यदि सभी भुजाएँ ज्ञात हों तो समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें। आयताकार और समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज: गुण और विशेषताएँ आयताकार समलम्ब चतुर्भुज में ऊँचाई कैसे ज्ञात करें

सरल प्रश्न "ट्रैपेज़ॉइड की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें?" कई उत्तर हैं, सभी क्योंकि अलग-अलग शुरुआती मूल्य दिए जा सकते हैं। इसलिए, सूत्र भिन्न होंगे.

इन सूत्रों को याद किया जा सकता है, लेकिन इन्हें प्राप्त करना कठिन नहीं है। आपको बस पहले से सीखे गए प्रमेयों को लागू करने की आवश्यकता है।

सूत्रों में प्रयुक्त संकेतन

नीचे दिए गए सभी गणितीय नोटेशन में, अक्षरों की ये रीडिंग सही हैं।

स्रोत डेटा में: सभी पक्ष

सामान्य स्थिति में ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी:

एन = √(सी 2 - (((ए - सी) 2 + सी 2 - डी 2)/(2(ए - सी))) 2)।नंबर 1।

सबसे छोटा नहीं, बल्कि समस्याओं में भी काफी कम पाया जाता है। आमतौर पर आप अन्य डेटा का उपयोग कर सकते हैं.

वह सूत्र जो आपको बताएगा कि समान स्थिति में समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें, बहुत छोटा है:

एन = √(सी 2 - (ए - सी) 2 /4).नंबर 2।

समस्या यह देती है: निचले आधार पर पार्श्व भुजाएँ और कोण

यह माना जाता है कि कोण α पदनाम "सी" के साथ पक्ष के निकट है, क्रमशः, कोण β पक्ष डी के लिए है। फिर ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें इसका सूत्र सामान्य रूप में होगा:

एन = सी * पाप α = डी * पाप β।संख्या 3।

यदि आकृति समद्विबाहु है, तो आप इस विकल्प का उपयोग कर सकते हैं:

एन = सी * पाप α= ((ए - बी) / 2) * टैन α।चार नंबर।

ज्ञात: विकर्ण और उनके बीच के कोण

आमतौर पर, ये डेटा अन्य ज्ञात मात्राओं के साथ होते हैं। उदाहरण के लिए, आधार या मध्य रेखा. यदि कारण दिए गए हैं, तो ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, निम्नलिखित सूत्र उपयोगी होगा:

एन = (डी 1 * डी 2 * पाप γ) / (ए + बी) या एन = (डी 1 * डी 2 * पाप δ) / (ए + बी)।नंबर 5।

यह आकृति के सामान्य स्वरूप के लिए है। यदि एक समद्विबाहु दिया गया है, तो अंकन इस प्रकार बदल जाएगा:

एन = (डी 1 2 * पाप γ) / (ए + बी) या एन = (डी 1 2 * पाप δ) / (ए + बी)।नंबर 6.

जब समस्या किसी समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा से संबंधित होती है, तो इसकी ऊंचाई ज्ञात करने के सूत्र इस प्रकार हो जाते हैं:

एन = (डी 1 * डी 2 * पाप γ) / 2एम या एन = (डी 1 * डी 2 * पाप δ) / 2एम।नंबर 5ए.

एन = (डी 1 2 * पाप γ) / 2 मी या एन = (डी 1 2 * पाप δ) / 2 मी।नंबर 6ए.

ज्ञात मात्राओं में: आधार या मध्य रेखा वाला क्षेत्र

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए ये शायद सबसे छोटे और सरल सूत्र हैं। एक मनमाने आंकड़े के लिए यह इस प्रकार होगा:

n = 2S / (ए + बी).नंबर 7.

यह वैसा ही है, लेकिन एक ज्ञात मध्य रेखा के साथ:

एन = एस/एम.नंबर 7ए.

अजीब बात है, लेकिन एक समद्विबाहु समलंब के लिए सूत्र समान दिखेंगे।

कार्य

नंबर 1. समलम्बाकार के निचले आधार पर कोण निर्धारित करने के लिए।

स्थिति।एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है जिसकी भुजा 5 सेमी है। इसका आधार 6 और 12 सेमी है। आपको एक न्यून कोण की ज्या ज्ञात करनी होगी।

समाधान।सुविधा के लिए, आपको एक पदनाम दर्ज करना चाहिए. मान लीजिए कि निचला बायाँ शीर्ष A है, बाकी सभी दक्षिणावर्त दिशा में हैं: B, C, D. इस प्रकार, निचला आधार AD, ऊपरी आधार - BC नामित किया जाएगा।

शीर्ष बी और सी से ऊंचाई खींचना आवश्यक है। ऊंचाई के अंत को इंगित करने वाले बिंदु क्रमशः एच 1 और एच 2 नामित किए जाएंगे। चूँकि आकृति BCH 1 H 2 में सभी कोण समकोण हैं, यह एक आयत है। इसका मतलब है कि खंड एच 1 एच 2 6 सेमी है।

अब हमें दो त्रिभुजों पर विचार करने की आवश्यकता है। वे समान हैं क्योंकि वे समान कर्ण और ऊर्ध्वाधर पैरों के साथ आयताकार हैं। इससे यह पता चलता है कि उनके छोटे पैर बराबर हैं। इसलिए, उन्हें अंतर के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उत्तरार्द्ध को निचले आधार से ऊपरी हिस्से को घटाकर प्राप्त किया जाता है। इसे 2 से विभाजित किया जाएगा। यानी, 12 - 6 को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए। एएन 1 = एन 2 डी = 3 (सेमी)।

अब पाइथागोरस प्रमेय से आपको समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। किसी कोण की ज्या ज्ञात करना आवश्यक है। वीएन 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (सेमी)।

समकोण वाले त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या कैसे पाई जाती है, इसके ज्ञान का उपयोग करके, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं: पाप α = ВН 1 / AB = 0.8।

उत्तर।आवश्यक साइन 0.8 है.

नंबर 2. ज्ञात स्पर्शरेखा का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करना।

स्थिति।एक समद्विबाहु समलंब के लिए, आपको ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है। यह ज्ञात है कि इसका आधार 15 और 28 सेमी है। न्यून कोण का स्पर्शरेखा दिया गया है: 11/13।

समाधान।शीर्षों का पदनाम पिछली समस्या के समान ही है। फिर से आपको ऊपरी कोनों से दो ऊंचाइयां खींचने की जरूरत है। पहली समस्या के समाधान के अनुरूप, आपको एएन 1 = एन 2 डी खोजने की आवश्यकता है, जिसे 28 और 15 के अंतर को दो से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है। गणना के बाद यह पता चला: 6.5 सेमी।

चूँकि स्पर्शरेखा दो पैरों का अनुपात है, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: tan α = AH 1 / VN 1। इसके अलावा, यह अनुपात 11/13 (शर्त के अनुसार) के बराबर है। चूंकि एएन 1 ज्ञात है, ऊंचाई की गणना की जा सकती है: बीएच 1 = (11 * 6.5) / 13। सरल गणना 5.5 सेमी का परिणाम देती है।

उत्तर।आवश्यक ऊँचाई 5.5 सेमी है।

नंबर 3। ज्ञात विकर्णों का उपयोग करके ऊँचाई की गणना करना।

स्थिति।समलम्ब चतुर्भुज के बारे में ज्ञात है कि इसके विकर्ण 13 और 3 सेमी हैं। यदि आधारों का योग 14 सेमी है तो आपको इसकी ऊँचाई ज्ञात करनी होगी।

समाधान।बता दें कि आकृति का पदनाम पहले जैसा ही है। आइए मान लें कि AC छोटा विकर्ण है। शीर्ष C से आपको वांछित ऊँचाई खींचनी होगी और उसे CH निर्दिष्ट करना होगा।

अब आपको कुछ अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता है। कोने C से आपको बड़े विकर्ण के समानांतर एक सीधी रेखा खींचनी होगी और भुजा AD की निरंतरता के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु ढूंढना होगा। यह डी 1 होगा. परिणाम एक नया ट्रेपेज़ॉइड है, जिसके अंदर एक त्रिकोण एएसडी 1 खींचा गया है। समस्या को और अधिक हल करने के लिए यही आवश्यक है।

वांछित ऊँचाई भी त्रिभुज में होगी। इसलिए, आप किसी अन्य विषय में पढ़े गए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। किसी त्रिभुज की ऊंचाई को संख्या 2 और जिस भुजा पर इसे खींचा जाता है उससे विभाजित क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। और भुजा मूल समलंब के आधारों के योग के बराबर हो जाती है। यह उस नियम से आता है जिसके द्वारा अतिरिक्त निर्माण किया गया था।

विचाराधीन त्रिभुज में सभी भुजाएँ ज्ञात हैं। सुविधा के लिए, हम अंकन x = 3 सेमी, y = 13 सेमी, z = 14 सेमी प्रस्तुत करते हैं।

अब आप हेरॉन प्रमेय का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। अर्ध-परिधि p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (सेमी) के बराबर होगी। फिर मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद क्षेत्र का सूत्र इस तरह दिखेगा: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (सेमी 2)।

उत्तर।ऊँचाई 6√10 / 7 सेमी है।

नंबर 4. किनारों पर ऊंचाई ज्ञात करने के लिए.

स्थिति।एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है, जिसकी तीन भुजाएँ 10 सेमी हैं, और चौथी 24 सेमी है। आपको इसकी ऊँचाई ज्ञात करनी होगी।

समाधान।चूँकि आकृति समद्विबाहु है, इसलिए आपको सूत्र संख्या 2 की आवश्यकता होगी। आपको बस इसमें सभी मानों को प्रतिस्थापित करना होगा और गिनना होगा। यह इस तरह दिखेगा:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (सेमी)।

उत्तर। n = √51 सेमी.

हम अपने जीवन में अक्सर अभ्यास में ज्यामिति का उपयोग देखते हैं, उदाहरण के लिए, निर्माण में। सबसे आम ज्यामितीय आकृतियों में से एक ट्रेपेज़ॉइड है। और परियोजना के सफल और सुंदर होने के लिए, ऐसी आकृति के लिए तत्वों की सही और सटीक गणना आवश्यक है।

एक उत्तल चतुर्भुज क्या है जिसमें समानांतर भुजाओं का एक जोड़ा होता है जिसे समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है। लेकिन दो अन्य पक्ष भी हैं जो इन आधारों को जोड़ते हैं। उन्हें पार्श्व कहा जाता है। इस आकृति से संबंधित प्रश्नों में से एक है: "एक समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?" यह तुरंत ध्यान देना आवश्यक है कि ऊंचाई एक खंड है जो एक आधार से दूसरे तक की दूरी निर्धारित करती है। ज्ञात मात्राओं के आधार पर, इस दूरी को निर्धारित करने के कई तरीके हैं।

1. दोनों आधारों के मान ज्ञात हैं, आइए उन्हें b और k, साथ ही इस समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को निरूपित करें। ज्ञात मानों का उपयोग करके, इस मामले में ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई ज्ञात करना बहुत आसान है। जैसा कि ज्यामिति से ज्ञात होता है, इसकी गणना आधारों और ऊंचाई के आधे योग के गुणनफल के रूप में की जाती है। इस सूत्र से आप आसानी से वांछित मूल्य प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको क्षेत्र को आधारों के योग के आधे से विभाजित करना होगा। सूत्रों के रूप में यह इस प्रकार दिखेगा:

S=((b+k)/2)*h, इसलिए h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात है, आइए इसे d और क्षेत्रफल निरूपित करें। जो लोग नहीं जानते, उनके लिए मध्य रेखा भुजाओं के मध्य के बीच की दूरी है। इस मामले में ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें? समलम्बाकार गुण के अनुसार, मध्य रेखा आधारों के आधे योग से मेल खाती है, अर्थात, d=(b+k)/2। हम फिर से क्षेत्रफल सूत्र का सहारा लेते हैं। आधारों के आधे योग को केंद्र रेखा के मान से बदलने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है:

जैसा कि हम देख सकते हैं, परिणामी सूत्र से ऊंचाई निकालना बहुत आसान है। क्षेत्र को केंद्र रेखा के मान से विभाजित करने पर, हम वांछित मान ज्ञात करते हैं। आइए इसे सूत्र के साथ लिखें:

3. एक भुजा (बी) की लंबाई और इस भुजा तथा सबसे बड़े आधार के बीच बनने वाला कोण ज्ञात होता है। ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे पता करें, इस सवाल का जवाब इस मामले में भी मौजूद है। समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें, जहाँ AB और CD भुजाएँ हैं, और AB=b। सबसे बड़ा आधार AD है। आइए हम AB और AD द्वारा बने कोण को α के रूप में निरूपित करें। बिंदु B से, ऊँचाई h को आधार AD तक कम करें। अब परिणामी त्रिभुज ABF पर विचार करें, जो एक समकोण त्रिभुज है। भुजा AB कर्ण है और भुजा BF भुजा है। एक समकोण त्रिभुज की संपत्ति से, पैर के मान और कर्ण के मान का अनुपात पैर (बीएफ) के विपरीत कोण की ज्या से मेल खाता है। इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना करने के लिए, हम ज्ञात पक्ष के मान और कोण α की ज्या को गुणा करते हैं। सूत्र रूप में यह इस प्रकार दिखता है:

4. मामले को इसी प्रकार माना जाता है यदि पार्श्व पक्ष का आकार और कोण ज्ञात है, तो आइए हम इसे β के रूप में निरूपित करें, जो इस पक्ष और छोटे आधार के बीच बनता है। ऐसी समस्या को हल करते समय, ज्ञात पक्ष और खींची गई ऊँचाई के बीच का कोण 90° - β होगा। त्रिभुजों के गुण से - पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात उनके बीच स्थित कोण की कोज्या से मेल खाता है। इस सूत्र से ऊँचाई का मान प्राप्त करना आसान है:

h = b *cos(β-90°)

5. यदि केवल अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो तो समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें? वृत्त की परिभाषा के अनुसार, यह प्रत्येक आधार पर एक बिंदु को छूता है। इसके अलावा, ये बिंदु वृत्त के केंद्र के अनुरूप हैं। इससे यह पता चलता है कि उनके बीच की दूरी व्यास है और साथ ही, ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई है। ऐसा लगता है:

6. अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई ज्ञात करना आवश्यक होता है। याद रखें कि समान भुजाओं वाले समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें? लंबवत विकर्णों के साथ, ऊँचाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है।

लेकिन क्या होगा यदि विकर्ण लंबवत नहीं हैं? समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें। इसके गुणों के अनुसार आधार समानांतर होते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आधारों पर बने कोण भी बराबर होंगे। आइए दो ऊंचाइयां BF और CM बनाएं। उपरोक्त के आधार पर, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज ABF और DCM बराबर हैं, अर्थात, AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. अब, समस्या की स्थितियों के आधार पर, आइए निर्णय लेते हैं ज्ञात मान, और उसके बाद ही समद्विबाहु समलंब के सभी गुणों को ध्यान में रखते हुए ऊंचाई ज्ञात करें।

ज्यामिति उन विज्ञानों में से एक है जिसका अभ्यास में लोग लगभग हर दिन सामना करते हैं। ज्यामितीय आकृतियों की विविधता के बीच, ट्रेपेज़ॉइड विशेष ध्यान देने योग्य है। यह चार भुजाओं वाली एक उत्तल आकृति है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं। उत्तरार्द्ध को आधार कहा जाता है, और शेष दो को भुजाएँ कहा जाता है। आधारों के लंबवत खंड और उनके बीच के अंतर के आकार का निर्धारण ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई होगी। आप इसकी लंबाई की गणना कैसे कर सकते हैं?

एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, किसी आकृति की ऊंचाई निर्धारित करना कई तरीकों से संभव है।

ज्ञात क्षेत्र

यदि समानांतर भुजाओं की लंबाई ज्ञात है, और आकृति का क्षेत्रफल भी दर्शाया गया है, तो वांछित लंबवत निर्धारित करने के लिए, आप निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

एस=एच*(ए+बी)/2,
एच - वांछित मूल्य (ऊंचाई),
एस – आकृति का क्षेत्रफल,
a और b एक दूसरे के समानांतर भुजाएँ हैं।
उपरोक्त सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि h=2S/(a+b).

मध्य रेखा का मान ज्ञात है

यदि प्रारंभिक डेटा के बीच, ट्रेपेज़ॉइड (एस) के क्षेत्र के अलावा, इसकी मध्य रेखा (एल) की लंबाई भी ज्ञात है, तो गणना के लिए एक और सूत्र उपयोगी है। सबसे पहले, यह स्पष्ट करना ज़रूरी है कि इस प्रकार के चतुर्भुज के लिए मध्य रेखा क्या है। यह शब्द आकृति के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के भाग को परिभाषित करता है।

समलम्बाकार गुण के आधार पर l=(a+b)/2,
एल - मध्य रेखा,
ए, बी - चतुर्भुज की आधार भुजाएँ।
इसलिए h=2S/(a+b)=S/l.

आकृति की 4 भुजाएँ ज्ञात हैं

इस मामले में, पाइथागोरस प्रमेय मदद करेगा। बड़े आधार पक्ष पर लंबों को नीचे करके, इसका उपयोग दो परिणामी समकोण त्रिभुजों के लिए करें। अंतिम अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखेगी:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

सी और डी - 2 अन्य पक्ष।

आधार पर कोण

यदि आपके पास आधार कोणों पर डेटा है, तो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग करें।

एच = सी* पापα = डी* पापβ,

α और β चतुर्भुज के आधार पर बने कोण हैं,
c और d इसकी भुजाएँ हैं।

किसी आकृति के विकर्ण और उन्हें प्रतिच्छेद करने वाले कोण

विकर्ण की लंबाई आकृति के विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। आइए हम इन मात्राओं को प्रतीकों d1 और d2 से और उनके बीच के कोणों को γ और φ से निरूपित करें। तब:

एच = (डी1*डी2)/(ए+बी) पाप γ = (डी1*डी2)/(ए+बी) पापφ,

एच = (डी1*डी2)/2एल पाप γ = (डी1*डी2)/2एल पापφ,

a और b आकृति की आधार भुजाएँ हैं,
d1 और d2 समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण हैं,
γ और φ विकर्णों के बीच के कोण हैं।

आकृति की ऊँचाई और उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या

इस प्रकार के वृत्त की परिभाषा के अनुसार, यह प्रत्येक आधार को 1 बिंदु पर स्पर्श करता है, जो एक सीधी रेखा का हिस्सा है। इसलिए, उनके बीच की दूरी व्यास है - आकृति की वांछित ऊंचाई। और चूँकि व्यास त्रिज्या का दोगुना है, तो:

एच = 2 * आर,
r उस वृत्त की त्रिज्या है जो इस समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

• जैसा कि सूत्रीकरण से पता चलता है, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की एक विशिष्ट विशेषता इसके पार्श्व पक्षों की समानता है। इसलिए, किसी आकृति की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, उस स्थिति में इस मान को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें जब समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात हों।

तो, यदि c = d, तो h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - चतुर्भुज की आधार भुजाएँ,
सी = डी - इसकी भुजाएँ।

• यदि दो भुजाओं (आधार और भुजा) से बने कोण हैं, तो समलंब की ऊंचाई निम्नलिखित अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है:

एच = सी* पापα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α - आकृति के आधार पर कोण,
ए, बी (ए< b) – основания фигуры,
सी = डी - इसकी भुजाएँ।

• यदि आकृति के विकर्णों का मान दिया गया हो, तो आकृति की ऊंचाई ज्ञात करने का व्यंजक बदल जाएगा, क्योंकि डी1 = डी2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

हम जीवन में अक्सर ट्रैपेज़ॉइड जैसी आकृति का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए, कंक्रीट ब्लॉकों से बना कोई भी पुल इसका प्रमुख उदाहरण है। एक अधिक दृश्य विकल्प प्रत्येक वाहन का स्टीयरिंग इत्यादि है। आकृति के गुणों को प्राचीन ग्रीस में जाना जाता था, जिसका अरस्तू ने अपने वैज्ञानिक कार्य "एलिमेंट्स" में अधिक विस्तार से वर्णन किया है। और हजारों साल पहले विकसित हुआ ज्ञान आज भी प्रासंगिक है। इसलिए, आइए उन पर करीब से नज़र डालें।

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बुनियादी अवधारणाओं

चित्र 1. क्लासिक समलम्बाकार आकृति।

एक समलम्ब चतुर्भुज मूलतः एक चतुर्भुज है जिसमें दो खंड समानांतर होते हैं और दो अन्य खंड समानांतर नहीं होते हैं। इस आकृति के बारे में बात करते समय, आधार, ऊंचाई और मध्य रेखा जैसी अवधारणाओं को याद रखना हमेशा आवश्यक होता है। चतुर्भुज के दो खंड जिन्हें एक दूसरे का आधार कहा जाता है (खंड AD और BC)। ऊंचाई प्रत्येक आधार (ईएच) के लंबवत खंड है, यानी। 90° के कोण पर प्रतिच्छेद करें (जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है)।

यदि हम सभी आंतरिक डिग्री मापों को जोड़ दें, तो समलम्ब चतुर्भुज के कोणों का योग किसी भी चतुर्भुज की तरह 2π (360°) के बराबर होगा। एक खंड जिसके सिरे भुजाओं के मध्यबिंदु हैं (IF) मध्य रेखा कहलाती है.इस खंड की लंबाई आधार BC और AD के योग को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

ज्यामितीय आकृतियाँ तीन प्रकार की होती हैं: सीधी, नियमित और समद्विबाहु। यदि आधार के शीर्षों पर कम से कम एक कोण समकोण है (उदाहरण के लिए, यदि ABD = 90°), तो ऐसे चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज कहा जाता है। यदि पार्श्व खंड बराबर (AB और CD) हैं, तो इसे समद्विबाहु कहा जाता है (तदनुसार, आधार पर कोण बराबर होते हैं)।

क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

उसके लिए, चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिएएबीसीडी निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

चित्र 2. किसी क्षेत्र को खोजने की समस्या का समाधान

अधिक स्पष्ट उदाहरण के लिए, आइए एक आसान समस्या का समाधान करें। उदाहरण के लिए, मान लें कि ऊपरी और निचला आधार क्रमशः 16 और 44 सेमी है, और भुजाएँ - 17 और 25 सेमी हैं। आइए शीर्ष D से एक लंबवत खंड का निर्माण करें ताकि DE II BC हो (जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है)। यहीं से हमें वह मिलता है

चलो डीएफ हो. ΔADE (जो समद्विबाहु होगा) से, हमें निम्नलिखित मिलता है:

अर्थात्, सरल शब्दों में, हमने सबसे पहले ऊँचाई ΔADE ज्ञात की, जो समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई भी है। यहां से हम पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करके, ऊंचाई डीएफ के पहले से ज्ञात मान के साथ, चतुर्भुज एबीसीडी के क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल ABCD 450 सेमी³ है। यानी हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि क्रम में एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको केवल आधारों के योग और ऊँचाई की लंबाई की आवश्यकता है।

महत्वपूर्ण!समस्या को हल करते समय, लंबाई का मान अलग से ज्ञात करना आवश्यक नहीं है; यह काफी स्वीकार्य है यदि आकृति के अन्य मापदंडों का उपयोग किया जाता है, जो उचित प्रमाण के साथ, आधारों के योग के बराबर होगा।

ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार

आकृति में कौन सी भुजाएँ हैं और आधारों पर कौन से कोण बने हैं, इसके आधार पर, चतुर्भुज तीन प्रकार के होते हैं: आयताकार, असमान और समद्विबाहु।

बहुमुखी

इसके दो रूप हैं: तीव्र और कुंठित. एबीसीडी न्यूनकोण तभी है जब आधार कोण (एडी) न्यूनकोण हों और भुजाओं की लंबाई अलग-अलग हो। यदि एक कोण का मान Pi/2 (डिग्री माप 90° से अधिक है) से अधिक है, तो हमें एक अधिक कोण प्राप्त होता है।

यदि भुजाएँ लंबाई में बराबर हों

चित्र 3. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का दृश्य

यदि गैर-समानांतर भुजाओं की लंबाई बराबर हो, तो ABCD को समद्विबाहु (नियमित) कहा जाता है। इसके अलावा, ऐसे चतुर्भुज में आधार पर कोणों की डिग्री माप समान होती है, उनका कोण हमेशा समकोण से कम होगा। यही कारण है कि एक समद्विबाहु रेखा कभी भी न्यून कोण और अधिक कोण में विभाजित नहीं होती है। इस आकृति के चतुर्भुज के अपने विशिष्ट अंतर हैं, जिनमें शामिल हैं:

1. विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड बराबर होते हैं।
2. बड़े आधार के साथ न्यून कोण 45° होते हैं (चित्र 3 में उदाहरणात्मक उदाहरण)।
3. यदि आप विपरीत कोणों की डिग्री जोड़ें, तो उनका योग 180° होता है।
4. आप किसी भी नियमित ट्रैपेज़ॉइड के चारों ओर निर्माण कर सकते हैं।
5. यदि आप विपरीत कोणों की डिग्री माप को जोड़ते हैं, तो यह π के बराबर होता है।

इसके अलावा, बिंदुओं की उनकी ज्यामितीय व्यवस्था के कारण, वहाँ हैं एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के मूल गुण:

आधार पर कोण मान 90°

आधार के किनारे की लंबवतता "आयताकार ट्रेपेज़ॉइड" की अवधारणा की एक विशिष्ट विशेषता है। आधार पर कोने वाली दो भुजाएँ नहीं हो सकतीं,क्योंकि अन्यथा यह पहले से ही एक आयत होगा। इस प्रकार के चतुर्भुजों में, दूसरी भुजा हमेशा बड़े आधार के साथ एक न्यून कोण और छोटे आधार के साथ एक अधिक कोण बनाएगी। इस मामले में, लंबवत पक्ष भी ऊंचाई होगी।

फुटपाथों के मध्य भाग के बीच का खंड

यदि हम भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ते हैं, और परिणामी खंड आधारों के समानांतर है और लंबाई में उनके योग के आधे के बराबर है, तो परिणामी सीधी रेखा मध्य रेखा होगी.इस दूरी के मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अधिक स्पष्ट उदाहरण के लिए, केंद्र रेखा का उपयोग करके किसी समस्या पर विचार करें।

काम। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा 7 सेमी है; यह ज्ञात है कि एक पक्ष दूसरे से 4 सेमी बड़ा है (चित्र 4)। आधारों की लंबाई ज्ञात कीजिए।

चित्र 4. आधारों की लंबाई ज्ञात करने की समस्या का समाधान

समाधान। मान लें कि छोटा आधार DC x सेमी के बराबर है, तो बड़ा आधार क्रमशः (x+4) सेमी के बराबर होगा। यहां से, एक समलंब की मध्य रेखा के लिए सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

यह पता चला है कि छोटा आधार डीसी 5 सेमी है, और बड़ा 9 सेमी है।

महत्वपूर्ण!कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने में मध्य रेखा की अवधारणा महत्वपूर्ण है। इसकी परिभाषा के आधार पर अन्य आकृतियों के लिए अनेक प्रमाणों का निर्माण किया जाता है। व्यवहार में अवधारणा का उपयोग करके, अधिक तर्कसंगत समाधान और आवश्यक मूल्य की खोज संभव है।

ऊंचाई का निर्धारण, और इसे खोजने के तरीके

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, ऊंचाई एक खंड है जो 2Pi/4 के कोण पर आधारों को काटती है और उनके बीच सबसे छोटी दूरी है। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने से पहले,यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कौन से इनपुट मान दिए गए हैं। बेहतर समझ के लिए, आइए समस्या पर नजर डालें। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि आधार क्रमशः 8 और 28 सेमी, भुजाएँ 12 और 16 सेमी हों।

चित्र 5. समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने की समस्या का समाधान

आइए आधार AD के समकोण पर खंड DF और CH बनाएं। परिभाषा के अनुसार, उनमें से प्रत्येक दिए गए ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई होगी (चित्र 5)। इस मामले में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, प्रत्येक साइडवॉल की लंबाई जानने के बाद, हम पाएंगे कि त्रिकोण एएफडी और बीएचसी में ऊंचाई किसके बराबर है।

एएफ और एचबी खंडों का योग आधारों के अंतर के बराबर है, यानी:

माना लंबाई AF x सेमी के बराबर है, तो खंड HB की लंबाई = (20 - x) सेमी। जैसा कि यह स्थापित किया गया था, DF=CH, यहाँ से।

तब हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

यह पता चला है कि त्रिभुज एएफडी में खंड एएफ 7.2 सेमी के बराबर है, यहां से हम उसी पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके ट्रेपेज़ॉइड डीएफ की ऊंचाई की गणना करते हैं:

वे। समलम्ब चतुर्भुज एडीसीबी की ऊंचाई 9.6 सेमी के बराबर होगी। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि ऊंचाई की गणना एक अधिक यांत्रिक प्रक्रिया है, और त्रिकोण के पक्षों और कोणों की गणना पर आधारित है। लेकिन, कई ज्यामिति समस्याओं में, केवल कोणों की डिग्री ही जानी जा सकती है, ऐसी स्थिति में गणना आंतरिक त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से की जाएगी।

महत्वपूर्ण!संक्षेप में, एक समलम्ब चतुर्भुज को अक्सर दो त्रिभुजों के रूप में, या एक आयत और एक त्रिभुज के संयोजन के रूप में माना जाता है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में पाई जाने वाली सभी समस्याओं में से 90% को हल करने के लिए, इन आंकड़ों के गुण और विशेषताएं हैं। इस GMT के अधिकांश सूत्र संकेतित दो प्रकार के आंकड़ों के लिए "तंत्र" पर निर्भर होकर प्राप्त किए गए हैं।

आधार की लंबाई की शीघ्रता से गणना कैसे करें

ट्रैपेज़ॉइड का आधार ढूंढने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कौन से पैरामीटर पहले से दिए गए हैं और उन्हें तर्कसंगत रूप से कैसे उपयोग किया जाए। एक व्यावहारिक दृष्टिकोण मध्य रेखा सूत्र से अज्ञात आधार की लंबाई निकालना है। चित्र की स्पष्ट समझ के लिए, आइए यह दिखाने के लिए एक उदाहरण कार्य का उपयोग करें कि यह कैसे किया जा सकता है। ज्ञात हो कि समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा 7 सेमी है, और एक आधार 10 सेमी है। दूसरे आधार की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान: यह जानते हुए कि मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है, हम कह सकते हैं कि उनका योग 14 सेमी है।

(14 सेमी = 7 सेमी × 2). समस्या की स्थितियों से, हम जानते हैं कि उनमें से एक 10 सेमी के बराबर है, इसलिए समलंब की छोटी भुजा 4 सेमी (4 सेमी = 14 - 10) के बराबर होगी।

इसके अलावा, इस प्रकार की समस्याओं के अधिक आरामदायक समाधान के लिए, हमारा सुझाव है कि आप ट्रैपेज़ॉइड क्षेत्र से ऐसे सूत्रों को अच्छी तरह से सीखें:

• मध्य पंक्ति;
• वर्ग;
• ऊंचाई;
• विकर्ण.

इन गणनाओं का सार (सटीक रूप से सार) जानकर, आप आसानी से वांछित मूल्य का पता लगा सकते हैं।

वीडियो: ट्रेपेज़ॉइड और उसके गुण

वीडियो: ट्रैपेज़ॉइड की विशेषताएं

निष्कर्ष

समस्याओं के सुविचारित उदाहरणों से, हम एक सरल निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समलम्ब, समस्याओं की गणना के संदर्भ में, ज्यामिति की सबसे सरल आकृतियों में से एक है। समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सबसे पहले, आपको यह तय नहीं करना चाहिए कि वर्णित वस्तु के बारे में क्या जानकारी ज्ञात है, उन्हें किस सूत्र में लागू किया जा सकता है, और यह तय करें कि आपको क्या खोजने की आवश्यकता है। इस सरल एल्गोरिदम का पालन करके, इस ज्यामितीय आकृति का उपयोग करने वाला कोई भी कार्य सरल नहीं होगा।

मेरा मानना ​​है कि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करना आसान है; इसके लिए एक समकोण त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना ही पर्याप्त है। खैर, मैं इस रहस्य को उजागर नहीं करूंगा; कॉमरेड पाइथागोरस ने अपने समय में इसका काफी सटीक वर्णन किया था)))

एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको गणितीय सूत्र h = 2S/(a+b) का उपयोग करने की आवश्यकता है, यहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, लेकिन a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। क्षेत्रफल को दो से गुणा करें और आधारों के योग से विभाजित करें।

स्थिति के लिए उपलब्ध आंकड़ों के आधार पर, ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई का सूत्र कई तरीकों से पाया जा सकता है।

एक रास्ता चौराहे से होकर जाता है।



जहाँ S, निःसंदेह, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,

एक। बी - आधार,

h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है,

एम - मध्य रेखा.

ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना के लिए बहुत सारे सूत्र हैं:











यहाँ यह दर्शाया गया है:

h ऊँचाई ही है;

ए, बी, सी, डी - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे;

d1, d2 - समलम्ब चतुर्भुज के दो विकर्ण

एम - मध्य रेखा.

नीचे दिए गए चित्र में यह भी देखें कि कोण कहां है और:



एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसके निचले आधार पर समान कूल्हे और कोण होते हैं; ऐसे समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई पार्श्व पक्ष के उत्पाद और निचले आधार पर कोण की ज्या के रूप में या आधे के उत्पाद के रूप में पाई जा सकती है। -आधारों का अंतर और निचले आधार पर कोण की स्पर्शरेखा।

समलम्बाकार ऊंचाईमूल डेटा का उपयोग करके पाया जा सकता है। यदि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल और उसका आधार ज्ञात हो, तो समलंब की ऊंचाई है h = 2S/(a+b), जहां S क्षेत्र है, a और b आधार हैं।

कर सकना समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिएपाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, यदि समलम्ब चतुर्भुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं, और समलम्ब चतुर्भुज स्वयं समद्विबाहु है। इस मामले में, हम पहले त्रिभुज का आधार ढूंढते हैं, जो आधारों के आधे अंतर के बराबर होगा, और फिर पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं।

यदि समलम्ब चतुर्भुज और मध्य रेखा का क्षेत्रफल ज्ञात हो, तो एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई निर्धारित करने के लिएयह ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को मध्य रेखा की लंबाई से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज से ज्ञात की जा सकती है, जो समलम्ब चतुर्भुज AB की भुजा से बनती है - समकोण त्रिभुज का कर्ण, समलम्ब चतुर्भुज BH की ऊँचाई - पैरों में से एक और आधार का भाग ट्रेपेज़ॉइड, जो ट्रेपेज़ॉइड एएच = (एडी-बीसी) / 2 के दो आधारों के बीच के आधे अंतर के बराबर है - यह दूसरा चरण है। खैर, एक समकोण त्रिभुज में, एक पैर कर्ण के वर्ग और दूसरे पैर के वर्ग के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होता है।



इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है, जो कि ट्रेपेज़ॉइड के बारे में ज्ञात जानकारी पर निर्भर करता है: पक्ष या कोण। खैर, वास्तव में यह एक स्कूली गणित पाठ्यक्रम है।)))

ट्रैपेज़ॉइड एक चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, लेकिन शेष दो नहीं होती हैं। वे भुजाएँ जो एक दूसरे के समानांतर होती हैं, आधार कहलाती हैं।

किसी भी समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और उसकी ऊँचाई के योग के आधे गुणनफल के बराबर होता है। यदि हम इसे सूत्र के रूप में व्यक्त करें तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

S=1/2h x(a+b)

h समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है,

a और b इसके आधार हैं।

ज्यामिति- एक सटीक और मनोरंजक विज्ञान।

और ज्यामिति प्रेमियों के लिए समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करना कठिन नहीं होगा।

एक समलम्बाकार क्या है?

चतुर्भुज- यह एक आयत है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं, लेकिन अन्य दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं।

यहाँ एक समलम्ब चतुर्भुज का चित्र है: