Párhuzamos közvetlen definíció és példák. Párhuzamos vonalak

Két egyenes párhuzamosságának jelei

1. Tétel. Ha, amikor két egyenes metszi egymást egy szekánssal:

keresztezett szögek egyenlőek, vagy

megfelelő szögek egyenlőek, vagy

az egyoldali szögek összege 180°, akkor

vonalak párhuzamosak(1. ábra).

Bizonyíték. Az 1. eset bizonyítására szorítkozunk.

Legyenek az a és b metsző egyenesek keresztben, az AB szögek pedig egyenlők. Például ∠ 4 = ∠ 6. Bizonyítsuk be, hogy a || b.

Tegyük fel, hogy az a és b egyenesek nem párhuzamosak. Ekkor metszik egymást egy M pontban, és ezért a 4 vagy 6 szögek egyike lesz az ABM háromszög külső szöge. A határozottság érdekében legyen ∠ 4 az ABM háromszög külső szöge, és ∠ 6 a belső szöge. A háromszög külső szögére vonatkozó tételből az következik, hogy ∠ 4 nagyobb, mint ∠ 6, és ez ellentmond a feltételnek, ami azt jelenti, hogy az a és 6 egyenesek nem metszik egymást, tehát párhuzamosak.

Következmény 1. Ugyanarra az egyenesre merőleges síkban két különböző egyenes párhuzamos(2. ábra).

Megjegyzés. Azt a módot, ahogy az 1. Tétel 1. esetét az imént bizonyítottuk, az ellentmondásos vagy abszurditásra redukáló bizonyítási módszernek nevezzük. Ez a módszer azért kapta keresztnevét, mert az érvelés elején egy olyan feltételezés hangzik el, amely ellentétes (ellentétes) a bizonyítandóval. Abszurditáshoz vezetőnek nevezik, mert a feltevés alapján okoskodva abszurd következtetésre jutunk (az abszurdig). Egy ilyen következtetés levonása arra kényszerít bennünket, hogy elutasítsuk a kezdetben megfogalmazott feltevést, és elfogadjuk azt, amelyet bizonyítani kellett.

1. feladat. Szerkesszünk egy adott M ponton átmenő, adott a egyenessel párhuzamos egyenest, amely nem megy át az M ponton.

Megoldás. Az a egyenesre merőleges M ponton keresztül p egyenest húzunk (3. ábra).

Ezután húzunk egy b egyenest az M ponton át merőlegesen a p egyenesre. A b egyenes párhuzamos az a egyenessel az 1. Tétel következménye szerint.

A vizsgált problémából egy fontos következtetés következik:
egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül mindig lehetséges az adott egyenessel párhuzamos egyenest húzni.

A párhuzamos egyenesek fő tulajdonsága a következő.

Párhuzamos egyenesek axiómája. Egy adott ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy egyenes halad át az adott ponttal párhuzamosan.

Tekintsük a párhuzamos egyenesek néhány tulajdonságát, amelyek ebből az axiómából következnek.

1) Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a másikat is metszi (4. ábra).

2) Ha két különböző egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak (5. ábra).

A következő tétel is igaz.

2. Tétel. Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor:

keresztirányú szögek egyenlőek;

a megfelelő szögek egyenlőek;

az egyoldali szögek összege 180°.

Következmény 2. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is(lásd 2. ábra).

Megjegyzés. A 2. tételt az 1. tétel inverzének nevezzük. Az 1. tétel következtetése a 2. tétel feltétele. Az 1. tétel feltétele pedig a 2. tétel következtetése. Nem minden tételnek van inverze, vagyis ha egy adott tétel igaz, akkor az inverz tétel hamis lehet.

Magyarázzuk meg ezt a függőleges szögekre vonatkozó tétel példáján keresztül. Ez a tétel a következőképpen fogalmazható meg: ha két szög függőleges, akkor egyenlők. A fordított tétel a következő lenne: ha két szög egyenlő, akkor függőlegesek. És ez természetesen nem igaz. Két egyenlő szögnek nem kell függőlegesnek lennie.

1. példa Két párhuzamos vonalat egy harmadik keresztez. Ismeretes, hogy két belső egyoldali szög közötti különbség 30°. Keresse meg ezeket a szögeket.

Megoldás. A 6. ábra teljesítse a feltételt.

Ez a cikk a párhuzamos egyenesekről és a párhuzamos egyenesekről szól. Először a párhuzamos egyenesek definícióját adjuk meg síkon és térben, bemutatjuk a jelöléseket, példákat és grafikus illusztrációkat mutatunk be párhuzamos egyenesekre. Ezután az egyenesek párhuzamosságának előjeleit és feltételeit tárgyaljuk. Összegzésképpen az egyenesek párhuzamosságának bizonyításának tipikus problémáira mutatunk be megoldásokat, amelyeket egy síkon és háromdimenziós térben téglalap alakú koordinátarendszerben lévő egyenes bizonyos egyenletei adnak meg.

Oldalnavigáció.

Párhuzamos vonalak - alapvető információk.

Meghatározás.

Egy síkban két egyenest hívnak párhuzamos, ha nincsenek közös pontjaik.

Meghatározás.

A háromdimenziós térben lévő két vonalat ún párhuzamos, ha egy síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a „ha egy síkban fekszenek” záradék a párhuzamos egyenesek meghatározásában nagyon fontos. Tisztázzuk ezt a pontot: a háromdimenziós térben két olyan egyenes, amelyeknek nincs közös pontja, és nem egy síkban fekszenek, nem párhuzamosak, hanem metszik egymást.

Íme néhány példa párhuzamos vonalakra. A jegyzetfüzet lap szemközti élei párhuzamos vonalakon fekszenek. Az egyenes vonalak, amelyek mentén a ház falának síkja metszi a mennyezet és a padló síkját, párhuzamosak. A sík terepen lévő vasúti sínek is párhuzamos vonalaknak tekinthetők.

A párhuzamos vonalak jelölésére használja a „” szimbólumot. Vagyis ha az a és b egyenesek párhuzamosak, akkor röviden felírhatunk egy b-t.

Figyelem: ha az a és b egyenesek párhuzamosak, akkor azt mondhatjuk, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, és azt is, hogy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Hangoztassunk egy olyan állítást, amely fontos szerepet játszik a síkon lévő párhuzamos egyenesek vizsgálatában: egy adott ponton nem fekvő ponton át halad az egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes. Ezt az állítást tényként fogadjuk el (a planimetria ismert axiómái alapján nem bizonyítható), és a párhuzamos egyenesek axiómájának nevezzük.

A térbeli esetre érvényes a tétel: a tér bármely pontján keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ez a tétel könnyen bebizonyítható a fenti párhuzamos egyenesek axiómájával (bizonyítását megtalálja a 10-11. osztályos geometria tankönyvben, amely a cikk végén található a irodalomjegyzékben).

A térbeli esetre érvényes a tétel: a tér bármely pontján keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át. Ez a tétel könnyen bebizonyítható a fenti párhuzamos egyenes axiómával.

A vonalak párhuzamossága - a párhuzamosság jelei és feltételei.

A vonalak párhuzamosságának jele elégséges feltétele az egyenesek párhuzamosságának, vagyis olyan feltétel, amelynek teljesítése garantálja az egyenesek párhuzamosságát. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő annak megállapításához, hogy a vonalak párhuzamosak.

Az egyenesek síkbeli és háromdimenziós térbeli párhuzamosságának is megvannak a szükséges és elégséges feltételei.

Magyarázzuk meg a „szükséges és elégséges feltétel a párhuzamos egyenesekhez” kifejezés jelentését.

A párhuzamos vonalak elégséges feltételével már foglalkoztunk. Mi a „párhuzamos vonalak szükséges feltétele”? A „szükséges” elnevezésből kitűnik, hogy ennek a feltételnek a teljesülése szükséges a párhuzamos vonalakhoz. Más szóval, ha a párhuzamos vonalak szükséges feltétele nem teljesül, akkor a vonalak nem párhuzamosak. És így, szükséges és elégséges feltétele a párhuzamos vonalaknak olyan feltétel, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges és elégséges is. Vagyis ez egyrészt a vonalak párhuzamosságának a jele, másrészt ez a párhuzamos egyenesek tulajdonsága.

Az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételének megfogalmazása előtt célszerű több segéddefiníciót is felidézni.

Szekant vonal egy olyan egyenes, amely két adott nem egybeeső egyenes mindegyikét metszi.

Ha két egyenes metszi egy keresztirányú vonalat, nyolc fejletlen alakul ki. Az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételének megfogalmazásában az ún keresztben fekvő, megfelelőÉs egyoldalú szögek. Mutassuk meg őket a rajzon.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenest keresztirányú metsz, akkor a párhuzamosságukhoz szükséges és elegendő, hogy a metsző szögek egyenlőek legyenek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek legyenek, vagy az egyoldalú szögek összege 180 fokon.

Mutassuk meg grafikusan ezt a szükséges és elégséges feltételt az egyenesek párhuzamosságának egy síkon.

Az egyenesek párhuzamosságának ezen feltételeire a 7-9. osztályos geometria tankönyvekben találhat bizonyítékot.

Vegye figyelembe, hogy ezek a feltételek háromdimenziós térben is használhatók - a lényeg az, hogy a két egyenes és a szekáns egy síkban legyen.

Íme még néhány tétel, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a kritériumnak a bizonyítása a párhuzamos egyenesek axiómájából következik.

Hasonló feltétel van a háromdimenziós térben lévő párhuzamos egyeneseknél is.

Tétel.

Ha a térben két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak. Ennek a kritériumnak a bizonyítását a 10. évfolyamon a geometria órákon tárgyaljuk.

Illusztráljuk a megfogalmazott tételeket.

Mutassunk be egy másik tételt, amely lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának bizonyítását egy síkon.

Tétel.

Ha egy síkban két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak.

Hasonló tétel létezik a térbeli vonalakra is.

Tétel.

Ha a háromdimenziós térben két egyenes merőleges ugyanarra a síkra, akkor párhuzamosak.

Rajzoljunk ezeknek a tételeknek megfelelő képeket.

Az összes fent megfogalmazott tétel, kritérium és szükséges és elégséges feltétel kiválóan alkalmas az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására a geometria módszereivel. Vagyis két adott egyenes párhuzamosságának bizonyításához meg kell mutatni, hogy párhuzamosak egy harmadik egyenessel, vagy meg kell mutatni a keresztben fekvő szögek egyenlőségét stb. Sok hasonló problémát oldanak meg a középiskolai geometria órákon. Megjegyzendő azonban, hogy sok esetben célszerű a koordináta módszerrel igazolni az egyenesek párhuzamosságát síkon vagy háromdimenziós térben. Fogalmazzuk meg a téglalap alakú koordinátarendszerben megadott egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben.

A cikknek ebben a bekezdésében megfogalmazzuk a párhuzamos vonalak szükséges és elégséges feltételei téglalap alakú koordinátarendszerben, attól függően, hogy milyen egyenletek határozzák meg ezeket az egyeneseket, és a jellemző problémákra is részletes megoldásokat adunk.

Kezdjük két egyenes párhuzamosságának feltételével az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben. Bizonyítása az egyenes irányvektorának és a síkon lévő egyenes normálvektorának definícióján alapul.

Tétel.

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkban, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak, vagy ezen egyenesek normálvektorai kollineárisak, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges a normálra a második sor vektora.

Nyilvánvaló, hogy egy síkon két egyenes párhuzamosságának feltétele redukálódik (egyenesek irányvektorai vagy egyenesek normálvektorai) vagy (egy egyenes irányvektora és a második egyenes normálvektora). Így ha és az a és b egyenesek irányvektorai, és És az a és b egyenesek normálvektorai, akkor az a és b egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele így lesz felírva , vagy , vagy , ahol t valamilyen valós szám. Az a és b egyenesek vezetőinek és (vagy) normálvektorainak koordinátáit viszont az ismert egyenesegyenletek segítségével találjuk meg.

Különösen, ha a síkon az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben lévő a egyenes egy általános egyenes egyenletet határoz meg , és egyenes b - , akkor ezen egyenesek normálvektorainak koordinátái és rendre vannak, és az a és b egyenesek párhuzamosságának feltétele így lesz felírva.

Ha az a egyenes egyenletnek felel meg egy szögegyütthatós egyenes és b- alakú egyenes egyenletének, akkor ezen egyenesek normálvektorainak koordinátái és vannak, és ezen egyenesek párhuzamosságának feltétele a következő alakot veszi fel. . Következésképpen, ha egy téglalap alakú koordináta-rendszerben egy síkon lévő egyenesek párhuzamosak és szögegyütthatós egyenesek egyenleteivel adhatók meg, akkor az egyenesek szögegyütthatói egyenlők lesznek. És fordítva: ha egy téglalap alakú koordináta-rendszerben egy síkon nem egybeeső egyenesek adhatók meg egyenlő szögegyütthatós egyenes egyenleteivel, akkor az ilyen egyenesek párhuzamosak.

Ha egy a és egy b egyenest egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy egyenes kanonikus egyenletei határozzák meg egy alakú síkon És , vagy egy egyenes paraméteres egyenletei a forma síkján És ennek megfelelően ezeknek az egyeneseknek az irányvektorai és koordinátái vannak, az a és b egyenesek párhuzamosságának feltétele pedig így van felírva.

Nézzünk meg néhány példa megoldását.

Példa.

Párhuzamosak a vonalak? És ?

Megoldás.

Írjuk át az egyenes egyenletét szakaszokban általános egyenes egyenletté: . Most láthatjuk, hogy ez az egyenes normálvektora , a az egyenes normálvektora. Ezek a vektorok nem kollineárisak, mivel nincs olyan t valós szám, amelyre a ( ). Ebből következően az egyenesek síkon történő párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele nem teljesül, ezért az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz:

Nem, a vonalak nem párhuzamosak.

Példa.

Egyenesek és párhuzamosak?

Megoldás.

Az egyenes kanonikus egyenletét redukáljuk a szögegyütthatós egyenes egyenletére: . Nyilvánvaló, hogy a és az egyenesek egyenletei nem azonosak (ebben az esetben az adott egyenesek azonosak lennének) és az egyenesek szögegyütthatói egyenlőek, ezért az eredeti egyenesek párhuzamosak.

Ebben a cikkben a párhuzamos egyenesekről fogunk beszélni, definíciókat adunk, és felvázoljuk a párhuzamosság jeleit és feltételeit. Az elméleti anyag áttekinthetősége érdekében a tipikus példákra illusztrációkat és megoldásokat használunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Párhuzamos egyenesek egy síkon– két egyenes egy síkon, amelynek nincs közös pontja.

2. definíció

Párhuzamos vonalak háromdimenziós térben– két egyenes a háromdimenziós térben, amelyek ugyanabban a síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.

Meg kell jegyezni, hogy a térben párhuzamos egyenesek meghatározásához rendkívül fontos az „ugyanabban a síkban fekvő” tisztázás: a háromdimenziós térben két olyan egyenes, amelynek nincs közös pontja és nem ugyanabban a síkban fekszik, nem párhuzamos. , hanem metsző.

A párhuzamos vonalak jelzésére általános a ∥ szimbólum használata. Vagyis ha az adott a és b egyenesek párhuzamosak, akkor ezt a feltételt röviden a következőképpen kell felírni: a ‖ b. Az egyenesek párhuzamosságát szóban a következőképpen jelöljük: az a és b egyenesek párhuzamosak, vagy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, vagy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Fogalmazzunk meg egy állítást, amely fontos szerepet játszik a vizsgált témában.

Alapigazság

Egy adott egyeneshez nem tartozó ponton áthalad az egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes. Ez az állítás a planimetria ismert axiómái alapján nem igazolható.

Abban az esetben, ha térről beszélünk, a tétel igaz:

1. tétel

A tér bármely pontján keresztül, amely nem tartozik egy adott egyeneshez, egyetlen, az adott egyenessel párhuzamos egyenes lesz.

Ez a tétel a fenti axióma (geometria program 10 - 11. évfolyamra) alapján könnyen igazolható.

A párhuzamossági kritérium elégséges feltétel, amelynek teljesítése garantálja az egyenesek párhuzamosságát. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő a párhuzamosság tényének megerősítéséhez.

Különösen az egyenesek síkbeli és térbeli párhuzamosságának vannak szükséges és elégséges feltételei. Magyarázzuk el: a szükséges azt a feltételt jelenti, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges; ha nem teljesül, a vonalak nem párhuzamosak.

Összefoglalva, az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az a feltétel, amelynek betartása szükséges és elegendő ahhoz, hogy az egyenesek párhuzamosak legyenek egymással. Ez egyrészt a párhuzamosság jele, másrészt a párhuzamos vonalakban rejlő tulajdonság.

Mielőtt megadnánk egy szükséges és elégséges feltétel pontos megfogalmazását, idézzünk fel néhány további fogalmat.

3. definíció

Szekant vonal– két adott nem egybeeső egyenest metsző egyenes.

Két egyenest metszve egy keresztirányú nyolc kidolgozatlan szöget alkot. A szükséges és elégséges feltétel megfogalmazásához olyan típusú szögeket fogunk használni, mint a keresztezett, a megfelelő és az egyoldalú. Mutassuk meg őket az illusztráción:

2. tétel

Ha egy síkban két egyenest keresztirányú metsz, akkor az adott egyenesek párhuzamosságához szükséges és elegendő, hogy a metsző szögek egyenlőek legyenek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek legyenek, vagy az egyoldalú szögek összege egyenlő legyen 180 fok.

Szemléltessük grafikusan az egyenesek síkbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételét:

Ezeknek a feltételeknek a bizonyítása a 7-9. évfolyam geometria programjában található.

Általában ezek a feltételek a háromdimenziós térre is vonatkoznak, feltéve, hogy két egyenes és egy szekáns ugyanahhoz a síkhoz tartozik.

Mutassunk még néhány tételt, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

3. tétel

Egy síkon két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással. Ezt a tulajdonságot a fentebb jelzett párhuzamossági axióma alapján bizonyítjuk.

4. tétel

A háromdimenziós térben két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.

A jel bizonyítását a 10. évfolyam geometria tananyaga tanulja.

Nézzünk egy illusztrációt ezekre a tételekre:

Jelöljünk még egy tételpárt, amely az egyenesek párhuzamosságát bizonyítja.

5. tétel

Egy síkon két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Fogalmazzunk meg hasonlót a háromdimenziós térre.

6. tétel

A háromdimenziós térben két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Illusztráljuk:

A fenti tételek, előjelek és feltételek mindegyike lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának kényelmes bizonyítását geometriai módszerekkel. Azaz az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására be lehet mutatni, hogy a megfelelő szögek egyenlőek, vagy azt, hogy két adott egyenes merőleges a harmadikra ​​stb. De vegye figyelembe, hogy gyakran kényelmesebb a koordináta-módszer használata az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására síkon vagy háromdimenziós térben.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben

Egy adott téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenest a lehetséges típusok egyikének síkján lévő egyenes egyenlete határozza meg. Hasonlóképpen, egy téglalap alakú koordinátarendszerben háromdimenziós térben meghatározott egyenes megfelel néhány térbeli egyenes egyenletének.

Írjuk fel az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit egy téglalap alakú koordinátarendszerben az adott egyeneseket leíró egyenlet típusától függően.

Kezdjük a síkon lévő egyenesek párhuzamosságának feltételével. Egy egyenes irányvektorának és egy síkon lévő egyenes normálvektorának definícióin alapul.

7. tétel

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkon, szükséges és elegendő, hogy az adott egyenesek irányvektorai kollineárisak, vagy az adott egyenesek normálvektorai egybefüggőek legyenek, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges legyen a másik egyenes normálvektora.

Nyilvánvalóvá válik, hogy az egyenesek párhuzamosságának feltétele egy síkon a vektorok kollinearitásán vagy két vektor merőlegességének feltételén alapul. Vagyis ha a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az a és b egyenesek irányvektorai;

és n b → = (n b x , n b y) az a és b egyenesek normálvektorai, akkor a fenti szükséges és elégséges feltételt a következőképpen írjuk fel: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y vagy n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y vagy a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , ahol t valami valós szám. A vezetők vagy egyenes vektorok koordinátáit az egyenesek adott egyenletei határozzák meg. Nézzük a főbb példákat.

1. Az a egyenest egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes általános egyenlete határozza meg: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenes. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak koordinátái (A 1, B 1) és (A 2, B 2) lesznek. A párhuzamosság feltételét a következőképpen írjuk fel:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Az a egyenest az y = k 1 x + b 1 alakú meredekségű egyenes egyenlete írja le. Egyenes b - y = k 2 x + b 2. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak (k 1, - 1) és (k 2, - 1) koordinátái lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Így, ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon párhuzamos egyeneseket szögegyütthatós egyenletekkel adunk meg, akkor az adott egyenesek szögegyütthatói egyenlők lesznek. És az ellenkező állítás igaz: ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon nem egybeeső egyeneseket egy azonos szögegyütthatójú egyenes egyenletei határoznak meg, akkor ezek az adott egyenesek párhuzamosak.

1. A téglalap alakú koordináta-rendszerben az a és b egyeneseket egy síkon lévő egyenes kanonikus egyenletei határozzák meg: x - x 1 a x = y - y 1 a y és x - x 2 b x = y - y 2 b y vagy paraméteres egyenletek egy egyenes egy síkon: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y és x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Ekkor az adott egyenesek irányvektorai: a x, a y és b x, b y lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

a x = t b x a y = t b y

Nézzünk példákat.

1. példa

Két sor van megadva: 2 x - 3 y + 1 = 0 és x 1 2 + y 5 = 1. Meg kell határozni, hogy párhuzamosak-e.

Megoldás

Írjuk fel az egyenes egyenletét szakaszokra általános egyenlet formájában:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Látjuk, hogy n a → = (2, - 3) a 2 x - 3 y + 1 = 0 egyenes normálvektora, és n b → = 2, 1 5 az x 1 2 + y 5 egyenes normálvektora. = 1.

A kapott vektorok nem kollineárisak, mert nincs olyan tat értéke, amelyre az egyenlőség igaz lenne:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Így nem teljesül az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele egy síkon, ami azt jelenti, hogy az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz: a megadott egyenesek nem párhuzamosak.

2. példa

Az y = 2 x + 1 és x 1 = y - 4 2 egyenesek adottak. Párhuzamosak?

Megoldás

Alakítsuk át az x 1 = y - 4 2 egyenes kanonikus egyenletét a meredekségű egyenes egyenletévé:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Látjuk, hogy az y = 2 x + 1 és az y = 2 x + 4 egyenesek egyenletei nem azonosak (ha másként lenne, az egyenesek egybeesnének), és az egyenesek szögegyütthatói egyenlőek, ami azt jelenti, adott egyenesek párhuzamosak.

Próbáljuk meg másképp megoldani a problémát. Először nézzük meg, hogy a megadott sorok egybeesnek-e. Az y = 2 x + 1 egyenes bármely pontját használjuk, például (0, 1), ennek a pontnak a koordinátái nem felelnek meg az x 1 = y - 4 2 egyenes egyenletének, ami azt jelenti, hogy az egyenesek igen nem esik egybe.

A következő lépés annak meghatározása, hogy az adott egyenesek párhuzamosságának feltétele teljesül-e.

Az y = 2 x + 1 egyenes normálvektora az n a → = (2 , - 1) vektor, a második adott egyenes irányvektora pedig b → = (1 , 2) . Ezen vektorok skaláris szorzata egyenlő nullával:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tehát a vektorok merőlegesek: ez bizonyítja számunkra az eredeti egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételének teljesülését. Azok. a megadott egyenesek párhuzamosak.

Válasz: ezek a vonalak párhuzamosak.

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására a következő szükséges és elégséges feltételt alkalmazzuk.

8. tétel

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak legyenek.

Azok. a háromdimenziós térben lévő egyenesek egyenletei alapján az adott egyenesek irányvektorainak koordinátáinak meghatározásával, valamint kollinearitásuk feltételének ellenőrzésével a választ a kérdésre: párhuzamosak vagy sem. Más szóval, ha a → = (a x, a y, a z) és b → = (b x, b y, b z) az a és b egyenesek irányvektorai, akkor ahhoz, hogy párhuzamosak legyenek, a létezés egy ilyen t valós szám szükséges ahhoz, hogy az egyenlőség teljesüljön:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. példa

Az x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 és x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ egyenesek adottak. Bizonyítani kell ezen egyenesek párhuzamosságát.

Megoldás

A feladat feltételeit egy térbeli egyenes kanonikus egyenletei, egy másik térbeli egyenes parametrikus egyenletei adják meg. Útmutató vektorok a → és b → a megadott egyenesek koordinátái: (1, 0, - 3) és (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, akkor a → = 1 2 · b → .

Ebből következően az egyenesek térbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele teljesül.

Válasz: az adott egyenesek párhuzamossága bizonyított.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

3/3. oldal

21. kérdés. Mekkora a háromszög szöge egy adott csúcsban?
Válasz. Az ABC háromszög A csúcsánál bezárt szöge az AB és AC félegyenesek által alkotott szög. A háromszög B és C csúcsán lévő szögeit is meghatározzuk.

22. kérdés. Mely szegmenseket nevezzük egyenlőnek?
Válasz. A szakaszokat egyenlőnek nevezzük, ha a hosszúságuk egyenlő.
Kérdés 23. Mely szögeket nevezzük egyenlőnek?
Válasz. A szögeket egyenlőnek nevezzük, ha mértékük egyenlő.
24. kérdés. Mely háromszögeket nevezzük egyenlőnek?
Válasz. A háromszögeket egybevágónak nevezzük, ha a megfelelő oldalaik egyenlőek és a megfelelő szögeik egyenlőek. Ebben az esetben a megfelelő szögeknek a megfelelő oldalakkal szemben kell lenniük.
25. kérdés. Hogyan jelöljük a megfelelő oldalakat és szögeket az ábrán egyenlő háromszögek esetén?
Válasz. A rajzon az egyenlő szakaszokat általában egy, két vagy három vonallal, az egyenlő szögeket pedig egy, két vagy három ívvel jelöljük.

26. kérdés. A 23. ábra segítségével magyarázza meg egy ezzel egyenlő háromszög létezését.
Válasz.

Legyen egy ABC háromszögünk és egy a sugarunk (23. ábra, a). Mozgassuk az ABC háromszöget úgy, hogy az A csúcsa az a sugár elejéhez igazodjon, a B csúcs az a sugáron, a C csúcs pedig egy adott félsíkban legyen az a sugárhoz és annak kiterjesztéséhez képest. Háromszögünk csúcsait ebben az új pozícióban A 1, B 1, C 1-ként fogjuk jelölni (23. ábra, b).
Az A 1 B 1 C 1 háromszög egyenlő az ABC háromszöggel.
27. kérdés. Mely egyeneseket nevezzük párhuzamosnak? Milyen jelet használunk a párhuzamos vonalak jelzésére?
Válasz. Két egyenest párhuzamosnak nevezünk, ha nem metszik egymást. A vonalak párhuzamosságának jelzésére a jelet használják

28. kérdés. Adja meg a párhuzamos egyenesek fő tulajdonságát!
Válasz. Egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül a síkon legfeljebb egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenest lehet húzni.
29. kérdés. Mondjon példát egy tételre!
Válasz. Ha egy olyan egyenes, amely nem halad át a háromszög egyik csúcsán, az egyik oldalát metszi, akkor a másik két oldal közül csak az egyiket metszi.