Jak napisać równanie kwadratowe. kalkulator online

W prostszy sposób. Aby to zrobić, wyjmij z z nawiasów. Otrzymujesz: z(az + b) = 0. Czynniki można zapisać: z=0 i az + b = 0, ponieważ oba mogą dać zero. W zapisie az + b = 0 drugi znak przesuwamy w prawo z innym znakiem. Stąd otrzymujemy z1 = 0 i z2 = -b/а. To są korzenie oryginału.

Jeśli istnieje niekompletne równanie postaci az² + c \u003d 0, w tym przypadku można je znaleźć, po prostu przenosząc wyraz wolny na prawą stronę równania. Zmień także jego znak. Otrzymujesz rekord az² \u003d -s. Ekspresowe z² = -c/a. Weź pierwiastek i zapisz dwa rozwiązania - dodatnią i ujemną wartość pierwiastka kwadratowego.

Uwaga

Jeśli w równaniu występują współczynniki ułamkowe, pomnóż całe równanie przez odpowiedni współczynnik, aby pozbyć się ułamków.

Wiedza o tym, jak rozwiązywać równania kwadratowe, jest niezbędna zarówno uczniom, jak i studentom, czasami może pomóc dorosłemu w życiu codziennym. Istnieje kilka konkretnych metod decyzyjnych.

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Równanie kwadratowe postaci a*x^2+b*x+c=0. Współczynnik x to pożądana zmienna, a, b, c - współczynniki liczbowe. Pamiętaj, że znak „+” może zmienić się w znak „-”.

Aby rozwiązać to równanie, musisz użyć twierdzenia Vieta lub znaleźć dyskryminator. Najpopularniejszym sposobem jest znalezienie dyskryminatora, ponieważ dla niektórych wartości a, b, c nie można użyć twierdzenia Vieta.

Aby znaleźć dyskryminator (D), musisz napisać wzór D=b^2 - 4*a*c. Wartość D może być większa, mniejsza lub równa zero. Jeśli D jest większe lub mniejsze od zera, to będą dwa pierwiastki, jeśli D = 0, to pozostanie tylko jeden pierwiastek, a dokładniej możemy powiedzieć, że D w tym przypadku ma dwa równoważne pierwiastki. Podstaw znane współczynniki a, b, c do wzoru i oblicz wartość.

Po znalezieniu dyskryminatora, aby znaleźć x, użyj formuł: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdzie sqrt jest funkcją, która wyciąga pierwiastek kwadratowy z podanej liczby. Po obliczeniu tych wyrażeń znajdziesz dwa pierwiastki swojego równania, po których równanie jest uważane za rozwiązane.

Jeśli D jest mniejsze od zera, to nadal ma pierwiastki. W szkole ta sekcja praktycznie nie jest badana. Studenci powinni mieć świadomość, że pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna. Pozbywamy się go, oddzielając część urojoną, czyli -1 pod pierwiastkiem jest zawsze równe elementowi urojonemu „i”, który jest pomnożony przez pierwiastek o tej samej liczbie dodatniej. Na przykład, jeśli D=sqrt(-20), po przekształceniu otrzymuje się D=sqrt(20)*i. Po tej transformacji rozwiązanie równania sprowadza się do tego samego znalezienia pierwiastków, jak opisano powyżej.

Twierdzenie Viety polega na wyborze wartości x(1) ix(2). Stosowane są dwa identyczne równania: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Ponadto bardzo ważnym punktem jest znak przed współczynnikiem b, pamiętajmy, że ten znak jest przeciwny do znaku w równaniu. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenie x(1) i x(2) jest bardzo proste, ale przy rozwiązywaniu napotkasz fakt, że liczby będą musiały być dokładnie dobrane.

Elementy do rozwiązywania równań kwadratowych

Zgodnie z zasadami matematyki niektóre można rozłożyć na czynniki: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, jeśli udało ci się przekształcić to równanie kwadratowe w ten sposób za pomocą formuł matematycznych, możesz zapisz odpowiedź. x(1) i x(2) będą równe sąsiednim współczynnikom w nawiasach, ale z przeciwnym znakiem.

Nie zapomnij też o niepełnych równaniach kwadratowych. Być może brakuje niektórych terminów, jeśli tak, to wszystkie jego współczynniki są po prostu równe zeru. Jeśli x^2 lub x jest poprzedzone niczym, to współczynniki a i b są równe 1.

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Dalej w tekście „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce może to być łatwiejsze niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń Yandex daje na żądanie miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że około 70 000 osób miesięcznie szuka tych informacji, a to jest lato, a co będzie się działo w ciągu roku szkolnego - będzie dwa razy więcej próśb. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno ukończyli szkołę i przygotowują się do egzaminu, szukają tych informacji, a dzieci w wieku szkolnym również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, postanowiłem również przyczynić się i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający przyszli do mojej witryny na tę prośbę; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się przemówienie „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem ci trochę więcej o jego rozwiązaniu, niż zwykle podaje się na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,biz dowolnymi liczbami, z a≠0.

W kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - warunkowo dokonuje się podziału równań na trzy klasy:

1. Miej dwa korzenie.

2. * Mieć tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto tutaj zaznaczyć, że nie mają one prawdziwych korzeni

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy wyróżnik. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Wzory pierwiastków są następujące:

*Te wzory muszą być znane na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeśli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeśli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

W tym przypadku, gdy dyskryminator wynosi zero, kurs szkolny mówi, że otrzymuje się jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięciu. Zgadza się, jest, ale...

Ta reprezentacja jest nieco niepoprawna. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, okazuje się, że dwa równe pierwiastki i aby być matematycznie dokładnym, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz zapisać i powiedzieć, że jest tylko jeden korzeń.

Teraz następujący przykład:

Jak wiemy, pierwiastek liczby ujemnej nie jest wyodrębniany, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

Oto jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja formularza:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c to liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że okazuje się, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Punktami tymi mogą być dwa (dyskryminator jest dodatni), jeden (dyskryminator jest równy zero) lub żaden (dyskryminator jest ujemny). Więcej o funkcji kwadratowej Możesz zobaczyć artykuł Inny Feldman.

Rozważ przykłady:

Przykład 1: Zdecyduj 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = -12

* Możesz od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć je. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Zdecydować x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mamy to x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

W odpowiedzi można napisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Zdecydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest negatywny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania negatywnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu wchodzić w szczegóły, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich konkretna rola i konieczność w matematyce, to temat na osobny, obszerny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi to JEDEN NUMER, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Zdobądź dwa sprzężone korzenie.

Niepełne równanie kwadratowe.

Rozważ specjalne przypadki, to znaczy, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zeru). Są łatwo rozwiązywane bez żadnych rozróżnień.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształćmy:

Przykład:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie przyjmuje postać:

Przekształć, faktoryzuj:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości umożliwiające rozwiązywanie równań o dużych współczynnikach.

ax 2 + bx+ c=0 równość

a + b+ c = 0, następnie

— jeśli dla współczynników równania ax 2 + bx+ c=0 równość

a+ z =b, następnie

Te właściwości pomagają rozwiązać pewien rodzaj równania.

Przykład 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Suma współczynników wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, więc

Przykład 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Równość a+ z =b, znaczy

Regularności współczynników.

1. Jeśli w równaniu ax 2 + bx + c \u003d 0 współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jeśli w równaniu ax 2 - bx + c \u003d 0, współczynnik „b” wynosi (a 2 + 1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są

topór 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx - c = 0 współczynnik "b" równa się (a 2 – 1) oraz współczynnik „c” liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego korzenie są równe

topór 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jeśli w równaniu ax 2 - bx - c \u003d 0, współczynnik „b” jest równy (a 2 - 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Przykład. Rozważ równanie 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety nosi imię słynnego francuskiego matematyka Francois Vieta. Korzystając z twierdzenia Vieta, można wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w kategoriach jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Z pewną umiejętnością, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Co więcej, twierdzenie Viety. wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminację) powstałe pierwiastki można sprawdzić. Polecam to robić cały czas.

METODA TRANSFERU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się go metoda transferu. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Jeśli a± b+c≠ 0, wtedy stosuje się technikę transferową, na przykład:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Zgodnie z twierdzeniem Vieta w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Otrzymane pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ oba zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Zobacz, co się dzieje.

Wyróżnikami równań (1) i (2) są:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, uzyskasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika przy x 2:

Drugie (zmodyfikowane) korzenie są 2 razy większe.

Dlatego dzielimy wynik przez 2.

*Jeśli wyrzucimy trójkę, wynik dzielimy przez 3 i tak dalej.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mkw. ur-ie i egzamin.

Pokrótce powiem o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZOWAĆ szybko i bez zastanowienia, musisz znać formuły korzeni i rozróżniacza na pamięć. Wiele zadań wchodzących w skład zadań USE sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego (w tym geometrycznego).

Na co warto zwrócić uwagę!

1. Forma równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz doprowadzić to do standardowej formy (aby nie pomylić się podczas rozwiązywania).

2. Pamiętaj, że x jest wartością nieznaną i można ją oznaczać dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nauczyciel matematyki

s. Kopiewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe w al-Khwarizmi

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka. Równania kwadratowe były w stanie rozwiązać około 2000 r. p.n.e. mi. Babilończycy.

Stosując współczesną notację algebraiczną, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niepełnych występują np. zupełne równania kwadratowe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia.

Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

1.2 Jak Diophantus skompilował i rozwiązał równania kwadratowe.

Arytmetyka Diofanta nie zawiera systematycznego wykładu algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i rozwiązywane są przez formułowanie równań różnego stopnia.

Podczas kompilacji równań Diophantus umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Zadanie 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn 96”

Diophantus argumentuje następująco: z warunku problemu wynika, że ​​pożądane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, to ich iloczyn byłby równy nie 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę ich sumy, czyli . 10+x, drugi jest mniejszy, tj. 10's. Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2. Jedną z pożądanych liczb jest 12 , inny 8 . Decyzja x = -2 bo Diofant nie istnieje, ponieważ matematyka grecka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z pożądanych liczb jako niewiadomą, dojdziemy do rozwiązania równania

r(20 - r) = 96,

r 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Jasne jest, że Diophantus upraszcza rozwiązanie, wybierając połowę różnicy pożądanych liczb jako niewiadomą; udaje mu się zredukować problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

Problemy z równaniami kwadratowymi zostały już znalezione w traktacie astronomicznym „Aryabhattam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ach 2+ b x = c, a > 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem a, może być również ujemna. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmiewa chwałę innej osoby na publicznych spotkaniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

Oto jeden z problemów słynnego matematyka indyjskiego z XII wieku. Bhaskara.

Zadanie 13.

„Rozbrykane stado małp I dwanaście w winorośli…

Po zjedzeniu mocy, dobrze się bawiłem. Zaczęli skakać, wisząc ...

Część ósma z nich na kwadracie Ile tam było małp,

Zabawa na łące. Mówisz mi, w tym stadzie?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on o dwuwartościowości pierwiastków równań kwadratowych (ryc. 3).

Równanie odpowiadające zadaniu 13 to:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje do obu stron 32 2 , otrzymując następnie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe w al-Khorezmi

Traktat algebraiczny Al-Khorezmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. topór 2 = s.

3) „Korzenie są równe liczbie”, tj. ah = s.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = b X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ach 2+ bx = s.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c \u003d topór 2.

Dla al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie pokrywają się całkowicie z naszymi. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć np., że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że nie ma to znaczenia w konkretnych problemach praktycznych. Rozwiązując kompletne równania kwadratowe, al-Khorezmi określa zasady rozwiązywania, a następnie dowodów geometrycznych, używając konkretnych przykładów liczbowych.

Zadanie 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń" (zakładając pierwiastek z równania x 2 + 21 = 10x).

Autorskie rozwiązanie wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, pozostaje 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5, ty zdobądź 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co da 7, to też jest korzeń.

Treatise al - Khorezmi to pierwsza książka, która do nas dotarła, w której systematycznie przedstawia się klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wieki

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na modelu al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 r. przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki, zarówno krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i klarownością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z „Księgi liczydła” przeszło do prawie wszystkich europejskich podręczników XVI-XVII wieku. a częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej:

x 2+ bx = z,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b , z został sformułowany w Europie dopiero w 1544 r. przez M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Weź pod uwagę, oprócz dodatnich i ujemnych korzeni. Dopiero w XVII wieku. Dzięki pracy Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnego wyglądu.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające zależność między współczynnikami równania kwadratowego a jego pierwiastkami, noszące nazwę Vieta, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, następnie A równa się W i równe D ».

Aby zrozumieć Vieta, trzeba o tym pamiętać ALE, jak każda samogłoska, oznaczało dla niego nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla nieznanego. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Viety oznacza: if

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (+ b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Wyrażając związek między pierwiastkami a współczynnikami równań za pomocą ogólnych wzorów zapisanych za pomocą symboli, Viet ustalił jednolitość w metodach rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viety jest wciąż daleka od jej współczesnej formy. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki są dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Równania kwadratowe są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i transcendentalnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (klasa 8) do matury.

Tylko. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki a, b oraz c.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Wystarczy ostrożnie włożyć

wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez ich oznaki!

na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; c = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b oraz z. Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowy wzór

z określonymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

Pozbądź się minusa. Jak? Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Za pomocą Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podziel całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie na wspólny mianownik.

Wniosek. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą

Ten temat może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie wpisy, ale również pierwiastki można znaleźć poprzez wyróżnik. W sumie dostępne są trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponuje się ich wyraźną notację, kiedy najpierw zapisywany jest najwyższy stopień, a następnie - w porządku malejącym. Często zdarzają się sytuacje, w których terminy różnią się od siebie. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w porządku malejącym według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te zapisy, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującej notacji.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór oznaczymy liczbą jeden.

Gdy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

• rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
• odpowiedzią będzie jedna liczba;
• Równanie w ogóle nie ma korzeni.

I choć decyzja nie jest zakończona, trudno zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą mieć różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólna formuła równania kwadratowego. Czasami zabraknie niektórych określeń. To, co zostało napisane powyżej, to pełne równanie. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Te zapisy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletnymi.

Co więcej, mogą zniknąć tylko te terminy, dla których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zero. Ponieważ w tym przypadku formuła zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:

Tak więc istnieją tylko dwa typy, oprócz kompletnych, istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie liczbą dwa, a drugą liczbą trzy.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Ta liczba musi być znana, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można go obliczyć, bez względu na wzór równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, musisz użyć poniższej równości, która będzie miała liczbę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby o różnych znakach. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Przy liczbie ujemnej pierwiastki równania kwadratowego będą nieobecne. Jeśli jest równy zero, odpowiedź będzie jedna.

Jak rozwiązywane jest pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw musisz znaleźć wyróżnik. Po wyjaśnieniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego, a ich liczba jest znana, należy użyć wzorów na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować taką formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka kwadratowego jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła piąta. Z tego samego zapisu wynika, że ​​jeśli dyskryminator ma wartość zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ta chwila nie sprawi trudności. Ale na samym początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązywane jest niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest o wiele prostsze. Nawet nie ma potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już napisane dla dyskryminującego i nieznanego.

Najpierw rozważ niekompletne równanie numer dwa. W tej równości ma ona wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z nich jest z konieczności równa zero, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi uzyskuje się, rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie pod numerem trzy rozwiązuje się, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik przed niewiadomą. Pozostaje tylko wydobyć pierwiastek kwadratowy i nie zapomnij zapisać go dwukrotnie z przeciwstawnymi znakami.

Poniżej przedstawiono niektóre czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywania wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (klasa 8)”. Następnie te czynności nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ będzie stabilny nawyk.

• Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw wyraz o największym stopniu zmiennej, a następnie - bez stopnia, a na końcu - tylko liczba.

• Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu w badaniu równań kwadratowych. Lepiej się go pozbyć. W tym celu wszelką równość należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie warunki zmienią znak na przeciwny.

• W ten sam sposób zaleca się pozbycie się frakcji. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, tak aby mianowniki zniknęły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je zgodnie z opisem dla wzoru numer dwa.

Po nawiasach okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 \u003d 0. Drugi zostanie znaleziony z równania liniowego: x - 7 \u003d 0. Łatwo zauważyć, że x 2 \u003d 7.

Drugie równanie: 5x2 + 30 = 0. Ponownie niekompletne. Tylko to jest rozwiązane tak, jak opisano dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz trzeba podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedzi będą liczbami: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tutaj i poniżej rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od przepisania ich do standardowej postaci: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz czas na użycie drugiego przydatna wskazówka i pomnóż wszystko przez minus jeden . Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartą formułą należy obliczyć dyskryminator: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Jest to Liczba dodatnia. Z tego, co zostało powiedziane powyżej, wynika, że ​​równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć zgodnie z piątą formułą. Zgodnie z nim okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest konwertowane na to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać następująco: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na wyróżnik otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden korzeń, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów trzeba wprowadzić podobne wyrażenia. W miejsce pierwszego będzie takie wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po zrównaniu pojawi się ten wpis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x \u003d 0. Stał się niekompletny . Podobny do tego został już uznany za nieco wyższy. Korzeniem tego będą liczby 0 i 1.