφ,

a และ b เป็นด้านฐานของรูป
d1 และ d2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
γ และ φ คือมุมระหว่างเส้นทแยงมุม

ความสูงของรูปและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

จากคำจำกัดความของวงกลมชนิดนี้ จะต้องแตะแต่ละฐานที่ 1 จุด ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงเส้นเดียว ดังนั้นระยะห่างระหว่างพวกเขาคือเส้นผ่านศูนย์กลาง – ความสูงที่ต้องการของรูป และเนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี ดังนั้น:

ชั่วโมง = 2 * r,
r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูนี้

ค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

• ต่อไปนี้จากสูตร ลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือความเท่ากันของด้านข้าง ดังนั้นในการหาความสูงของรูป ให้ใช้สูตรหาค่านี้ในกรณีที่รู้ด้านของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังนั้น ถ้า c = d แล้ว h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – ด้านฐานของรูปสี่เหลี่ยม
c = d – ด้านของมัน

• หากมีมุมที่เกิดจากสองด้าน (ฐานและด้านข้าง) ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – มุมที่ฐานของรูป
ก, ข (ก< b) – основания фигуры,
c = d – ด้านของมัน

• หากระบุค่าเส้นทแยงมุมของรูป นิพจน์ในการหาความสูงของรูปจะเปลี่ยนไปเพราะ ด1 = ดี2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*ล*ซินγ = d1 2 /2*ล*ซินφ

เราพบรูปร่างเช่นนี้ในชีวิตค่อนข้างบ่อย ตัวอย่างเช่น สะพานใดๆ ก็ตามที่ทำจากบล็อกคอนกรีตถือเป็นตัวอย่างที่สำคัญ ตัวเลือกที่มองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือการบังคับเลี้ยวของรถแต่ละคัน ฯลฯ คุณสมบัติของร่างนี้เป็นที่รู้จักในสมัยกรีกโบราณซึ่งอริสโตเติลได้อธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในงานวิทยาศาสตร์ของเขาเรื่อง "องค์ประกอบ" และความรู้ที่พัฒนาขึ้นเมื่อหลายพันปีก่อนยังคงมีความเกี่ยวข้องอยู่จนทุกวันนี้ ดังนั้นเรามาดูพวกเขากันดีกว่า

ติดต่อกับ

แนวคิดพื้นฐาน

รูปที่ 1 รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแบบคลาสสิก

สี่เหลี่ยมคางหมูโดยพื้นฐานแล้วเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ประกอบด้วยสองส่วนที่ขนานกันและอีกสองส่วนที่ไม่ขนานกัน เมื่อพูดถึงตัวเลขนี้ จำเป็นต้องจำแนวคิดเช่นฐาน ความสูง และเส้นกึ่งกลางเสมอ ส่วนของรูปสี่เหลี่ยมสองส่วนซึ่งเรียกว่าฐานต่อกัน (ส่วน AD และ BC) ความสูงเป็นส่วนตั้งฉากกับแต่ละฐาน (EH) เช่น ตัดกันที่มุม 90° (ดังแสดงในรูปที่ 1)

หากเรารวมค่าวัดระดับภายในทั้งหมดเข้าด้วยกัน ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 2π (360°) เช่นเดียวกับมุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ส่วนที่มีปลายเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้าง (IF) เรียกว่าสายกลาง.ความยาวของส่วนนี้คือผลรวมของฐาน BC และ AD หารด้วย 2

รูปทรงเรขาคณิตมีสามประเภท: เส้นตรง ปกติ และหน้าจั่ว หากมีมุมอย่างน้อยหนึ่งมุมที่จุดยอดของฐานอยู่ทางด้านขวา (เช่น ถ้า ABD = 90°) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูด้านขวา หากส่วนด้านข้างเท่ากัน (AB และ CD) จะเรียกว่าหน้าจั่ว (ดังนั้นมุมที่ฐานจึงเท่ากัน)

วิธีการหาพื้นที่

สำหรับการที่, เพื่อหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ใช้สูตรต่อไปนี้:

รูปที่ 2 การแก้ปัญหาการหาพื้นที่

เพื่อตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาแก้ปัญหาง่ายๆ กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น ให้ฐานบนและล่างเท่ากับ 16 และ 44 ซม. ตามลำดับ และด้านข้างคือ 17 และ 25 ซม. เรามาสร้างส่วนตั้งฉากจากจุดยอด D เพื่อให้ DE II BC (ดังแสดงในรูปที่ 2) จากที่นี่เราได้รับสิ่งนั้น

ให้ DF เป็น. จาก ΔADE (ซึ่งจะเป็นหน้าจั่ว) เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

กล่าวง่ายๆ คือ ก่อนอื่นเราพบความสูง ΔADE ซึ่งเป็นความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย จากที่นี่ เราคำนวณโดยใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้ว พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยมีค่าความสูง DF ที่ทราบอยู่แล้ว

ดังนั้น พื้นที่ ABCD ที่ต้องการคือ 450 cm³ นั่นคือเราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าตามลำดับ ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณเพียงต้องผลรวมของฐานและความยาวของความสูงเท่านั้น

สำคัญ!เมื่อแก้ไขปัญหาไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าความยาวแยกจากกันเป็นที่ยอมรับได้หากใช้พารามิเตอร์อื่นของรูปซึ่งหากมีการพิสูจน์ที่เหมาะสมจะเท่ากับผลรวมของฐาน

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีสามประเภท ขึ้นอยู่กับว่ารูปนั้นมีด้านใดและมุมใดที่เกิดที่ฐาน: สี่เหลี่ยม รูปไม่เท่ากัน และหน้าจั่ว

อเนกประสงค์

มีสองรูปแบบ: เฉียบพลันและป้าน. ABCD จะรุนแรงก็ต่อเมื่อมุมฐาน (AD) เป็นมุมแหลมและความยาวของด้านต่างกัน ถ้าค่าของมุมหนึ่งมากกว่า Pi/2 (หน่วยวัดองศามากกว่า 90°) เราจะได้มุมป้าน

หากด้านข้างมีความยาวเท่ากัน

รูปที่ 3 มุมมองของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ถ้าด้านที่ไม่ขนานกันมีความยาวเท่ากัน ABCD จะเรียกว่าหน้าจั่ว (ปกติ) ยิ่งไปกว่านั้น ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้น องศาของมุมที่ฐานจะเท่ากัน โดยมุมของพวกมันจะน้อยกว่ามุมขวาเสมอ ด้วยเหตุนี้เอง เส้นหน้าจั่วจึงไม่เคยแบ่งออกเป็นมุมแหลมและมุมป้าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของรูปร่างนี้มีความแตกต่างเฉพาะของตัวเอง ซึ่งรวมถึง:

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามจะเท่ากัน
2. มุมแหลมที่มีฐานใหญ่กว่าคือ 45° (ตัวอย่างภาพประกอบในรูปที่ 3)
3. ถ้าคุณบวกองศาของมุมตรงข้าม มันจะรวมกันได้ 180°
4. คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูธรรมดาได้
5. หากคุณบวกหน่วยวัดองศาของมุมตรงข้าม มันจะเท่ากับ π

นอกจากนี้เนื่องจากการจัดเรียงจุดทางเรขาคณิตจึงมีอยู่ คุณสมบัติพื้นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

ค่ามุมที่ฐาน 90°

ความตั้งฉากของด้านข้างของฐานเป็นลักษณะที่กว้างขวางของแนวคิด "สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม" ฐานจะมีสองด้านที่มีมุมไม่ได้เพราะไม่อย่างนั้นก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่แล้ว ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประเภทนี้ ด้านที่สองจะสร้างมุมแหลมโดยมีฐานใหญ่กว่าเสมอ และมุมป้านจะมีฐานเล็กกว่า ในกรณีนี้ ด้านตั้งฉากจะเป็นความสูงด้วย

ส่วนระหว่างกึ่งกลางของแก้มยาง

ถ้าเราเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างเข้าด้วยกัน และส่วนที่ได้ผลลัพธ์นั้นขนานกับฐานและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม ดังนั้นเส้นตรงที่ได้จะเป็นผลลัพธ์ จะเป็นทางสายกลางค่าของระยะทางนี้คำนวณโดยสูตร:

หากต้องการตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้พิจารณาปัญหาโดยใช้เส้นกึ่งกลาง

งาน. เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 7 ซม. เป็นที่ทราบกันว่าด้านใดด้านหนึ่งใหญ่กว่าอีกด้านหนึ่ง 4 ซม. (รูปที่ 4) หาความยาวของฐาน.

รูปที่ 4 การแก้ปัญหาการหาความยาวของฐาน

สารละลาย. ปล่อยให้ฐาน DC ที่เล็กกว่าเท่ากับ x cm จากนั้นฐานที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับ (x+4) cm ตามลำดับ จากตรงนี้ เราได้สูตรสำหรับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ปรากฎว่า DC ฐานเล็กกว่าคือ 5 ซม. และอันที่ใหญ่กว่าคือ 9 ซม.

สำคัญ!แนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตหลายๆ ข้อ ตามคำจำกัดความ มีการสร้างข้อพิสูจน์มากมายสำหรับตัวเลขอื่นๆ การใช้แนวคิดในทางปฏิบัติทำให้สามารถแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้นและค้นหาค่าที่ต้องการได้

การกำหนดส่วนสูงและวิธีหา

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ ความสูงเป็นส่วนที่ตัดฐานที่มุม 2Pi/4 และเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างฐานทั้งสอง ก่อนที่จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องพิจารณาว่าจะให้ค่าอินพุตใด เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเรามาดูปัญหากัน จงหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยที่ฐานยาว 8 และ 28 ซม. ด้านข้างยาว 12 และ 16 ซม. ตามลำดับ

รูปที่ 5. การแก้ปัญหาการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

ให้เราวาดส่วน DF และ CH เป็นมุมฉากกับฐาน AD ตามคำจำกัดความแต่ละส่วนจะมีความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนด (รูปที่ 5) ในกรณีนี้ เมื่อทราบความยาวของผนังแต่ละด้านโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบว่าความสูงในรูปสามเหลี่ยม AFD และ BHC เท่ากับเท่าใด

ผลรวมของกลุ่ม AF และ HB เท่ากับผลต่างของฐาน เช่น:

ปล่อยให้ความยาว AF เท่ากับ x ซม. จากนั้นความยาวของส่วน HB= (20 – x) ซม. ตามที่ได้ก่อตั้งขึ้น DF=CH จากที่นี่

จากนั้นเราจะได้สมการต่อไปนี้:

ปรากฎว่าส่วน AF ในรูปสามเหลี่ยม AFD เท่ากับ 7.2 ซม. จากที่นี่เราคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู DF โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน:

เหล่านั้น. ความสูงของ ADCB สี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 9.6 ซม. คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าการคำนวณความสูงเป็นกระบวนการทางกลมากกว่าและขึ้นอยู่กับการคำนวณด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม แต่ในปัญหาเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง สามารถทราบได้เฉพาะองศาของมุมเท่านั้น ซึ่งในกรณีนี้จะทำการคำนวณผ่านอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมภายใน

สำคัญ!โดยพื้นฐานแล้ว สี่เหลี่ยมคางหมูมักถูกมองว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เพื่อแก้ปัญหา 90% ของปัญหาทั้งหมดที่พบในหนังสือเรียนของโรงเรียน คุณสมบัติและลักษณะของตัวเลขเหล่านี้ สูตรส่วนใหญ่สำหรับ GMT นี้ได้มาโดยอาศัย "กลไก" สำหรับตัวเลขสองประเภทที่ระบุ

วิธีคำนวณความยาวของฐานอย่างรวดเร็ว

ก่อนที่จะค้นหาฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องพิจารณาว่าพารามิเตอร์ใดที่ได้รับไปแล้วและวิธีใช้อย่างมีเหตุผล วิธีปฏิบัติคือการแยกความยาวของฐานที่ไม่ทราบออกจากสูตรเส้นกึ่งกลาง เพื่อความเข้าใจที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของรูปภาพ เรามาใช้งานตัวอย่างเพื่อแสดงว่าสามารถทำได้อย่างไร ให้มันรู้ว่าเส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 7 ซม. และฐานหนึ่งยาว 10 ซม. จงหาความยาวของฐานที่สอง

วิธีแก้: เมื่อรู้ว่าเส้นกลางเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน เราสามารถบอกได้ว่าผลรวมของเส้นทั้งสองคือ 14 ซม.

(14 ซม. = 7 ซม. × 2) จากเงื่อนไขของปัญหา เรารู้ว่าหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ 10 ซม. ดังนั้นด้านที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ 4 ซม. (4 ซม. = 14 – 10)

นอกจากนี้ เพื่อการแก้ปัญหาประเภทนี้ที่สะดวกสบายยิ่งขึ้น เราขอแนะนำให้คุณเรียนรู้สูตรดังกล่าวอย่างละเอียดจากบริเวณสี่เหลี่ยมคางหมูเช่น:

• เส้นกลาง;
• สี่เหลี่ยม;
• ความสูง;
• เส้นทแยงมุม

เมื่อทราบสาระสำคัญ (สาระสำคัญที่แน่นอน) ของการคำนวณเหล่านี้ คุณสามารถค้นหาค่าที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย

วิดีโอ: สี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน

วิดีโอ: คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

บทสรุป

จากตัวอย่างปัญหาที่พิจารณาแล้ว เราสามารถสรุปง่ายๆ ว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูในแง่ของการคำนวณปัญหา เป็นหนึ่งในตัวเลขที่ง่ายที่สุดในเรขาคณิต ในการแก้ปัญหาให้ประสบความสำเร็จ ประการแรก คุณไม่ควรตัดสินใจว่าข้อมูลใดที่รู้เกี่ยวกับวัตถุที่อธิบาย ในสูตรที่สามารถนำมาใช้ และตัดสินใจว่าคุณต้องการค้นหาอะไร เมื่อปฏิบัติตามอัลกอริธึมง่ายๆ นี้แล้ว ไม่มีงานใดที่ใช้รูปทรงเรขาคณิตนี้จะเป็นเรื่องง่าย

ฉันคิดว่าการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นง่ายกว่า เพราะจะหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากก็เพียงพอแล้ว ฉันจะไม่เปิดเผยความลับนี้สหายพีทาโกรัสอธิบายไว้ค่อนข้างแม่นยำในเวลาของเขา)))

ในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ h = 2S/(a+b) โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ a และ b เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู คูณพื้นที่ด้วยสองแล้วหารด้วยผลรวมของฐาน

สูตรสำหรับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูมีหลายวิธี โดยขึ้นอยู่กับข้อมูลที่มีสำหรับสภาวะนั้นๆ

วิธีหนึ่งคือผ่านจัตุรัส



โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ก. ข - ฐาน

h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

ม. - เส้นกึ่งกลาง

มีสูตรมากมายในการคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู:











ที่นี่มันถูกระบุ:

h คือความสูงนั้นเอง

a, b, c, d - ด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู;

d1, d2 - สองเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ม. - เส้นกึ่งกลาง

ในรูปด้านล่าง ดูว่ามุมและ:



สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีสะโพกและมุมเท่ากันที่ฐานล่าง ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นผลคูณของด้านข้างและไซน์ของมุมที่ฐานล่างหรือเป็นผลคูณของครึ่ง -ผลต่างของฐานและแทนเจนต์ของมุมที่ฐานล่าง

ความสูงรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถพบได้โดยใช้ข้อมูลเดิม หากทราบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูและฐานแล้ว ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ h = 2S/(a+b) โดยที่ S คือพื้นที่ a และ b เป็นฐาน

สามารถ หาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถ้าทราบทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู และสี่เหลี่ยมคางหมูเองก็เป็นหน้าจั่ว ในกรณีนี้ ขั้นแรกเราจะหาฐานของสามเหลี่ยม ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หากทราบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูและเส้นกึ่งกลางแล้ว เพื่อกำหนดความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูก็เพียงพอที่จะแบ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูตามความยาวของเส้นกึ่งกลาง

ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถพบได้จากสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเกิดขึ้นที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู AB - ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก, ความสูงสุดของสี่เหลี่ยมคางหมู BH - ขาข้างหนึ่งและส่วนหนึ่งของฐานของ สี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างระหว่างสองฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู AH = (AD-BC) / 2 - นี่คือขาที่สอง ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาจะเท่ากับรากที่สองของผลต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับกำลังสองของขาที่สอง



ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ทราบเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู: ด้านหรือมุม จริงๆ แล้วนี่คือหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน)))

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านตรงข้ามกันสองด้านขนานกัน แต่อีกสองด้านที่เหลือไม่ขนานกัน ด้านที่ขนานกันเรียกว่าฐาน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ เท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง ถ้าเราแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตร เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

S=1/2h x(ก+ข)

h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

a และ b เป็นฐานของมัน

เรขาคณิต- วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำและสนุกสนาน

และสำหรับผู้ชื่นชอบรูปทรงเรขาคณิตการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูก็ไม่ใช่เรื่องยาก

สี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไร?

สี่เหลี่ยมคางหมู- นี่คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านตรงข้ามกันสองด้านขนานกัน แต่อีกสองด้านไม่ขนานกัน

นี่คือภาพวาดสี่เหลี่ยมคางหมู: