Lygiagretus tiesioginis apibrėžimas ir pavyzdžiai. Lygiagrečios linijos

Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

1 teorema. Jei, kai dvi tiesės susikerta su sekantu:

sukryžiuoti kampai yra lygūs arba

atitinkami kampai yra lygūs arba

vienpusių kampų suma yra 180°, tada

linijos lygiagrečios(1 pav.).

Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.

Tegul susikertančios tiesės a ir b yra skersinės, o kampai AB lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.

Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir todėl vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumui ∠ 4 yra trikampio ABM išorinis kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš teoremos apie išorinį trikampio kampą išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, o tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.

1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).

komentuoti. Tai, kaip ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes argumento pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikia įrodyti. Jis vadinamas vedimu į absurdą dėl to, kad, samprotaudami remiantis padaryta prielaida, prieiname prie absurdiškos išvados (prie absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.

1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.

Sprendimas. Per tašką M statmenai tiesei a nubrėžiame tiesę p (3 pav.).

Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.

Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotajai.

Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.

Lygiagrečių tiesių aksioma. Per duotą tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotajai.

Panagrinėkime kai kurias lygiagrečių tiesių savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.

1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą (4 pav.).

2) Jei dvi skirtingos tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).

Ši teorema taip pat teisinga.

2 teorema. Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, tai:

skersiniai kampai yra lygūs;

atitinkami kampai yra lygūs;

vienpusių kampų suma yra 180°.

2 išvada. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, ji taip pat yra statmena ir kitai(žr. 2 pav.).

komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, tai yra, jei duotoji teorema yra tiesa, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.

Paaiškinkime tai naudodami vertikalių kampų teoremos pavyzdį. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai nebūtinai turi būti vertikalūs.

1 pavyzdys. Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite šiuos kampus.

Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.

Šis straipsnis yra apie lygiagrečias linijas ir lygiagrečias linijas. Pirmiausia pateikiamas lygiagrečių tiesių plokštumoje ir erdvėje apibrėžimas, supažindinama su žymėjimais, pateikiami lygiagrečių tiesių pavyzdžiai ir grafinės iliustracijos. Toliau aptariami tiesių lygiagretumo ženklai ir sąlygos. Pabaigoje pateikiami tipinių tiesių lygiagretumo įrodinėjimo uždavinių sprendimai, kuriuos pateikia tam tikros tiesės lygtys stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje ir trimatėje erdvėje.

Puslapio naršymas.

Lygiagrečios linijos – pagrindinė informacija.

Apibrėžimas.

Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai, jei jie neturi bendrų taškų.

Apibrėžimas.

Dvi linijos trimatėje erdvėje vadinamos lygiagrečiai, jei jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga „jei jos yra toje pačioje plokštumoje“ lygiagrečių linijų apibrėžime erdvėje yra labai svarbios. Išsiaiškinkime šį tašką: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir yra ne vienoje plokštumoje, yra ne lygiagrečios, o susikertančios.

Štai keletas lygiagrečių linijų pavyzdžių. Priešingi bloknoto lapo kraštai yra lygiagrečiose linijose. Tiesios linijos, pagal kurias namo sienos plokštuma kerta lubų ir grindų plokštumas, yra lygiagrečios. Lygioje vietoje esantys geležinkelio bėgiai taip pat gali būti laikomi lygiagrečiomis linijomis.

Norėdami pažymėti lygiagrečias linijas, naudokite simbolį „“. Tai yra, jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, tai galime trumpai parašyti a b.

Atkreipkite dėmesį: jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, galime sakyti, kad tiesė a yra lygiagreti tiesei b, o tiesė b lygiagreti tiesei a.

Ištarkime teiginį, kuris vaidina svarbų vaidmenį tiriant lygiagrečias tieses plokštumoje: per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina vienintelė tiesė, lygiagreti duotajai. Šis teiginys priimamas kaip faktas (jo negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis), ir jis vadinamas lygiagrečių tiesių aksioma.

Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Ši teorema nesunkiai įrodoma naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečių tiesių aksiomą (jos įrodymą rasite 10-11 klasių geometrijos vadovėlyje, kuris yra nurodytas straipsnio pabaigoje literatūros sąraše).

Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Šią teoremą galima nesunkiai įrodyti naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečios tiesės aksiomą.

Tiesių lygiagretumas – lygiagretumo ženklai ir sąlygos.

Tiesių lygiagretumo ženklas yra pakankama sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, tai yra sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesių lygiagrečias. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka nustatyti tiesių lygiagrečiai faktą.

Taip pat yra būtinos ir pakankamos sąlygos tiesių lygiagretumui plokštumoje ir trimatėje erdvėje.

Paaiškinkime frazės „būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga“ reikšmę.

Mes jau nagrinėjome pakankamą lygiagrečių linijų sąlygą. Kas yra „būtina lygiagrečių linijų sąlyga“? Iš pavadinimo „būtina“ aišku, kad lygiagrečioms linijoms ši sąlyga yra būtina. Kitaip tariant, jei neįvykdoma būtina sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, tai linijos nėra lygiagrečios. Taigi, būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga yra sąlyga, kurios įvykdymas yra būtinas ir pakankamas lygiagrečioms tiesėms. Tai yra, viena vertus, tai yra linijų lygiagretumo ženklas, kita vertus, tai yra lygiagrečių linijų savybė.

Prieš formuluojant būtiną ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, patartina prisiminti keletą pagalbinių apibrėžimų.

Sekanti linija yra tiesė, kuri kerta kiekvieną iš dviejų nurodytų nesutampančių tiesių.

Kai dvi tiesės susikerta su skersine, susidaro aštuonios neišsivysčiusios. Formuluojant būtinąją ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, vadinamasis guli skersai, atitinka Ir vienpusiai kampai. Parodykime juos brėžinyje.

Teorema.

Jei dvi tieses plokštumoje kerta skersinis, tai kad jos būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad susikertantys kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma lygi 180 laipsnių.

Parodykime šios būtinos ir pakankamos tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygos grafinę iliustraciją.

Šių tiesių lygiagretumo sąlygų įrodymus rasite 7-9 klasių geometrijos vadovėliuose.

Atkreipkite dėmesį, kad šias sąlygas galima naudoti ir trimatėje erdvėje – svarbiausia, kad dvi tiesios linijos ir sekantas būtų toje pačioje plokštumoje.

Štai dar kelios teoremos, kurios dažnai naudojamos tiesių lygiagretumui įrodyti.

Teorema.

Jei dvi tiesės plokštumoje yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas išplaukia iš lygiagrečių tiesių aksiomos.

Panaši sąlyga yra lygiagrečioms linijoms trimatėje erdvėje.

Teorema.

Jei dvi tiesės erdvėje lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas aptariamas geometrijos pamokose 10 klasėje.

Iliustruojame nurodytas teoremas.

Pateiksime dar vieną teoremą, leidžiančią įrodyti tiesių lygiagretumą plokštumoje.

Teorema.

Jei dvi tiesės plokštumoje yra statmenos trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.

Yra panaši teorema tiesėms erdvėje.

Teorema.

Jei dvi tiesės trimatėje erdvėje yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.

Nubraižykime paveikslėlius, atitinkančius šias teoremas.

Visos aukščiau suformuluotos teoremos, kriterijai ir būtinos bei pakankamos sąlygos puikiai tinka tiesių lygiagretumui įrodyti geometrijos metodais. Tai yra, norėdami įrodyti dviejų nurodytų tiesių lygiagretumą, turite parodyti, kad jos yra lygiagrečios trečiajai linijai, arba parodyti kryžminių gulėjimo kampų lygybę ir pan. Daug panašių problemų išsprendžiama geometrijos pamokose vidurinėje mokykloje. Tačiau reikia pažymėti, kad daugeliu atvejų yra patogu naudoti koordinačių metodą tiesių lygiagretumui įrodyti plokštumoje arba trimatėje erdvėje. Suformuluokime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių, kurios nurodytos stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygiagretumui.

Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Šioje straipsnio pastraipoje suformuluosime būtinos ir pakankamos sąlygos lygiagrečioms linijoms stačiakampėje koordinačių sistemoje, priklausomai nuo lygčių, apibrėžiančių šias tieses, tipo, taip pat pateiksime išsamius charakteringų uždavinių sprendimus.

Pradėkime nuo dviejų tiesių lygiagretumo plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy. Jo įrodymas remiasi tiesės krypties vektoriaus apibrėžimu ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimu.

Teorema.

Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai, arba šių tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinerinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas normaliajai antrosios eilutės vektorius.

Akivaizdu, kad dviejų tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga redukuojama į (tiesių krypties vektorius arba tiesių normaliuosius vektorius) arba iki (vienos tiesės krypties vektorius ir antrosios tiesės normalusis vektorius). Taigi, jei ir yra tiesių a ir b krypties vektoriai, ir Ir yra normalūs tiesių a ir b vektoriai, tada būtina ir pakankama tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip , arba , arba , kur t yra tikrasis skaičius. Savo ruožtu tiesių a ir b kreiptuvų ir (ar) normaliųjų vektorių koordinatės randamos naudojant žinomas tiesių lygtis.

Visų pirma, jei tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje apibrėžia bendrąją formos tiesės lygtį , ir tiesi linija b - , tada šių eilučių normalieji vektoriai turi atitinkamai koordinates ir, o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip .

Jei tiesė a atitinka formos kampo koeficiento tiesės lygtį, o tiesė b -, tai šių tiesių normaliųjų vektorių koordinates ir , o šių tiesių lygiagretumo sąlyga įgauna formą . Vadinasi, jei tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje yra lygiagrečios ir jas galima nurodyti tiesių su kampiniais koeficientais lygtimis, tai tiesių kampiniai koeficientai bus lygūs. Ir atvirkščiai: jei stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje nesutampančios tiesės gali būti nurodytos tiesės su vienodais kampiniais koeficientais lygtimis, tai tokios tiesės yra lygiagrečios.

Jei tiesė a ir tiesė b stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatomos kanoninėmis tiesės lygtimis formos plokštumoje Ir , arba formos plokštumos tiesės parametrines lygtis Ir atitinkamai šių tiesių krypties vektoriai turi koordinates ir , o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga parašyta kaip .

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Ar linijos lygiagrečios? Ir ?

Sprendimas.

Perrašykime linijos lygtį atkarpomis bendrosios linijos lygties forma: . Dabar matome, kad tai yra normalus linijos vektorius , a yra normalusis linijos vektorius. Šie vektoriai nėra kolineariniai, nes nėra tikrojo skaičiaus t, kuriam lygybė ( ). Vadinasi, būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga netenkinama, todėl duotosios tiesės nėra lygiagrečios.

Atsakymas:

Ne, linijos nėra lygiagrečios.

Pavyzdys.

Ar tiesios ir lygiagrečios?

Sprendimas.

Sumažinkime kanoninę tiesės lygtį į tiesės su kampiniu koeficientu lygtį: . Akivaizdu, kad tiesių ir lygtys nėra vienodos (šiuo atveju pateiktos tiesės būtų vienodos) ir linijų kampiniai koeficientai yra lygūs, todėl pradinės tiesės yra lygiagrečios.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie lygiagrečias linijas, pateiksime apibrėžimus ir apibūdinsime lygiagretumo požymius ir sąlygas. Kad teorinė medžiaga būtų aiškesnė, naudosime tipinių pavyzdžių iliustracijas ir sprendimus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Lygiagrečios tiesės plokštumoje– dvi tiesės plokštumoje, neturinčios bendrų taškų.

2 apibrėžimas

Lygiagrečios linijos trimatėje erdvėje– dvi tiesės trimatėje erdvėje, esančios toje pačioje plokštumoje ir neturinčios bendrų taškų.

Būtina pažymėti, kad norint nustatyti lygiagrečias linijas erdvėje, labai svarbus paaiškinimas „guli vienoje plokštumoje“: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir nėra toje pačioje plokštumoje, nėra lygiagrečios. , bet susikerta.

Norint nurodyti lygiagrečias linijas, įprasta naudoti simbolį ∥. Tai yra, jei duotosios tiesės a ir b yra lygiagrečios, šią sąlygą reikia trumpai parašyti taip: a ‖ b. Žodžiu tiesių lygiagretumas žymimas taip: tiesės a ir b yra lygiagrečios arba tiesė a lygiagreti tiesei b, arba tiesė b lygiagreti tiesei a.

Suformuluokime teiginį, kuris atlieka svarbų vaidmenį nagrinėjamoje temoje.

Aksioma

Per tašką, nepriklausantį duotai tiesei, eina vienintelė tiesė, lygiagreti duotajai. Šio teiginio negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis.

Tuo atveju, kai kalbame apie erdvę, teorema yra teisinga:

1 teorema

Per bet kurį erdvės tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, bus viena tiesė, lygiagreti nurodytai.

Šią teoremą nesunku įrodyti remiantis aukščiau pateikta aksioma (geometrijos programa 10 - 11 klasėms).

Lygiagretumo kriterijus yra pakankama sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesių lygiagretumą. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka paralelizmo faktui patvirtinti.

Visų pirma, yra būtinos ir pakankamos sąlygos linijų lygiagretumui plokštumoje ir erdvėje. Paaiškinkime: būtina reiškia sąlygą, kurios įvykdymas būtinas lygiagrečioms tiesėms; jei jis neįvykdytas, linijos nėra lygiagrečios.

Apibendrinant galima teigti, kad būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo sąlyga yra sąlyga, kurios laikymasis yra būtinas ir pakankamas, kad tiesės būtų lygiagrečios viena kitai. Viena vertus, tai lygiagretumo požymis, kita vertus, lygiagrečioms linijoms būdinga savybė.

Prieš pateikdami tikslią būtinos ir pakankamos sąlygos formuluotę, prisiminkime keletą papildomų sąvokų.

3 apibrėžimas

Sekanti linija– tiesė, kertanti kiekvieną iš dviejų nesutampančių tiesių.

Susikertanti dvi tiesias linijas, skersinis sudaro aštuonis neišskleistus kampus. Norint suformuluoti reikiamą ir pakankamą sąlygą, naudosime tokius kampų tipus kaip kryžminiai, atitinkami ir vienpusiai. Parodykime juos iliustracijoje:

2 teorema

Jei dvi tieses plokštumoje kerta skersinis, tai tam, kad nurodytos tiesės būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad susikertantys kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma būtų lygi 180 laipsnių.

Grafiškai pavaizduokime būtiną ir pakankamą tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygą:

Šių sąlygų įrodymas yra 7–9 klasių geometrijos programoje.

Apskritai šios sąlygos taip pat taikomos trimatei erdvei, nepaisant to, kad dvi linijos ir sekantas priklauso tai pačiai plokštumai.

Nurodykime dar keletą teoremų, kurios dažnai naudojamos tiesių lygiagretumo faktui įrodyti.

3 teorema

Plokštumoje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai. Ši savybė įrodyta remiantis aukščiau nurodyta paralelizmo aksioma.

4 teorema

Trimatėje erdvėje dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Ženklo įrodymas mokomasi 10 klasės geometrijos programoje.

Pateikiame šių teoremų iliustraciją:

Nurodykime dar vieną porą teoremų, įrodančių tiesių lygiagretumą.

5 teorema

Plokštumoje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Suformuluokime panašų dalyką trimatei erdvei.

6 teorema

Trimatėje erdvėje dvi tiesės, statmenos trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.

Iliustruojame:

Visos aukščiau pateiktos teoremos, ženklai ir sąlygos leidžia patogiai įrodyti tiesių lygiagretumą naudojant geometrijos metodus. Tai yra, norint įrodyti tiesių lygiagretumą, galima parodyti, kad atitinkami kampai yra lygūs, arba parodyti faktą, kad dvi nurodytos tiesės yra statmenos trečiajai ir pan. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad norint įrodyti tiesių lygiagretumą plokštumoje arba trimatėje erdvėje, dažnai patogiau naudoti koordinačių metodą.

Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje

Tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje tiesė nustatoma pagal vieno iš galimų tipų plokštumos tiesės lygtį. Taip pat tiesė, apibrėžta stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje, atitinka kai kurias tiesės erdvėje lygtis.

Užrašykime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių lygiagretumui stačiakampėje koordinačių sistemoje priklausomai nuo lygties, apibūdinančios duotas tieses, tipo.

Pradėkime nuo tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygos. Jis pagrįstas tiesės krypties vektoriaus ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimais.

7 teorema

Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad duotų tiesių krypties vektoriai būtų kolineriški, arba duotų tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinijinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas kitos tiesės normalusis vektorius.

Tampa akivaizdu, kad tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga grindžiama vektorių kolineariškumo sąlyga arba dviejų vektorių statmenumo sąlyga. Tai yra, jei a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra tiesių a ir b krypties vektoriai;

ir n b → = (n b x , n b y) yra normalieji eilučių a ir b vektoriai, tada aukščiau nurodytą būtiną ir pakankamą sąlygą užrašome taip: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y arba n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y arba a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kur t yra tikrasis skaičius. Kreipiklių arba tiesių vektorių koordinates nustatomos pateiktos tiesių lygtys. Pažvelkime į pagrindinius pavyzdžius.

Tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatoma pagal bendrąją tiesės lygtį: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; tiesė b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada duotų linijų normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (A 1, B 1) ir (A 2, B 2). Paralelizmo sąlygą rašome taip:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Tiesė a apibūdinama tiesės, kurios nuolydis yra y = k 1 x + b 1, lygtimi. Tiesi b - y = k 2 x + b 2. Tada duotų tiesių normalieji vektoriai turės atitinkamai koordinates (k 1, - 1) ir (k 2, - 1), o lygiagretumo sąlygą parašysime taip:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Taigi, jei lygiagrečios tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiamos lygtimis su kampiniais koeficientais, tada nurodytų tiesių kampiniai koeficientai bus lygūs. Ir teisingas priešingas teiginys: jei stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje nesutampančios tiesės yra nustatytos tiesės, turinčios vienodus kampinius koeficientus, lygtis, tai šios pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

Tiesės a ir b stačiakampėje koordinačių sistemoje nurodomos kanoninėmis tiesės lygtimis plokštumoje: x - x 1 a x = y - y 1 a y ir x - x 2 b x = y - y 2 b y arba parametrinėmis lygtimis tiesė plokštumoje: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ir x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tada duotųjų tiesių krypties vektoriai bus: a x, a y ir b x, b y, o lygiagretumo sąlygą parašysime taip:

a x = t b x a y = t b y

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys

Pateikiamos dvi eilutės: 2 x - 3 y + 1 = 0 ir x 1 2 + y 5 = 1. Būtina nustatyti, ar jie yra lygiagretūs.

Sprendimas

Parašykime tiesės lygtį atkarpomis bendrosios lygties forma:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Matome, kad n a → = (2, - 3) yra tiesės 2 x - 3 y + 1 = 0 normalusis vektorius, o n b → = 2, 1 5 yra tiesės x 1 2 + y 5 normalusis vektorius = 1.

Gauti vektoriai nėra kolineariniai, nes nėra tokios tat reikšmės, kuri būtų teisinga:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Taigi netenkinama būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga, o tai reiškia, kad pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.

Atsakymas: pateiktos tiesės nėra lygiagrečios.

2 pavyzdys

Pateikiamos eilutės y = 2 x + 1 ir x 1 = y - 4 2. Ar jie lygiagrečiai?

Sprendimas

Paverskime kanoninę tiesės x 1 = y - 4 2 lygtį į tiesės su nuolydžiu lygtį:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Matome, kad tiesių y = 2 x + 1 ir y = 2 x + 4 lygtys nėra vienodos (jei būtų kitaip, tiesės sutaptų), o tiesių kampiniai koeficientai yra lygūs, o tai reiškia pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

Pabandykime problemą išspręsti kitaip. Pirmiausia patikrinkime, ar nurodytos eilutės sutampa. Mes naudojame bet kurį tašką tiesėje y = 2 x + 1, pavyzdžiui, (0, 1), šio taško koordinatės neatitinka tiesės x 1 = y - 4 2 lygties, o tai reiškia, kad linijos nesutampa.

Kitas žingsnis – nustatyti, ar tenkinama nurodytų tiesių lygiagretumo sąlyga.

Tiesės y = 2 x + 1 normalusis vektorius yra vektorius n a → = (2 , - 1) , o antrosios duotosios tiesės krypties vektorius b → = (1 , 2) . Šių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Taigi vektoriai yra statmeni: tai mums parodo būtinos ir pakankamos pradinių tiesių lygiagretumo sąlygos įvykdymą. Tie. pateiktos tiesės yra lygiagrečios.

Atsakymas:šios linijos lygiagrečios.

Tiesių lygiagretumui trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje įrodyti naudojama tokia būtina ir pakankama sąlyga.

8 teorema

Kad dvi nesutampančios tiesės trimatėje erdvėje būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai.

Tie. atsižvelgiant į tiesių lygtis trimatėje erdvėje, atsakymas į klausimą: ar jos lygiagrečios ar ne, randamas nustačius duotų tiesių krypties vektorių koordinates, taip pat patikrinus jų kolineariškumo sąlygą. Kitaip tariant, jei a → = (a x, a y, a z) ir b → = (b x, b y, b z) yra atitinkamai tiesių a ir b krypties vektoriai, tai, kad jos būtų lygiagrečios, egzistavimas tokio realaus skaičiaus t būtinas, kad galiotų lygybė:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ir x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Būtina įrodyti šių tiesių lygiagretumą.

Sprendimas

Uždavinio sąlygas pateikia vienos tiesės erdvėje kanoninės lygtys ir kitos erdvės tiesės parametrinės lygtys. Vadovo vektoriai a → ir b → pateiktos linijos turi koordinates: (1, 0, - 3) ir (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada a → = 1 2 · b → .

Vadinasi, būtina ir pakankama sąlyga tiesių lygiagretumui erdvėje yra įvykdyta.

Atsakymas:įrodytas duotųjų tiesių lygiagretumas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

3 puslapis iš 3

21 klausimas. Koks yra trikampio kampas tam tikroje viršūnėje?
Atsakymas. Trikampio ABC kampas taške A yra kampas, sudarytas iš pustiesių AB ir AC. Taip pat nustatomi trikampio kampai viršūnėse B ir C.

22 klausimas. Kurie segmentai vadinami lygiais?
Atsakymas. Segmentai vadinami lygiais, jei jų ilgis yra lygus.
Klausimas 23. Kokie kampai vadinami lygiais?
Atsakymas. Kampai vadinami lygiais, jei jų laipsnio matai yra lygūs.
24 klausimas. Kurie trikampiai vadinami lygiais?
Atsakymas. Trikampiai vadinami kongruentiniais, jei jų atitinkamos kraštinės yra lygios, o atitinkami kampai yra lygūs. Šiuo atveju atitinkami kampai turi būti priešais atitinkamas puses.
25 klausimas. Kaip paveiksle pažymėtos lygių trikampių atitinkamos kraštinės ir kampai?
Atsakymas. Brėžinyje vienodos atkarpos dažniausiai žymimos viena, dviem arba trimis linijomis, o vienodi kampai – vienu, dviem ar trimis lankais.

26 klausimas. Naudodamiesi 23 paveikslu, paaiškinkite, ar egzistuoja šiam trikampis.
Atsakymas.

Turėkime trikampį ABC ir spindulį a (23 pav., a). Perkelkime trikampį ABC taip, kad jo viršūnė A būtų sulygiuota su spindulio a pradžia, viršūnė B būtų ant spindulio a, o viršūnė C būtų tam tikroje pusplokštumoje spindulio a ir jo tęsinio atžvilgiu. Savo trikampio viršūnes šioje naujoje padėtyje pažymėsime kaip A 1, B 1, C 1 (23 pav., b).
Trikampis A 1 B 1 C 1 lygus trikampiui ABC.
27 klausimas. Kurios tiesės vadinamos lygiagrečiomis? Koks ženklas naudojamas lygiagrečioms linijoms nurodyti?
Atsakymas. Dvi tiesės vadinamos lygiagrečios, jei jos nesikerta. Tiesių lygiagretumui nurodyti naudojamas ženklas

28 klausimas. Nurodykite pagrindinę lygiagrečių tiesių savybę.
Atsakymas. Per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, plokštumoje galima nubrėžti daugiausia vieną tiesę, lygiagrečią duotajai.
29 klausimas. Pateikite teoremos pavyzdį.
Atsakymas. Jei tiesė, kuri nekerta nė vienos trikampio viršūnės, kerta vieną iš jo kraštinių, tai ji kerta tik vieną iš kitų dviejų kraštinių.