Funzioni elementari di base e loro proprietà. Proprietà fondamentali delle funzioni

Elenco completo delle funzioni elementari di base

La classe delle funzioni elementari di base comprende quanto segue:

1. Funzione costante $y=C$, dove $C$ è una costante. Tale funzione assume lo stesso valore $C$ per ogni $x$.
2. Funzione potenza $y=x^(a) $, dove l'esponente $a$ è un numero reale.
3. Funzione esponenziale $y=a^(x) $, dove la base è grado $a>0$, $a\ne 1$.
4. Funzione logaritmica $y=\log _(a) x$, dove la base del logaritmo è $a>0$, $a\ne 1$.
5. Funzioni trigonometriche $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec\,x$.
6. Funzioni trigonometriche inverse $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Funzioni di potenza

Considereremo il comportamento della funzione di potenza $y=x^(a) $ per quei casi più semplici in cui il suo esponente determina l'esponenziazione degli interi e l'estrazione della radice.

Caso 1

L'esponente della funzione $y=x^(a) $ è un numero naturale, cioè $y=x^(n) $, $n\in N$.

Se $n=2\cdot k$ è un numero pari, allora la funzione $y=x^(2\cdot k) $ è pari e aumenta indefinitamente come se l'argomento $\left(x\to +\infty \ right )$, e con la sua diminuzione illimitata $\left(x\to -\infty \right)$. Questo comportamento della funzione può essere descritto dalle espressioni $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ e $\mathop(\lim )\ limiti_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, il che significa che la funzione in entrambi i casi aumenta senza limiti ($\lim $ è il limite). Esempio: grafico della funzione $y=x^(2) $.

Se $n=2\cdot k-1$ è un numero dispari, allora la funzione $y=x^(2\cdot k-1) $ è dispari, aumenta indefinitamente quando l'argomento aumenta indefinitamente e diminuisce indefinitamente quando l'argomento diminuisce indefinitamente. Questo comportamento della funzione può essere descritto dalle espressioni $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ e $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Esempio: grafico della funzione $y=x^(3) $.

Caso 2

L'esponente della funzione $y=x^(a) $ è un intero negativo, ovvero $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Se $n=2\cdot k$ è un numero pari, allora la funzione $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ è pari e asintoticamente (gradualmente) si avvicina a zero come con l'argomento aumento illimitato , e con la sua diminuzione illimitata. Questo comportamento della funzione può essere descritto da una singola espressione $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, il che significa che con un aumento illimitato dell'argomento in valore assoluto, il limite della funzione è zero. Inoltre, poiché l'argomento tende a zero sia a sinistra $\left(x\to 0-0\right)$ che a destra $\left(x\to 0+0\right)$, la funzione aumenta senza limite. Pertanto, le espressioni $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ e $\mathop(\lim )\ limiti_ sono validi (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, il che significa che la funzione $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k ) ) $ in entrambi i casi ha un limite infinito pari a $+\infty $. Esempio: grafico della funzione $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Se $n=2\cdot k-1$ è un numero dispari, allora la funzione $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ è dispari e si avvicina asintoticamente a zero come se entrambi quando l'argomento aumenta e quando diminuisce senza limite. Questo comportamento della funzione può essere descritto da una singola espressione $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Inoltre, quando l'argomento si avvicina a zero a sinistra, la funzione diminuisce senza limiti, e quando l'argomento si avvicina a zero a destra, la funzione aumenta senza limiti, cioè $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ e $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Esempio: grafico della funzione $y=\frac(1)(x) $.

Caso 3

L'esponente della funzione $y=x^(a) $ è l'inverso del numero naturale, cioè $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Se $n=2\cdot k$ è un numero pari, allora la funzione $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ è a due valori ed è definita solo per $x\ge 0 $. Con un aumento illimitato dell'argomento, il valore della funzione $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ aumenta illimitatamente e il valore della funzione $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ diminuisce in modo illimitato, ovvero $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ e $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Esempio: grafico della funzione $y=\pm \sqrt(x) $.

Se $n=2\cdot k-1$ è un numero dispari, allora la funzione $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ è dispari, aumenta illimitatamente con un aumento illimitato nell'argomento e diminuisce illimitatamente quando illimitato diminuisce, cioè $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ e $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Esempio: grafico della funzione $y=\sqrt[(3)](x) $.

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziale $y=a^(x) $ e logaritmica $y=\log _(a) x$ sono reciprocamente inverse. I loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice comune del primo e del terzo angolo di coordinazione.

Quando l'argomento $\left(x\to +\infty \right)$ aumenta indefinitamente, la funzione esponenziale o $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ aumenta indefinitamente, se $a>1$, o si avvicina asintoticamente a zero $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, se $a1$, o $\mathop aumenta senza limiti (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, se $a

Il valore caratteristico della funzione $y=a^(x) $ è il valore $x=0$. In questo caso, tutte le funzioni esponenziali, indipendentemente da $a$, intersecano necessariamente l'asse $Oy$ in $y=1$. Esempi: grafici delle funzioni $y=2^(x) $ e $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

La funzione logaritmica $y=\log _(a) x$ è definita solo per $x > 0$.

Poiché l'argomento $\left(x\to +\infty \right)$ aumenta indefinitamente, la funzione logaritmica o $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ aumenta indefinitamente infty $, se $a>1$, o diminuisce senza limiti $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, se $a1 $, oppure senza limite $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ aumenta se $a

Il valore caratteristico della funzione $y=\log _(a) x$ è il valore $y=0$. In questo caso, tutte le funzioni logaritmiche, indipendentemente da $a$, intersecano necessariamente l'asse $Ox$ in $x=1$. Esempi: grafici delle funzioni $y=\log _(2) x$ e $y=\log _(1/2) x$.

Alcune funzioni logaritmiche hanno una notazione speciale. In particolare, se la base del logaritmo è $a=10$, allora tale logaritmo viene chiamato decimale e la funzione corrispondente viene scritta come $y=\lg x$. E se come base del logaritmo viene scelto il numero irrazionale $e=2,7182818\ldots $, allora tale logaritmo viene chiamato naturale e la funzione corrispondente viene scritta come $y=\ln x$. Il suo inverso è la funzione $y=e^(x) $, chiamata esponente.

Funzioni elementari di base sono: funzione costante (costante), radice N-esimo grado, funzione potenza, esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse.

Funzione permanente.

Una funzione costante è data sull'insieme di tutti i numeri reali dalla formula , dove C– qualche numero reale. Una funzione costante assegna a ciascun valore effettivo della variabile indipendente X stesso valore della variabile dipendente sì- Senso CON. Una funzione costante è anche chiamata costante.

Il grafico di una funzione costante è una linea retta parallela all'asse x e passante per il punto con coordinate (0,C). Ad esempio, mostriamo i grafici di funzioni costanti y=5,y=-2 e , che nella figura sottostante corrispondono rispettivamente alle linee nera, rossa e blu.

Proprietà di una funzione costante.

Dominio: l'insieme dei numeri reali.

La funzione costante è pari.

Intervallo di valori: insieme formato da un numero singolare CON.

Una funzione costante non è né crescente né decrescente (ecco perché è costante).

Non ha senso parlare di convessità e concavità di una costante.

Non ci sono asintoti.

La funzione passa per il punto (0,C) piano delle coordinate.

Radice dell'ennesimo grado.

Consideriamo la funzione elementare di base, che è data dalla formula, dove N– un numero naturale maggiore di uno.

L'ennesima radice, n è un numero pari.

Cominciamo con la funzione root N-esima potenza per valori pari dell'esponente radice N.

Ad esempio, ecco un'immagine con immagini di grafici di funzioni e corrispondono alle linee nere, rosse e blu.

I grafici delle funzioni radice di grado pari hanno un aspetto simile per altri valori dell'esponente.

Proprietà della funzione radiceN -esima potenza per pariN .

L'ennesima radice, n è un numero dispari.

Funzione di radice N-esima potenza con esponente radice dispari Nè definito sull'intero insieme dei numeri reali. Ad esempio, ecco i grafici delle funzioni e corrispondono alle curve nere, rosse e blu.

1) Dominio delle funzioni e intervallo delle funzioni.

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori degli argomenti validi X(variabile X), per il quale la funzione y = f(x) determinato. L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali sì, che la funzione accetta.

Nella matematica elementare le funzioni vengono studiate solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Zeri di funzione.

La funzione zero è il valore dell'argomento in corrispondenza del quale il valore della funzione è uguale a zero.

3) Intervalli di segno costante di una funzione.

Gli intervalli di segno costante di una funzione sono insiemi di valori di argomento in cui i valori della funzione sono solo positivi o solo negativi.

4) Monotonicità della funzione.

Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Una funzione decrescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzione pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'ordinata.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio della definizione l'uguaglianza è vera f(-x) = -f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x. Se tale numero non esiste, la funzione è illimitata.

7) Periodicità della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x del dominio di definizione della funzione vale: f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).

19. Funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici. Applicazione delle funzioni in economia.

Funzioni elementari di base. Loro proprietà e grafici

1. Funzione lineare.

Funzione lineare è chiamata funzione della forma , dove x è una variabile, a e b sono numeri reali.

Numero UN chiamata pendenza della linea, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa linea rispetto alla direzione positiva dell'asse x. Il grafico di una funzione lineare è una linea retta. È definito da due punti.

Proprietà di una funzione lineare

1. Dominio di definizione - l'insieme di tutti i numeri reali: D(y)=R

2. L'insieme dei valori è l'insieme di tutti i numeri reali: E(y)=R

3. La funzione assume valore zero quando o.

4. La funzione aumenta (diminuisce) nell'intero dominio di definizione.

5. Una funzione lineare è continua nell'intero dominio di definizione, differenziabile e .

2. Funzione quadratica.

Viene chiamata una funzione della forma, dove x è una variabile, i coefficienti a, b, c sono numeri reali quadratico.

Considerando le funzioni di una variabile complessa, Liouville definì le funzioni elementari in modo un po' più ampio. Funzione elementare sì variabile X- funzione analitica, che può essere rappresentata come una funzione algebrica di X e funzioni , ed è il logaritmo o esponente di qualche funzione algebrica G 1 da X .

Ad esempio, peccato( X) - funzione algebrica di e ioX .

Senza limitare la generalità della considerazione, possiamo considerare le funzioni algebricamente indipendenti, cioè se l’equazione algebrica è soddisfatta per tutti X, quindi tutti i coefficienti del polinomio sono uguali a zero.

Differenziazione di funzioni elementari

Dove z 1 "(z) è uguale a o G 1 " / G 1 o z 1 G 1" a seconda che si tratti di un logaritmo z 1 oppure esponenziale, ecc. In pratica conviene utilizzare una tabella delle derivate.

Integrazione di funzioni elementari

Il teorema di Liouville è la base per la creazione di algoritmi per l'integrazione simbolica di funzioni elementari, implementati, ad esempio, in

Calcolo dei limiti

La teoria di Liouville non si applica al calcolo dei limiti. Non è noto se esista un algoritmo che, data una sequenza data da una formula elementare, dia una risposta se abbia o meno un limite. Ad esempio, la questione è aperta se la sequenza converge.

Letteratura

• J. Liouville. Memoria sull'integrazione di una classe di funzioni trascendenti// J. Reine Angew. Matematica. Bd. 13, pag. 93-118. (1835)
• J.F. Ritt. Integrazione in termini finiti. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Khovansky. Teoria topologica di Galois: risolubilità e irrisolvibilità di equazioni in forma finita cap. 1. M, 2007

Appunti

Fondazione Wikimedia. 2010.

• Eccitazione elementare
• Risultato elementare

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