Какие фигуры называют разными. Равновеликие фигуры

Цель: формирование понятия “равные фигуры”.

• сформировать способность к фиксированию понятия “равные фигуры”, к фиксированию умения нахождения равных фигур;
• развивать математическую речь, геометрическое мышление; тренировать мыслительные операции;
• совершенствовать навыка счета в пределах 9;
• воспитывать в учащихся дисциплинированность, умение совместной деятельности.

Ход урока

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя.

Пираты - это морские разбойники, главной их цель всегда была поиск клада. Мы будем добрыми пиратами и отправимся в морское путешествие на поиски нашего клада. Мне в руки попала старинная пиратская карта.

Она очень запутанная, на ней отмечено множество островов, чтобы запутать искателей, но нужно попасть на остров, на котором спрятаны сокровища. Чтобы его найти, нам нужно будет преодолеть множество препятствий. Вы готовы? Тогда в путь.

Путешествовать мы будем на корабле.

Отправляемся на первый остров.

2. Устные счет

Итак, следуя нашей карте, мы оказались на острове под названием “Устный счет”. И чтобы двинуться дальше, нам необходимо выполнить задания:

Назови соседей чисел: 3, 6, 8;

Заполни пропуски:

7,….,….,….,…, 12

10,…,…., 7,….,…,….,…., 2

Реши пример по числовому отрезку.

3. Актуализация знаний

Следующий остров, встретившийся нам на пути, это “Геометрический остров”. Он таит в себе свои тайны и загадки, которые нам необходимо раскрыть!

Ребята нужно вспомнить и нарисовать все известные нам геометрические фигуры. (Круг, квадрат, ромб, овал, прямоугольник)

Посмотрите на рисунок, какие фигуры изображены?

По каким признакам можно разбить все фигуры на группы? (Цвет, форма, размер) . Назови эти группы.

4. Ознакомление с новым материалом

Мы удачно справились с заданием и можем отправиться на следующий остров. На третьем острове я нашла тайные послания для нас с вами. У каждого на парте есть конверт. Давайте откроем их и посмотрим, какое на этот раз испытание нас ждёт. (В каждом конверте находятся большой и маленький зеленый квадрат, большой и маленький синий треугольник, большой и маленький желтый прямоугольник, два красных круга одинакового размера)

Ребята, вспомним, по каким признакам делятся все фигуры? (Цвет, форма, размер)

Задание: разбейте по парам фигуры, находящиеся в конверте, так, чтобы менялся только один признак – размер.

Смогли ли вы разбить все предметы по парам? (Нет)

Почему? (Потому что два круга одинаковы по размеру, цвету и форме)

Докажите, что эти фигуры одинаковы. (Наложением)

Давайте подумаем, как можно такие фигуры назвать? (Из предложенных вариантов учитель выбирает понятие “равные фигуры”)

Итак, ребята, тема нашего урока “Равные фигуры”. (Тема фиксируется на доске)

Давайте поближе познакомимся с ними. Для этого нам нужно отправиться на следующий остров, который так и называется: “Равные фигуры”.

Прибыв на остров, я сразу заметила на песке различные фигуры, зарисовала их, так как волна могла в любой момент их смыть.

Посмотрите на доску, вот эти фигуры:

Если среди них равные? (Дети сначала определяют визуально равные фигуры, затем к доске вызывается ученик)

Как мы узнаем, действительно эти фигуры равны или нет? (Путем наложения одной фигуры на другую). Выполняется практическое действие.

Итак, какие же фигуры мы можем назвать равными? (Равными фигурами являются те, которые совпадают при наложении).

Определим, какие признаки у равных фигур должны совпадать.

Под темой урока на доске фиксируется краткая запись рассуждений детей.

(Равные фигуры всегда одинаковой формы и одинакового размера, а цвет может различаться)

Как вы считаете, 1 и 2 фигуры – равные?

Как мы это проверим? (Ученики совмещают фигуры и убеждаются, что они равны)

А как вы думаете, 2 и 3 фигуры равны? (Выполняется аналогичная работа)

Ребята, а 1 и 3 фигура равны?

Почему? (Они обе равны фигуре 2, значит, равны друг другу)

Давайте проверим наложением.

Ребята делают вывод, учитель кратко фиксирует на доске 1=2 и 2=3, то 1=3 (Если первая фигура равна второй, а вторая третьей, то первая фигура равна третьей)

У меня возникла проблема, а если я не могу наложить фигуры, например, они нарисованы в тетради, как проверить, равны они или нет? (Можно посчитать по клеткам)

Отправляемся на следующий остров.

5. Первичное закрепление

Работа с учебником.

1) Стр. 36 №1. Найди равные фигуры и раскрась их одинаковым цветом. Работа выполняется по вариантам:

1 вариант - №1 а)

2 вариант - №1 б)

Ребята, и с этим заданием вы справились, но продолжить наше путешествие мы не можем, корабль наткнулся на риф, нам необходимо его снова собрать. Потому что по карте последний остров именно тот, который нам нужен!

2) Стр. 36 №2.

6. Повторение пройденного

Вы сегодня были храбры и не боялись сложных испытаний, которые встречались нам на островах. И в награду за это вы можете стать учителями-капитанами корабля. Но быть капитаном не просто, вам нужно многое знать и уметь, поэтому постарайтесь справиться со следующими заданиями:

1) Учащимся предлагается стать учителем: придумать задание к рисунку, проконтролировать выполнение, оценить.

2) Раздаются карточки. Нужно найти все ошибки. Взаимопроверка по парам.

8=8 4+3=8 8-2>8-3

7>4 3+1<6 5+1<5+4

3<1 5<5+4 9-7=9-6

7. Итог урока, рефлексия

Мы прибыли на последний остров, а вот и клад! Наш путь оказался не напрасным, ведь нам в награду достались такие сокровища!

Ребята, как вы понимаете фразу “Знания - наше богатство”?

Перед вами на столе два смайлика - грустный и веселый. Если у вас хорошее настроение, приклейте к кораблю желтый веселый смайлик, если плохое - красный.

Мы с вами теперь опытные путешественники и кладоискатели, и в следующий раз нас будут ждать новые приключения! Спасибо за работу на уроке!

В повседневной жизни нас с вами окружают множество различных предметов. Часть из них имеют одинаковые размеры и одинаковую форму. Например, две одинаковые простыни или два одинаковых куска мыла, две одинаковых монеты и т.д.

В геометрии фигуры, имеющие одинаковые размеры и форму, называются равными фигурами . На рисунке ниже изображены две фигуры А1 и А2. Чтобы установить равенство этих фигур, нам необходимо одну из них скопировать на кальку. А затем передвигать кальку и совместить копию одной фигуры с другой фигурой. Если они совместятся, то это означает, что эти фигуры являются одинаковыми фигурами. При это записывают А1=А2 используя обычный знак равенства.

Определение равенства двух геометрических фигур

Мы можем представить, что на вторую фигуру накладывали первую фигуру, а не её копию на кальке. Поэтому в дальнейшем будем говорить о наложении самой фигуры, а не её копии, на другую фигуру. Исходя из всего вышесказанного можно сформулировать определение равенства двух геометрических фигур .

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением одной фигуры на другую. В геометрии для некоторых геометрических фигур (например, треугольники) сформулированы специальные признаки, при выполнении которых можно говорить о том, что фигуры равны.

какой угол называется развернутым? Какие фигуры называются равными? Обьясните как сравнить два отрезка? какая точка называется

серединой отрезка?

Какой луч называется биссектрисой угла?

что такое градусная мера угла?

Какая фигура называется треугольником?Какие треугольники называются равными?Какой отрезок называют медианой треугольника?Какой отрезок называют

биссектрисой треугольника?Какой отрезок называют высотой треугольника?Какой треугольник называется равнобедренным?Какой треугольник называется равносторонним?Что такое окружность? Определение радиуса, диаметра, хорды.Дайте определение параллельных прямых.Какой угол называется внешним углом треугольника?Какой треугольник называется остроугольным, какой треугольник называется тупоугольным, какой прямоугольным. Как называются стороны прямоугольного треугольника?Свойство двух прямых, параллельных третьей.Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных прямых.Свойство двух прямых перпендикулярных к третьей

Какая фигура называется ломаной? Что такое звенья вершины и длина ломаной?

Объясните какая ломанная называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым?
Объясните какие углы называются выпуклыми углами многоугольника. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника. ВЗЯТЫХ по одному прикаждой вершине, равна 360 градусов.
Чему равна сумма углов выпукого четырехугольника?

1)Какая фигура называется четырехугольником?

2)Что такое вершины,углы стороны диагонали периметр четырехугольника?
3)Какие углы стороны четырехугольник называется выпуклым?
4)чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
5)какой четырех угольник называется выпуклым?
6)какой четырех угольник называют параллелограмм?
7)какими свойствами обладает параллелограмм?
8)назовите признаки параллелограмма.
9)сформулируйте свойства прямоугольника.
10)какой четырехугольник называется квадратом?
11)сформулируйте свойства ромба.
12)какой четырехугольник называется ромбом?
13)какой четырехугольник называется прямоугольником?
14)какими свойствами обладает квадрат? ответьте пожалуйста кратко...

Геометрия Атанасян 7,8,9 класс «Вопросы ответы на вопросы для повторения к главе 2 к учебнику геометрии 7-9 класс атанасян Объясните, какая фигура

называется треугольником.
2. Что такое периметр треугольника?
3. Какие треугольники называются равными?
4. Что такое теорема и доказательство теоремы?
5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.
6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?
9. Какой треугольник называется равнобедренным?
10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?
11. Какой треугольник называется равносторонним?
12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
17. Дайте определение окружности.
18. Что такое центр окружности?
19. Что называется радиусом окружности?
20. Что называется диаметром окружности?
21. Что называется хордой окружности?

Одним из основных понятий в геометрии является фигура. Под этим термином подразумевается множество точек на плоскости, ограниченное конечным числом линий. Некоторые фигуры могут рассматриваться как равные, что тесно связано с понятием движения. Геометрические фигуры могут рассматриваться не изолированно, а в том или ином соотношении друг с другом – их взаимное расположение, соприкосновение и прилегание, положение «между», «внутри», соотношение, выраженное в понятиях «больше», «меньше», «равно».Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Если возможно такое движение, которое приведет к совмещению одной фигуры с другой, такие фигуры называют равными (конгруэнтными). Две фигуры, равные третьей, равны и между собою – такое утверждение было сформулировано еще Евклидом, основоположником геометрии.Понятие конгруэнтных фигур может быть объяснено и более простым языком: равными называются такие фигуры, которые полностью совпадут при наложении их друг на друга.Это достаточно легко определить, если фигуры даны в виде неких предметов, которыми можно манипулировать – например, вырезаны из бумаги, поэтому в школе на уроках нередко прибегают к такому способу объяснения данного понятия. Но две фигуры, начерченные на плоскости, нельзя физически наложить друг на друга. В данном случае доказательством равенства фигур выступает доказательство равенства всех элементов, составляющих эти фигуры: длина отрезков, размер углов, диаметр и радиус, если речь идет об окружности.

Равновеликие и равносоставленные фигуры

С равными фигурами не следует смешивать равновеликие и равносоставленные фигуры – при всей близости данных понятий.
Равновеликими называются такие фигуры, которые имеют равную площадь, если это фигуры на плоскости, или равный объем, если речь идет о трехмерны телах. Совпадение всех элементов, составляющих данные фигуры, не является обязательным. Равные фигуры будут равновеликими всегда, но не всякие равновеликие фигуры можно назвать равными.Понятие равносоставленности чаще всего применяют к многоугольникам. Оно подразумевает, что многоугольники можно разбить на одинаковое количество соответственно равных фигур. Равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: Повторить тему «Площадь параллелограмма». Вывести формулу площади треугольник, ввести понятие равновеликих фигур. Решение задач по теме «Площади равновеликих фигур».

Ход урока

I. Повторение.

1) Устно по готовому чертежу вывести формулу площади параллелограмма.

2) Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?

(по готовому чертежу)

зависимость обратно пропорциональная.

3) Найти вторую высоту (по готовому чертежу)

4) Найти площадь параллелограмма по готовому чертежу.

Решение:

5) Сравните площади параллелограммов S1, S2, S3 . (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).

Определение: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

II. Решение задач.

1) Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.

Решение:

2) В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?

Решение: Можно. Все треугольники равновеликие.

4) Доказать, что если на стороне параллелограмма взять точку A и соединить её с вершинами, то площадь получившегося треугольника ABC равна половине площади параллелограмма.

Решение:

5) Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят его так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок побольше. Где Малыш должен поставить точку?

Решение: В точке пересечения диагоналей.

6) На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.

Решение:

III. Изучение темы «Площадь треугольника»

начать с задачи:

«Найти площадь треугольника, у которого основание a, а высота h».

Ребята, используя понятие равновеликих фигур, доказывают теорему.

Достроим треугольник до параллелограмма.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Задание: Начертите равновеликие треугольники.

Используется модель (из бумаги вырезаны 3 цветных треугольника и склеены у оснований).

Упражнение №474. «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».

У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h. Треугольники имеют одинаковую площадь

Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Вопросы к классу:

1. Равновелики ли равные фигуры?
2. Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
3. Верно ли:
   а) Равносторонние треугольники равновелики?
   б) Равносторонние треугольники с равными сторонами равновелики?
   в) Квадраты с равными сторонами равновелики?
   г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины. (Показать на модели: полоски одинаковой ширины)

IV. Шаг вперёд!

На доске написаны задания по выбору:

1. «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».

Решение:

2. «Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».

Решение:

3) В прямоугольнике проведена диагональ. В одном из получившихся треугольников проведена медиана. Найдите соотношения между площадями фигур .

Решение:

Ответ:

3. Из олимпиадных задач:

«В четырёхугольнике ABCD точка E- середина AB, соединена с вершиной D, а F – середина CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Решение: провести диагональ BD.

Упражнение №475.

«Начертите треугольник ABC. Через вершину В проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».

Использовать теорему Фалеса (разделить АC на 3 равные части).

V. Задача дня.

Для неё отвела крайнюю правую часть доски, на которой пишу задачу сегодняшнего дня. Ребята могут решать её, а могут и не решать. На уроке данную задачу мы сегодня не решаем. Просто те, кому они интересны, могут списать её, решить её дома или в перемену. Обычно уже в перемену многие ребята начинают решать задачу, если решили, то показывают решение, и я фиксирую это в специальной таблице. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача).

«В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».

Решение: Секущая AB проходит через точку пересечения диагоналей параллелограммов O и O1.

Дополнительные задачи (из олимпиадных задач):

1) «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».

Решение:

Треугольники ABM и AMK – равновеликие фигуры, т.к. AM – медиана.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Ответ: S ABCD = 2m.

2) «В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали пересекаются в точке O. Доказать, что треугольники AOB и COD равновеликие».

Решение:

S ∆BCD = S ∆ABC , т.к. у них общее основание BC и одинаковая высота .

3) Сторона АВ произвольного треугольника АВС продолжена за вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?

Решение:

В треугольнике МВС : МА = АС, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВС. В треугольнике АРМ : ВР = АВ, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВР. В треугольнике АРС : АВ = ВР, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника ВРС. В треугольнике ВРК : ВС = СК, значит, площадь треугольника ВРС равна площади треугольника РКС. В треугольнике АВК : ВС = СК, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника АСК. В треугольнике МСК: МА = АС, значит, площадь треугольника КАМ равна площади треугольника АСК. Получаем 7 равновеликих треугольников. Значит,

Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади треугольника АВС.

4) Сцепленные параллелограммы.

2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.

Решение:

и , значит,

Список использованной литературы :

1. Учебник «Геометрия 7-9» (авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, «Просвещение», 2003).
2. Олимпиадные задачи разных лет, в частности из учебного пособия «Лучшие задачи математических олимпиад» (составитель А.А. Корзняков, Пермь, «Книжный мир», 1996).
3. Подборка задач, накопленных за много лет работы.