Определение обратной функции ее свойства и график. Взаимно обратные функции

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$

Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.

Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

Нахождение обратной функции

Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.

Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.

Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение .

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.



Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой ).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — . На промежутке

Е(у) = [-π/2;π/2]

у (-х) = arcsin(-х) = - arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

arcsin х = 0 при х = 0.

arcsin х > 0 при х є (0;1]

arcsin х < 0 при х є [-1;0)

у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 < arcsin х 2 – функция возрастающая.

Арккосинус

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcos а.

Определение . Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Свойства.

1. Е(у) =

   у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.

   arccos х = 0 при х = 1

   arccos х > 0 при х є [-1;1)

arccos х < 0 – нет решений

у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – убывающая.

Арктангенс

Функция тангенс возрастает на отрезке -
, следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а - любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

Определение. Арктангенсом числа a R называется такое число х , тангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (-π/2;π/2)

у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

arctg х = 0 при х = 0

Функция возрастает при любом х є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=> arctg х 1 < arctg х 2

Арккотангенс

Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а.

Определение. Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.

Свойства.

Е(у) = (0;π)

у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.

arcctg х = 0 – не существует.

Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=> arcctg х 1 > arcctg х 2

Функция непрерывна при любом х є R.

2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1 . Упростить выражение:

а)
где

Решение. Положим
. Тогда
и
Чтобы найти
, воспользуемся соотношением
Получаем
Но . На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом,
, то есть
где
.

б)

Решение.

в)

Решение. Положим
. Тогда
и
Найдем сначала , для чего воспользуемся формулой
, откуда
Так как и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то
.

Цели урока:

Образовательная:

• формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
• изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

• развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
• овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

Определение отсутствующих,

Настрой учащихся на работу, организация внимания;

Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1 >

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

1. Какая функция называется обратимой?
2. Любая ли функция обратима?
3. Какая функция называется обратной данной?
4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х 1 ≠х 2 - две точки множества Х .
2. Для определенности пусть х 1 < х 2 .
   Тогда из того, что х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(х 2) .
3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1 (y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x) .

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

1. Убедиться, что функция монотонна.
2. Выразить переменную х через у.
3. Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски.

Чтобы получить график функции y=f -1 (x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

Взаимно обратные функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения, область значений этой функции, тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений, которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений. Решения как раз и записываются через обратные функции.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций .

Начнём с линейных взаимно обратных функций.

Найти функцию, обратную для.

Эта функция линейная, её графиком является прямая. Значит, функция монотонна на всей области определения. Поэтому, искать обратную ей функцию будем на всей области определения.

.

Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x ).

- это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом, и - взаимно обратные функции.

Приведём графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой (биссектрисы первой и третьей четверти). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдёт ниже.

Найти функцию, обратную.

Эта функция квадратная, графиком является парабола с вершиной в точке.

.

Функция возрастает при и убывает при. Значит, искать обратную функцию для заданной можно на одном из двух промежутков.

Пусть, тогда, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию на заданном промежутке: .

Найти функцию, обратную.

Эта функция кубическая, графиком является кубическая парабола с вершиной в точке.

.

Функция возрастает при. Значит, искать обратную функцию для заданной можно на всей области определения.

, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию.

Проиллюстрируем это на графике.

Перечислим свойства взаимно обратных функций и.

и.

Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой.

Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

Для заданной функции найдите обратную функцию:

Для заданной функции найдите обратную и постройте графики заданной и обратной функции: Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функции: Найдите область определения и область значений функции, обратной для функции, если:

1. Найдите область значений каждой из взаимно обратных функций и, если указаны их области определения:

Являются ли функции взаимно обратными, если:

1. Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одной системе координат графики этих взаимно обратных функций:

   Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе: Задайте функцию, обратную данной и постройте её график: