Quali due figure si dicono uguali? Due figure geometriche si dicono uguali se possono essere combinate.

Le figure geometriche sono considerate uguali se sono una copia esatta l'una dell'altra, ovvero devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

1. le figure hanno la stessa forma;
2. le figure hanno la stessa dimensione;
3. c'è una tale imposizione (movimento) di una figura sull'altra che coincidono in tutti i loro punti.

Cosa significa la forma delle figure

Parlando della forma di una figura, intendiamo principalmente la classe delle forme geometriche, nonché il numero di angoli, la direzione delle convessità (concavità) e altri dettagli visivi del contorno di una figura piatta.

Ad esempio, un ovale e un rettangolo hanno chiaramente forma diversa. E se prendi figure della stessa classe, diciamo 2 triangoli, devi confrontare gli elementi che compongono il contorno. In questo caso noi stiamo parlando su angoli e lati. Quindi, se un triangolo ha un angolo retto e l'altro no, è immediatamente evidente che hanno una forma diversa. Se le lunghezze dei tre lati di un triangolo non differiscono molto tra loro e l'altro ha un lato molto più grande degli altri due, noteremo anche a colpo d'occhio che le loro forme sono diverse.

Perché la corrispondenza delle taglie è importante?

Cosa succede se le differenze di dimensioni non sono visibili visivamente? Quindi è necessario effettuare misurazioni accurate di entrambe le figure. Inoltre, l'uguaglianza di dimensione separa i concetti di figure simili e uguali. Ad esempio, 2 quadrati con zona diversa sarà simile ma non uguale (cioè quando uno è maggiore dell'altro).

Cosa si intende per "sovrapposizione" delle figure l'una sull'altra

A volte è difficile effettuare misurazioni accurate. Soprattutto se la figura è formata da una curva arbitraria chiusa o da una linea spezzata. Quindi devi trovare un modo per sovrapporre una forma all'altra.

Quindi, se sono disegnati su un pezzo di carta, devi tagliarne uno esattamente lungo il contorno e metterlo sopra l'altro. Puoi ruotarlo in qualsiasi direzione e persino capovolgerlo. Se c'è un modo per combinare queste forme in modo che corrispondano esattamente lungo i contorni, allora sono uguali.

È sempre possibile dimostrare l'uguaglianza delle cifre

A volte questo non è possibile. Ad esempio, se stiamo parlando di linee rette. Sono tutti infiniti. Lo stesso vale per i raggi.

Uguali sono tali figure che possono essere combinate usando un qualche tipo di movimento (simmetria centrale e assiale, rotazione e traslazione parallela).

In tali figure, tutti i lati e gli angoli, rispettivamente, sono uguali.

Ad esempio, se sono dati i triangoli ABC e A₁B₁C₁, allora sono uguali se i lati sono uguali (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) e gli angoli (angolo A = angolo A₁, angolo B = angolo B₁, angolo C = angolo C₁).

Inoltre, in cifre uguali, anche i punti e le linee corrispondenti sono uguali. Ad esempio, nello stesso triangoli uguali ABC e A₁B₁C₁ saranno uguali alla bisettrice, mediana, altezza, raggi dei cerchi inscritti e circoscritti, centroidi, ecc.

come si chiama l'angolo? Quali figure si chiamano uguali? Spiega come confrontare due segmenti? quale punto si chiama

metà del segmento?

Quale raggio si chiama bisettrice dell'angolo?

qual è il grado di misura di un angolo?

Quale figura si chiama triangolo? Quali triangoli si chiamano uguali? Quale segmento si chiama mediana di un triangolo? Quale segmento si chiama

la bisettrice di un triangolo? Quale segmento si chiama altezza di un triangolo? Quale triangolo si chiama isoscele? Quale triangolo si chiama equilatero? Definizione di raggio, diametro, corda. Dare una definizione di rette parallele. Quale angolo è chiamato angolo esterno di un triangolo? Quale triangolo è chiamato acuto, quale triangolo è chiamato ottuso, quale è rettangolo. Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo Proprietà di due rette parallele ad una terza Teorema su una retta che interseca una delle rette parallele. Proprietà di due rette perpendicolari ad una terza

Quale forma si chiama linea spezzata? Cosa sono i collegamenti di vertice e la lunghezza della polilinea?

Spiega cos'è una linea spezzata chiamata poligono. Quali sono i vertici, i lati, il perimetro e le diagonali di un poligono? Cos'è un poligono convesso?
Spiega quali angoli sono chiamati angoli convessi di un poligono. Ricavare una formula per calcolare la somma degli angoli di un n-gon convesso. Dimostra che la somma degli angoli esterni di un poligono convesso. PRESO uno ad ogni vertice, è uguale a 360 gradi.
Qual è la somma degli angoli di un quadrilatero convesso?

1) Quale forma si chiama quadrilatero?

2) Cosa sono i vertici, gli angoli, i lati, le diagonali, il perimetro di un quadrilatero?
3) Quali angoli laterali di un quadrilatero si dicono convessi?
4) qual è la somma degli angoli di un quadrilatero convesso?
5) quale quadrilatero si dice convesso?
6) quale quadrilatero si chiama parallelogramma?
7) quali proprietà ha un parallelogramma?
8) nominare i segni di un parallelogramma.
9) formulare le proprietà di un rettangolo.
10) quale quadrilatero si chiama quadrato?
11) formulare le proprietà di un rombo.
12) quale quadrilatero si chiama rombo?
13) quale quadrilatero si chiama rettangolo?
14) che proprietà ha un quadrato? per favore rispondi brevemente...

Geometria Atanasyan 7,8,9 classe "Domande risposte alle domande per la ripetizione al capitolo 2 del libro di testo di geometria 7-9 classe atanasyan Spiega quale figura

chiamato triangolo.
2. Qual è il perimetro di un triangolo?
3. Quali triangoli sono chiamati uguali?
4. Che cos'è un teorema e una dimostrazione di un teorema?
5. Spiega quale segmento è detto perpendicolare tracciato da un punto dato a una retta data.
6. Quale segmento è chiamato mediana del triangolo? Quante mediane ha un triangolo?
7. Quale segmento è chiamato bisettrice di un triangolo? Quante bisettrici ha un triangolo?
8. Quale segmento è chiamato altezza del triangolo? Quante altezze ha un triangolo?
9. Quale triangolo si chiama isoscele?
10. Quali sono i nomi dei lati di un triangolo isoscele?
11. Quale triangolo è chiamato triangolo equilatero?
12. Formulare la proprietà degli angoli alla base di un triangolo isoscele.
13. Formulare un teorema sulla bisettrice di un triangolo isoscele.
14. Formulare il primo segno di uguaglianza dei triangoli.
15. Formulare il secondo segno di uguaglianza dei triangoli.
16. Formulare il terzo criterio per l'uguaglianza dei triangoli.
17. Definisci un cerchio.
18. Qual è il centro di un cerchio?
19. Come si chiama il raggio di una circonferenza?
20. Come si chiama il diametro di un cerchio?
21. Come si chiama la corda di un cerchio?

Uno dei concetti di base della geometria è una figura. Con questo termine si intende un insieme di punti su un piano, limitato da un numero finito di linee. Alcune figure possono essere considerate uguali, il che è strettamente correlato al concetto di movimento. Le figure geometriche possono essere considerate non isolatamente, ma in un modo o nell'altro in relazione l'una con l'altra: la loro disposizione reciproca, contatto e fit, la posizione “tra”, “dentro”, il rapporto espresso nei concetti di “maggiore di”, “minore di”, “uguale a”. La geometria studia le proprietà invarianti delle figure, cioè quelli che rimangono invariati sotto certe trasformazioni geometriche. Tale trasformazione dello spazio, in cui la distanza tra i punti che compongono una determinata figura rimane invariata, si chiama movimento.Il movimento può agire in diverse opzioni: trasferimento parallelo, trasformazione dell'identità, rotazione attorno ad un asse, simmetria relativa a una retta o piano, simmetria centrale, rotazionale, traslazionale.

Movimento e figure uguali

Se è possibile un tale movimento che porti alla combinazione di una figura con un'altra, tali figure sono dette uguali (congruenti). Due figure uguali a un terzo sono anche uguali tra loro - tale affermazione fu formulata da Euclide, il fondatore della geometria. Il concetto di figure congruenti può essere spiegato di più linguaggio semplice: uguali sono tali figure che coincidono completamente quando sono sovrapposte l'una all'altra È abbastanza facile determinare se le figure sono date sotto forma di determinati oggetti che possono essere manipolati - ad esempio, sono ritagliate dalla carta, quindi, a scuola in classe, ricorrono spesso a questo metodo di spiegazione questo concetto. Ma due figure disegnate su un piano non possono essere fisicamente sovrapposte l'una all'altra. In questo caso, la prova dell'uguaglianza delle figure è la prova dell'uguaglianza di tutti gli elementi che compongono queste figure: la lunghezza dei segmenti, la dimensione degli angoli, il diametro e il raggio, se parliamo di un cerchio.

Cifre equivalenti ed equidistanti

Con figure uguali, non bisogna confondere figure uguali e equamente composte - con tutta la vicinanza di questi concetti.
Le figure di uguale dimensione sono quelle che hanno un'area uguale se sono figure su un piano, o un volume uguale se parliamo di corpi tridimensionali. La coincidenza di tutti gli elementi che compongono queste figure non è obbligatoria. Figure uguali saranno sempre di dimensioni uguali, ma non tutte le figure di dimensioni uguali possono essere definite uguali Il concetto di composizione uguale viene spesso applicato ai poligoni. Implica che i poligoni possono essere divisi nello stesso numero di forme rispettivamente uguali. I poligoni equivalenti hanno sempre la stessa area.

Indietro avanti

Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se siete interessati questo lavoro si prega di scaricare la versione completa.

Obiettivi della lezione: Ripeti l'argomento "Area di un parallelogramma". Derivare la formula per l'area di un triangolo, introdurre il concetto di figure di uguali dimensioni. Risolvere problemi sull'argomento "Aree di figure uguali".

Durante le lezioni

I. Ripetizione.

1) Oralmente secondo il disegno finito Ricavare la formula per l'area di un parallelogramma.

2) Qual è il rapporto tra i lati di un parallelogramma e le altezze su di essi caduti?

(secondo il disegno finito)

la relazione è inversamente proporzionale.

3) Trova la seconda altezza (secondo il disegno finito)

4) Trova l'area del parallelogramma secondo il disegno finito.

Soluzione:

5) Confronta le aree dei parallelogrammi S1, S2, S3. (Loro hanno aree uguali, hanno tutte base a e altezza h).

Definizione: Le figure aventi aree uguali sono dette uguali.

II. Risoluzione dei problemi.

1) Dimostrare che qualsiasi retta passante per il punto di intersezione delle diagonali la divide in 2 parti uguali.

Soluzione:

2) A parallelogramma ABCD Altezze CF e CE. Dimostra che AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Dato un trapezio con basi a e 4a. È possibile tracciare linee rette attraverso uno dei suoi vertici, dividendo il trapezio in 5 triangoli di uguale area?

Soluzione: Può. Tutti i triangoli sono uguali.

4) Dimostra che se prendiamo il punto A sul lato del parallelogramma e lo colleghiamo ai vertici, l'area del triangolo risultante ABC è uguale alla metà dell'area del parallelogramma.

Soluzione:

5) La torta ha la forma di un parallelogramma. Kid e Carlson lo dividono in questo modo: Kid indica un punto sulla superficie della torta e Carlson taglia la torta in 2 pezzi lungo una linea retta che passa per questo punto e prende uno dei pezzi per sé. Tutti vogliono un pezzo più grande. Dove dovrebbe porre fine a Kid?

Soluzione: Nel punto di intersezione delle diagonali.

6) Sulla diagonale del rettangolo è stato scelto un punto e sono state tracciate delle linee rette, parallele ai lati del rettangolo. Ai lati opposti formate 2 rettangoli. Confronta le loro aree.

Soluzione:

III. Studiare l'argomento "Area di un triangolo"

inizia con un compito:

"Trova l'area di un triangolo la cui base è a e l'altezza è h."

I ragazzi, usando il concetto di figure uguali, dimostrano il teorema.

Costruiamo un triangolo in un parallelogramma.

L'area di un triangolo è la metà dell'area di un parallelogramma.

Esercizio: Disegna triangoli uguali.

Viene utilizzato un modello (3 triangoli colorati vengono ritagliati dalla carta e incollati alle basi).

Esercizio numero 474. "Confronta le aree dei due triangoli in cui il triangolo dato è diviso per la sua mediana."

triangoli stessi motivi a e della stessa altezza h. I triangoli hanno la stessa area

Conclusione: le figure con aree uguali sono dette uguali.

Domande per la classe:

1. Sono il cifre uguali?
2. Formula l'affermazione opposta. È vero?
3. È vero:
   a) I triangoli equilateri hanno la stessa area?
   b) I triangoli equilateri con lati uguali sono uguali?
   c) I quadrati con lati uguali sono uguali?
   d) Dimostrare che i parallelogrammi formati dall'intersezione di due strisce della stessa larghezza sotto angoli diversi le pendenze l'una verso l'altra sono uguali. Trova il parallelogramma dell'area più piccola formata dall'intersezione di due strisce della stessa larghezza. (Mostra sul modello: strisce di uguale larghezza)

IV. Passo in avanti!

Scritto alla lavagna compiti facoltativi:

1. "Taglia il triangolo con due linee rette in modo da poter piegare i pezzi in un rettangolo".

Soluzione:

2. "Taglia il rettangolo in linea retta in 2 parti, da cui puoi creare un triangolo rettangolo."

Soluzione:

3) Si traccia una diagonale in un rettangolo. In uno dei triangoli risultanti, viene disegnata una mediana. Trova i rapporti tra le aree delle figure .

Soluzione:

Risposta:

3. Dai compiti delle Olimpiadi:

“Nel quadrilatero ABCD, il punto E è il punto medio di AB, connesso al vertice D, e F è il punto medio di CD, al vertice B. Dimostrare che l'area del quadrilatero EBFD è 2 volte meno area quadrilatero ABCD.

Soluzione: disegna una diagonale BD.

Esercizio numero 475.

“Disegna il triangolo ABC. Attraverso il vertice B, traccia 2 linee rette in modo che dividano questo triangolo in 3 triangoli con aree uguali.

Usa il teorema di Talete (dividi AC in 3 parti uguali).

V. Compito del giorno.

Per lei ho preso l'estrema destra della lavagna, su cui scrivo il compito di oggi. I bambini possono o non possono decidere. Oggi non risolveremo questo problema in classe. È solo che chi è interessato a loro può cancellarlo, risolverlo a casa o durante una pausa. Di solito, già durante la ricreazione, molti ragazzi iniziano a risolvere il problema, se decidono, mostrano la soluzione e io la risolvo in un tavolo speciale. Nella prossima lezione torneremo sicuramente su questo problema, dedicando una piccola parte della lezione alla sua risoluzione (e un nuovo problema può essere scritto alla lavagna).

“Un parallelogramma viene tagliato in un parallelogramma. Dividi il resto in 2 figure di uguali dimensioni.

Soluzione: La secante AB passa per il punto di intersezione delle diagonali dei parallelogrammi O e O1.

Problemi aggiuntivi (dai problemi delle Olimpiadi):

1) “Nel trapezio ABCD (AD || BC), i vertici A e B sono collegati al punto M, il punto medio del lato CD. L'area del triangolo ABM è di m. Trova l'area del trapezio ABCD.

Soluzione:

I triangoli ABM e AMK sono figure uguali, perché AM è la mediana.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Risposta: SABCD = 2m.

2) "Nel trapezio ABCD (AD || BC), le diagonali si intersecano nel punto O. Dimostrare che i triangoli AOB e COD sono aree uguali."

Soluzione:

S ∆BCD = S ∆ABC , perché hanno una base comune BC e la stessa altezza.

3) Il lato AB di un triangolo arbitrario ABC è esteso oltre il vertice B in modo che BP = AB, il lato AC è esteso oltre il vertice A in modo che AM = CA, il lato BC è esteso oltre il vertice C in modo che KS = BC. Quante volte l'area del triangolo RMK più area triangolo ABC?

Soluzione:

In un triangolo MVS: MA = AC, quindi l'area del triangolo BAM è uguale all'area del triangolo ABC. In un triangolo postazione di lavoro: BP = AB, quindi l'area del triangolo BAM è uguale all'area del triangolo ABP. In un triangolo ARS: AB = BP, quindi l'area del triangolo BAC è uguale all'area del triangolo BPC. In un triangolo VRK: BC \u003d SC, quindi, l'area del triangolo VRS è uguale all'area del triangolo RKS. In un triangolo AVK: BC = SC, quindi l'area del triangolo BAC è uguale all'area del triangolo ASC. Nel triangolo MSC: MA = AC, quindi l'area del triangolo KAM è uguale all'area del triangolo ASC. Otteniamo 7 triangoli uguali. Significa,

Risposta: L'area del triangolo MRK è 7 volte l'area del triangolo ABC.

4) Parallelogrammi collegati.

Si trovano 2 parallelogrammi come mostrato in figura: hanno un vertice in comune e un vertice in più per ciascuno dei parallelogrammi giace ai lati dell'altro parallelogramma. Dimostra che le aree dei parallelogrammi sono uguali.

Soluzione:

e , significa,

Elenco della letteratura usata:

1. Libro di testo "Geometry 7-9" (autori L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, SB Kadomtsev (Mosca, "Illuminazione", 2003).
2. Compiti delle Olimpiadi anni diversi, in particolare da Guida allo studio"Migliori problemi delle Olimpiadi matematiche" (compilato da AA Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. Una selezione di compiti accumulati in molti anni di lavoro.

Le forme che corrispondono quando sovrapposte sono chiamate UGUALI. Due figure geometriche sono detti uguali se possono essere combinati in sovrapposizione

9. Spiega come confrontare due segmenti di linea e come confrontare 2 angoli. Sovrapponi un segmento all'altro in modo che l'estremità del primo sia allineata con la fine del secondo, se le altre due estremità non sono allineate, i segmenti non sono uguali, se sono allineati, sono uguali. Per confrontare 2 segmenti è necessario confrontare le loro lunghezze, per confrontare 2 angoli è necessario confrontare la loro misura dei gradi.Due angoli si dicono uguali se possono essere combinati per sovrapposizione. Per stabilire se due angoli non espansi sono uguali o meno, è necessario combinare il lato di un angolo con il lato del secondo in modo che gli altri due lati siano dalla stessa parte dei lati combinati.Disporre un angolo sull'altro angolo in modo tale che i loro vertici coincidano su un lato e gli altri due siano sullo stesso lato dei lati allineati. Se il secondo lato di un angolo è allineato con il secondo lato di un altro angolo, allora questi angoli sono uguali. (Imporre gli angoli in modo che il lato di uno sia allineato con il lato dell'altro e gli altri due siano sullo stesso lato dei lati allineati. Se gli altri due lati sono allineati, gli angoli sono completamente allineati, il che significa sono uguali.)

10. Quale punto è chiamato punto medio del segmento? Il punto medio di un segmento è il punto che divide il segmento dato in due parti uguali. Il punto che divide a metà un segmento è detto punto medio del segmento.

11. Bisettrice(dal latino bi- “doppio” e sectio “tagliante”) un angolo è detto raggio che emerge dalla sommità dell'angolo e passante per la sua regione interna, che forma con i suoi lati due angoli uguali. Oppure si chiama raggio che emana dal vertice di un angolo e lo divide in due angoli uguali bisettrice angolare.

12. Come è la misurazione dei segmenti. Misurare un segmento commisurato a uno significa scoprire quante volte contiene un'unità o una frazione di unità. Misurazione della distanza viene effettuato confrontandolo con un determinato segmento preso come unità. Puoi misurare la lunghezza del segmento usando un righello o un metro. È necessario sovrapporre un segmento all'altro, che abbiamo preso come unità di misura, in modo che le loro estremità siano allineate.

? 13. Come sono correlate le lunghezze dei segmenti AB e CD se: a) i segmenti AB e CD sono uguali; b) il segmento AB è minore del segmento CD?

A) le lunghezze dei segmenti AB e CD sono uguali. B) la lunghezza del segmento AB è inferiore alla lunghezza del segmento CD.

14. Il punto C divide il segmento AB in due segmenti. Come sono correlate le lunghezze dei segmenti AB, AC e CB? La lunghezza del segmento AB è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti corrente alternata e CB. Per trovare la lunghezza del segmento AB, somma le lunghezze dei segmenti AC e CB.

15. Che cos'è una laurea? Cosa mostra la misura in gradi di un angolo? Gli angoli sono misurati in diverse unità. Può essere gradi, radianti. Molto spesso, gli angoli sono misurati in gradi. (Questo grado non va confuso con una misura della temperatura, dove si usa anche la parola "grado"). La misurazione degli angoli si basa sul confronto con un angolo preso come unità di misura. Di solito, un grado viene preso come unità di misura per gli angoli, un angolo pari a 1/180 di un angolo sviluppato. Il grado è un'unità degli angoli piani in geometria. (Il grado è preso come unità di misura degli angoli geometrici - parte dell'angolo.) .

Grado di misura di un angolo mostra quante volte un grado e le sue parti - un minuto e un secondo - rientrano in un dato angolo , ovvero una misura di gradi, un valore che riflette il numero di gradi, minuti e secondi tra i lati dell'angolo.

16. Quale parte di un grado si chiama minuto, e quale parte si chiama secondo? 1/60 di grado si chiama minuto e 1/60 di minuto si chiama secondo. I minuti sono indicati dal segno "′" e i secondi dal segno "″"

? 17. Come sono correlate le misure dei gradi di due angoli se: a) questi angoli sono uguali; b) un angolo è minore dell'altro? a) la misura dei gradi degli angoli è la stessa. b) La misura in gradi di un angolo è minore della misura in gradi del secondo angolo.

18. Il raggio OC divide l'angolo AOB in due angoli. Come sono correlate le misure dei gradi degli angoli AOB, AOC e COB? Quando un raggio divide un angolo in due angoli, la misura in gradi dell'intero angolo è uguale alla somma delle misure in gradi di quegli angoli. AOBè uguale alla somma delle misure di grado delle sue parti AOC e COB.