Définition de la perpendiculaire moyenne. Quatre merveilleux points du triangle

Mi-perpendiculaire (perpendiculaire médiane ou alors médiatrice) est une droite perpendiculaire au segment donné et passant par son milieu.

Propriétés

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ où l'indice indique le côté auquel la perpendiculaire est tracée, $S$ est l'aire du triangle, et on suppose également que les côtés sont liés par des inégalités $une\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ et $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ En d'autres termes, pour un triangle, la plus petite bissectrice perpendiculaire fait référence au segment médian.

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Remarques

Un extrait caractérisant la bissectrice perpendiculaire

Kutuzov, s'arrêtant pour mâcher, regarda Wolzogen avec surprise, comme s'il ne comprenait pas ce qu'on lui disait. Wolzogen, remarquant l'excitation de des alten Herrn, [le vieux monsieur (allemand)], dit avec un sourire :
- Je ne m'estimais pas en droit de cacher à Votre Seigneurie ce que j'ai vu... Les troupes sont dans un désordre complet...
- Avez-vous vu? Avez-vous vu? .. - Kutuzov a crié avec un froncement de sourcils, se levant rapidement et avançant sur Wolzogen. « Comment oses-tu… comment oses-tu… ! » cria-t-il, faisant des gestes menaçants en serrant les mains et en s'étouffant. - Comment osez-vous, mon cher monsieur, me dire cela. Vous ne savez rien. Dites de ma part au général Barclay que ses informations sont erronées et que le véritable déroulement de la bataille est connu de moi, le commandant en chef, mieux que de lui.
Wolzogen voulait objecter quelque chose, mais Kutuzov l'a interrompu.
- L'ennemi est repoussé sur la gauche et vaincu sur le flanc droit. Si vous n'avez pas bien vu, cher monsieur, alors ne vous permettez pas de dire ce que vous ne savez pas. S'il vous plaît, allez voir le général Barclay et transmettez-lui mon intention indispensable d'attaquer l'ennemi demain », a déclaré sévèrement Kutuzov. Tout le monde était silencieux, et on pouvait entendre une respiration lourde du vieux général essoufflé. - Partout repoussée, ce dont je remercie Dieu et notre brave armée. L'ennemi est vaincu, et demain nous le chasserons de la terre russe sacrée, - a déclaré Kutuzov en se signant; et éclata soudain en sanglots. Wolzogen, haussant les épaules et tordant les lèvres, s'écarta silencieusement, s'interrogeant sur uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [sur cette tyrannie du vieux monsieur. (Allemand)]
"Oui, le voici, mon héros", a déclaré Kutuzov au beau général dodu et aux cheveux noirs, qui à ce moment-là entrait dans le monticule. C'était Raevsky, qui avait passé toute la journée au point principal du champ de Borodino.
Raevsky a rapporté que les troupes étaient fermement à leur place et que les Français n'osaient plus attaquer. Après l'avoir écouté, Koutouzov dit en français :
– Vous ne pensez donc pas comme les autres que nous sommes obligés de nous retirer ? [Alors tu ne penses pas, comme les autres, que nous devrions battre en retraite ?]

Instruction

Tracez une ligne passant par les points d'intersection des cercles. Vous avez reçu la bissectrice perpendiculaire au segment donné.

Donnons-nous maintenant un point et une droite. Il faut tracer une perpendiculaire de ce point à Placer l'aiguille au point. Dessinez un cercle de rayon (le rayon doit aller d'un point à une ligne pour que le cercle puisse couper la ligne en deux points). Vous avez maintenant deux points sur la ligne. Ces points forment une ligne. Construisez une bissectrice perpendiculaire au segment, les extrémités sont les points obtenus, selon l'algorithme décrit ci-dessus. La perpendiculaire doit passer par le point de départ.

Construire des lignes droites est la base du dessin technique. Maintenant, cela se fait de plus en plus avec l'aide d'éditeurs graphiques, qui offrent au concepteur de grandes opportunités. Cependant, certains principes de construction restent les mêmes que dans le dessin classique - à l'aide d'un crayon et d'une règle.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - crayon;
• - règle;
• - ordinateur avec logiciel AutoCAD.

Instruction

Commencez par une construction classique. Déterminez le plan dans lequel vous tracerez la ligne. Soit ceci le plan d'une feuille de papier. Selon les conditions du problème, organisez . Ils peuvent être arbitraires, mais il est possible qu'un système de coordonnées soit donné. Les points arbitraires sont placés là où vous préférez. Étiquetez-les A et B. Utilisez une règle pour les relier. Selon l'axiome, il est toujours possible de tracer une ligne droite passant par deux points, et un seul.

Dessinez un système de coordonnées. Laissez-vous attribuer les points A (x1; y1). Pour eux, il est nécessaire de mettre de côté le nombre requis le long de l'axe des x et de tracer une ligne droite parallèle à l'axe des y passant par le point marqué. Tracez ensuite une valeur égale à y1 le long de l'axe approprié. Tracez une perpendiculaire à partir du point marqué jusqu'à ce qu'elle croise. Le lieu de leur intersection sera le point A. De la même manière, trouvez le point B, dont les coordonnées peuvent être notées (x2; y2). Connectez les deux points.

Dans AutoCAD, une ligne droite peut être construite avec plusieurs . La fonction "par" est généralement définie par défaut. Trouvez l'onglet "Accueil" dans le menu du haut. Vous verrez le panneau de dessin devant vous. Trouvez le bouton avec la ligne droite et cliquez dessus.

AutoCAD vous permet également de définir les coordonnées des deux fichiers . Cadran en bas ligne de commande(_xline). Appuyez sur Entrée. Entrez les coordonnées du premier point et appuyez également sur Entrée. Définissez le deuxième point de la même manière. Il peut également être spécifié par un clic de souris en plaçant le curseur dans point désiré filtrer.

Dans AutoCAD, vous pouvez construire une ligne droite non seulement par deux points, mais également par l'angle d'inclinaison. Dans le menu contextuel Dessiner, sélectionnez une ligne droite, puis l'option Angle. Le point de départ peut être défini par un clic de souris ou par , comme dans la méthode précédente. Définissez ensuite la taille des coins et appuyez sur Entrée. Par défaut, la ligne sera positionnée à l'angle souhaité par rapport à l'horizontale.

Vidéos connexes

Sur un dessin complexe (schéma) perpendicularité directe et avion déterminée par les dispositions principales : si une partie angle droit parallèle avion projections, puis un angle droit est projeté sur ce plan sans distorsion; si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes avion, elle est perpendiculaire à celle-ci avion.

Tu auras besoin de

• Crayon, règle, rapporteur, triangle.

Instruction

Exemple : par le point M tracer une perpendiculaire à avion Pour tracer une perpendiculaire à avion, il y a deux lignes qui se croisent dans ce avion, et construisez une ligne perpendiculaire à eux. La frontale et l'horizontale sont choisies comme ces deux lignes qui se croisent. avion.

La frontale f(f₁f₂) est une droite située dans avion et parallèle à l'avant avion projections П₂. Donc f₂ est sa valeur naturelle, et f₁ est toujours parallèle à x₁₂. A partir du point A₂ tracer h₂ parallèle à x₁₂ et obtenir le point 1₂ sur B₂C₂.

À l'aide d'une ligne de projection du point de communication 1₁ sur В₁С₁. Connectez-vous avec A₁ - c'est h₁ - la taille naturelle de l'horizontale. Du point B₁ tracez f₁‖x₁₂, sur A₁C₁ obtenez le point 2₁. Trouvez le point 2₂ sur A₂C₂ en utilisant la ligne de connexion de projection. Connectez-vous avec le point B₂ - ce sera f₂ - la taille totale de l'avant.

Horizontales naturelles construites h₁ et frontales f₂ des projections de la perpendiculaire à avion. Du point M₂, tracez sa projection frontale a₂ sous un angle de 90

Il y a ce qu'on appelle quatre points remarquables dans un triangle : le point d'intersection des médianes. Le point d'intersection des bissectrices, le point d'intersection des hauteurs et le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires. Considérons chacun d'eux.

Point d'intersection des médianes d'un triangle

Théorème 1

A l'intersection des médianes d'un triangle: Les médianes d'un triangle se coupent en un point et divisent le point d'intersection dans un rapport $2:1$ à partir du sommet.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est sa médiane. Puisque les médianes divisent les côtés en deux. Considérez la ligne médiane $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figure 1. Médianes d'un triangle

D'après le théorème 1, $AB||A_1B_1$ et $AB=2A_1B_1$, donc $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ainsi les triangles $ABM$ et $A_1B_1M$ sont semblables dans le premier similarité Triangles. Puis

De même, il est prouvé que

Le théorème a été démontré.

Point d'intersection des bissectrices d'un triangle

Théorème 2

A l'intersection des bissectrices d'un triangle: Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $AM,\ BP,\ CK$ sont ses bissectrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices $AM\ et\ BP$. Dessinez à partir de ce point perpendiculairement aux côtés du triangle (Fig. 2).

Figure 2. Bissectrices d'un triangle

Théorème 3

Chaque point de la bissectrice d'un angle non élargi est équidistant de ses côtés.

D'après le théorème 3, on a : $OX=OZ,\ OX=OY$. Donc $OY=OZ$. Le point $O$ est donc équidistant des côtés de l'angle $ACB$ et se trouve donc sur sa bissectrice $CK$.

Le théorème a été démontré.

Point d'intersection des bissectrices perpendiculaires d'un triangle

Théorème 4

Les bissectrices perpendiculaires des côtés d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Soit un triangle $ABC$ donné, $n,\ m,\ p$ ses bissectrices perpendiculaires. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires $n\ et\ m$ (Fig. 3).

Figure 3. Bissectrices perpendiculaires d'un triangle

Pour la démonstration nous avons besoin du théorème suivant.

Théorème 5

Chaque point de la bissectrice perpendiculaire à un segment est équidistant des extrémités du segment donné.

D'après le théorème 3, on a : $OB=OC,\ OB=OA$. Donc $OA=OC$. Cela signifie que le point $O$ est équidistant des extrémités du segment $AC$ et, par conséquent, se trouve sur sa bissectrice perpendiculaire $p$.

Le théorème a été démontré.

Le point d'intersection des hauteurs du triangle

Théorème 6

Les hauteurs d'un triangle ou leurs extensions se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est sa hauteur. Tracez une ligne à travers chaque sommet du triangle parallèle au côté opposé au sommet. Nous obtenons un nouveau triangle $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figure 4. Hauteurs d'un triangle

Puisque $AC_2BC$ et $B_2ABC$ sont des parallélogrammes avec un côté commun, alors $AC_2=AB_2$, c'est-à-dire que le point $A$ est le milieu du côté $C_2B_2$. De même, on obtient que le point $B$ est le milieu du côté $C_2A_2$, et le point $C$ est le milieu du côté $A_2B_2$. De la construction, nous avons ce $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Donc $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont les bissectrices perpendiculaires du triangle $A_2B_2C_2$. Alors, par le théorème 4, on a que les hauteurs $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se coupent en un point.