Wszystko o nierównościach logarytmicznych. Przykłady parsowania

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach poznaliśmy równania logarytmiczne, a teraz wiemy, czym one są i jak je rozwiązać. A dzisiejsza lekcja będzie poświęcona badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównościami?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, które mają zmienną pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Albo można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to nierówność, w której jej nieznana wartość, jak w równaniu logarytmicznym, będzie pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne wyglądają tak:

gdzie f(x) i g(x) to niektóre wyrażenia zależne od x.

Przyjrzyjmy się temu za pomocą następującego przykładu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że gdy są rozwiązywane, są podobne do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem, musimy również porównać podstawę logarytmu z logarytmem;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności względem zmiany, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale to my rozważaliśmy podobne momenty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Przyjrzyjmy się teraz dość znaczącej różnicy. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną domenę definicji, więc przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem należy wziąć pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości (ODV).

Oznacza to, że należy pamiętać, że rozwiązując równanie logarytmiczne, możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie zadziała w ten sposób, ponieważ przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem, konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Dodatkowo warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z liczb rzeczywistych, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczby 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, należy zastosować następującą notację: a > 0. W takim przypadku zarówno suma, jak i iloczyn tych liczb również będą dodatnie.

Podstawową zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze jest to, aby była równoważna z daną. Co więcej, uzyskaliśmy również nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją taką, która ma prostszą formę i tak dalej.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to są one równoważne, o ile ich rozwiązania są takie same.

Wykonując zadania rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1, to funkcja logarytmiczna wzrasta, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Sposoby rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom, które mają miejsce podczas rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V - jest jednym z takich znaków nierówności jak:<,>, ≤ lub ≥.

Gdy podstawa tego logarytmu jest większa niż jeden (a>1), dokonując przejścia z logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności jest zachowany, a nierówność będzie wyglądać tak:

co jest równoważne z następującym systemem:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to odpowiednik tego systemu:

Spójrzmy na więcej przykładów rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązanie przykładów

Ćwiczenie. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Decyzja o obszarze dopuszczalnych wartości.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy zrobić:

Przejdźmy teraz do transformacji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawą logarytmu jest 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z tego wynika, że uzyskany przez nas przedział należy w całości do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź, którą otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Po pierwsze, skup całą swoją uwagę i staraj się nie popełniać błędów podczas dokonywania przekształceń wynikających z tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy zapobiegać rozszerzaniu i zwężaniu nierówności ODZ, co może prowadzić do utraty lub przejęcia rozwiązań obcych.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, musisz nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między takimi pojęciami jak system nierówności i zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DHS.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie właściwości funkcji elementarnych i jasno rozumieć ich znaczenie. Do takich funkcji należą nie tylko funkcje logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., jednym słowem wszystkie te, których uczyłeś się podczas szkolnej algebry.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że jesteś uważny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby nie było problemów z rozwiązywaniem nierówności, musisz jak najwięcej trenować, rozwiązując różne zadania i jednocześnie zapamiętywać główne sposoby rozwiązywania takich nierówności i ich systemów. Przy nieudanych rozwiązaniach nierówności logarytmicznych należy dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich w przyszłości.

Praca domowa

Aby lepiej przyswoić temat i utrwalić omawiany materiał, rozwiąż następujące nierówności:

Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od innych, z wyjątkiem dwóch rzeczy.

Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, wynika podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.

Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1 $, to przy przejściu z nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji podlogarytmicznych znak nierówności jest zachowany, a jeśli jest mniejszy niż 1 $, to jest odwracany.

Po drugie, rozwiązanie dowolnej nierówności jest przedziałem, a zatem na końcu rozwiązania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest ułożenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.