Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 - 11 классов, которая гласит:

Определение 1

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) и М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

Определяем координаты направляющего вектора прямой a: a → = (а x , а y , а z) ;

Определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:

n → = (A , B , C) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и имеющей нормальный вектор n → = (A , B , C) в виде A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Пример 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0 , 0 , 1) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 (3 , - 4 , 5) , нормальный вектор которой имеет координаты (0 , 0 , 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Пример 2

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением - D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = - 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 (3 , - 4 , 5) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Пример 3

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0 , 0 , 0) и имеющей нормальный вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Пример 4

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В, тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В (3 , - 2 , 4) и А (2 , - 1 , - 2) :

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ответ: x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Пример 5

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → (3 , 2 , 0) плоскости n → (1 , 0 , 2) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z - 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

Таким образом, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ответ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначая их радиусы-векторы через а текущий радиус-вектор через , мы легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом деле, векторы , должны быть компланарны (они все лежат в искомой плоскости). Следовательно, векторно-скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , в векторной форме.

Переходя к координатам, получим уравнение в координатах:

Если бы три данные точки лежали на одной прямой, то векторы были бы коллинеарны. Поэтому соответствующие элементы двух последних строк определителя, стоящего в уравнении (18), были бы пропорциональны и определитель тождественно равен нулю. Следовательно, уравнение (18) обращалось бы в тождество при любых значениях х, у и z. Геометрически это значит, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат и три данные точки.

Замечание 1. Эту же задачу можно решить, не пользуясь векторами.

Обозначая координаты трех данных точек соответственно чрез напишем уравнение любой плоскости, проходящей через первую точку:

Чтобы получить уравнение искомой плоскости, нужно потребовать, чтобы уравнение (17) удовлетворялось координатами двух других точек:

Из уравнений (19) нужно определить отношения двух коэффициентов к третьему и внести найденные значения в уравнение (17).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .

Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:

Условия прохождения плоскости (17) через две другие точки и первую точку суть:

Складывая второе уравнение с первым, найдем:

Подставляя во второе уравнение, получим:

Подставляя в уравнение (17) вместо А, В, С соответственно 1, 5, -4 (числа, им пропорциональные), получим:

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Уравнение любой плоскости, проходящей через точку (0, 0, 0), будет]

Условия прохождения этой плоскости, через точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) суть:

Сокращая второе уравнение на 2, видим, что для определения двух неизвестных отношении имеет одно уравнение с

Отсюда получим . Подставляя теперь в уравнение плоскости вместо его значение, найдем:

Это и есть уравнение искомой плоскости; оно зависит от произвольных

количеств В, С (а именно, от отношения т. е. имеется бесчисленное множество плоскостей, проходящих через три данные точки (три данные точки лежат на одной прямой линии).

Замечание 2. Задача о проведении плоскости через три данные точки, не лежащие на одной прямой, легко решается в общем виде, если воспользоваться определителями. Действительно, так как в уравнениях (17) и (19) коэффициенты А, В, С не могут быть одновременно равны нулю, то, рассматривая эти уравнения как однородную систему с тремя неизвестными А, В, С, пишем необходимое и достаточное условие существования решения этой системы, отличного от нулевого (ч. 1, гл. VI, § 6):

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение первой степени относительно текущих координат , которому будут удовлетворять, в частности, координаты трех данных точек.

В этом последнем можно также убедиться и непосредственно, если подставить в уравнение, записанное с помощью определителя, координаты любой из данных точек вместо . В левой части получается определитель, у которого либо элементы первой строки нули, либо имеются две одинаковые строки. Таким образом, составленное уравнение представляет плоскость, проходящую через три данные точки.

13.Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях .

Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β - прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. Видите их на рисунке? В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Если угол между плоскостями равен 90 градусов, то плоскости перпендикулярны ,

Это определение перпендикулярности плоскостей. Решая задачи по стереометрии, мы используем также признак перпендикулярности плоскостей :

Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны .

расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим точку T, заданную своими координатами:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Также рассмотрим плоскость α, заданную уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0

Тогда расстояние L от точки T до плоскости α можно считать по формуле:

Другими словами, мы подставляем координаты точки в уравнение плоскости, а затем делим это уравнение на длину вектора-нормали n к плоскости:

Полученное число и есть расстояние. Давайте посмотрим, как эта теорема работает на практике.

Мы уже выводили параметические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Зададим в ней прямую a (смотрите раздел способы задания прямой в пространстве), указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М 1 , то мы получим координаты вектора (смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала), то есть, .

Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид и представляет собой параметрические уравнения прямой a . Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра .

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве: . Здесь

15.Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой с плоскостью.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Векторa называется направляющим вектором прямой .

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15 . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА (1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y- z-7=0 угол 60 о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m 1 = 1/3, m 2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x 1 , y 1 , z 1), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n 1 (5,1,1) иn 2 (2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Пример 1.18 . В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u¹0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.