График функции корень кубический. Степенная функция и корни - определение, свойства и формулы

Ребята, мы продолжаем изучать степенные функции. Темой сегодняшнего урока будет функция - корень кубический из х. А что же такое корень кубический? Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени) если выполняется равенство Обозначают:, где х - подкоренное число, 3- показатель степени.

Как мы видим, корень кубический можно извлекать и из отрицательных чисел. Получается, что наш корень существует для всех чисел. Корень третьей степени из отрицательного числа равен отрицательному числу. При возведении в нечетную степень знак сохраняется, третья степень является нечетной. Проверим равенство: Пусть. Возведем оба выражения в третью степень Тогда или В обозначениях корней получаем искомое тождество.

Ребята, давайте теперь построим график нашей функции. 1) Область определения множество действительных чисел. 2) Функция нечетная, так как Далее рассмотрим нашу функцию при х 0, после отразим график относительно начала координат. 3) Функция возрастает при х 0. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и значит возрастание. 4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента. 5) При х 0 наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.

Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная. Свойства функции: 1) D(y)=(-;+) 2) Нечетная функция. 3) Возрастает на (-;+) 4) Неограниченна. 5) Наименьшего и наибольшего значения нет. 6) Функция непрерывна на всей числовой прямой. 7) Е(у)= (-;+). 8) Выпукла вниз на (-;0), выпукла вверх на (0;+).

Пример. Построить график функции и прочитать его. Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При х-1 строим график корня кубического, при х-1 график линейной функции. 1) D(y)=(-;+) 2) Функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Убывает на (-;-1), возрастает на (-1;+) 4) Неограниченна сверху, ограничена снизу. 5) Наибольшего значения нет. Наименьшее значение равно минус один. 6) Функция непрерывна на всей числовой прямой. 7) Е(у)= (-1;+)

Вместо введения

Использование на уроках современных технологий (КСО) и средств обучения (мультимедийной доски) помогают учителю планировать и проводить эффективные уроки, создавать условия ученикам для осознанного понимания, запоминания и отработки навыков.

Урок получается динамичным и интересным, если во время учебного занятия сочетать различные формы обучения.

В современной дидактике выделяют четыре общие организационные формы обучения:

• индивидуально-опосредованная;
• парная;
• групповая;

коллективная (в парах сменного состава). (Дьяченко В.К. Современная дидактика. – М.: Народное образование, 2005).

На традиционном уроке, как правило, используются только первые три, перечисленные выше, организационные формы обучения. Коллективная форма обучения (работа в парах сменного состава) практически не используется учителем. Однако эта организационная форма обучения дает возможность коллективу обучать каждого и каждому активно участвовать в обучении других. Коллективная форма обучения является ведущей в технологии КСО.

Одной из самых распространенных методик технологии коллективного способа обучения является методика “Взаимный тренаж”.

Эта “волшебная” методика хороша на любом предмете и на любом уроке. Целевое предназначение – тренировка.

Тренировка - наследница самоконтроля, она помогает ученику наладить его контакт с предметом изучения, облегчая поиск правильных шагов-действий. Через тренировку в приобретении, закреплении, перегруппировке, пересмотре, применении знаний происходит развитие познавательных способностей человека. (Яновицкая Е.В. Как учить и учиться на уроке так, чтобы хотелось учиться. Альбом-справочник. – СПб: Образовательные проекты, М.: Издатель А.М. Кушнир, 2009.-С.14;131)

Она поможет быстро повторить какое-либо правило, вспомнить ответы на изученные вопросы, закрепить необходимый навык. Оптимальное время для работы по методике 5-10 минут. Как правило, работа по тренажным карточкам проводится во время устного счета, то есть в начале урока, но по усмотрению учителя она может быть проведена на любом этапе урока, в зависимости от его целей и структуры. В тренажной карточке может быть от 5 до 10 несложных примеров (вопросов, заданий). Каждый ученик класса получает карточку. Карточки у всех разные или разные у всех в “сводном отряде” (дети, сидящие на одном ряду). Сводный отряд (группа) – это временная кооперация учащихся, образованная для выполнения определенной учебной задачи. (Яловец Т.В. Технология коллективного способа обучения в повышении квалификации учителя: Учебно-методическое пособие. – Новокузнецк: Изд-во ИПК, 2005. – С. 122)

Проект урока по теме “Функция у=, ее свойства и график”

В проекте урока, тема которого: “Функция у=, ее свойства и график” представлено использование методики взаимного тренажа в сочетании с применением традиционных и мультимедийных средств обучения.

Тема урока: “Функция у= , ее свойства и график ”

Цели:

• подготовка к контрольной работе;
• проверка знаний всех свойств функции и умений строить графики функций и читать их свойства.

Задачи: предметный уровень:

надпредметный уровень:

• учиться анализировать графическую информацию;
• отрабатывать умение вести диалог;
• развивать умение и навык работы с интерактивной доской на примере работы с графиками.

Структура урока	Время
1. Информационный ввод учителя (ИВУ)	5 мин.
2. Актуализация опорных знаний: работа в парах сменного состава по методике “Взаимный тренаж ”	8 мин.
3. Знакомство с темой “ Функция y=, ее свойства и график”: презентация учителя	8 мин.
4. Закрепление вновь изученного и уже пройденного материала по теме “Функция”: использование интерактивной доски	15 мин.
5. Самоконтроль: в форме теста	7 мин.
6. Подведение итогов, запись домашнего задания.	2 мин.

Раскроем подробнее содержание каждого этапа.

1. Информационный ввод учителя (ИВУ) включает в себя организационный момент; озвучивание темы, цели и плана урока; показ образца работы в паре по методике взаимного тренажа.

Демонстрация образца работы в паре учениками на этом этапе урока целесообразна для повторения алгоритма работы нужной нам методики, т.к. на следующем этапе урока по ней планируется работа всего классного коллектива. Заодно можно назвать ошибки работы по алгоритму (если они имелись), а так же оценить работу этих учащихся.

2. Актуализация опорных знаний ведется в парах сменного состава по методике взаимного тренажа.

Алгоритм методики включает в себя индивидуальную, парную (статические пары) и коллективную (пары сменного состава) организационные формы обучения.

Индивидуальная: каждый, получивший карточку, знакомится с ее содержанием (читает вопросы и ответы на оборотной стороне карточки).

• первый (в роли “тренируемого”) читает задание и отвечает на вопросы карточки партнера;
• второй (в роли “тренера”) – проверяет правильность ответов по оборотной стороне карточки;
• аналогично работают по другой карточке, меняясь ролями;
• делают отметку в индивидуальном листке и меняются карточками;
• переходят в новую пару.

Коллективная:

• в новой паре работают как в первой; переход в новую пару и т.д.

Количество переходов зависит от времени отведенного учителем на данный этап урока, от трудолюбия и скорости осмысления каждого учащегося и от партнеров по совместной работе.

После работы в парах учащиеся делают отметки в листках учета, учитель проводит количественный и качественный анализ работы.

Листок учета может выглядеть следующим образом:

Иванов Петя 7 “б” класс

Дата	Номер карточки	Количество ошибок	С кем работал
20.12.09	№7	0	Сидоров К.
	№3	2	Петрова М.
	№2	1	Самойлова З.

3. Знакомство с темой “ Функция y=, ее свойства и график” проводится учителем в форме презентации с использованием мультимедийных средств обучения (приложение 4). С одной стороны – это вариант наглядности, понятный современным ученикам, с другой стороны – экономия времени на объяснение нового материала.

4. Закрепление вновь изученного и уже пройденного материала по теме “Функция” организуется в двух вариантах, с использованием традиционных средств обучения (доска, учебник) и инновационных (интерактивная доска).

Сначала предлагается несколько заданий из учебника на закрепление вновь изученного материала. Используется тот учебник, по которому ведется обучение. Работа ведется одновременно со всем классом. При этом один ученик выполняет задание “а” – на традиционной доске; другой – задание “б” на интерактивной доске, остальные обучающиеся записывают решения этих же заданий в тетрадь и сверяют свое решение с решением, представленным на досках. Далее учитель оценивает работу учащихся у доски.

Затем, для более быстрого закрепления изученного материала по теме “Функция”, предлагается фронтальная работа с интерактивной доской, которую можно организовать следующим образом:

• на интерактивной доске появляется задание и график;
• ученик, желающий ответить, выходит к доске, выполняет необходимые построения и озвучивает ответ;
• на доске появляется новое задание и новый график;
• отвечать выходит другой ученик.

Таким образом, за короткий промежуток времени, удается решить довольно много заданий, оценить ответы учащихся. Некоторые задания, представляющие интерес (аналогичные заданиям, из предстоящей контрольной работы), можно зафиксировать в тетрадь.

5. На этапе самоконтроля обучающимся предлагается тест с последующей самопроверкой (приложение 3).

Литература

1. Дьяченко, В.К. Современная дидактика [Текст] / В.К. Дьяченко – М.: Народное образование, 2005.
2. Яловец, Т.В. Технология коллективного способа обучения в повышении квалификации учителя: Учебно-методическое пособие [Текст] / Т.В. Яловец. – Новокузнецк: Изд-во ИПК, 2005.
3. Яновицкая, Е.В. Как учить и учиться на уроке так, чтобы хотелось учиться. Альбом-справочник [Текст] / Е.В.Яновицкая. – СПб: Образовательные проекты, М.: Издатель А.М. Кушнир, 2009.

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Корень кубический. Свойства корня кубического"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Образовательный комплекс 1C: "Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы" Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"

Определение степенной функции - кубического корня

Ребята, мы продолжаем изучать степенные функции. Сегодня мы поговорим о функции "Корень кубический из х".
А что же такое корень кубический?
Число y называется корнем кубическим из x (корнем третьей степени), если выполняется равенство $y^3=x$.
Обозначают, как $\sqrt{x}$, где х - подкоренное число, 3 - показатель степени.
$\sqrt{27}=3$; $3^3=27$.
$\sqrt{(-8)}=-2$; $(-2)^3=-8$.
Как мы видим, корень кубический можно извлекать и из отрицательных чисел. Получается, что наш корень существует для всех чисел.
Корень третьей степени из отрицательного числа равен отрицательному числу. При возведении в нечетную степень знак сохраняется, третья степень является нечетной.

Проверим равенство: $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$.
Пусть $\sqrt{(-x)}=a$ и $\sqrt{x}=b$. Возведем оба выражения в третью степень. $–x=a^3$ и $x=b^3$. Тогда $a^3=-b^3$ или $a=-b$. В обозначениях корней получаем искомое тождество.

Свойства корней кубических

а) $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{6}$.
б) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Давайте докажем второе свойство. $(\sqrt{\frac{a}{b}})^3=\frac{\sqrt{a}^3}{\sqrt{b}^3}=\frac{a}{b}$.
Получили, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте построим график нашей функции.
1) Область определения множество действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при х≥0.

Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.

Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает на (-∞;+∞).
4) Неограниченна.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.

7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

Примеры решения степенных функций

Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt{x}=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt{x}$ и $y=x$.

Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y=\sqrt{(x-2)}-3$.
Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.

3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.
Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Убывает на (-∞;-1), возрастает на (-1;+∞).
4) Неограниченна сверху, ограничена снизу.
5) Наибольшего значения нет. Наименьшее значение равно минус один.
6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7) Е(у)= (-1;+∞).

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнение $\sqrt{x}=2-x$.
2. Построить график функции $y=\sqrt{(x+1)}+1$.
3.Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end{cases}$.

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Определение

Определение
Степенная функция с показателем степени p - это функция f(x) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x :
.
Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x :
.
Для нечетных m , она определена для всех действительных x . Для четных m , степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле:
.
Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p , степенная функция определяется по формуле:
,
где a - произвольное положительное число, не равное единице: .
При , она определена для .
При , степенная функция определена для .

Непрерывность . Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x . Как указано выше, при некоторых значениях показателя p , степенная функция определена и для отрицательных значений x . В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице « ».

Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(1.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(1.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(1.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств) »

Корни - определение, формулы, свойства

Определение
Корень из числа x степени n - это число , возведение которого в степень n дает x :
.
Здесь n = 2, 3, 4, ... - натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень из числа x степени n - это корень (то есть решение) уравнения
.
Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x - это корень степени 2: .

Кубический корень из числа x - это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2 m , корень определен при x ≥ 0 . Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x :
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x :
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией:
.
При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:
;
;
, ;
.

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: .
Корень 1 равен 1: .
Квадратный корень 0 равен 0: .
Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный корень:
.
Итак,
.

y = x p при различных значениях показателя p .

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x . Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x , приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики »

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p .

Если , то .

Производная степенной функции

Производная n-го порядка:
;

Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

P ≠ - 1 ;
.

Разложение в степенной ряд

При - 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z :
f(z) = z t .
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q .
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0 , то есть показатель степени - действительное число, t = p . Тогда
.

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z , имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ... , то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 , дают n различных значений kp :
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k 0 + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2 π , имеют равные значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p , что и для k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 .

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n - й степени действительного положительного числа z = x . В этом случае φ 0 = 0 , z = r = |z| = x , .
.
Так, для квадратного корня, n = 2 ,
.
Для четных k, (- 1 ) k = 1 . Для нечетных k, (- 1 ) k = - 1 .
То есть квадратный корень имеет два значения: + и - .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.