Pitagorejev izrek je neposreden. Različni načini dokazovanja pitagorejskega izreka

Potencial za ustvarjalnost običajno pripisujejo humanistiki, pri čemer puščajo naravoslovne analize, praktični pristop in suhoparen jezik formul in številk. Matematike ni mogoče uvrstiti med humanistične predmete. Toda brez ustvarjalnosti v "kraljici vseh znanosti" ne boste šli daleč - ljudje o tem vedo že dolgo. Od časa Pitagore, npr.

Šolski učbeniki na žalost običajno ne pojasnjujejo, da v matematiki ni pomembno le strpati izreke, aksiome in formule. Pomembno je razumeti in občutiti njena temeljna načela. In hkrati poskušajte osvoboditi svoj um klišejev in elementarnih resnic – le v takih razmerah se rojevajo vsa velika odkritja.

Takšna odkritja vključujejo tisto, ki ga danes poznamo kot Pitagorejev izrek. Z njeno pomočjo bomo poskušali pokazati, da matematika ne le lahko, ampak mora biti zabavna. In da ta avantura ni primerna samo za piflarje v debelih očalih, ampak za vse, ki so močni po duhu in močni.

Iz zgodovine vprašanja

Strogo gledano, čeprav se izrek imenuje "pitagorov izrek", ga sam Pitagora ni odkril. Pravokotni trikotnik in njegove posebne lastnosti so preučevali že dolgo pred njim. Na to vprašanje obstajata dve polarni stališči. Po eni različici je bil Pitagora prvi, ki je našel popoln dokaz teorema. Po drugem pa dokaz ne pripada Pitagorovemu avtorstvu.

Danes ne moreš več preverjati, kdo ima prav in kdo ne. Znano je le, da Pitagorov dokaz, če je sploh obstajal, ni preživel. Vendar pa obstajajo namigi, da bi slavni dokaz iz Evklidovih elementov morda pripadal Pitagori, Evklid pa ga je le zapisal.

Danes je znano tudi, da težave s pravokotnim trikotnikom najdemo v egiptovskih virih iz časa faraona Amenemheta I., na babilonskih glinenih tablicah iz časa vladavine kralja Hamurabija, v staroindijski razpravi Sulva Sutra in starodavnem kitajskem delu Zhou. -bi suan jin.

Kot lahko vidite, je pitagorejski izrek okupiral misli matematikov že od antičnih časov. Približno 367 različnih dokazov, ki obstajajo danes, služi kot potrditev. Noben drug izrek mu v tem pogledu ne more tekmovati. Pomembna avtorja dokazov sta Leonardo da Vinci in 20. predsednik Združenih držav, James Garfield. Vse to govori o izjemnem pomenu tega izreka za matematiko: večina teoremov geometrije izhaja iz njega ali pa je tako ali drugače z njim povezanih.

Dokazi pitagorejskega izreka

Šolski učbeniki večinoma dajejo algebraične dokaze. Toda bistvo izreka je v geometriji, zato najprej razmislimo o tistih dokazih slavnega izreka, ki temeljijo na tej znanosti.

Dokaz 1

Za najpreprostejši dokaz Pitagorovega izreka za pravokoten trikotnik morate postaviti idealne pogoje: naj trikotnik ni samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Obstaja razlog za domnevo, da so starodavni matematiki prvotno obravnavali takšen trikotnik.

Izjava "kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih krakih" lahko ponazorimo z naslednjo risbo:

Poglejte enakokraki pravokotni trikotnik ABC: Na hipotenuzi AC lahko zgradite kvadrat, sestavljen iz štirih trikotnikov, enakih prvotnemu ABC. In na nogah AB in BC, zgrajenih na kvadratu, od katerih vsak vsebuje dva podobna trikotnika.

Mimogrede, ta risba je bila osnova za številne anekdote in risanke, posvečene Pitagorejskemu izreku. Morda najbolj znana je "Pitagorejske hlače so enake v vse smeri":

Dokaz 2

Ta metoda združuje algebro in geometrijo in jo lahko razumemo kot različico starodavnega indijskega dokaza matematika Bhaskarija.

Sestavite pravokoten trikotnik s stranicami a, b in c(slika 1). Nato zgradite dva kvadrata s stranicami, enakimi vsoti dolžin obeh krakov - (a+b). V vsakem od kvadratov naredite konstrukcije, kot na slikah 2 in 3.

V prvem kvadratu zgradite štiri enake trikotnike kot na sliki 1. Kot rezultat dobimo dva kvadrata: enega s stranico a, drugega s stranico b.

V drugem kvadratu sestavljajo štirje podobni trikotniki kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi c.

Vsota površin konstruiranih kvadratov na sliki 2 je enaka površini kvadrata, ki smo ga konstruirali s stranico c na sliki 3. To je mogoče enostavno preveriti z izračunom površin kvadratov na sl. 2 po formuli. In površino vpisanega kvadrata na sliki 3. tako, da od površine velikega kvadrata s stranico odštejete površine štirih enakih pravokotnih trikotnikov, vpisanih v kvadrat (a+b).

Če vse to odložimo, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Razširite oklepaje, naredite vse potrebne algebraične izračune in dobite to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Hkrati je območje vpisanega na sl.3. kvadrat je mogoče izračunati tudi s tradicionalno formulo S=c2. tiste. a2+b2=c2 Dokazali ste pitagorejski izrek.

Dokaz 3

Prav isti starodavni indijski dokaz je opisan v 12. stoletju v razpravi »Krona znanja« (»Siddhanta Shiromani«), kot glavni argument pa avtor uporablja poziv, naslovljen na matematične talente in sposobnosti opazovanja učencev in študentov. sledilci: "Poglej!".

Toda ta dokaz bomo podrobneje analizirali:

Znotraj kvadrata zgradite štiri pravokotne trikotnike, kot je prikazano na risbi. Označena je stranica velikega kvadrata, ki je tudi hipotenuza z. Pokličimo noge trikotnika a in b. Glede na risbo je stranica notranjega kvadrata (a-b).

Uporabite formulo kvadratne površine S=c2 za izračun površine zunanjega kvadrata. In hkrati izračunajte enako vrednost tako, da seštejete površino notranjega kvadrata in površino krogle štirih pravokotnih trikotnikov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Za izračun površine kvadrata lahko uporabite obe možnosti, da zagotovite enak rezultat. In to vam daje pravico, da to zapišete c 2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kot rezultat rešitve boste dobili formulo Pitagorejskega izreka c2=a2+b2. Izrek je dokazan.

Dokaz 4

Ta radovedni starodavni kitajski dokaz se je imenoval "Nevestin stol" - zaradi figure, podobne stolu, ki izhaja iz vseh konstrukcij:

Uporablja risbo, ki smo jo že videli na sliki 3 v drugem dokazu. In notranji kvadrat s stranico c je zgrajen na enak način kot v zgoraj navedenem starodavnem indijskem dokazu.

Če miselno odrežete dva zelena pravokotna trikotnika iz risbe na sliki 1, ju prenesete na nasprotni strani kvadrata s stranico c in hipotenusi pritrdite na hipotenuze lila trikotnikov, boste dobili figuro, imenovano "nevestina stol« (slika 2). Zaradi jasnosti lahko enako storite s papirnatimi kvadratki in trikotniki. Videli boste, da je "nevestin stol" sestavljen iz dveh kvadratov: majhnih s stranico b in velik s stranico a.

Te konstrukcije so starodavnim kitajskim matematikom in nam, ki smo jim sledili, omogočile sklep, da c2=a2+b2.

Dokaz 5

To je še en način za iskanje rešitve pitagorejskega izreka, ki temelji na geometriji. Imenuje se Garfieldova metoda.

Sestavite pravokoten trikotnik ABC. To moramo dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Če želite to narediti, nadaljujte z nogo AC in zgraditi segment CD, kar je enako nogi AB. Spodnja pravokotnica AD odsek črte ED. segmenti ED in AC so enakovredni. povežite pike E in AT, tako dobro, kot E in Z in dobite risbo, kot je na spodnji sliki:

Za dokaz stolpa se ponovno zatečemo k metodi, ki smo jo že preizkusili: poiščemo površino nastale figure na dva načina in izraze enačimo med seboj.

Poiščite površino mnogokotnika POSTELJA lahko naredite tako, da dodate površine treh trikotnikov, ki ga tvorijo. In eden izmed njih ERU, ni samo pravokotna, ampak tudi enakokraka. Tudi tega ne pozabimo AB=CD, AC=ED in BC=CE- to nam bo omogočilo, da poenostavimo snemanje in ga ne preobremenimo. torej S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Hkrati je očitno, da POSTELJA je trapez. Zato izračunamo njegovo površino s formulo: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune je bolj priročno in jasneje predstaviti segment AD kot vsota segmentov AC in CD.

Napišimo oba načina za izračun površine figure tako, da med njima damo znak enakosti: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Za poenostavitev desne strani zapisa uporabljamo enakost segmentov, ki so nam že znani in opisani: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. In zdaj odpremo oklepaje in pretvorimo enakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Ko končamo vse transformacije, dobimo točno tisto, kar potrebujemo: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokazali smo izrek.

Seveda ta seznam dokazov še zdaleč ni popoln. Pitagorejev izrek je mogoče dokazati tudi z vektorji, kompleksnimi števili, diferencialnimi enačbami, stereometrijo itd. In celo fiziki: če na primer tekočino vlijemo v kvadratne in trikotne prostornine, podobne tistim, ki so prikazane na risbah. Z vlivanjem tekočine je mogoče dokazati enakost površin in posledično sam izrek.

Nekaj ​​besed o pitagorejskih trojčkih

To vprašanje je v šolskem kurikulumu malo ali ga sploh ne preučujemo. Medtem je zelo zanimiva in je velikega pomena v geometriji. Pitagorejske trojke se uporabljajo za reševanje številnih matematičnih problemov. Zamisel o njih vam lahko koristi pri nadaljnjem izobraževanju.

Kaj so torej pitagorejski trojčki? Tako imenovana naravna števila, zbrana v tri, od katerih je vsota kvadratov dveh enaka tretjemu številu na kvadrat.

Pitagorejske trojke so lahko:

• primitivna (vsa tri števila so relativno praštevilna);
• neprimitiven (če vsako število trojke pomnožimo z istim številom, dobimo novo trojko, ki ni primitivna).

Že pred našo dobo so bili stari Egipčani navdušeni nad manijo števila pitagorejskih trojčkov: pri nalogah so upoštevali pravokoten trikotnik s stranicami 3,4 in 5 enot. Mimogrede, vsak trikotnik, katerega stranice so enake številkam iz pitagorejske trojke, je privzeto pravokoten.

Primeri pitagorejskih trojk: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična uporaba izreka

Pitagorejev izrek se ne uporablja samo v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in gradbeništvu, astronomiji in celo literaturi.

Prvič, o konstrukciji: Pitagorejev izrek se v njej pogosto uporablja pri težavah različnih stopenj kompleksnosti. Oglejte si na primer romansko okno:

Označimo širino okna kot b, potem lahko polmer velikega polkroga označimo kot R in izrazite skozi b: R=b/2. Polmer manjših polkrog lahko izrazimo tudi z b: r=b/4. Pri tem problemu nas zanima polmer notranjega kroga okna (imenujmo ga str).

Pitagorejev izrek je prav priročen za izračun R. Za to uporabimo pravokoten trikotnik, ki je na sliki označen s pikčasto črto. Hipotenuza trikotnika je sestavljena iz dveh polmerov: b/4+p. Ena noga je polmer b/4, drugo b/2-str. S pomočjo Pitagorovega izreka zapišemo: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 +(b/2-p) 2. Nato odpremo oklepaje in dobimo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ta izraz v bp/2=b 2 /4-bp. Nato vse izraze razdelimo na b, damo podobne, da dobimo 3/2*p=b/4. In na koncu to najdemo p=b/6- kar smo potrebovali.

S pomočjo izreka lahko izračunate dolžino špirovcev za dvokapno streho. Ugotovite, kako visok mobilni stolp je potreben, da signal doseže določeno naselje. In celo vztrajno namestite božično drevo na mestnem trgu. Kot lahko vidite, ta izrek ne živi le na straneh učbenikov, ampak je pogosto uporaben v resničnem življenju.

Kar zadeva literaturo, je pitagorejski izrek navdihoval pisce že od antike in še danes. Na primer, nemškega pisatelja Adelberta von Chamissa iz devetnajstega stoletja je navdihnila, da je napisal sonet:

Luč resnice ne bo kmalu razblinila,
Toda, ko je zasijal, se verjetno ne bo razblinil
In kot pred tisoč leti,
Ne bo povzročalo dvomov in sporov.

Najpametnejši, ko se dotakne očesa
Luč resnice, hvala bogovom;
In sto bikov, zabodenih, leži -
Povratno darilo srečnega Pitagore.

Od takrat biki obupano rjolijo:
Za vedno je vzbudil bikovsko pleme
tukaj omenjen dogodek.

Menijo, da je skrajni čas
In spet bodo žrtvovani
Nekaj ​​odličnega izreka.

(prevedel Viktor Toporov)

In v dvajsetem stoletju je sovjetski pisatelj Jevgenij Veltistov v svoji knjigi "Pustolovščine elektronike" posvetil celo poglavje dokazom Pitagorejskega izreka. In pol poglavja zgodbe o dvodimenzionalnem svetu, ki bi lahko obstajal, če bi pitagorejski izrek postal temeljni zakon in celo religija za en sam svet. V njem bi bilo veliko lažje živeti, a tudi veliko bolj dolgočasno: tam na primer nihče ne razume pomena besed "okroglo" in "puhasto".

In v knjigi »Pustolovščine elektronike« avtor skozi usta učitelja matematike Taratare pravi: »Glavna stvar v matematiki je gibanje misli, nove ideje.« Prav ta ustvarjalni miselni let je tisti, ki generira pitagorejski izrek - ni zaman, da ima toliko različnih dokazov. Pomaga preseči običajno in na znane stvari pogledati na nov način.

Zaključek

Ta članek je bil ustvarjen tako, da lahko pogledate onkraj šolskega učnega načrta matematike in se naučite ne le tistih dokazov Pitagorejskega izreka, ki so podani v učbenikih "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) in "Geometrija 7-11". ” (A.V. Pogorelov), ampak tudi druge radovedne načine dokazovanja slavnega izreka. Oglejte si tudi primere, kako je mogoče Pitagorejev izrek uporabiti v vsakdanjem življenju.

Prvič, te informacije vam bodo omogočile doseganje višjih rezultatov pri pouku matematike - informacije o temi iz dodatnih virov so vedno zelo cenjene.

Drugič, želeli smo vam pomagati pridobiti občutek, kako zanimiva je matematika. Da se s konkretnimi primeri prepričajo, da je v njem vedno prostor za ustvarjalnost. Upamo, da vas bosta Pitagorejev izrek in ta članek navdušila za lastno raziskovanje in vznemirljiva odkritja v matematiki in drugih znanostih.

Sporočite nam v komentarjih, če se vam zdijo dokazi, predstavljeni v članku, zanimivi. Ali so se vam te informacije zdele v pomoč pri študiju? Sporočite nam, kaj menite o Pitagorejevem izreku in tem članku – o vsem tem bomo z veseljem razpravljali z vami.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

doma

Načini dokazovanja Pitagorejskega izreka.

G. Glaser,
Akademik Ruske akademije za izobraževanje v Moskvi

O Pitagorejevem izreku in kako ga dokazati

Površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na njegovih krakih ...

To je eden najbolj znanih geometrijskih izrekov antike, imenovan Pitagorejev izrek. Še vedno jo poznajo skoraj vsi, ki so se kdaj učili planimetrije. Zdi se mi, da če želimo nezemeljskim civilizacijam povedati o obstoju inteligentnega življenja na Zemlji, potem bi morali v vesolje poslati podobo Pitagorejske figure. Mislim, da če razmišljajoča bitja lahko sprejmejo te informacije, bodo brez kompleksnega dekodiranja signalov razumela, da na Zemlji obstaja dokaj razvita civilizacija.

Slavni grški filozof in matematik Pitagora iz Samosa, po katerem je izrek poimenovan, je živel pred približno 2,5 tisoč leti. Biografski podatki o Pitagori, ki so prišli do nas, so fragmentarni in daleč od zanesljivih. Z njegovim imenom so povezane številne legende. Verodostojno je znano, da je Pitagora veliko potoval po državah vzhoda, obiskal Egipt in Babilon. V eni od grških kolonij v južni Italiji je ustanovil znamenito "pitagorejsko šolo", ki je imela pomembno vlogo v znanstvenem in političnem življenju antične Grčije. Pitagora je tisti, ki je zaslužen za dokazovanje dobro znanega geometrijskega izreka. Na podlagi legend, ki so jih širili znani matematiki (Proklo, Plutarh itd.), je dolgo veljalo, da ta izrek pred Pitagoro ni bil znan, od tod tudi ime - Pitagorejski izrek.

Vendar ni dvoma, da je bil ta izrek znan mnogo let pred Pitagoro. Torej, 1500 let pred Pitagoro so stari Egipčani vedeli, da je trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 pravokoten, in so to lastnost (t.j. inverzni Pitagorov izrek) uporabili za konstruiranje pravih kotov pri načrtovanju zemljišč in zgradb. In še danes podeželski gradbeniki in tesarji, ki postavljajo temelje koče, izdelujejo njene podrobnosti, narišejo ta trikotnik, da dobijo pravi kot. Enako je bilo storjeno pred tisočletji pri gradnji veličastnih templjev v Egiptu, Babilonu, na Kitajskem in verjetno v Mehiki. V najstarejšem kitajskem matematičnem in astronomskem delu, ki je prišlo do nas, Zhou-bi, napisanem približno 600 let pred Pitagoro, je med drugimi predlogi, povezanimi s pravokotnim trikotnikom, vsebovan tudi Pitagorejev izrek. Še prej je bil ta izrek znan hindujcem. Tako Pitagora te lastnosti pravokotnega trikotnika ni odkril, verjetno je bil prvi, ki jo je posplošil in dokazal ter s tem prenesel s področja prakse na področje znanosti. Ne vemo, kako mu je to uspelo. Nekateri zgodovinarji matematike domnevajo, da kljub temu Pitagorov dokaz ni bil temeljni, ampak le potrditev, preverjanje te lastnosti na številnih določenih vrstah trikotnikov, začenši z enakokrakim pravokotnim trikotnikom, za kar očitno izhaja iz sl. eno.

Z Od antičnih časov so matematiki našli vse več dokazov Pitagorejskega izreka, vedno več idej za njegove dokaze. Znanih je več kot sto in pol takšnih dokazov - bolj ali manj strogih, bolj ali manj vizualnih -, a želja po povečanju njihovega števila se je ohranila. Mislim, da bo samostojno "odkritje" dokazov pitagorejskega izreka koristno za sodobne šolarje.

Poglejmo si nekaj primerov dokazov, ki lahko nakazujejo smer takšnih iskanj.

Pitagorov dokaz

"Kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih krakih." Najenostavnejši dokaz izreka dobimo v najenostavnejšem primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika. Verjetno se je izrek začel z njim. Dejansko je dovolj, da samo pogledamo ploščice enakokrakih pravokotnih trikotnikov, da vidimo, da je izrek resničen. Na primer, za DABC: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi AU, vsebuje 4 začetne trikotnike in kvadrate, zgrajene na krakih po dva. Izrek je dokazan.

Dokazi, ki temeljijo na uporabi koncepta enake površine številk.

Hkrati lahko upoštevamo dokaze, v katerih je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi danega pravokotnega trikotnika, "sestavljen" iz istih figur kot kvadrati, zgrajeni na nogah. Upoštevamo lahko tudi takšne dokaze, v katerih je uporabljena permutacija izrazov številk in upoštevane številne nove ideje.

Na sl. 2 prikazuje dva enaka kvadrata. Dolžina stranic vsakega kvadrata je a + b. Vsak od kvadratov je razdeljen na dele, sestavljene iz kvadratov in pravokotnih trikotnikov. Jasno je, da če od kvadratne površine odštejemo štirikratno površino pravokotnega trikotnika s kraki a, b, ostanejo enake površine, to je c 2 \u003d a 2 + b 2. Toda starodavni hindujci, ki jim ta sklepanje pripada, tega običajno niso zapisali, ampak so risbo pospremili le z eno besedo: "poglej!" Povsem možno je, da je Pitagora ponudil enak dokaz.

aditivni dokazi.

Ti dokazi temeljijo na razgradnji kvadratov, zgrajenih na nogah, na figure, iz katerih je mogoče dodati kvadrat, zgrajen na hipotenuzi.

Tukaj: ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Sami dokažite parno enakost trikotnikov, ki jih dobimo z deljenjem kvadratov, zgrajenih na nogah in hipotenuzi.

Dokažite izrek s to particijo.

 Na podlagi al-Nairizijevega dokaza je bila narejena še ena razgradnja kvadratov na parno enake figure (slika 5, tukaj je ABC pravokoten trikotnik s pravim kotom C).

 Na sl. 6. Tukaj: ABC je pravokoten trikotnik s pravim kotom C; O - središče kvadrata, zgrajenega na veliki nogi; črtkane črte, ki potekajo skozi točko O, so pravokotne ali vzporedne s hipotenuzo.

 Ta razgradnja kvadratov je zanimiva po tem, da je mogoče njegove parno enake štirikotnike preslikati drug na drugega z vzporednim prevajanjem. Z razgradnjo kvadratov na figure je mogoče ponuditi številne druge dokaze Pitagorejskega izreka.

Dokazila po razširitveni metodi.

Bistvo te metode je, da so enake figure pritrjene na kvadrate, zgrajene na nogah, in na kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, tako da dobimo enake figure.

Veljavnost Pitagorejskega izreka izhaja iz enake velikosti šestkotnikov AEDFPB in ACBNMQ. Tukaj CEP črta EP deli šestkotnik AEDFPB na dva enakopovršinska štirikotnika, črta CM deli šesterokotnik ACBNMQ na dva enakopovršinska štirikotnika; 90° vrtenje ravnine okoli središča A preslika štirikotnik AEPB v štirikotnik ACMQ.

Na sl. 8 Pitagorejska figura je dokončana v pravokotnik, katerega stranice so vzporedne z ustreznimi stranicami kvadratov, zgrajenih na nogah. Ta pravokotnik razdelimo na trikotnike in pravokotnike. Najprej od dobljenega pravokotnika odštejemo vse mnogokotnike 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tako da ostane kvadrat zgrajen na hipotenuzi. Nato od istega pravokotnika odštejemo pravokotnike 5, 6, 7 in osenčene pravokotnike, dobimo kvadratke, zgrajene na nogah.

Zdaj pa dokažimo, da so številke, odštete v prvem primeru, enake velikosti kot v drugem primeru.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

torej c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebraična metoda dokazovanja.

	riž. 12 ponazarja dokaz velikega indijskega matematika Bhaskarija (slavni avtor Lilavatija, X. 2. stoletje). Risbo je pospremila le ena beseda: POGLEJ! Med dokazi Pitagorejskega izreka z algebraično metodo je na prvem mestu (morda najstarejši) dokaz s podobnostjo.
	Naj v sodobni predstavitvi predstavimo enega od takih dokazov, ki pripada Pitagori.

H in sl. 13 ABC - pravokoten, C - pravi kot, CMAB, b 1 - projekcija kraka b na hipotenuzo, a 1 - projekcija kraka a na hipotenuzo, h - višina trikotnika, potegnjenega na hipotenuzo.

Iz dejstva, da je ABC podoben ACM, sledi

b 2 \u003d cb 1; (ena)

iz dejstva, da je ABC podoben BCM, sledi

a 2 = približno 1 . (2)

Če seštejemo enakosti (1) in (2) člen za členom, dobimo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Če je Pitagora res ponudil tak dokaz, potem je poznal tudi številne pomembne geometrijske izreke, ki jih sodobni zgodovinarji matematike običajno pripisujejo Evklidu.

Möllmannov dokaz (slika 14). Površina tega pravokotnega trikotnika je na eni strani enaka na drugi, kjer je p polperimeter trikotnika, r polmer vanj vpisane kroge Imamo:

od koder sledi, da je c 2 =a 2 +b 2 .

v drugem

Če izenačimo te izraze, dobimo Pitagorov izrek.

Kombinirana metoda

Enakost trikotnikov

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Če primerjamo relacije (3) in (4), dobimo to

c 1 2 = c 2 ali c 1 = c.

Tako so trikotniki - podani in sestavljeni - enaki, saj imajo tri ustrezno enake stranice. Kot C 1 je pravi, zato je tudi kot C tega trikotnika pravi.

Starodavni indijski dokazi.

Matematiki starodavne Indije so opazili, da je za dokazovanje Pitagorejskega izreka dovolj, da uporabimo notranjost starodavne kitajske risbe. V razpravi "Siddhanta Shiromani" ("Krona znanja"), ki jo je na palmovih listih napisal največji indijski matematik 20. stoletja. Bha-skara je postavil risbo (slika 4)

značilna za indijske dokaze l beseda "poglej!". Kot lahko vidite, so pravokotni trikotniki tu zloženi s hipotenuzo navzven in kvadratom z 2 prestavljen na "nevestni stol" z 2 -b 2 . Upoštevajte, da posebni primeri Pitagorovega izreka (na primer gradnja kvadrata, katerega površina je dvakrat večja sl.4 območje tega trga) najdemo v starodavni indijski razpravi "Sulva"

Rešili so pravokoten trikotnik in kvadrate, ki so bili zgrajeni na njegovih krakih, ali, z drugimi besedami, figure, sestavljene iz 16 enakih enakokrakih pravokotnih trikotnikov in se zato prilegajo kvadratu. To je lilija. majhen del bogastva, ki se skriva v biseru starodavne matematike - pitagorejskem izreku.

Starodavni kitajski dokazi.

Matematične razprave starodavne Kitajske so prišle do nas v izdaji 2. stoletja. pr. Dejstvo je, da leta 213 pr. Kitajski cesar Shi Huang-di, ki je želel odpraviti stare tradicije, je ukazal zažgati vse starodavne knjige. V P c. pr. papir so izumili na Kitajskem, hkrati pa se je začela rekonstrukcija starodavnih knjig. Ključa do tega dokaza ni težko najti. Dejansko so na starodavni kitajski risbi štirje enaki pravokotni trikotniki s katetri a, b in hipotenuzo z zloženi G) tako da njihova zunanja kontura tvori Sl. 2 kvadrat s stranicami a + b, notranji pa je kvadrat s stranico c, zgrajen na hipotenuzi (slika 2, b). Če izrežemo kvadrat s stranico c in preostale 4 osenčene trikotnike postavimo v dva pravokotnika (slika 2, v), jasno je, da je nastala praznina po eni strani enaka Z 2 , in na drugi strani - z 2 +b 2 , tiste. c 2 \u003d  2 + b 2. Izrek je dokazan. Upoštevajte, da se pri takem dokazu konstrukcije znotraj kvadrata na hipotenuzi, ki jih vidimo na starodavni kitajski risbi (slika 2, a), ne uporabljajo. Očitno so stari kitajski matematiki imeli drugačen dokaz. Natančno, če je v kvadratu s stranico z dva zasenčena trikotnika (slika 2, b) odrežite in pritrdite hipotenusi na drugi dve hipotenuzi (slika 2, G), to je enostavno najti

Nastala figura, včasih imenovana "nevestin stol", je sestavljena iz dveh kvadratov s stranicami a in b, tiste. c 2 == a 2 +b 2 .

H Slika 3 reproducira risbo iz razprave "Zhou-bi ...". Tukaj se obravnava Pitagorejev izrek za egipčanski trikotnik s kraki 3, 4 in hipotenuzo 5 enot. Kvadrat na hipotenuzi vsebuje 25 celic, kvadrat, ki je vanj vpisan na večji krak, pa 16. Jasno je, da preostali del vsebuje 9 celic. To bo kvadrat na manjši nogi.

1

Shapovalova L.A. (postaja Egorlykskaya, MBOU ESOSH št. 11)

1. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli VII - VIII razredi, priročnik za učitelje, - M: Izobraževanje, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Za stranmi učbenika matematike" Priročnik za učence 5-6 razredov. – M.: Razsvetljenje, 1989.

3. Zenkevič I.G. "Estetika pouka matematike". – M.: Razsvetljenje, 1981.

4. Litzman V. Pitagorejev izrek. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pitagora". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Onkraj strani učbenika algebre". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometrija v 10. razredu." - M., 1986.

8. Časopis »Matematika« 17/1996.

9. Časopis »Matematika« 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbirka nalog iz osnovne matematike". - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematični priročnik". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorejski nauk o številu in velikosti". - Novosibirsk, 1997.

13. »Realne številke. Iracionalni izrazi» 8. razred. Univerzitetna založba Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Razsvetljenje, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

V tem študijskem letu sem se seznanil z zanimivim izrekom, znanim, kot se je izkazalo, že od antičnih časov:

"Kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na nogah."

Običajno odkritje te izjave pripisujejo starogrškemu filozofu in matematiku Pitagori (VI stoletje pr.n.št.). Toda preučevanje starodavnih rokopisov je pokazalo, da je bila ta izjava znana že dolgo pred Pitagorovim rojstvom.

Spraševal sem se, zakaj je v tem primeru povezano z imenom Pitagora.

Relevantnost teme: Pitagorejev izrek je zelo pomemben: v geometriji se uporablja dobesedno na vsakem koraku. Verjamem, da so Pitagorova dela še vedno aktualna, saj kamor koli pogledamo, povsod lahko vidimo sadove njegovih velikih idej, utelešenih v različnih vejah sodobnega življenja.

Namen moje raziskave je bil: ugotoviti, kdo je bil Pitagora in kakšen odnos ima s tem izrekom.

Ko sem preučeval zgodovino izreka, sem se odločil ugotoviti:

Ali obstajajo drugi dokazi tega izreka?

Kakšen je pomen tega izreka v življenju ljudi?

Kakšno vlogo je imel Pitagora pri razvoju matematike?

Iz biografije Pitagore

Pitagora s Samosa je velik grški znanstvenik. Njegova slava je povezana z imenom Pitagorejskega izreka. Čeprav zdaj že vemo, da je bil ta izrek znan v starem Babilonu 1200 let pred Pitagoro, v Egiptu pa 2000 let pred njim za pravokotni trikotnik s stranicami 3, 4, 5, ga še vedno imenujemo po imenu tega starodavnega znanstvenik.

O Pitagorovem življenju ni znano skoraj nič zanesljivo, vendar je povezano z njegovim imenom veliko število legende.

Pitagora se je rodil leta 570 pred našim štetjem na otoku Samos.

Pitagora je bil lepega videza, nosil je dolgo brado in zlati diadem na glavi. Pitagora ni ime, ampak vzdevek, ki ga je filozof dobil, ker je vedno govoril pravilno in prepričljivo, kot grško preročišče. (Pitagora - "prepričljiv govor").

Leta 550 pred našim štetjem se Pitagora odloči in odide v Egipt. Tako se pred Pitagoro odpira neznana dežela in neznana kultura. Pitagora je bil zelo presenečen in presenečen v tej državi in ​​po nekaj opazovanjih življenja Egipčanov je Pitagora spoznal, da pot do znanja, ki ga varuje kasta duhovnikov, leži skozi religijo.

Po enajstih letih študija v Egiptu se Pitagora odpravi v domovino, kjer na poti pade v babilonsko ujetništvo. Tam se seznani z babilonsko znanostjo, ki je bila bolj razvita od egipčanske. Babilonci so znali reševati linearne, kvadratne in nekatere vrste kubičnih enačb. Ko je pobegnil iz ujetništva, ni mogel dolgo ostati v domovini zaradi ozračja nasilja in tiranije, ki je tam vladala. Odločil se je preseliti v Croton (grška kolonija v severni Italiji).

V Krotonu se začne najbolj veličastno obdobje v življenju Pitagore. Tam je ustanovil nekaj podobnega versko-etičnemu bratstvu ali skrivnemu samostanskemu redu, katerega člani so bili dolžni voditi tako imenovani pitagorejski način življenja.

Pitagora in Pitagorejci

Pitagora je v grški koloniji na jugu Apeninskega polotoka organiziral versko in etično bratstvo, na primer samostanski red, ki se bo kasneje imenoval Pitagorejska unija. Člani sindikata so se morali držati določenih načel: prvič, prizadevati si za lepo in veličastno, drugič, biti koristni, in tretjič, prizadevati si za visoko zadovoljstvo.

Sistem moralnih in etičnih pravil, ki jih je Pitagora zapustil svojim učencem, je bil sestavljen v nekakšen moralni kodeks pitagorejcev "Zlati verzi", ki so bili zelo priljubljeni v dobi antike, srednjega veka in renesanse.

Pitagorejski študijski sistem je bil sestavljen iz treh delov:

Nauki o številkah - aritmetika,

Nauki o figurah - geometrija,

Nauki o zgradbi vesolja - astronomija.

Izobraževalni sistem, ki ga je postavil Pitagora, je trajal več stoletij.

Pitagorova šola je veliko naredila, da je geometriji dala značaj znanosti. Glavna značilnost pitagorejske metode je bila kombinacija geometrije z aritmetiko.

Pitagora se je veliko ukvarjal z razmerji in progresijami ter verjetno tudi s podobnostjo figur, saj je zaslužen za rešitev problema: »Na podlagi podane dve številki."

Pitagora in njegovi učenci so predstavili koncept poligonalnih, prijaznih, popolnih števil in preučevali njihove lastnosti. Aritmetika kot praksa računanja Pitagora ni zanimala in je ponosno izjavil, da je »aritmetiko postavil nad interese trgovca«.

Člani Pitagorejske unije so bili prebivalci številnih mest v Grčiji.

Pitagorejci so v svojo družbo sprejemali tudi ženske. Zveza je cvetela več kot dvajset let, nato pa se je začelo preganjanje njenih članov, veliko študentov je bilo pobitih.

O smrti samega Pitagore je bilo veliko različnih legend. Toda učenja Pitagore in njegovih učencev so še naprej živela.

Iz zgodovine nastanka Pitagorejskega izreka

Trenutno je znano, da Pitagora tega izreka ni odkril. Vendar nekateri menijo, da je Pitagora prvi dal popoln dokaz, drugi pa mu to zaslugo zanikajo. Nekateri pripisujejo Pitagori dokaz, ki ga je Evklid podal v prvi knjigi svojih Elementov. Po drugi strani Prokl trdi, da je za dokaz v Elementih zaslužen sam Evklid. Kot vidimo, zgodovina matematike skoraj nima zanesljivih konkretnih podatkov o Pitagorovem življenju in njegovi matematični dejavnosti.

Začnimo naš zgodovinski pregled pitagorejskega izreka s staro Kitajsko. Tukaj posebno pozornost pritegne matematična knjiga Chu-pei. Ta esej govori o pitagorejskem trikotniku s stranicami 3, 4 in 5:

"Če je pravi kot razdeljen na njegove sestavne dele, bo črta, ki povezuje konce njegovih stranic, 5, ko je osnova 3 in višina 4."

Njihov način gradnje je zelo enostavno reproducirati. Vzemite vrv dolžine 12 m in jo privežite nanjo vzdolž barvnega traku na razdalji 3 m. od enega konca in 4 metre od drugega. Pravi kot bo zaprt med stranicami, dolgimi 3 in 4 metre.

Geometrija pri hindujcih je bila tesno povezana s kultom. Zelo verjetno je, da je bil izrek o kvadratu hipotenuze v Indiji znan že okoli 8. stoletja pred našim štetjem. Poleg čisto obrednih predpisov obstajajo dela geometrijsko teološke narave. V teh spisih, ki segajo v 4. ali 5. stoletje pred našim štetjem, se srečujemo s konstrukcijo pravega kota s pomočjo trikotnika s stranicami 15, 36, 39.

V srednjem veku je pitagorejski izrek definiral mejo, če ne največjega možnega, pa vsaj dobrega matematičnega znanja. Značilna risba Pitagorejskega izreka, ki jo zdaj šolarji včasih spremenijo na primer v cilindrični klobuk, oblečen v haljo profesorja ali moškega, je bila v tistih časih pogosto uporabljena kot simbol matematike.

V zaključku predstavljamo različne formulacije pitagorejskega izreka, prevedene iz grščine, latinščine in nemščine.

Evklidov izrek se glasi (dobesedni prevod):

"V pravokotnem trikotniku je kvadrat stranice, ki obsega pravi kot, enak kvadratom na straneh, ki obdajajo pravi kot."

Kot lahko vidite, v različnih državah in različnih jezikih obstajajo različne različice formulacije znanega izreka. Ustvarjeni v različnih časih in v različnih jezikih odražajo bistvo enega matematičnega vzorca, katerega dokaz ima tudi več možnosti.

Pet načinov za dokazovanje pitagorejskega izreka

starodavni kitajski dokazi

Na starodavni kitajski risbi so štirje enaki pravokotni trikotniki s kraki a, b in hipotenuzo c zloženi tako, da njihov zunanji obris tvori kvadrat s stranico a + b, notranji pa kvadrat s stranico c, zgrajen na hipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dokaz J. Gardfielda (1882)

Razporedimo dva enaka pravokotna trikotnika tako, da je krak enega od njiju nadaljevanje drugega.

Območje obravnavanega trapeza najdemo kot zmnožek polovice vsote osnov in višine

Po drugi strani pa je površina trapeza enaka vsoti površin nastalih trikotnikov:

Če enačimo te izraze, dobimo:

Dokaz je preprost

Ta dokaz dobimo v najenostavnejšem primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Verjetno se je izrek začel z njim.

Dejansko je dovolj, da samo pogledamo ploščice enakokrakih pravokotnih trikotnikov, da vidimo, da je izrek resničen.

Na primer, za trikotnik ABC: kvadrat, zgrajen na hipotenuzi AC, vsebuje 4 začetne trikotnike, kvadrati, zgrajeni na krakih, pa vsebujejo dva. Izrek je dokazan.

Dokaz starodavnih hindujcev

Kvadrat s stranico (a + b) lahko razdelimo na dele kot na sl. 12. a, ali kot na sl. 12b. Jasno je, da so deli 1, 2, 3, 4 na obeh slikah enaki. In če se od enakih (območij) odštejejo enake, bodo enake ostale, t.j. c2 = a2 + b2.

Evklidov dokaz

Dve tisočletji je bil najpogostejši dokaz Pitagorejskega izreka, ki ga je izumil Evklid. Umeščen je v njegovo slavno knjigo "Začetki".

Evklid je znižal višino BH iz vrha pravega kota na hipotenuzo in dokazal, da njena podaljška deli kvadrat, ki je bil dokončan na hipotenuzi, na dva pravokotnika, katerih površini sta enaki površinam ustreznih kvadratov, zgrajenih na nogah.

Risba, uporabljena pri dokazu tega izreka, se v šali imenuje "pitagorejske hlače". Dolgo časa je veljal za enega od simbolov matematične znanosti.

Uporaba Pitagorovega izreka

Pomen pitagorejskega izreka je v tem, da je iz njega ali z njegovo pomočjo mogoče izpeljati večino izrekov geometrije in rešiti številne probleme. Poleg tega je praktičen pomen Pitagorejskega izreka in njegovega inverznega izreka ta, da jih je mogoče uporabiti za iskanje dolžin segmentov brez merjenja samih segmentov. To tako rekoč odpira pot od ravne črte do ravnine, od ravnine do volumetričnega prostora in naprej. Prav zaradi tega je pitagorejski izrek tako pomemben za človeštvo, ki si prizadeva odkriti več dimenzij in ustvariti tehnologije v teh dimenzijah.

Zaključek

Pitagorejev izrek je tako znan, da si je težko predstavljati osebo, ki zanjo ni slišala. Naučil sem se, da obstaja več načinov za dokazovanje Pitagorejskega izreka. Študiral sem številne zgodovinske in matematične vire, vključno z informacijami na internetu, in ugotovil, da Pitagorejev izrek ni zanimiv le zaradi svoje zgodovine, ampak tudi zato, ker zavzema pomembno mesto v življenju in znanosti. To dokazujejo različne interpretacije besedila tega izreka, ki sem jih podala v tem prispevku, in načini njegovih dokazov.

Torej je Pitagorejev izrek eden glavnih in, lahko bi rekli, najpomembnejši izrek geometrije. Njen pomen je v tem, da je iz njega ali z njegovo pomočjo mogoče razbrati večino izrekov geometrije. Pitagorejev izrek je izjemen tudi po tem, da sam po sebi sploh ni očiten. Na primer, lastnosti enakokrakega trikotnika je mogoče videti neposredno na risbi. Toda ne glede na to, koliko gledate v pravokoten trikotnik, nikoli ne boste videli, da obstaja preprosta relacija med njegovimi stranicami: c2 = a2 + b2. Zato se za dokazovanje pogosto uporablja vizualizacija. Zasluga Pitagore je bila, da je dal popoln znanstveni dokaz tega izreka. Zanimiva je osebnost samega znanstvenika, katerega spomin ni naključno ohranjen s tem izrekom. Pitagora je čudovit govornik, učitelj in vzgojitelj, organizator svoje šole, usmerjen v harmonijo glasbe in številk, dobrote in pravičnosti, znanja in zdravega načina življenja. Morda bo za zgled nam, daljnim potomcem.

Bibliografska povezava

Tumanova S.V. VEČ NAČINOV ZA DOKAZOVANJE PITAGOROVEGA IZREKA // Začetek v znanosti. - 2016. - Št. 2. - Str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum dostopa: 21.02.2019).

Tiste, ki jih zanima zgodovina pitagorejskega izreka, ki se preučuje v šolskem programu, bo zanimalo tudi dejstvo, kot je izid leta 1940 knjige s tristo sedemdeset dokazi tega na videz preprostega izreka. Vendar je navdušila misli številnih matematikov in filozofov različnih obdobij. V Guinnessovi knjigi rekordov je zapisan kot izrek z največjim številom dokazov.

Zgodovina Pitagorejskega izreka

Povezan z imenom Pitagora je bil izrek znan že dolgo pred rojstvom velikega filozofa. Torej, v Egiptu so pri gradnji konstrukcij pred pet tisoč leti upoštevali razmerje stranic pravokotnega trikotnika. Babilonska besedila omenjajo enako razmerje stranic pravokotnega trikotnika 1200 let pred Pitagorovim rojstvom.

Postavlja se vprašanje, zakaj potem zgodba pravi - nastanek pitagorejskega izreka pripada njemu? Odgovor je lahko samo en - dokazal je razmerje stranic v trikotniku. Naredil je tisto, kar pred stoletji niso storili tisti, ki so preprosto uporabljali razmerje stranic in hipotenuzo, ugotovljeno z izkušnjami.

Iz življenja Pitagore

Bodoči veliki znanstvenik, matematik, filozof se je rodil na otoku Samos leta 570 pr. Zgodovinski dokumenti so ohranili podatke o Pitagorovem očetu, ki je bil rezbar draguljev, o njegovi materi pa ni podatkov. O rojenem dečku so rekli, da je bil izjemen otrok, ki je že od otroštva kazal strast do glasbe in poezije. Zgodovinarji Hermodamanta in Ferekida iz Sirosa pripisujejo učiteljem mladega Pitagore. Prvi je fanta uvedel v svet muz, drugi pa, kot filozof in ustanovitelj italijanske filozofske šole, je mladeničev pogled usmeril v logos.

Pitagora je pri 22 letih (548 pr.n.št.) odšel v Navkratis, da bi preučeval jezik in vero Egipčanov. Nadalje je njegova pot ležala v Memphisu, kjer je po zaslugi duhovnikov, ki so opravili njihove iznajdljive preizkuse, razumel egipčansko geometrijo, kar je morda radovednega mladeniča spodbudilo k dokazovanju pitagorejskega izreka. To ime bo zgodovina kasneje pripisala izreku.

Ujel babilonski kralj

Na poti domov v Helado Pitagoro ujame babilonski kralj. Toda bivanje v ujetništvu je koristilo radovednemu umu matematika začetnika, veliko se je moral naučiti. Dejansko je bila v teh letih matematika v Babilonu bolj razvita kot v Egiptu. Dvanajst let je študiral matematiko, geometrijo in magijo. In morda je bila babilonska geometrija tista, ki je bila vključena v dokaz razmerja stranic trikotnika in zgodovino odkritja izreka. Pitagora je imel za to dovolj znanja in časa. A da se je to zgodilo v Babilonu, ni nobene dokumentarne potrditve ali zavrnitve tega.

Leta 530 pr Pitagora beži iz ujetništva v domovino, kjer živi na dvoru tirana Polikrata v statusu napol sužnja. Tako življenje Pitagori ne ustreza, zato se umakne v jame Samosa, nato pa odide na jug Italije, kjer je bila takrat grška kolonija Croton.

Skrivni samostanski red

Na podlagi te kolonije je Pitagora organiziral tajni meniški red, ki je bil hkrati verska zveza in znanstveno društvo. To društvo je imelo svoj statut, ki je govoril o spoštovanju posebnega načina življenja.

Pitagora je trdil, da mora človek, da bi razumel Boga, poznati vede, kot sta algebra in geometrija, poznati astronomijo in razumeti glasbo. Raziskovalno delo se je zreduciralo na poznavanje mistične plati številk in filozofije. Treba je opozoriti, da so načela, ki jih je takrat oznanjal Pitagora, v današnjem času smiselna posnemati.

Njemu so pripisali številna odkritja Pitagorovih učencev. Kljub temu je na kratko zgodovina nastanka pitagorejskega izreka s strani antičnih zgodovinarjev in biografov tistega časa neposredno povezana z imenom tega filozofa, misleca in matematika.

Nauki Pitagore

Morda je idejo o povezavi izreka z imenom Pitagora spodbudila izjava zgodovinarjev velikega Grka, da so v zloglasnem trikotniku z nogami in hipotenuzo šifrirani vsi pojavi našega življenja. In ta trikotnik je "ključ" za reševanje vseh težav, ki se pojavijo. Veliki filozof je rekel, da je treba videti trikotnik, potem lahko domnevamo, da je problem dve tretjini rešen.

Pitagora je o svojem poučevanju pripovedoval le svojim učencem ustno, ne da bi si zapisoval, pri čemer je to skrival. Žal se nauki največjega filozofa niso ohranili do danes. Nekaj ​​od tega je ušlo ven, vendar je nemogoče reči, koliko je v tem, kar je postalo znano, resničnega in koliko lažnega. Tudi z zgodovino Pitagorejskega izreka ni vse gotovo. Zgodovinarji matematike dvomijo o Pitagorovem avtorstvu, po njihovem mnenju je bil izrek uporabljen mnogo stoletij pred njegovim rojstvom.

Pitagorejev izrek

Morda se zdi čudno, a zgodovinskih dejstev o dokazovanju izreka samega Pitagore ni - niti v arhivih niti v drugih virih. V sodobni različici se verjame, da pripada nikomur drugemu kot samemu Evklidu.

Obstajajo dokazi o enem največjih zgodovinarjev matematike, Moritzu Kantorju, ki je odkril na papirusu, shranjenem v berlinskem muzeju, ki so ga napisali Egipčani okoli leta 2300 pr. e. enakost, ki se glasi: 3² + 4² = 5².

Na kratko iz zgodovine Pitagorejskega izreka

Formulacija izreka iz evklidskih "začetkov" v prevodu zveni enako kot v sodobni interpretaciji. V njenem branju ni nič novega: kvadrat strani nasproti desnemu kotu je enak vsoti kvadratov stranic, ki mejijo na pravi kot. Dejstvo, da so starodavne civilizacije Indije in Kitajske uporabljale izrek, potrjuje razprava Zhou Bi Suan Jin. Vsebuje informacije o egipčanskem trikotniku, ki opisuje razmerje stranic kot 3:4:5.

Nič manj zanimiva je še ena kitajska matematična knjiga "Chu-pei", ki omenja tudi pitagorejski trikotnik z razlago in risbami, ki sovpadajo z risbami hindujske geometrije Baskhare. O samem trikotniku knjiga pravi, da če je pravi kot mogoče razstaviti na njegove sestavne dele, bo črta, ki povezuje konce stranic, enaka pet, če je osnova tri, višina pa štiri.

Indijska razprava "Sulva Sutra", ki sega približno v 7.-5. stoletje pr. e., pripoveduje o konstrukciji pravega kota z uporabo egiptovskega trikotnika.

Dokaz izreka

V srednjem veku so študenti menili, da je dokazovanje izreka pretežko. Šibki učenci so se naučili izreke na pamet, ne da bi razumeli pomen dokaza. V zvezi s tem so prejeli vzdevek "osli", saj je bil Pitagorejev izrek zanje nepremostljiva ovira, kot most za osla. V srednjem veku so učenci pripravili igriv verz na temo tega izreka.

Če želite na najlažji način dokazati Pitagorejev izrek, morate preprosto izmeriti njegove stranice, ne da bi pri dokazu uporabljali koncept območij. Dolžina stranice nasproti pravemu kotu je c, a in b, ki sta ji sosednji, kot rezultat dobimo enačbo: a 2 + b 2 \u003d c 2. To trditev, kot je omenjeno zgoraj, preverimo z merjenjem dolžin stranic pravokotnega trikotnika.

Če začnemo dokaz izreka z upoštevanjem površine pravokotnikov, zgrajenih na straneh trikotnika, lahko določimo površino celotne figure. Enaka bo površini kvadrata s stranico (a + b), po drugi strani pa vsoti površin štirih trikotnikov in notranjega kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , kar je bilo treba dokazati.

Praktični pomen Pitagorejskega izreka je, da ga je mogoče uporabiti za iskanje dolžin segmentov, ne da bi jih merili. Med gradnjo konstrukcij se izračunajo razdalje, postavitev nosilcev in nosilcev, določijo težišča. Pitagorejev izrek se uporablja tudi v vseh sodobnih tehnologijah. Niso pozabili na izrek pri ustvarjanju filmov v 3D-6D dimenzijah, kjer se poleg običajnih 3 vrednosti upoštevajo: višina, dolžina, širina, čas, vonj in okus. Kako so okusi in vonji povezani z izrekom, vprašate? Vse je zelo preprosto - pri predvajanju filma je treba izračunati, kje in kakšne vonjave in okuse režirati v avditoriju.

To je šele začetek. Radovedne ume čaka neomejen prostor za odkrivanje in ustvarjanje novih tehnologij.

V eni stvari ste lahko stoodstotno prepričani, da bo vsak odrasel na vprašanje, kolikšen je kvadrat hipotenuze, pogumno odgovoril: "Vsota kvadratov nog." Ta izrek je trdno zasidran v glavah vsakega izobraženega človeka, vendar je dovolj le, da nekoga prosimo, da to dokaže, in potem lahko nastanejo težave. Zato se spomnimo in razmislimo o različnih načinih dokazovanja Pitagorejskega izreka.

Kratek pregled biografije

Pitagorejev izrek je znan skoraj vsem, vendar iz nekega razloga biografija osebe, ki jo je izdelala, ni tako priljubljena. Popravili bomo. Zato se morate pred preučevanjem različnih načinov dokazovanja pitagorejskega izreka na kratko seznaniti z njegovo osebnostjo.

Pitagora - filozof, matematik, mislec, ki izvira iz Danes je zelo težko ločiti njegovo biografijo od legend, ki so se razvile v spomin na tega velikega človeka. Toda kot izhaja iz zapisov njegovih privržencev, se je Pitagora iz Samosa rodil na otoku Samos. Njegov oče je bil navaden kamnosek, mati pa je izhajala iz plemiške družine.

Po legendi je rojstvo Pitagore napovedala ženska po imenu Pythia, v čast katere je bil deček poimenovan. Po njeni napovedi naj bi rojeni deček človeštvu prinesel številne koristi in dobro. Kar je pravzaprav tudi storil.

Rojstvo izreka

V mladosti se je Pitagora preselil v Egipt, da bi tam srečal slavne egipčanske modrece. Po srečanju z njimi je bil sprejet na študij, kjer se je naučil vseh velikih dosežkov egipčanske filozofije, matematike in medicine.

Verjetno je bil Pitagora v Egiptu navdihnjen z veličastnostjo in lepoto piramid in ustvaril svojo veliko teorijo. To lahko šokira bralce, vendar sodobni zgodovinarji menijo, da Pitagora ni dokazal svoje teorije. Toda svoje znanje je le posredoval svojim privržencem, ki so kasneje opravili vse potrebne matematične izračune.

Kakor koli že, danes ni znana ena tehnika za dokazovanje tega izreka, ampak več naenkrat. Danes lahko le ugibamo, kako natančno so stari Grki delali svoje izračune, zato bomo tukaj obravnavali različne načine dokazovanja Pitagorejskega izreka.

Pitagorejev izrek

Preden začnete z izračuni, morate ugotoviti, katero teorijo želite dokazati. Pitagorejev izrek zveni takole: "V trikotniku, v katerem je eden od kotov 90 o, je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze."

Skupaj obstaja 15 različnih načinov za dokazovanje pitagorejskega izreka. To je dokaj veliko število, zato bodimo pozorni na najbolj priljubljene med njimi.

Prva metoda

Najprej definirajmo, kaj imamo. Ti podatki bodo veljali tudi za druge načine dokazovanja Pitagorejskega izreka, zato se morate takoj spomniti vseh razpoložljivih zapisov.

Recimo, da je podan pravokoten trikotnik s kraki a, b in hipotenuzo, enakimi c. Prva metoda dokazovanja temelji na dejstvu, da je treba iz pravokotnega trikotnika narisati kvadrat.

Če želite to narediti, morate na dolžino noge a narisati segment, enak nogi, in obratno. Tako bi se morali izkazati dve enaki strani kvadrata. Ostaja le še narisati dve vzporedni črti in kvadrat je pripravljen.

Znotraj nastale figure morate narisati še en kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi prvotnega trikotnika. Če želite to narediti, morate iz oglišč ac in sv narisati dva vzporedna segmenta, enaka c. Tako dobimo tri stranice kvadrata, od katerih je ena hipotenuza prvotnega pravokotnega trikotnika. Ostaja le še narisati četrti segment.

Na podlagi nastale številke lahko sklepamo, da je površina zunanjega kvadrata (a + b) 2. Če pogledate v notranjost figure, lahko vidite, da ima poleg notranjega kvadrata štiri pravokotne trikotnike. Površina vsakega je 0,5 av.

Zato je površina: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Zato (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

In zato z 2 \u003d a 2 + v 2

Izrek je dokazan.

Drugi način: podobni trikotniki

Ta formula za dokaz Pitagorejskega izreka je bila izpeljana na podlagi izjave iz odseka geometrije o podobnih trikotnikih. Pravi, da je krak pravokotnega trikotnika srednja vrednost, sorazmerna njegovi hipotenuzi in odseku hipotenuze, ki izhaja iz vrha kota 90 o.

Začetni podatki ostajajo enaki, zato začnimo takoj s dokazovanjem. Narišimo odsek CD pravokotno na stranico AB. Na podlagi zgornje trditve so kraki trikotnikov enaki:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Za odgovor na vprašanje, kako dokazati Pitagorejev izrek, je treba dokaz položiti s kvadraturo obeh neenakosti.

AC 2 = AB * HELL in SV 2 \u003d AB * DV

Zdaj moramo sešteti nastale neenakosti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kjer je AD + DV \u003d AB

Izkazalo se je, da:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

In zato:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dokaz pitagorejskega izreka in različni načini njegovega reševanja zahtevajo vsestranski pristop k temu problemu. Vendar je ta možnost ena najpreprostejših.

Druga metoda izračuna

Opis različnih načinov dokazovanja pitagorejskega izreka morda ne bo povedal ničesar, dokler ne začnete vaditi sami. Številne metode vključujejo ne le matematične izračune, temveč tudi konstrukcijo novih figur iz prvotnega trikotnika.

V tem primeru je treba iz kraka letala dokončati še en pravokoten trikotnik VSD. Tako sta zdaj dva trikotnika s skupnim krakom BC.

Če vemo, da imajo površine podobnih številk razmerje kot kvadrati njihovih podobnih linearnih dimenzij, potem:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

Ker ta možnost med različnimi metodami dokazovanja Pitagorejskega izreka za 8. razred skoraj ni primerna, lahko uporabite naslednjo tehniko.

Najlažji način za dokazovanje pitagorejskega izreka. Ocene

Zgodovinarji verjamejo, da je bila ta metoda prvič uporabljena za dokazovanje izreka v stari Grčiji. Je najpreprostejši, saj ne zahteva absolutno nobenih izračunov. Če pravilno narišete sliko, bo jasno viden dokaz trditve, da bo a 2 + b 2 \u003d c 2.

Pogoji za to metodo se bodo nekoliko razlikovali od prejšnje. Za dokaz izreka predpostavimo, da je pravokoten trikotnik ABC enakokraki.

Za stran kvadrata vzamemo hipotenuzo AC in narišemo njegove tri stranice. Poleg tega je treba v nastalem kvadratu narisati dve diagonalni črti. Tako da v njem dobite štiri enakokrake trikotnike.

Do krakov AB in CB morate narisati tudi kvadrat in v vsaki narisati eno diagonalno črto. Prvo črto narišemo iz vrha A, drugo - iz C.

Zdaj morate natančno pogledati nastalo sliko. Ker so na hipotenuzi AC štirje trikotniki, enaki prvotni, in dva na nogah, to kaže na resničnost tega izreka.

Mimogrede, zahvaljujoč tej metodi dokazovanja pitagorejskega izreka se je rodil slavni stavek: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je 20. predsednik Združenih držav Amerike. Poleg tega, da je kot vladar Združenih držav pustil pečat v zgodovini, je bil tudi nadarjen samouk.

Na začetku svoje kariere je bil navaden učitelj v ljudski šoli, kmalu pa je postal direktor ene od visokošolskih zavodov. Želja po samorazvoju mu je omogočila, da ponudi novo teorijo dokaza Pitagorejskega izreka. Izrek in primer njegove rešitve sta naslednja.

Najprej morate na kos papirja narisati dva pravokotna trikotnika, tako da je krak enega od njih nadaljevanje drugega. Vrata teh trikotnikov je treba povezati, da na koncu dobimo trapez.

Kot veste, je površina trapeza enaka zmnožku polovice vsote njegovih osnov in višine.

S=a+b/2 * (a+b)

Če upoštevamo nastali trapez kot figuro, sestavljeno iz treh trikotnikov, potem lahko njegovo površino najdemo na naslednji način:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Zdaj moramo izenačiti oba izvirna izraza

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + v 2

O Pitagorejevem izreku in kako ga dokazati je mogoče napisati več kot en zvezek učbenika. Toda ali je smiselno, ko tega znanja ni mogoče uporabiti v praksi?

Praktična uporaba pitagorejskega izreka

Žal sodobni šolski učni načrti predvidevajo uporabo tega izreka le pri geometrijskih problemih. Diplomanti bodo kmalu zapustili šolske stene, ne da bi vedeli, kako lahko svoje znanje in veščine uporabijo v praksi.

Pravzaprav uporabite pitagorejski izrek v svojem Vsakdanje življenje vsak lahko. Pa ne samo v poklicnih dejavnostih, ampak tudi pri običajnih gospodinjskih opravilih. Razmislimo o več primerih, ko je Pitagorejev izrek in metode njegovega dokazovanja lahko zelo potrebni.

Povezava izreka in astronomije

Zdi se, kako je mogoče na papirju povezati zvezde in trikotnike. Pravzaprav je astronomija znanstveno področje, v katerem se pitagorejski izrek pogosto uporablja.

Na primer, razmislite o gibanju svetlobnega snopa v prostoru. Vemo, da svetloba potuje v obe smeri z enako hitrostjo. Pot imenujemo AB, po kateri se giblje svetlobni žarek l. In polovico časa, ki ga potrebuje svetloba, da pride od točke A do točke B, pokličimo t. In hitrost žarka - c. Izkazalo se je, da: c*t=l

Če pogledate ta isti žarek z druge ravnine, na primer iz vesoljske podloge, ki se giblje s hitrostjo v, se bo s takšnim opazovanjem teles njihova hitrost spremenila. V tem primeru se bodo tudi nepremični elementi premikali s hitrostjo v v nasprotni smeri.

Recimo, da komična ladja pluje v desno. Nato se bosta točki A in B, med katerima žarek hiti, premaknili v levo. Poleg tega, ko se žarek premakne od točke A do točke B, ima točka A čas, da se premakne in zato bo svetloba že prispela do nove točke C. Če želite najti polovico razdalje, ki se je premaknila točka A, morate pomnožiti hitrost podloge za polovico potovalnega časa žarka (t ").

In da bi ugotovili, kako daleč lahko žarek svetlobe potuje v tem času, morate označiti polovico poti nove bukve in dobiti naslednji izraz:

Če si predstavljamo, da sta svetlobni točki C in B ter prostorska črta oglišči enakokrakega trikotnika, ga bo odsek od točke A do črte razdelil na dva pravokotna trikotnika. Zato lahko po zaslugi Pitagorejskega izreka najdete razdaljo, ki jo lahko prepotuje žarek svetlobe.

Ta primer seveda ni najbolj uspešen, saj imajo le redki srečo, da ga preizkusijo v praksi. Zato obravnavamo bolj vsakdanje aplikacije tega izreka.

Obseg prenosa mobilnega signala

Sodobnega življenja si ne moremo več predstavljati brez obstoja pametnih telefonov. Koliko pa bi bili uporabni, če ne bi mogli povezati naročnikov preko mobilnih komunikacij?!

Kakovost mobilnih komunikacij je neposredno odvisna od višine, na kateri se nahaja antena mobilnega operaterja. Če želite izračunati, kako daleč od mobilnega stolpa lahko telefon sprejme signal, lahko uporabite Pitagorejev izrek.

Recimo, da morate najti približno višino nepremičnega stolpa, da lahko širi signal v polmeru 200 kilometrov.

AB (višina stolpa) = x;

BC (polmer prenosa signala) = 200 km;

OS (polmer globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Z uporabo Pitagorejskega izreka ugotovimo, da mora biti najmanjša višina stolpa 2,3 kilometra.

Pitagorejev izrek v vsakdanjem življenju

Nenavadno je, da je Pitagorejev izrek lahko uporaben tudi v vsakdanjih zadevah, kot je na primer določanje višine omare. Na prvi pogled ni treba uporabljati tako zapletenih izračunov, saj lahko preprosto opravite meritve z merilnim trakom. Toda mnogi so presenečeni, zakaj se pri montaži pojavijo določene težave, če so bile vse meritve opravljene več kot natančno.

Dejstvo je, da je omara sestavljena v vodoravnem položaju in se šele nato dvigne in namesti ob steno. Zato mora stranska stena omare v procesu dvigovanja konstrukcije prosto potekati tako po višini kot po diagonali prostora.

Recimo, da obstaja omara z globino 800 mm. Razdalja od tal do stropa - 2600 mm. Izkušeni izdelovalec pohištva bo rekel, da mora biti višina omare 126 mm manjša od višine prostora. Toda zakaj ravno 126 mm? Poglejmo si primer.

Pri idealnih dimenzijah omare preverimo delovanje Pitagorovega izreka:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - vse se zbliža.

Recimo, da višina omare ni 2474 mm, ampak 2505 mm. Nato:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Zato ta omara ni primerna za namestitev v tej sobi. Ker se pri dvigovanju v navpični položaj lahko poškoduje njegovo telo.

Morda lahko po preučevanju različnih načinov dokazovanja pitagorejskega izreka s strani različnih znanstvenikov sklepamo, da je več kot res. Zdaj lahko prejete informacije uporabite v vsakdanjem življenju in ste popolnoma prepričani, da bodo vsi izračuni ne le koristni, ampak tudi pravilni.