Куди спрямований імпульс тіла, імпульс сили. Імпульс тіла: визначення та властивості
Імпульс тіла
Імпульс тіла - це фізична векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість.
Вектор імпульсутіла спрямований так само як і вектор швидкостіцього тіла.
Під імпульсом системи тіл розуміють суму імпульсів усіх тіл цієї системи: ∑p=p 1 +p 2 +... . Закон збереження імпульсу: у замкнутої системі тіл за будь-яких процесах її імпульс залишається незмінним, тобто. ∑p = const.
(Замкнутою називається система тіл, що взаємодіють тільки один з одним і не взаємодіють з іншими тілами.)
Вопрос2. Термодинамічне та статистичне визначення ентропії. Другий початок термодинаміки.
Термодинамічний визначення ентропії
Поняття ентропії було вперше введено в 1865 Рудольфом Клаузіусом. Він визначив зміна ентропіїтермодинамічної системи при оборотний процесяк відношення зміни загальної кількості тепла до величини абсолютної температури:
Ця формула застосовна тільки для ізотермічного процесу (що відбувається за постійної температури). Її узагальнення у разі довільного квазистатичного процесу виглядає так:
де - збільшення (диференціал) ентропії, а - нескінченно мале збільшення кількості теплоти.
Необхідно звернути увагу на те, що аналізоване термодинамічний визначення застосовується тільки до квазістатичним процесів (що складаються з станів рівноваги, що безперервно наступають один за одним).
Статистичне визначення ентропії: принцип Больцмана
У 1877 році Людвіг Больцман виявив, що ентропія системи може відноситися до кількості можливих «мікростанів» (мікроскопічних станів), що узгоджуються з їх термодинамічних властивостей. Розглянемо, наприклад, ідеальний газ у посудині. Мікростан визначено як позиції та імпульси (моменти руху) кожного складового систему атома. Зв'язність висуває до нас вимоги розглядати тільки ті мікростани, для яких: (I) розташування всіх частин розташовані в рамках судини, (II) для отримання загальної енергії газу кінетичні енергії атомів сумуються. Больцман постулював, що:
де константу 1,38 · 10 -23 Дж/К ми знаємо тепер як постійну Больцмана, а є числом мікростанів, які можливі у наявному макроскопічному стані (статистична вага стану).
Другий початок термодинаміки- фізичний принцип, що накладає обмеження на напрямок процесів передачі тепла між тілами.
Друге початок термодинаміки говорить, що неможливий мимовільний перехід тепла від тіла, менш нагрітого, до тіла, більш нагрітого.
Квиток 6.
§ 2.5. Теорема про рух центру мас
Співвідношення (16) дуже схоже рівняння руху матеріальної точки. Спробуємо привести його до ще більш простого вигляду F=m a. Для цього перетворимо ліву частину, скориставшись властивостями операції диференціювання (y+z) =y +z , (ay) =ay , a=const:
(24)
Домножимо і розділимо (24) на масу всієї системи і підставимо на рівняння (16):
. (25)
Вираз, що стоїть у дужках, має розмірність довжини та визначає радіус-вектор деякої точки, яка називається центром мас системи:
. (26)
У проекціях на осі координат (26) набуде вигляду
(27)
Якщо (26) підставити (25), то отримаємо теорему про рух центру мас:
тобто. центр мас системи рухається, як матеріальна точка, у якій зосереджена вся маса системи, під впливом суми зовнішніх сил, прикладених до системи. Теорема про рух центру мас стверджує, що хоч би якими складними не були сили взаємодії частинок системи один з одним і із зовнішніми тілами і як би складно ці частинки не рухалися, завжди можна знайти точку (центр мас), рух якої описується просто. Центр мас певна геометрична точка, положення якої визначається розподілом мас у системі і яка може не співпадати з жодною з її матеріальних частинок.
Добуток маси системи на швидкість vц.м її центру мас, як це випливає з його визначення (26), дорівнює імпульсу системи:
(29)
Зокрема, якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю, центр мас рухається рівномірно і прямолінійно або спочиває.
|
|
Центр мас " полетить " з тієї ж параболічної траєкторії, якою рухався б снаряд, що не розірвався: його прискорення відповідно до (28) визначається сумою всіх сил тяжкості, прикладених до осколків, і загальною їх масою, тобто. тим самим рівнянням, як і рух цілого снаряда. Однак, як тільки перший уламок вдариться об Землю, до зовнішніх сил сил тяжіння додасться сила реакції Землі і рух центру мас спотвориться.
|
|
Оскільки геометрична сума зовнішніх сил дорівнює нулю, прискорення центру мас також дорівнює нулю, і він залишиться у спокої. Тіло обертатиметься навколо нерухомого центру мас.
Чи є якісь переваги закону збереження імпульсу перед законами Ньютона? У чому сила цього закону?
Головне його гідність у цьому, що він має інтегральний характер, тобто. пов'язує характеристики системи (її імпульс) у двох станах, розділених кінцевим проміжком часу. Це дозволяє отримати важливі відомості відразу про кінцевий стан системи, минаючи розгляд усіх проміжних її станів і деталей взаємодій, що при цьому приходять.
2) Швидкості молекул газу мають різні значення та напрямки, причому через велику кількість зіткнень, які щомиті відчуває молекула, швидкість її постійно змінюється. Тому не можна визначити число молекул, які мають точно задану швидкість v даний момент часу, але можна підрахувати число молекул, швидкості яких мають значення, що лежать між деякими швидкостями v 1 і v 2 . На підставі теорії ймовірності Максвел встановив закономірність, за якою можна визначити число молекул газу, швидкості яких при даній температурі укладені в деякому інтервалі швидкостей. Відповідно до розподілу Максвелла, ймовірне число молекул в одиниці об'єму; компоненти швидкостей яких лежать в інтервалі від до, віддої, визначаються функцією розподілу Максвелла
де m – маса молекули, n – число молекул в одиниці об'єму. Звідси випливає, що число молекул, абсолютні значення швидкостей яких лежать в інтервалі від v до v + dv, має вигляд
Розподіл Максвелла досягає максимуму за швидкості , тобто. такої швидкості, до якої близькі швидкості більшості молекул. Площа заштрихованої смужки з основою dV покаже, яка частина від загальної кількості молекул має швидкості, що у цьому інтервалі. Конкретний вид функції розподілу Максвелла залежить від роду газу (маси молекули) та температури. Тиск та обсяг газу на розподіл молекул за швидкостями не впливає.
Крива розподілу Максвелла дозволить знайти середню арифметичну швидкість
Таким чином,
З підвищенням температури найімовірніша швидкість зростає, тому максимум розподілу молекул за швидкостями зсувається у бік високих швидкостей, яке абсолютна величина зменшується. Отже, при нагріванні газу частка молекул, що володіють малими швидкостями, зменшується, а частка молекул з великими швидкостями збільшується.
Розподіл Больцмана
Це розподіл за енергіями частинок (атомів, молекул) ідеального газу в умовах термодинамічної рівноваги. Розподіл Больцмана було відкрито 1868 - 1871 рр. австралійським фізиком Л. Больцманом. Відповідно до розподілу, число частинок n i з повною енергією E i дорівнює:
n i =A ω i e E i /Kt (1)
де ω i – статистична вага (число можливих станів частинки з енергією e i). Постійна А виходить із умови, що сума n i за всіма можливими значеннями i дорівнює заданому повному числу частинок N у системі (умова нормування):
У випадку, коли рух частинок підпорядковується класичній механіці, енергію E i можна вважати частинки (молекули або атома), що складається з кінетичної енергії E iкін, її внутрішньої енергії E iвн (напр., енергії збудження електронів) і потенційної енергії E i , піт у зовнішньому поле, що залежить від положення частинки у просторі:
E i = E i, кін + E i, вн + E i, піт (2)
Розподіл часток за швидкостями є окремим випадком розподілу Больцмана. Воно має місце, коли можна знехтувати внутрішньою енергією збудження
E i,вн і впливом зовнішніх полів E i,пот. Відповідно до (2) формули (1) можна подати у вигляді твору трьох експонентів, кожна з яких дає розподіл частинок по одному виду енергії.
У постійному полі тяжкості, що створює прискорення g, для часток атмосферних газів поблизу поверхні Землі (або інших планет) потенційна енергія пропорційна їх масі m і висоті H над поверхнею, тобто. E i, піт = mgH. Після підстановки цього значення розподілу Больцмана і підсумовування за всілякими значеннями кінетичної та внутрішньої енергій частинок виходить барометрична формула, що виражає закон зменшення щільності атмосфери з висотою.
В астрофізиці, особливо теоретично зоряних спектрів, розподіл Больцмана часто використовується визначення відносної заселеності електронами різних рівнів енергії атомів. Якщо позначити індексами 1 і 2 два енергетичні стани атома, то з розподілу випливає:
n 2 /n 1 = (ω 2 /ω 1) e-(E 2 -E 1)/kT (3) (ф-ла Больцмана).
Різниця енергій E 2 -E 1 для двох нижніх рівнів енергії атома водню >10 эВ, а значення kT, що характеризує енергію теплового руху частинок для атмосфер зірок типу Сонця, становить лише 0,3-1 еВ. Тому водень у таких зоряних атмосферах перебуває у незбудженому стані. Так, в атмосферах зірок, що мають ефективну температуру Те > 5700 К (Сонце та ін. Зірки), відношення чисел атомів водню у другому та основному станах дорівнює 4,2 10 -9 .
Розподіл Больцмана було отримано у межах класичної статистики. У 1924-26 рр. було створено квантову статистику. Вона призвела до відкриття розподілів Бозе – Ейнштейна (для частинок із цілим спином) та Фермі – Дірака (для частинок із напівцілим спином). Обидва ці розподіли переходять у розподіл, коли середня кількість доступних для системи квантових станів значно перевищує кількість частинок у системі, т.ч. коли на одну частинку припадає багато квантових станів або ін. словами, коли ступінь заповнення квантових станів мала. Умову застосування розподілу Больцмана можна записати у вигляді нерівності:
де N – число частинок, V – обсяг системи. Ця нерівність виконується при високій температурі і малому числі частинок в од. обсягу (N/V). З цього випливає, що чим більша маса частинок, тим для більш широкого інтервалу змін Т і N/V справедливий розподіл Больцмана.
квиток 7.
Робота всіх прикладених сил дорівнює роботі рівнодіючої сили(Див. рис. 1.19.1).
Між зміною швидкості тіла та роботою, досконалою прикладеними до тіла силами, існує зв'язок. Цей зв'язок найпростіше встановити, розглядаючи рух тіла вздовж прямої лінії під дією постійної сили. Направивши координатну вісь вздовж прямого руху, можна розглядати F, s, υ і aяк алгебраїчні величини (позитивні чи негативні залежно від напряму відповідного вектора). Тоді роботу сили можна записати як A = Fs. При рівноприскореному русі переміщення sвиражається формулою
Цей вираз показує, що робота, виконана силою (або рівнодією всіх сил), пов'язана зі зміною квадрата швидкості (а не самої швидкості).
Фізична величина, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості, називається кінетичною енергією тіла:
Це твердження називають теорема про кінетичну енергію . Теорема про кінетичної енергії справедлива і в загальному випадку, коли тіло рухається під дією сили, що змінюється, напрямок якої не збігається з напрямком переміщення.
Кінетична енергія – це енергія руху. Кінетична енергія тіла масою m, що рухається зі швидкістю дорівнює роботі, яку повинна зробити сила, прикладена до тіла, що спочиває, щоб повідомити йому цю швидкість:
У фізиці поряд із кінетичною енергією чи енергією руху важливу роль відіграє поняття потенційної енергії або енергії взаємодії тіл.
Потенційна енергія визначається взаємним становищем тіл (наприклад, положенням тіла щодо Землі). Поняття потенційної енергії можна ввести тільки для сил, робота яких не залежить від траєкторії руху та визначається лише початковим та кінцевим положеннями тіла . Такі сили називаються консервативними .
Робота консервативних сил на замкнутій траєкторії дорівнює нулю. Це твердження пояснює рис. 1.19.2.
Властивістю консервативності мають сила тяжкості та сила пружності. Для цих сил можна запровадити поняття потенційної енергії.
Якщо тіло переміщається поблизу поверхні Землі, то на нього діє постійна за величиною та напрямком сила тяжіння. Робота цієї сили залежить тільки від вертикального переміщення тіла. На будь-якій ділянці шляху роботу сили тяжіння можна записати у проекціях вектора переміщення на вісь OY, спрямовану вертикально вгору:
Ця робота дорівнює зміні деякої фізичної величини mgh, узятий з протилежним знаком. Цю фізичну величину називають потенційною енергією тіла у полі сили тяжіння
Потенціальна енергія Eр залежить від вибору нульового рівня, тобто від вибору початку координат осі OY. Фізичний сенс має не сама потенційна енергія, а її зміна? Eр = Eр2 - Eр1 при переміщенні тіла з одного положення до іншого. Ця зміна залежить від вибору нульового рівня.
Якщо розглядати рух тіл у полі тяжіння Землі на значних відстанях від неї, то при визначенні потенційної енергії необхідно брати до уваги залежність сили тяжіння від відстані до центру Землі. закон всесвітнього тяжіння). Для сил всесвітнього тяжіння потенційну енергію зручно відраховувати від нескінченно віддаленої точки, тобто вважати потенційну енергію тіла в нескінченно віддаленій точці, що дорівнює нулю. Формула, що виражає потенційну енергію тіла масою mна відстані rвід центру Землі, має вигляд ( див. §1.24):
|
|
де M- Маса Землі, G- Гравітаційна постійна.
Поняття потенційної енергії можна запровадити і сили пружності. Ця сила також має властивість консервативності. Розтягуючи (або стискаючи) пружину, ми можемо робити це у різний спосіб.
Можна просто подовжити пружину на величину x, або спочатку подовжити її на 2 x, а потім зменшити подовження до значення xі т. д. У всіх цих випадках сила пружності здійснює ту саму роботу, яка залежить тільки від подовження пружини xу кінцевому стані, якщо спочатку пружина була недеформована. Ця робота дорівнює роботі зовнішньої сили A, взятої з протилежним знаком ( див. §1.18):
Потенційна енергія пружно деформованого тіла дорівнює роботі сили пружності при переході з цього стану в стан із нульовою деформацією.
Якщо в початковому стані пружина вже була деформована, а її подовження дорівнювало x 1 тоді при переході в новий стан з подовженням x 2 сила пружності зробить роботу, рівну зміні потенційної енергії, взятому з протилежним знаком:
У багатьох випадках зручно використовувати молярну теплоємність C:
де M – молярна маса речовини.
Визначена таким чином теплоємність не єоднозначною характеристикою речовини. Згідно з першим законом термодинаміки зміна внутрішньої енергії тіла залежить не тільки від отриманої кількості теплоти, а й від роботи, досконалої тілом. Залежно та умовами, за яких здійснювався процес теплопередачі, тіло могло здійснювати різну роботу. Тому однакова кількість теплоти, передана тілу, могла викликати різні зміни внутрішньої енергії і, отже, температури.
Така неоднозначність визначення теплоємності характерна лише для газоподібної речовини. При нагріванні рідких і твердих тіл їх обсяг практично не змінюється, робота розширення виявляється рівною нулю. Тому вся кількість теплоти, отримана тілом, йде зміну його внутрішньої енергії. На відміну від рідин та твердих тіл, газ у процесі теплопередачі може сильно змінювати свій об'єм та виконувати роботу. Тому теплоємність газоподібної речовини залежить від характеру термодинамічного процесу. Зазвичай розглядаються два значення теплоємності газів: C V – молярна теплоємність у ізохорному процесі (V = const) та C p – молярна теплоємність у ізобарному процесі (p = const).
У процесі при постійному обсязі газ роботи не здійснює: A = 0. З першого закону термодинаміки для 1 моля газу слідує
де ΔV – зміна об'єму 1 молячи ідеального газу при зміні його температури на ΔT. Звідси випливає:
де R - Універсальна газова постійна. При p = const
Таким чином, співвідношення, що виражає зв'язок між молярними теплоємностями C p і C V має вигляд (формула Майєра):
Молярна теплоємність C p газу в процесі з постійним тиском завжди більша за молярну теплоємність C V у процесі з постійним об'ємом (рис. 3.10.1).
Зокрема, це ставлення входить до формули для адіабатичного процесу (див. §3.9).
Між двома ізотермами з температурами T 1 та T 2 на діаграмі (p, V) можливі різні шляхи переходу. Оскільки для всіх таких переходів зміна температури ΔT = T 2 – T 1 однакова, отже, однакова зміна ΔU внутрішньої енергії. Однак, виконані при цьому роботи A та отримані в результаті теплообміну кількості теплоти Q будуть різними для різних шляхів переходу. Звідси випливає, що газ має незліченну кількість теплоємностей. C p і C V це лише приватні (і дуже важливі для теорії газів) значення теплоємностей.
Квиток 8.
1 Звичайно, положення однієї, навіть «особливої», точки далеко не повністю описує рух всієї системи тіл, але все-таки краще знати положення хоча б однієї точки, ніж не знати нічого. Тим не менш, розглянемо застосування законів Ньютона до опису обертання твердого тіла навколо фіксованої. осі 1 . Почнемо з найпростішого випадку: нехай матеріальна точка маси mприкріплена за допомогою невагомого жорсткого стрижня завдовжки rдо нерухомої осі ГО / (Рис. 106).
Матеріальна точка може рухатися навколо осі, залишаючись від неї на постійній відстані, отже, її траєкторія буде коло з центром на осі обертання. Безумовно, рух точки підпорядковується рівнянню другого закону Ньютона
Однак безпосереднє застосування цього рівняння не виправдане: по-перше, точка має один ступінь свободи, тому як єдина координата зручно використовувати кут повороту, а не дві декартові координати; по-друге, на систему, що розглядається, діють сили реакції в осі обертання, а безпосередньо на матеріальну точку - сила натягу стрижня. Знаходження цих сил є окремою проблемою, вирішення якої зайве для опису обертання. Тому має сенс отримати на підставі законів Ньютона спеціальне рівняння, що безпосередньо описує обертальний рух. Нехай у певний момент часу на матеріальну точку діє певна сила F, що лежить у площині перпендикулярної осі обертання (рис. 107).
При кінематичному описі криволінійного руху вектор повного прискорення зручно розкласти на дві складові − нормальну а n, спрямовану до осі обертання, та тангенціальну а τ , спрямовану паралельно до вектора швидкості. Значення нормального прискорення визначення закону руху нам не потрібне. Звичайно, це прискорення також зумовлене чинними силами, одна з яких – невідома сила натягу стрижня. Запишемо рівняння другого закону у проекції на тангенціальний напрямок:
Зауважимо, що сила реакції стрижня не входить у це рівняння, оскільки вона спрямована вздовж стрижня і перпендикулярна до обраної проекції. Зміна кута повороту φ безпосередньо визначається кутовою швидкістю
ω = Δφ/Δt,
зміна якої, своєю чергою, описується кутовим прискоренням
ε = Δω/Δt.
Кутове прискорення пов'язане з тангенціальною складовою прискорення співвідношенням
а τ = rε.
Якщо підставимо цей вираз у рівняння (1), то отримаємо рівняння, придатне визначення кутового прискорення. Зручно запровадити нову фізичну величину, визначальну взаємодію тіл за її повороті. Для цього помножимо обидві частини рівняння (1) на r:
mr 2 ε = F τ r. (2)
Розглянемо вираз у його правій частині F τ rщо має сенс твору тангенціальної складової сили на відстань від осі обертання до точки докладання сили. Цей же твір можна уявити в дещо іншій формі (рис. 108):
M = F τ r = Frcosα = Fd,
тут d− відстань від осі обертання до лінії дії сили, яку також називають плечем сили. Ця фізична величина - добуток модуля сили на відстань від лінії дії сили до осі обертання (плечо сили) М = Fd− називається моментом сили. Дія сили може призводити до обертання як за годинниковою стрілкою, так і за годинниковою стрілкою. Відповідно до обраного позитивного напрямку обертання слід визначати і знак моменту сили. Зауважте, що момент сили визначається тією складовою сили, яка перпендикулярна радіусу-вектору точки додатка. Складна вектора сили, спрямована вздовж відрізка, що з'єднує точку додатка та вісь обертання, не призводить до розкручування тіла. Ця складова при закріпленій осі компенсується силою реакції в осі, тому не впливає на обертання тіла. Запишемо ще один корисний вираз для моменту сили. Нехай сила Fдодана до точки А, декартові координати якої рівні х, у(Рис. 109).
Розкладемо силу Fна дві складові F х , F у, паралельні відповідним осям координат. Момент сили F щодо осі, що проходить через початок координат, очевидно дорівнює сумі моментів складових F х , F у, тобто
М = хF у − уF х .
Аналогічно, тому, як ми запровадили поняття вектора кутової швидкості, можна визначити і поняття вектора моменту сили. Модуль цього вектора відповідає даному вище визначенню, спрямований він перпендикулярно площині, що містить вектор сили і відрізок, що з'єднує точку докладання сили з віссю обертання (рис. 110).
Вектор моменту сили також може бути визначений як векторний добуток радіус-вектор точки точки сили на вектор сили
Зауважимо, що при зміщенні точки застосування сили вздовж лінії її дії момент сили не змінюється. Позначимо добуток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання
mr 2 = I
(Ця величина називається моментом інерціїматеріальної точки щодо осі). З використанням цих позначень рівняння (2) набуває вигляду, що формально збігається з рівнянням другого закону Ньютона для поступального руху:
Iε = M. (3)
Це рівняння називається основним рівнянням динаміки обертального руху. Отже, момент сили у обертальному русі грає таку ж роль, як і сила в поступальному русі, саме він визначає зміну кутової швидкості. Виявляється (і це підтверджує наш повсякденний досвід), вплив сили на швидкість обертання визначає як величина сили, а й точка його докладання. Момент інерції визначає інерційні властивості тіла по відношенню до обертання (говорячи простою мовою – показує, чи легко розкрутити тіло): що далі від осі обертання знаходиться матеріальна точка, то важче привести її до обертання. Рівняння (3) допускає узагальнення у разі обертання довільного тіла. При обертанні тіла навколо фіксованої осі кутові прискорення всіх точок тіла однакові. Тому аналогічно тому, як ми зробили при виведенні рівняння Ньютона для поступального руху тіла, можна записати рівняння (3) для всіх точок тіла, що обертається і потім їх підсумувати. В результаті ми отримаємо рівняння, що зовні збігається з (3), в якому I− момент інерції всього тіла, рівний сумі моментів складових його матеріальних точок, M− сума моментів зовнішніх сил, що діють на тіло. Покажемо, як обчислюється момент інерції тіла. Важливо підкреслити, що момент інерції тіла залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, а й від положення та орієнтації осі обертання. Формально процедура розрахунку зводиться до розбиття тіла на малі частини, які вважатимуться матеріальними точками (рис. 111),
та підсумовування моментів інерції цих матеріальних точок, які рівні добутку маси на квадрат відстані до осі обертання:
Для тіл простої форми такі суми давно підраховані, тому часто досить згадати (або знайти у довіднику) відповідну формулу для потрібного моменту інерції. Як приклад: момент інерції кругового однорідного циліндра, маси mта радіуса R, для осі обертання, що збігається з віссю циліндра дорівнює:
I = (1/2) mR 2 (Рис. 112).
В даному випадку ми обмежуємося розглядом обертання навколо фіксованої осі, тому що опис довільного обертального руху тіла є складною математичною проблемою, що далеко виходить за рамки курсу математики середньої школи. Знання інших фізичних законів, крім аналізованих нами, цей опис вимагає.
2 Внутрішня енергіятіла (позначається як Eабо U) - повна енергія цього тіла за винятком кінетичної енергії тіла як цілого та потенційної енергії тіла у зовнішньому полі сил. Отже, внутрішня енергія складається з кінетичної енергії хаотичного руху молекул, потенційної енергії взаємодії між ними та внутрішньомолекулярної енергії.
Внутрішня енергія тіла - енергія руху та взаємодії частинок, з яких складається тіло.
Внутрішня енергія тіла - це сумарна кінетична енергія руху молекул тіла та потенційна енергія їхньої взаємодії.
Внутрішня енергія є однозначною функцією стану системи. Це означає, що кожного разу, коли система виявляється в даному стані, її внутрішня енергія набуває властивого цьому стану значення, незалежно від передісторії системи. Отже, зміна внутрішньої енергії при переході з одного стану в інший буде завжди дорівнює різниці значень у цих станах, незалежно від шляху, яким відбувався перехід.
Внутрішню енергію тіла не можна виміряти безпосередньо. Можна визначити лише зміну внутрішньої енергії:
Для квазістатичних процесів виконується таке співвідношення:
1. Загальні відомостіКількість теплоти, яка потрібна для нагрівання на 1° одиниці кількості газу, називається теплоємністюі позначається буквою с.У технічних розрахунках теплоємність вимірюють у кілоджоулях. При використанні старої системи одиниць теплоємність виражають у кілокалоріях (ГОСТ 8550-61) *. Залежно від того, в яких одиницях вимірюють кількість газу розрізняють: мольну теплоємність \хс в кдж/(кмол'х X град);масову теплоємність з кдж/(кг-град);об'ємну теплоємність зв кдж/(м 3 град).При визначенні об'ємної теплоємності необхідно вказувати на які значення температури і тиску вона відноситься. Прийнято визначати об'ємну теплоємність за нормальних фізичних умов. Теплоємність газів, що підкоряються законам ідеального газу, залежить тільки від температури. Справжня теплоємність є відношенням нескінченно малої кількості підведеної теплоти Дд при збільшенні температури на нескінченно малу величину At:Середня теплоємність визначає середню кількість підведеної теплоти при нагріванні одиниці кількості газу на 1° в інтервалі температур t x до t%:де q- кількість теплоти, підведеної до одиниці маси газу при нагріванні від температури t t до температури t%.Залежно від характеру перебігу процесу, при якому відбувається підведення або відведення теплоти, величина теплоємності газу буде різною. Якщо газ підігрівається в посудині постійного обсягу (V=» = const), то теплота витрачається тільки на підвищення його температури. Якщо газ знаходиться в циліндрі з рухомим поршнем, то при підведенні теплоти тиск газу залишається постійним (Р == const). При цьому, підігріваючись, газ розширюється і виконує роботу проти зовнішніх сил при одночасному збільшенні його температури. Для того щоб різниця між кінцевою та початковою температурами під час нагрівання газу в процесі р= const була б такою ж, як і у випадку нагрівання при V= = const, кількість витрачається теплоти має бути більшою на величину, рівну досконалій газом роботи в процесі р = = const. З цього випливає, що теплоємність газу при постійному тиску з р буде більше теплоємності при постійному обсязі. Другий член у рівняннях характеризує кількість теплоти, що зачіпає роботу газу в процесі р= = const при зміні температури на 1°. При проведенні наближених розрахунків можна вважати, що теплоємність робочого тіла постійна і залежить від температури. У цьому випадку знання мольних теплоємностей при постійному обсязі можна прийняти для одно-, дво- та багатоатомних газів відповідно рівними 12,6; 20,9 та 29,3 кдж/(кмоль-град)або 3; 5 та 7 ккал/(кмоль-град).
Куля 22-го калібру має масу всього 2 г. Якщо комусь кинути таку кулю, він легко зможе зловити її навіть без рукавичок. Якщо спробувати зловити таку кулю, що вилетіла з дула зі швидкістю 300 м/с, то навіть рукавички тут не допоможуть.
Якщо на тебе котиться іграшковий візок, ти зможеш зупинити його носком ноги. Якщо на тебе котиться вантажівка, слід забирати ноги з його шляху.
Розглянемо завдання, яке демонструє зв'язок імпульсу сили та зміни імпульсу тіла.
приклад.Маса м'яча дорівнює 400 г, швидкість, яку придбав м'яч після удару – 30 м/с. Сила, з якою нога діяла на м'яч – 1500 Н, а час удару 8 мс. Знайти імпульс сили та зміна імпульсу тіла для м'яча.
Зміна імпульсу тіла
приклад.Оцінити середню силу з боку підлоги, що діє на м'яч під час удару.
1) Під час удару на м'яч діють дві сили: сила реакції опори, сила тяжкості.
Сила реакції змінюється протягом часу удару, тому можна визначити середню силу реакції статі.
2) Зміна імпульсу 
тіла зображено на малюнку
3) З другого закону Ньютона
Головне запам'ятати
1) Формули імпульсу тіла, імпульсу сили;
2) Напрямок вектора імпульсу;
3) Знаходити зміну імпульсу тіла
Висновок другого закону Ньютона у вигляді
Графік F(t). Змінна сила
Імпульс сили чисельно дорівнює площі фігури під графіком F(t).
Якщо ж сила непостійна у часі, наприклад, лінійно збільшується F=ktто імпульс цієї сили дорівнює площі трикутника. Можна замінити цю силу такою постійною силою, яка змінить імпульс тіла на ту саму величину за той самий проміжок часу
Середня рівнодіюча сила
ЗАКОН ЗБЕРІГАННЯ ІМПУЛЬСУ
Тестування онлайн
Замкнена система тіл
Це система тіл, які взаємодіють лише одне з одним. Нема зовнішніх сил взаємодії.
У реальному світі такої системи не може бути, немає можливості прибрати будь-яку зовнішню взаємодію. Замкнена система тіл – це фізична модель, як і матеріальна точка є моделлю. Це модель системи тіл, які нібито взаємодіють лише один з одним, зовнішні сили не беруться до уваги, нехтують ними.
Закон збереження імпульсу
У замкнутій системі тіл векторнасума імпульсів тіл не змінюється при взаємодії тіл. Якщо імпульс одного тіла збільшився, це означає, що в якогось іншого тіла (або кількох тіл) в цей момент імпульс зменшився рівно на таку ж величину.
Розглянемо такий приклад. Дівчина і хлопчик катаються на ковзанах. Замкнена система тіл - дівчинка та хлопчик (тертя та інші зовнішні сили нехтуємо). Дівчинка стоїть на місці, її імпульс дорівнює нулю, оскільки швидкість нульова (див. формулу імпульсу тіла). Після того, як хлопчик, який рухається з деякою швидкістю, зіткнеться з дівчинкою, вона теж почне рухатися. Тепер її тіло має імпульс. Чисельне значення імпульсу дівчинки таке саме, на скільки зменшився після зіткнення імпульс хлопчика.
Одне тіло масою 20кг рухається зі швидкістю, друге тіло масою 4кг рухається у тому напрямі зі швидкістю. Чому рівні імпульси кожного тіла? Чому дорівнює імпульс системи?
Імпульс системи тіл- це векторна сума імпульсів усіх тіл, що входять до системи. У нашому прикладі, це сума двох векторів (оскільки розглядаються два тіла), які спрямовані в один бік, тому
Зараз обчислимо імпульс системи тіл із попереднього прикладу, якщо друге тіло рухається у зворотному напрямку.
Так як тіла рухаються в протилежних напрямках, отримуємо векторну суму різноспрямованих імпульсів. Докладніше про суму векторів.
Головне запам'ятати
1) Що таке замкнута система тіл;
2) Закон збереження імпульсу та його застосування
Його руху, тобто. величина.
Імпульс- Векторна величина, що збігається у напрямку з вектором швидкості .
Одиниця виміру імпульсу в системі СІ: кг м/с .
Імпульс системи тіл дорівнює векторній сумі імпульсів усіх тіл, що входять до системи:
Закон збереження імпульсу
Якщо на систему тіл, що взаємодіють, діють додатково зовнішні сили, наприклад, то в цьому випадку справедливе співвідношення, яке іноді називають законом зміни імпульсу:
Для замкнутої системи (за відсутності зовнішніх сил) справедливий закон збереження імпульсу:
Дія закону збереження імпульсу можна пояснити явище віддачі при стрільбі з гвинтівки або при артилерійській стрільбі. Також дія закону збереження імпульсу є основою принципу роботи всіх реактивних двигунів.
При вирішенні фізичних завдань законом збереження імпульсу користуються, коли знання всіх деталей руху не потрібно, а важливий результат взаємодії тіл. Такими завданнями, наприклад, є завдання про зіткнення або зіткнення тел. Законом збереження імпульсу користуються під час розгляду руху тіл змінної маси таких, як ракети-носія. Більшість маси такої ракети становить паливо. На активній ділянці польоту це паливо вигоряє і маса ракети на цій ділянці траєкторії швидко зменшується. Також закон збереження імпульсу необхідний у випадках, коли поняття . Важко собі уявити ситуацію, коли нерухоме тіло набуває певної швидкості миттєво. У звичайній практиці тіла завжди розганяються та набирають швидкість поступово. Однак при русі електронів та інших субатомних частинок зміна їхнього стану відбувається стрибком без перебування у проміжних станах. У разі класичне поняття «прискорення» застосовувати не можна.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, потрапляє у вагон із піском масою 10 т і застряє у ньому. Яку швидкість отримає вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямку, протилежному до руху снаряда? |
| Рішення | Система вагон+снаряд замкнута, тому в даному випадку можна застосувати закон збереження імпульсу. Виконаємо малюнок, вказавши стан тіл до та після взаємодії.
При взаємодії снаряда та вагона має місце пружний удар. Закон збереження імпульсу у разі запишеться як: Вибираючи напрямок осі, що збігається з напрямком руху вагона, запишемо проекцію цього рівняння на координатну вісь: звідки швидкість вагона після попадання до нього снаряда:
Переводимо одиниці у систему СІ: т кг. Обчислимо: |
| Відповідь | Після влучення снаряда вагон рухатиметься зі швидкістю 5 м/с. |
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Снаряд масою m=10 кг володів швидкістю v=200 м/с у верхній точці. У цій точці він розірвався на дві частини. Найменша частина масою m 1 =3 кг отримала швидкість v 1 =400 м/с у колишньому напрямку під кутом до горизонту. З якою швидкістю та в якому напрямку полетить більша частина снаряда? |
| Рішення | Траєкторія руху снаряда – парабола. Швидкість тіла завжди спрямована щодо траєкторії. У верхній точці траєкторії швидкість снаряда паралельна осі.
Запишемо закон збереження імпульсу: Перейдемо від векторів до скалярних величин. Для цього зведемо обидві частини векторної рівності квадрат і скористаємося формулами для : Враховуючи, що , а також що , знаходимо швидкість другого уламка: Підставивши в отриману формулу чисельні значення фізичних величин, обчислимо: Напрямок польоту більшої частини снаряда визначимо, скориставшись:
Підставивши у формулу чисельні значення, отримаємо: |
| Відповідь | Більшість снаряда полетить зі швидкістю 249 м/с вниз під кутом до горизонтального напрямку. |
ПРИКЛАД 3
| Завдання | Маса поїзда 3000 т. Коефіцієнт тертя 0,02. Якою має бути паровоз, щоб поїзд набрав швидкість 60 км/год через 2 хв після початку руху. |
| Рішення | Оскільки на поїзд діє (зовнішня сила), систему не можна вважати замкненою, і закон збереження імпульсу у разі не виконується. Скористаємося законом зміни імпульсу: Оскільки сила тертя завжди спрямована у бік, протилежний руху тіла, в проекцію рівняння на вісь координат (напрямок осі збігається з напрямком руху поїзда) імпульс сили тертя увійде зі знаком «мінус»: |
Імпульс тіла
Імпульсом тіла називається величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість.
Слід пам'ятати, що йдеться про тіло, яке можна як матеріальну точку. Імпульс тіла ($р$) називають також кількістю руху. Поняття кількості руху було запроваджено у фізику Рене Декартом (1596—1650). Термін «імпульс» виник пізніше (impulsus у перекладі з латинської означає «поштовх»). Імпульс є векторною величиною (як і швидкість) і виражається формулою:
$p↖(→)=mυ↖(→)$
Напрямок вектора імпульсу завжди збігається із напрямком швидкості.
За одиницю імпульсу СІ приймають імпульс тіла масою $1$ кг, що рухається зі швидкістю $1$ м/с, отже, одиницею імпульсу є $1$ кг $·$ м/с.
Якщо на тіло (матеріальну точку) діє постійна сила протягом проміжку часу $∆t$, то постійним буде прискорення:
$a↖(→)=((υ_2)↖(→)-(υ_1)↖(→))/(∆t)$
де, $(υ_1)↖(→)$ і $(υ_2)↖(→)$ — початкова та кінцева швидкості тіла. Підставивши це значення у вираз другого закону Ньютона, отримаємо:
$(m((υ_2)↖(→)-(υ_1)↖(→)))/(∆t)=F↖(→)$
Розкривши дужки та скориставшись виразом для імпульсу тіла, маємо:
$(p_2)↖(→)-(p_1)↖(→)=F↖(→)∆t$
Тут $(p_2)↖(→)-(p_1)↖(→)=∆p↖(→)$ — зміна імпульсу за час $∆t$. Тоді попереднє рівняння набуде вигляду:
$∆p↖(→)=F↖(→)∆t$
Вираз $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$ є математичним записом другого закону Ньютона.
Твір сили на час її дії називають імпульсом сили. Тому зміна імпульсу точки дорівнює зміні імпульсу сили, що діє на неї.
Вираз $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$ називається рівнянням руху тіла. Слід зазначити, що одна й та сама дія — зміна імпульсу точки — може бути отримана малою силою за великий проміжок часу і великою силою за малий проміжок часу.
Імпульс системи тел. Закон зміни імпульсу
Імпульсом (кількістю руху) механічної системи називається вектор, що дорівнює сумі імпульсів усіх матеріальних точок цієї системи:
$(p_(сист))↖(→)=(p_1)↖(→)+(p_2)↖(→)+...$
Закони зміни та збереження імпульсу є наслідком другого та третього законів Ньютона.
Розглянемо систему, що складається із двох тіл. Сили ($F_(12)$ і $F_(21)$ малюнку, із якими тіла системи взаємодіють між собою, називаються внутрішніми.
Нехай крім внутрішніх сил на систему діють зовнішні сили $(F_1)↖(→)$ і $(F_2)↖(→)$. Для кожного тіла можна записати рівняння $∆p↖(→)=F↖(→)∆t$. Склавши ліві та праві частини цих рівнянь, отримаємо:
$(∆p_1)↖(→)+(∆p_2)↖(→)=((F_(12))↖(→)+(F_(21))↖(→)+(F_1)↖(→)+ (F_2)↖(→))∆t$
Згідно з третім законом Ньютона $(F_(12))↖(→)=-(F_(21))↖(→)$.
Отже,
$(∆p_1)↖(→)+(∆p_2)↖(→)=((F_1)↖(→)+(F_2)↖(→))∆t$
У лівій частині стоїть геометрична сума змін імпульсів усіх тіл системи, рівна зміні імпульсу самої системи — $(∆p_(сист))↖(→)$. ↖(→)=((F_1)↖(→)+(F_2)↖(→))∆t$ можна записати:
$(∆p_(сист))↖(→)=F↖(→)∆t$
де $F↖(→)$ — сума всіх зовнішніх сил, які діють тіло. Отриманий результат означає, що імпульс системи можуть змінити лише зовнішні сили, причому зміна імпульсу системи спрямовано так само, як сумарна зовнішня сила. У цьому вся суть закону зміни імпульсу механічної системи.
Внутрішні сили змінити сумарний імпульс системи що неспроможні. Вони лише змінюють імпульси окремих тіл системи.
Закон збереження імпульсу
З рівняння $(∆p_(сист))↖(→)=F↖(→)∆t$ випливає закон збереження імпульсу. Якщо на систему не діють жодні зовнішні сили, то права частина рівняння $(∆p_(сист))↖(→)=F↖(→)∆t$ звертається в нуль, що означає незмінність сумарного імпульсу системи:
$(∆p_(сист))↖(→)=m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=const$
Система, на яку не діють жодні зовнішні сили або рівнодіюча зовнішніх сил дорівнює нулю, називається замкнутої.
Закон збереження імпульсу говорить:
Сумарний імпульс замкнутої системи тіл залишається постійним за будь-яких взаємодій тіл системи між собою.
Отриманий результат справедливий для системи, що містить довільне число тел. Якщо сума зовнішніх сил не дорівнює нулю, але сума їх проекцій на якийсь напрямок дорівнює нулю, то проекція імпульсу системи на цей напрямок не змінюється. Так, наприклад, система тіл на поверхні Землі не може вважатися замкненою через силу тяжіння, що діє на всі тіла, однак сума проекцій імпульсів на горизонтальний напрямок може залишатися незмінною (за відсутності тертя), тому що в цьому напрямку сила тяжіння не діє.
Реактивний рух
Розглянемо приклади, що підтверджують справедливість закону збереження імпульсу.
Візьмемо дитячу гумову кульку, надуємо її і відпустимо. Ми побачимо, що коли повітря почне виходити з нього в один бік, сама кулька полетить в інший. Рух кульки є прикладом реактивного руху. Пояснюється воно законом збереження імпульсу: сумарний імпульс системи «кулька плюс повітря в ньому» до закінчення повітря дорівнює нулю; він повинен залишитися рівним нулю та під час руху; тому кулька рухається у бік, протилежний напрямку закінчення струменя, і з такою швидкістю, що його імпульс по модулю дорівнює імпульсу повітряного струменя.
Реактивним рухомназивають рух тіла, що виникає при відділенні від нього з якоюсь швидкістю деякої його частини. Внаслідок закону збереження імпульсу напрям руху тіла при цьому протилежно напрямку руху частини, що відокремилася.
На принципі реактивного руху засновано польоти ракет. Сучасна космічна ракета є дуже складним літальним апаратом. Маса ракети складається з маси робочого тіла (тобто розпечених газів, що утворюються в результаті згоряння палива і викидаються у вигляді реактивного струменя) і кінцевої, або, як кажуть, «сухої» маси ракети, що залишається після викиду з ракети робочого тіла.
Коли реактивний газовий струмінь з великою швидкістю викидається з ракети, сама ракета прямує у протилежний бік. Згідно із законом збереження імпульсу, імпульс $m_(p)υ_p$, що купується ракетою, повинен дорівнювати імпульсу $m_(газ)·υ_(газ)$ викинутих газів:
$m_(p)υ_p=m_(газ)·υ_(газ)$
Звідси випливає, що швидкість ракети
$υ_p=((m_(газ))/(m_p))·υ_(газ)$
З цієї формули видно, що швидкість ракети тим більша, чим більша швидкість газів, що викидаються, і відношення маси робочого тіла (тобто маси палива) до кінцевої («сухої») маси ракети.
Формула $υ_p=((m_(газ))/(m_p))·υ_(газ)$ є наближеною. У ній не враховується, що в міру згоряння палива маса ракети, що летить, стає все менше і менше. Точна формула швидкості ракети була отримана в 1897 р. К. Е. Ціолковським і носить його ім'я.
Робота сили
Термін «робота» був у фізику в 1826 р. французьким ученим Ж. Понселе. Якщо в повсякденному житті роботою називають лише працю людини, то у фізиці і, зокрема, у механіці прийнято вважати, що роботу здійснює сила. Фізичну величину роботи зазвичай позначають літерою $ А $.
Робота сили— це міра дії сили, що залежить від її модуля та напряму, а також від переміщення точки докладання сили. Для постійної сили та прямолінійного переміщення робота визначається рівністю:
$A=F|∆r↖(→)|cosα$
де $F$ — сила, що діє тіло, $∆r↖(→)$ — переміщення, $α$ — кут між силою і переміщенням.
Робота сили дорівнює добутку модулів сили та переміщення та косинуса кута між ними, тобто скалярному добутку векторів $F↖(→)$ та $∆r↖(→)$.
Робота – величина скалярна. Якщо $α 0$, а якщо $90°
При дії на тіло кількох сил повна робота (сума робіт усіх сил) дорівнює роботі результуючої сили.
Одиницею роботи у СІ є Джоуль($ 1 $ Дж). $1$ Дж - це робота, яку здійснює сила в $1$ Н на шляху в $1$ м у напрямку дії цієї сили. Ця одиниця названа на честь англійського вченого Дж. Джоуля (1818-1889): $1$ Дж = $1$ Н $·$ м. Часто застосовуються також кілоджоулі та мілліджоулі: $1$ кДж $= 1 000$ Дж, $1$ мДж $= 0.001 $ Дж.
Робота сили тяжіння
Розглянемо тіло, що ковзає по похилій площині з кутом нахилу $α$ і заввишки $Н$.
Виразимо $∆x$ через $H$ і $α$:
$∆x=(H)/(sinα)$
Враховуючи, що сила тяжіння $F_т=mg$ становить кут ($90° - α$) з напрямком переміщення, використовуючи формулу $∆x=(H)/(sin)α$, отримаємо вираз для роботи сили тяжіння $A_g$:
$A_g=mg·cos(90°-α)·(H)/(sinα)=mgH$
З цієї формули видно, що робота сили тяжіння залежить від висоти і залежить від кута нахилу площини.
Звідси слідує що:
- робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії, якою рухається тіло, лише від початкового і кінцевого становища тіла;
- при переміщенні тіла по замкнутій траєкторії робота сили тяжіння дорівнює нулю, тобто сила тяжіння — консервативна сила (консервативними називаються сили, що мають таку властивість).
Робота сил реакції, дорівнює нулю, оскільки сила реакції ($N$) спрямована перпендикулярно до переміщення $∆x$.
Робота сили тертя
Сила тертя спрямована протилежно до переміщення $∆x$ і становить з ним кут $180°$, тому робота сили тертя негативна:
$A_(тр)=F_(тр)∆x·cos180°=-F_(тр)·∆x$
Оскільки $F_(тр)=μN, N=mg·cosα, ∆x=l=(H)/(sinα),$ то
$A_(тр)=μmgHctgα$
Робота сили пружності
Нехай на нерозтягнуту пружину довжиною $l_0$ діє зовнішня сила $F↖(→)$, розтягуючи її на $∆l_0=x_0$. У положенні $x=x_0F_(упр)=kx_0$. Після припинення дії сили $F↖(→)$ у точці $х_0$ пружина під дією сили $F_(упр)$ стискається.
Визначимо роботу сили пружності за зміни координати правого кінця пружини від $х_0$ до $х$. Оскільки сила пружності на цій ділянці змінюється лінійно, у законі Гука можна використовувати її середнє значення на цій ділянці:
$F_(упр.ср.)=(kx_0+kx)/(2)=(k)/(2)(x_0+x)$
Тоді робота (з урахуванням того, що напрямки $(F_(упр.ср.))↖(→)$ і $(∆x)↖(→)$ збігаються) дорівнює:
$A_(упр)=(k)/(2)(x_0+x)(x_0-x)=(kx_0^2)/(2)-(kx^2)/(2)$
Можна показати, що вигляд останньої формули не залежить від кута між $(F_(упр.ср.))↖(→)$ та $(∆x)↖(→)$. Робота сил пружності залежить лише від деформацій пружини у початковому та кінцевому станах.
Таким чином, сила пружності, як сила тяжіння, є консервативною силою.
Потужність сили
Потужність - фізична величина, що вимірюється ставленням роботи до проміжку часу, протягом якого вона зроблена.
Іншими словами, потужність показує, яка робота відбувається за одиницю часу (у СІ - за $ 1 $ с).
Потужність визначається формулою:
де $N$ - потужність, $А$ - робота, виконана за час $ ∆t $.
Підставивши у формулу $N=(A)/(∆t)$ замість роботи $A$ її вираз $A=F|(∆r)↖(→)|cosα$, отримаємо:
$N=(F|(∆r)↖(→)|cosα)/(∆t)=Fυcosα$
Потужність дорівнює добутку модулів векторів сили та швидкості на косинус кута між цими векторами.
Потужність у системі СІ вимірюється у ватах (Вт). Один ват ($1$ Вт) — це така потужність, за якої за $1$ з відбувається робота $1$ Дж: $1$ Вт $= 1$ Дж/с.
Ця одиниця названа у частину англійського винахідника Дж. Ватта (Уатта), який побудував першу парову машину. Сам Дж. Ватт (1736-1819) користувався іншою одиницею потужності - кінською силою (к. с.), яку він запровадив для того, щоб можна було порівнювати працездатності парової машини та коня: $1$ к.с. $= 735.5$ Вт.
У техніці часто застосовуються більші одиниці потужності — кіловат і мегават: $1$ кВт $= 1000$ Вт, $1$ МВт $= 1000000$ Вт.
Кінетична енергія. Закон зміни кінетичної енергії
Якщо тіло або кілька тіл, що взаємодіють між собою (система тіл) можуть виконувати роботу, то кажуть, що вони мають енергію.
Слово «енергія» (від грец. energia — дія, діяльність) нерідко вживається у побуті. Так, наприклад, людей, які можуть швидко виконувати роботу, називають енергійними, які мають велику енергію.
Енергія, яку має тіло внаслідок руху, називається кінетичною енергією.
Як і у випадку визначення енергії взагалі, про кінетичну енергію можна сказати, що кінетична енергія — це здатність тіла, що рухається, виконувати роботу.
Знайдемо кінетичну енергію тіла масою $m$, що рухається зі швидкістю $υ$. Оскільки кінетична енергія - це енергія, обумовлена рухом, нульовим станом для неї є стан, в якому тіло спочиває. Знайшовши роботу, необхідну повідомлення тілу даної швидкості, ми знайдемо його кінетичну енергію.
Для цього підрахуємо роботу на ділянці переміщення $∆r↖(→)$ при збігу напрямків векторів сили $F↖(→)$ та переміщення $∆r↖(→)$. В цьому випадку робота дорівнює
де $∆x=∆r$
Для руху точки з прискоренням $α=const$ вираз для переміщення має вигляд:
$∆x=υ_1t+(at^2)/(2),$
де $ υ_1 $ - Початкова швидкість.
Підставивши в рівняння $A=F·∆x$ вираз для $∆x$ з $∆x=υ_1t+(at^2)/(2)$ і скориставшись другим законом Ньютона $F=ma$, отримаємо:
$A=ma(υ_1t+(at^2)/(2))=(mat)/(2)(2υ_1+at)$
Виразивши прискорення через початкову $υ_1$ і кінцеву $υ_2$ швидкості $a=(υ_2-υ_1)/(t)$ і підставивши $A=ma(υ_1t+(at^2)/(2))=(mat)/ (2)(2υ_1+at)$ маємо:
$A=(m(υ_2-υ_1))/(2)·(2υ_1+υ_2-υ_1)$
$A=(mυ_2^2)/(2)-(mυ_1^2)/(2)$
Прирівнявши тепер початкову швидкість до нуля: $υ_1=0$, отримаємо вираз для кінетичної енергії:
$E_K=(mυ)/(2)=(p^2)/(2m)$
Таким чином, тіло, що рухається, володіє кінетичною енергією. Ця енергія дорівнює роботі, яку необхідно зробити, щоб збільшити швидкість тіла від нуля до $υ$.
З $E_K=(mυ)/(2)=(p^2)/(2m)$ випливає, що робота сили з переміщення тіла з одного положення до іншого дорівнює зміні кінетичної енергії:
$A=E_(K_2)-E_(K_1)=∆E_K$
Рівність $A=E_(K_2)-E_(K_1)=∆E_K$ виражає теорему про зміну кінетичної енергії.
Зміна кінетичної енергії тіла(Матеріальної точки) за деякий проміжок часу дорівнює роботі, виконаної за цей час силою, що діє на тіло.
Потенціальна енергія
Потенційною енергією називається енергія, яка визначається взаємним розташуванням тіл, що взаємодіють, або частин одного і того ж тіла.
Оскільки енергія визначається як здатність тіла виконувати роботу, то потенційну енергію, природно, визначають як роботу сили, яка залежить тільки від взаємного розташування тіл. Такою є робота сили тяжіння $A=mgh_1-mgh_2=mgH$ і робота сили пружності:
$A=(kx_0^2)/(2)-(kx^2)/(2)$
Потенційною енергією тіла,взаємодіючого із Землею, називають величину, рівну добутку маси $m$ цього тіла на прискорення вільного падіння $g$ і на висоту $h$ тіла над поверхнею Землі:
Потенційною енергією пружно деформованого тіла називають величину, що дорівнює половині добутку коефіцієнта пружності (жорсткості) $k$ тіла на квадрат деформації $∆l$:
$E_p=(1)/(2)k∆l^2$
Робота консервативних сил (тяжкості та пружності) з урахуванням $E_p=mgh$ і $E_p=(1)/(2)k∆l^2$ виражається так:
$A=E_(p_1)-E_(p_2)=-(E_(p_2)-E_(p_1))=-∆E_p$
Ця формула дозволяє дати загальне визначення потенційної енергії.
Потенційною енергією системи називається залежна від положення тіл величина, зміна якої при переході системи з початкового стану в кінцеве і роботі внутрішніх консервативних сил системи, взятої з протилежним знаком.
Знак «мінус» у правій частині рівняння $A=E_(p_1)-E_(p_2)=-(E_(p_2)-E_(p_1))=-∆E_p$ означає, що при виконанні роботи внутрішніми силами (наприклад, падіння тіла на землю під дією сили тяжіння у системі «камінь - Земля») енергія системи зменшується. Робота та зміна потенційної енергії у системі завжди мають протилежні знаки.
Оскільки робота визначає лише зміна потенційної енергії, то фізичний сенс у механіці має лише зміну енергії. Тому вибір нульового рівня енергії довільний і визначається виключно міркуваннями зручності, наприклад, простотою запису відповідних рівнянь.
Закон зміни та збереження механічної енергії
Повна механічна енергія системиназивається сума її кінетичної та потенційної енергій:
Вона визначається положенням тіл (потенційна енергія) та їх швидкістю (кінетична енергія).
Відповідно до теореми про кінетичну енергію,
$E_k-E_(k_1)=A_p+A_(пр),$
де $ А_р $ - робота потенційних сил, $ А_ (пр) $ - робота непотенційних сил.
У свою чергу робота потенційних сил дорівнює різниці потенційної енергії тіла в початковому $Е_(р_1)$ і кінцевому $Е_р$ станах. Враховуючи це, отримаємо вираз для закону зміни механічної енергії:
$(E_k+E_p)-(E_(k_1)+E_(p_1))=A_(пр)$
де ліва частина рівності – зміна повної механічної енергії, а права – робота непотенційних сил.
Отже, закон зміни механічної енергіїкаже:
Зміна механічної енергії системи дорівнює роботі всіх непотенційних сил.
Механічна система, у якій діють лише потенційні сили, називається консервативною.
У консервативній системі $А_(пр) = 0$. звідси випливає закон збереження механічної енергії:
У замкнутій консервативній системі повна механічна енергія зберігається (не змінюється з часом):
$E_k+E_p=E_(k_1)+E_(p_1)$
Закон збереження механічної енергії виводиться із законів механіки Ньютона, які застосовуються для системи матеріальних точок (або макрочасток).
Проте закон збереження механічної енергії справедливий і системи мікрочастинок, де самі закони Ньютона не діють.
Закон збереження механічної енергії є наслідком однорідності часу.
Однорідність часуполягає в тому, що при однакових початкових умовах перебіг фізичних процесів не залежить від того, в який час ці умови створені.
Закон збереження повної механічної енергії означає, що при зміні кінетичної енергії в консервативній системі повинна змінюватися і її потенційна енергія, тому їхня сума залишається постійною. Це означає можливість перетворення одного виду енергії на інший.
Відповідно до різних форм руху матерії розглядають різні види енергії: механічну, внутрішню (рівну сумі кінетичної енергії хаотичного руху молекул щодо центру мас тіла та потенційної енергії взаємодії молекул один з одним), електромагнітну, хімічну (яка складається з кінетичної енергії руху електронів та електричної енергії їх взаємодії друг з одним і з атомними ядрами), ядерну тощо. Зі сказаного видно, що розподіл енергії різні види досить умовно.
Явища природи зазвичай супроводжуються перетворенням одного виду енергії на інший. Так, наприклад, тертя частин різних механізмів призводить до перетворення механічної енергії на тепло, тобто в внутрішню енергію.У теплових двигунах, навпаки, відбувається перетворення внутрішньої енергії на механічну; у гальванічних елементах хімічна енергія перетворюється на електричну тощо.
Нині поняття енергії одна із основних понять фізики. Це поняття нерозривно пов'язане з уявленням про перетворення однієї форми руху на іншу.
Ось як у сучасній фізиці формулюється поняття енергії:
Енергія - загальна кількісна міра руху та взаємодії всіх видів матерії. Енергія не виникає з нічого і не зникає, вона може лише переходити з однієї форми до іншої. Поняття енергії пов'язує докупи всі явища природи.
Прості механізми. ККД механізмів
Простими механізмами називаються пристосування, що змінюють величину чи напрямок прикладених до тіла сил.
Вони використовуються для переміщення або підйому великих вантажів за допомогою невеликих зусиль. До них відносяться важіль та його різновиди – блоки (рухливий та нерухомий), комір, похила площина та її різновиди – клин, гвинт та ін.
Важіль. Правило важеля
Важіль є твердим тілом, здатним обертатися навколо нерухомої опори.
Правило важеля свідчить:
Важіль знаходиться в рівновазі, якщо прикладені до нього сили обернено пропорційні їх плечам:
$(F_2)/(F_1)=(l_1)/(l_2)$
З формули $(F_2)/(F_1)=(l_1)/(l_2)$, застосувавши до неї властивість пропорції (твір крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів), можна отримати таку формулу:
Але $F_1l_1=M_1$ - момент сили, що прагне повернути важіль за годинниковою стрілкою, а $F_2l_2=M_2$ - момент сили, що прагне повернути важіль проти годинникової стрілки. Таким чином, $M_1=M_2$, що потрібно було довести.
Важіль почав застосовуватися людьми в давнину. З його допомогою вдавалося піднімати важкі кам'яні плити під час будівництва пірамід у Стародавньому Єгипті. Без важеля це було б неможливо. Адже, наприклад, для зведення піраміди Хеопса, що має висоту $147$ м, було використано понад два мільйони кам'яних брил, найменша з яких мала масу $2.5$ тонн!
Нині важелі знаходять широке застосування як у виробництві (наприклад, підйомні крани), і у побуті (ножиці, кусачки, ваги).
Нерухомий блок
Дія нерухомого блоку аналогічна дії важеля з рівними плечима: $l_1=l_2=r$. Прикладена сила $F_1$ дорівнює навантаженню $F_2$, і умова рівноваги має вигляд:
Нерухомий блокзастосовують, коли потрібно змінити напрямок сили, не змінюючи її величину.
Рухомий блок
Рухливий блок діє аналогічно важелю, плечі якого становлять $l_2=(l_1)/(2)=r$. При цьому умова рівноваги має вигляд:
де $F_1$ - прикладена сила, $F_2$ - навантаження. Застосування рухомого блоку дає виграш чинності вдвічі.
Поліспаст (система блоків)
Звичайний поліспаст складається з $n$ рухомих та $n$ нерухомих блоків. Його застосувавши дає виграш у силі в $2n$ разів:
$F_1=(F_2)/(2n)$
Ступеневий поліспастскладається з рухомих і одного нерухомого блоку. Застосування статечного поліспасту дає виграш у силі в $2^n$ разів:
$F_1=(F_2)/(2^n)$
Гвинт
Гвинт є похилою площиною, навитою на вісь.
Умова рівноваги сил, що діють на гвинт, має вигляд:
$F_1=(F_2h)/(2πr)=F_2tgα, F_1=(F_2h)/(2πR)$
де $F_1$ - зовнішня сила, прикладена до гвинта і діюча на відстані $R$ від його осі; $F_2$ - сила, що діє у напрямку осі гвинта; $ h $ - крок гвинта; $r$ - середній радіус різьблення; $α$ - Кут нахилу різьблення. $R$ — довжина важеля (гайкового ключа), що обертає гвинт із силою $F_1$.
Коефіцієнт корисної дії
Коефіцієнт корисної дії (ККД) - відношення корисної роботи до всієї витраченої роботи.
Коефіцієнт корисної дії часто виражають у відсотках та позначають грецькою літерою $η$ («ця»):
$η=(A_п)/(A_3)·100%$
де $А_п$ - корисна робота, $А_3$ - вся витрачена робота.
Корисна робота завжди становить лише частину повної роботи, яку витрачає людина, використовуючи той чи інший механізм.
Частина виконаної роботи витрачається подолання сил тертя. Оскільки $А_3 > А_п$, ККД завжди менше $1$ (або $< 100%$).
Оскільки кожну з робіт у цій рівності можна висловити у вигляді твору відповідної сили на пройдений шлях, його можна переписати так: $F_1s_1≈F_2s_2$.
Звідси слідує що, виграючи за допомогою механізму в силі, ми стільки ж разів програємо в дорозі, і навпаки. Цей закон називають золотим правилом механіки.
Золоте правило механіки є наближеним законом, тому що в ньому не враховується робота з подолання тертя та сили тяжіння частин використовуваних пристроїв. Тим не менш, воно буває дуже корисним при аналізі роботи будь-якого простого механізму.
Так, наприклад, завдяки цьому правилу відразу можна сказати, що робітнику, зображеному на малюнку, при дворазовому виграші в силі підйому вантажу на $10$ см доведеться опустити протилежний кінець важеля на $20$.
Зіткнення тел. Пружний та непружний удари
Закони збереження імпульсу та механічної енергії застосовуються для вирішення задачі про рух тіл після зіткнення: за відомими імпульсами та енергіями до зіткнення визначаються значення цих величин після зіткнення. Розглянемо випадки пружного та непружного ударів.
Абсолютно непружним називається удар, після якого тіла утворюють єдине тіло, що рухається з певною швидкістю. Завдання про швидкість останнього вирішується за допомогою закону збереження імпульсу системи тіл з масами $m_1$ і $m_2$ (якщо йдеться про два тіла) до і після удару:
$m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=(m_1+m_2)υ↖(→)$
Очевидно, що кінетична енергія тіл при непружному ударі не зберігається (наприклад, при $(υ_1)↖(→)=-(υ_2)↖(→)$ і $m_1=m_2$ вона дорівнює нулю після удару).
Абсолютно пружним називається удар, у якому зберігається як сума імпульсів, а й сума кінетичних енергій тіл, що ударяються.
Для абсолютно пружного удару справедливі рівняння
$m_1(υ_1)↖(→)+m_2(υ_2)↖(→)=m_1(υ"_1)↖(→)+m_2(υ"_2)↖(→);$
$(m_(1)υ_1^2)/(2)+(m_(2)υ_2^2)/(2)=(m_1(υ"_1)^2)/(2)+(m_2(υ"_2) )^2)/(2)$
де $m_1, m_2$ - маси куль, $υ_1, υ_2$ -швидкості куль до удару, $υ"_1, υ"_2$ -швидкості куль після удару.
Вивчивши закони Ньютона, бачимо, що з допомогою можна вирішити основні завдання механіки, якщо відомі всі сили, які діють тіло. Є ситуації, у яких визначити ці величини важко чи взагалі неможливо. Розглянемо кілька таких ситуацій.При зіткненні двох більярдних куль або автомобілів ми можемо стверджувати про чинні сили, що це їхня природа, тут діють сили пружності. Проте ні їхніх модулів, ні їхніх напрямків ми точно встановити не зможемо, тим більше, що ці сили мають дуже малий час дії.Під час руху ракет і реактивних літаків ми також мало що можемо сказати про сили, що призводять вказані тіла до руху.У таких випадках застосовуються методи, що дозволяють уникнути рішення рівнянь руху, а відразу скористатися наслідками цих рівнянь. У цьому вводяться нові фізичні величини. Розглянемо одну з цих величин, яка називається імпульсом тіла
Стріла, що випускається із цибулі. Чим довше продовжується контакт тятиви зі стрілою (∆t), тим більша зміна імпульсу стріли (∆), а отже, тим вища її кінцева швидкість.
Дві стикаються кульки. Поки кульки знаходяться в контакті, вони діють одна на одну з рівними за модулем силами, як вчить нас третій закон Ньютона. Отже, зміни їх імпульсів також мають бути рівними по модулю, навіть якщо маси кульок не рівні.
Проаналізувавши формули, можна зробити два важливі висновки:
1. Однакові сили, що діють протягом однакового проміжку часу, спричиняють однакові зміни імпульсу у різних тіл, незалежно від маси останніх.
2. Одного і того ж зміни імпульсу тіла можна досягти, або діючи невеликою силою протягом тривалого проміжку часу, або діючи короткочасно великою силою на те саме тіло.
Згідно з другим законом Ньютона, можемо записати:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Відношення зміни імпульсу тіла до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, дорівнює сумі сил, що діють на тіло.
Проаналізувавши це рівняння, бачимо, що другий закон Ньютона дозволяє розширити клас розв'язуваних завдань, і включити завдання, у яких маса тіл змінюється з часом.
Якщо ж спробувати вирішити завдання зі змінною масою тіл за допомогою звичайного формулювання другого закону Ньютона:
то спроба такого рішення спричинила б помилку.
Прикладом тому можуть бути вже згадані реактивний літак або космічна ракета, які під час руху спалюють паливо, і продукти цього спалюваного викидають у навколишній простір. Звичайно, маса літака або ракети зменшується в міру витрати палива.
Незважаючи на те, що другий закон Ньютона у вигляді «рівнодіюча сила дорівнює добутку маси тіла на його прискорення» дозволяє вирішити досить широкий клас завдань, існують випадки руху тіл, які не можуть бути повністю описані цим рівнянням. У таких випадках необхідно застосовувати інше формулювання другого закону, що пов'язує зміну імпульсу тіла з імпульсом сили, що діє. Крім того, існує ряд завдань, в яких розв'язання рівнянь руху є математично вкрай скрутним або взагалі неможливим. У разі нам корисно використовувати поняття імпульсу.
За допомогою закону збереження імпульсу та взаємозв'язку імпульсу сили та імпульсу тіла ми можемо вивести другий та третій закон Ньютона.
Другий закон Ньютона виводиться із співвідношення імпульсу сили та імпульсу тіла.
Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла:
Зробивши відповідні переноси, ми отримаємо залежність сили від прискорення, адже прискорення визначається як відношення зміни швидкості до часу, протягом якого ця зміна сталася:
Підставивши значення на нашу формулу, отримаємо формулу другого закону Ньютона:
Для виведення третього закону Ньютона нам знадобиться закон збереження імпульсу.
Вектори підкреслюють векторність швидкості, тобто те, що швидкість може змінюватися у напрямку. Після перетворень отримаємо:
Оскільки проміжок часу в замкнутій системі був постійною величиною для обох тіл, ми можемо записати:
Ми отримали третій закон Ньютона: два тіла взаємодіють одне з одним із силами, рівними за величиною та протилежними у напрямку. Вектори цих сил спрямовані назустріч один одному, відповідно, модулі цих сил рівні за своїм значенням.
Список літератури
- Тихомирова С.А., Яворський Б.М. Фізика (базовий рівень) – М.: Мнемозіна, 2012.
- Генденштейн Л.Е., Дік Ю.І. Фізика 10 клас. – М.: Мнемозіна, 2014.
- Кікоін І.К., Кікоін А.К. Фізика - 9, Москва, Освіта, 1990.
Домашнє завдання
- Дати визначення імпульсу тіла, імпульсу сили.
- Як пов'язані імпульси тіла з імпульсом сили?
- Які висновки можна зробити за формулами імпульсу тіла та імпульсу сили?
- Інтернет-портал Questions-physics.ru().
- Інтернет-портал Frutmrut.ru().
- Інтернет-портал Fizmat.by().
Рекомендуємо також
Loading...