병렬 직접 정의 및 예. 평행선

두 줄의 평행성 징후

정리 1. 두 선이 시컨트와 교차할 때:

교차 각도가 같거나

해당 각도가 동일하거나

한 쪽 각도의 합은 180°이므로

선은 평행하다(그림 1).

증거. 우리는 사례 1을 증명하는 것으로 제한합니다.

교차선 a와 b가 교차하고 각도 AB가 동일하다고 가정합니다. 예를 들어, ∠ 4 = ∠ 6입니다. || 비.

선 a와 b가 평행하지 않다고 가정합니다. 그런 다음 그들은 어떤 점 M에서 교차하므로 각도 4 또는 6 중 하나가 삼각형 ABM의 외부 각도가 됩니다. 명확성을 위해 ∠ 4를 삼각형 ABM의 외부 각도로 설정하고 ∠ 6을 내부 각도로 설정합니다. 삼각형의 외각에 대한 정리에 따르면 ∠ 4는 ∠ 6보다 큽니다. 이는 조건에 모순됩니다. 즉, 선 a와 6은 교차할 수 없으므로 평행합니다.

결과 1. 같은 직선에 수직인 평면 위의 서로 다른 두 직선은 평행하다(그림 2).

논평. 방금 정리 1의 사례 1을 증명한 방식을 모순 또는 부조리 축소에 의한 증명 방법이라고 합니다. 이 방법은 논쟁의 시작 부분에서 증명해야 하는 것과 반대되는 가정이 이루어졌기 때문에 그 이름을 얻었습니다. 가정을 바탕으로 추론하면 터무니없는 결론 (터무니없는)에 도달한다는 사실 때문에 터무니없는 결과로 이어지는 것입니다. 그러한 결론을 받아들이면 우리는 처음에 가정한 것을 거부하고 증명이 필요한 가정을 받아들이게 됩니다.

작업 1.주어진 점 M을 지나고, 점 M을 지나지 않고, 주어진 직선 a와 평행한 직선을 작도하세요.

해결책. 직선 a에 수직인 점 M을 통해 직선 p를 그립니다(그림 3).

그런 다음 선 p에 수직인 점 M을 지나는 선 b를 그립니다. 정리 1의 결과에 따라 선 b는 선 a와 평행합니다.

고려된 문제에서 중요한 결론이 도출됩니다.
주어진 선 위에 있지 않은 점을 지나서 주어진 선에 평행한 선을 그리는 것은 언제나 가능하다.

평행선의 주요 특성은 다음과 같습니다.

평행선의 공리. 주어진 직선 위에 있지 않은 주어진 점을 통과할 때, 주어진 직선과 평행한 직선은 단 하나만 지나갑니다.

이 공리를 따르는 평행선의 몇 가지 속성을 고려해 보겠습니다.

1) 선이 두 평행선 중 하나와 교차하면 다른 선과도 교차합니다(그림 4).

2) 서로 다른 두 선이 세 번째 선과 평행하면 두 선은 평행합니다(그림 5).

다음 정리도 참입니다.

정리 2. 두 개의 평행선이 횡단면에 의해 교차하는 경우:

십자형 각도는 동일합니다.

해당 각도는 동일합니다.

한 쪽 각도의 합은 180°입니다.

결과 2. 두 평행선 중 하나에 수직인 선은 다른 평행선에도 수직입니다.(그림 2 참조).

논평. 정리 2는 정리 1의 역이라고 합니다. 정리 1의 결론은 정리 2의 조건입니다. 그리고 정리 1의 조건은 정리 2의 결론입니다. 모든 정리에 역이 있는 것은 아닙니다. 그렇다면 역정리는 거짓일 수 있습니다.

이를 수직각의 정리를 예로 들어 설명하겠습니다. 이 정리는 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 두 각도가 수직이면 두 각도는 같습니다. 역 정리는 다음과 같습니다. 두 각도가 같으면 두 각도는 수직입니다. 물론 이것은 사실이 아닙니다. 두 개의 동일한 각도가 수직일 필요는 없습니다.

예시 1.두 개의 평행선이 3분의 1과 교차합니다. 두 내부 한쪽 각도의 차이는 30°인 것으로 알려져 있습니다. 이 각도를 찾아보세요.

해결책. 그림 6이 조건을 충족시키도록 하겠습니다.

이 문서는 평행선과 평행선에 관한 것입니다. 먼저, 평면과 공간에서의 평행선의 정의가 주어지고, 표기법이 소개되고, 평행선의 예와 그래픽 삽화가 제공됩니다. 다음으로, 선의 평행성에 대한 부호와 조건이 논의됩니다. 결론적으로, 평면 및 3차원 공간의 직교 좌표계에서 선의 특정 방정식으로 제공되는 선의 평행성을 증명하는 일반적인 문제에 대한 솔루션이 표시됩니다.

페이지 탐색.

평행선 - 기본 정보.

정의.

평면에 있는 두 개의 선을 호출합니다. 평행한, 공통점이 없는 경우.

정의.

3차원 공간에 있는 두 개의 선을 이라고 합니다. 평행한, 동일한 평면에 있고 공통점이 없는 경우.

공간의 평행선 정의에서 "동일한 평면에 있는 경우"라는 조항은 매우 중요합니다. 이 점을 명확히 합시다. 공통점이 없고 같은 평면에 있지 않은 3차원 공간의 두 선은 평행하지 않고 교차합니다.

다음은 평행선의 몇 가지 예입니다. 노트북 시트의 반대쪽 가장자리는 평행선 위에 있습니다. 집 벽의 평면이 천장과 바닥의 평면과 교차하는 직선은 평행합니다. 평지의 철도레일도 평행선으로 간주될 수 있습니다.

평행선을 표시하려면 "" 기호를 사용하십시오. 즉, a선과 b선이 평행하다면 간단히 ab라고 쓸 수 있습니다.

참고: 선 a와 b가 평행하면 선 a는 선 b와 평행하고 선 b는 선 a와 평행하다고 말할 수 있습니다.

평면 위의 평행선 연구에서 중요한 역할을 하는 진술을 발표해 보겠습니다. 주어진 선 위에 있지 않은 점을 통과하면 주어진 선에 평행한 유일한 직선이 지나갑니다. 이 진술은 사실로 받아들여지며(알려진 면적 측정 공리를 기반으로 증명할 수 없음) 이를 평행선 공리라고 합니다.

공간의 경우 정리는 유효합니다. 주어진 선 위에 있지 않은 공간의 모든 점을 통과하면 주어진 선과 평행한 단일 직선이 지나갑니다. 이 정리는 위의 평행선 공리를 사용하여 쉽게 증명됩니다(참고 자료 목록의 기사 끝 부분에 나열된 10-11학년 기하학 교과서에서 그 증거를 찾을 수 있습니다).

공간의 경우 정리는 유효합니다. 주어진 선 위에 있지 않은 공간의 모든 점을 통과하면 주어진 선과 평행한 단일 직선이 지나갑니다. 이 정리는 위의 평행선 공리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

선의 평행성 - 평행성의 표시 및 조건.

선의 평행성의 표시선이 평행하기 위한 충분조건, 즉 이 조건이 충족되면 선이 평행하다는 것이 보장됩니다. 즉, 이 조건이 충족되면 선이 평행하다는 사실을 확립하기에 충분합니다.

평면과 3차원 공간에서 선의 평행성에는 필요충분조건도 있습니다.

평행선의 필요충분조건이라는 말의 의미를 설명해보자.

우리는 이미 평행선의 충분조건을 다루었습니다. "평행선의 필요조건"이란 무엇입니까? "필요"라는 이름에서 평행선에 대해 이 조건의 충족이 필요하다는 것이 분명합니다. 즉, 선이 평행해야 하는 필수 조건이 충족되지 않으면 선이 평행하지 않습니다. 따라서, 평행선의 필요충분조건평행선에 대해 필요하고 충분하다는 조건이 충족됩니다. 즉, 이는 한편으로는 선의 평행성의 표시이기도 하고, 다른 한편으로는 평행선이 갖는 특성이기도 하다.

선의 평행성에 대한 필요충분조건을 공식화하기 전에 몇 가지 보조 정의를 기억해 두는 것이 좋습니다.

시컨트 라인는 서로 일치하지 않는 두 직선을 각각 교차하는 직선입니다.

두 개의 직선이 횡단면과 교차하면 8개의 미개발 직선이 형성됩니다. 선의 평행성에 대한 필요충분조건의 공식화에서는 소위 십자형으로 누워 있음그리고 한쪽 각도. 그림으로 보여드리겠습니다.

정리.

평면의 두 직선이 횡단면에 의해 교차하는 경우 평행이 되려면 교차 각도가 같거나 해당 각도가 같거나 한쪽 각도의 합이 180이면 충분합니다. 도.

평면 위의 선의 평행성에 대한 필요충분조건을 그래픽으로 보여드리겠습니다.

7-9학년을 위한 기하학 교과서에서 선의 평행성에 대한 이러한 조건에 대한 증거를 찾을 수 있습니다.

이러한 조건은 3차원 공간에서도 사용될 수 있습니다. 가장 중요한 점은 두 개의 직선과 할선이 동일한 평면에 있다는 것입니다.

다음은 선의 평행성을 증명하는 데 자주 사용되는 몇 가지 정리입니다.

정리.

평면의 두 선이 세 번째 선과 평행하면 두 선은 평행합니다. 이 기준의 증명은 평행선의 공리에서 비롯됩니다.

3차원 공간의 평행선에도 비슷한 조건이 있습니다.

정리.

공간의 두 선이 세 번째 선과 평행하면 두 선은 평행합니다. 이 기준의 증명은 10학년 기하학 수업에서 논의됩니다.

명시된 정리를 설명하겠습니다.

평면 위의 선의 평행성을 증명할 수 있는 또 다른 정리를 제시해 보겠습니다.

정리.

평면의 두 선이 세 번째 선과 수직이면 평행합니다.

공간의 선에 대해서도 비슷한 정리가 있습니다.

정리.

3차원 공간에서 두 직선이 같은 평면에 수직이면 평행합니다.

이 정리에 해당하는 그림을 그려 봅시다.

위에서 공식화한 모든 정리, 기준, 필요충분조건은 기하학 방법을 사용하여 선의 평행성을 증명하는 데 탁월합니다. 즉, 주어진 두 선의 평행성을 증명하려면 두 선이 세 번째 선과 평행하다는 것을 보여주거나 가로 방향의 누운 각도 등이 같음을 보여야 합니다. 고등학교 기하학 수업에서는 유사한 문제가 많이 해결됩니다. 그러나 많은 경우 평면이나 3차원 공간에서 선의 평행성을 증명하기 위해 좌표법을 사용하는 것이 편리하다는 점에 유의해야 합니다. 직교좌표계에서 지정되는 선의 평행도에 대한 필요충분조건을 공식화해 보겠습니다.

직각 좌표계의 선 평행도.

기사의 이 단락에서 우리는 공식화할 것입니다 평행선의 필요충분조건직각좌표계에서 이러한 선을 정의하는 방정식의 유형에 따라 특성 문제에 대한 자세한 솔루션도 제공합니다.

직각 좌표계 Oxy에서 평면 위의 두 직선의 평행 조건부터 시작하겠습니다. 그의 증명은 선의 방향 벡터의 정의와 평면 위의 선의 법선 벡터의 정의에 기초합니다.

정리.

일치하지 않는 두 선이 평면에서 평행하려면 이 선의 방향 벡터가 동일 선상이거나 이 선의 법선 벡터가 동일 선상이거나 한 선의 방향 벡터가 법선에 수직이면 충분합니다. 두 번째 줄의 벡터입니다.

분명히, 평면 위의 두 선의 평행 조건은 (선의 방향 벡터 또는 선의 법선 벡터) 또는 (한 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터)로 축소됩니다. 따라서 와 는 선 a와 b의 방향 벡터이고, 그리고 는 각각 선 a와 b의 법선 벡터이므로 선 a와 b의 평행성에 대한 필요충분조건은 다음과 같이 작성됩니다. , 또는 , 또는 , 여기서 t는 실수입니다. 차례로 가이드의 좌표 및/또는 선 a 및 b의 법선 벡터는 알려진 선 방정식을 사용하여 찾습니다.

특히 직교좌표계 Oxy의 평면상 직선 a는 다음과 같은 형태의 일반 직선방정식을 정의한다. , 그리고 직선 b - , 이 선의 법선 벡터는 각각 좌표를 가지며 선 a와 b의 평행성에 대한 조건은 다음과 같이 작성됩니다.

선 a가 각도 계수 형식의 선 방정식에 해당하고 선 b - 이 선의 법선 벡터는 좌표를 갖습니다. , 이 선의 평행도 조건은 다음과 같은 형식을 취합니다. . 결과적으로, 직각 좌표계의 평면 위의 선이 평행하고 각도 계수가 있는 선의 방정식으로 지정될 수 있는 경우 선의 각도 계수는 동일합니다. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 직교 좌표계의 평면에서 일치하지 않는 선을 동일한 각도 계수를 갖는 선의 방정식으로 지정할 수 있으면 해당 선은 평행합니다.

직각 좌표계의 선 a와 선 b가 다음 형식의 평면에 있는 선의 표준 방정식에 의해 결정되는 경우 그리고 , 또는 형태의 평면에 있는 직선의 매개변수 방정식 그리고 따라서 이들 선의 방향 벡터는 좌표와 를 가지며 선 a와 b의 평행 조건은 다음과 같이 작성됩니다.

몇 가지 예에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

선이 평행합니까? 그리고 ?

해결책.

선의 일반 방정식의 형태로 세그먼트의 선 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. . 이제 우리는 이것이 선의 법선 벡터임을 볼 수 있습니다. , a는 선의 법선 벡터입니다. 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 왜냐하면 동등성이 있는 실수 t가 없기 때문입니다( ). 결과적으로, 평면 위의 선의 평행도에 대한 필요충분조건이 만족되지 않으므로 주어진 선은 평행하지 않습니다.

답변:

아니요, 선은 평행하지 않습니다.

예.

직선과 평행이 있나요?

해결책.

직선의 표준 방정식을 각도 계수가 있는 직선의 방정식으로 줄여보겠습니다. 분명히 선의 방정식은 동일하지 않으며(이 경우 주어진 선은 동일합니다) 선의 각도 계수는 동일하므로 원래 선은 평행합니다.

이 글에서 우리는 평행선에 대해 이야기하고, 정의를 제시하고, 평행성의 표시와 조건을 개괄적으로 설명할 것입니다. 이론적 자료를 더 명확하게 하기 위해 일반적인 예에 대한 그림과 솔루션을 사용합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

평면의 평행선– 공통점이 없는 평면 위의 두 직선.

정의 2

3차원 공간의 평행선– 3차원 공간에서 동일한 평면에 있고 공통점이 없는 두 개의 직선.

공간에서 평행선을 결정하려면 "동일한 평면에 있는" 설명이 매우 중요하다는 점에 유의할 필요가 있습니다. 3차원 공간에서 공통점이 없고 동일한 평면에 있지 않은 두 선은 평행하지 않습니다. , 그러나 교차합니다.

평행선을 나타내기 위해서는 기호 ought를 사용하는 것이 일반적입니다. 즉, 주어진 선 a와 b가 평행하다면 이 조건은 다음과 같이 간략하게 작성되어야 합니다: a |b. 구두로 선의 평행성은 다음과 같이 표시됩니다. 선 a와 b는 평행하거나 선 a는 선 b와 평행하거나 선 b는 선 a와 평행합니다.

연구 중인 주제에서 중요한 역할을 하는 진술을 공식화해 보겠습니다.

공리

주어진 직선에 속하지 않는 점을 통과하면 주어진 직선과 평행한 유일한 직선이 지나갑니다. 이 진술은 알려진 면적 측정 공리를 토대로 증명할 수 없습니다.

공간에 관해 이야기하는 경우 정리는 사실입니다.

정리 1

주어진 선에 속하지 않는 공간의 모든 점을 통과하면 주어진 선과 평행한 단일 직선이 있게 됩니다.

이 정리는 위의 공리(10~11학년을 위한 기하학 프로그램)를 기반으로 증명하기 쉽습니다.

평행성 기준은 충분조건이며, 이를 충족하면 선의 평행성이 보장됩니다. 즉, 이 조건이 충족되면 병렬성 사실을 확인하기에 충분합니다.

특히 평면과 공간에서 선의 평행성은 필요충분조건이 있다. 설명하자면: 필요란 평행선에 대해 충족이 필요한 조건을 의미합니다. 충족되지 않으면 선이 평행하지 않습니다.

정리하면, 선의 평행성의 필요충분조건은 선이 서로 평행하기 위해 준수하는 필요충분조건이다. 한편으로 이것은 평행성의 표시이고 다른 한편으로는 평행선에 내재된 속성입니다.

필요조건과 충분조건의 정확한 공식을 제시하기 전에 몇 가지 추가 개념을 생각해 보겠습니다.

정의 3

시컨트 라인– 서로 일치하지 않는 두 직선을 각각 교차하는 직선.

두 개의 직선이 교차하는 횡단선은 8개의 미개발 각도를 형성합니다. 필요충분조건을 공식화하기 위해 교차, 대응, 단면과 같은 유형의 각도를 사용합니다. 그림에서 이를 보여드리겠습니다.

정리 2

평면의 두 선이 횡단면에 의해 교차하는 경우 주어진 선이 평행하려면 교차 각도가 동일하거나 해당 각도가 동일하거나 한쪽 각도의 합이 다음과 같으면 충분합니다. 180도.

평면에서 선의 평행성에 대한 필요충분조건을 그래픽으로 설명하겠습니다.

이러한 조건에 대한 증거는 7~9학년을 위한 기하학 프로그램에 나와 있습니다.

일반적으로 이러한 조건은 두 개의 선과 한 개의 시컨트가 동일한 평면에 속한다는 조건으로 3차원 공간에도 적용됩니다.

선이 평행하다는 사실을 증명하는 데 자주 사용되는 몇 가지 정리를 더 살펴보겠습니다.

정리 3

평면에서 1/3과 평행한 두 선은 서로 평행합니다. 이 특징은 위에 표시된 병렬성 공리를 기반으로 증명됩니다.

정리 4

3차원 공간에서는 3분의 1에 평행한 두 선이 서로 평행합니다.

기호 증명은 10학년 기하학 커리큘럼에서 공부합니다.

이러한 정리에 대한 예를 들어 보겠습니다.

선의 평행성을 증명하는 한 쌍의 정리를 더 나타내 보겠습니다.

정리 5

평면에서 1/3에 수직인 두 선은 서로 평행합니다.

3차원 공간에 대해서도 비슷한 것을 공식화해 보겠습니다.

정리 6

3차원 공간에서는 1/3에 수직인 두 선이 서로 평행합니다.

설명해 보겠습니다.

위의 모든 정리, 기호 및 조건을 사용하면 기하학 방법을 사용하여 선의 평행성을 편리하게 증명할 수 있습니다. 즉, 선의 평행성을 증명하기 위해 해당 각도가 동일하다는 것을 보여주거나 주어진 두 선이 세 번째 선에 수직이라는 사실 등을 입증할 수 있습니다. 그러나 평면이나 3차원 공간에서 선의 평행성을 증명하려면 좌표 방법을 사용하는 것이 더 편리한 경우가 많습니다.

직각 좌표계의 선 평행도

주어진 직각 좌표계에서 직선은 가능한 유형 중 하나의 평면 위의 직선 방정식에 의해 결정됩니다. 마찬가지로, 3차원 공간의 직교 좌표계에서 정의된 직선은 공간의 직선에 대한 일부 방정식에 해당합니다.

주어진 선을 기술하는 방정식의 종류에 따라 직교좌표계에서 선의 평행도에 대한 필요충분조건을 적어보자.

평면 위의 선의 평행성 조건부터 시작하겠습니다. 이는 선의 방향 벡터와 평면 위의 선의 법선 벡터의 정의를 기반으로 합니다.

정리 7

일치하지 않는 두 선이 평면에서 평행하려면 주어진 선의 방향 벡터가 동일 선상이거나 주어진 선의 법선 벡터가 동일 선상이거나 한 선의 방향 벡터가 수직이면 충분합니다. 다른 라인의 법선 벡터.

평면 위의 선의 평행성 조건은 벡터의 공선성 조건 또는 두 벡터의 수직성 조건에 기초한다는 것이 분명해졌습니다. 즉, a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)가 선 a 및 b의 방향 벡터인 경우;

n b → = (n b x , n b y)는 선 a와 b의 법선 벡터이고 위의 필요 충분 조건은 다음과 같이 작성됩니다. a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y 또는 n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y 또는 a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, 여기서 t는 실수입니다. 가이드 또는 직선 벡터의 좌표는 주어진 직선 방정식에 의해 결정됩니다. 주요 사례를 살펴보겠습니다.

직각 좌표계의 선 a는 선의 일반 방정식에 의해 결정됩니다. A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; 직선 b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. 그러면 주어진 선의 법선 벡터는 각각 (A 1, B 1) 및 (A 2, B 2) 좌표를 갖게 됩니다. 병렬성 조건을 다음과 같이 작성합니다.

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

선 a는 y = k 1 x + b 1 형식의 기울기를 갖는 선의 방정식으로 설명됩니다. 직선 b - y = k 2 x + b 2. 그러면 주어진 선의 법선 벡터는 각각 (k 1, - 1) 및 (k 2, - 1) 좌표를 갖게 되며 다음과 같이 평행도 조건을 작성합니다.

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

따라서 직교 좌표계에서 평면 위의 평행선이 각도 계수가 있는 방정식으로 주어지면 주어진 선의 각도 계수는 동일합니다. 그리고 그 반대의 진술도 사실입니다. 직교 좌표계의 평면에서 일치하지 않는 선이 동일한 각도 계수를 갖는 선의 방정식에 의해 결정되면 주어진 선은 평행합니다.

직교 좌표계의 선 a와 b는 평면 위 선의 표준 방정식으로 지정됩니다. x - x 1 a x = y - y 1 a y 및 x - x 2 b x = y - y 2 b y 또는 다음 매개변수 방정식으로 지정됩니다. 평면 위의 선: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y 및 x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

그러면 주어진 선의 방향 벡터는 각각 a x, a y 및 b x, b y가 되며 평행 조건은 다음과 같이 작성됩니다.

a x = t b x a y = t b y

예를 살펴 보겠습니다.

실시예 1

두 개의 선이 제공됩니다: 2 x - 3 y + 1 = 0 및 x 1 2 + y 5 = 1. 평행한지 여부를 확인하는 것이 필요합니다.

해결책

일반 방정식의 형태로 세그먼트의 직선 방정식을 작성해 보겠습니다.

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

n a → = (2, - 3)은 선 2 x - 3 y + 1 = 0의 법선 벡터이고, n b → = 2, 1 5는 선 x 1 2 + y 5의 법선 벡터입니다. = 1.

결과 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 왜냐하면 동등성이 참이 되는 tat 값은 없습니다.

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

따라서 평면상의 선의 평행도에 대한 필요충분조건이 만족되지 않으며, 이는 주어진 선이 평행하지 않음을 의미합니다.

답변:주어진 선은 평행하지 않습니다.

실시예 2

y = 2 x + 1 및 x 1 = y - 4 2 선이 제공됩니다. 평행합니까?

해결책

직선 x 1 = y - 4 2의 표준 방정식을 기울기가 있는 직선 방정식으로 변환해 보겠습니다.

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

우리는 선 y = 2 x + 1과 y = 2 x + 4의 방정식이 동일하지 않으며(그렇지 않으면 선이 일치할 것임) 선의 각도 계수가 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 주어진 선은 평행하다.

문제를 다르게 해결해 봅시다. 먼저, 주어진 라인이 일치하는지 확인해 봅시다. 예를 들어 (0, 1)과 같이 y = 2 x + 1 선의 임의의 점을 사용하면 이 점의 좌표는 x 1 = y - 4 2 선의 방정식과 일치하지 않습니다. 일치하지 않습니다.

다음 단계는 주어진 라인의 병렬성 조건이 충족되는지 확인하는 것입니다.

선 y = 2 x + 1의 법선 벡터는 벡터 n a → = (2 , - 1) 이고 두 번째 주어진 선의 방향 벡터는 b → = (1 , 2) 입니다. 이러한 벡터의 스칼라 곱은 0과 같습니다.

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

따라서 벡터는 수직입니다. 이는 원래 선의 평행성에 대한 필요 충분 조건이 충족되었음을 보여줍니다. 저것들. 주어진 선은 평행하다.

답변:이 선들은 평행하다.

3차원 공간의 직교좌표계에서 선의 평행성을 증명하기 위해서는 다음과 같은 필요충분조건이 사용된다.

정리 8

3차원 공간에서 서로 일치하지 않는 두 선이 평행하려면 이 선의 방향 벡터가 동일선상에 있어야 하고 충분합니다.

저것들. 3차원 공간의 선 방정식이 주어지면 평행 여부에 대한 질문에 대한 답은 주어진 선의 방향 벡터 좌표를 결정하고 공선성 상태를 확인하여 찾을 수 있습니다. 즉, a → = (a x, a y, a z)와 b → = (b x, b y, b z)가 각각 선 a와 b의 방향 벡터라면, 두 선이 평행하기 위해서는 존재가 이러한 실수 t가 필요하므로 등식은 다음과 같이 유지됩니다.

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

실시예 3

x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 및 x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ 선이 제공됩니다. 이 선들의 평행성을 증명하는 것이 필요합니다.

해결책

문제의 조건은 공간의 한 선에 대한 표준 방정식과 공간에 있는 다른 선의 매개변수 방정식으로 제공됩니다. 가이드 벡터 → 그리고 b → 주어진 선의 좌표는 (1, 0, - 3) 및 (2, 0, - 6)입니다.

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , 그러면 a → = 1 2 · b → .

결과적으로 공간상 선의 평행성에 대한 필요충분조건이 만족된다.

답변:주어진 라인의 병렬성이 입증되었습니다.

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질문 21.주어진 꼭지점에서 삼각형의 각도는 얼마입니까?
답변.꼭지점 A에서 삼각형 ABC의 각도는 AB와 AC의 절반이 이루는 각도입니다. 꼭지점 B와 C의 삼각형 각도도 결정됩니다.

질문 22.어떤 세그먼트를 동일하다고 부르나요?
답변.세그먼트의 길이가 동일하면 세그먼트가 동일하다고 합니다.
질문 23. 어떤 각도를 동일하다고 부르나요?
답변.각도 측정값이 같으면 각도가 같다고 합니다.
질문 24.어떤 삼각형을 동일하다고 부르나요?
답변.대응하는 변이 같고 대응하는 각도가 같은 삼각형을 합동이라고 합니다. 이 경우 해당 각도는 해당 변의 반대편에 있어야 합니다.
질문 25.그림에서 동일한 삼각형의 해당 변과 각도는 어떻게 표시됩니까?
답변.도면에서 동일한 세그먼트는 일반적으로 1개, 2개 또는 3개의 선으로 표시되고 동일한 각도는 1개, 2개 또는 3개의 호로 표시됩니다.

질문 26.그림 23을 사용하여 이와 동일한 삼각형의 존재를 설명하십시오.
답변.

삼각형 ABC와 광선 a를 생각해 봅시다(그림 23, a). 꼭지점 A가 광선 a의 시작 부분과 정렬되고, 꼭지점 B가 광선 a에 있고, 꼭지점 C가 광선 a 및 그 확장을 기준으로 주어진 절반 평면에 있도록 삼각형 ABC를 이동해 보겠습니다. 이 새로운 위치에서 삼각형의 꼭지점을 A 1, B 1, C 1로 표시합니다(그림 23, b).
삼각형 A 1 B 1 C 1은 삼각형 ABC와 같습니다.
질문 27.평행선이라고 불리는 선은 무엇입니까? 평행선을 표시하는 데 사용되는 기호는 무엇입니까?
답변.두 선이 교차하지 않으면 평행선이라고 합니다. 선의 평행성을 나타내기 위해 기호가 사용됩니다.

질문 28.평행선의 주요 특성을 설명하십시오.
답변.주어진 선 위에 놓여 있지 않은 점을 통해 주어진 직선에 평행한 직선을 최대 하나만 평면에 그릴 수 있습니다.
질문 29.정리의 예를 들어보세요.
답변.삼각형의 어떤 꼭지점도 통과하지 않는 선이 그 변 중 하나와 교차하면 나머지 두 변 중 하나만 교차합니다.