Faze uporabe logično verjetnostne metode. Logično-verjetnostna metoda za izračun zanesljivosti kompleksnih sistemov

Metoda temelji na matematičnem aparatu algebre logike. Izračun zanesljivosti regulacijskega sistema vključuje ugotavljanje razmerja med kompleksnim dogodkom (odpovedjo sistema) in dogodki, od katerih je ta odvisna (odpovedi elementov sistema). Posledično izračuni zanesljivosti temeljijo na izvajanju operacij z dogodki in izjavami, ki so sprejete kot izjave o delovanju ali okvari elementa (sistema). Vsak element sistema je predstavljen z logično spremenljivko, ki ima vrednost 1 ali 0.

Dogodki in izjave se s pomočjo operacij disjunkcije, konjunkcije in negacije združujejo v logične enačbe, ki ustrezajo pogoju operativnosti sistema. Sestavljena je logična zdravstvena funkcija. Izračun na podlagi neposredne uporabe logičnih enačb imenujemo logično-verjetnostni in poteka v sedmih stopnjah:

1. Besedna formulacija pogojev za delovanje objekta. Opisana je odvisnost zdravja informacijskega sistema od stanja njegovih posameznih elementov.

2. Sestavljanje logične funkcije zdravja. Je logična enačba, ki ustreza pogoju delovanja krmilnega sistema

ki je izražen v ločilni obliki, na primer:

kjer je x i pogoj delovanja i - th element Fl; X i = 1 je operativno stanje, X i = 0 je nedelujoče stanje.

3. Spraviti logično funkcijo zdravja F L v ortogonalno neponovljivo obliko F L . Kompleksno logično funkcijo delovne sposobnosti je treba zreducirati na pravokotno neponovljivo obliko.

Funkcijo oblike (2.2) imenujemo ortogonalna, če so vsi njeni členi D i po paru pravokotni (to pomeni, da je njihov produkt enak nič), in neponavljajoča se, če je vsak njen člen D i sestavljen iz črk x i , z različnimi števila (to pomeni, da ni ponavljajočih se argumentov), ​​na primer: produkt elementarnih konjunkcij x 1, x 2, x 4 in x 3, x 2 je nič, saj eden od njih vsebuje x2, in drugo x2, zato so pravokotne; D 1 \u003d x 1 ×x 2 ×x 2, kjer x2 in x 2 imata enako število, zato izraz D 1 ni neponovljiv.

– pravokotna neponovljiva oblika;

- pravokotna, vendar ne neponovljiva oblika.

Funkcijo F l lahko transformiramo v ortogonalno neponovljivo obliko F lo z uporabo zakonov in pravil za transformacijo kompleksnih izjav. Pri izračunu so najpogostejša pravila:

1) x 1 × x 2 \u003d x 2 × x 1;

4. Aritmetizacija F lo. Aritmetična funkcija F a (2.3) je določena iz najdene ortogonalne neponovljive logične funkcije zdravja F LO.

kjer je A i aritmetična oblika členov D i funkcije F lo.
Aritmetizacija izrazov D i , ki v splošni obliki vsebuje operacije disjunkcije, konjunkcije in negacije, se izvede z zamenjavo logičnih operacij z aritmetičnimi po pravilih:

5. Ugotavljanje verjetnosti brezhibnega delovanja sistema.
Verjetnost brezhibnega delovanja sistema je postavljena kot verjetnost resničnosti logične funkcije zdravja, predstavljene v ortogonalni neponovljivi obliki, in se izračuna kot vsota verjetnosti resničnosti vseh ortogonalnih členov sistema. ta funkcija logične algebre. Vsi dogodki (izjave) so nadomeščeni z njihovimi verjetnostmi (verjetnostmi brezhibnega delovanja ustreznih elementov).

LOGIČNO-VERJETNOSTNE METODE ANALIZE ZANESLJIVOSTI

Vsaka metoda analize zanesljivosti zahteva opis pogojev delovanja sistema. Takšni pogoji se lahko oblikujejo na podlagi:

Strukturni diagram delovanja sistema (shema izračuna zanesljivosti);

Besedni opis delovanja sistema;

Grafične sheme;

Funkcije algebre logike.

Logično-verjetnostna metoda analize zanesljivosti omogoča formalizacijo definicije in pomena ugodnih hipotez. Bistvo te metode je naslednje.

Stanje vsakega elementa je kodirano z ničlo in ena:

V funkcijah algebre logike so stanja elementov predstavljena v naslednji obliki:

X jaz- dobro stanje elementa, ki ustreza kodi 1;

Stanje napake elementa, ki ustreza kodi 0.

S pomočjo funkcij algebre logike se pogoj operabilnosti sistema zapiše preko operabilnosti (stanja) njegovih elementov. Dobljena funkcija zdravja sistema je binarna funkcija binarnih argumentov.

Nastali FAL se transformira tako, da vsebuje izraze, ki ustrezajo ugodnim hipotezam za pravilno delovanje sistema.

V FAL namesto binarnih spremenljivk x i in verjetnosti se nadomestijo za delovanje brez napak p i in verjetnost neuspeha q i . Znaka konjunkcije in disjunkcije nadomestita algebraično množenje in seštevanje.

Dobljeni izraz je verjetnost brezhibnega delovanja sistema Pc(t).

Razmislite o logično-verjetnostni metodi s primeri.

PRIMER 5.10. Blokovni diagram sistema je glavna (serijska) povezava elementov (slika 5.14).

Na blokovnem diagramu x i , i = 1, 2,..., p- država jaz-ti element sistema, kodiran z 0, če je element v okvarjenem stanju, in z 1, če je servisiran. V tem primeru je sistem delujoč, če delujejo vsi njegovi elementi. Potem je FAL konjunkcija logičnih spremenljivk, tj. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, ki je popolna disjunktivno normalna oblika sistema.

Če nadomestimo namesto logičnih spremenljivk verjetnosti dobrih stanj elementov in zamenjamo konjunkcijo z algebrskim množenjem, dobimo:

PRIMER 5.11. Blokovna shema sistema je podvojen sistem z neekvivalentnimi, stalno vklopljenimi podsistemi (slika 5.15).

Na sl. 5.15 x 1 in x 2- stanja elementov sistema. Naredimo resnicno tabelo dveh binarnih spremenljivk (tabela 5.2).

V tabeli je 0 stanje okvare elementa, 1 je dobro stanje elementa. V tem primeru je sistem delujoč, če delujeta oba elementa (1,1) ali eden od njiju ((0,1) ali (1,0)). Nato je operativno stanje sistema opisano z naslednjo funkcijo logične algebre:

Ta funkcija je popolna disjunktivna normalna oblika. Če zamenjamo operaciji disjunkcije in konjunkcije z algebrskimi operacijami množenja in seštevanja ter logične spremenljivke z ustreznimi verjetnostmi stanja elementov, dobimo verjetnost varnega delovanja sistema:

PRIMER 5.12. Blokovni diagram sistema ima obliko, prikazano na sl. 5.16.

Izdelajmo resnicno tabelo (tabela 53).

V tem primeru je sistem delujoč, če delujejo vsi njegovi elementi ali če element deluje x i in enega od elementov podvojenega para (x 2, x 3). Na podlagi tabele resnice bo SDNF videti takole:

Z zamenjavo ustreznih verjetnosti namesto binarnih spremenljivk ter algebraičnim množenjem in seštevanjem namesto konjunkcij in disjunkcij dobimo verjetnost varnega delovanja sistema:

Funkcijo algebre logike lahko predstavimo v minimalni obliki z uporabo naslednjih transformacij:

Operaciji absorpcije in lepljenja v algebri nista uporabni. V zvezi s tem je nemogoče minimizirati dobljeni FAL in nato nadomestiti vrednosti verjetnosti namesto logičnih spremenljivk. Verjetnosti stanj elementov je treba nadomestiti v SDNF in poenostaviti v skladu s pravili algebre.

Pomanjkljivost opisane metode je potreba po sestavi tabele resnic, ki zahteva naštevanje vseh delujočih stanj sistema.

5.3.2. Metoda najkrajših poti in minimalnih odsekov

Ta metoda je bila že obravnavana. v razdelku 5.2.3. Povejmo to s stališča algebre logike.

Funkcijo delovanja lahko opišemo s pomočjo najkrajših poti hodnega delovanja sistema in minimalnih odsekov njegove odpovedi.

Najkrajša pot je minimalna konjunkcija delovnih: postaj elementov, ki tvorijo delujoč sistem.

Minimalni odsek je minimalna konjunkcija neoperabilnih stanj elementov, ki tvorijo neoperabilno stanje sistema.

PRIMER 5.13. Potrebno je oblikovati funkcijo delovanja sistema, katere blok diagram je prikazan na sl. 5.17 z uporabo metode najkrajših poti in minimalnih odsekov.

rešitev. V tem primeru bodo najkrajše poti, ki tvorijo delujoč sistem: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Potem lahko funkcijo zdravja zapišemo kot naslednjo funkcijo logične algebre:

V skladu s tem FAL je blokovni diagram sistema na sl. 5.17 je mogoče predstaviti s blokovnim diagramom na sl. 5.18.

Najmanjši razdelki, ki tvorijo nedelujoč sistem, bodo: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Potem lahko funkcijo neoperabilnosti zapišemo kot naslednjo funkcijo logične algebre:

V skladu s tem FAL bo blokovni diagram sistema predstavljen v obliki, prikazani na sl. 5.19.

Upoštevati je treba, da so blokovni diagrami na sl. 5.18 in sl. 5.19 niso sheme za izračun zanesljivosti in izrazi za FAL delujočega in neoperabilnega stanja niso izrazi za določanje verjetnosti brezhibnega delovanja in verjetnosti okvare:

Glavne prednosti FAL so, da omogočajo formalno pridobitev, brez sestavljanja tabele resnic, PDNF in CKNF (popolna konjunktivna normalna oblika), ki omogočata pridobitev verjetnosti brezhibnega delovanja (verjetnost odpovedi) sistem z nadomestitvijo v FAL namesto logičnih spremenljivk ustreznih vrednosti verjetnosti dela brez napak, zamenjavo operacij konjunkcije in disjunkcije z algebrskimi operacijami množenja in seštevanja.

Za pridobitev SDNF je treba vsak disjunktivni člen FAL pomnožiti s, kje x i- manjkajoči argument in razširite oklepaje. Odgovor je SDNF. Oglejmo si to metodo na primeru.

PRIMER 5.14. Treba je določiti verjetnost brezhibnega delovanja sistema, katerega blokovni diagram je prikazan na sl. 5.17. Verjetnosti brezhibnega delovanja elementov so enake str 1, str 2, str 3, str 4, r 5 .

rešitev. Uporabimo metodo najkrajše poti. Funkcija logične algebre, dobljena z metodo najkrajše poti, ima obliko:

Dobimo SDNF sistema. Da bi to naredili, pomnožimo ločilne izraze z manjkajočimi:

Če razširimo oklepaje in izvedemo transformacije po pravilih algebre logike, dobimo SDNF:

Zamenjava v SDNF namesto x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 verjetnosti uptime str 1, str 2, str 3, str 4, str 5 in z uporabo razmerij qi = 1–p i, dobimo naslednji izraz za verjetnost brezhibnega delovanja sistema.

Iz zgornjega primera je razvidno, da nas je metoda najkrajših poti osvobodila definiranja ugodnih hipotez. Enak rezultat je mogoče doseči z uporabo metode minimalnih odsekov.

5.3.3. Algoritem rezanja

Algoritem za rezanje omogoča pridobitev FAL, pri čemer namesto logičnih spremenljivk verjetnost brezhibnega delovanja (verjetnost odpovedi) elementov najdemo verjetnost brezhibnega delovanja sistema. Za ta namen ni treba pridobiti CDNF.

Algoritem rezanja temelji na naslednjem izreku logične algebre: funkcija logične algebre y(x b x 2,...,x n) se lahko predstavi v naslednji obliki:

Pokažimo uporabnost tega izreka na treh primerih:

Z uporabo drugega distribucijskega zakona algebre logike dobimo:

PRIMER 5.15. Določite verjetnost brezhibnega delovanja sistema, katerega blokovni diagram je prikazan na sl. 5.16 z uporabo algoritma rezanja.

rešitev. Z uporabo metode najkrajše poti dobimo naslednji FAL:

Uporabimo algoritem rezanja:

Če sedaj namesto logičnih spremenljivk nadomestimo verjetnosti in zamenjamo operacije konjunkcije in disjunkcije z algebrskim množenjem in seštevanjem, dobimo:

PRIMER 5.16. Določite verjetnost brezhibnega delovanja sistema, katerega blokovni diagram je prikazan na sl. 5.17. Uporabite algoritem rezanja.

rešitev. Funkcija logične algebre, dobljena z metodo minimalnih odsekov, ima obliko:

Izvajamo algoritem rezanja glede na X 5:

Dobljeni izraz poenostavimo z uporabo pravil algebre logike. Izraz v prvih oklepajih poenostavimo z uporabo pravila oklepajev:

Potem bo FAL videti takole:

Ta izraz ustreza blokovnemu diagramu na sl. 5.20.

Dobljena shema je tudi shema izračuna zanesljivosti, če logične spremenljivke nadomestimo z verjetnostmi brezhibnega delovanja. str 1, str 2, str 3, str 4, str 5, spremenljivka pa je verjetnost neuspeha q 5 . Iz sl. 5.20 je razvidno, da je blokovni diagram sistema reduciran na zaporedno vzporedno vezje. Verjetnost brezhibnega delovanja se izračuna po naslednji formuli:

Formule ni treba razlagati, zapisana je neposredno po blokovnem diagramu.

5.3.4. Algoritem ortogonalizacije

Algoritem ortogonalizacije, tako kot algoritem rezanja, omogoča formalnim postopkom, da tvorijo funkcijo algebre logike, namesto logičnih spremenljivk nadomestijo verjetnosti in namesto disjunkcij in konjunkcij - algebraično seštevanje in množenje, da dobijo verjetnost težav- prosto delovanje sistema. Algoritem temelji na pretvorbi funkcij logične algebre v ortogonalno disjunktivno normalno obliko (ODNF), ki je veliko krajša od SDNF. Pred opisom metodologije oblikujemo več definicij in podajamo primere.

Dva vezniki klical pravokoten,če je njihov produkt identična nič. Disjunktivna normalna oblika klical pravokoten,če so vsi njegovi členi po paru pravokotni. SDNF je ortogonalna, vendar najdaljša od vseh ortogonalnih funkcij.

Ortogonalni DNF je mogoče dobiti z uporabo naslednjih formul:

Te formule je enostavno dokazati z uporabo drugega distribucijskega zakona algebre logike in De Morganovega izreka. Algoritem za pridobitev ortogonalne disjunktivne normalne oblike je naslednji postopek transformacije funkcije y(x 1, x 2,..., x n) v ODNF:

funkcija y(x 1, x 2,..., x n) pretvorjen v DNF z uporabo metode najkrajših poti ali minimalnih odsekov;

Ortogonalno disjunktivno-normalno obliko najdemo s formulama (5.10) in (5.11);

Funkcijo minimiziramo z enačenjem ortogonalnih členov ODNF na nič;

Logične spremenljivke nadomestijo verjetnosti brezhibnega delovanja (verjetnosti odpovedi) elementov sistema;

Končno rešitev dobimo po poenostavitvi izraza, pridobljenega v prejšnjem koraku.

Oglejmo si tehniko na primeru.

PRIMER 5.17. Določite verjetnost brezhibnega delovanja sistema, katerega blokovni diagram je prikazan na sl. 5.17. Uporabite metodo ortogonalizacije.

rešitev. V tem primeru je delovanje sistema opisano z naslednjo funkcijo logične algebre (metoda minimalnih odsekov):

Označimo K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Nato bo ODNF zapisan v naslednji obliki:

Vrednote , jaz= 1,2,3, na podlagi formule (5.10) bo imela obliko:

Če te izraze nadomestimo v (5.12), dobimo:

Z zamenjavo logičnih spremenljivk v tem izrazu z ustreznimi verjetnostmi in izvajanjem algebraičnih operacij seštevanja in množenja dobimo verjetnost varnega delovanja sistema:

Odgovor je enak kot v primeru 5.14.

Primer kaže, da je ortogonalizacijski algoritem bolj produktiven od prej obravnavanih metod. Podrobneje so logično-verjetnostne metode analize zanesljivosti opisane v. Logično-verjetnostna metoda ima, tako kot vsaka druga, svoje prednosti in slabosti. Njegove prednosti so bile že omenjene. Opozorimo na njegove pomanjkljivosti.

Začetni podatki pri logično-verjetnostni metodi so verjetnosti brezhibnega delovanja elementov strukturnega diagrama sistema. Vendar v mnogih primerih teh podatkov ni mogoče pridobiti. Pa ne zato, ker je zanesljivost elementov neznana, ampak zato, ker je čas delovanja elementa naključna spremenljivka. To se zgodi v primeru redundance z zamenjavo, prisotnosti posledic okvare, nehkratnosti delovanja elementov, prisotnosti obnovitve z drugačno servisno disciplino in v številnih drugih primerih.

Naj navedemo primere, ki ponazarjajo te pomanjkljivosti. Blokovni diagram sistema ima obliko, prikazano na sl. 5.21, kjer so sprejete naslednje oznake: x i- logične spremenljivke z vrednostmi 0 in 1, ki ustrezajo okvari in pravilnemu delovanju elementa, x i = 1, 2, 3.

V tem primeru je logična spremenljivka ds 3 0 do časa τ odpovedi glavnega elementa in 1 v času (t-τ), Kje t- čas, v katerem se ugotavlja verjetnost brezhibnega delovanja sistema. Čas τ je naključna vrednost, torej vrednost r(τ) neznano. V tem primeru je nemogoče prevesti FAL, še bolj pa SDNF. Nobena od logično-verjetnostnih metod, ki smo jih obravnavali, nam ne omogoča iskanja verjetnosti varnega delovanja sistema.

Tukaj je še en tipičen primer. Napajalni sistem je sestavljen iz regulatorja napetosti R n in dva vzporedna generatorja G 1 in G 2 . Blokovni diagram sistema je prikazan na sl. 5.22.

Če eden od generatorjev odpove, preostali delujoči generator deluje na eno skupno obremenitev. Njegova stopnja napak narašča. Če je bila pred trenutkom τ odpovedi enega od generatorjev intenzivnost njegove odpovedi enaka λ , nato po zavrnitvi λ1 > λ2. Od časa τ je torej naključno R(τ) neznano. Tu so, tako kot pri redundantnosti z zamenjavo, logično-verjetnostne metode nemočne. Tako te pomanjkljivosti logično-verjetnostnih metod zmanjšujejo njihovo praktično uporabo pri izračunu zanesljivosti kompleksnih sistemov.

5.4. Topološke metode analize zanesljivosti

Imenovali bomo topološke metode, ki vam omogočajo, da določite kazalnike zanesljivosti bodisi z grafom stanja bodisi s strukturnim diagramom sistema, brez sestavljanja ali reševanja enačb. Topološkim metodam je posvečenih več del, ki opisujejo različne načine njihovega praktičnega izvajanja. V tem razdelku so opisane metode za določanje indikatorjev zanesljivosti iz grafa stanja.

Topološke metode omogočajo izračun naslednjih kazalnikov zanesljivosti:

- P(t)- verjetnost brezhibnega delovanja v času t;

- T1, - srednji čas delovanja brez napak;

- K g (t)- funkcija pripravljenosti (verjetnost, da sistem deluje v kateri koli poljubni časovni točki t);

- K g= - faktor pripravljenosti;

T- čas med okvarami obnovljenega sistema.

Topološke metode imajo naslednje značilnosti:

Enostavnost računskih algoritmov;

Visoka jasnost postopkov za določanje kvantitativnih značilnosti zanesljivosti;

Možnost približnih ocen;

Brez omejitev glede vrste blokovnega diagrama (sistemi, obnovljivi in ​​neobnovljivi, neredundančni in redundantni s katero koli vrsto redundance in poljubno množico).

To poglavje bo razpravljalo o omejitvah topoloških metod:

Stopnje napak in obnovitev elementov kompleksnega sistema so stalne vrednosti«;

Časovni indikatorji zanesljivosti, kot sta verjetnost brezhibnega delovanja in funkcija razpoložljivosti, so določeni v Laplaceovih transformacijah;

Težave, v nekaterih primerih nepremostljive, pri analizi zanesljivosti kompleksnih sistemov, ki jih opisuje večpovezan graf stanja.

Ideja topoloških metod je naslednja.

Graf stanja je eden od načinov za opis delovanja sistema. Določa vrsto diferencialnih enačb in njihovo število. Intenzivnosti prehodov, ki označujejo zanesljivost elementov in njihovo obnovljivost, določajo koeficiente diferencialnih enačb. Začetne pogoje izberemo s kodiranjem vozlišč grafa.

Graf stanja vsebuje vse informacije o zanesljivosti sistema. In to je razlog za domnevo, da je kazalnike zanesljivosti mogoče izračunati neposredno iz grafa stanja.

5.4.1. Določanje verjetnosti stanj sistema

Verjetnost, da najdemo obnovitveni sistem v stanju jaz na določeni časovni točki t v Laplaceovi transformaciji lahko zapišemo v naslednji obliki:

Kje ∆(s)- glavno determinanto sistema diferencialnih enačb, zapisanih v Laplaceovih transformacijah; Δi(s) je zasebna determinanta sistema.

Iz izraza (5.13) je razvidno, da Pi (s) se določi, če se stopinje najdejo iz grafa stanja vrsta polinome števca in imenovalca ter koeficiente Bij (j = 0,1,2,..., m) In A i(jaz = 0,1, 2,..., n-1).

Najprej razmislimo o metodi določanja Pi (s) graf stanj le takih sistemov, v grafu stanj katerih ni prehodov skozi stanja. Sem spadajo vsi neredundančni sistemi, redundantni sistemi s splošno redundanco s celo in delno množico, redundantni sistemi katere koli strukture z vzdrževanjem okvarjenih naprav v obratnem vrstnem redu od prejema v popravilo. V ta razred sistemov sodijo tudi nekateri redundantni sistemi z enako zanesljivimi napravami z različnimi disciplinami za njihovo vzdrževanje.

Delovanje sistema opisujejo diferencialne enačbe, katerih število je enako številu vozlišč grafa. To pomeni, da je glavna determinanta sistema ∆(s) na splošno bo polinom n stopnje, kjer n je število vozlišč grafa stanja. Enostavno je pokazati, da polinom imenovalca ne vsebuje preseka. Dejansko, saj nato pa imenovalec funkcije Pi (s) mora vsebovati s kot dejavnik, sicer končna verjetnost Pi (∞) bo enako nič. Izjema je omejeno število popravil.

Stopnja polinoma števca∆ i ugotovljeno iz izraza:

m i \u003d n - 1 - l i,

Kje n- število vozlišč grafa stanja; l i- število prehodov iz začetnega stanja sistema, ki ga določajo začetni pogoji njegovega delovanja, v stanje jaz po najkrajši poti.

Če je začetno stanje sistema stanje, ko vse naprave delujejo, potem l i- številka državne ravni jaz, tj. l i je enako najmanjšemu številu okvarjenih sistemskih naprav v stanju jaz. Tako je stopnja polinoma števca verjetnosti P i (s) ostati sistem v jaz-to stanje je odvisno od številke stanja jaz in iz začetnih pogojev. Od števila prehodov l i mogoče 0,1,2,..., n-1, potem stopnja polinomaΔi(s) na podlagi (5.14) lahko sprejme tudi vrednosti m i = 0,1,2,..., n-1.

Klasične metode za izračun zanesljivosti sistemov

Klasične metode vključujejo modele zanesljivosti s serijsko, vzporedno, vzporedno-serijsko povezavo elementov, njihove različne modifikacije.

Model s serijsko povezavo elementov. Pri izračunu zanesljivosti se povezava elementov imenuje zaporedna, pri kateri odpoved vsaj enega od njih povzroči odpoved celotne povezave kot celote. Serijska povezava v zgornjem smislu ni vedno enaka fizični zaporedni povezavi elementov. Predpostavlja se, da so okvare elementov neodvisne, to pomeni, da okvara katere koli skupine elementov na noben način ne vpliva na verjetnostne značilnosti preostalih elementov. Element razumemo kot enega od neodvisnih delov serijske povezave.

Serijska povezava elementov

V tem primeru se lahko verjetnost brezhibnega delovanja sistema izračuna po formuli:

kjer je Рс verjetnost brezhibnega delovanja sistema; Р i (t) – verjetnost delovanja brez odpovedi i - element sistema

Model z vzporedno povezavo elementov(slika 2.2). Pri izračunu zanesljivosti je vzporedna (redundantna) taka povezava elementov, pri kateri pride do odpovedi celotne povezave, ko odpovejo vsi elementi sistema (elementi se med seboj podvajajo).

Vzporedna povezava elementov

V tem primeru je zanesljivost sistema Pc se določi preko verjetnosti okvare elementa q 1 , q 2 , …, q n, ki so z verjetnostjo brezhibnega delovanja povezane z razmerji oblike q i (t) = 1 – P i (t)

Verjetnost okvare celotnega sistema je enaka:

Tedaj ima verjetnost brezhibnega delovanja sistema z vzporedno vezavo elementov q 1 , q 2 , …, q n obliko

Model z vzporedno-zaporedno vezavo elementov. Pri izračunu zanesljivosti je vzporedno-serijska povezava taka povezava elementov, v kateri je mogoče sestaviti blokovne diagrame odsekov tako s serijsko kot vzporedno povezavo elementov

Vzporedno-zaporedna vezava elementov

Za sistem se najprej izračuna verjetnost brezhibnega delovanja razdelka 23:

P 23 \u003d 1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 (t)),

nato - razdelek 123: P 123 (t) \u003d P 1 (t) × P 23 (t) = P 1 (t) × (1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 ( t) )).

Končna formula za izračun ima obliko P z (t) \u003d 1 - (1 - P 123 (t)) × (1 - P 4 (t)).

Modeli, ki jih ni mogoče reducirati na vzporedne serijske povezave. V ta razred spadajo sistemi z mostnimi in še bolj zapletenimi povezavami elementov (slika 2.4).

Primer povezovanja elementov

Sistem deluje, če delujejo elementi:

Zanesljivost sistemov tega razreda je primerno oceniti z logično-verjetnostno metodo z uporabo aparata algebre logike.

Model z uporabo Markovljevih procesov. Model je specificiran v obliki stanj, v katerih je lahko sistem, in možnih prehodov iz enega stanja v drugega (slika 2.5).

Pri predstavitvi IS s tem modelom se uporablja teorija markovskih procesov, če lokacija sistema ni odvisna od stanja, v katerem je bil IS v preteklosti.

Verjetnostni graf stanj sistema ima naslednja stanja:

1. Oba elementa sistema delujeta.

2. Napaka enega od elementov.

3. Okvara dveh elementov.

Probabilistični graf stanj sistema

Če so podane verjetnosti prehoda sistema iz stanja i v stanje j b ij, potem je mogoče določiti verjetnosti, da je sistem v i - m stanje P i (t), in s tem kazalniki zanesljivosti, sestavljanje in reševanje enačbe Kolmogorova-Smirnova.

Odvod verjetnosti, da je sistem v i-tem stanju, je enak algebraični vsoti zmnožkov intenzivnosti prehodov in verjetnosti ustreznih stanj. Tistim delom, ki ustrezajo puščicam, ki zapuščajo to stanje, se dodeli znak "-", prihajajočim pa - "+".

Tako imamo za ta primer sistema:

Po rešitvi sistema enačb bomo določili verjetnosti, da sistem najdemo v i-tem stanju P i (t).

Verjetnostna funkcija brezhibnega delovanja sistema je v tem primeru enaka verjetnosti, da je sistem v 1. stanju: P c (t) = P 1 (t).

Metoda temelji na matematičnem aparatu algebre logike. Izračun zanesljivosti regulacijskega sistema vključuje ugotavljanje razmerja med kompleksnim dogodkom (odpovedjo sistema) in dogodki, od katerih je ta odvisna (odpovedi elementov sistema). Posledično izračuni zanesljivosti temeljijo na izvajanju operacij z dogodki in izjavami, ki so sprejete kot izjave o delovanju ali okvari elementa (sistema). Vsak element sistema je predstavljen z logično spremenljivko, ki ima vrednost 1 ali 0.

Dogodki in izjave se s pomočjo operacij disjunkcije, konjunkcije in negacije združujejo v logične enačbe, ki ustrezajo pogoju operativnosti sistema. Sestavljena je logična zdravstvena funkcija. Izračun na podlagi neposredne uporabe logičnih enačb imenujemo logično-verjetnostni in poteka v sedmih stopnjah:

1. Besedna formulacija pogojev za delovanje objekta. Opisana je odvisnost zdravja informacijskega sistema od stanja njegovih posameznih elementov.

2. Sestavljanje logične funkcije zdravja. Je logična enačba, ki ustreza pogoju delovanja krmilnega sistema

ki je izražen v ločilni obliki, na primer:

kjer je x i pogoj delovanja i - th element Fl; X i = 1 je operativno stanje, X i = 0 je nedelujoče stanje.

3. Spraviti logično funkcijo zdravja F L v ortogonalno neponovljivo obliko F L . Kompleksno logično funkcijo delovne sposobnosti je treba zreducirati na pravokotno neponovljivo obliko.

Funkcijo oblike (2.2) imenujemo ortogonalna, če so vsi njeni členi D i po paru pravokotni (to pomeni, da je njihov produkt enak nič), in neponavljajoča se, če je vsak njen člen D i sestavljen iz črk x i , z različnimi števila (to pomeni, da ni ponavljajočih se argumentov), ​​na primer: produkt elementarnih konjunkcij x 1, x 2, x 4 in x 3, x 2 je nič, saj eden od njih vsebuje x2, in drugo x2, zato so pravokotne; D 1 \u003d x 1 ×x 2 ×x 2, kjer x2 in x 2 imata enako število, zato izraz D 1 ni neponovljiv.

– pravokotna neponovljiva oblika;

- pravokotna, vendar ne neponovljiva oblika.

Funkcijo F l lahko transformiramo v ortogonalno neponovljivo obliko F lo z uporabo zakonov in pravil za transformacijo kompleksnih izjav. Pri izračunu so najpogostejša pravila:

4. Aritmetizacija F lo. Aritmetična funkcija F a (2.3) je določena iz najdene ortogonalne neponovljive logične funkcije zdravja F LO.

kjer je A i aritmetična oblika členov D i funkcije F lo.

Aritmetizacija izrazov D i , ki v splošni obliki vsebuje operacije disjunkcije, konjunkcije in negacije, se izvede z zamenjavo logičnih operacij z aritmetičnimi po pravilih:

5. Ugotavljanje verjetnosti brezhibnega delovanja sistema.

Verjetnost brezhibnega delovanja sistema je postavljena kot verjetnost resničnosti logične funkcije zdravja, predstavljene v ortogonalni neponovljivi obliki, in se izračuna kot vsota verjetnosti resničnosti vseh ortogonalnih členov sistema. ta funkcija logične algebre. Vsi dogodki (izjave) so nadomeščeni z njihovimi verjetnostmi (verjetnostmi brezhibnega delovanja ustreznih elementov).

6. Izračun zahtevanih kazalnikov zanesljivosti krmilnega sistema glede na ugotovljeni indikator P c (t):

Verjetnost brezhibnega delovanja P c (t);

Verjetnost okvare Q c (t) = 1 – P c (t);

Stopnja napak

MTBF

7. Analiza skladnosti dobljenih kazalnikov zanesljivosti z danimi tehničnimi zahtevami sistema.

Predpostavke, ki jih sprejema logično-verjetnostna metoda: za elemente sistema sta možni le dve stanji; metoda je uporabna za sisteme, ki jih ni mogoče obnoviti; okvare elementov sistema morajo biti neodvisne.

V nekaterih primerih si objekta ali sistema ni mogoče predstavljati kot sestavljenega iz vzporedno-serijskih povezav. To še posebej velja za digitalne elektronske informacijske sisteme, v katerih so uvedene navzkrižne informacijske povezave za izboljšanje zanesljivosti. Na sl. 9.17 prikazuje del strukture sistema z navzkrižnimi povezavami (puščice prikazujejo možne smeri gibanja informacij v sistemu). Za oceno zanesljivosti takšnih struktur se je izkazala za učinkovito logično-verjetnostna metoda.

riž. 9.17 Premostitvena shema za oskrbo z gorivom;

1-2 - črpalke, 3,4,5 - ventili

riž. 9.18 Premostitveno vezje merilno-računalniškega kompleksa;

1,2 - naprava za shranjevanje; 3,4 - procesorji; 5 - blok, ki zagotavlja dvosmerni prenos digitalnih podatkov.

V metodi je predlagano, da se operativno stanje strukture opiše z aparatom matematične logike, čemur sledi formalni prehod na verjetnost brezhibnega delovanja ocenjevanega sistema ali naprave. V tem primeru preko logične spremenljivke xj označuje dogodek, ki je dano jaz-th element je operativen. Formalno je zdravo stanje celotnega sistema ali objekta predstavljeno z logično funkcijo, imenovano zdravstvena funkcija. Da bi našli to funkcijo, je treba od vhoda do izhoda sistemske strukture določiti vse poti gibanja informacij in delovnega telesa, ki ustreza delujočemu stanju sistema. Na primer na sl. 9.17. obstajajo štiri takšne poti: pot 1 - , pot 2 - , pot 3 - , pot 4 - .

Če poznamo vse poti, ki ustrezajo operativnemu stanju strukture, je mogoče v simbolih algebre logike v disjunktivno-konjunktivni obliki zapisati funkcijo operabilnosti (X) / Na primer za sl. 9.17 je:

Z znanimi metodami minimizacije logično funkcijo zdravja poenostavimo in iz nje prenesemo v enačbo zdravja sistema v simbolih navadne algebre. Takšen prehod se izvede formalno z uporabo znanih odnosov (logični zapis na levi, algebraični zapis na desni):

Verjetnost brezhibnega delovanja objekta (glej sl. 9.16, 9.17) je na splošno določena s formalno substitucijo v algebraičnem izrazu zdravstvene funkcije namesto spremenljivk, vrednosti verjetnosti brezhibnega delovanja vsakega jaz-th element sistema.

Primer. Na splošno je treba najti verjetnost brezhibnega delovanja objektov, katerih struktura je prikazana na sl. 9.16 in 9.17. Kljub različni elementni osnovi so elementi strukture teh objektov z vidika formalne logike enaki. Iz tega razloga, zaradi jasnosti, na sl. 9.17 Elementi U1, U2 - dve enaki enako zanesljivi črpalki z verjetnostjo brezhibnega delovanja. Elementa U3, U4 sta dva enako zanesljiva procesorja z verjetnostjo brezhibnega delovanja. Element U5 je preklopni ventil, ki omogoča dvosmerni dovod delovne tekočine (npr. goriva) na izhodu iz objekta.

Struktura predmeta na sl. 9.17, kjer sta elementa U1, U2 dve enaki enako zanesljivi pomnilniški napravi (pomnilnik), z verjetnostjo brezhibnega delovanja. Elementa U3, U4 sta dva enaka enako zanesljiva procesorja z verjetnostjo brezhibnega delovanja. Element U5 je blok, ki omogoča dvosmerni prenos digitalnih podatkov. Verjetnost brezhibnega delovanja te enote je .

Ob upoštevanju (9.36), (9.37), (9.38) lahko naredimo formalni prehod iz zapisa (9.35) v algebraični zapis. Torej, da bi našli logično funkcijo operabilnosti objekta, imajo možni načini prenosa informacij (delovnega telesa) od vhoda do izhoda obliko

DETERMINISTIČNI ODDELKI SPLOŠNE LOGIČNO-VERJETNOSTNE METODE

Opomba. Predstavljeni so rezultati sistematizacije podatkov o obstoječih in novih znanstvenih razvojih vprašanj determinističnega modeliranja v splošni logično-verjetnostni metodi (OLVM), teoriji in tehnologiji avtomatiziranega strukturno-logičnega modeliranja (ASM).

Ključne besede. Splošna logično-verjetnostna metoda, shema funkcionalne celovitosti, verjetnostni modeli, deterministično modeliranje.

Uvod. V zgodovini so bile vse logično-verjetnostne metode razvite in uporabljene za modeliranje in računske namene. verjetnostni indikatorji različnih lastnosti sistemskih objektov (zanesljivost, trajnost, sposobnost preživetja, stabilnost, varnost, tehnično tveganje, pričakovana škoda, učinkovitost). Vendar pa je v zadnjih letih, skupaj z nadaljnjim širjenjem nabora problemov verjetnostne analize, razvoj metod in programske opreme postal vedno bolj potreben. deterministični modeliranje strukturno kompleksnih sistemov različnih tipov, razredov in namenov. To poročilo predstavlja rezultate sistematizacije podatkov o obstoječem in novem znanstvenem in tehnološkem razvoju vprašanj determinističnega modeliranja v okviru splošne logično-verjetnostne metode (OLVM), teorije in tehnologije avtomatiziranega strukturno-logičnega modeliranja (ASM).

1. Deterministične metode analitičnega OLVM.

Opozoriti je treba, da imajo vse logično-verjetnostne metode sistemske analize jasno definirane deterministične komponente na vseh glavnih stopnjah modeliranja. Na stopnji postavljanja nalog deterministične vključujejo vse vrste grafičnih orodij in metod za izgradnjo strukturnih modelov preučevanih lastnosti - drevesa napak, drevesa dogodkov, blokovni diagrami, povezovalni grafi, sheme funkcionalne celovitosti itd. logično-verjetnostno modeliranje, metode, algoritmi so deterministični in programi za izgradnjo logičnih in verjetnostnih (natančnih ali približnih) matematičnih modelov proučevanih lastnosti sistema na osnovi podanega blokovnega diagrama. V končni fazi OLVM so metode in postopki za izračun verjetnostnih indikatorjev lastnosti sistemov, ki temeljijo na zgrajenih natančnih ali približnih analitičnih verjetnostnih funkcijah, deterministični.

V okviru obstoječih domačih in tujih tipičnih monotonih logično-verjetnostnih metod sistemske analize so bila razvita in uspešno uporabljena različna eksaktna in približna orodja (metode, algoritmi in programi) za gradnjo na podlagi dreves napak, diagramov poteka ali povezovalnih grafov determinističnih sistemov. logične funkcije zmogljivosti sistema (FRS) in polinomi verjetnostnih funkcij (WF).

V OLVM so te vrste analitičnih modelov zgrajene na podlagi logično univerzalnega grafičnega aparata blokovnih diagramov funkcionalne celovitosti (FIC). Deterministični FRS in WF sta definirana v OLVM za vse vrste monotonih in nemonotonih modelov preiskovanih lastnosti sistemov velikih dimenzij in visoke strukturne kompleksnosti. Za konstruiranje logičnih FRS v OLVM je bila razvita univerzalna grafično-analitična metoda (UGM) in kombinirana metoda za konstruiranje polinomov WF. Te metode so bile prenesene v programsko implementacijo in se uporabljajo v industrijskih vzorcih programskih sistemov za avtomatizirano strukturno-logično modeliranje sistemov.

Za ponazoritev determinističnega analitičnega OLVM je obravnavan preprost testni primer analize tipičnega premostitvenega sistema. Leva stran slike 1 prikazuje FSC premostitvenega sistema, ki je vnesen v programski paket (PC) ACM 2001, in pripadajoči celoten sistem logičnih enačb. V primeru so rešeni trije deterministični problemi - konstruiranje logičnega FRS, konstruiranje polinoma WF in analitični izračun verjetnosti implementacije kriterija delne odpovedi (delne operativnosti) premostitvenega sistema (izhodni element 3 izpolnjen, izhodni element 4 pa izpolnjen). ne izpolnjuje svoje funkcije).

Slika 1 Testni primer uporabe determinističnega analitičnega OLVM

Na desni strani slike 1 so prikazani rezultati uporabe UGM za pridobitev logičnega FRS in kombinirane metode za konstruiranje polinoma WF. Analitični izračun verjetnosti delne operativnosti mostnega sistema se izvede za primer, ko so verjetnosti vseh elementarnih dogodkov enake. .

Trenutno poteka delo za nadaljnje izboljšave metod determinističnega analitičnega OLVM. Hkrati je v zadnjih letih prišlo do oblikovanja in razvoja številnih novih specialnih področij deterministične OLVM analize sistemov.

2. Deterministične metode statističnega OLVM.

V statističnem logično-verjetnostnem modeliranju so deterministična sredstva sredstva za izgradnjo simulacijskih modelov proučevanih lastnosti strukturno kompleksnih sistemov. Na podlagi generiranih simulacijskih modelov se s statističnimi testi določijo kvantitativne ocene verjetnostnih kazalcev proučevanih lastnosti sistema. Prva logično-statistična metoda (LSM), ki jo je razvil I.A. Ryabinin, uporablja logično FRS proučevanega sistema kot simulacijski model. V OLVM in PC ASM je implementirana še ena - iterativna logično-statistična metoda (ILSM), ki jo je razvil Alekseev A.O. ILSM kot deterministični simulacijski model neposredno uporablja FIS proučevanega sistema, ki je predstavljen v obliki monotonega ali nemonotonega sistema logičnih enačb. To omogoča, da v statističnem OLVM sploh ne izvajamo konstrukcije determinističnih analitičnih modelov (niti FRS, niti WF).

Na sliki 2 je prikazano okno avtomatizirane simulacije PC ASM 2001 z rezultati izračunov po različnih metodah verjetnostnih indikatorjev delne zmogljivosti zgoraj obravnavanega premostitvenega sistema (glej sliko 1).

Slika 2 Rezultati uporabe deterministične metode statističnega CGLR

Iz slike 2 sledi, da smo s pomočjo determinističnega OLVM avtomatskega generiranja simulacijskega modela in izvedbe na njegovi osnovi statističnih izračunov verjetnosti delne operativnosti mostnega sistema dobili naslednji rezultat.

Ta rezultat statističnega OLVM se dobro ujema z dobljenim