Cot transversal plat. curba pură

Începem cu cel mai simplu caz, așa-numita curbare pură.

Îndoirea pură este un caz special de îndoire, în care forța transversală în secțiunile grinzii este zero. Îndoirea pură poate avea loc numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe doi suporturi, exemple de sarcini care provoacă plasă

îndoire, prezentată în fig. 88. Pe secțiuni ale acestor grinzi, unde Q \u003d 0 și, prin urmare, M \u003d const; există o curbă pură.

Forțele din orice secțiune a grinzii cu încovoiere pură sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant.

Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații.

1. Componentele tangențiale ale forțelor pe zonele elementare din secțiunea transversală a grinzii nu pot fi reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune este perpendicular pe planul secțiunii. Rezultă că forța de încovoiere în secțiune este rezultatul acțiunii asupra zonelor elementare

numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile se reduc doar la cele normale.

2. Pentru ca eforturile pe platformele elementare să se reducă la doar câteva forțe, între ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, trebuie să existe atât fibre de fascicul tensionate, cât și comprimate.

3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași.

Luați în considerare orice element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul feței sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nici nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe fața superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru.Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la

Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul fețelor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul fețelor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), și în limita fibrei, trebuie reprezentată așa cum se arată în Fig. 91b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială.

4. Datorită simetriei aplicării forțelor externe, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare ar trebui să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale față de axa grinzii (Fig. 92, b), dacă numai secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale față de axa grinzii. O concluzie similară este valabilă și pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. Prin urmare, dacă secțiunile extreme ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii, atunci pentru orice secțiune rămâne

este corect să spunem că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un ansamblu de fibre având aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe laturile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale cu zero. Vom numi neutre fibrele ale căror alungiri sunt egale cu zero; un strat format din fibre neutre - un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale a fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza considerațiilor anterioare, se poate argumenta că, cu o îndoire pură a grinzii în fiecare dintre secțiunile sale, există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): zona fibrelor întinse (zona tensionată) și zona fibrelor comprimate (zona comprimată). În consecință, tensiunile normale de întindere ar trebui să acționeze în punctele zonei întinse a secțiunii, tensiunile de compresiune în punctele zonei comprimate, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero.

Astfel, cu o îndoire pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă:

1) in sectiuni actioneaza doar tensiunile normale;

2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia neutră a secțiunii, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero;

3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele;

4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axă, atunci toate secțiunile sale transversale rămân plate și normale pe axa grinzii curbe.

Starea de tensiune a unei grinzi în încovoiere pură

Luați în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând măsurată între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinit de mică dx (Fig. 93). Datorită prevederii (4) din paragraful anterior, secțiunile m-m și n-n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plane, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul. de curbură fibra neutră NN. Apoi partea fibrei AB închisă între ele, situată la distanța z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma într-un arc A „B” după deformare.Un segment al fibrei neutre O1O2, transformându-se într-un arc O1O2, nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:

înainte de deformare

după deformare

unde p este raza de curbură a fibrei neutre.

Prin urmare, alungirea absolută a segmentului AB este

si alungirea

Întrucât, conform poziţiei (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, apoi cu deformare elastică

Din aceasta se poate observa că tensiunile normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite după o lege liniară (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor eforturilor asupra tuturor secțiunilor elementare ale secțiunii trebuie să fie egală cu zero, atunci

de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm

Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, care este perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere.

Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă yy, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași.

Cazul de îndoire pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, provocând îndoirea doar în acel plan, este o încovoiere pură plană. Dacă planul numit trece prin axa Oz, atunci momentul eforturilor elementare în raport cu această axă trebuie să fie egal cu zero, adică.

Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim

Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în jurul axelor y și z, astfel încât

Axele față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, la o încovoiere plată pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire netedă a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece printr-una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grinzii; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii.

După cum știți, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. În consecință, în acest caz particular, vom obține cu siguranță o încovoiere pură prin aplicarea anasarcinilor adecvate într-un plan care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii acesteia. Linia dreaptă, perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii, este axa neutră a acestei secțiuni.

După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. Într-adevăr, deoarece suma momentelor forțelor elementare în raport cu axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci

de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm

Întrucât integrala este momentul de inerție al secțiunii în jurul axei y, atunci

iar din expresia (5.8) obţinem

Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii.

Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu denumirile, Fig. 95 au

Valoarea lui Jy / h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și se notează cu Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență a secțiunii la compresiune

și indică Wyc, deci

prin urmare

Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, în consecință, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să facem distincție între ele și folosesc aceeași denumire:

numind W y pur și simplu modulul secțiunii.De aceea, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră,

Toate concluziile de mai sus sunt obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum se arată, această ipoteză este valabilă numai în cazul în care secțiunile extreme (capete) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plate rezultă că forțele elementare în astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei obținute a încovoierii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite pe înălțimea secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea repartizării tensiunilor pe înălțimea grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că o modificare a metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, al căror efect va afecta doar la o anumită distanță de acestea. capete (aproximativ egale cu înălțimea secțiunii). Secțiunile situate în restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plate pure, cu orice metodă de aplicare a momentelor încovoietoare, este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată la distanțe față de capetele acesteia aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. Din aceasta rezultă clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.

Îndoirea plană transversală a grinzilor. Forțe interne de îndoire. Dependențe diferențiate ale forțelor interne. Reguli de verificare a diagramelor forțelor interne în încovoiere. Tensiuni normale și forfecare la încovoiere. Calculul rezistenței pentru tensiuni normale și forfecare.

10. TIPURI SIMPLE DE REZISTENTA. CUT PLAT

10.1. Concepte și definiții generale

Îndoirea este un tip de încărcare în care tija este încărcată cu momente în planuri care trec prin axa longitudinală a tijei.

O tijă care lucrează în îndoire se numește grindă (sau grindă). În viitor, vom lua în considerare grinzile drepte, a căror secțiune transversală are cel puțin o axă de simetrie.

În rezistența materialelor, îndoirea este plată, oblică și complexă.

Îndoirea plată este o îndoire în care toate forțele de îndoire a grinzii se află într-unul dintre planurile de simetrie ale grinzii (în unul dintre planurile principale).

Planurile principale de inerție ale grinzii sunt planele care trec prin axele principale ale secțiunilor transversale și axa geometrică a grinzii (axa x).

O îndoire oblică este o îndoire în care sarcinile acționează într-un singur plan care nu coincide cu planurile principale de inerție.

Îndoirea complexă este o îndoire în care sarcinile acționează în planuri diferite (arbitrare).

10.2. Determinarea forțelor interne de încovoiere

Să considerăm două cazuri caracteristice de încovoiere: în primul caz, grinda cantilever este îndoită de un moment concentrat M o ; în al doilea, prin forța concentrată F.

Folosind metoda secțiunilor mentale și compilând ecuațiile de echilibru pentru părțile tăiate ale grinzii, determinăm forțele interne în ambele cazuri:

Restul ecuațiilor de echilibru sunt în mod evident identic egale cu zero.

Astfel, în cazul general al îndoirii plane în secțiunea grinzii, din șase forțe interne, apar două - momentul de îndoire M z și forța tăietoare Q y (sau la încovoiere în jurul unei alte axe principale - momentul încovoietor M y și forța tăietoare Q z ).

În acest caz, în conformitate cu cele două cazuri de încărcare luate în considerare, îndoirea plată poate fi împărțită în pură și transversală.

Îndoirea pură este o îndoire plată, în care doar una din șase forțe interne ia naștere în secțiunile tijei - un moment de încovoiere (vezi primul caz).

îndoire transversală- încovoiere, în care, pe lângă momentul încovoietor intern, apare și o forță transversală în secțiunile tijei (vezi al doilea caz).

Strict vorbind, doar îndoirea pură aparține tipurilor simple de rezistență; îndoirea transversală se referă condiționat la tipuri simple de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) acțiunea unei forțe transversale poate fi neglijată în calculele de rezistență.

La determinarea forțelor interne, vom respecta următoarea regulă a semnelor:

1) forța transversală Q y este considerată pozitivă dacă tinde să rotească în sensul acelor de ceasornic elementul grinda luat în considerare;

2) momentul de îndoire M z este considerat pozitiv dacă, atunci când elementul de grindă este îndoit, fibrele superioare ale elementului sunt comprimate, iar fibrele inferioare sunt întinse (regula umbrelă).

Astfel, rezolvarea problemei determinării forțelor interne la încovoiere se va construi după următorul plan: 1) în prima etapă, luând în considerare condițiile de echilibru ale structurii în ansamblu, determinăm, dacă este necesar, reacțiile necunoscute. a suporturilor (de observat că pentru o grindă cantilever, reacțiile în încasări pot fi și nu se constată dacă luăm în considerare grinda din capătul liber); 2) la a doua etapă, selectăm secțiunile caracteristice ale grinzii, luând drept limite ale secțiunilor punctele de aplicare a forțelor, punctele de modificare a formei sau dimensiunilor grinzii, punctele de fixare a grinzii; 3) la a treia etapă, determinăm forțele interne în secțiunile grinzii, având în vedere condițiile de echilibru pentru elementele grinzii din fiecare dintre secțiuni.

10.3. Dependențe diferențiale în îndoire

Să stabilim câteva relații între forțele interne și sarcinile externe de încovoiere, precum și trăsăturile caracteristice ale diagramelor Q și M, a căror cunoaștere va facilita construirea diagramelor și vă va permite să controlați corectitudinea acestora. Pentru comoditatea notării, vom nota: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Să alocăm un element mic dx într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină arbitrară într-un loc în care nu există forțe și momente concentrate. Deoarece întregul fascicul este în echilibru, elementul dx va fi și el în echilibru sub acțiunea forțelor transversale aplicate acestuia, a momentelor încovoietoare și a sarcinii exterioare. Deoarece Q și M se modifică în general de-a lungul axei grinzii, atunci în secțiunile elementului dx vor exista forțe transversale Q și Q + dQ , precum și momente încovoietoare M și M + dM . Din starea de echilibru a elementului selectat se obține

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Din a doua ecuație, neglijând termenul q dx (dx /2) ca mărime infinitezimală de ordinul doi, găsim

Relațiile (10.1), (10.2) și (10.3) sunt numite dependențe diferențiale ale lui D. I. Zhuravsky în îndoire.

Analiza dependențelor diferențiale de mai sus în încovoiere ne permite să stabilim câteva caracteristici (reguli) pentru construirea diagramelor de momente de încovoiere și forțe tăietoare:

a - în zonele în care nu există sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate la drepte paralele cu baza, iar diagramele M - drepte oblice;

b - în zonele în care grinzii se aplică o sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate de linii drepte înclinate, iar diagramele M sunt limitate de parabole pătratice. În același timp, dacă construim diagrama M „pe o fibră întinsă”, atunci convexitatea pa-

lucrarea va fi îndreptată în direcția de acțiune q, iar extremul va fi situat în secțiunea în care parcela Q intersectează linia de bază;

c - în secțiunile în care fasciculului i se aplică o forță concentrată, pe diagrama Q vor fi sărituri cu valoarea și în direcția acestei forțe, iar pe diagrama M sunt îndoite, vârful îndreptat în direcția acestei forțe. forta; d - în secțiunile în care grinzii de pe parcelă i se aplică un moment concentrat

nu vor exista modificari in re Q, iar pe diagrama M vor fi salturi cu valoarea acestui moment; e - în zonele în care Q > 0, momentul M crește, iar în zonele în care Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Tensiuni normale în îndoirea pură a unei grinzi drepte

Să luăm în considerare cazul unei îndoiri plane pure a unei grinzi și să obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor normale pentru acest caz. Rețineți că în teoria elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru solicitările normale în încovoiere pură, dar dacă această problemă este rezolvată prin metodele de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

a – ipoteza secțiunii plate (ipoteza lui Bernoulli)

- secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului, aflate pe o parte a axei neutre, vor fi întinse, iar pe cealaltă, comprimate; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

b - ipoteza constanţei tensiunilor normale

ny - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

c – ipoteza despre absența presiunilor laterale –

fibrele longitudinale cenușii nu se apasă unele pe altele.

O îndoire este un tip de deformare în care axa longitudinală a grinzii este îndoită. Grinzile drepte care lucrează la îndoire se numesc grinzi. O curbă dreaptă este o curbă în care forțele externe care acționează asupra grinzii se află în același plan (planul forței) care trece prin axa longitudinală a grinzii și prin axa centrală principală de inerție a secțiunii transversale.

Îndoirea se numește pură, dacă apare un singur moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează simultan în secțiunea transversală a grinzii, se numește transversală. Linia de intersecție a planului forței și a planului secțiunii transversale se numește linie de forță.

Factori de forță interni în îndoirea fasciculului.

Cu o încovoiere transversală plană în secțiunile grinzii, apar doi factori de forță interni: forța transversală Q și momentul încovoietor M. Pentru a le determina, se folosește metoda secțiunii (vezi prelegerea 1). Forța transversală Q în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.

Regula semnului pentru forțele tăietoare Q:

Momentul încovoietor M în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor în jurul centrului de greutate al acestei secțiuni a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.

Regula semnului pentru momentele încovoietoare M:

Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky.

Între intensitatea q a sarcinii distribuite, expresiile pentru forța transversală Q și momentul încovoietor M se stabilesc dependențe diferențiale:

Pe baza acestor dependențe, se pot distinge următoarele modele generale de diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M:

Particularități ale diagramelor factorilor de forță interni în încovoiere.

1. Pe secțiunea grinzii în care nu există sarcină distribuită se prezintă graficul Q linie dreapta , paralelă cu baza diagramei, iar diagrama M este o dreaptă înclinată (Fig. a).

2. În secțiunea în care se aplică forța concentrată, pe diagrama Q ar trebui să existe a sari , egală cu valoarea acestei forțe, iar pe diagrama M - punctul limita (Fig. a).

3. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, valoarea lui Q nu se modifică, iar diagrama M are a sari , egală cu valoarea acestui moment, (Fig. 26, b).

4. În secțiunea fasciculului cu o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama Q se modifică conform unei legi liniare, iar diagrama M - conform uneia parabolice și convexitatea parabolei este îndreptată spre direcția sarcinii distribuite (Fig. c, d).

5. Dacă în secțiunea caracteristică a diagramei Q se intersectează baza diagramei, atunci în secțiunea în care Q = 0, momentul încovoietor are o valoare extremă M max sau M min (Fig. d).

Tensiuni normale de încovoiere.

Determinat prin formula:

Momentul de rezistență al secțiunii la încovoiere este valoarea:

Secțiune periculoasă la îndoire, se numește secțiunea transversală a grinzii, în care apare solicitarea normală maximă.

Tensiuni tangenţiale în încovoiere directă.

Determinat de formula lui Zhuravsky pentru tensiunile tăietoare în îndoirea directă a grinzii:

unde S ots - momentul static al zonei transversale a stratului tăiat de fibre longitudinale în raport cu linia neutră.

Calcule de rezistență la încovoiere.

1. La calculul de verificare se determină solicitarea maximă de proiectare, care este comparată cu efortul admisibil:

2. La calcul de proiectare selectarea secțiunii grinzii se face din condiția:

3. La determinarea sarcinii admisibile, momentul încovoietor admisibil este determinat din condiția:

Mișcări de îndoire.

Sub acțiunea unei sarcini de încovoiere, axa grinzii este îndoită. În acest caz, există o întindere a fibrelor pe convex și compresie - pe părțile concave ale fasciculului. În plus, există o mișcare verticală a centrelor de greutate ale secțiunilor transversale și rotația lor față de axa neutră. Pentru a caracteriza deformarea în timpul îndoirii, se folosesc următoarele concepte:

Deviația fasciculului Y- deplasarea centrului de greutate a secțiunii transversale a fasciculului pe direcția perpendiculară pe axa acesteia.

Deviația este considerată pozitivă dacă centrul de greutate se mișcă în sus. Cantitatea de deviere variază de-a lungul lungimii fasciculului, adică y=y(z)

Unghiul de rotație al secțiunii- unghiul θ cu care se rotește fiecare secțiune față de poziția inițială. Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic. Valoarea unghiului de rotație variază de-a lungul lungimii fasciculului, fiind funcție de θ = θ (z).

Cea mai comună modalitate de a determina deplasările este metoda morași regula lui Vereșchagin.

metoda Mohr.

Procedura de determinare a deplasărilor conform metodei Mohr:

1. Un „sistem auxiliar” este construit și încărcat cu o singură sarcină în punctul în care urmează să fie determinată deplasarea. Dacă se determină o deplasare liniară, atunci se aplică o forță unitară în direcția sa; la determinarea deplasărilor unghiulare, se aplică un moment unitar.

2. Pentru fiecare secțiune a sistemului se înregistrează expresiile momentelor încovoietoare M f din sarcina aplicată și M 1 - dintr-o singură sarcină.

3. Integrale Mohr sunt calculate și însumate pe toate secțiunile sistemului, rezultând deplasarea dorită:

4. Dacă deplasarea calculată are semn pozitiv, aceasta înseamnă că direcția sa coincide cu direcția forței unitare. Semnul negativ indică faptul că deplasarea reală este opusă direcției forței unitare.

regula lui Vereșchagin.

Pentru cazul în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină dată are o sarcină arbitrară și dintr-o singură sarcină - un contur rectiliniu, este convenabil să folosiți metoda grafico-analitică sau regula lui Vereshchagin.

unde A f este aria diagramei momentului încovoietor M f de la o sarcină dată; y c este ordonata diagramei dintr-o singură sarcină sub centrul de greutate al diagramei M f ; EI x - rigiditatea secțiunii secțiunii grinzii. Calculele conform acestei formule se fac pe secțiuni, pe fiecare dintre acestea diagrama în linie dreaptă trebuie să fie fără fracturi. Valoarea (A f *y c) este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a fasciculului, negativă dacă sunt situate pe laturi opuse. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare. O diagramă complexă M f trebuie împărțită în figuri simple (se folosește așa-numita „stratificare pură”), pentru fiecare dintre acestea fiind ușor de determinat ordonata centrului de greutate. În acest caz, aria figurii de pe plajă este înmulțită cu ordonata de sub centrul său de greutate.

îndoi numită deformare a tijei, însoțită de o modificare a curburii axei acesteia. O tijă care se îndoaie se numește grindă.

În funcție de metodele de aplicare a sarcinii și de metodele de fixare a tijei, pot apărea diferite tipuri de îndoire.

Dacă doar un moment încovoietor apare sub acțiunea unei sarcini în secțiunea transversală a tijei, atunci îndoirea se numește curat.

Dacă în secțiuni transversale, împreună cu momentele încovoietoare, apar și forțe transversale, atunci se numește încovoiere transversal.

Dacă forțele externe se află într-un plan care trece prin una dintre axele centrale principale ale secțiunii transversale a barei, îndoirea se numește simplu sau apartament. În acest caz, sarcina și axa deformabilă se află în același plan (Fig. 1).

Orez. unu

Pentru ca grinda să preia sarcina în plan, aceasta trebuie fixată cu ajutorul unor suporturi: articulat-deplasabil, articulat-fix, încastre.

Grinda trebuie să fie invariabilă din punct de vedere geometric, în timp ce cel mai mic număr de conexiuni este 3. Un exemplu de sistem variabil geometric este prezentat în Fig. 2a. Un exemplu de sisteme geometric invariabile este fig. 2b, c.

a B C)

În suporturi apar reacții, care sunt determinate din condițiile de echilibru ale staticii. Reacțiile din suporturi sunt sarcini externe.

Forțe interne de îndoire

O tijă încărcată cu forțe perpendiculare pe axa longitudinală a grinzii suferă o îndoire plată (Fig. 3). Există două forțe interne în secțiunile transversale: forța tăietoare Q yși momentul încovoietor Mz.

Forțele interne sunt determinate prin metoda secțiunii. La distanta X din punct de vedere DAR printr-un plan perpendicular pe axa X, tija este tăiată în două secțiuni. Una dintre părțile fasciculului este aruncată. Interacțiunea pieselor grinzii este înlocuită cu forțe interne: momentul încovoietor Mzși forța transversală Q y(Fig. 4).

Eforturile interne Mzși Q yîn secțiune transversală sunt determinate din condițiile de echilibru.

Se întocmește o ecuație de echilibru pentru piesa Cu:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Apoi Q y = R A – P1.

Concluzie. Forța transversală în orice secțiune a grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe situate pe o parte a secțiunii desenate. Forța transversală este considerată pozitivă dacă rotește tija în sensul acelor de ceasornic în jurul punctului de secțiune.

∑M 0 = R A ∙ X – P 1 ∙ (X - A) – Mz = 0

Apoi Mz = R A ∙ X – P 1 ∙ (X – A)

1. Definirea reacțiilor R A , R B ;

∑M A = P ∙ A – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Trasarea pe prima secțiune 0 ≤ X 1 ≤ A

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Trasarea pe a doua secțiune 0 ≤ X 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ X 2 ; X 2 = 0 Mz(0) = 0 X 2 = bMz(b) =

La construirea Mz coordonatele pozitive vor fi trasate spre fibrele întinse.

Verificarea parcelelor

1. Pe diagramă Q y discontinuitățile pot fi numai în locurile în care se aplică forțe externe, iar mărimea saltului trebuie să corespundă mărimii lor.

+ = = P

2. Pe diagramă Mz discontinuități apar în punctele de aplicare a momentelor concentrate și mărimea saltului este egală cu mărimea acestora.

Dependenţe diferenţiate întreM, Qșiq

Între momentul încovoietor, forța transversală și intensitatea sarcinii distribuite se stabilesc următoarele dependențe:

q = , Q y =

unde q este intensitatea sarcinii distribuite,

Verificarea rezistenței grinzilor la încovoiere

Pentru a evalua rezistența tijei la încovoiere și pentru a selecta secțiunea grinzii, sunt utilizate condițiile de rezistență pentru solicitările normale.

Momentul încovoietor este momentul rezultant al forțelor interne normale distribuite pe secțiune.

s = × y,

unde s este tensiunea normală în orice punct al secțiunii transversale,

y este distanța de la centrul de greutate al secțiunii până la punct,

Mz- momentul încovoietor care acționează în secțiune,

Jz este momentul axial de inerție al tijei.

Pentru a asigura rezistența, se calculează tensiunile maxime care apar în punctele secțiunii care sunt cele mai îndepărtate de centrul de greutate y = ymax

s max = × ymax,

= Wzși s max = .

Atunci condiția de rezistență pentru solicitările normale are forma:

s max = ≤ [s],

unde [s] este efortul de tracțiune admisibil.

Sarcină. Construiți diagramele Q și M pentru un fascicul static nedeterminat. Calculăm grinzile după formula:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

fascicul o singura data este static nedeterminat, ceea ce înseamnă unu a reacţiilor este „extra” necunoscut. Pentru „extra” necunoscut vom lua reacția suportului LA — R B.

O grindă determinată static, care se obține dintr-una dată prin îndepărtarea conexiunii „extra” se numește sistem principal. (b).

Acum ar trebui prezentat acest sistem echivalent dat. Pentru a face acest lucru, încărcați sistemul principal datîncărcă, și la punct LA aplica reacție „în plus”. R B(orez. în).

Cu toate acestea, pentru echivalenţă acest insuficient, întrucât într-o astfel de grindă punctul LA poate misca pe verticala, și într-un fascicul dat (Fig. A ) acest lucru nu se poate întâmpla. Prin urmare, adăugăm condiție, ce abatere t. LAîn sistemul principal trebuie să fie egal cu 0. abatere t. LA este format din deformarea de la sarcina activă Δ F iar din devierea de la reacția „extra” Δ R.

Apoi compunem condiție de compatibilitate de deplasare:

Δ F + Δ R=0 (1)

Acum rămâne de calculat acestea mișcări (deviații).

Se încarcă de bază sistem sarcina dată(orez .G) și construiește diagrama încărcăturiiM F (orez. d ).

LA t. LA aplica si construi ep. (orez. arici ).

Prin formula Simpson, definim deformarea sarcinii.

Acum să definim devierea de la acțiunea de reacție „extra”. R B , pentru aceasta încărcăm sistemul principal R B (orez. h ) și trasează momentele din acțiunea sa DOMNUL (orez. și ).

Compune și decide ecuația (1):

Să construim ep. Q și M (orez. la, l ).

Construirea unei diagrame Q.

Să construim un complot M metodă puncte caracteristice. Aranjam puncte pe fascicul - acestea sunt punctele de la începutul și sfârșitul fasciculului ( D,A ), moment concentrat ( B ), și, de asemenea, notați ca punct caracteristic mijlocul unei sarcini distribuite uniform ( K ) este un punct suplimentar pentru construirea unei curbe parabolice.

Determinați momentele încovoietoare în puncte. Regula semnelor cm. - .

Momentul în LA vor fi definite după cum urmează. Mai întâi să definim:

punct La hai să luăm înăuntru mijloc zonă cu o sarcină uniform distribuită.

Construirea unei diagrame M . Complot AB – curba parabolica(regula „umbrelei”), complot BD – linie dreaptă oblică.

Pentru o grindă, determinați reacțiile de sprijin și reprezentați diagramele momentului încovoietor ( M) și forțele tăietoare ( Q).

Noi desemnăm suporturi scrisori DAR și LA și direcționează reacțiile de sprijin R A și R B .

Compilarea ecuații de echilibru.

Examinare

Notează valorile R A și R B pe schema de calcul.

2. Complot forțe transversale metodă secțiuni. Amplasăm secțiunile pe zone caracteristice(între modificări). Conform firului dimensional - 4 secțiuni, 4 secțiuni.

sec. 1-1 mișcare stânga.

Secțiunea trece prin secțiunea cu sarcina uniform distribuita, rețineți dimensiunea z 1 în stânga secțiunii înainte de începerea secțiunii. Lungime parcela 2 m. Regula semnelor pentru Q - cm.

Ne construim pe valoarea găsită diagramăQ.

sec. 2-2 muta la dreapta.

Secțiunea trece din nou prin zona cu o sarcină uniform distribuită, rețineți dimensiunea z 2 din dreapta secțiunii până la începutul secțiunii. Lungime parcela 6 m.

Construirea unei diagrame Q.

sec. 3-3 se deplasează la dreapta.

sec. 4-4 se deplasează la dreapta.

Construim diagramăQ.

3. Construcție diagramele M metodă puncte caracteristice.

punct caracteristic- un punct, orice observabil pe fascicul. Acestea sunt punctele DAR, LA, Cu, D , precum și punctul La , în care Q=0 și momentul încovoietor are un extremum. De asemenea, în mijloc consola pune un punct suplimentar E, deoarece în această zonă sub o încărcare uniform distribuită diagrama M descris strâmb linie, și este construit, cel puțin, conform 3 puncte.

Deci, punctele sunt plasate, trecem la determinarea valorilor din ele momente de încovoiere. Regula semnelor – vezi..

Loturi NA, AD – curba parabolica(regula „umbrelă” pentru specialitățile mecanice sau „regula velei” pentru construcții), secțiuni DC, SW – linii drepte înclinate.

Moment la un moment dat D ar trebui determinată atat la stanga cat si la dreapta din punct de vedere D . Chiar momentul în aceste expresii Exclus. La punctul D primim Două valori de la diferență prin suma m – a sari la dimensiunea sa.

Acum trebuie să stabilim momentul La (Q=0). Cu toate acestea, mai întâi definim pozitia punctului La , notând distanța de la acesta până la începutul secțiunii prin necunoscut X .

T. La aparține al doilea zona caracteristica, ecuația forței tăietoare(Vezi deasupra)

Dar forța transversală în t. La este egal cu 0 , A z 2 este necunoscut X .

Obtinem ecuatia:

Acum știind X, determina momentul la un punct La pe drumul cel bun.

Construirea unei diagrame M . Construcția este fezabilă pentru mecanic specialități, amânând valorile pozitive sus de la linia zero și folosind regula „umbrelă”.

Pentru o schemă dată a unei grinzi în consolă, este necesar să se traseze diagramele forței transversale Q și ale momentului încovoietor M, să se efectueze un calcul de proiect prin selectarea unei secțiuni circulare.

Material - lemn, rezistenta de proiectare a materialului R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Există două moduri de a construi diagrame într-o grindă în consolă cu terminație rigidă - cea obișnuită, având determinate anterior reacțiile de reazem și fără a determina reacțiile de reazem, dacă luăm în considerare secțiunile, mergând de la capătul liber al grinzii și eliminând partea stângă cu rezilierea. Să construim diagrame comun cale.

1. Definiți susține reacțiile.

Sarcina distribuită uniform qînlocuiește forța condiționată Q= q 0,84=6,72 kN

Într-o încascare rigidă, există trei reacții de sprijin - verticală, orizontală și moment, în cazul nostru, reacția orizontală este 0.

Sa gasim vertical susține reacția R Ași moment de referință M A din ecuațiile de echilibru.

În primele două secțiuni din dreapta, nu există forță transversală. La începutul unei secțiuni cu o sarcină uniform distribuită (dreapta) Q=0, în spate - magnitudinea reacției R.A.
3. Pentru a construi, vom compune expresii pentru definirea lor pe secțiuni. Trasăm diagrama momentului pe fibre, adică jos.

(parma momentelor individuale a fost deja construită mai devreme)

Rezolvăm ecuația (1), reducem cu EI

Indeterminarea statică dezvăluită, se găsește valoarea reacției „extra”. Puteți începe să trasați diagramele Q și M pentru un fascicul static nedeterminat... Schițăm schema fasciculului dată și indicăm valoarea reacției Rb. În acest fascicul, reacțiile în terminație nu pot fi determinate dacă mergeți la dreapta.

Clădire parcelele Q pentru un fascicul static nedeterminat

Intriga Q.

Complot M

Definim M în punctul de extremum - în punctul La. Mai întâi, să-i definim poziția. Notăm distanța până la ea ca necunoscută " X". Apoi

Tragem M.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Luați în considerare secțiunea I-beam. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Pentru determinarea efortului de forfecare, se folosește formulă, unde Q este forța transversală în secțiune, S x 0 este momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o parte a stratului în care se determină eforturile de forfecare, I x este momentul de inerție al întregii cruci secțiunea, b este lățimea secțiunii în locul unde se determină efortul de forfecare

Calcula maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pentru raft de sus:

Acum să calculăm tensiuni de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Calcule de proiectare si verificare. Pentru o grindă cu diagrame construite ale forțelor interne, selectați o secțiune sub formă de două canale din condiția de rezistență pentru solicitări normale. Verificați rezistența grinzii folosind condiția de rezistență la forfecare și criteriul rezistenței energetice. Dat:

Să arătăm un fascicul cu construit parcelele Q și M

Conform diagramei momentelor încovoietoare, periculosul este secțiunea C,în care M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Condiție de forță pentru stres normale căci această grindă are forma σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Este necesar să selectați o secțiune de pe două canale.

Determinați valoarea calculată necesară modulul secțiunii axiale:

Pentru o secțiune sub formă de două canale, conform accept două canale №20а, momentul de inerție al fiecărui canal I x =1670cm 4, apoi momentul axial de rezistență al întregii secțiuni:

Supratensiune (subtensiune)în punctele periculoase, calculăm după formula: Apoi obținem sub tensiune:

Acum să verificăm puterea fasciculului, pe baza condiţii de rezistenţă la tensiuni de forfecare. Conform diagrama forțelor tăietoare periculos sunt secțiuni în secțiunea BC și secțiunea D. După cum se vede din diagramă, Q max \u003d 48,9 kN.

Condiție de rezistență pentru solicitările de forfecare se pare ca:

Pentru canalul nr. 20 a: momentul static al zonei S x 1 \u003d 95,9 cm 3, momentul de inerție al secțiunii I x 1 \u003d 1670 cm 4, grosimea peretelui d 1 \u003d 5,2 mm, grosimea medie a raftului t 1 \u003d 9,7 mm , înălțimea canalului h 1 \u003d 20 cm, lățime raft b 1 \u003d 8 cm.

Pentru transversal secțiuni a două canale:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Determinarea valorii efort maxim de forfecare:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Așa cum se vede, τ max<τ adm (27MPa<75МПа).

Prin urmare, condiția de rezistență este îndeplinită.

Verificăm rezistența fasciculului în funcție de criteriul energetic.

Din considerație diagramele Q și M urmează că secțiunea C este periculoasă, in care M C =M max =48,3 kNm și Q C =Q max =48,9 kN.

Să cheltuim analiza stării de tensiune în punctele secțiunii C

Să definim tensiuni normale și forfecare la mai multe niveluri (marcate pe diagrama secțiunii)

Nivelul 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normală și tangentă Voltaj:

Principal Voltaj:

Nivelul 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Principalele tensiuni:

Nivelul 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Tensiuni normale și forfecare: