Definicija povprečne navpičnice. Štiri čudovite točke trikotnika

Srednje pravokotno (srednja pravokotna oz mediatrix) je ravna črta, pravokotna na dani segment in poteka skozi njegovo središče.

Lastnosti

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ kjer indeks označuje stran, na katero je narisana pravokotnica, $S$ je površina trikotnika, predpostavlja pa se tudi, da so stranice povezane z neenakostmi $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ in $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Z drugimi besedami, za trikotnik se najmanjša pravokotna simetrala nanaša na srednji segment.

Napišite recenzijo na članek "Srednji pravokotnik"

Opombe

Odlomek, ki označuje pravokotno simetralo

Kutuzov, ki je nehal žvečiti, je presenečeno strmel v Wolzogena, kot da ne bi razumel, kaj mu je bilo rečeno. Wolzogen, ko je opazil navdušenje des alten Herrna, [starega gospoda (Nemca)], je z nasmehom rekel:
- Nisem imel pravice skrivati ​​pred vašim gospodstvom, kar sem videl ... Čete so v popolnem neredu ...
- Ali si videl? Ste videli? .. - je zavpil Kutuzov z namrščenim obrazom, hitro vstal in napredoval proti Wolzogenu. »Kako si drzneš ... kako si drzneš ...!« je zavpil in delal grozeče kretnje s stiskanjem rok in dušenjem. - Kako si drznete, dragi gospod, mi to reči. Nič ne veš. Povejte generalu Barclayu od mene, da so njegove informacije napačne in da je pravi potek bitke bolj kot njemu znan meni, vrhovnemu poveljniku.
Wolzogen je hotel nekaj ugovarjati, a ga je prekinil Kutuzov.
- Sovražnik je odbit na levem in poražen na desnem boku. Če niste dobro videli, dragi gospod, potem si ne dovolite reči, česar ne veste. Prosim, pojdite k generalu Barclayu in mu povejte mojo nepogrešljivo namero, da jutri napadem sovražnika, «je ostro rekel Kutuzov. Vsi so molčali in slišal se je en težak vdih zadihanega starega generala. - Povsod odbiti, za kar se zahvaljujem Bogu in naši pogumni vojski. Sovražnik je poražen in jutri ga bomo pregnali iz svete ruske zemlje, - je rekel Kutuzov in se prekrižal; in nenadoma bruhnil v jok. Wolzogen, ki je skomignil z rameni in zvijal z ustnicami, je tiho odstopil in se spraševal nad uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [o tej tiraniji starega gospoda. (nemščina)]
"Da, tukaj je, moj junak," je Kutuzov rekel debelušnemu, čednemu črnolasemu generalu, ki je takrat stopil v gomilo. Bil je Raevsky, ki je cel dan preživel na glavni točki polja Borodino.
Raevsky je poročal, da so čete trdno na svojih mestih in da si Francozi ne upajo več napadati. Ko ga je poslušal, je Kutuzov rekel v francoščini:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Torej ne mislite, kot drugi, da bi se morali umakniti?]

Navodilo

Skozi presečišča krogov narišite črto. Prejeli ste pravokotno simetralo na dani segment.

Zdaj naj dobimo točko in črto. Od te točke je potrebno potegniti pravokotno do. Iglo postavite na točko. Nariši krog s polmerom (polmer mora biti od točke do premice, tako da lahko krog seka črto v dveh točkah). Zdaj imate dve točki na črti. Te točke tvorijo črto. Konstruirajte pravokotno simetralo na segment, konci so dobljene točke, v skladu z zgoraj obravnavanim algoritmom. Navpičnica mora potekati skozi začetno točko.

Gradnja ravnih črt je osnova tehničnega risanja. Zdaj se to vse pogosteje izvaja s pomočjo grafičnih urejevalnikov, ki oblikovalcu ponujajo velike možnosti. Vendar pa nekatera načela gradnje ostajajo enaka kot pri klasični risbi - s svinčnikom in ravnilom.

Boste potrebovali

• - papir;
• - svinčnik;
• - ravnilo;
• - računalnik s programsko opremo AutoCAD.

Navodilo

Začnite s klasično gradnjo. Določite ravnino, v kateri boste narisali črto. Naj bo to ravnina lista papirja. Glede na pogoje težave uredite . Lahko so poljubni, vendar je možno, da je podan koordinatni sistem. Samovoljne točke postavite tam, kjer vam je najbolj všeč. Označite ju z A in B. Povežite ju z ravnilom. Po aksiomu je vedno mogoče narisati ravno črto skozi dve točki in samo eno.

Narišite koordinatni sistem. Naj vam damo točke A (x1; y1). Da bi jih dobili, je treba vzdolž osi x odložiti zahtevano število in skozi označeno točko narisati ravno črto, vzporedno z osjo y. Nato vzdolž ustrezne osi narišite vrednost, ki je enaka y1. Nariši pravokotnik od označene točke, dokler se ne seka z. Njihovo presečišče bo točka A. Na enak način poiščite točko B, katere koordinate lahko označimo kot (x2; y2). Povežite obe piki.

V AutoCAD-u je mogoče zgraditi ravno črto z več . Funkcija "by" je običajno nastavljena privzeto. Poiščite zavihek »Domov« v zgornjem meniju. Pred seboj boste videli ploščo za risanje. Poiščite gumb z ravno črto in kliknite nanj.

AutoCAD vam omogoča tudi nastavitev koordinat obeh. Dial na dnu ukazna vrstica(_xline). Pritisnite Enter. Vnesite koordinate prve točke in pritisnite enter. Na enak način definirajte drugo točko. Določite ga lahko tudi s klikom miške, tako da postavite kazalec želeno točko zaslon.

V AutoCAD-u lahko zgradite ravno črto ne le z dvema točkama, temveč tudi s kotom naklona. V kontekstnem meniju Risanje izberite ravno črto in nato možnost Kot. Začetno točko lahko nastavite s klikom miške ali z , kot v prejšnji metodi. Nato nastavite velikost vogala in pritisnite enter. Privzeto bo črta postavljena pod želenim kotom glede na vodoravno.

Povezani videoposnetki

Na zapleteni risbi (diagram) pravokotnost neposredno in letalo določeno z glavnimi določbami: če ena stran pravi kot vzporedno letalo projekcije, potem se na to ravnino brez popačenja projicira pravi kot; če je črta pravokotna na dve sekajoči se premici letalo, je pravokotna na to letalo.

Boste potrebovali

• Svinčnik, ravnilo, kotomer, trikotnik.

Navodilo

Primer: skozi točko M potegnite pravokotno na letalo Narisati pravokotno na letalo, v tem ležita dve sekajoči se vrstici letalo, in sestavi premico, pravokotno nanje. Čelni in horizontalni sta izbrani kot ti dve sekajoči se črti. letalo.

Čelni f(f₁f₂) je ravna črta, ki leži notri letalo in vzporedno s sprednjo stranjo letalo projekcije П₂. Torej je f₂ njegova naravna vrednost, f₁ pa je vedno vzporeden z x₁₂. Iz točke A₂ potegnite h₂ vzporedno z x₁₂ in dobite točko 1₂ na B₂C₂.

S pomočjo projekcijske linije komunikacijske točke 1₁ na В₁С₁. Povežite se z A₁ - to je h₁ - naravna velikost vodoravnice. Iz točke B₁ potegnite f₁‖x₁₂, na A₁C₁ dobite točko 2₁. Poiščite točko 2₂ na A₂C₂ s pomočjo projekcijske povezovalne črte. Povežite se s točko B₂ - to bo f₂ - polna velikost sprednje strani.

Konstruirane naravne horizontale h₁ in frontali f₂ projekcij pravokotne na letalo. Iz točke M₂ narišite njeno čelno projekcijo a₂ pod kotom 90

V trikotniku so tako imenovane štiri izjemne točke: točka presečišča median. Točka presečišča simetral, presečišča višin in presečišča pravokotnih simetral. Razmislimo o vsakem od njih.

Točka presečišča median trikotnika

Izrek 1

Na presečišču median trikotnika: Mediane trikotnika se sekajo v eni točki in delijo presečišče v razmerju $2:1$, začenši z vrha.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova mediana. Ker mediane delijo stranice na polovico. Razmislite o srednji črti $A_1B_1$ (slika 1).

Slika 1. Mediane trikotnika

Po izreku 1, $AB||A_1B_1$ in $AB=2A_1B_1$, torej $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Zato sta si trikotnika $ABM$ in $A_1B_1M$ v prvem podobna podobnost trikotniki. Potem

Podobno je dokazano, da

Izrek je dokazan.

Presečišče simetral trikotnika

2. izrek

Na presečišču simetral trikotnika: Simetrale trikotnika se sekata v eni točki.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer so $AM,\ BP,\ CK$ njegove simetrale. Naj bo točka $O$ presečišče simetral $AM\ in\ BP$. Od te točke nariši pravokotno na stranice trikotnika (slika 2).

Slika 2. Simetrale trikotnika

3. izrek

Vsaka točka simetrale nerazširjenega kota je enako oddaljena od njenih stranic.

Po izreku 3 imamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Zato $OY=OZ$. Točka $O$ je torej enako oddaljena od stranic kota $ACB$ in zato leži na njeni simetrali $CK$.

Izrek je dokazan.

Presečišče pravokotnih simetral trikotnika

4. izrek

Pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekata v eni točki.

Dokaz.

Naj bo dan trikotnik $ABC$, $n,\ m,\ p$ njegove pravokotne simetrale. Naj bo točka $O$ presečišče pravokotnih simetral $n\ in\ m$ (slika 3).

Slika 3. Pravokotne simetrale trikotnika

Za dokaz potrebujemo naslednji izrek.

5. izrek

Vsaka točka pravokotne simetrale na segment je enako oddaljena od koncev danega segmenta.

Po izreku 3 imamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Zato $OA=OC$. To pomeni, da je točka $O$ enako oddaljena od koncev odseka $AC$ in zato leži na njegovi pravokotni simetrali $p$.

Izrek je dokazan.

Točka presečišča višin trikotnika

6. izrek

Višine trikotnika ali njihovih podaljškov se v eni točki sekata.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova višina. Skozi vsako oglišče trikotnika narišite črto, vzporedno s stranjo, ki je nasprotna točki. Dobimo nov trikotnik $A_2B_2C_2$ (slika 4).

Slika 4. Višine trikotnika

Ker sta $AC_2BC$ in $B_2ABC$ paralelograma s skupno stranjo, potem je $AC_2=AB_2$, torej točka $A$ središče strani $C_2B_2$. Podobno dobimo, da je točka $B$ središče stranice $C_2A_2$, točka $C$ pa središče stranice $A_2B_2$. Iz konstrukcije imamo, da je $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Zato sta $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ pravokotne simetrale trikotnika $A_2B_2C_2$. Potem po izreku 4 imamo, da se višine $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sekata v eni točki.