Предел переменной величины. Предел последовательности

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 201. Постоянные и переменные величины. Понятие функции

С понятием функции мы уже неоднократно сталкивались. В части I мы рассмотрели линейную, квадратную, степенную и тригонометрические функции. Предыдущая глава была посвящена изучению показательной и логарифмической функций. Теперь нам предстоит сделать общий обзор того, что мы уже знаем о функциях, и рассмотреть некоторые новые вопросы.

Наблюдая различные процессы, можно заметить, что величины, участвующие в них, ведут себя по-разному: одни из них изменяются, другие остаются постоянными. Если, например, в треугольнике ABC вершину В перемещать по прямой MN, параллельной основанию АС (рис. 263), то величины углов А, В и С при этом будут непрерывно изменяться, а сумма их, высота h и площадь треугольника будут оставаться неизменными.

Другой пример. Если какой-нибудь газ сжимать при постоянной температуре, то объем его (V ) и давление (р ) будут изменяться: объем уменьшаться, а давление увеличиваться. Произведение же этих величин, как устанавливает закон Бойля - Мариотта, будет оставаться постоянным:

Vp = c ,

где с - некоторая константа.

Все величины можно разделить на постоянные и переменные.

Переменные величины, участвующие в каком-либо процессе, обычно изменяются не независимо друг от друга, а в тесной связи друг с другом. Например, сжатие газа (при постоянной температуре) приводит к изменению его объема, а это, в свою очередь, обусловливает изменение давления газа. Изменение радиуса основания цилиндра вызывает изменение площади этого основания; последнее же приводит к изменению объема цилиндра и т д. Одна из плавных задач математического изучения того или иного процесса заключается в том, чтобы установить, как изменение одних переменных величин влияет на изменение других переменных величин.

Рассмотрим несколько примеров. Упомянутый выше закон Бойля - Мариотта говорит, что при постоянной температуре объем газа V изменяется обратно пропорционально давлению р : V = c / p . Если известно давление, то по этой формуле можно вычислить объем газа. Аналогично, формула S = πr 2 позволяет определить площадь круга S, если известен его радиус r . По формуле β = π / 2 - α можно найти острый угол прямоугольного треугольника, если известен другой острый угол этого треугольника, и т. д.

При сравнении двух переменных величин одну из них удобно рассматривать как независимую переменную, а другую - как зависимую переменную величину. Например, радиус круга r естественно считать независимой переменной, а площадь круга S = πr 2 - зависимой переменной величиной. Аналогично давление газа р можно считать независимой переменной величиной; тогда его объем V = c / p будет зависимой переменной величиной.

Какую же из двух переменных величин выбрать в качестве зависимой и какую в качестве независимой? Этот вопрос решается по-разному в зависимости от поставленной цели. Если например, нас интересует, к чему приводит изменение давления газа при постоянной температуре, то естественно дпиление принять за независимую, а объем - за зависимую Переменную величину. В этом случае зависимая переменная величина V будет выражаться через независимую величину р по формуле: V = c / p . Если же мы хотим выяснить последствия сжатия газа, то лучше объем рассматривать как независимую, а давление -как зависимую переменную величину. Тогда зависимая переменная величина р будет выражаться через независимую переменную величину V по формуле р = c / V . В любом из этих случаев две величины связаны между собой так, что каждому возможному значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой.

Если каждому значению одной переменной величины х каким-либо образом поставлено в соответствие вполне определенное значение другой величины у , то говорят, что задана функция.

Величину у при этом называют зависимой переменной величиной или функцией , а величину х - независимой переменной величиной или аргументом .

Для выражения того, что у есть функция аргумента х , обычно используют обозначения: у = f (х ), у = g (x ) , у = φ (х ) и т. д. (читается: игрек равно эф от икс, игрек равно же от икс, игрек равно фи от икс и т. д.). Выбор буквы для обозначения функции (f, g, φ ) является, конечно, несущественным. Существенно лишь то, какую связь между величинами х и у выражает эта буква.

Значение, которое принимает функция f (х ) при х = а , обозначается f (a ). Если, например, f (х ) = x 2 + 1, то

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (a + 1) = (а + 1) 2 + 1 = а 2 + 2а + 2;

f (2а ) = (2а ) 2 + 1 = 4а 2 + 1

Упражнения

1515. Газ, находящийся под давлением в 2 атмосферы, сжимается. Как изменяется при этом: а) вес газа; б) его объем; в) его давление?

1516. По электрической цепи течет ток. С помощью реостата мы изменяем сопротивление цепи. Изменяется ли при этом: а) ток в цепи; б) напряжение тока?

1517. Вершина В треугольника ABC движется по окружности, диаметр которой совпадает с основанием АС этого треугольника. Какие величины в этом процессе остаются постоянными и какие изменяются?

1518.

Найти: а) f (0); б) f (а 2); в) f ( 1 / a ); г) f (sin а ).

1519. Выразить f (2а ) через f (а ) для функций:

а) f (х ) = sin х ; б) f (х ) = tg х ;

Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х , становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.

Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..

То же самое определение можно сказать и другими словами.

Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.

Тот факт, что число а , является пределом переменной величины, записывается следующим образом:

( - первые буквы слова limes - предел) или х -> a

Уточним, что следует понимать под словами "величина становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом , тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х, значения сделаются, и будут становиться меньше, чем это .

Переменная величина стремится к пределу , если для любого положительного . начиная с некоторого момента в изменении переменной , выполняется неравенство .

Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что находится в -окрестности точки , т.е. в интервале (рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число является пределом переменной величины , если для любой (произвольно малой) -окрестности точки можно указать такой момент в изменении переменной начиная с которого все ее значения
попадают в указанную -окрестность точки a.

Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую - окрестность точки a ; начиная с некоторого момента в изменении , все значения попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную - окрестность точки a ; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении , все ее значения попадут в - окрестность точки а и т.д. (рис. 1).

Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.

Предел последовательности. Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х , можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х } ,х 2 ,...х п,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений х х,х 2 ,...х п... ; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой = N и ЕÌR.

Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

Примеры:

а) Последовательность является постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ;

б) . Для неё

г) .

Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .

Соответствующее обозначение

Неравенство можно также записывать в виде или . В этих записях подчеркнуто, что величина х п становится сколь угодно мало отличимой от a , когда номер члена неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа а найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N , номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Число в нашем определении зависит от : N = N() . Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для , например то найдется, вообще говоря, другой номер N x > N, такой, что неравенство , выполняется при всех .

Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так.

Переменные и постоянные величины – это не совсем просто

Школьная математика всегда убеждала и продолжает убеждать нас в том, что вопрос о переменных и постоянных величинах решается очень просто. Переменными считаются величины, которые в условиях данной задачи могут принимать различные значения. Постоянными считаются величины, которые в условиях данной задачи свои значения не меняют.

При этом дополнительно сообщается, что деление величин на переменные и постоянные достаточно условно и зависит от обстоятельств, сопровождающих процесс решения задачи . Одна и та же величина, которая в одних условиях считалась постоянной, в других условиях должна рассматриваться как переменная. Классический пример: сопротивление проводника считается постоянным, пока мы не оказываемся вынужденными учитывать зависимость величины его сопротивления от температуры окружающей среды.

Но, как показывает практика, всего вышеуказанного для корректного решения той или иной задачи бывает недостаточно.

Что такое величина, каждому ясно интуитивно. Уточним это понятие.

В общем случае содержанием процесса решения задачи есть преобразование величин. При этом следует понимать, что в общефилософском смысле величина, представляющая результат решения задачи, уже содержится в её формулировке в неявном виде. Нужно только правильно построить процесс преобразования величин задачи, чтобы этот результат представить явно.

Определение

Будем называть величиной любой математический объект, который несет (или может нести) информацию о том или ином значении.

Форма представления величин может быть различной. Например, величина с числовым значением, равным действительной единице, может быть представлена десятичной констант ой 1,0, функцией Cos(0), а также арифметическим выражением 25,0 – 15,0 – 9,0.

Значения величин можно менять. Так, в результате выполнения действия x = 1,0 величина в форме переменной x оказывается носителем значения действительной единицы. При этом предыдущее значение переменной x теряется. Приведённые примеры уже несколько с иных позиций показывают, что величины могут быть переменными и постоянными.

Определение

Переменные величины обладают тем свойством, что их значения могут быть изменены в результате выполнения тех или иных действий. И это значит, что понятие “переменная величина” отражает возможность, но не факт изменения.

Постоянной величиной (константой) следует считать ту, значение которой, в отличие от переменной, изменить принципиально невозможно.

Например, значение постоянной величины в виде выражения 12+3 равно 15, и изменить его нельзя. При этом необходимо фиксировать смысл знаков, с помощью которых представляется величина. В противном случае, если считать, например, знаки этого выражения цифрами в системе счисления с основанием 5, то тогда его значение окажется равным 10.

Определение

Итак, в математических текстах носителями значений, то есть величинами, являются переменные, константы, обращения к функциям (или просто функции), а также выражения.

Особенности переменных

Обозначения, с которыми связываются определённые значения, в математике называют переменными (термин употребляется как имя существительное).

Например, значение переменной величины x+1 зависит от значения, связанного с обозначением x. Здесь обозначение x используется в качестве переменной. Изменив значение переменной x, мы тем самым изменим и значение переменной величины x+1.

Таким образом, значения переменных величин зависят от значений переменных, которые входят в их состав. Отличительным свойством переменной является то, что конкретное её значение должно быть ей просто приписано (назначено).

Математический подход, определяющий возможность вычисления значений переменных, в данном контексте оказывается неправильным. В математике можно вычислять только значения выражений.

Основное условие использования переменной в математических текстах в окончательном виде таково: для обращения к переменной достаточно указать её обозначение.

Особенности констант

В математических текстах могут быть использованы две разновидности констант: константы-лексемы и именованные константы.

Кстати, программисты на языках высокого уровня, пользуются этим на вполне формальных (законных) основаниях.

С помощью констант-лексем значения постоянных величин указываются непосредственно без выполнения каких-либо операций. Например, для получения значения постоянной величины 12+3, которая является выражением, необходимо выполнить сложение двух констант-лексем 12 и 3.

Определение

Именованная константа представляет собой обозначение, сопоставленное конкретному значению, указанному в виде константы-лексемы.

Такой приём широко используется в естественных науках из соображений удобства записи физических, химических, математических и иных формул. Например: g = 9,81523 – ускорение свободного падения на широте Москвы; π = 3,1415926 – число $π$.

Помимо компактной записи выражений, именованные константы обеспечивают наглядность и значительные удобства в работе с математическими текстами.

Своё значение именованная константа приобретает как результат предварительной договорённости.

Важное свойство любой именованной константы состоит в том, что её значение не рекомендуется менять в пределах некоторого математического текста.

Выражения

Выражения являются составными частями подавляющего большинства математических текстов. С помощью выражений задают порядок вычисления новых значений на основании других заранее известных значений.

В общем случае в составе выражений используют операнды, знаки операций и регулирующие круглые (квадратные, фигурные) скобки.

Определение

Операнды – это общее название объектов, значения которых используют при выполнении операций. Операндами могут быть переменные, константы и функции. Кстати, этот термин весьма популярен в среде программистов. Фрагмент выражения, заключённый в регулирующие скобки, рассматривается как отдельный составной операнд.

Знак операции символизирует вполне определённую совокупность действий, которые должны быть выполнены над соответствующими операндами. Регулирующие скобки устанавливают нужный порядок выполнения операций, который может отличаться от предусмотренного приоритетом операций.

Простейшим случаем выражения является отдельный операнд. В таком выражении нет знаков операций.

Операнд-функция имеет свои особенности. Как правило, такой операнд представляет собой наименование (или знак) функции с последующим указанием в круглых скобках перечня её аргументов. В данном случае круглые скобки являются неотъемлемой принадлежностью функций и к регулирующим не относятся. Отметим, что во многих случаях в операндах-функциях обходятся без скобок (например, 5! – вычисление факториала целого числа 5).

Математические операции

Основные особенности математических операций таковы:

• знаки операций могут быть указаны с помощью специальных символов, а также с помощью специально оговоренных слов;
• операции могут быть унарными (выполняемыми над одним операндом) и бинарными (выполняемыми над двумя операндами);
• для операций установлены четыре уровня приоритетов, определяющих порядок вычисления выражения.

Правила вычисления сложного выражения, содержащего цепочку операций при отсутствии регулирующих скобок, следующие:

1. cначала вычисляются значения всех функций;
2. затем поочерёдно выполняются операции в порядке убывания их приоритета;
3. операции равного приоритета выполняются по порядку слева направо.

При наличии регулирующих скобок выражение содержит составные операнды, значения которых должны быть вычислены в первую очередь.

Некоторые особенности записи математических выражений:

• не рекомендуется пропускать знаки операций, хотя во многих случаях можно пропустить знак умножения;
• аргументы функций желательно указываться в круглых скобках;
• указание подряд двух и более знаков бинарных операций недопустимо; формально допустимо использование нескольких знаков унарных операций подряд, в том числе и вместе с бинарной.

Примерами переменных могут служить: температура воздуха, параметр функции и многое другое.

Переменная характеризуется только множеством значений, которые она может принимать . Переменную обозначают символом, общим для каждого из её значений.

Переменные в математике

В математике переменной может быть как реальная физическая величина , так и некая абстрактная величина, не отражающая процессов реального мира.

Декарт считал значения переменных всегда неотрицательными, а отрицательные величины выражал знаком отражал знаком «минус» перед переменной. Если знак коэффициента был неизвестен, Декарт ставил многоточие . Нидерландский математик Иоганн Худде уже в 1657 году позволил буквенным переменным принимать значения любого знака .

Переменные в программировании

В программировании переменная - это идентификатор , определяющий данные . Обычно это имя, скрывающее за собой область памяти, куда могут помещаться данные, хранящиеся в другой области памяти. Переменная может иметь тип значений, которые она может принимать. В программировании, переменные, как правило, обозначаются одним или несколькими словами или символами, такими, как «time», «x», «

Переменные и постоянные величины

величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения либо, соответственно, сохраняют одно и то же значение. Например, при изучении падения тела расстояние последнего от земли и скорость падения - переменные величины, ускорение же (если пренебречь сопротивлением воздуха) - величина постоянная. Элементарная математика рассматривала все изучаемые ею величины как постоянные. Понятие переменной величины возникло в математике в 17 в. под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения - процессов, а не только состояний. Это понятие не укладывалось в формы, выработанные математикой древности и средних веков, и требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Р. Декарт а. В буквах декартовой алгебры, могущих принимать произвольные числовые значения, и нашли своё символическое выражение переменные величины. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). В этот период и вплоть до середины 19 в. преобладают механические воззрения на переменные величины. Наиболее ярко они были выражены И. Ньютон ом, называвшим переменные величины «флюэнтами», то есть текущими, и рассматривавшим их «... не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением» («Математические работы», М., 1937, с. 167). Эти воззрения оказались весьма плодотворными и, в частности, позволили Ньютону совершенно по-новому подойти к нахождению площадей криволинейных фигур. Ньютон впервые стал рассматривать площадь криволинейной трапеции (ABNM на рис. ) не как постоянную величину (вычисляемую суммированием составляющих её бесконечно малых частей), а как переменную величину, производимую движением ординаты кривой (NM ); установив, что скорость изменения рассматриваемой площади пропорциональна ординате NM, он тем самым свёл задачу вычисления площадей к задаче определения переменной величины по известной скорости её изменения. Законность внесения в математику понятия скорости была обоснована в начале 19 в. теорией Предел ов, давшей точное определение скорости как производной (См. Производная). Однако в течение 19 в. постепенно выясняется ограниченность описанного выше воззрения на переменные величины. Математический анализ всё больше становится общей теорией функций, развитие которой невозможно без точного анализа сущности и объёма её основных понятий. При этом оказывается, что уже понятие непрерывной функции в действительности значительно сложнее, чем приведшие к нему наглядные представления. Открываются непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке; понимать такую функцию как результат движения означало бы допускать движение, не имеющее скорости ни в какой момент. Всё большее значение приобретает изучение разрывных функций, а также функций, заданных на множествах значительно более сложной структуры, чем интервал или объединение нескольких интервалов. Ньютоновское толкование переменной величины становится недостаточным, а во многих случаях и бесполезным.

С другой стороны, математика начинает рассматривать как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие классы других своих объектов. На этой почве во 2-й половине 19 в. и в 20 в. развиваются теория множеств, топология и математическая логика. О том, насколько расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт, что в математической логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные множества предметов, но и переменные, значениями которых служат высказывания, предикаты (отношения между предметами) и т.д. (см. Переменная).

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Переменные и постоянные величины" в других словарях:

В математике величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в … Большой Энциклопедический словарь

- (матем.), величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в… … Энциклопедический словарь

См. Константа, Переменная. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970 … Философская энциклопедия

- (матем.), величины, к рые в изучаемом нопросс принимают разл. значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в нек ром вопросе, может быть переменной в другом … Естествознание. Энциклопедический словарь

I Переменные звёзды П. з. звезды, видимый блеск которых подвержен колебаниям. Многие П. з. являются нестационарными звездами; переменность блеска таких звезд связана с изменением их температуры и радиуса, истечением вещества,… … Большая советская энциклопедия

См. Переменные и постоянные величины, Константа. * * * ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА, см. Переменные и постоянные величины (см. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ), Константа (см. КОНСТАНТА) … Энциклопедический словарь