В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.

Так, например, известно, что длина Суэцкого канала 160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измерений, произведенных с точностью до километра. Если, например, длина прямоугольного участка 29 м, ширина 12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью до метра, а долями метра пренебрегли,

Прежде чем произвести какое-либо измерение, необходимо решить, с какой точностью его нужно выполнить, т.е. какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х .

При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью. Определение. Если число x является приближенным значением (приближением) некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел, а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается a x : или просто a . Таким образом, по определению,

a x = a-x (1)

Из этого определения следует, что

a = x a x (2)

Если известно, о какой величине идет речь, то в обозначении a x индекс а опускается и равенство (2) записывается так:

a = x x (3)

Так как истинное значение искомой величины чаще всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность приближения этой величины. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может. Это число называется границей абсолютной погрешности приближения величины a и обозначается h a . Таким образом, если x -- произвольное приближение величины а при заданной процедуре получения приближений, то

a x = a-x h a (4)

Из сказанного выше следует, что если h a является границей абсолютной погрешности приближения величины а , то и любое число, большее h a , также будет границей абсолютной погрешности приближения величины а .

На практике принято выбирать в качестве границы абсолютной погрешности возможно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (4).

Решив неравенство a-x h a получим, что а заключено в границах

x - h a a x + h a (5)

Более строгое понятие границы абсолютной погрешности можно дать следующим образом.

Пусть X -- множество всевозможных приближений х величины а при заданной процедуре получения приближении. Тогда любое число h , удовлетворяющее условию a-x h a при любом хХ , называется границей абсолютной погрешности приближений из множества X . Обозначим через h a наименьшее из известных чисел h . Это число h a и выбирают на практике в качестве границы абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1 см определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность.

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Определение. Если a x : есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а , то отношение a x к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается a x или x .

Таким образом, по определению,

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.

На практике рассматривают не относительную погрешность, а так называемую границу относительной погрешности: такое число Е a , больше которого не может быть относительная погрешность приближения искомой величины.

Таким образом, a x Е a .

Если h a -- граница абсолютной погрешности приближений величины а , то a x h a и, следовательно,

Очевидно, что любое число Е , удовлетворяющее условию, будет границей относительной погрешности. На практике обычно известны некоторое приближение х величины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за границу относительной погрешности принимают число

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Результаты действий с числами дают: с приближенными числами приближенные числа. Например. Во время эпидемии 60% жителей Санкт-Петербурга болеют гриппом. Это приблизительно 3млн человек. с точными числами точное числа Например. В аудитории на лекции по математике 65 человек. приближенные числа Например. Средняя температура тела пациента в течение дня 37,3: утро: 37,2 ; день:36,8 ; вечер38.

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Округление: а) до десятых 12,34 12,3; б) до сотых 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тысячных 3,4335 3,434. г) до тысяч; При этом учитывают следующее:

Величины, наиболее часто измеряемые в медицине: масса m, длина l, скорость процесса v, время t, температура t, объём V и т.д. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу. 9 Единицы измерения физических величин: О с н о в н ы е Длина - 1 м - (метр) Время - 1 с - (секунда) Масса - 1 кг - (килограмм) П р о и з в о д н ы е Объем - 1 м³ - (метр кубический) Скорость - 1 м/с - (метр в секунду)

Приставки к названиям единиц: Кратные приставки - увеличивают в 10, 100, 1000 и т.д. раз г - гекто (×100) к – кило (× 1000) М – мега (×) 1 км (километр) 1 кг (килограмм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольные приставки – уменьшают в 10, 100, 1000 и т.д. раз д – деци (×0, 1) с – санти (× 0, 01) м – милли (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (миллиметр) 1мм = 0,001 м Кратные приставки используют при измерении больших расстояний, масс, объемов, скоростей и т. п. Дольные приставки используют при измерении малых расстояний, скоростей, масс, объёмов и т.п.

Для диагностики, лечения, профилактики заболеваний в медицине используется различная измерительная медицинская аппаратура.

Термометр. Во-первых, нужно учесть верхний и нижний пределы измерений. Нижний предел – это минимальное, а верхний – максимальное измеряемое значение. Если неизвестно предполагаемое значение измеряемой величины, лучше взять прибор с «запасом». Например, измерение температуры горячей воды не стоит проводить уличным или комнатным термометром. Лучше найти прибор с верхним пределом 100 °С. Во-вторых, нужно понять, насколько точно должна быть измерена величина. Так как погрешность измерений зависит от цены деления, для более точных измерений выбирается прибор с меньшей ценой деления.

Погрешности измерений. Для измерения разных диагностических параметров величин нужен свой прибор. Например, длину измеряют линейкой, а температуру – термометром. Но линейки, термометры, тонометры и другие приборы бывают разными, поэтому чтобы измерить какую- либо физическую величину, нужно выбрать подходящий именно для этого измерения прибор.

Цена деления прибора. Температуру тела человека нужно определять точно, лекарства вводить строго определенное количество,поэтому Цена делений шкалы измерительного прибора – важная характеристика каждого прибора. Правило для вычисления цены деления прибора.. Чтобы подсчитать цену делений шкалы, нужно: а) выбрать на шкале два ближайших оцифрованных штриха; б) сосчитать количество делений между ними; в) разность значений около выбранных штрихов разделить на количество делений.

Цена деления прибора. Цена деления (50-30)/4=5 (мл) Цена деления: (40-20)/10=2 км/ч, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR, (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп, (4-2)/10=0,2 с

Определите цену деления приборов: 16

Абсолютная погрешность измерения. При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три части: ошибки, вызванные несовершенством приборов; ошибки, вызванные несовершенством методов проведения измерений; ошибки обусловленные влиянием случайных факторов, от которых невозможно избавиться. Измеряя какую-либо величину, хочется знать не только её значение, но и то, насколько этому значению можно доверять, насколько оно точно. Для этого необходимо знать, насколько истинное значение величины может отличаться от измеренного. Для этих целей вводится понятие абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность показывает, на сколько реальное значение физической величины отличается от измеренного. Она зависит от самого прибора (инструментальная погрешность) и от процесса измерений (погрешность отсчёта по шкале). Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется разность Δ x = |x – x 0 |, где х 0 - приближенное значение, а х – точное значение измеряемой величины или иногда вместо х употребляют А ΔА = |А – А 0 |.

Абсолютная и относительная погрешности. Пример. Известно, что -0,333 приближенное значение для -1/3. Тогда по определению абсолютной погрешности Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность не может быть. Это любое число h,удовлетворяющее неравенству | Δ x | h Оно называется границей абсолютной погрешности.

В этом случае говорят, что величина х приближенно с точностью до h равна x 0. х=х 0 ± h или х 0 - h х х 0 + h

Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений

Оценка приборных погрешностей измеряемых величин. Для большинства измерительных приборов, погрешность прибора равна цене его деления. Исключение составляют цифровые приборы и стрелочные измерительные приборы. Для цифровых приборов погрешность указывается в их паспорте и обычно в раз превышает цену деления прибора. Для стрелочных измерительных приборов погрешность определяется их классом точности, который указывается на шкале прибора, и пределом измерений. Класс точности указывается на шкале прибора как число, которое не обведено никакими рамками. Например, на приведенном рисунке класс точности манометра равен 1,5. Класс точности показывает, сколько процентов составляет погрешность прибора от предела его измерений. Для стрелочного манометра предел измерений составляет 3 атм, соответственно погрешность измерения давления равна 1,5% от 3 атм, то есть 0,045 атм. Следует отметить, что для большинства стрелочных приборов их погрешность оказывается равной цене деления прибора. Как и в нашем примере, где цена деления барометра равна 0,05 атм.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность нужна для определения диапазона, в который может попасть истинное значение, но для оценки точности результата в целом она не очень показательна. Ведь измерение длины в 10 м с погрешностью в 1 мм безусловно является весьма точным, в то же время измерение длины в 2 мм с погрешностью в 1 мм очевидно является крайне неточным. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры ΔА 0,17 0,2. Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности А=10,332 10,3

Абсолютная и относительная погрешности. Наряду с абсолютной погрешностью принято рассматривать и относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению самой величины. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: Е = Δx. 100% х 0 Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла произойти ошибка и является показательной при оценки качества результатов эксперимента.

Пример. При измерении длины и диаметра капилляра получили l =(10,0 ±0,1)см, d=(2,5 ±0,1)мм. Какое из этих измерений точнее? При измерении длины капилляра допускается абсолютная погрешность 10мм на 100мм следовательно абсолютная погрешность10/100=0,1=10%. При измерении диаметра капилляра допустимая абсолютная погрешность 0,1/2,5=0,04=4% Следовательно измерение диаметра капилляра выполнено точнее.

Во многих случаях нельзя найти абсолютную погрешность. Следовательно и относительную погрешность. Но можно найти границу относительной погрешности. Любое число δ,удовлетворяющее неравенству | Δ x | / | x о | δ,является границей относительной погрешности. В частности, если h–граница абсолютной погрешности, то число δ= h/| x о |, является границей относительной погрешности приближения x о. Отсюда. Зная границу отн.п-и. δ можно найти границу абсолютной погрешности h. h= δ | x о |

Пример. Известно, что 2=1,41… Найти относительную точность приближенного равенства или границу отн.погрешности приближенного равенства 2 1,41. Здесь х = 2, x о = 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x о 0,01/1,41=1/141, Граница абс.погрешности равна 0,01, аграница относительной погрешности равна 1/141

Пример. При считывании показаний со шкалы важно, чтобы ваш взгляд падал перпендикулярно шкале прибора, при этом ошибка будет меньше. Для определения показания термометра: 1.определяем количество делений, 2. умножаем их на цену деления 3. учитываем погрешность 4.записываем окончательный результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Это означает, что температура лежит в пределах от 18,5° до 21,5°. То есть она может быть, например, и 19, и 20 и 21 градусов Цельсия. Чтобы увеличить точность измерений, принято повторить их не менее трёх раз и вычислить среднее значение измеряемой величины

Н А Х О Ж Д Е Н И Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н И Я Результаты измерений С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33,5 С 5 = 54,2 а)Найдем среднее значение четырех величин с ср = (с 1 + с 2 + с 3 + с 4):4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 б)Найдем отклонение величины от среднего значения Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

В)Найдем абсолютную погрешность Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Найдем относительную погрешность δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9 % д) Запишем окончательный ответ с = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Подготовиться к к практическому занятию по материалам лекции. Выполнить задание. Найти среднее значение и погрешность: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Создать презентации по темам: «Округление величин в медицине», «Погрешности измерений», «Медицинская измерительная аппаратура»

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например , если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2 . В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу , которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например , число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01 , так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01 . Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 .*

(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например , 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граничная погрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а » обозначают символом Δа . Запись

х ≈ а ( Δа )

следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δа и а –Δа, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают Н Гх и В Гх .

Например , если х ≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4 .

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например , если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью ; обозначают её так: Δа/а . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах .

Например , если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км , но меньше 12,7 км , то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму , тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км , а граничная

Для современных задач необходимо использовать сложный математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто приходится встречаться с задачами, для которых аналитическое решение, т.е. решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов.

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

1. величина и число. Величиной называется то, что в определенных единицах может быть выражено числом.

Когда говорят о значении величины, то имеют в виду некоторое число, называемое числовым значением величины, и единицу ее измерения.

Таким образом, величиной называют характеристику свойства объекта или явления, которая является общей для множества объектов, но имеет индивидуальные значения для каждого из них.

Величины могут быть постоянными и переменными. Если при некоторых условиях величина принимает только одно значение и не может его изменять, то она называется постоянной, если же она может принимать различные значения, то – переменной. Так, ускорение свободного падения тела в данном месте земной поверхности есть величина постоянная, принимающая единственное числовое значение g=9,81… м/с2, в то время как путь s, проходимый материальной точкой при ее движении, – величина переменная.

2. приближенные значения чисел. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называется точным. Часто, однако, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение. В практике вычислений чаще всего приходится иметь дело с приближенными значениями чисел. Так, p – число точное, но вследствие его иррациональности можно пользоваться лишь его приближенным значением.

Во многих задачах из-за сложности, а часто и невозможности получения точных решений применяются приближенные методы решения, к ним относятся: приближенное решение уравнений, интерполирование функций, приближенное вычисление интегралов и др.

Главным требованием к приближенным расчетам является соблюдение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как увеличение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности.

Существуют два класса ошибок, получающихся при вычислениях и округлении чисел – абсолютные и относительные.

1. Абсолютная погрешность (ошибка).

Введем обозначения:

Пусть А – точное значение некоторой величины, Запись а » А будем читать "а приближенно равно А". Иногда будем писать А = а, имея в виду, что речь идет о приближенном равенстве.

Если известно, что а < А, то а называют приближенным значением величины А с недостатком. Если а > А, то а называют приближенным значением величины А с избытком.

Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения и обозначается D, т.е.

D = А – а (1)

Погрешность D приближения может быть как числом положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы охарактеризовать отличие приближенного значения величины от точного, часто бывает достаточно указать абсолютную величину разности точного и приближенного значений.

Абсолютная величина разности между приближенным а и точным А значениями числа называется абсолютной погрешностью (ошибкой) приближения и обозначается D а :

D а = ½а – А ½ (2)

Пример 1. При измерении отрезка l использовали линейку, цена деления шкалы которой равна 0,5 см. Получили приближенное значение длины отрезка а = 204 см.

Понятно, что при измерении могли ошибиться не более, чем на 0,5 см, т.е. абсолютная погрешность измерения не превышает 0,5 см.

Обычно абсолютная ошибка неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки:

D а <= D а пред . (3)

где D а пред . – предельная ошибка (число, большее нуля), задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.

Предельная абсолютная погрешность называется также границей погрешности . Так, в приведенном примере,
D а пред . = 0,5 см.

Из (3) получаем: D а = ½а – А ½<= D а пред . . и тогда

а – D а пред . ≤ А ≤ а + D а пред . . (4)

Значит, а – D а пред . будет приближенным значением А с недостатком, а а + D а пред – приближенным значением А с избытком. Пользуются также краткой записью: А = а ± D а пред (5)

Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству (3), будет бесконечное множество. На практике стараются выбратьвозможно меньшее из чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству D а <= D а пред .

Пример 2. Определим предельную абсолютную погрешность числа а=3,14 , взятого в качестве приближенного значения числа π.

Известно, что 3,14<π<3,15. Отсюда следует, что

|а – π |< 0,01.

За предельную абсолютную погрешность можно принять число D а = 0,01.

Если же учесть, что 3,14<π<3,142 , то получим лучшую оценку: D а = 0,002, тогда π ≈3,14 ±0,002.

Относительная погрешность (ошибка). Знания только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения.

Пусть, например, при взвешивании двух тел получены следующие результаты:

Р 1 = 240,3 ±0,1 г.

Р 2 = 3,8 ±0,1 г.

Хотя абсолютные погрешности измерения обоих результатов одинаковы, качество измерения в первом случае будет лучшим, чем во втором. Оно характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (ошибкой) приближения числа А называется отношение абсолютной ошибки D а приближения к абсолютной величине числа А:

Так, как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением и тогда:

Предельной относительной погрешностью или границей относительной погрешности приближения, называется число d а пред. >0, такое, что:

d а <= d а пред.

За предельную относительную погрешность можно, очевидно, принять отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения:

Из (9) легко получается следующее важное соотношение:

∆ а пред. = |a | d а пред.

Предельную относительную погрешность принято выражать в процентах:

Пример. Основание натуральных логарифмов для расчета принято равным е =2,72. В качестве точного значения взяли е т = 2,7183. Найти абсолютную и относительную ошибки приближенного числа.

D е = ½е – е т ½=0,0017;

.

Величина относительной ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки. Так, у числа 634,7, рассчитанного с абсолютной ошибкой D = 1,3 и у числа 6347 с ошибкой D = 13 относительные ошибки одинаковы: d = 0,2.