Excelda eng kichik kvadratlar usuli. Regressiya tahlili

KURS ISHI

fan: Informatika

Mavzu: Eng kichik kvadratlar usuli yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish

Kirish

1. Muammoning bayoni

2. Hisoblash formulalari

Microsoft Excel yordamida tuzilgan jadvallar yordamida hisoblash

Algoritm diagrammasi

MathCad-da hisoblash

Chiziqli funksiya yordamida olingan natijalar

Natijalarni grafiklar shaklida taqdim etish

Kirish

Kurs ishining maqsadi informatika bo‘yicha bilimlarni chuqurlashtirish, Microsoft Excel elektron jadval protsessori va MathCAD dasturiy mahsuloti bilan ishlash ko‘nikmalarini rivojlantirish va mustahkamlash hamda ulardan tadqiqot bilan bog‘liq mavzu bo‘yicha kompyuter yordamida masalalarni yechishda foydalanishdan iborat.

Taxminlash (lotincha “approximare” – “yaqinlashish” soʻzidan) har qanday matematik obʼyektlarni (masalan, raqamlar yoki funksiyalarni) soddaroq, ishlatish uchun qulayroq yoki oddiyroq maʼlum boʻlgan boshqalar orqali taxminiy ifodalashdir. Ilmiy tadqiqotlarda empirik natijalarni tavsiflash, tahlil qilish, umumlashtirish va undan keyingi foydalanish uchun yaqinlashtirish qo'llaniladi.

Turli ko'rsatkichlarning miqdoriy bog'liqliklarini o'rganishda, ularning qiymatlari empirik tarzda aniqlanadi, qoida tariqasida, ba'zi o'zgaruvchanlik mavjud. Bu qisman jonsiz va ayniqsa, tirik tabiatning o'rganilayotgan ob'ektlarining heterojenligi bilan belgilanadi va qisman kuzatish va materiallarni miqdoriy qayta ishlash xatolari bilan belgilanadi. Oxirgi komponentni har doim ham butunlay yo'q qilish mumkin emas, uni faqat tegishli tadqiqot usulini sinchkovlik bilan tanlash va ehtiyotkorlik bilan ishlash orqali kamaytirish mumkin. Shuning uchun har qanday tadqiqot ishini bajarishda o'rganilayotgan ko'rsatkichlarning o'zgaruvchanligini hisobga olmaslik bilan niqoblangan u yoki bu daraja bog'liqligining haqiqiy mohiyatini aniqlash muammosi paydo bo'ladi. Shu maqsadda yaqinlashuv qo'llaniladi - o'zgaruvchilarning korrelyatsiya bog'liqligini tegishli funktsional bog'liqlik tenglamasi orqali taxminiy tavsifi, bu bog'liqlikning asosiy tendentsiyasini (yoki uning "trend" ini) bildiradi.

Taxminan tanlashda aniq tadqiqot muammosidan kelib chiqish kerak. Odatda, yaqinlashish uchun ishlatiladigan tenglama qanchalik sodda bo'lsa, natijada munosabatning tavsifi shunchalik taqribiy bo'ladi. Shuning uchun, aniq qiymatlarning paydo bo'lgan tendentsiyadan og'ishi qanchalik muhim va nima sabab bo'lganini o'qish muhimdir. Empirik tarzda aniqlangan qiymatlarning bog'liqligini tavsiflashda, qandaydir murakkabroq, ko'p parametrli tenglamadan foydalanish orqali ancha yuqori aniqlikka erishish mumkin. Biroq, ma'lum bir empirik ma'lumotlar seriyasidagi qiymatlarning tasodifiy og'ishlarini maksimal aniqlik bilan etkazishga intilishning ma'nosi yo'q. Bu holatda eng mantiqiy va qabul qilinadigan aniqlik bilan quvvat funktsiyasining ikki parametrli tenglamasi bilan aniq ifodalangan umumiy naqshni tushunish muhimroqdir. Shunday qilib, yaqinlashish usulini tanlashda tadqiqotchi har doim murosaga keladi: u bu holda tafsilotlarni "qurbonlik qilish" qanchalik maqsadga muvofiq va maqsadga muvofiqligini va shunga mos ravishda taqqoslanadigan o'zgaruvchilarning bog'liqligini qanday ifodalash kerakligini hal qiladi. Empirik ma'lumotlarning umumiy naqshdan tasodifiy chetlanishi bilan niqoblangan naqshlarni aniqlash bilan bir qatorda, yaqinlashish boshqa ko'plab muhim muammolarni hal qilish imkonini beradi: topilgan bog'liqlikni rasmiylashtirish; bog'liq o'zgaruvchining noma'lum qiymatlarini interpolyatsiya yoki kerak bo'lganda ekstrapolyatsiya orqali toping.

Har bir topshiriqda masalaning shartlari, dastlabki ma'lumotlar, natijalarni chiqarish shakli shakllantiriladi va masalani hal qilishning asosiy matematik bog'liqliklari ko'rsatiladi. Muammoni hal qilish usuliga muvofiq, grafik shaklda taqdim etilgan yechim algoritmi ishlab chiqiladi.

1. Muammoning bayoni

1. Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, jadvalda berilgan funksiyani taxminiy hisoblang:

a) birinchi darajali ko'phad ;

b) ikkinchi darajali ko'phad;

v) ko'rsatkichli bog'liqlik.

Har bir qaramlik uchun determinizm koeffitsientini hisoblang.

Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang (faqat a holatda).

Har bir qaramlik uchun trend chizig'ini tuzing.

LINEST funktsiyasidan foydalanib, bog'liqlikning sonli xarakteristikalarini hisoblang.

Hisob-kitoblaringizni LINEST funksiyasidan foydalangan holda olingan natijalar bilan solishtiring.

Olingan formulalardan qaysi biri funktsiyaga eng mos kelishini xulosa qiling.

Dasturlash tillaridan birida dastur yozing va hisoblash natijalarini yuqorida olingan natijalar bilan solishtiring.

Variant 3. Funksiya jadvalda berilgan. 1.

1-jadval.

2. Hisoblash formulalari

Ko'pincha empirik ma'lumotlarni tahlil qilishda tajriba yoki o'lchovlar natijasida olingan x va y miqdorlari o'rtasidagi funktsional bog'lanishni topishga ehtiyoj tug'iladi.

Xi (mustaqil qiymat) eksperimentator tomonidan belgilanadi va tajriba natijasida empirik yoki eksperimental qiymatlar deb ataladigan yi olinadi.

X va y miqdorlari o'rtasida mavjud bo'lgan funktsional munosabatlarning analitik shakli odatda noma'lum, shuning uchun amaliy jihatdan muhim vazifa paydo bo'ladi - empirik formulani topish.

, (1)

(parametrlar qayerda), ularning qiymatlari eksperimental qiymatlardan ozgina farq qiladi.

Eng kichik kvadratlar usuliga ko'ra, eng yaxshi koeffitsientlar topilgan empirik funktsiyaning berilgan funktsiya qiymatlaridan kvadrat og'ishlarining yig'indisi minimal bo'lgan koeffitsientlardir.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumining zaruriy sharti - qisman hosilalarning nolga tengligidan foydalanib, biz formula (2) bilan aniqlangan funktsiyaning minimalini etkazib beradigan koeffitsientlar to'plamini topamiz va koeffitsientlarni aniqlashning normal tizimini olamiz. :

(3)

Shunday qilib, koeffitsientlarni topish yechish tizimiga tushiriladi (3).

Tizimning turi (3) biz bog'liqlikni izlayotgan empirik formulalar sinfiga bog'liq (1). Chiziqli bog'liqlik holatida (3) tizim quyidagi shaklni oladi:

(4)

Kvadrat bog'liqlik holatida (3) sistema quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

(5)

Ba'zi hollarda noaniq koeffitsientlar chiziqli bo'lmagan holda kiritilgan funktsiya empirik formula sifatida qabul qilinadi. Bunday holda, ba'zida muammo chiziqli bo'lishi mumkin, ya'ni. chiziqligacha kamaytiring. Bunday bog'liqliklarga eksponensial bog'liqlik kiradi

bu erda a1 va a2 aniqlanmagan koeffitsientlar.

Lineerizatsiyaga (6) tenglik logarifmini olish orqali erishiladi, shundan so'ng biz munosabatni olamiz

(7)

Biz va mos ravishda va bilan belgilaymiz, u holda (6) bog'liqlikni a1 ni va bilan almashtirish bilan (4) formulalarni qo'llash imkonini beradigan shaklda yozish mumkin.

O'lchov natijalari (xi, yi), i=1,2,...,n bo'yicha qayta tuzilgan y(x) funksional bog'liqlik grafigi regressiya egri chizig'i deyiladi. Tuzilgan regressiya egri chizig'ining eksperimental natijalar bilan mos kelishini tekshirish uchun odatda quyidagi sonli xarakteristikalar kiritiladi: korrelyatsiya koeffitsienti (chiziqli bog'liqlik), korrelyatsiya nisbati va aniqlanish koeffitsienti.

Korrelyatsiya koeffitsienti - bu bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli munosabatlarning o'lchovidir: u o'rtacha hisobda o'zgaruvchilardan biri ikkinchisining chiziqli funktsiyasi sifatida qanchalik yaxshi ifodalanishi mumkinligini ko'rsatadi.

Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

(8)

(9)

bu yerda mos ravishda x, y ning o'rtacha arifmetik qiymati.

Mutlaq qiymatdagi tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti 1 dan oshmaydi. 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, x va y o'rtasidagi chiziqli munosabatlar shunchalik yaqin bo'ladi.

Chiziqli bo'lmagan korrelyatsiya bo'lsa, shartli o'rtacha qiymatlar egri chiziqqa yaqin joylashgan. Bunday holda, talqini o'rganilayotgan bog'liqlik turiga bog'liq bo'lmagan bog'lanish kuchining xarakteristikasi sifatida korrelyatsiya nisbatidan foydalanish tavsiya etiladi.

Korrelyatsiya nisbati quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

(10)

Qayerda numerator esa shartli o'rtachalarning shartsiz o'rtacha atrofida tarqalishini tavsiflaydi.

Har doim. Tenglik = tasodifiy korrelyatsiya qilinmagan qiymatlarga mos keladi; = x va y o'rtasida aniq funksional bog'liqlik mavjud bo'lgandagina. y ning x ga chiziqli bog'liqligi holatida korrelyatsiya nisbati korrelyatsiya koeffitsienti kvadratiga to'g'ri keladi. Qiymat regressiyaning chiziqlidan og'ish ko'rsatkichi sifatida ishlatiladi.

Korrelyatsiya nisbati har qanday shaklda y va x o'rtasidagi korrelyatsiyaning o'lchovidir, ammo empirik ma'lumotlarning maxsus shaklga yaqinlashish darajasi haqida fikr bera olmaydi. Tuzilgan egri chiziq empirik ma'lumotlarni qanchalik to'g'ri aks ettirishini bilish uchun yana bir xususiyat - determinatsiya koeffitsienti kiritiladi.

Determinizm koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Bu yerda Sres = - eksperimental ma'lumotlarning nazariy ma'lumotlardan chetlanishini tavsiflovchi kvadratlarning qoldiq yig'indisi.jami - kvadratlarning umumiy yig'indisi, bu erda o'rtacha qiymat yi.

- ma'lumotlarning tarqalishini tavsiflovchi kvadratlarning regressiya yig'indisi.

Kvadratlarning umumiy yig'indisiga nisbatan kvadratlarning qoldiq yig'indisi qanchalik kichik bo'lsa, r2 aniqlash koeffitsienti shunchalik katta bo'ladi, bu regressiya tenglamasi o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlarni qanchalik yaxshi tushuntirayotganini o'lchaydi. Agar u 1 ga teng bo'lsa, u holda model bilan to'liq korrelyatsiya mavjud, ya'ni. y ning haqiqiy va taxminiy qiymatlari o'rtasida farq yo'q. Aksincha, agar determinatsiya koeffitsienti 0 bo'lsa, regressiya tenglamasi y ning qiymatlarini bashorat qilishda muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

Determinizm koeffitsienti har doim korrelyatsiya nisbatidan oshmaydi. Tenglik qondirilgan taqdirda, tuzilgan empirik formula empirik ma'lumotlarni eng aniq aks ettiradi deb taxmin qilishimiz mumkin.

3. Microsoft Excel dasturi yordamida tuzilgan jadvallar yordamida hisoblash

Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun Microsoft Excel elektron jadval protsessoridan foydalangan holda ma'lumotlarni 2-jadval ko'rinishida joylashtirish maqsadga muvofiqdir.

jadval 2

Keling, 2-jadval qanday tuzilganligini tushuntiramiz.

1-qadam. A1:A25 katakchalariga xi qiymatlarini kiritamiz.

2-qadam. B1:B25 katakchalariga yi qiymatlarini kiritamiz.

Qadam 3. C1 katakchaga = A1^2 formulasini kiriting.

Qadam 4. Ushbu formula C1:C25 katakchalariga ko'chiriladi.

Qadam 5. D1 katakka = A1 * B1 formulasini kiriting.

Qadam 6. Ushbu formula D1:D25 katakchalariga ko'chiriladi.

Qadam 7. F1 katakchasiga = A1^4 formulasini kiriting.

8-qadam. Ushbu formula F1:F25 katakchalariga ko'chiriladi.

9-qadam. G1 katakka = A1^2*B1 formulasini kiriting.

10-qadam. Ushbu formula G1:G25 katakchalariga ko'chiriladi.

11-qadam. H1 katakchasiga = LN(B1) formulasini kiriting.

12-qadam. Ushbu formula H1:H25 katakchalariga ko'chiriladi.

13-qadam. I1 katakchaga = A1*LN(B1) formulasini kiriting.

14-qadam. Ushbu formula I1:I25 katakchalariga ko'chiriladi.

Biz keyingi bosqichlarni avtomatik yig'ish S yordamida bajaramiz.

15-qadam. A26 katakchaga = SUM(A1:A25) formulasini kiriting.

16-qadam. B26 katakchaga = SUM(B1:B25) formulasini kiriting.

17-qadam. C26 katakchaga = SUM(C1:C25) formulasini kiriting.

18-qadam. D26 katakchaga = SUM(D1:D25) formulasini kiriting.

19-qadam. E26 katakchaga = SUM(E1:E25) formulasini kiriting.

20-qadam. F26 katakchaga = SUM(F1:F25) formulasini kiriting.

21-qadam. G26 katakchaga = SUM(G1:G25) formulasini kiriting.

22-qadam. H26 katakchaga = SUM(H1:H25) formulasini kiriting.

23-qadam. I26 katakchaga = SUM(I1:I25) formulasini kiriting.

Funksiyani chiziqli funksiya bilan yaqinlashtiramiz. Koeffitsientlarni aniqlash uchun biz (4) tizimdan foydalanamiz. A26, B26, C26 va D26 yacheykalarda joylashgan 2-jadvalning umumiy summasidan foydalanib, tizimni (4) shaklga yozamiz.

(11)

qaysini hal qilsak, olamiz Va .

Tizim Kramer usuli yordamida hal qilindi. Uning mohiyati quyidagicha. n ta noma’lumli n ta algebraik chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqaylik:

(12)

Tizimning determinanti tizim matritsasining determinantidir:

(13)

Belgilaymiz - j-ustunni ustun bilan almashtirish orqali D sistemaning determinantidan olinadigan determinant.

Shunday qilib, chiziqli yaqinlashuv shaklga ega

Biz tizimni (11) Microsoft Excel yordamida hal qilamiz. Natijalar 3-jadvalda keltirilgan.

3-jadval





	teskari matritsa

3-jadvalda A32:B33 katakchalarida formula yoziladi (=MOBR(A28:B29)).

E32:E33 katakchalarda formula yoziladi (=MULTIPLE(A32:B33),(C28:C29)).

Keyinchalik, funktsiyani kvadratik funktsiya bilan yaqinlashtiramiz . a1, a2 va a3 koeffitsientlarini aniqlash uchun (5) sistemadan foydalanamiz. A26, B26, C26, D26, E26, F26, G26 kataklarda joylashgan 2-jadvalning umumiy summasidan foydalanib, tizimni (5) shaklga yozamiz.

(16)

yechish orqali biz a1=10,663624 olamiz, Va

Shunday qilib, kvadratik yaqinlashuv shaklga ega

Biz tizimni (16) Microsoft Excel yordamida hal qilamiz. Natijalar 4-jadvalda keltirilgan.

4-jadval






	teskari matritsa

4-jadvalda A41:C43 katakchalarida formula yoziladi (=MOBR(A36:C38)).

F41:F43 katakchalarda formula yoziladi (=MULTIPLE(A41:C43),(D36:D38)).

Endi funksiyani eksponensial funksiya bilan yaqinlashtiramiz. Koeffitsientlarni aniqlash uchun va biz qiymatlarning logarifmini olamiz va A26, C26, H26 va I26 kataklarida joylashgan 2-jadvalning umumiy yig'indisidan foydalanib, biz tizimni olamiz.

(18)

(18) tizimni yechib, va ni olamiz.

Potentsiyalashdan keyin biz olamiz.

Shunday qilib, eksponensial yaqinlashish ko'rinishga ega

Biz tizimni (18) Microsoft Excel yordamida hal qilamiz. Natijalar 5-jadvalda keltirilgan.

5-jadval





	teskari matritsa

A50:B51 katakchalarida formula yoziladi (=MOBR(A46:B47)).

E49:E50 katakchalarida formula yoziladi (=MULTIPLE(A50:B51),(C46:C47)).

E51 katakka =EXP(E49) formulasi yoziladi.

Keling, formulalar yordamida o'rtacha arifmetikni hisoblaylik:

Microsoft Excel dasturi yordamida hisob-kitob natijalari 6-jadvalda keltirilgan.

6-jadval

B54 katakchada = A26/25 formulasi yoziladi.

B55 katakka formula yoziladi = B26/25

7-jadval

1-qadam. J1 katakchaga = (A1-$B$54)*(B1-$B$55) formulani kiriting.

2-qadam. Ushbu formula J2:J25 katakchalariga ko'chiriladi.

3-qadam. K1 katakchaga = (A1-$B$54)^2 formulasini kiriting.

4-qadam. Bu formula k2:K25 yacheykalarga ko'chiriladi.

5-qadam. L1 katakchaga = (B1-$B$55)^2 formulasini kiriting.

6-qadam. Ushbu formula L2:L25 katakchalariga ko'chiriladi.

7-qadam. M1 katakka = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2 formulasini kiriting.

8-qadam. Ushbu formula M2:M25 katakchalariga ko'chiriladi.

9-qadam. N1 katakchaga = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2 formulasini kiriting.

10-qadam. Ushbu formula N2:N25 katakchalarga ko'chiriladi.

11-qadam. O1 katakka = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2 formulasini kiriting.

12-qadam. Ushbu formula O2:O25 katakchalariga ko'chiriladi.

Biz keyingi bosqichlarni avtomatik yig'ish S yordamida bajaramiz.

13-qadam. J26 katakchaga = SUM(J1:J25) formulasini kiriting.

14-qadam. K26 katakchaga = SUM(K1:K25) formulasini kiriting.

15-qadam. L26 katakchaga = CUM(L1:L25) formulasini kiriting.

Qadam 16. M26 katakchaga = SUM(M1:M25) formulasini kiriting.

17-qadam. N26 katakchaga = SUM(N1:N25) formulasini kiriting.

18-qadam. O26 katakchaga = SUM(O1:O25) formulasini kiriting.

Endi (8) formuladan foydalanib korrelyatsiya koeffitsientini (faqat chiziqli yaqinlashish uchun) va determinatsiya koeffitsientini (10) formuladan foydalanib hisoblaymiz. Microsoft Excel dasturi yordamida hisob-kitoblar natijalari 8-jadvalda keltirilgan.

8-jadval


	Korrelyatsiya koeffitsienti
	Determinizm koeffitsienti (chiziqli yaqinlashish)

	Determinizm koeffitsienti (kvadrat yaqinlashuv)

	Determinizm koeffitsienti (eksponensial yaqinlashish)

E57 katakchada formula =J26/(K26*L26)^(1/2) yoziladi.

E59 katakchada = 1-M26/L26 formulasi yoziladi.

E61 katakchada = 1-N26/L26 formulasi yoziladi.

E63 katakchada = 1-O26/L26 formulasi yoziladi.

Hisoblash natijalarini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, kvadratik yaqinlashuv eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi tavsiflaydi.

Algoritm diagrammasi

Guruch. 1. Hisoblash dasturi uchun algoritm diagrammasi.

5. MathCad dasturida hisoblash

Chiziqli regressiya

· chiziq (x, y) - ikkita element vektori (b, a) chiziqli regressiya koeffitsientlari b+ax;

· x - real argument ma'lumotlarining vektori;

· y - bir xil o'lchamdagi haqiqiy ma'lumotlar qiymatlari vektori.

2-rasm.

Ko‘p nomli regressiya deganda (x1, y1) ma’lumotlarni k-darajali ko‘phad bilan yaqinlashtirish tushuniladi.K=i uchun ko‘phad to‘g‘ri chiziq, k=2 uchun – parabola, k=3 uchun – kub parabola va hokazo. Qoida tariqasida amalda k<5.

· regress (x,y,k) - ma'lumotlarning polinom regressiyasini qurish uchun koeffitsientlar vektori;

· interp (s,x,y,t) - ko'p nomli regressiya natijasi;

· s=regress(x,y,k);

· x - real argument ma'lumotlarining vektori, uning elementlari o'sish tartibida joylashtirilgan;

· y - bir xil o'lchamdagi haqiqiy ma'lumotlar qiymatlari vektori;

· k - regressiya polinomining darajasi (musbat butun son);

· t - regressiya ko'phadining argumenti qiymati.

3-rasm

Ko'rib chiqilganlardan tashqari, uch parametrli regressiyaning yana bir nechta turlari Mathcad-ga o'rnatilgan; ularni amalga oshirish yuqoridagi regressiya variantlaridan biroz farq qiladi, chunki ular uchun ma'lumotlar massividan tashqari, ba'zi bir boshlang'ich qiymatlarni ko'rsatish kerak. a, b, c koeffitsientlari. Ma'lumotlar to'plamini qanday bog'liqlik tavsiflashi haqida yaxshi tasavvurga ega bo'lsangiz, tegishli regressiya turidan foydalaning. Agar regressiya turi ma'lumotlar ketma-ketligini yaxshi aks ettirmasa, natija ko'pincha qoniqarsiz va hatto boshlang'ich qiymatlarni tanlashga qarab juda farq qiladi. Funktsiyalarning har biri a, b, c aniqlangan parametrlarning vektorini hosil qiladi.

LINEST funksiyasi yordamida olingan natijalar

LINEST funksiyasining maqsadini ko'rib chiqamiz.

Ushbu funktsiya berilgan ma'lumotlarga eng mos keladigan to'g'ri chiziqni hisoblash uchun eng kichik kvadratlardan foydalanadi.

Funksiya olingan qatorni tavsiflovchi massivni qaytaradi. To'g'ri chiziq uchun tenglama:

M1x1 + m2x2 + ... + b yoki y = mx + b,

Jadval algoritmi microsoft dasturi

bu yerda qaram qiymat y mustaqil qiymat x funksiyasi. m ning qiymatlari har bir mustaqil o'zgaruvchiga mos keladigan koeffitsientlar x, b esa doimiydir. E'tibor bering, y, x va m vektorlar bo'lishi mumkin.

Natijalarni olish uchun siz 5 qator va 2 ustunni egallaydigan jadval formulasini yaratishingiz kerak. Ushbu intervalni ishchi varaqning istalgan joyida joylashtirish mumkin. Ushbu intervalda siz LINEST funksiyasini kiritishingiz kerak.

Natijada, A65: B69 oralig'idagi barcha katakchalarni to'ldirish kerak (9-jadvalda ko'rsatilganidek).

9-jadval.

Keling, 9-jadvalda joylashgan ba'zi miqdorlarning maqsadini tushuntiramiz.

A65 va B65 kataklarida joylashgan qiymatlar mos ravishda qiyalik va siljishni tavsiflaydi.- aniqlash koeffitsienti.- F-kuzatilgan qiymat.- erkinlik darajalari soni.-kvadratlarning regressiya yigʻindisi.-kvadratlarning qoldiq yigʻindisi.

Natijalarni grafiklar shaklida taqdim etish

Guruch. 4. Chiziqli yaqinlashish grafigi

Guruch. 5. Kvadrat yaqinlashuv grafigi

Guruch. 6. Eksponensial moslama grafigi

xulosalar

Keling, olingan ma'lumotlarning natijalariga ko'ra xulosalar chiqaramiz.

Hisoblash natijalarini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, kvadratik yaqinlik tajriba ma'lumotlarini eng yaxshi tavsiflaydi, chunki uning uchun trend chizig'i ushbu sohadagi funktsiyaning harakatini eng aniq aks ettiradi.

LINEST funksiyasi yordamida olingan natijalarni solishtirsak, ular yuqorida bajarilgan hisob-kitoblarga to‘liq mos kelishini ko‘ramiz. Bu hisob-kitoblarning to'g'ri ekanligini ko'rsatadi.

MathCad dasturi yordamida olingan natijalar yuqorida keltirilgan qiymatlarga to'liq mos keladi. Bu hisob-kitoblarning to'g'riligini ko'rsatadi.

Bibliografiya

1 B.P. Demidovich, I.A. Maroon. Hisoblash matematikasi asoslari. M: Fizika-matematika adabiyoti davlat nashriyoti.

2 Informatika: Darslik, nashr. prof. N.V. Makarova. M: Moliya va statistika, 2007 yil.

3 Kompyuter fanlari: Kompyuter texnologiyalari bo'yicha seminar, ed. prof. N.V. Makarova. M: Moliya va statistika, 2010 yil.

4 V.B. Komyagin. Visual Basic yordamida Excelda dasturlash. M: Radio va aloqa, 2007 yil.

5 N. Nikol, R. Albrext. Excel. Elektron jadvallar. M: Ed. ECOM, 2008 yil.

6 Informatika bo'yicha kurs ishlarini bajarish bo'yicha ko'rsatmalar (barcha mutaxassisliklarning sirtqi talabalari uchun), ed. Zhurova G. N., Sankt-Peterburg davlat gidrologiya instituti (TU), 2011 yil.

Bu fan va amaliy faoliyatning turli sohalarida eng keng qo'llanilishini topadi. Bu fizika, kimyo, biologiya, iqtisodiyot, sotsiologiya, psixologiya va boshqalar bo'lishi mumkin. Taqdirning irodasiga ko'ra, men tez-tez iqtisod bilan shug'ullanishim kerak va shuning uchun bugun men siz uchun ajoyib mamlakatga sayohat uyushtiraman. Ekonometriya=) ...Qanday qilib buni xohlamaysiz?! U erda juda yaxshi - siz faqat qaror qabul qilishingiz kerak! ...Ammo siz, ehtimol, muammolarni hal qilishni o'rganishni xohlaysiz eng kichik kvadratlar usuli. Va ayniqsa, tirishqoq o'quvchilar ularni nafaqat aniq, balki JUDA TEZ echishni ham o'rganadilar ;-) Lekin birinchi navbatda muammoning umumiy bayoni+ qo'shimcha misol:

Keling, miqdoriy ifodaga ega bo'lgan ma'lum bir fan sohasidagi ko'rsatkichlarni o'rganamiz. Shu bilan birga, indikatorning ko'rsatkichga bog'liqligiga ishonish uchun barcha asoslar mavjud. Bu taxmin ilmiy gipoteza bo'lishi yoki asosiy sog'lom fikrga asoslangan bo'lishi mumkin. Keling, ilm-fanni bir chetga surib, ko'proq ishtahani ochadigan joylarni, xususan, oziq-ovqat do'konlarini o'rganaylik. Quyidagi bilan belgilaymiz:

– oziq-ovqat do‘konining chakana savdo maydoni, kv.m.,
- oziq-ovqat do'konining yillik aylanmasi, million rubl.

Do'kon maydoni qanchalik katta bo'lsa, aksariyat hollarda uning aylanmasi shunchalik katta bo'lishi aniq.

Aytaylik, daf bilan kuzatishlar/tajribalar/hisob-kitoblar/raqslarni o'tkazganimizdan so'ng bizda raqamli ma'lumotlar mavjud:

Oziq-ovqat do'konlari bilan, menimcha, hamma narsa aniq: - bu birinchi do'konning maydoni, - uning yillik aylanmasi, - 2-do'konning maydoni, - yillik aylanmasi va boshqalar. Aytgancha, tasniflangan materiallarga ega bo'lish shart emas - savdo aylanmasini etarlicha aniq baholashni matematik statistika. Biroq, chalg'itmaylik, tijoriy josuslik kursi allaqachon to'langan =)

Jadvalli ma'lumotlar nuqtalar shaklida ham yozilishi va tanish shaklda tasvirlanishi mumkin Dekart tizimi .

Keling, muhim savolga javob beraylik: Sifatli o'rganish uchun qancha ball kerak?

Qanchalik katta bo'lsa, shuncha yaxshi. Minimal qabul qilinadigan to'plam 5-6 balldan iborat. Bundan tashqari, ma'lumotlar miqdori kichik bo'lsa, "anomal" natijalar namunaga kiritilishi mumkin emas. Shunday qilib, masalan, kichik elita do'koni "o'z hamkasblari" dan ko'ra ko'proq buyurtmalarni olishi mumkin va shu bilan siz topishingiz kerak bo'lgan umumiy naqshni buzadi!

Oddiy qilib aytganda, biz funktsiyani tanlashimiz kerak, jadval nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tadi . Bu funksiya deyiladi yaqinlashtirish (taxminlash - yaqinlashish) yoki nazariy funktsiya . Umuman olganda, bu erda darhol aniq "davogar" paydo bo'ladi - grafigi HAMMA nuqtalardan o'tadigan yuqori darajali polinom. Ammo bu variant murakkab va ko'pincha oddiygina noto'g'ri. (chunki grafik har doim "aylanib turadi" va asosiy tendentsiyani yomon aks ettiradi).

Shunday qilib, qidirilayotgan funktsiya juda sodda bo'lishi va shu bilan birga bog'liqlikni etarli darajada aks ettirishi kerak. Siz taxmin qilganingizdek, bunday funktsiyalarni topish usullaridan biri deyiladi eng kichik kvadratlar usuli. Birinchidan, umumiy ma'noda uning mohiyatini ko'rib chiqaylik. Tajriba maʼlumotlariga taqriban baʼzi funksiyalarga ruxsat bering:

Ushbu yaqinlashishning to'g'riligini qanday baholash mumkin? Keling, eksperimental va funktsional qiymatlar orasidagi farqlarni (burilishlarni) ham hisoblaylik (Biz rasmni o'rganamiz). Aqlga keladigan birinchi fikr bu summaning qanchalik kattaligini taxmin qilishdir, ammo muammo shundaki, farqlar salbiy bo'lishi mumkin. (Masalan, ) va bunday yig'ish natijasida og'ishlar bir-birini bekor qiladi. Shuning uchun, yaqinlashishning to'g'riligini baholash uchun yig'indini olishni iltimos qiladi. modullar og'ishlar:

yoki qulab tushdi: (agar kimdir bilmasa: - bu yig'indi belgisi va - 1 dan ga gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qiluvchi yordamchi "hisoblagich" o'zgaruvchisi).

Turli funktsiyalarga ega bo'lgan eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirib, biz turli qiymatlarga ega bo'lamiz va aniqki, bu summa kichikroq bo'lsa, bu funktsiya aniqroq bo'ladi.

Bunday usul mavjud va u deyiladi eng kam modul usuli. Biroq, amalda u ancha keng tarqalgan eng kichik kvadrat usuli, bunda mumkin bo'lgan salbiy qiymatlar modul tomonidan emas, balki og'ishlarni kvadratlash orqali yo'q qilinadi:

, shundan so'ng harakatlar kvadrat og'ishlar yig'indisi bo'ladigan funktsiyani tanlashga qaratilgan imkon qadar kichik edi. Aslida, bu usulning nomi qaerdan keladi.

Va endi biz yana bir muhim nuqtaga qaytamiz: yuqorida aytib o'tilganidek, tanlangan funktsiya juda oddiy bo'lishi kerak - lekin bunday funktsiyalar ham ko'p: chiziqli , giperbolik, eksponentsial, logarifmik, kvadratik va hokazo. Va, albatta, bu erda men darhol "faoliyat maydonini qisqartirishni" xohlayman. Tadqiqot uchun qaysi funktsiyalar sinfini tanlashim kerak? Oddiy, ammo samarali texnika:

- Eng oson yo'li - nuqtalarni tasvirlash chizma ustida va ularning joylashuvini tahlil qiling. Agar ular tekis chiziqda yugurishga moyil bo'lsa, unda siz izlashingiz kerak chiziq tenglamasi optimal qiymatlar bilan va . Boshqacha qilib aytganda, vazifa kvadrat og'ishlar yig'indisi eng kichik bo'lishi uchun BUNDAY koeffitsientlarni topishdir.

Agar nuqtalar, masalan, bo'ylab joylashgan bo'lsa giperbola, u holda chiziqli funktsiya yomon yaqinlik berishi aniq. Bunday holda, biz giperbola tenglamasi uchun eng "qulay" koeffitsientlarni qidiramiz - kvadratlarning minimal yig'indisini beradiganlar .

Endi ikkala holatda ham biz gaplashayotganimizga e'tibor bering ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari, kimning dalillari qaramlik parametrlarini qidirdi:

Va aslida biz standart muammoni hal qilishimiz kerak - toping ikkita o'zgaruvchining minimal funktsiyasi.

Keling, misolimizni eslaylik: deylik, "do'kon" punktlari to'g'ri chiziqda joylashgan va bunga ishonish uchun barcha asoslar mavjud. chiziqli bog'liqlik chakana savdo maydonidan aylanma. SHUNDAY “a” va “be” koeffitsientlarini topamizki, kvadrat og'ishlar yig'indisi eng kichiki edi. Hammasi odatdagidek - birinchi navbatda 1-tartibli qisman hosilalar. Ga binoan chiziqlilik qoidasi Siz to'g'ridan-to'g'ri yig'indi belgisi ostida farqlashingiz mumkin:

Agar siz ushbu ma'lumotdan insho yoki kurs ishida foydalanmoqchi bo'lsangiz, men manbalar ro'yxatidagi havola uchun juda minnatdorman; bunday batafsil hisob-kitoblarni bir necha joylarda topasiz:

Keling, standart tizimni yarataylik:

Biz har bir tenglamani "ikki" ga kamaytiramiz va qo'shimcha ravishda yig'indilarni "parchalaymiz":

Eslatma : "a" va "be" nima uchun yig'indi belgisidan tashqarida olib tashlanishi mumkinligini mustaqil ravishda tahlil qiling. Aytgancha, rasmiy ravishda bu summa bilan amalga oshirilishi mumkin

Keling, tizimni "amaliy" shaklda qayta yozamiz:

shundan so'ng bizning muammomizni hal qilish algoritmi paydo bo'la boshlaydi:

Nuqtalarning koordinatalarini bilamizmi? Bilamiz. Miqdor topa olamizmi? Osonlik bilan. Keling, eng oddiyini qilaylik ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi("a" va "bo'l"). Biz tizimni hal qilamiz, masalan, Kramer usuli, buning natijasida biz statsionar nuqtani olamiz. Tekshirish ekstremum uchun etarli shart, biz ushbu nuqtada funktsiyani tekshirishimiz mumkin aniq yetib boradi eng kam. Tekshiruv qo'shimcha hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi va shuning uchun biz uni sahna ortida qoldiramiz (agar kerak bo'lsa, etishmayotgan ramkani ko'rish mumkin). Yakuniy xulosa chiqaramiz:

Funktsiya eng yaxshi yo'l (hech bo'lmaganda boshqa har qanday chiziqli funktsiyaga nisbatan) tajriba nuqtalarini yaqinlashtiradi . Taxminan aytganda, uning grafigi bu nuqtalarga imkon qadar yaqin o'tadi. An'anaga ko'ra ekonometriya olingan yaqinlashuvchi funksiya ham deyiladi juft chiziqli regressiya tenglamasi .

Ko'rib chiqilayotgan muammo katta amaliy ahamiyatga ega. Bizning misolimizda, Eq. qanday savdo aylanmasini bashorat qilish imkonini beradi ("Igrek") do'kon savdo maydonining u yoki bu qiymatiga ega bo'ladi ("x" ning u yoki bu ma'nosi). Ha, natijada olingan prognoz faqat prognoz bo'ladi, lekin ko'p hollarda u juda aniq bo'lib chiqadi.

Men "haqiqiy" raqamlar bilan bitta muammoni tahlil qilaman, chunki unda hech qanday qiyinchilik yo'q - barcha hisob-kitoblar 7-8-sinf o'quv dasturi darajasida. 95 foiz hollarda sizdan faqat chiziqli funktsiyani topishingiz so'raladi, ammo maqolaning oxirida men optimal giperbola, eksponensial va boshqa ba'zi funktsiyalarning tenglamalarini topish qiyin emasligini ko'rsataman.

Aslida, va'da qilingan sovg'alarni tarqatish qoladi - siz bunday misollarni nafaqat aniq, balki tezda hal qilishni o'rganishingiz mumkin. Biz standartni diqqat bilan o'rganamiz:

Vazifa

Ikki ko'rsatkich o'rtasidagi munosabatlarni o'rganish natijasida quyidagi raqamlar juftligi olindi:

Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, empirikga eng yaqin keladigan chiziqli funksiyani toping (tajribali) ma'lumotlar. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida eksperimental nuqtalar va yaqinlashuvchi funktsiya grafigini qurish uchun chizma tuzing. . Empirik va nazariy qiymatlar orasidagi kvadratik og‘ishlar yig‘indisini toping. Bu xususiyat yaxshiroq bo'ladimi yoki yo'qligini bilib oling (eng kichik kvadratlar usuli nuqtai nazaridan) eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirish.

E'tibor bering, "x" ma'nolari tabiiydir va bu xarakterli ma'noli ma'noga ega, men bu haqda biroz keyinroq gaplashaman; lekin ular, albatta, kasrli ham bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, ma'lum bir vazifaning mazmuniga qarab, "X" va "o'yin" qiymatlari to'liq yoki qisman salbiy bo'lishi mumkin. Xo'sh, bizga "yuzsiz" vazifa berildi va biz uni boshlaymiz yechim:

Tizim yechimi sifatida optimal funksiya koeffitsientlarini topamiz:

Keyinchalik ixchamroq ro'yxatga olish uchun "hisoblagich" o'zgaruvchisini o'tkazib yuborish mumkin, chunki yig'ish 1 dan 1 gacha amalga oshirilganligi allaqachon aniq.

Kerakli miqdorlarni jadval shaklida hisoblash qulayroqdir:

Hisob-kitoblar mikrokalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin, ammo Exceldan foydalanish ancha yaxshi - ham tezroq, ham xatosiz; qisqa videoni tomosha qiling:

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz tizimi:

Bu erda siz ikkinchi tenglamani 3 va ga ko'paytirishingiz mumkin 1-tenglamaning haddan 2-sonini ayirish. Ammo bu omad - amalda tizimlar ko'pincha sovg'a emas va bunday hollarda u tejaydi Kramer usuli:
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Keling, tekshiramiz. Siz xohlamasligingizni tushunaman, lekin nima uchun xatolarni o'tkazib yubormaslik kerak? Topilgan yechimni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiramiz:

Tegishli tenglamalarning o'ng tomonlari olinadi, ya'ni tizim to'g'ri echilgan.

Shunday qilib, kerakli yaqinlashuvchi funktsiya: – dan barcha chiziqli funktsiyalar Aynan u eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi taxmin qiladi.

Undan farqli o'laroq Streyt do'kon aylanmasining uning maydoniga bog'liqligi, topilgan bog'liqligi teskari ("qancha ko'p bo'lsa, shuncha kam" tamoyili), va bu haqiqat darhol salbiy tomonidan ochib beriladi qiyalik. Funktsiya ma'lum bir ko'rsatkichning 1 birlikka o'sishi bilan bog'liq ko'rsatkichning qiymati kamayishini aytadi o'rtacha 0,65 birlikka. Ular aytganidek, grechkaning narxi qancha yuqori bo'lsa, shuncha kam sotiladi.

Taxminlovchi funksiyaning grafigini tuzish uchun uning ikkita qiymatini topamiz:

va chizmani bajaring:

Tuzilgan to'g'ri chiziq deyiladi trend chizig'i (ya'ni, chiziqli trend chizig'i, ya'ni umumiy holatda trend to'g'ri chiziq bo'lishi shart emas). "Trendda bo'lish" iborasi hammaga tanish va menimcha, bu atama qo'shimcha izohlarga muhtoj emas.

Keling, kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik empirik va nazariy qadriyatlar o'rtasida. Geometrik jihatdan, bu "malina" segmentlarining uzunliklari kvadratlarining yig'indisi (ikkitasi shunchalik kichikki, ular hatto ko'rinmaydi).

Jadvalda hisob-kitoblarni umumlashtiramiz:

Shunga qaramay, ular qo'lda bajarilishi mumkin; har holda, men 1-bandga misol keltiraman:

lekin buni allaqachon ma'lum bo'lgan usulda qilish ancha samarali:

Yana bir bor takrorlaymiz: Olingan natijaning ma'nosi nima? Kimdan barcha chiziqli funktsiyalar y funktsiyasi ko'rsatkich eng kichik, ya'ni uning oilasida bu eng yaxshi yaqinlikdir. Va bu erda, aytmoqchi, muammoning yakuniy savoli tasodifiy emas: agar taklif qilingan eksponensial funktsiya nima bo'lsa? eksperimental nuqtalarni yaqinlashtirish yaxshiroqmi?

Keling, kvadrat og'ishlarning tegishli yig'indisini topamiz - farqlash uchun men ularni "epsilon" harfi bilan belgilayman. Texnika mutlaqo bir xil:

Va yana, har qanday holatda, 1-band uchun hisob-kitoblar:

Excelda biz standart funksiyadan foydalanamiz EXP (sintaksisni Excel Yordamida topish mumkin).

Xulosa: , ya'ni eksponensial funktsiya to'g'ri chiziqdan ko'ra yomonroq tajriba nuqtalariga yaqinlashadi. .

Ammo bu erda "yomonroq" ekanligini ta'kidlash kerak hali degani emas, nima bo'ldi. Endi men bu eksponensial funktsiyaning grafigini tuzdim - va u ham nuqtalarga yaqin o'tadi - shunchalik ko'pki, analitik tadqiqotlarsiz qaysi funktsiya aniqroq ekanligini aytish qiyin.

Bu yechimni yakunlaydi va men argumentning tabiiy qadriyatlari haqidagi savolga qaytaman. Turli tadqiqotlarda, odatda, iqtisodiy yoki sotsiologik, tabiiy "X"lar oylar, yillar yoki boshqa teng vaqt oraliqlarini raqamlash uchun ishlatiladi. Masalan, quyidagi muammoni ko'rib chiqing.

Men matematik va dasturchiman. Karyeramdagi eng katta sakrash men aytishni o'rganganimda bo'ldi: "Men hech narsani tushunmayapman!" Endi ilm nuroniysiga u menga ma’ruza o‘qiyotganini aytishdan uyalmayman, u, nuroniy menga nima deyayotganini tushunmayman. Va bu juda qiyin. Ha, johilligingizni tan olish qiyin va uyatli. Kim biror narsaning asoslarini bilmasligini tan olishni yaxshi ko'radi? Kasbim tufayli men juda ko'p taqdimot va ma'ruzalarda qatnashishim kerak, bu erda, tan olaman, aksariyat hollarda men uxlashni xohlayman, chunki men hech narsani tushunmayman. Ammo men tushunmayapman, chunki fandagi hozirgi vaziyatning katta muammosi matematikada. Bu barcha tinglovchilar matematikaning barcha sohalari bilan tanish deb taxmin qiladi (bu bema'nilik). Siz lotin nima ekanligini bilmasligingizni tan olish (u nima ekanligini biroz keyinroq gaplashamiz) uyatdir.

Lekin ko‘paytirish nimaligini bilmayman deyishga o‘rgandim. Ha, Lie algebrasi ustidan subalgebra nima ekanligini bilmayman. Ha, men nima uchun kvadrat tenglamalar hayotda kerakligini bilmayman. Aytgancha, agar siz bilganingizga amin bo'lsangiz, unda gaplashadigan narsamiz bor! Matematika bir qator fokuslardir. Matematiklar jamoatchilikni chalg'itishga va qo'rqitishga harakat qiladilar; chalkashlik bo'lmagan joyda obro' ham, hokimiyat ham bo'lmaydi. Ha, imkon qadar mavhum tilda gapirish obro'li, bu mutlaqo bema'nilik.

Siz hosila nima ekanligini bilasizmi? Katta ehtimol bilan siz menga farq nisbati chegarasi haqida gapirib berasiz. Sankt-Peterburg davlat universitetining matematika va mexanika fakultetining birinchi yilida Viktor Petrovich Xavin menga aytdi. belgilangan hosilaviy funksiyaning Teylor qatorining birinchi hadining nuqtadagi koeffitsienti sifatida (bu Teylor qatorini hosilalarsiz aniqlash uchun alohida gimnastika edi). Men bu ta'rifdan uzoq vaqt kuldim, oxiri nima haqida ekanligini tushunmaguncha. Hosila biz farqlayotgan funktsiyaning y=x, y=x^2, y=x^3 funksiyalariga qanchalik o‘xshashligini ko‘rsatadigan oddiy o‘lchovdan boshqa narsa emas.

Endi men talabalarga ma'ruza o'qish sharafiga egaman qo'rqib matematika. Agar siz matematikadan qo'rqsangiz, biz bir xil yo'ldamiz. Agar siz biron bir matnni o'qishga harakat qilsangiz va u sizga juda murakkab bo'lib tuyulsa, bilingki, u yomon yozilgan. Men aniqlikni yo'qotmasdan "barmoqlarda" muhokama qilib bo'lmaydigan matematikaning biron bir sohasi yo'qligini ta'kidlayman.

Yaqin kelajak uchun topshiriq: Men o'quvchilarimga chiziqli kvadrat regulyator nima ekanligini tushunishni topshirdim. Uyalmang, hayotingizning uch daqiqasini o'tkazing va havolaga rioya qiling. Agar siz hech narsani tushunmasangiz, biz bir xil yo'ldamiz. Men (professional matematik-dasturchi) ham hech narsani tushunmadim. Va sizni ishontirib aytamanki, buni "barmoqlaringiz bilan" tushunishingiz mumkin. Ayni paytda men bu nima ekanligini bilmayman, lekin sizni ishontirib aytamanki, biz buni aniqlay olamiz.

Xullas, shogirdlarim dahshat ichida oldimga yugurib kelib, chiziqli-kvadrat regulyator hayotingizda hech qachon o'zlashtira olmaydigan dahshatli narsa, deganlaridan keyin men ularga o'qimoqchi bo'lgan birinchi ma'ruza: eng kichik kvadratlar usullari. Chiziqli tenglamalarni yecha olasizmi? Agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, ehtimol yo'q.

Shunday qilib, ikkita nuqta (x0, y0), (x1, y1), masalan, (1,1) va (3,2) berilgan bo'lsa, vazifa bu ikki nuqtadan o'tadigan chiziq tenglamasini topishdir:

illyustratsiya

Ushbu chiziq quyidagi tenglamaga ega bo'lishi kerak:

Bu erda alfa va beta bizga noma'lum, ammo bu chiziqning ikkita nuqtasi ma'lum:

Bu tenglamani matritsa shaklida yozishimiz mumkin:

Bu erda biz lirik digressiya qilishimiz kerak: matritsa nima? Matritsa ikki o'lchovli massivdan boshqa narsa emas. Bu ma'lumotlarni saqlash usuli, unga boshqa ma'nolar qo'shilmasligi kerak. Bu ma'lum bir matritsani qanday talqin qilishimizga bog'liq. Vaqti-vaqti bilan men uni chiziqli xaritalash, vaqti-vaqti bilan kvadratik shakl va ba'zan oddiy vektorlar to'plami sifatida izohlayman. Bularning barchasi kontekstda aniqlashtiriladi.

Keling, aniq matritsalarni ularning ramziy tasviri bilan almashtiramiz:

Keyin (alfa, beta) osongina topish mumkin:

Oldingi ma'lumotlarimiz uchun aniqroq:

Bu (1,1) va (3,2) nuqtalardan o'tuvchi chiziqning quyidagi tenglamasiga olib keladi:

OK, bu erda hamma narsa aniq. O‘tgan chiziq tenglamasini topamiz uch nuqtalar: (x0,y0), (x1,y1) va (x2,y2):

Oh-oh-oh, lekin bizda ikkita noma'lum uchun uchta tenglama bor! Oddiy matematik hech qanday yechim yo'qligini aytadi. Dasturchi nima deydi? Va u birinchi navbatda oldingi tenglamalar tizimini quyidagi shaklda qayta yozadi:

Bizning holatda, i, j, b vektorlari uch o'lchovli, shuning uchun (umumiy holatda) bu tizimning echimi yo'q. Har qanday vektor (alfa\*i + beta\*j) vektorlar (i, j) bilan qoplangan tekislikda yotadi. Agar b bu tekislikka tegishli bo'lmasa, u holda yechim yo'q (tenglamada tenglikka erishib bo'lmaydi). Nima qilish kerak? Keling, murosa izlaylik. bilan belgilaymiz e (alfa, beta) aynan qancha vaqtgacha tenglikka erisha olmadik:

Va biz ushbu xatoni kamaytirishga harakat qilamiz:

Nega kvadrat?

Biz faqat normaning minimalini emas, balki normaning kvadratining minimalini qidiramiz. Nega? Minimal nuqtaning o'zi bir-biriga to'g'ri keladi va kvadrat silliq funktsiyani beradi (argumentlarning kvadratik funktsiyasi (alfa, beta)), oddiygina uzunlik esa minimal nuqtada farqlanmaydigan konus shaklidagi funktsiyani beradi. Brr. Kvadrat qulayroq.

Shubhasiz, vektor bo'lganda xato minimallashtiriladi e vektorlar bilan qoplangan tekislikka ortogonal i Va j.

Tasvir

Boshqacha qilib aytganda: biz shunday to'g'ri chiziq qidiramizki, barcha nuqtalardan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofalarning kvadrat uzunliklarining yig'indisi minimal bo'ladi:

YANGILANISH: Bu erda muammo bor, to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani ortogonal proektsiya bilan emas, balki vertikal ravishda o'lchash kerak. Bu sharhlovchi haq.

Tasvir

Mutlaqo boshqa so'zlar bilan (ehtiyotkorlik bilan, yomon rasmiylashtirilgan, ammo aniq bo'lishi kerak): biz barcha juft nuqtalar orasidagi barcha mumkin bo'lgan chiziqlarni olamiz va barchasi orasidagi o'rtacha chiziqni qidiramiz:

Tasvir

Yana bir tushuntirish oddiy: biz barcha ma'lumotlar nuqtalari (bu erda uchtasi bor) va biz izlayotgan to'g'ri chiziq orasiga buloqni biriktiramiz va muvozanat holatining to'g'ri chizig'i aynan biz izlayotgan narsadir.

Minimal kvadrat shakl

Shunday qilib, bu vektor berilgan b va matritsaning ustun vektorlari bilan qoplangan tekislik A(bu holda (x0,x1,x2) va (1,1,1)) vektorni qidiramiz. e uzunligi minimal kvadrat bilan. Shubhasiz, minimal faqat vektor uchun erishish mumkin e, matritsaning ustun vektorlari bilan qoplangan tekislikka ortogonal A:

Boshqacha qilib aytganda, biz x=(alfa, beta) vektorini qidiramiz, shundayki:

Eslatib o‘taman, bu vektor x=(alfa, beta) kvadratik funktsiyaning minimumi ||e(alfa, beta)||^2:

Bu erda matritsani kvadratik shakl sifatida ham talqin qilish mumkinligini eslash foydali bo'ladi, masalan, identifikatsiya matritsasi ((1,0),(0,1)) x^2 + y^ funksiyasi sifatida talqin qilinishi mumkin. 2:

kvadratik shakl

Bu gimnastikaning barchasi chiziqli regressiya nomi bilan ma'lum.

Dirixle chegara sharti bilan Laplas tenglamasi

Endi eng oddiy haqiqiy vazifa: ma'lum bir uchburchak sirt mavjud, uni tekislash kerak. Masalan, mening yuzim modelini yuklaylik:

Asl majburiyat mavjud. Tashqi bog'liqlikni minimallashtirish uchun men Habré'da allaqachon dasturiy ta'minot rendererimning kodini oldim. Chiziqli tizimni hal qilish uchun men OpenNL-dan foydalanaman, bu juda zo'r hal qiluvchi, ammo uni o'rnatish juda qiyin: loyihangiz bilan papkaga ikkita faylni (.h+.c) nusxalashingiz kerak. Barcha tekislash quyidagi kod bilan amalga oshiriladi:

Uchun (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = yuzlar[i]; uchun (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y va Z koordinatalarini ajratish mumkin, men ularni alohida tekislayman. Ya'ni, men uchta chiziqli tenglamalar tizimini echaman, ularning har biri o'zgaruvchilar soni mening modelimdagi tepalar soniga teng. A matritsaning birinchi n qatori har bir satrda faqat bitta 1 ga ega, b vektorining birinchi n qatori esa asl model koordinatalariga ega. Ya'ni, men cho'qqining yangi pozitsiyasi va cho'qqining eski pozitsiyasi o'rtasida kamon bog'layman - yangilari eskilaridan juda uzoqqa ketmasligi kerak.

A matritsasining barcha keyingi qatorlari (faces.size()*3 = toʻrdagi barcha uchburchaklar qirralari soni) bitta takrorlanish 1 va bitta takrorlanish -1 boʻlib, b vektor qarama-qarshi nol komponentga ega. Bu bizning uchburchak to'rimizning har bir chetiga bahor qo'yganimni anglatadi: barcha qirralarning boshlang'ich va tugash nuqtasi bilan bir xil cho'qqilarni olishga harakat qiladi.

Yana bir bor: barcha cho'qqilar o'zgaruvchidir va ular o'zlarining dastlabki holatidan uzoqlasha olmaydilar, lekin ayni paytda ular bir-biriga o'xshash bo'lishga harakat qilishadi.

Mana natija:

Har bir narsa yaxshi bo'lardi, model haqiqatan ham tekislangan, lekin u asl chetidan uzoqlashdi. Keling, kodni biroz o'zgartiraylik:

Uchun (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

Bizning A matritsamizda chekkada joylashgan cho'qqilar uchun men v_i = verts[i][d] toifasidan qatorni emas, balki 1000*v_i = 1000*verts[i][d] ni qo'shaman. U nimani o'zgartiradi? Va bu xatoning kvadratik shaklini o'zgartiradi. Endi chekkada tepadan bitta og'ish avvalgidek bir birlik emas, balki 1000 * 1000 birlik turadi. Ya'ni, biz o'ta cho'qqilarga kuchliroq buloqni osib qo'ydik, eritma boshqalarni kuchliroq cho'zishni afzal ko'radi. Mana natija:

Keling, cho'qqilar orasidagi bahor kuchini ikki baravar oshiraylik:
nlKoeffitsient(yuz[ j ], 2); nlKoeffitsient(yuz[(j+1)%3], -2);

Sirt silliqroq bo'lishi mantiqan:

Va endi yuz marta kuchliroq:

Nima bu? Tasavvur qiling-a, biz simli halqani sabunlu suvga botirdik. Natijada, hosil bo'lgan sovun plyonkasi chegaraga - bizning tel halqamizga tegib, iloji boricha eng kam egrilikka ega bo'lishga harakat qiladi. Chegarani mahkamlash va ichkarida silliq sirtni so'rash orqali biz aynan shu narsaga erishdik. Tabriklaymiz, biz hozirgina Laplas tenglamasini Dirixlet chegara shartlari bilan yechdik. Ajoyib eshitiladimi? Ammo, aslida, siz faqat bitta chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz kerak.

Puasson tenglamasi

Keling, yana bir ajoyib ismni eslaylik.

Aytaylik, menda shunday rasm bor:

Hammaga yaxshi ko'rinadi, lekin men stulni yoqtirmayman.

Men rasmni yarmiga bo'laman:

Va men qo'llarim bilan stul tanlayman:

Keyin men niqobdagi oq rangdagi hamma narsani rasmning chap tomoniga tortaman va shu bilan birga butun rasm davomida ikkita qo'shni piksel o'rtasidagi farq o'ngdagi ikkita qo'shni piksel orasidagi farqga teng bo'lishi kerakligini aytaman. rasm:

Uchun (int i=0; i

Mana natija:

Hayotdan misol

Men ataylab yomon natijalarga erishmadim, chunki... Men eng kichik kvadratlar usullarini qanday aniq qo'llash mumkinligini ko'rsatmoqchi edim, bu o'quv kodi. Endi hayotdan bir misol keltiraman:

Menda shunday mato namunalarining bir nechta fotosuratlari bor:

Mening vazifam - bu sifatli fotosuratlardan uzluksiz teksturalar qilish. Boshlash uchun men (avtomatik ravishda) takrorlanuvchi naqshni qidiraman:

Agar men bu to'rtburchakni to'g'ridan-to'g'ri kesib tashlasam, unda buzilish tufayli qirralar bir-biriga mos kelmaydi, bu erda to'rt marta takrorlangan naqshning namunasi:

Yashirin matn

Bu erda tikuv aniq ko'rinadigan parcha:

Shuning uchun men to'g'ri chiziq bo'ylab kesmayman, bu erda kesish chizig'i:

Yashirin matn

Va bu erda to'rt marta takrorlangan naqsh:

Yashirin matn

Va aniqroq qilish uchun undan bir parcha:

Bu allaqachon yaxshiroq, kesish har xil jingalaklardan qochib, tekis chiziqda ketmadi, lekin asl fotosuratda notekis yorug'lik tufayli tikuv hali ham ko'rinadi. Bu erda Puasson tenglamasi uchun eng kichik kvadratlar usuli yordamga keladi. Yorug'likni tekislashdan keyin yakuniy natija:

Tekstura mukammal darajada uzluksiz bo'lib chiqdi va bularning barchasi avtomatik ravishda juda o'rtacha sifatli fotosuratdan. Matematikadan qo'rqmang, oddiy tushuntirishlarni qidiring, shunda siz muhandislikda baxtli bo'lasiz.

Nivelirlashdan so'ng biz quyidagi ko'rinishdagi funktsiyani olamiz: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Tegishli parametrlarni hisoblash yo'li bilan y = a x + b chiziqli munosabatdan foydalanib, bu ma'lumotlarni taxmin qilishimiz mumkin. Buning uchun biz eng kichik kvadratlar deb ataladigan usulni qo'llashimiz kerak. Qaysi chiziq eksperimental ma'lumotlarni to'g'ri tekislashini tekshirish uchun siz ham chizma qilishingiz kerak bo'ladi.

OLS (eng kichik kvadratlar usuli) aniq nima?

Biz qilishimiz kerak bo'lgan asosiy narsa, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi qiymati F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 bo'ladigan chiziqli bog'liqlik koeffitsientlarini topishdir. eng kichik. Boshqacha qilib aytganda, a va b ning ma'lum qiymatlari uchun olingan to'g'ri chiziqdan taqdim etilgan ma'lumotlarning kvadratik og'ishlarining yig'indisi minimal qiymatga ega bo'ladi. Bu eng kichik kvadratlar usulining ma'nosidir. Misolni yechish uchun ikkita o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumini topishimiz kifoya.

Koeffitsientlarni hisoblash uchun formulalar qanday olinadi

Koeffitsientlarni hisoblash formulalarini olish uchun siz ikkita o'zgaruvchili tenglamalar tizimini yaratishingiz va echishingiz kerak. Buning uchun F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ifodaning a va b ga nisbatan qisman hosilalarini hisoblab, 0 ga tenglashtiramiz.

d F (a , b) d a = 0 d F (a , b) d b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y men - (a x i + b)) = 0 ー 1 i 2 + b 2 + i i № i = 1 n i ¥ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Tenglamalar tizimini yechish uchun har qanday usullardan, masalan, almashtirish yoki Kramer usulidan foydalanish mumkin. Natijada, biz eng kichik kvadratlar usuli yordamida koeffitsientlarni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulalarga ega bo'lishimiz kerak.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 a n y i - ∑ i = 1 n y i - i

Biz funktsiya mavjud bo'lgan o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblab chiqdik
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 minimal qiymatni oladi. Uchinchi xatboshida nima uchun aynan shunday ekanligini isbotlaymiz.

Bu eng kichik kvadratlar usulini amalda qo'llashdir. Uning a parametrini topishda qo‘llaniladigan formulasi ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, shuningdek, parametrni o‘z ichiga oladi.
n - eksperimental ma'lumotlarning miqdorini bildiradi. Sizga har bir miqdorni alohida hisoblashingizni maslahat beramiz. b koeffitsientining qiymati a dan keyin darhol hisoblanadi.

Keling, asl misolga qaytaylik.

1-misol

Bu erda bizda n beshga teng. Koeffitsient formulalariga kiritilgan kerakli miqdorlarni hisoblashni qulayroq qilish uchun jadvalni to'ldiramiz.

	i = 1	i=2	i=3	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

Yechim

To'rtinchi qatorga ikkinchi qatordagi qiymatlarni har bir i uchun uchinchisining qiymatlariga ko'paytirish orqali olingan ma'lumotlar kiradi. Beshinchi qator ikkinchidan ma'lumotlarni o'z ichiga oladi, kvadrat. Oxirgi ustunda alohida satrlar qiymatlarining yig'indisi ko'rsatilgan.

Bizga kerakli a va b koeffitsientlarni hisoblash uchun eng kichik kvadratlar usulidan foydalanamiz. Buning uchun oxirgi ustundagi kerakli qiymatlarni almashtiring va miqdorlarni hisoblang:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n ∑ i =∑ i = 1 n ∑ i - i - n 5 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Ma'lum bo'lishicha, kerakli yaqinlashuvchi to'g'ri chiziq y = 0, 165 x + 2, 184 kabi ko'rinadi. Endi biz qaysi chiziq ma'lumotlarga yaxshiroq yaqinlashishini aniqlashimiz kerak - g (x) = x + 1 3 + 1 yoki 0, 165 x + 2, 184. Keling, eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholaylik.

Xatoni hisoblash uchun s 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 va s 2 = ∑ i = 1 n (y i) toʻgʻri chiziqlardan maʼlumotlarning kvadratik ogʻishlari yigʻindisini topishimiz kerak. - g (x i)) 2, minimal qiymat ko'proq mos keladigan chiziqqa mos keladi.

s 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 s 2 = ∑ 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096

Javob: s 1 dan boshlab< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0,165 x + 2,184.

Eng kichik kvadratlar usuli grafik rasmda aniq ko'rsatilgan. Qizil chiziq g (x) = x + 1 3 + 1 to'g'ri chiziqni, ko'k chiziq y = 0, 165 x + 2, 184 ni belgilaydi. Asl ma'lumotlar pushti nuqta bilan ko'rsatilgan.

Keling, nima uchun aynan shu turdagi taxminlar kerakligini tushuntirib beraylik.

Ular ma'lumotlarni tekislashni talab qiladigan vazifalarda, shuningdek, ma'lumotlarni interpolyatsiya qilish yoki ekstrapolyatsiya qilish kerak bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin. Masalan, yuqorida muhokama qilingan masalada x = 3 yoki x = 6 da kuzatilgan y kattalikning qiymatini topish mumkin. Bunday misollarga alohida maqola bag'ishladik.

OLS usulining isboti

a va b hisoblanganda funktsiya minimal qiymat olishi uchun ma'lum nuqtada F (a, b) ko'rinishdagi funktsiya differensialining kvadratik shakli matritsasi = ∑ i = bo'lishi kerak. 1 n (y i - (a x i + b)) 2 musbat aniqlangan. Keling, sizga qanday ko'rinishi kerakligini ko'rsatamiz.

2-misol

Bizda quyidagi shakldagi ikkinchi tartibli differentsial mavjud:

d 2 F (a ; b) = d 2 F (a ; b) d a 2 d 2 a + 2 d 2 F (a ; b) d a d b d a d b + d 2 F (a ; b) d b 2 d 2 b

Yechim

d 2 F (a ; b) d a 2 = d d F (a ; b) d a d a = = d - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i d a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 F (a; b) d a d b = d d F (a; b) d a d b = = d - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i d b = 2 ∑ i = 1 n x i d 2 F (a ; b) d b 2 = d d F (a ; b) d b d b = d - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i +) b)) d b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagicha yozishimiz mumkin: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n kvadratik shakldagi matritsani oldik.

Bunday holda, alohida elementlarning qiymatlari a va b ga qarab o'zgarmaydi. Bu matritsa ijobiy aniqmi? Bu savolga javob berish uchun keling, uning burchakli kichiklari ijobiy yoki yo'qligini tekshiramiz.

Birinchi tartibdagi burchak minorini hisoblaymiz: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . X i nuqtalari bir-biriga to'g'ri kelmagani uchun tengsizlik qat'iydir. Keyingi hisob-kitoblarda buni yodda tutamiz.

Ikkinchi tartibli burchakli minorni hisoblaymiz:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ x i = 12

Shundan so'ng n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 tengsizlikni matematik induksiya yordamida isbotlashga o'tamiz.

Bu tengsizlik ixtiyoriy n uchun haqiqiy yoki yo‘qligini tekshirib ko‘ramiz. Keling, 2 ni olamiz va hisoblaymiz:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Biz to'g'ri tenglikni oldik (agar x 1 va x 2 qiymatlari mos kelmasa).

Keling, bu tengsizlik n uchun to'g'ri bo'ladi, deb faraz qilaylik, ya'ni. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – rost.
Endi biz n + 1 uchun to'g'riligini isbotlaymiz, ya'ni. bu (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, agar n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Biz hisoblaymiz:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 +2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = +1 n xi = +1 n xi n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 +. . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Jingalak qavslar ichiga olingan ifoda 0 dan katta bo'ladi (2-bosqichda qabul qilganimiz asosida) va qolgan shartlar 0 dan katta bo'ladi, chunki ularning barchasi raqamlar kvadratidir. Biz tengsizlikni isbotladik.

Javob: topilgan a va b funksiyaning eng kichik qiymatiga mos keladi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, ya'ni ular eng kichik kvadratlar usulining kerakli parametrlaridir. (LSM).

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

KURS ISHI

Eng kichik kvadratlar usuli yordamida funksiyani yaqinlashtirish

Kirish

empirik mathcad yaqinlashuvi

Kurs ishining maqsadi informatika bo‘yicha bilimlarni chuqurlashtirish, Microsoft Excel va MathCAD elektron jadval protsessorlari bilan ishlash ko‘nikmalarini rivojlantirish va mustahkamlashdan iborat. Tadqiqot bilan bog'liq mavzu bo'yicha kompyuter yordamida muammolarni hal qilish uchun ulardan foydalanish.

Har bir topshiriqda masalaning shartlari, dastlabki ma’lumotlar, natijalarni chiqarish shakli shakllantiriladi, masalani yechishning asosiy matematik bog’liqliklari ko’rsatiladi.Nazorat hisobi dasturning to’g’ri ishlashini tekshirish imkonini beradi.

Taxminan tushunchasi har qanday matematik ob'ektlarni (masalan, raqamlar yoki funktsiyalar) soddaroq, foydalanish uchun qulayroq yoki shunchaki ma'lum bo'lgan boshqalar orqali taxminiy ifodalashdir. Ilmiy tadqiqotlarda empirik natijalarni tavsiflash, tahlil qilish, umumlashtirish va undan keyingi foydalanish uchun yaqinlashtirish qo'llaniladi.

Ma'lumki, miqdorlar o'rtasida aniq (funktsional) bog'lanish bo'lishi mumkin, agar bitta aniq qiymat argumentning bir qiymatiga to'g'ri kelsa va kamroq aniq (korrelyatsiya) bog'lanish, agar argumentning bitta aniq qiymati taxminiy qiymatga to'g'ri kelsa yoki u yoki bu darajada bir-biriga yaqin bo'lgan ma'lum bir funktsiya qiymatlari to'plami. Ilmiy tadqiqotlar olib borishda, kuzatish yoki eksperiment natijalarini qayta ishlashda siz odatda ikkinchi variant bilan shug'ullanishingiz kerak. Turli ko'rsatkichlarning miqdoriy bog'liqliklarini o'rganishda, ularning qiymatlari empirik tarzda aniqlanadi, qoida tariqasida, ba'zi o'zgaruvchanlik mavjud. Bu qisman jonsiz va ayniqsa tirik tabiatning o'rganilayotgan ob'ektlarining heterojenligi bilan belgilanadi va qisman kuzatish va materiallarni miqdoriy qayta ishlash xatosi bilan belgilanadi. Oxirgi komponentni har doim ham butunlay yo'q qilish mumkin emas, uni faqat tegishli tadqiqot usulini sinchkovlik bilan tanlash va ehtiyotkorlik bilan ishlash orqali kamaytirish mumkin.

Texnologik jarayonlar va ishlab chiqarishni avtomatlashtirish sohasidagi mutaxassislar katta hajmdagi eksperimental ma'lumotlar bilan shug'ullanadilar, ularni qayta ishlash uchun kompyuter ishlatiladi. Manba ma'lumotlari va olingan hisoblash natijalari elektron jadval protsessorlari (elektron jadvallar) va, xususan, Excel yordamida jadval shaklida taqdim etilishi mumkin. Informatika fanidan kurs ishi talabaga kasbiy faoliyat sohasidagi muammolarni hal qilishda asosiy kompyuter texnologiyalaridan foydalangan holda ko'nikmalarni mustahkamlash va rivojlantirish imkonini beradi. hisob-kitoblar va vizual qo'llab-quvvatlash, foydalanish oson va jamoaviy ish uchun qo'llaniladi.

1. Umumiy ma'lumot

Ko'pincha, ayniqsa empirik ma'lumotlarni tahlil qilishda, miqdorlar o'rtasidagi funktsional munosabatlarni aniq topish kerak. xVa da, o'lchovlar natijasida olingan.

Ikki kattalik x va y o'rtasidagi bog'liqlikni analitik o'rganishda bir qator kuzatishlar o'tkaziladi va natijada qiymatlar jadvali olinadi:

xx1 x1 xiXnyy1 y1 yiYn

Bu jadval, odatda, qaysi ba'zi tajribalar natijasida olingan x,(mustaqil qiymat) eksperimentator tomonidan o'rnatiladi va y,tajriba natijasida olingan. Shuning uchun bu qiymatlar y,biz ularni empirik yoki eksperimental qiymatlar deb ataymiz.

X va y miqdorlari o'rtasida funksional bog'liqlik mavjud, ammo uning analitik shakli odatda noma'lum, shuning uchun amaliy jihatdan muhim vazifa paydo bo'ladi - empirik formulani topish.

y =f (x; a 1, a 2,…, am ), (1)

(Qaerda a1 , a2 ,…, am- parametrlar), ularning qiymatlari x = x,eksperimental qiymatlardan biroz farq qilishi mumkin y, (i = 1,2,…, P).

Odatda funksiya tanlangan funksiyalar sinfini (masalan, chiziqli, quvvatli, eksponensial va boshqalar to‘plamini) ko‘rsating. f(x), va keyin eng yaxshi parametr qiymatlari aniqlanadi.

Agar asl nusxani almashtirsak x,keyin biz nazariy qiymatlarni olamiz

YTi=f (xi; a 1, a 2……am) , Qayerda i = 1,2,…, n.

Farqlar yiT- yi, og'ishlar deb ataladi va nuqtalardan vertikal masofalarni ifodalaydi Miempirik funktsiya grafigiga.

Eng kichik kvadratlar usuliga ko'ra, eng yaxshi koeffitsientlar a1 , a2 ,…, amtopilgan empirik funktsiyaning berilgan funktsiya qiymatlaridan kvadrat og'ishlarining yig'indisi hisobga olinadiganlar.

minimal bo'ladi.

Keling, eng kichik kvadratlar usulining geometrik ma'nosini tushuntiramiz.

Har bir juft raqam ( xi, yi) manba jadvalidan nuqtani aniqlaydi Miyuzada XOY.Koeffitsientlarning turli qiymatlari uchun (1) formuladan foydalanish a1 , a2 ,…, amfunktsiyaning grafiklari bo'lgan bir qator egri chiziqlar qurishingiz mumkin (1). Vazifa koeffitsientlarni aniqlashdir a1 , a2 ,…, amnuqtalardan vertikal masofalar kvadratlari yig'indisi shunday tarzda Mi (xi, yi) funktsiya grafigi (1) eng kichik bo'lishidan oldin (1-rasm).

Empirik formulani qurish ikki bosqichdan iborat: bu formulaning umumiy shaklini aniqlashtirish va uning eng yaxshi parametrlarini aniqlash.

Agar bu miqdorlar orasidagi munosabatlarning tabiati x va y, keyin empirik bog'liqlik turi ixtiyoriydir. Yaxshi aniqlik bilan oddiy formulalarga ustunlik beriladi. Empirik formulani muvaffaqiyatli tanlash ko'p jihatdan tadqiqotchining mavzu sohasidagi bilimiga bog'liq bo'lib, undan foydalanib, u nazariy fikrlardan funktsiyalar sinfini ko'rsatishi mumkin. Olingan ma'lumotlarni dekart yoki maxsus koordinata tizimlarida (yarim logarifmik, logarifmik va boshqalar) tasvirlash katta ahamiyatga ega. Nuqtalarning holatidan siz tuzilgan grafik va ma'lum egri chiziqlar namunalari o'rtasidagi o'xshashlikni o'rnatish orqali bog'liqlikning umumiy shaklini taxmin qilishingiz mumkin.

Eng yaxshi koeffitsientlarni aniqlash a1 , a2,…, amempirik formulaga kiritilgan ma'lum analitik usullar bilan ishlab chiqariladi.

Koeffitsientlar to'plamini topish uchun a1 , a2 ….am, formula (2) bo'yicha aniqlangan S funktsiyasining minimalini etkazib beradigan, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumi uchun zarur shart - qisman hosilalarning nolga tengligidan foydalanamiz.

Natijada, biz koeffitsientlarni aniqlash uchun oddiy tizimni olamiz ai(i = 1,2,…, m):

Shunday qilib, koeffitsientlarni topish aiyechish tizimiga qisqartiradi (3). Agar empirik formula (1) parametrlarga nisbatan chiziqli bo'lsa, bu tizim soddalashtirilgan ai, keyin sistema (3) chiziqli bo'ladi.

1.1 Chiziqli bog'liqlik

Tizimning o'ziga xos shakli (3) empirik formulalarning qaysi sinfidan bog'liqlikni izlayotganimizga bog'liq (1). Chiziqli bog'liqlik holatida y = a1 + a2 xtizimi (3) quyidagi shaklni oladi:

Ushbu chiziqli tizimni har qanday ma'lum usul bilan yechish mumkin (Gauss usuli, oddiy takrorlashlar, Kramer formulalari).

1.2 Kvadrat bog`liqlik

Kvadrat bog'liqlik holatida y = a1 + a2 x+a3x 2tizimi (3) quyidagi shaklni oladi:

1.3 Ko‘rsatkichli bog‘liqlik

y = a1 *ea2x (6)

qayerda a 1Va a 2, noaniq koeffitsientlar.

Lineerizatsiyaga (6) tenglik logarifmini olish orqali erishiladi, shundan so'ng biz munosabatni olamiz

ln y = ln a 1+a 2x (7)

ln ni belgilaymiz dava ln axmos ravishda orqali tVa c, u holda (6) bog'liqlikni ko'rinishida yozish mumkin t = a1 + a2 X, bu bizga formulalarni (4) almashtirish bilan qo'llash imkonini beradi a1 yoqilgan cVa dai yoqilgan ti

1.4 Korrelyatsiya nazariyasi elementlari

Qayta tiklangan funksional qaramlik grafigi y(x)o'lchov natijalariga ko'ra (x i, dai),i = 1,2, K, nregressiya egri chizig'i deb ataladi. Tuzilgan regressiya egri chizig'ining eksperimental natijalar bilan mos kelishini tekshirish uchun odatda quyidagi sonli xarakteristikalar kiritiladi: korrelyatsiya koeffitsienti (chiziqli bog'liqlik), korrelyatsiya nisbati va aniqlanish koeffitsienti. Bunday holda, natijalar odatda guruhlanadi va korrelyatsiya jadvali shaklida taqdim etiladi. Ushbu jadvalning har bir katakchasi raqamlarni ko'rsatadi niJ - bu juftliklar (x, y), uning tarkibiy qismlari har bir o'zgaruvchi uchun tegishli guruhlash intervallariga to'g'ri keladi. Guruhlash oraliqlarining uzunligi (har bir o'zgaruvchi uchun) bir-biriga teng bo'lsa, x markazlarini tanlang. i(mos ravishda dai) bu intervallar va raqamlar niJ- hisob-kitoblar uchun asos sifatida.

Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

bu yerda va mos ravishda o‘rtacha arifmetik X Va da.

Mutlaq qiymatdagi tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti 1 dan oshmaydi. Yaqinroq |p| 1 ga, x va o'rtasidagi chiziqli munosabatlar qanchalik yaqin bo'lsa u.

Korrelyatsiya nisbati quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Qayerda ni = , nf= , va hisoblagich shartli vositalarning tarqalishini tavsiflaydi y, mutlaq o'rtacha haqida y.

Har doim. Tenglik = 0 o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarga mos keladi; = 1 o‘rtasida aniq funksional bog‘liqlik mavjud bo‘lgandagina y va x. Chiziqli bog'liqlik holatida y ning x, korrelyatsiya nisbati korrelyatsiya koeffitsienti kvadratiga to'g'ri keladi. Kattalik - ? 2 chiziqli regressiyadan og'ish ko'rsatkichi sifatida ishlatiladi.

Korrelyatsiya nisbati korrelyatsiya munosabatining o'lchovidir y Bilan x har qanday shaklda, lekin empirik ma'lumotlarning maxsus shaklga yaqinlik darajasi haqida fikr bera olmaydi. Tuzilgan egri chiziq empirik ma'lumotlarni qanchalik to'g'ri aks ettirishini bilish uchun yana bir xususiyat - determinatsiya koeffitsienti kiritiladi.

Uni tavsiflash uchun quyidagi miqdorlarni ko'rib chiqing. - kvadratlarning umumiy yig'indisi, bu erda o'rtacha qiymat.

Quyidagi tenglikni isbotlashimiz mumkin

Birinchi had Sres = ga teng va kvadratlarning qoldiq yig'indisi deyiladi. U eksperimentalning nazariydan og'ishini tavsiflaydi.

Ikkinchi had Sreg = 2 ga teng va kvadratlarning regressiya yig'indisi deb ataladi va u ma'lumotlarning tarqalishini tavsiflaydi.

Shubhasiz, quyidagi tenglik to'g'ri: S to'liq = S ost + S reg.

Determinizm koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Kvadratlarning qoldiq yig'indisi kvadratlarning umumiy yig'indisiga nisbatan qanchalik kichik bo'lsa, determinizm koeffitsientining qiymati shunchalik katta bo'ladi. r2 , bu regressiya tahlili natijasida hosil bo'lgan tenglama o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlarni qanchalik yaxshi tushuntirayotganini ko'rsatadi. Agar u 1 ga teng bo'lsa, u holda model bilan to'liq korrelyatsiya mavjud, ya'ni. y ning haqiqiy va taxminiy qiymatlari o'rtasida farq yo'q. Aksincha, agar determinizm koeffitsienti 0 bo'lsa, regressiya tenglamasi y qiymatlarini bashorat qilishda muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

Determinizm koeffitsienti har doim korrelyatsiya nisbatidan oshmaydi. Tenglik ta'minlangan taqdirda r 2 = u holda tuzilgan empirik formula empirik ma'lumotlarni eng aniq aks ettiradi deb taxmin qilishimiz mumkin.

2. Muammoning bayoni

1. Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanib, jadvalda berilgan funksiyani taxminiy hisoblang

a) birinchi darajali ko'phad;

b) ikkinchi darajali ko'phad;

v) ko'rsatkichli bog'liqlik.

Har bir qaramlik uchun determinizm koeffitsientini hisoblang.

Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang (faqat a holatda).

Har bir qaramlik uchun trend chizig'ini tuzing.

LINEST funktsiyasidan foydalanib, bog'liqlikning sonli xarakteristikalarini hisoblang.

Hisob-kitoblaringizni LINEST funksiyasidan foydalangan holda olingan natijalar bilan solishtiring.

Olingan formulalardan qaysi biri funktsiyaga eng mos kelishini xulosa qiling.

Dasturlash tillaridan birida dastur yozing va hisoblash natijalarini yuqorida olingan natijalar bilan solishtiring.

3. Dastlabki ma’lumotlar

Funktsiya 1-rasmda keltirilgan.

4. Excel elektron jadval protsessorida yaqinliklarni hisoblash

Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun Microsoft Excel elektron jadval protsessoridan foydalanish tavsiya etiladi. Va ma'lumotlarni 2-rasmda ko'rsatilganidek tartibga soling.

Buning uchun biz kiritamiz:

· A6:A30 katakchalariga xi qiymatlarini kiritamiz .

· B6: B30 kataklariga ui qiymatlarini kiritamiz .

· C6 katakka =A6^ formulasini kiriting 2.

· Bu formula C7:C30 yacheykalariga ko'chiriladi.

· D6 katakka =A6*B6 formulasini kiriting.

· Bu formula D7:D30 yacheykalariga ko'chiriladi.

· F6 katakka =A6^4 formulasini kiritamiz.

· Ushbu formula F7:F30 katakchalariga ko'chiriladi.

· G6 katakka =A6^2*B6 formulasini kiritamiz.

· Ushbu formula G7:G30 kataklariga ko'chiriladi.

· H6 katakka =LN(B6) formulasini kiriting.

· Bu formula H7:H30 yacheykalariga ko'chiriladi.

· I6 katakka =A6*LN(B6) formulasini kiriting.

· Bu formula I7:I30 yacheykalarga ko'chiriladi. Avtomatik yig'ish yordamida keyingi bosqichlarni bajaramiz

· A33 katakka =SUM (A6:A30) formulasini kiriting.

· B33 katakka =SUM (B6:B30) formulasini kiriting.

· C33 katakka =SUM (C6:C30) formulasini kiriting.

· D33 katakka =SUM (D6:D30) formulasini kiriting.

· E33 katakka =SUM (E6:E30) formulasini kiriting.

· F33 katakka =SUM (F6:F30) formulasini kiriting.

· G33 katakka =SUM (G6:G30) formulasini kiriting.

· H33 katakka =SUM (H6:H30) formulasini kiriting.

· I33 katakka =SUM (I6:I30) formulasini kiriting.

Funktsiyani taxminiy hisoblaymiz y = f(x) chiziqli funksiya y = a1 + a2x. Koeffitsientlarni aniqlash uchun a 1va a 2Keling, tizimdan foydalanamiz (4). A33, B33, C33 va D33 kataklarda joylashgan 2-jadvalning jami summasidan foydalanib, tizimni (4) shaklga yozamiz.

hal qilish, biz a olamiz 1= -24.7164 va a2 = 11,63183

Shunday qilib, chiziqli yaqinlashuv shaklga ega y= -24,7164 + 11,63183x (12)

Tizim (11) Microsoft Excel yordamida hal qilindi. Natijalar 3-rasmda keltirilgan:

Jadvalda A38:B39 katakchalarda formula yoziladi (=MOBR (A35:B36)). E38:E39 yacheykalarda formula mavjud (=MULTIPLE (A38:B39, C35:C36)).

Keyinchalik biz funktsiyani taxmin qilamiz y = f(x) kvadratik funksiya orqali y = a1 + a2 x+a3 x2. Koeffitsientlarni aniqlash uchun a 1, a 2va a 3Keling, tizimdan foydalanamiz (5). A33, B33, C33, D33, E33, F33 va G33 kataklarida joylashgan 2-jadvalning umumiy summasidan foydalanib, tizimni (5) quyidagi shaklda yozamiz:

Qaysi birini hal qilib, biz a olamiz 1= 1.580946, a 2= -0,60819 va a3 = 0,954171 (14)

Shunday qilib, kvadratik yaqinlashish quyidagi shaklga ega:

y = 1,580946 -0,60819x +0,954171 x2

Tizim (13) Microsoft Excel yordamida hal qilindi. Natijalar 4-rasmda keltirilgan.

Jadvalda A46:C48 katakchalarda formula yoziladi (=MOBR (A41:C43)). F46:F48 katakchalarida formula mavjud (=KO'P (A41:C43, D46:D48)).

Endi funksiyani taxminiy baholaymiz y = f(x) eksponensial funktsiya y = a1 ea2x. Koeffitsientlarni aniqlash uchun a1 Va a2 qiymatlarni logarifm qilamiz yiva A26, C26, H26 va I26 kataklarida joylashgan 2-jadvalning umumiy yig'indisidan foydalanib, biz tizimni olamiz:

Qayerda s = ln (a1 ).

Yechilgan tizim (10) ni topamiz c =0,506435, a2 = 0.409819.

Potentsiyalashdan keyin biz a1 ni olamiz = 1,659365.

Shunday qilib, eksponensial yaqinlashish ko'rinishga ega y = 1,659365*e0,4098194x

Tizim (15) Microsoft Excel yordamida hal qilindi. Natijalar 5-rasmda keltirilgan.

Jadvalda A55:B56 katakchalarda formula yoziladi (=MOBR (A51:B52)). E54:E56 katakchalarda formula yoziladi (=MULTIPLE (A51:B52, C51:C52)). E56 katakda =EXP(E54) formula mavjud.

X va y ning o'rtacha arifmetik qiymatini formulalar yordamida hisoblaymiz:

Hisoblash natijalari x va yMicrosoft Excel dasturidan foydalanish 6-rasmda keltirilgan.

B58 katakda =A33/25 formula mavjud. B59 katakda =B33/25 formula mavjud.

jadval 2

Keling, 7-rasmdagi jadval qanday tuzilganligini tushuntiramiz.

A6:A33 va B6:B33 katakchalari allaqachon to'ldirilgan (2-rasmga qarang).

· J6 katakka =(A6-$B$58)*(B6-$B$59) formulasini kiriting.

· Bu formula J7:J30 yacheykalariga ko'chiriladi.

· K6 katakka =(A6-$B$58)^ formulasini kiriting 2.

· Bu formula K7:K30 yacheykalarga ko'chiriladi.

· L6 katakka =(B1-$B$59)^2 formulasini kiritamiz.

· Ushbu formula L7:L30 kataklariga ko'chiriladi.

· M6 katakka =($E$38+$E$39*A6-B6)^2 formulasini kiritamiz.

· Bu formula M7:M30 yacheykalarga ko'chiriladi.

· N6 katakka =($F$46 +$F$47*A6 +$F$48*A6 L6-B6)^2 formulasini kiritamiz.

· Bu formula N7:N30 yacheykalarga ko'chiriladi.

· O6 katakka =($E$56*EXP ($E$55*A6) - B6)^2 formulasini kiriting.

· Bu formula O7:O30 yacheykalariga ko'chiriladi.

Avtomatik yig'ish yordamida keyingi bosqichlarni bajaramiz.

· J33 katakka =CYMM (J6:J30) formulasini kiriting.

· K33 katakka =SUM (K6:K30) formulasini kiritamiz.

· L33 katakka =CYMM (L6:L30) formulasini kiriting.

· M33 katakka =SUM (M6:M30) formulasini kiritamiz.

· N33 katakka =SUM (N6:N30) formulasini kiriting.

· O33 katakka =SUM (06:030) formulasini kiriting.

8-jadvalning B61 katagiga formula =J33/(K33*L33^(1/2) yoziladi. B62 katakda formula =1 - M33/L33. B63 katakda =1 - N33 formula yoziladi. /L33.B64 katakka formula =1 - O33/L33 formulasi yozilgan.

Hisoblash natijalarini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, kvadratik yaqinlashuv eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi tavsiflaydi.

4.1 Excelda grafiklarni chizish

A1:A25 katakchalarini tanlang, so'ngra Grafik ustasiga o'ting. Keling, tarqalish sxemasini tanlaylik. Diagramma tuzilgandan so'ng, grafik chizig'ini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing va trend chizig'ini qo'shishni tanlang (mos ravishda ikkinchi darajali chiziqli, eksponensial, quvvat va polinom).

Chiziqli yaqinlashish grafigi

Kvadrat yaqinlashuv grafigi

Eksponensial moslama grafigi.

5. MathCAD yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish

Ma'lumotlarning statistik parametrlarini hisobga olgan holda yaqinlashishi regressiya muammolariga tegishli. Ular odatda statistik xarakterga ega bo'lgan jarayonlar yoki fizik hodisalarni (masalan, radiometriya va yadro geofizikasidagi o'lchovlar) yoki yuqori darajadagi shovqin (shovqin) o'lchovlari natijasida olingan eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashda paydo bo'ladi. Regressiya tahlilining vazifasi eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi tavsiflovchi matematik formulalarni tanlashdir.

.1 Chiziqli regressiya

Mathcad tizimida chiziqli regressiya argument vektorlari yordamida amalga oshiriladi Xva o'qishlar Y vazifalari:

kesish (x, y)- parametrni hisoblaydi A1 , regressiya chizig'ining vertikal siljishi (rasmga qarang)

qiyalik (x, y)- parametrni hisoblaydi a2 , regressiya chizig'ining qiyaligi (rasmga qarang)

y(x) = a1+a2*x

Funktsiya korr (y, y(x))hisoblab chiqadi Pearson korrelyatsiya koeffitsienti.U qanchalik yaqin bo'lsa 1, Qayta ishlangan ma'lumotlar chiziqli munosabatlarga qanchalik to'g'ri keladi (rasmga qarang)

.2 Polinomli regressiya

Mathcadda ko'phadning ixtiyoriy darajasi n va namunalarning ixtiyoriy koordinatalari bilan bir o'lchovli polinom regressiyasi quyidagi funktsiyalar orqali amalga oshiriladi:

regress (x, y, n)- vektorni hisoblaydi S,koeffitsientlarni o'z ichiga oladi aipolinom n th daraja;

Koeffitsient qiymatlari aivektordan ajratib olish mumkin Sfunktsiyasi submatritsa(S, 3, uzunlik(S) - 1, 0, 0).

Olingan koeffitsient qiymatlaridan regressiya tenglamasida foydalanamiz

y(x) = a1+a2*x+a3*x2 (rasmga qarang)

.3 Nochiziqli regressiya

Oddiy standart taxminiy formulalar uchun bir qator nochiziqli regressiya funksiyalari taqdim etiladi, ularda funksiya parametrlari Mathcad dasturi tomonidan tanlanadi.

Bularga funksiya kiradi eksfit (x, y, s),koeffitsientlarni o'z ichiga olgan vektorni qaytaradi a1, a2Va a3eksponensial funktsiya

y(x) = a1 ^exp (a2x) + a3.V vektor Skoeffitsientlarning dastlabki qiymatlari kiritiladi a1, a2Va a3birinchi yaqinlik.

Xulosa

Hisoblash natijalarini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, chiziqli yaqinlashish eksperimental ma'lumotlarni eng yaxshi tavsiflaydi.

MathCAD dasturi yordamida olingan natijalar Excel yordamida olingan qiymatlarga to'liq mos keladi. Bu hisob-kitoblarning to'g'riligini ko'rsatadi.

Bibliografiya

Informatika: Darslik / Ed. prof. N.V. Makarova. M.: Moliya va statistika 2007 yil
Informatika: Kompyuter texnologiyalari bo'yicha seminar / Ed. Ed. prof. N.V. Makarova. M Moliya va statistika, 2011 yil.
N.S. Piskunov. Differensial va integral hisoblash, 2010 yil.
Kompyuter fanlari, Eng kichik kvadratlar yaqinlashuvi, ko'rsatmalar, Sankt-Peterburg, 2009 yil.

Repetitorlik

Mavzuni o'rganishda yordam kerakmi?

Mutaxassislarimiz sizni qiziqtirgan mavzular bo'yicha maslahat beradilar yoki repetitorlik xizmatlarini ko'rsatadilar.
Arizangizni yuboring konsultatsiya olish imkoniyati haqida bilish uchun hozir mavzuni ko'rsating.