Definition av medelvinkelrät. Fyra underbara punkter i triangeln

Mittvinkelrät (median vinkelrät eller mediatrix) är en rät linje vinkelrät mot det givna segmentet och som går genom dess mittpunkt.

Egenskaper

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ där sänkningen indikerar sidan till vilken vinkelrät är ritat, $S$är arean av triangeln, och det antas också att sidorna är relaterade av ojämlikheter $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ och $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Med andra ord, för en triangel hänvisar den minsta vinkelräta bisektrisen till mittsegmentet.

Skriv en recension om artikeln "Mellan vinkelrät"

Anteckningar

Ett utdrag som kännetecknar den vinkelräta bisektrisen

Kutuzov stannade för att tugga och stirrade förvånat på Wolzogen, som om han inte förstod vad han fick höra. Wolzogen, som lade märke till spänningen hos des alten Herrn, [den gamle gentlemannen (tyska)], sa med ett leende:
- Jag ansåg mig inte ha rätt att dölja för ert herrskap vad jag såg ... Trupperna är i fullständig oordning ...
- Har du sett? Såg du? .. - ropade Kutuzov med en rynka pannan, reste sig snabbt och avancerade mot Wolzogen. "Hur vågar du... hur vågar du...!" skrek han och gjorde hotfulla gester med skakande hand och kvävning. - Hur vågar du, min käre herre, säga detta till mig. Du vet ingenting. Berätta för general Barclay från mig att hans information är felaktig och att det verkliga förloppet av striden är känd för mig, överbefälhavaren, bättre än för honom.
Wolzogen ville invända något, men Kutuzov avbröt honom.
– Fienden slås tillbaka till vänster och besegrades på höger flank. Om du inte har sett bra, käre herre, så tillåt dig inte att säga det du inte vet. Vänligen gå till general Barclay och förmedla till honom min oumbärliga avsikt att attackera fienden i morgon, sade Kutuzov strängt. Alla var tysta, och man kunde höra ett tungt andetag av den andfådda gamle generalen. – Avstöts överallt, vilket jag tackar Gud och vår tappra armé för. Fienden är besegrad, och i morgon ska vi driva ut honom ur det heliga ryska landet, - sade Kutuzov och korsade sig; och plötsligt brast ut i gråt. Wolzogen, ryckte på axlarna och vred på läpparna, gick tyst åt sidan och undrade över uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [om detta den gamle herrns tyranni. (Tysk)]
"Ja, här är han, min hjälte", sa Kutuzov till den fylliga, stiliga svarthåriga generalen, som vid den tiden var på väg in i högen. Det var Raevsky, som hade tillbringat hela dagen vid Borodinofältets huvudpunkt.
Raevsky rapporterade att trupperna var stadigt på sina platser och att fransmännen inte vågade attackera längre. Efter att ha lyssnat på honom sa Kutuzov på franska:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Så du tycker inte, som de andra, att vi ska dra oss tillbaka?]

Instruktion

Rita en linje genom skärningspunkterna för cirklarna. Du har fått den vinkelräta halveringslinjen till det givna segmentet.

Låt oss nu få en punkt och en linje. Det är nödvändigt att rita en vinkelrät från denna punkt till Placera nålen vid punkten. Rita en cirkel med radie (radien måste vara från en punkt till en linje så att cirkeln kan skära linjen i två punkter). Nu har du två punkter på linjen. Dessa punkter skapar en linje. Bygg en vinkelrät bisektor till segmentet, ändarna är de erhållna punkterna, enligt algoritmen som diskuterats ovan. Vinkeln måste passera genom startpunkten.

Att bygga raka linjer är grunden för teknisk ritning. Nu görs detta i allt större utsträckning med hjälp av grafiska redaktörer, som ger designern stora möjligheter. Vissa konstruktionsprinciper förblir dock desamma som i klassisk ritning - med en penna och en linjal.

Du kommer behöva

• - papper;
• - penna;
• - linjal;
• - dator med AutoCAD-programvara.

Instruktion

Börja med en klassisk konstruktion. Bestäm planet i vilket du ska rita linjen. Låt detta vara planet av ett pappersark. Beroende på villkoren för problemet, ordna . De kan vara godtyckliga, men det är möjligt att ett koordinatsystem ges. Godtyckliga poäng sätts där du gillar bäst. Märk dem A och B. Använd en linjal för att koppla ihop dem. Enligt axiomet är det alltid möjligt att dra en rät linje genom två punkter, och bara en.

Rita ett koordinatsystem. Låt dig få punkterna A (x1; y1). För att göra dem är det nödvändigt att avsätta det nödvändiga antalet längs x-axeln och dra en rät linje parallell med y-axeln genom den markerade punkten. Rita sedan ett värde lika med y1 längs den lämpliga axeln. Rita en vinkelrät från den markerade punkten tills den skär med. Platsen för deras skärningspunkt kommer att vara punkt A. Hitta på samma sätt punkt B, vars koordinater kan betecknas som (x2; y2). Anslut båda prickarna.

I AutoCAD kan en rak linje byggas med flera . Funktionen "by" är vanligtvis inställd som standard. Hitta fliken "Hem" i toppmenyn. Du kommer att se ritningspanelen framför dig. Hitta knappen med den raka linjen och klicka på den.

AutoCAD låter dig också ställa in koordinaterna för båda. Ring i botten kommandorad(_xline). Tryck enter. Ange koordinaterna för den första punkten och tryck även på enter. Definiera den andra punkten på samma sätt. Det kan också anges med ett musklick genom att placera markören i önskad punkt skärm.

I AutoCAD kan du bygga en rak linje inte bara med två punkter utan också med lutningsvinkeln. Från kontextmenyn Rita, välj en rak linje och sedan alternativet Vinkel. Startpunkten kan ställas in med musklick eller med , som i föregående metod. Ställ sedan in hörnstorleken och tryck på enter. Som standard kommer linjen att placeras i önskad vinkel mot horisontalplanet.

Relaterade videoklipp

På en komplex ritning (diagram) vinkelräthet direkt och plan bestäms av huvudbestämmelserna: om ena sidan rätt vinkel parallell plan projektioner, då projiceras en rät vinkel på detta plan utan distorsion; om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer plan, den är vinkelrät mot detta plan.

Du kommer behöva

• Penna, linjal, gradskiva, triangel.

Instruktion

Exempel: genom punkt M rita en vinkelrät mot plan Att rita en vinkelrät mot plan, det finns två skärande linjer i denna plan, och konstruera en linje vinkelrät mot dem. De främre och horisontella är valda som dessa två skärande linjer. plan.

Den främre f(f₁f₂) är en rak linje som ligger in plan och parallellt med fronten plan projektioner П₂. Så f₂ är dess naturliga värde, och f₁ är alltid parallell med x₁₂. Från punkt A₂ dra h₂ parallellt med x₁₂ och få punkt 1₂ på B₂C₂.

Med hjälp av en projektionslinje för kommunikationspunkt 1₁ på В₁С₁. Anslut med A₁ - detta är h₁ - horisontalplanets naturliga storlek. Från punkt B₁ rita f₁‖x₁₂, på A₁C₁ få punkt 21. Hitta punkten 2₂ på A₂C₂ med hjälp av projektionsanslutningslinjen. Anslut till punkt B₂ - detta blir f₂ - frontens fulla storlek.

Konstruerade naturliga horisonter h₁ och frontaler f₂ av projektioner av vinkelrät mot plan. Från punkten M₂, rita dess frontalprojektion a₂ i en vinkel på 90

Det finns så kallade fyra anmärkningsvärda punkter i en triangel: skärningspunkten för medianerna. Halvledarnas skärningspunkt, höjdernas skärningspunkt och de vinkelräta halvledarnas skärningspunkt. Låt oss överväga var och en av dem.

Skärningspunkt för medianerna i en triangel

Sats 1

På skärningspunkten mellan medianerna i en triangel: Medianerna för en triangel skär varandra i en punkt och delar skärningspunkten i förhållandet $2:1$ med början från vertex.

Bevis.

Betrakta triangeln $ABC$, där $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ är dess median. Eftersom medianerna delar sidorna på mitten. Betrakta mittlinjen $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figur 1. Medianer av en triangel

Enligt sats 1, $AB||A_1B_1$ och $AB=2A_1B_1$, därav $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Därför är trianglarna $ABM$ och $A_1B_1M$ lika i den första likhet trianglar. Sedan

På samma sätt är det bevisat att

Teoremet har bevisats.

Skärningspunkten för halvledarna i en triangel

Sats 2

På skärningspunkten mellan halvledarna i en triangel: Halvledarna i en triangel skär varandra i en punkt.

Bevis.

Betrakta triangeln $ABC$, där $AM,\ BP,\ CK$ är dess bisektorer. Låt punkten $O$ vara skärningspunkten för halveringslinjerna $AM\ och\ BP$. Rita från denna punkt vinkelrätt mot triangelns sidor (fig. 2).

Figur 2. Halvsektorer av en triangel

Sats 3

Varje punkt i bisektrisen för en icke-expanderad vinkel är lika långt från dess sidor.

Enligt sats 3 har vi: $OX=OZ,\ OX=OY$. Därav $OY=OZ$. Därför är punkten $O$ lika långt från sidorna av vinkeln $ACB$ och ligger därför på sin bisektrik $CK$.

Teoremet har bevisats.

Skärningspunkten för de vinkelräta halvledarna i en triangel

Sats 4

De vinkelräta halvledarna på sidorna i en triangel skär varandra i en punkt.

Bevis.

Låt en triangel $ABC$ ges, $n,\ m,\ p$ dess vinkelräta bisektrar. Låt punkten $O$ vara skärningspunkten för de vinkelräta halveringslinjerna $n\ och\ m$ (Fig. 3).

Figur 3. Vinkelräta bisektrar i en triangel

För beviset behöver vi följande sats.

Sats 5

Varje punkt i den vinkelräta halveringslinjen till ett segment är lika långt från ändarna av det givna segmentet.

Genom sats 3 har vi: $OB=OC,\ OB=OA$. Därav $OA=OC$. Detta betyder att punkten $O$ är lika långt från ändarna av segmentet $AC$ och därför ligger på dess vinkelräta bisektris $p$.

Teoremet har bevisats.

Skärningspunkten för triangelns höjder

Sats 6

Höjden av en triangel eller deras förlängningar skär varandra vid en punkt.

Bevis.

Betrakta triangeln $ABC$, där $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ är dess höjd. Rita en linje genom varje vertex av triangeln parallellt med sidan mittemot vertex. Vi får en ny triangel $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figur 4. Höjderna på en triangel

Eftersom $AC_2BC$ och $B_2ABC$ är parallellogram med en gemensam sida, då är $AC_2=AB_2$, det vill säga punkt $A$, mittpunkten på sidan $C_2B_2$. På samma sätt får vi att punkten $B$ är mittpunkten på sidan $C_2A_2$, och punkten $C$ är mittpunkten på sidan $A_2B_2$. Från konstruktionen har vi att $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Därför är $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ de vinkelräta bisektrarna för triangeln $A_2B_2C_2$. Sedan, genom sats 4, har vi att höjderna $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ skär varandra vid en punkt.