Parallell direkt definition och exempel. Parallella linjer

Tecken på parallellitet mellan två linjer

Sats 1. Om, när två linjer skär en sekant:

korsade vinklar är lika, eller

motsvarande vinklar är lika, eller

summan av ensidiga vinklar är alltså 180°

linjer är parallella(Figur 1).

Bevis. Vi begränsar oss till att bevisa fall 1.

Låt de skärande linjerna a och b vara korsvis och vinklarna AB lika. Till exempel, ∠ 4 = ∠ 6. Låt oss bevisa att en || b.

Antag att linjerna a och b inte är parallella. Sedan skär de varandra vid någon punkt M och därför kommer en av vinklarna 4 eller 6 att vara den yttre vinkeln för triangeln ABM. För visshetens skull, låt ∠ 4 vara den yttre vinkeln för triangeln ABM och ∠ 6 den inre. Av satsen om en triangels yttre vinkel följer att ∠ 4 är större än ∠ 6, och detta motsäger villkoret, vilket innebär att linjerna a och 6 inte kan skära varandra, så de är parallella.

Följd 1. Två olika linjer i ett plan vinkelrätt mot samma linje är parallella(Fig. 2).

Kommentar. Det sätt som vi just bevisade fall 1 av sats 1 kallas metoden för bevis genom motsägelse eller reducering till absurditet. Denna metod fick sitt förnamn eftersom det i början av argumentationen görs ett antagande som strider mot (motsatsen) till vad som behöver bevisas. Det kallas att leda till absurditet på grund av att vi, resonerande utifrån det antagande som gjorts, kommer till en absurd slutsats (till det absurda). Att få en sådan slutsats tvingar oss att förkasta antagandet som gjordes i början och acceptera det som behövde bevisas.

Uppgift 1. Konstruera en linje som går genom en given punkt M och parallell med en given linje a, inte genom punkten M.

Lösning. Vi drar en rät linje p genom punkten M vinkelrätt mot den räta linjen a (Fig. 3).

Sedan drar vi en linje b genom punkt M vinkelrätt mot linjen p. Linje b är parallell med linje a enligt konsekvensen av sats 1.

En viktig slutsats följer av det övervägda problemet:
genom en punkt som inte ligger på en given linje är det alltid möjligt att dra en linje parallell med den givna.

Huvudegenskapen för parallella linjer är följande.

Axiom för parallella linjer. Genom en given punkt som inte ligger på en given linje går det bara en linje parallellt med den givna.

Låt oss betrakta några egenskaper hos parallella linjer som följer av detta axiom.

1) Om en linje skär en av två parallella linjer, så skär den också den andra (fig. 4).

2) Om två olika linjer är parallella med en tredje linje, så är de parallella (fig. 5).

Följande teorem är också sant.

Sats 2. Om två parallella linjer skärs av en transversal, då:

tvärgående vinklar är lika;

motsvarande vinklar är lika;

summan av ensidiga vinklar är 180°.

Följd 2. Om en linje är vinkelrät mot en av två parallella linjer, är den också vinkelrät mot den andra(se fig. 2).

Kommentar. Sats 2 kallas inversen av sats 1. Slutsatsen av sats 1 är villkoret för sats 2. Och villkoret för sats 1 är slutsatsen av sats 2. Inte varje sats har en invers, det vill säga om en given sats är sant, då kan inverssatsen vara falsk.

Låt oss förklara detta med exemplet på satsen om vertikala vinklar. Denna sats kan formuleras på följande sätt: om två vinklar är vertikala, så är de lika. Den omvända satsen skulle vara: om två vinklar är lika, då är de vertikala. Och detta är naturligtvis inte sant. Två lika vinklar behöver inte vara vertikala.

Exempel 1. Två parallella linjer korsas av en tredje. Det är känt att skillnaden mellan två inre ensidiga vinklar är 30°. Hitta dessa vinklar.

Lösning. Låt figur 6 uppfylla villkoret.

Den här artikeln handlar om parallella linjer och parallella linjer. Först ges definitionen av parallella linjer på ett plan och i rymden, notation introduceras, exempel och grafiska illustrationer av parallella linjer ges. Därefter diskuteras tecknen och villkoren för parallellitet av linjer. Sammanfattningsvis visas lösningar på typiska problem för att bevisa linjers parallellitet, vilka ges av vissa ekvationer av en linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan och i tredimensionellt rum.

Sidnavigering.

Parallella linjer - grundläggande information.

Definition.

Två linjer i ett plan kallas parallell, om de inte har gemensamma punkter.

Definition.

Två linjer i det tredimensionella rummet kallas parallell, om de ligger i samma plan och inte har gemensamma punkter.

Observera att satsen "om de ligger i samma plan" i definitionen av parallella linjer i rymden är mycket viktig. Låt oss förtydliga denna punkt: två linjer i det tredimensionella rummet som inte har gemensamma punkter och inte ligger i samma plan är inte parallella, utan skär varandra.

Här är några exempel på parallella linjer. De motsatta kanterna på notebook-arket ligger på parallella linjer. De raka linjerna längs vilka husets väggplan skär takets och golvets plan är parallella. Järnvägsräls på plan mark kan också betraktas som parallella linjer.

För att beteckna parallella linjer, använd symbolen "". Det vill säga om raderna a och b är parallella kan vi kort skriva a b.

Observera: om linjerna a och b är parallella, så kan vi säga att linjen a är parallell med linjen b, och även att linjen b är parallell med linje a.

Låt oss uttrycka ett uttalande som spelar en viktig roll i studiet av parallella linjer på ett plan: genom en punkt som inte ligger på en given linje, passerar den enda räta linjen parallellt med den givna. Detta påstående accepteras som ett faktum (det kan inte bevisas på grundval av de kända axiomen för planimetri), och det kallas axiomet för parallella linjer.

För fallet i rymden är satsen giltig: genom vilken punkt i rymden som helst som inte ligger på en given linje passerar en enda rät linje parallell med den givna. Denna sats är lätt att bevisa med hjälp av ovanstående axiom för parallella linjer (du kan hitta dess bevis i geometriläroboken för årskurs 10-11, som listas i slutet av artikeln i referenslistan).

För fallet i rymden är satsen giltig: genom vilken punkt i rymden som helst som inte ligger på en given linje passerar en enda rät linje parallell med den givna. Detta teorem kan enkelt bevisas med hjälp av ovanstående parallelllinjeaxiom.

Parallellism av linjer - tecken och villkor för parallellism.

Ett tecken på parallellitet mellan linjerär ett tillräckligt villkor för att linjerna ska vara parallella, det vill säga ett villkor vars uppfyllelse garanterar att linjerna är parallella. Med andra ord är uppfyllelsen av detta villkor tillräckligt för att fastställa det faktum att linjerna är parallella.

Det finns också nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallellitet mellan linjer på ett plan och i tredimensionellt rymd.

Låt oss förklara innebörden av frasen "nödvändigt och tillräckligt villkor för parallella linjer."

Vi har redan behandlat det tillräckliga villkoret för parallella linjer. Vad är det "nödvändiga villkoret för parallella linjer"? Från namnet "nödvändigt" är det tydligt att uppfyllandet av detta villkor är nödvändigt för parallella linjer. Med andra ord, om det nödvändiga villkoret för parallella linjer inte är uppfyllt, är linjerna inte parallella. Således, nödvändig och tillräcklig förutsättning för parallella linjerär ett villkor vars uppfyllande är både nödvändigt och tillräckligt för parallella linjer. Det vill säga, å ena sidan är detta ett tecken på parallellitet av linjer, och å andra sidan är detta en egenskap som parallella linjer har.

Innan man formulerar ett nödvändigt och tillräckligt villkor för linjers parallellitet, är det lämpligt att komma ihåg flera hjälpdefinitioner.

Sekantlinjeär en linje som skär var och en av två givna icke sammanfallande linjer.

När två raka linjer skär varandra med en tvärgående, bildas åtta outvecklade. Vid formuleringen av det nödvändiga och tillräckliga villkoret för linjers parallellitet, den sk liggande på tvären, motsvarande Och ensidiga vinklar. Låt oss visa dem på ritningen.

Sats.

Om två räta linjer i ett plan skärs av en transversal, så är det nödvändigt och tillräckligt för att de ska vara parallella att de skärande vinklarna är lika, eller att motsvarande vinklar är lika, eller att summan av ensidiga vinklar är lika med 180 grader.

Låt oss visa en grafisk illustration av detta nödvändiga och tillräckliga villkor för parallellitet mellan linjer på ett plan.

Du kan hitta bevis på dessa villkor för linjers parallellitet i geometriläroböcker för årskurs 7-9.

Observera att dessa förhållanden även kan användas i tredimensionellt rymd - huvudsaken är att de två raka linjerna och sekanten ligger i samma plan.

Här är några fler satser som ofta används för att bevisa linjers parallellitet.

Sats.

Om två linjer i ett plan är parallella med en tredje linje, då är de parallella. Beviset för detta kriterium följer av axiomet för parallella linjer.

Det finns ett liknande villkor för parallella linjer i tredimensionellt utrymme.

Sats.

Om två linjer i rymden är parallella med en tredje linje, då är de parallella. Beviset för detta kriterium diskuteras i geometrilektionerna i årskurs 10.

Låt oss illustrera de angivna satserna.

Låt oss presentera ett annat teorem som låter oss bevisa parallelliteten hos linjer på ett plan.

Sats.

Om två linjer i ett plan är vinkelräta mot en tredje linje, så är de parallella.

Det finns ett liknande teorem för linjer i rymden.

Sats.

Om två linjer i det tredimensionella rummet är vinkelräta mot samma plan, så är de parallella.

Låt oss rita bilder som motsvarar dessa satser.

Alla satser, kriterier och nödvändiga och tillräckliga villkor formulerade ovan är utmärkta för att bevisa parallelliteten hos linjer med hjälp av geometrimetoderna. Det vill säga, för att bevisa parallelliteten mellan två givna linjer, måste du visa att de är parallella med en tredje linje, eller visa likheten mellan korsvis liggande vinklar, etc. Många liknande problem löses i geometrilektionerna på gymnasiet. Det bör dock noteras att det i många fall är bekvämt att använda koordinatmetoden för att bevisa parallelliteten hos linjer på ett plan eller i tredimensionellt utrymme. Låt oss formulera de nödvändiga och tillräckliga villkoren för parallelliteten hos linjer som är specificerade i ett rektangulärt koordinatsystem.

Parallellism av linjer i ett rektangulärt koordinatsystem.

I detta stycke i artikeln kommer vi att formulera nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallella linjer i ett rektangulärt koordinatsystem, beroende på vilken typ av ekvationer som definierar dessa linjer, och vi kommer också att tillhandahålla detaljerade lösningar på karakteristiska problem.

Låt oss börja med villkoret för parallellitet för två räta linjer på ett plan i det rektangulära koordinatsystemet Oxy. Hans bevis är baserat på definitionen av riktningsvektorn för en linje och definitionen av normalvektorn för en linje på ett plan.

Sats.

För att två icke sammanfallande linjer ska vara parallella i ett plan, är det nödvändigt och tillräckligt att riktningsvektorerna för dessa linjer är kolinjära, eller att normalvektorerna för dessa linjer är kolinjära, eller att riktningsvektorn för en linje är vinkelrät mot normalen. vektor för den andra raden.

Uppenbarligen reduceras tillståndet för parallellitet för två linjer på ett plan till (riktningsvektorer av linjer eller normala vektorer av linjer) eller till (riktningsvektor för en linje och normalvektor för den andra linjen). Således, om och är riktningsvektorer för linjerna a och b, och Och är normalvektorer för linjerna a respektive b, så kommer det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallelliteten mellan linjerna a och b att skrivas som , eller , eller , där t är något reellt tal. I sin tur hittas koordinaterna för guiderna och (eller) normalvektorerna för linjerna a och b med hjälp av de kända linjeekvationerna.

I synnerhet om rät linje a i det rektangulära koordinatsystemet Oxy på planet definierar en allmän rät linjeekvation av formen , och rät linje b - , då normalvektorerna för dessa linjer har koordinater och, respektive, och villkoret för parallellitet av linjerna a och b kommer att skrivas som .

Om linje a motsvarar ekvationen för en linje med en vinkelkoefficient av formen, och linje b-, så har dessa linjers normalvektorer koordinater och , och villkoret för parallellitet för dessa linjer har formen . Följaktligen, om linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem är parallella och kan specificeras genom ekvationer av linjer med vinkelkoefficienter, så kommer vinkelkoefficienterna för linjerna att vara lika. Och vice versa: om icke-sammanfallande linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem kan specificeras med ekvationer av en linje med lika vinkelkoefficienter, då är sådana linjer parallella.

Om en linje a och en linje b i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av de kanoniska ekvationerna för en linje på ett plan av formen Och , eller parametriska ekvationer av en rät linje på ett plan av formen Och följaktligen har riktningsvektorerna för dessa linjer koordinater och , och villkoret för parallellitet mellan linjerna a och b skrivs som .

Låt oss titta på lösningar på flera exempel.

Exempel.

Är linjerna parallella? Och ?

Lösning.

Låt oss skriva om ekvationen för en linje i segment i form av en allmän linjeekvation: . Nu kan vi se att det är linjens normalvektor , a är linjens normalvektor. Dessa vektorer är inte kolinjära, eftersom det inte finns något reellt tal t för vilket likheten ( ). Följaktligen är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet hos linjer på ett plan inte uppfyllt, därför är de givna linjerna inte parallella.

Svar:

Nej, linjerna är inte parallella.

Exempel.

Är raka linjer och parallella?

Lösning.

Låt oss reducera den kanoniska ekvationen för en rät linje till ekvationen för en rät linje med en vinkelkoefficient: . Uppenbarligen är linjernas ekvationer och inte desamma (i detta fall skulle de givna linjerna vara desamma) och linjernas vinkelkoefficienter är lika, därför är de ursprungliga linjerna parallella.

I den här artikeln kommer vi att prata om parallella linjer, ge definitioner och beskriva tecknen och villkoren för parallellism. För att göra det teoretiska materialet tydligare kommer vi att använda illustrationer och lösningar på typexempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Parallella linjer på ett plan– två raka linjer på ett plan som inte har några gemensamma punkter.

Definition 2

Parallella linjer i tredimensionellt utrymme– två raka linjer i tredimensionellt utrymme, som ligger i samma plan och saknar gemensamma punkter.

Det är nödvändigt att notera att för att bestämma parallella linjer i rymden är förtydligandet "som ligger i samma plan" extremt viktigt: två linjer i tredimensionellt utrymme som inte har gemensamma punkter och inte ligger i samma plan är inte parallella , men korsande.

För att indikera parallella linjer är det vanligt att använda symbolen ∥. Det vill säga, om de givna linjerna a och b är parallella, bör detta villkor kort skrivas på följande sätt: a ‖ b. Verbalt betecknas linjers parallellitet enligt följande: linjerna a och b är parallella, eller linje a är parallell med linje b, eller linje b är parallell med linje a.

Låt oss formulera ett uttalande som spelar en viktig roll i ämnet som studeras.

Axiom

Genom en punkt som inte hör till en given linje passerar den enda räta linjen parallellt med den givna. Detta påstående kan inte bevisas på grundval av de kända axiomen för planimetri.

I fallet när vi talar om rymden är satsen sann:

Sats 1

Genom någon punkt i rymden som inte tillhör en given linje kommer det att finnas en enda rät linje parallell med den givna.

Denna sats är lätt att bevisa utifrån ovanstående axiom (geometriprogram för årskurs 10 - 11).

Parallellitetskriteriet är ett tillräckligt villkor, vars uppfyllelse garanterar parallellitet mellan linjer. Med andra ord är uppfyllelsen av detta villkor tillräckligt för att bekräfta faktumet av parallellism.

I synnerhet finns det nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallellitet mellan linjer på planet och i rymden. Låt oss förklara: nödvändigt betyder det villkor vars uppfyllande är nödvändigt för parallella linjer; om det inte är uppfyllt är linjerna inte parallella.

För att sammanfatta, ett nödvändigt och tillräckligt villkor för linjers parallellitet är ett villkor vars iakttagande är nödvändigt och tillräckligt för att linjerna ska vara parallella med varandra. Å ena sidan är detta ett tecken på parallellitet, å andra sidan är det en egenskap som är inneboende i parallella linjer.

Innan vi ger den exakta formuleringen av ett nödvändigt och tillräckligt villkor, låt oss komma ihåg några ytterligare begrepp.

Definition 3

Sekantlinje– en rät linje som skär var och en av två givna icke sammanfallande räta linjer.

Genom att skära två raka linjer bildar en tvärgående åtta outvecklade vinklar. För att formulera ett nödvändigt och tillräckligt villkor kommer vi att använda sådana typer av vinklar som korsade, motsvarande och ensidiga. Låt oss demonstrera dem i illustrationen:

Sats 2

Om två linjer i ett plan skärs av en transversal, så är det nödvändigt och tillräckligt för att de givna linjerna ska vara parallella att de skärande vinklarna är lika, eller att motsvarande vinklar är lika, eller att summan av ensidiga vinklar är lika med 180 grader.

Låt oss illustrera grafiskt det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet mellan linjer på ett plan:

Beviset för dessa förhållanden finns i geometriprogrammet för årskurs 7 - 9.

I allmänhet gäller dessa villkor även för tredimensionellt rymd, förutsatt att två linjer och en sekant hör till samma plan.

Låt oss ange några fler satser som ofta används för att bevisa att linjer är parallella.

Sats 3

På ett plan är två linjer parallella med en tredje parallella med varandra. Denna egenskap bevisas på basis av parallellismaxiomet som anges ovan.

Sats 4

I det tredimensionella rummet är två linjer parallella med en tredje parallella med varandra.

Beviset på ett tecken studeras i 10:e klass geometri läroplanen.

Låt oss ge en illustration av dessa satser:

Låt oss ange ytterligare ett par satser som bevisar linjers parallellitet.

Sats 5

På ett plan är två linjer vinkelräta mot en tredje parallella med varandra.

Låt oss formulera en liknande sak för tredimensionellt rymd.

Sats 6

I det tredimensionella rummet är två linjer vinkelräta mot en tredjedel parallella med varandra.

Låt oss illustrera:

Alla ovanstående satser, tecken och villkor gör det möjligt att bekvämt bevisa linjers parallellitet med geometrimetoder. Det vill säga, för att bevisa linjers parallellitet kan man visa att motsvarande vinklar är lika, eller visa det faktum att två givna linjer är vinkelräta mot den tredje, etc. Men observera att det ofta är bekvämare att använda koordinatmetoden för att bevisa parallelliteten hos linjer på ett plan eller i tredimensionellt utrymme.

Parallellism av linjer i ett rektangulärt koordinatsystem

I ett givet rektangulärt koordinatsystem bestäms en rät linje av ekvationen för en rät linje på ett plan av en av de möjliga typerna. På samma sätt motsvarar en rät linje definierad i ett rektangulärt koordinatsystem i tredimensionellt rymden några ekvationer för en rät linje i rymden.

Låt oss skriva ner de nödvändiga och tillräckliga villkoren för parallelliteten hos linjer i ett rektangulärt koordinatsystem beroende på vilken typ av ekvation som beskriver de givna linjerna.

Låt oss börja med tillståndet för parallellitet av linjer på ett plan. Den är baserad på definitionerna av riktningsvektorn för en linje och normalvektorn för en linje på ett plan.

Sats 7

För att två icke sammanfallande linjer ska vara parallella på ett plan, är det nödvändigt och tillräckligt att riktningsvektorerna för de givna linjerna är kolinjära, eller normalvektorerna för de givna linjerna är kolinjära, eller riktningsvektorn för en linje är vinkelrät mot normalvektorn för den andra linjen.

Det blir uppenbart att villkoret för parallellitet för linjer på ett plan är baserat på villkoret för vektorers kollinearitet eller villkoret för vinkelräthet för två vektorer. Det vill säga om a → = (a x , a y) och b → = (b x , b y) är riktningsvektorer för linjerna a och b ;

och n b → = (n b x , n b y) är normalvektorer av linjerna a och b, då skriver vi ovanstående nödvändiga och tillräckliga villkor enligt följande: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y eller n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y eller a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , där t är något reellt tal. Koordinaterna för guiderna eller raka vektorerna bestäms av de givna ekvationerna för de räta linjerna. Låt oss titta på de viktigaste exemplen.

Linje a i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av linjens allmänna ekvation: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; rät linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Då kommer normalvektorerna för de givna linjerna att ha koordinater (A 1, B 1) respektive (A 2, B 2). Vi skriver parallellitetsvillkoret så här:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Linje a beskrivs av ekvationen för en linje med en lutning av formen y = k 1 x + b 1 . Rak linje b - y = k 2 x + b 2. Då kommer normalvektorerna för de givna linjerna att ha koordinater (k 1, - 1) respektive (k 2, - 1), och vi kommer att skriva parallellitetsvillkoret enligt följande:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Således, om parallella linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem ges av ekvationer med vinkelkoefficienter, kommer vinkelkoefficienterna för de givna linjerna att vara lika. Och det motsatta påståendet är sant: om icke-sammanfallande linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av ekvationerna för en linje med identiska vinkelkoefficienter, då är dessa givna linjer parallella.

Linjerna a och b i ett rektangulärt koordinatsystem specificeras av de kanoniska ekvationerna för en linje på ett plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y och x - x 2 b x = y - y 2 b y eller genom parametriska ekvationer av en linje på ett plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y och x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Då kommer riktningsvektorerna för de givna linjerna att vara: a x, a y respektive b x, b y, och vi kommer att skriva parallellitetsvillkoret enligt följande:

a x = t b x a y = t b y

Låt oss titta på exempel.

Exempel 1

Två linjer ges: 2 x - 3 y + 1 = 0 och x 1 2 + y 5 = 1. Det är nödvändigt att avgöra om de är parallella.

Lösning

Låt oss skriva ekvationen för en rät linje i segment i form av en generell ekvation:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vi ser att n a → = (2, - 3) är normalvektorn för linjen 2 x - 3 y + 1 = 0, och n b → = 2, 1 5 är normalvektorn för linjen x 1 2 + y 5 = 1.

De resulterande vektorerna är inte kolinjära, eftersom det finns inget sådant värde av tat att jämlikheten kommer att vara sann:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Således är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallelliteten hos linjer på ett plan inte uppfyllt, vilket betyder att de givna linjerna inte är parallella.

Svar: de givna linjerna är inte parallella.

Exempel 2

Linjerna y = 2 x + 1 och x 1 = y - 4 2 är givna. Är de parallella?

Lösning

Låt oss omvandla den kanoniska ekvationen för den räta linjen x 1 = y - 4 2 till ekvationen för den räta linjen med lutningen:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vi ser att ekvationerna för linjerna y = 2 x + 1 och y = 2 x + 4 inte är desamma (om det vore annat skulle linjerna vara sammanfallande) och linjernas vinkelkoefficienter är lika, vilket betyder att givna linjer är parallella.

Låt oss försöka lösa problemet annorlunda. Låt oss först kontrollera om de givna raderna sammanfaller. Vi använder vilken punkt som helst på linjen y = 2 x + 1, till exempel (0, 1), koordinaterna för denna punkt motsvarar inte ekvationen för linjen x 1 = y - 4 2, vilket betyder att linjerna gör det inte sammanfaller.

Nästa steg är att bestämma om villkoret för parallellitet för de givna linjerna är uppfyllt.

Normalvektorn för linjen y = 2 x + 1 är vektorn n a → = (2 , - 1) , och riktningsvektorn för den andra givna linjen är b → = (1 , 2) . Skalärprodukten av dessa vektorer är lika med noll:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Således är vektorerna vinkelräta: detta visar för oss uppfyllandet av det nödvändiga och tillräckliga villkoret för de ursprungliga linjernas parallellitet. De där. de givna linjerna är parallella.

Svar: dessa linjer är parallella.

För att bevisa parallelliteten hos linjer i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd, används följande nödvändiga och tillräckliga villkor.

Sats 8

För att två icke-sammanfallande linjer i det tredimensionella rummet ska vara parallella, är det nödvändigt och tillräckligt att riktningsvektorerna för dessa linjer är kolinjära.

De där. med tanke på ekvationerna för linjer i tredimensionellt rymden, hittas svaret på frågan: är de parallella eller inte, genom att bestämma koordinaterna för riktningsvektorerna för de givna linjerna, samt kontrollera tillståndet för deras kollinearitet. Med andra ord, om a → = (a x, a y, a z) och b → = (b x, b y, b z) är riktningsvektorerna för linjerna a respektive b, så för att de ska vara parallella, existensen av ett sådant reellt tal t är nödvändigt, så att likheten gäller:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exempel 3

Linjerna x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 och x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ är givna. Det är nödvändigt att bevisa parallelliteten mellan dessa linjer.

Lösning

Förutsättningarna för problemet ges av de kanoniska ekvationerna för en linje i rymden och de parametriska ekvationerna för en annan linje i rymden. Guide vektorer a → och b → de givna linjerna har koordinater: (1, 0, - 3) och (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , sedan a → = 1 2 · b → .

Följaktligen är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet mellan linjer i rymden uppfyllt.

Svar: parallelliteten hos de givna linjerna är bevisad.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ i Ryska federationen - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Sida 3 av 3

Fråga 21. Vad är vinkeln för en triangel vid en given vertex?
Svar. Vinkeln för en triangel ABC vid vertex A är vinkeln som bildas av halvlinjerna AB och AC. Vinklarna för triangeln vid hörnen B och C bestäms också.

Fråga 22. Vilka segment kallas lika?
Svar. Segment kallas lika om deras längder är lika.
Fråga 23. Vilka vinklar kallas lika?
Svar. Vinklar kallas lika om deras gradmått är lika.
Fråga 24. Vilka trianglar kallas lika?
Svar. Trianglar kallas kongruenta om deras motsvarande sidor är lika och deras motsvarande vinklar är lika. I detta fall måste motsvarande vinklar ligga mitt emot motsvarande sidor.
Fråga 25. Hur är motsvarande sidor och vinklar markerade i figuren för lika trianglar?
Svar. På ritningen är lika segment vanligtvis markerade med en, två eller tre linjer, och lika vinklar med en, två eller tre bågar.

Fråga 26. Använd figur 23 och förklara förekomsten av en triangel som är lika med denna.
Svar.

Låt oss ha en triangel ABC och en stråle a (bild 23, a). Låt oss flytta triangeln ABC så att dess vertex A är i linje med början av strålen a, vertex B är på strålen a och vertexen C är i ett givet halvplan i förhållande till strålen a och dess förlängning. Vi kommer att beteckna vår triangels hörn i denna nya position som A 1, B 1, C 1 (Fig. 23, b).
Triangel A 1 B 1 C 1 är lika med triangel ABC.
Fråga 27. Vilka linjer kallas parallella? Vilket tecken används för att indikera parallella linjer?
Svar. Två linjer kallas parallella om de inte skär varandra. För att indikera parallellitet mellan linjer används tecknet

Fråga 28. Ange huvudegenskapen för parallella linjer.
Svar. Genom en punkt som inte ligger på en given linje är det möjligt att på planet rita högst en rät linje parallell med den givna.
Fråga 29. Ge ett exempel på ett teorem.
Svar. Om en linje som inte går genom någon av hörnen i en triangel skär en av dess sidor, så skär den bara en av de andra två sidorna.