Povezana lekcija "Neskončno padajoča geometrijska progresija" (algebra, 10. razred)

Namen lekcije: seznanjanje študentov z novo vrsto zaporedja – neskončno padajočo geometrijsko progresijo.

oprema: projektor, platno.

Vrsta lekcije: Lekcija - obvladovanje nove teme.

Med poukom

jaz . Org. trenutek. Sporočilo o temi in namenu lekcije.

II . Posodabljanje znanja učencev.

V 9. razredu ste študirali aritmetično in geometrijsko progresijo.

vprašanja

1. Definicija aritmetične progresije. (Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, dodanemu istemu številu.)

2. Formula n-ti član aritmetične progresije (
)

3. Formula za vsoto prvega nčlani aritmetične progresije.

(
oz
)

4. Definicija geometrijske progresije. (Geometrijska progresija je zaporedje števil, ki niso nič, pri čemer je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom.)

5. Formula n-ti člen geometrijske progresije (

)

6. Formula za vsoto prvega nčleni geometrijske progresije. (
)

7. Katere formule še poznate?

(
, kje
;
;
;
,
)

5. Za geometrijsko progresijo
poišči peti člen.

6. Za geometrijsko progresijo
najti n-th član.

7. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Najti b 4 . (4)

8. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Najti b 1 in q .

9. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Najti S 5 . (62)

III . Raziskovanje nove teme(demonstracijska predstavitev).

Razmislimo o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Narišimo še en kvadrat, katerega stranica je polovica prvega kvadrata, nato še enega, katerega stranica je polovica drugega, nato naslednjega in tako naprej. Vsakič, ko je stranica novega kvadrata polovica prejšnje.

Kot rezultat, smo dobili zaporedje stranic kvadratov tvorijo geometrijsko progresijo z imenovalcem.

In kar je zelo pomembno, več kot gradimo takšnih kvadratov, manjša bo stranica kvadrata. na primer,

tiste. ko se število n povečuje, se pogoji napredovanja približujejo ničli.

S pomočjo te slike lahko upoštevamo še eno zaporedje.

Na primer, zaporedje območij kvadratov:

. In spet, če n narašča neomejeno, potem se območje poljubno blizu nič približa.

Poglejmo še en primer. Enakostranični trikotnik s stranico 1 cm. Konstruirajmo naslednji trikotnik z oglišči v središčih stranic 1. trikotnika po izreku o srednji črti trikotnika - stranica 2. je enaka polovici stranice prvega, stranica 3. je polovica stranic 2. itd. Spet dobimo zaporedje dolžin stranic trikotnikov.

pri
.

Če upoštevamo geometrijsko progresijo z negativnim imenovalcem.

Potem pa spet z naraščajočim številom n pogoji napredovanja se približujejo ničli.

Bodimo pozorni na imenovalce teh zaporedij. Povsod so bili imenovalci manjši od 1 modula.

Sklepamo lahko: geometrijska progresija bo neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od 1.

Opredelitev:

Za geometrijsko progresijo pravimo, da je neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od ena.
.

S pomočjo definicije je mogoče rešiti vprašanje, ali je geometrijska progresija neskončno padajoča ali ne.

Naloga

Ali je zaporedje neskončno padajoča geometrijska progresija, če je podana s formulo:

;
.

Odločitev:

. Najdimo q .

;
;
;
.

ta geometrijska progresija se neskončno zmanjšuje.

b) to zaporedje ni neskončno padajoča geometrijska progresija.

Razmislite o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Razdelite ga na polovico, eno od polovic spet na polovico in tako naprej. površine vseh nastalih pravokotnikov tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo:

Vsota površin vseh tako dobljenih pravokotnikov bo enaka površini 1. kvadrata in enaka 1.

Namen lekcije: seznaniti učence z novo vrsto zaporedja - neskončno padajočo geometrijsko progresijo.
Naloge:
oblikovanje začetne ideje o meji številčnega zaporedja;
seznanitev z drugim načinom pretvorbe neskončnih periodičnih ulomkov v navadne po formuli za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih lastnosti osebnosti šolarjev, kot so logično razmišljanje, sposobnost vrednotenja, posploševanje;
vzgoja dejavnosti, medsebojna pomoč, kolektivizem, zanimanje za predmet.

Prenesi:

Predogled:

Povezana lekcija "Neskončno padajoča geometrijska progresija" (algebra, 10. razred)

Namen lekcije: seznanjanje študentov z novo vrsto zaporedja – neskončno padajočo geometrijsko progresijo.

Naloge:

oblikovanje začetne ideje o meji številčnega zaporedja; seznanitev z drugim načinom pretvorbe neskončnih periodičnih ulomkov v navadne po formuli za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije;

razvoj intelektualnih lastnosti osebnosti šolarjev, kot so logično razmišljanje, sposobnost vrednotenja, posploševanje;

vzgoja dejavnosti, medsebojna pomoč, kolektivizem, zanimanje za predmet.

oprema: računalniški razred, projektor, platno.

Vrsta lekcije: Lekcija - obvladovanje nove teme.

Med poukom

I. Org. trenutek. Sporočilo o temi in namenu lekcije.

II. Posodabljanje znanja učencev.

V 9. razredu ste študirali aritmetično in geometrijsko progresijo.

vprašanja

1. Definicija aritmetične progresije.

(Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem vsak član,

Začenši z drugim, je enak prejšnjemu členu, dodanemu z isto številko).

2. Formula n -th član aritmetične progresije

3. Formula za vsoto prvega n člani aritmetične progresije.

( ali )

4. Definicija geometrijske progresije.

(Geometrijska progresija je zaporedje številk, ki niso nič,

Vsak člen, ki se začne z drugim, je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z

isto število).

5. Formula n člen geometrijske progresije

6. Formula za vsoto prvega n členi geometrijske progresije.

7. Katere formule še poznate?

(, kje ; ;

; , )

Naloge

1. Aritmetična progresija je podana s formulo a n = 7 - 4n. Poiščite 10. (-33)

2. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 4. (4)

3. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 17. (-35)

4. Aritmetična progresija a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite S 17. (-187)

5. Za geometrijsko progresijopoišči peti člen.

6. Za geometrijsko progresijo poišči n-ti člen.

7. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 4. (4)

8. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 1 in q .

9. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite S 5. (62)

III. Raziskovanje nove teme(demonstracijska predstavitev).

Razmislimo o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Narišimo še en kvadrat, katerega stranica je polovica prvega kvadrata, nato še enega, katerega stranica je polovica drugega, nato naslednjega in tako naprej. Vsakič, ko je stranica novega kvadrata polovica prejšnje.

Kot rezultat, smo dobili zaporedje stranic kvadratovtvorijo geometrijsko progresijo z imenovalcem.

In kar je zelo pomembno, več kot gradimo takšnih kvadratov, manjša bo stranica kvadrata. na primer

tiste. ko se število n povečuje, se pogoji napredovanja približujejo ničli.

S pomočjo te slike lahko upoštevamo še eno zaporedje.

Na primer, zaporedje območij kvadratov:

In spet, če n narašča neomejeno, potem se območje poljubno blizu nič približa.

Poglejmo še en primer. Enakostranični trikotnik s stranico 1 cm. Konstruirajmo naslednji trikotnik z oglišči v središčih stranic 1. trikotnika po izreku o srednji črti trikotnika - stranica 2. je enaka polovici stranice prvega, stranica 3. je polovica stranic 2. itd. Spet dobimo zaporedje dolžin stranic trikotnikov.

Ob .

Če upoštevamo geometrijsko progresijo z negativnim imenovalcem.

Potem pa spet z naraščajočim številom n pogoji napredovanja se približujejo ničli.

Bodimo pozorni na imenovalce teh zaporedij. Povsod so bili imenovalci manjši od 1 modula.

Sklepamo lahko: geometrijska progresija bo neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od 1.

Sprednje delo.

Opredelitev:

Za geometrijsko progresijo pravimo, da je neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od ena..

S pomočjo definicije je mogoče rešiti vprašanje, ali je geometrijska progresija neskončno padajoča ali ne.

Naloga

Ali je zaporedje neskončno padajoča geometrijska progresija, če je podana s formulo:

Odločitev:

Najdimo q.

; ; ; .

ta geometrijska progresija se neskončno zmanjšuje.

b) to zaporedje ni neskončno padajoča geometrijska progresija.

Razmislite o kvadratu s stranico, ki je enaka 1. Razdelite ga na polovico, eno od polovic spet na polovico in tako naprej. površine vseh nastalih pravokotnikov tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo:

Vsota površin vseh tako dobljenih pravokotnikov bo enaka površini 1. kvadrata in enaka 1.

Toda na levi strani te enakosti je vsota neskončnega števila izrazov.

Upoštevajte vsoto prvih n členov.

Po formuli za vsoto prvih n členov geometrijske progresije je enaka.

Če n potem narašča za nedoločen čas

ali . Zato, t.j. .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresijeobstaja omejitev zaporedja S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Na primer za napredovanje,

imamo

Kot

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresijelahko najdete s formulo.

III. Refleksija in konsolidacija(izpolnitev nalog).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Povzetek.

Kakšno zaporedje ste danes srečali?

Določite neskončno padajočo geometrijsko progresijo.

Kako dokazati, da je geometrijska progresija neskončno padajoča?

Podajte formulo za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije.

V. Domača naloga.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Predogled:

Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Vsakdo bi moral biti sposoben dosledno razmišljati, dokončno presojati in zavračati napačne zaključke: fizik in pesnik, traktorist in kemik. E.Kolman Pri matematiki se je treba spomniti ne formul, ampak procesov mišljenja. VP Ermakov Lažje je najti kvadrat kroga kot prelisičiti matematika. Augustus de Morgan Katera znanost bi lahko bila bolj plemenita, bolj občudovanja vredna, koristnejša za človeštvo kot matematika? Franklin

Neskončno padajoča geometrijska progresija 10. razred

JAZ. Aritmetične in geometrijske progresije. Vprašanja 1. Definicija aritmetične progresije. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, dodanemu istemu številu. 2. Formula n-ega člana aritmetične progresije. 3. Formula za vsoto prvih n členov aritmetične progresije. 4. Definicija geometrijske progresije. Geometrijska progresija je zaporedje števil, ki niso nič, katerih vsak člen je, začenši z drugim, enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom 5. Formula n-ega člana geometrijske progresije. 6. Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije.

II. Aritmetično napredovanje. Naloge Aritmetična progresija je podana s formulo a n = 7 – 4 n Najdi a 10 . (-33) 2. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 4. (4) 3. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite 17. (-35) 4. V aritmetični progresiji a 3 = 7 in a 5 = 1 . Poiščite S 17. (-187)

II. Geometrijska progresija. Naloge 5. Za geometrijsko progresijo poiščite peti člen 6. Za geometrijsko progresijo poiščite n-ti člen. 7. Eksponentno b 3 = 8 in b 5 = 2. Poiščite b 4. (4) 8. V geometrijski progresiji b 3 = 8 in b 5 = 2 . Poiščite b 1 in q . 9. V geometrijski progresiji b 3 = 8 in b 5 = 2. Poiščite S 5. (62)

definicija: Za geometrijsko progresijo rečemo, da je neskončno padajoča, če je modul njenega imenovalca manjši od ena.

Problem №1 Ali je zaporedje neskončno padajoča geometrijska progresija, če je podana s formulo: Rešitev: a) ta geometrijska progresija je neskončno padajoča. b) to zaporedje ni neskončno padajoča geometrijska progresija.

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije je meja zaporedja S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Na primer, za progresijo imamo Ker je vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije mogoče najti s formulo

Izvajanje nalog Najdi vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom 3, drugim 0,3. 2. št. 13; št. 14; učbenik, stran 138 3. številka 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. št. 19; št. 20.

Kakšno zaporedje ste danes srečali? Določite neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako dokazati, da je geometrijska progresija neskončno padajoča? Podajte formulo za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije. vprašanja

Slavni poljski matematik Hugo Steinghaus v šali trdi, da obstaja zakon, ki je oblikovan takole: matematik bo to naredil bolje. Če namreč dvema osebama, od katerih je eden matematik, zaupaš, da opravita delo, ki ga ne poznata, bo rezultat vedno naslednji: matematik ga bo opravil bolje. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Prva stopnja

Geometrijska progresija. Obsežen vodnik s primeri (2019)

Številčno zaporedje

Zato se usedimo in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko kolikor želite (v našem primeru jih). Ne glede na to, koliko števil zapišemo, lahko vedno rečemo, katero od njih je prvo, katero drugo in tako naprej do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Številčno zaporedje je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno zaporedno številko. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Druga številka (tako kot -ta številka) je vedno enaka.

Število s številko se imenuje --ti član zaporedja.

Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .

v našem primeru:

Najpogostejši vrsti progresije sta aritmetična in geometrijska. V tej temi bomo govorili o drugi vrsti - geometrijska progresija.

Zakaj potrebujemo geometrijsko progresijo in njeno zgodovino.

Že v starih časih se je italijanski matematik, menih Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci), ukvarjal s praktičnimi potrebami trgovine. Menih je bil soočen z nalogo, da določi, s katerim najmanjšim številom uteži lahko tehtamo blago? Fibonacci v svojih spisih dokazuje, da je takšen sistem uteži optimalen: To je ena prvih situacij, v katerih so se ljudje morali soočiti z geometrijsko progresijo, za katero ste verjetno že slišali in imate vsaj splošno predstavo. Ko v celoti razumete temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?

Trenutno se v življenjski praksi geometrijska progresija kaže pri vlaganju denarja v banko, ko se znesek obresti zaračuna na znesek, nakopičen na računu za prejšnje obdobje. Z drugimi besedami, če položite denar na vezano vlogo v hranilnici, se bo vloga čez eno leto povečala za prvotni znesek, t.j. novi znesek bo enak prispevku, pomnoženemu z. V naslednjem letu se bo ta znesek povečal za, t.j. takrat dobljeni znesek se ponovno pomnoži z in tako naprej. Podobna situacija je opisana pri problemih računanja t.i obrestno obrestovanje- odstotek se vzame vsakič od zneska, ki je na računu, ob upoštevanju predhodnih obresti. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.

Obstaja veliko bolj preprostih primerov, kjer se uporablja geometrijska progresija. Na primer, širjenje gripe: ena oseba je okužila osebo, oni pa so okužili drugo osebo in s tem drugi val okužbe - osebo, oni pa so okužili drugega ... in tako naprej .. .

Mimogrede, finančna piramida, isti MMM, je preprost in suh izračun glede na lastnosti geometrijske progresije. zanimivo? Ugotovimo.

Geometrijska progresija.

Recimo, da imamo številsko zaporedje:

Takoj boste odgovorili, da je enostavno in je ime takega zaporedja aritmetična progresija z razliko njegovih članov. Kaj pa nekaj takega:

Če od naslednjega števila odštejete prejšnje število, boste videli, da vsakič, ko dobite novo razliko (in tako naprej), vendar zaporedje zagotovo obstaja in ga je enostavno opaziti - vsako naslednje število je krat večje od prejšnje. !

Ta vrsta zaporedja se imenuje geometrijska progresija in je označen.

Geometrijska progresija ( ) je številčno zaporedje, katerega prvi člen je drugačen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število se imenuje imenovalec geometrijske progresije.

Omejitve, da prvi člen ( ) ni enak in niso naključne. Recimo, da jih ni, in prvi člen je še vedno enak, q pa je, hmm .. naj, potem se izkaže:

Strinjam se, da to ni napredek.

Kot razumete, bomo dobili enake rezultate, če je število, ki ni nič, vendar. V teh primerih napredovanja preprosto ne bo, saj bodo celotna številska vrsta bodisi vse ničle bodisi eno število, vse ostale ničle pa.

Zdaj pa se pogovorimo podrobneje o imenovalcu geometrijske progresije, to je o.

Ponovimo: - to je številka, kolikokrat se spremeni vsak naslednji izraz geometrijska progresija.

Kaj mislite, da bi to lahko bilo? Tako je, pozitivno in negativno, ne pa nič (o tem smo govorili malo višje).

Recimo, da imamo pozitivno. Naj v našem primeru a. Kaj je drugi mandat in? Na to lahko enostavno odgovorite:

V redu. V skladu s tem, če, potem imajo vsi naslednji člani napredovanja enak znak - oni pozitivno.

Kaj pa če je negativno? Na primer, a. Kaj je drugi mandat in?

To je povsem druga zgodba

Poskusite prešteti trajanje tega napredovanja. koliko si dobil? Imam. Torej, če, potem se znaki členov geometrijske progresije izmenjujejo. To pomeni, da če vidite napredovanje z izmeničnimi znaki v njegovih členih, je njegov imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga, da se preizkusite pri reševanju problemov na to temo.

Zdaj pa malo vadimo: poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so geometrijska progresija in katera aritmetična:

Razumem? Primerjaj naše odgovore:

• Geometrijska progresija - 3, 6.
• Aritmetična progresija - 2, 4.
• To ni niti aritmetična niti geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vrnimo se na našo zadnjo progresijo in poskusimo poiskati njen izraz na enak način kot v aritmetiki. Kot ste morda uganili, ga najdete na dva načina.

Vsak člen zaporedoma pomnožimo z.

Torej je --ti član opisane geometrijske progresije enak.

Kot že ugibate, boste zdaj sami izpeljali formulo, ki vam bo pomagala najti kateri koli člen geometrijske progresije. Ali pa ste ga že iznesli sami in opisali, kako po korakih najti th člana? Če je tako, potem preverite pravilnost svojega sklepanja.

Ponazorimo to s primerom iskanja --toga člana te progresije:

Z drugimi besedami:

Poiščite vrednost člana dane geometrijske progresije.

se je zgodilo? Primerjaj naše odgovore:

Bodite pozorni, da ste dobili popolnoma enako število kot pri prejšnji metodi, ko smo zaporedoma pomnožili z vsakim prejšnjim članom geometrijske progresije.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - spravimo jo v splošno obliko in dobimo:

Izpeljana formula velja za vse vrednosti - tako pozitivne kot negativne. Preverite sami tako, da izračunate pogoje geometrijske progresije z naslednjimi pogoji: , a.

Ste šteli? Primerjajmo rezultate:

Strinjam se, da bi bilo mogoče najti člana napredovanja na enak način kot člana, vendar obstaja možnost napačnega izračuna. In če smo že našli th člen geometrijske progresije, a, kaj bi lahko bilo lažje kot uporabiti »okrnjen« del formule.

Neskončno padajoča geometrijska progresija.

Pred kratkim smo govorili o tem, kaj je lahko večje ali manjše od nič, vendar obstajajo posebne vrednosti, za katere se imenuje geometrijska progresija neskončno padajoča.

Zakaj mislite, da ima tako ime?
Za začetek zapišimo nekaj geometrijske progresije, ki jo sestavljajo členi.
Recimo torej:

Vidimo, da je vsak naslednji člen v krat manjši od prejšnjega, toda ali bo še kakšno število? Takoj odgovoriš - "ne". Zato se neskončno padajoče - zmanjšuje, zmanjšuje, vendar nikoli ne postane nič.

Da bi jasno razumeli, kako to izgleda vizualno, poskusimo narisati graf našega napredovanja. Torej, v našem primeru ima formula naslednjo obliko:

Na grafikonih smo navajeni graditi odvisnost od:

Bistvo izraza se ni spremenilo: v prvem vnosu smo prikazali odvisnost vrednosti člana geometrijske progresije od njegove redne številke, v drugem vnosu pa smo preprosto vzeli vrednost člana geometrijske progresije za in redna številka je bila označena ne kot, ampak kot. Vse kar je preostalo je, da narišete graf.
Poglejmo, kaj imaš. Tukaj je grafikon, ki sem ga dobil:

Vidiš? Funkcija pada, teži k ničli, vendar je nikoli ne prečka, zato se neskončno zmanjšuje. Označimo svoje točke na grafu, hkrati pa, kaj pomeni koordinata in:

Poskusite shematično prikazati graf geometrijske progresije, če je tudi njen prvi člen enak. Analizirajte, kakšna je razlika od našega prejšnjega grafikona?

Vam je uspelo? Tukaj je grafikon, ki sem ga dobil:

Zdaj, ko ste popolnoma razumeli osnove teme geometrijske progresije: veste, kaj je, veste, kako najti njen izraz, in veste tudi, kaj je neskončno padajoča geometrijska progresija, preidimo na njeno glavno lastnost.

lastnost geometrijske progresije.

Se spomnite lastnosti članov aritmetične progresije? Da, da, kako najti vrednost določenega števila progresije, če obstajajo prejšnje in naslednje vrednosti članov te progresije. Ste se spomnili? tole:

Zdaj se soočamo s popolnoma enakim vprašanjem glede izrazov geometrijske progresije. Da bi izpeljali takšno formulo, začnimo risati in sklepati. Boš videla, to je zelo enostavno, in če pozabiš, ga lahko prineseš ven.

Vzemimo še eno preprosto geometrijsko progresijo, v kateri poznamo in. Kako najti? Z aritmetično progresijo je to enostavno in preprosto, a kako je tukaj? Pravzaprav tudi v geometriji ni nič zapletenega - samo pobarvati morate vsako vrednost, ki nam je dana, po formuli.

Sprašujete, in kaj naj naredimo s tem? Ja, zelo preprosto. Za začetek upodobimo te formule na sliki in poskusimo z njimi narediti različne manipulacije, da pridemo do vrednosti.

Abstrahiramo od številk, ki so nam dani, osredotočili se bomo le na njihov izraz s formulo. Najti moramo vrednost, ki je označena z oranžno, pri čemer poznamo sosednje izraze. Poskusimo z njimi izvesti različna dejanja, zaradi katerih lahko dobimo.

Dodatek.
Poskusimo dodati dva izraza in dobimo:

Iz tega izraza, kot lahko vidite, ne bomo mogli izraziti na noben način, zato bomo poskusili z drugo možnostjo - odštevanjem.

Odštevanje.

Kot lahko vidite, tudi iz tega ne moremo izraziti, zato bomo te izraze poskušali pomnožiti med seboj.

Množenje.

Zdaj pazljivo poglejte, kaj imamo, in pomnožite pogoje geometrijske progresije, ki so nam dani, v primerjavi s tem, kar je treba najti:

Uganete, o čem govorim? Pravilno, da ga najdemo, moramo vzeti kvadratni koren številk geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, pomnoženo med seboj:

no. Sami ste ugotovili lastnost geometrijske progresije. Poskusite to formulo napisati v splošni obliki. se je zgodilo?

Kdaj ste pozabili stanje? Pomislite, zakaj je to pomembno, na primer, poskusite ga izračunati sami, pri. Kaj se zgodi v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, saj formula izgleda takole:

V skladu s tem ne pozabite na to omejitev.

Zdaj pa izračunajmo, kaj je

Pravilen odgovor - ! Če pri izračunu niste pozabili druge možne vrednosti, potem ste odličen kolega in lahko takoj nadaljujete s treningom, če pa ste pozabili, preberite, kaj je analizirano spodaj, in bodite pozorni, zakaj morata biti v odgovoru zapisana oba korena .

Narišimo obe naši geometrijski progresiji - eno z vrednostjo, drugo z vrednostjo in preverimo, ali imata obe pravico do obstoja:

Da bi preverili, ali taka geometrijska progresija obstaja ali ne, je treba videti, ali je enaka med vsemi njenimi danimi členi? Izračunajte q za prvi in ​​drugi primer.

Poglejte, zakaj moramo napisati dva odgovora? Ker je predznak zahtevanega izraza odvisen od tega, ali je pozitiven ali negativen! In ker ne vemo, kaj je, moramo oba odgovora napisati s plusom in minusom.

Zdaj, ko ste obvladali glavne točke in izvedli formulo za lastnost geometrijske progresije, poiščite, poznate in

Primerjaj svoje odgovore s pravilnimi:

Kaj menite, kaj če bi nam dali ne vrednosti članov geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, ampak so enako oddaljeni od njega. Na primer, moramo najti, in dano in. Ali lahko uporabimo formulo, ki smo jo izpeljali v tem primeru? Poskusite to možnost potrditi ali ovreči na enak način, tako da opišete, iz česa je sestavljena posamezna vrednost, kot ste to storili, ko ste formulo izpeljali od začetka.
kaj si dobil?

Zdaj pa še enkrat pozorno poglejte.
in ustrezno:

Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo s sosednjimi z želenimi pogoji geometrijske progresije, pa tudi z enako oddaljena od tega, kar člani iščejo.

Tako naša prvotna formula postane:

To pomeni, da če smo v prvem primeru to rekli, zdaj rečemo, da je lahko enako kateremu koli naravnemu številu, ki je manj. Glavna stvar je, da sta za obe podani številki enaki.

Vadite na konkretnih primerih, le skrajno previdni!

1. , . Najti.
2. , . Najti.
3. , . Najti.

Odločil sem se? Upam, da ste bili izjemno pozorni in ste opazili majhen ulov.

Primerjamo rezultate.

V prvih dveh primerih mirno uporabimo zgornjo formulo in dobimo naslednje vrednosti:

V tretjem primeru ob natančnem preučitvi serijskih številk številk, ki so nam bile dane, ugotovimo, da niso enako oddaljene od številke, ki jo iščemo: gre za prejšnjo številko, vendar je odstranjena na mestu, zato ni mogoče za uporabo formule.

Kako jo rešiti? Pravzaprav ni tako težko, kot se zdi! Naj z vami zapišemo, iz česa je sestavljena posamezna številka, ki nam je dana, in želeno število.

Torej imamo in. Poglejmo, kaj lahko naredimo z njimi. Predlagam razdelitev. Dobimo:

Svoje podatke nadomestimo v formulo:

Naslednji korak, ki ga lahko najdemo - za to moramo vzeti kubni koren nastalega števila.

Zdaj pa poglejmo še enkrat, kaj imamo. Imamo, vendar moramo najti, in to je enako:

Našli smo vse potrebne podatke za izračun. Nadomestek v formuli:

Naš odgovor: .

Poskusite sami rešiti drugo isto težavo:
Glede na: ,
Najti:

koliko si dobil? Imam - .

Kot lahko vidite, dejansko potrebujete zapomni si samo eno formulo- . Vse ostalo lahko kadar koli brez težav umaknete sami. Če želite to narediti, preprosto napišite najpreprostejšo geometrijsko progresijo na kos papirja in zapišite, čemu je po zgornji formuli enako vsako njeno število.

Vsota členov geometrijske progresije.

Zdaj razmislite o formulah, ki nam omogočajo hitro izračun vsote pogojev geometrijske progresije v danem intervalu:

Da izpeljemo formulo za vsoto členov končne geometrijske progresije, pomnožimo vse dele zgornje enačbe z. Dobimo:

Poglejte pozorno: kaj imata zadnji dve formuli skupnega? Tako je, skupni člani, na primer in tako naprej, razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo odšteti 1. enačbo od 2. enačbe. kaj si dobil?

Zdaj izrazite s formulo člana geometrijske progresije in dobljeni izraz nadomestite v naši zadnji formuli:

Združite izraz. Moral bi dobiti:

Vse kar je preostalo je, da izrazim:

V skladu s tem v tem primeru.

Kaj če? Katera formula potem deluje? Predstavljajte si geometrijsko progresijo pri. Kakšna je? Pravilno niz enakih številk bo formula izgledala takole:

Tako kot pri aritmetični in geometrijski progresiji obstaja veliko legend. Ena izmed njih je legenda o Sethu, ustvarjalcu šaha.

Mnogi ljudje vedo, da je bila igra šaha izumljena v Indiji. Ko jo je hindujski kralj srečal, je bil navdušen nad njeno duhovitostjo in različnimi položaji, ki so možni v njej. Ko je izvedel, da ga je izumil eden od njegovih podložnikov, se je kralj odločil, da ga osebno nagradi. Poklical je izumitelja k sebi in ukazal, naj ga prosi za vse, kar želi, ter obljubil, da bo izpolnil tudi najbolj spretno željo.

Seta je prosil za čas za razmislek, in ko se je naslednji dan Seta pojavil pred kraljem, je presenetil kralja z neprimerljivo skromnostjo svoje prošnje. Prosil je za pšenično zrno za prvo polje šahovnice, pšenico za drugo, za tretje, za četrto itd.

Kralj se je razjezil in odgnal Seta, češ da je hlapčeva prošnja nedostojna kraljeve velikodušnosti, a je obljubil, da bo služabnik prejel svoje žito za vse celice odbora.

In zdaj je vprašanje: s formulo za vsoto članov geometrijske progresije izračunajte, koliko zrn naj prejme Seth?

Začnimo razpravljati. Ker je Seth glede na pogoj zahteval pšenično zrno za prvo celico šahovnice, za drugo, za tretjo, za četrto itd., vidimo, da je problem v geometrijski progresiji. Kaj je v tem primeru enako?
Pravilno.

Skupno število celic na šahovnici. Oziroma, . Imamo vse podatke, ostalo je le, da jih nadomestimo v formulo in izračunamo.

Da predstavimo vsaj približno "lestvice" danega števila, transformiramo z uporabo lastnosti stopnje:

Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, kakšno število na koncu dobite, in če ne, mi boste morali verjeti na besedo: končna vrednost izraza bo.
jaz:

kvintilijon kvadrilijon trilijon milijard milijard tisoč.

Uf) Če si želite predstavljati ogromno tega števila, potem ocenite, kakšne velikosti bi skedenj potrebovali za namestitev celotne količine žita.
Pri višini skednja m in širini m bi morala njegova dolžina segati na km, t.j. dvakrat dlje kot od Zemlje do Sonca.

Če bi bil kralj močan v matematiki, bi lahko znanstveniku sam ponudil, da prešteje zrna, saj bi za preštevanje milijona zrn potreboval vsaj en dan neutrudnega štetja, in glede na to, da je treba prešteti kvintiljone, zrna bi morali šteti vse življenje.

In zdaj bomo rešili preprosto težavo o vsoti pogojev geometrijske progresije.
Vasya, učenec 5. razreda, je zbolel za gripo, a še naprej hodi v šolo. Vasya vsak dan okuži dve osebi, ki pa okužita še dve osebi itd. Samo ena oseba v razredu. Čez koliko dni bo cel razred zbolel za gripo?

Torej, prvi član geometrijske progresije je Vasya, torej oseba. th člana geometrijske progresije, to sta dve osebi, ki ju je okužil prvi dan svojega prihoda. Skupna vsota članov napredovanja je enaka številu učencev 5A. V skladu s tem govorimo o napredovanju, v katerem:

Zamenjajmo naše podatke v formulo za vsoto členov geometrijske progresije:

Cel razred bo zbolel v nekaj dneh. Ne verjamete v formule in številke? Poskusite sami prikazati »okužbo« učencev. se je zgodilo? Poglejte, kako to izgleda zame:

Sami izračunajte, koliko dni bi učenci zboleli za gripo, če bi vsi okužili osebo, v razredu pa je bila oseba.

Kakšno vrednost si dobil? Izkazalo se je, da so vsi začeli zbolevati po enem dnevu.

Kot lahko vidite, je takšna naloga in risba zanjo podobna piramidi, v kateri vsak naslednji "prinese" nove ljudi. Vendar prej ali slej pride trenutek, ko slednji ne more nikogar pritegniti. V našem primeru, če si predstavljamo, da je razred izoliran, oseba iz zapre verigo (). Torej, če bi bila oseba vpletena v finančno piramido, v kateri je bil dan denar, če bi pripeljali dva druga udeleženca, potem oseba (ali v splošnem primeru) ne bi pripeljala nikogar, oziroma bi izgubila vse, kar je vložila v to finančno prevaro. .

Vse, kar je bilo povedano zgoraj, se nanaša na padajočo ali naraščajočo geometrijsko progresijo, vendar, kot se spomnite, imamo posebno vrsto - neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako izračunati vsoto njenih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene značilnosti? Ugotovimo skupaj.

Torej, za začetek, poglejmo še enkrat to sliko neskončno padajoče geometrijske progresije iz našega primera:

Zdaj pa poglejmo formulo za vsoto geometrijske progresije, izpeljano malo prej:
oz

za kaj si prizadevamo? Tako je, graf kaže, da se nagiba k ničli. To pomeni, ko bo skoraj enako, oziroma pri izračunu izraza bomo dobili skoraj. V zvezi s tem menimo, da lahko pri izračunu vsote neskončno padajoče geometrijske progresije ta oklepaj zanemarimo, saj bo enak.

- formula je vsota členov neskončno padajoče geometrijske progresije.

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno navaja, da moramo najti vsoto neskončnoštevilo članov.

Če je navedeno določeno število n, potem uporabimo formulo za vsoto n členov, tudi če oz.

In zdaj vadimo.

1. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije z in.
2. Poiščite vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije z in.

Upam, da ste bili zelo previdni. Primerjaj naše odgovore:

Zdaj veste vse o geometrijski progresiji in čas je, da preidete od teorije k praksi. Najpogostejši eksponentni problemi, ki jih najdemo na izpitu, so problemi s sestavljenimi obrestmi. O njih bomo govorili.

Težave za izračun zapletenih obresti.

Gotovo ste že slišali za tako imenovano formulo sestavljenih obresti. Ali razumete, kaj misli? Če ne, ugotovimo, kajti ko boste spoznali sam proces, boste takoj razumeli, kaj ima geometrijska progresija s tem.

Vsi gremo na banko in vemo, da obstajajo različni pogoji za depozite: to je rok, dodatno vzdrževanje in obresti z dvema različnima načinoma izračuna - preprostim in zapletenim.

Z preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se obračunajo enkrat na koncu roka depozita. To pomeni, da če govorimo o znižanju 100 rubljev na leto, jih bodo pripisali šele ob koncu leta. V skladu s tem bomo do konca depozita prejeli rublje.

Obrestno obrestovanje je možnost, v kateri kapitalizacija obresti, tj. njihov dodatek k znesku depozita in kasnejši izračun dohodka ne od začetnega, temveč od nabranega zneska depozita. Kapitalizacija se ne pojavlja nenehno, ampak z določeno periodičnostjo. Praviloma so takšna obdobja enaka in banke največkrat uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.

Recimo, da damo vse iste rublje na leto, vendar z mesečno kapitalizacijo depozita. kaj dobimo?

Ali tukaj vse razumete? Če ne, pojdimo korak za korakom.

Na banko smo prinesli rublje. Do konca meseca bi morali imeti na računu znesek, sestavljen iz naših rubljev in obresti na njih, to je:

Strinjam se?

Lahko ga vzamemo iz oklepaja in dobimo:

Strinjam se, ta formula je že bolj podobna tisti, ki smo jo napisali na začetku. Ostaja se ukvarjati z odstotki

V stanju problema se nam pove o letniku. Kot veste, ne množimo z - odstotke pretvorimo v decimalke, to je:

Prav? Zdaj vprašate, od kod je prišla številka? Zelo preprosto!
Ponavljam: stanje problema govori o LETNI obračunane obresti MESEČNO. Kot veste, nam bo banka čez eno leto mesecev zaračunala del letnih obresti na mesec:

Uresničeno? Zdaj poskusite napisati, kako bi izgledal ta del formule, če bi rekel, da se obresti obračunavajo dnevno.
Vam je uspelo? Primerjajmo rezultate:

Dobro opravljeno! Vrnimo se k naši nalogi: napišite, koliko bo na naš račun knjiženo za drugi mesec, pri čemer upoštevajte, da se na nabrani znesek depozita obračunajo obresti.
Evo, kaj se mi je zgodilo:

Ali z drugimi besedami:

Mislim, da ste v vsem tem že opazili vzorec in videli geometrijsko progresijo. Napišite, čemu bo enak njen član oziroma, z drugimi besedami, koliko denarja bomo prejeli ob koncu meseca.
Izdelano? Preverjanje!

Kot lahko vidite, če date denar v banko za eno leto z enostavnimi obrestmi, potem boste prejeli rublje, in če ga položite po sestavljeni obrestni meri, boste prejeli rublje. Korist je majhna, vendar se to zgodi le v 1. letu, vendar je za daljše obdobje kapitalizacija veliko bolj donosna:

Razmislite o drugi vrsti problema zapletenih obresti. Po tem, kar ste ugotovili, bo za vas osnovno. Torej naloga je:

Zvezda je v panogo začela vlagati leta 2000 z dolarskim kapitalom. Vsako leto od leta 2001 ustvarja dobiček, ki je enak kapitalu prejšnjega leta. Koliko dobička bo podjetje Zvezda prejelo konec leta 2003, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

Kapital družbe Zvezda leta 2000.
- kapital družbe Zvezda leta 2001.
- kapital družbe Zvezda leta 2002.
- kapital družbe Zvezda leta 2003.

Lahko pa na kratko zapišemo:

Za naš primer:

2000, 2001, 2002 in 2003.

oz.:
rubljev
Upoštevajte, da v tem problemu nimamo deljenja niti na niti na, saj je odstotek podan LETNO in se izračuna LETNO. To pomeni, da pri branju problema za sestavljene obresti bodite pozorni na to, kolikšen odstotek je podan in v katerem obdobju se obračunava, in šele nato nadaljujte z izračuni.
Zdaj veste vse o geometrijski progresiji.

Telovaditi.

1. Poiščite izraz geometrijske progresije, če je to znano, in
2. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije, če je to znano, in
3. MDM Capital je leta 2003 začel vlagati v panogo z dolarskim kapitalom. Od leta 2004 je vsako leto ustvarila dobiček, ki je enak kapitalu prejšnjega leta. Podjetje "MSK Cash Flows" je začelo vlagati v industrijo leta 2005 v višini 10.000 $, v letu 2006 pa je začelo ustvarjati dobiček v višini . Za koliko dolarjev kapital enega podjetja ob koncu leta 2007 presega kapital drugega, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

odgovori:

1. Ker pogoj problema ne pravi, da je progresija neskončna in je potrebno najti vsoto določenega števila njenih članov, se izračun izvede po formuli:
2. 
   Podjetje "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se poveča za 100%, torej 2-krat.
   oz.:
   rubljev
   Denarni tokovi MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - poveča za, torej krat.
   oz.:
   rubljev
   rubljev

Naj povzamemo.

1) Geometrijska progresija ( ) je številčno zaporedje, katerega prvi člen je drugačen od nič, in vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število se imenuje imenovalec geometrijske progresije.

2) Enačba članov geometrijske progresije -.

3) lahko ima katero koli vrednost, razen in.

• če, potem imajo vsi naslednji člani napredovanja enak predznak - oni pozitivno;
• če, potem vsi naslednji člani napredovanja nadomestni znaki;
• ko - napredovanje se imenuje neskončno padajoče.

4) , at - lastnost geometrijske progresije (sosednji izrazi)

oz
, pri (enako oddaljeni izrazi)

Ko ga najdete, ne pozabite na to morata biti dva odgovora..

na primer

5) Vsota članov geometrijske progresije se izračuna po formuli:
oz

Če se napredovanje neskončno zmanjšuje, potem:
oz

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če je v pogoju izrecno navedeno, da je treba najti vsoto neskončnega števila členov.

6) Naloge za sestavljene obresti se izračunajo tudi po formuli th člana geometrijske progresije, če sredstva niso bila umaknjena iz obtoka:

GEOMETRIJSKI NAPREDEK. NAKRATKO O GLAVNEM

Geometrijska progresija( ) je številčno zaporedje, katerega prvi člen je drugačen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijske progresije.

Imenovalec geometrijske progresije lahko sprejme katero koli vrednost, razen za in.

• Če, potem imajo vsi naslednji člani progresije enak predznak - so pozitivni;
• če, potem vsi naslednji člani napredovanja nadomestni znaki;
• ko - napredovanje se imenuje neskončno padajoče.

Enačba členov geometrijske progresije - .

Vsota členov geometrijske progresije izračunano po formuli:
oz

Geometrijska progresija je skupaj z aritmetiko pomembna vrsta številk, ki se preučuje v šolskem tečaju algebre v 9. razredu. V tem članku bomo obravnavali imenovalec geometrijske progresije in kako njena vrednost vpliva na njene lastnosti.

Definicija geometrijske progresije

Za začetek damo definicijo te vrste številk. Geometrijska progresija je niz racionalnih števil, ki nastane z zaporednim množenjem prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.

Številke v nizu 3, 6, 12, 24, ... so na primer geometrijska progresija, saj če pomnožimo 3 (prvi element) z 2, dobimo 6. Če pomnožimo 6 z 2, dobimo 12 in tako naprej.

Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje številko elementa v nizu.

Zgornjo definicijo progresije lahko v jeziku matematike zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem an = b * a1 in spet pridemo do definicije obravnavane serije številk. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati za velike vrednosti n.

Imenovalec geometrijske progresije

Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen in ima tudi vrednost večjo od ena ali manj. Vse zgornje možnosti vodijo do različnih zaporedij:

• b > 1. Obstaja naraščajoča serija racionalnih števil. Na primer, 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, se bo celotno zaporedje povečalo le po modulu, vendar se bo zmanjšalo ob upoštevanju predznaka števil.
• b = 1. Pogosto se tak primer ne imenuje progresija, saj obstaja navaden niz enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.

Formula za vsoto

Preden nadaljujemo z obravnavo posebnih problemov z uporabo imenovalca obravnavane vrste napredovanja, je treba dati pomembno formulo za vsoto prvih n elementov. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje članov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj poznati samo prvi element in imenovalec, da najdete vsoto poljubnega števila izrazov.

Neskončno padajoče zaporedje

Zgoraj je bila razlaga, kaj je. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to vrsto številk. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, teži k nič, ko ga dvignemo na velike potence, to je b∞ => 0, če -1

Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote neskončno padajoče geometrijske progresije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.

Zdaj bomo obravnavali več problemov, kjer bomo pokazali, kako pridobljeno znanje uporabiti na določenih številkah.

Naloga številka 1. Izračun neznanih elementov napredovanja in vsote

Glede na geometrijsko progresijo je imenovalec progresije 2, njen prvi element pa 3. Kakšna bosta njegova 7. in 10. člen in kolikšna je vsota njegovih sedmih začetnih elementov?

Pogoj problema je precej preprost in vključuje neposredno uporabo zgornjih formul. Torej, za izračun elementa s številko n uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Za vsoto uporabimo dobro znano formulo in to vrednost določimo za prvih 7 elementov niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Naloga številka 2. Določanje vsote poljubnih elementov napredovanja

Naj bo -2 imenovalec eksponentne progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba vsoto od 5. do 10. elementa te serije, vključno.

Postavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Rešiti ga je mogoče na 2 različna načina. Za popolnost predstavljamo oboje.

Metoda 1. Njena ideja je preprosta: izračunati morate dve ustrezni vsoti prvih členov in nato od enega odšteti drugega. Izračunajte manjšo vsoto: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo veliko vsoto: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu povzeti le 4 členi, saj je 5. že vključen v vsoto, ki jo je treba izračunati glede na pogoj problema. Na koncu vzamemo razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Pred zamenjavo številk in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med členoma m in n zadevnega niza. Delujemo na popolnoma enak način kot pri metodi 1, le da najprej delamo s simbolnim prikazom vsote. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V dobljeni izraz lahko nadomestite znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Naloga številka 3. Kakšen je imenovalec?

Naj je a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, pod pogojem, da je njegova neskončna vsota 3, in je znano, da je to padajoči niz števil.

Glede na stanje problema ni težko uganiti, s katero formulo bi jo bilo treba rešiti. Seveda za vsoto neskončno padajočega napredovanja. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Še vedno je treba zamenjati znane vrednosti​​​in dobiti zahtevano število: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ali -0,333 (3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da za to vrsto zaporedja modul b ne sme preseči 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3|

Naloga številka 4. Obnovitev niza številk

Naj sta podana 2 elementa številske vrste, na primer, 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je treba obnoviti celotno serijo, vedoč, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.

Če želite rešiti problem, morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsakega znanega člana. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tod določimo imenovalec tako, da vzamemo koren pete stopnje razmerja članov, znanih iz pogoja problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo ugotovili, kakšen je imenovalec progresije bn in geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.

Kje se uporabljajo geometrijske progresije?

Če te številčne serije ne bi bilo uporabe v praksi, bi se njeno preučevanje zmanjšalo na zgolj teoretični interes. Vendar obstaja taka aplikacija.

Spodaj so navedeni 3 najbolj znani primeri:

• Zenonov paradoks, v katerem okretni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja številk.
• Če so pšenična zrna postavljena na vsako celico šahovnice tako, da je 1 zrno postavljeno na 1. celico, 2 - na 2. celico, 3 - na 3. in tako naprej, bo za zapolnitev vseh celic potrebnih 184467444073709551615 zrnc. plošča!
• V igri "Tower of Hanoi" je za prerazporeditev diskov iz ene palice v drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, to pomeni, da njihovo število eksponentno raste od števila uporabljenih diskov n.

Če je vsako naravno število n ujemajo z realnim številom a n , potem pravijo, da je dano številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številčno zaporedje funkcija naravnega argumenta.

Številka a 1 poklical prvi član zaporedja , številka a 2 — drugi član zaporedja , številka a 3 — tretjič itd. Številka a n poklical n-ti član zaporedja in naravno število n — njegovo številko .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1 zaporedja članov a n +1 poklical naknadno (proti a n ), a a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite podati zaporedje, morate podati metodo, ki vam omogoča, da najdete člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje podano z formule za n-ti izraz , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža katerega koli člana zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) članov.

na primer

če a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem članov številčnega zaporedja nastavljenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko končno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

končno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje naraščajoče , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje upada , če je vsak od njegovih članov, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se ne zmanjšujejo z naraščajočim številom ali, nasprotno, ne naraščajo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča in padajoča zaporedja.

Aritmetično napredovanje

Aritmetično napredovanje kliče se zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

kje d - neka številka.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim članom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Številka d poklical razlika aritmetične progresije.

Za nastavitev aritmetične progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično progresijo s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poišči trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

vsak član aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih članov.

Števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eno od njih enako aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

zato

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Upoštevajte to n -th član aritmetične progresije je mogoče najti ne samo preko a 1 , ampak tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

za a 5 se lahko napiše

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

a n=	a n-k +a n+k
	2

kateri koli član aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak polovici vsote članov te aritmetične progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kot

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprej n člani aritmetične progresije je enak zmnožku polovice vsote skrajnih členov s številom členov:

Iz tega zlasti izhaja, da če je treba sešteti pogoje

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti treh od teh veličin, se iz teh formul določijo ustrezni vrednosti drugih dveh količin, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje nepremično.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija imenuje se zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

kje q ≠ 0 - neka številka.

Tako je razmerje naslednjega člena te geometrijske progresije proti prejšnjemu konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Številka q poklical imenovalec geometrijske progresije.

Za nastavitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n -ti izraz lahko najdemo po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

na primer

poišči sedmi člen geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrijski sredini (sorazmerni) prejšnjega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

Števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to je, da je eno od števil geometrijska sredina drugih dveh.

na primer

dokažimo, da je zaporedje podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

zato

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kar dokazuje zahtevano trditev. ◄

Upoštevajte to n th člen geometrijske progresije je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji mandat b k , za kar zadostuje uporaba formule

b n = b k · q n - k.

na primer

za b 5 se lahko napiše

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člana geometrijske progresije, začenši z drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za katero koli geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kot

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprej n členi geometrijske progresije z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= n.b. 1

Upoštevajte, da če moramo sešteti izraze

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

na primer

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti katerih koli treh od teh veličin, se ustrezni vrednosti drugih dveh količin določijo iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko progresijo s prvim členom b 1 in imenovalec q potekajo naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjšuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

Če q< 0 , potem je geometrijska progresija predznačno izmenično: njeni lihi členi imajo enak predznak kot prvi člen, sodoštevilčni členi pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n izraze geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši od 1 , tj

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. To ustreza primeru

1 < q< 0 .

S takšnim imenovalcem je zaporedje predznačno izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj številko, na katero je vsota prvega n pogoji napredovanja z neomejenim povečanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , potem

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . — aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija z imenovalcem q , potem

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . — aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄